专题14相似三角形与锐角三角函数（5年汇编）（浙江专用）（解析版）_2026秋初中教辅合集_2027学科网&_2027新好题汇编

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专题14 相似三角形与锐角三角函数
5 年真题1 年模拟
考点分类
浙江考情（2022-2026）
命题规律
考点01 相似三角形
判定与性质
2025·浙江·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江丽水·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江舟山·中考
2022·浙江温州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2023·浙江湖州·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江金华·中考
2023·浙江杭州·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取约20 道真题，是本专
题题量最大的考点。其中2026 年省统考以"显示屏遮挡
产生盲区"的生活情境考查相似，并叠加全等与矩形。
题型覆盖选择、填空与解答题，分值3-12 分，难度跨
度大，基础题多为直接判定相似或利用相似求线段比
例，中档题则常与面积、比例线段、测量问题结合。该
考点的核心主线是"利用相似三角形对应边成比例求线
段或比例关系"，实际应用上大量出现在测量类情境（如
树高、旗杆、风车、镜面反射等），并借助相似与平行
线分线段成比例定理、重心性质、四点共圆、轴对称、
折叠等知识综合呈现。整体来看，本考点是浙江中考几
何考查的重点，预计未来省统考将继续以"相似＋实际
测量＋面积比例＋综合探究"为基本命题形态，并可能
保持较高的综合度。
考点02 锐角三角函
数与解直角三角形
2026·浙江·中考
2025·浙江·中考
2024·浙江·中考
2023·浙江杭州·中考
2023·浙江衢州·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江宁波·中考
2023·浙江温州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
近5 年浙江中考在本考点共选取约20 道真题，其中2026
年、2025 年、2024 年省统考均连续设题，显示省统考
对本板块的高度重视。题型以解答题和选择题为主，分
值3-10 分，核心考查三类模型：一是直角三角形中的
边角关系直接计算，常以真实物品为背景；二是仰角、
俯角、方位角的实际测量问题，往往需要构造直角三角
形并结合参考数据换算；三是三角函数与圆、相似、面
积等知识的综合。整体上，本考点由"单一解直角"向"
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2023·浙江台州·中考
2023·浙江嘉兴·中考
2022·浙江嘉兴·中考
2022·浙江杭州·中考
2022·浙江台州·中考
2022·浙江金华·中考
2022·浙江衢州·中考
2022·浙江绍兴·中考
2022·浙江宁波·中考
2022·浙江嘉兴·中考
情境建模＋多知识点综合"发展，预计未来省统考将继
续以真实情境中的仰俯角测量为核心，并可能融入函
数、几何最值等综合元素。
考点01
相似三角形判定与性质
1．（2026·浙江·中考真题）如图所示，是墙面݈
与一个显示屏ܣܤ的侧视图，墙面与地面垂直，用两根
等长的支架ܲܳ
和ܯܰ
连接墙面与显示屏，测得ܲ
ܯൌܳܰ
．
(1)证明：ܲܯצܳܰ
；
(2)若锦凌同学坐在显示屏前面，支架ܲܳ
ൌൌͲ cm，ܣܤൌൌ͹ cm，ܲܳ
٣݈，锦凌同学的眼睛ܱ
与显示屏底部
ܤ等高，眼睛到墙面݈
的距离ܱ
쳌ൌʹͲͲ cm，锦凌同学的视野被显示屏遮挡，出现了一个盲区ܥ쳌．求ܥ쳌
的长度．
【答案】(1)证明：连接ܲܰ
，如图1，
在ᇞܲܳܰ
和ᇞܰ
ܯܲ
中，
׶ܲܳ
ൌܯܰ，ܳܰ
ൌܲ
ܯ，ܲܰ
ൌܰܲ
，
׵ᇞܲܳܰ
، ᇞܰ
ܯܲ
SSS ，
׵ סܳܲܰ
ൌסܯܰܲ
，
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׵ܲ
ܯצܳܰ
（内错角相等，两直线平行）．
(2)ܥ쳌的长度为͸Ͳcm．
【分析】（1）利用已知条件ܲܳ
ൌܯܰ，ܳܰ
ൌܲ
ܯ，结合三角形全等关系，根据平行线的判定方法，
即可得出结论．
（2）通过几何关系（如相似三角形）建立比例式，再结合已知数据求出ܥ쳌的长度即可．
【详解】（1）略
（2）解：由题意，墙面݈
٣地面，ܣܤ٣ܱ
쳌，ܲܳ
٣݈，쳌ܤ٣݈，
׵ܲܳ
צ 쳌ܤ，ܣܤצ ܥ쳌，
׵ סܲܳ
ܤൌס쳌ܤܳ
ൌסܳܲ
쳌ൌ耀Ͳι，
׵四边形ܲܳ
ܤ쳌是矩形，
׵ܲܳ
ൌܤ쳌ൌൌͲ，
又׶ סܣܱܤൌסܥܱ쳌，סܥ쳌ܱ
ൌסܣܤܱ
ൌ耀Ͳι，
׵ᇞܱ
ܣܤ׽ᇞܱ
ܥ쳌，
׵
ܣܤ
ܥ쳌ൌܱ
ܤܱ
쳌，
׶ ܣܤൌൌ͹，ܱܤൌܱ
쳌െܤ쳌ൌൌ耀Ͳ，
׵ ܥ쳌ൌൌ͹ ൈ
ʹͲͲ
ൌ耀Ͳ ൌ͸Ͳ，
׵ ܥ쳌的长度为͸Ͳcm．
2．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，在ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌܣܥ쳌סܣᦙ耀Ͳι，点쳌쳌ܧ쳌ܨ分别在边ܣܤ，ܤܥ쳌ܥܣ
上，连接쳌ܧ쳌ܧܨ쳌ܨ쳌，已知点ܤ和点ܨ关于直线쳌ܧ对称．设
ܤܥ
ܣܤൌ݇
，若ܣ쳌ൌ쳌ܨ，则
ܥܨ
ܨܣൌ_________（结果
用含݇
的代数式表示）．
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【答案】݇
ʹ
ʹെ݇ʹ
【分析】先根据轴对称的性质和已知条件证明쳌ܧצܣܥ，再证ᇞܤ쳌ܧ׾ᇞܤܣܥ，推出ܧܥൌ
ൌ
ʹ݇
ڄ ܣܤ，通
过证明ᇞܣܤܥ׾ᇞܧܥܨ，推出ܥܨൌ
ൌ
ʹ݇
ʹ ڄ ܣܤ，即可求出
ܥܨ
ܨܣ的值．
【详解】解：׶点ܤ和点ܨ关于直线쳌ܧ对称，
׵ 쳌ܤൌ쳌ܨ，
׶ ܣ쳌ൌ쳌ܨ，
׵ ܣ쳌ൌ쳌ܤ．
׶ ܣ쳌ൌ쳌ܨ，
׵ סܣൌס쳌ܨܣ，
׶点ܤ和点ܨ关于直线쳌ܧ对称，
׵ סܤ쳌ܧൌסܨ쳌ܧ，
又׶ סܤ쳌ܧ㘮סܨ쳌ܧൌסܤ쳌ܨൌסܣ㘮ס쳌ܨܣ，
׵ סܨ쳌ܧൌס쳌ܨܣ，
׵ 쳌ܧצܣܥ，
׵ סܥൌס쳌ܧܤ，ס쳌ܧܨൌסܧܨܥ，
׶点ܤ和点ܨ关于直线쳌ܧ对称，
׵ ס쳌ܧܤൌס쳌ܧܨ，
׵ סܥൌסܧܨܥ，
׶ ܣܤൌܣܥ，
׵ סܥൌסܤ，
在ᇞܣܤܥ和ᇞܧܥܨ中，
סܤൌסܥ
סܣܥܤൌסܧܨܥ，
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׵ ᇞܣܤܥ׾ᇞܧܥܨ．
׶在ᇞܣܤܥ中，쳌ܧצܣܥ，
׵ סܤ쳌ܧൌסܣ，סܤܧ쳌ൌסܥ，
׵ ᇞܤ쳌ܧ׾ᇞܤܣܥ，
׵
ܤܧ
ܤܥൌ
ܤ쳌
ܤܣൌ
ൌ
ʹ，
׵ ܧܥൌ
ൌ
ʹ ܤܥ，
׶
ܤܥ
ܣܤൌ݇
，
׵ ܤܥൌ݇
ڄ ܣܤ，ܧܥൌ
ൌ
ʹ݇
ڄ ܣܤ，
׶ ᇞܣܤܥ׾ᇞܧܥܨ．
׵
ܣܤ
ܧܥൌ
ܤܥ
ܥܨ，
׵
ܣܤ
ൌ
ʹ݇ڄܣܤൌ݇
ڄܣܤ
ܥܨ，
解得ܥܨൌ
ൌ
ʹ݇
ʹ ڄ ܣܤ，
׵
ܥܨ
ܨܣൌ
ܥܨ
ܣܥെܥܨൌ
ܥܨ
ܣܤെܥܨൌ
ൌ
ʹ݇
ʹڄܣܤ
ܣܤെൌ
ʹ݇
ʹڄܣܤൌ݇
ʹ
ʹെ݇ʹ．
故答案为：݇
ʹ
ʹെ݇ʹ．
3．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，点P 是ᇞܣܤܥ的重心，点D 是边ܣܥ的中点，ܲܧצ ܣܥ交ܤܥ于
点E，쳌ܨצ ܤܥ交ܧܲ
于点F，若四边形ܥ쳌ܨܧ的面积为6，则ᇞܣܤܥ的面积为（
）
A．15
B．18
C．24
D．36
【答案】B
【分析】连接ܤ쳌,根据三角形重心的性质可知：P 在ܤ쳌上，由三角形中线平分三角形的面积可知：ܵ
ᇞܣܤܥൌʹܵᇞܤ쳌ܥ，证明ᇞ쳌ܨܲ
׽ᇞܤܧܲ
和ᇞܤܧܲ
׽ᇞܤܥ쳌,根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可解答．
【详解】解：如图，连接ܤ쳌，
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׶点P 是ᇞܣܤܥ的重心，点D 是边ܣܥ的中点，P 在ܤ쳌上，
׵ܵ
ᇞܣܤܥൌʹܵᇞܤ쳌ܥ，
ܤܲǣܲ쳌ൌʹǣൌ，
׶ 쳌ܨצܤܥ，
׵ ᇞ쳌ܨܲ
׽ᇞܤܧܲ
׵ܵ
ᇞ쳌ܨܲܵ
ᇞܤܧܲൌ
ൌ
Ͷ，
׶ ܧܨצܣܥ，
׵ ᇞܤܧܲ
׽ᇞܤܥ쳌，
׵ܵ
ᇞܤܧܲܵ
ᇞܤܥ쳌ൌ
ܤܲ
ܤ쳌
ʹ
ൌ
ʹ
͵
ʹ
ൌ
Ͷ
耀，
设ᇞ쳌ܨܲ
的面积为m，则ᇞܤܧܲ
的面积为Ͷ݉
，ᇞܤܥ쳌的面积为耀݉
，
׶四边形ܥ쳌ܨܧ的面积为6，
׵݉
㘮耀݉
െͶ݉
ൌ͸，
׵݉
ൌൌ，
׵ ᇞܤܥ쳌的面积为9，
׵ᇞܣܤܥ的面积是18．
故选：B．
4．（2023·浙江湖州·中考真题）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架ܧܨ
放在离树ܣܤ适当距离的水平地面上的点F 处，再把镜子水平放在支架ܧܨ上的点E 处，然后沿着直线ܤܨ
后退至点D 处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量ܤܨ，쳌ܨ，ܧܨ，观测者目高ܥ쳌的
长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知ܥ쳌٣ ܤ쳌于点D，ܧܨ٣ ܤ쳌于点F，ܣܤ٣ ܤ쳌于点B，ܤܨൌ͸
米，쳌ܨൌʹ 米，ܧܨൌͲൌ米，ܥ쳌ൌൌ͹ 米，则这棵树的高度（ܣܤ的长）是______米．
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【答案】4.1
【分析】
过点ܧ作水平线交ܣܤ于点ܩ，交ܥ쳌于点ܪ，根据镜面反射的性质求出ᇞܥܪܧ׾ᇞܣܩܧ，再根据对应
边成比例解答即可．
【详解】
过点ܧ作水平线交ܣܤ于点ܩ，交ܥ쳌于点ܪ，如图，
∵쳌ܤ是水平线，ܥ쳌쳌ܧܨ쳌ܣܤ都是铅垂线．
∴쳌ܪൌܧܨൌܩܤൌͲൌ米，ܧܪൌ쳌ܨൌʹ 米，ܧܩൌܨܤൌ͸ 米，
∴ܥܪൌܥ쳌െ쳌ܪൌൌ͹ െͲൌൌൌʹ（米），
又根据题意，得סܥܪܧൌסܣܩܧൌ耀Ͳι쳌סܥܧܪൌסܣܧܩ，
∴ᇞܥܪܧ׾ᇞܣܩܧ，
׵
ܧܪ
ܧܩൌ
ܥܪ
ܣܩ，即
ʹ
͸ ൌ
ൌʹ
ܣܩ，
解得：ܣܩൌ͵͸ 米，
∴ܣܤൌܣܩ㘮ܩܤൌ͵͸ 㘮ͲൌൌͶൌ(米)．
故答案为：Ͷൌ．
5．（2023·浙江温州·中考真题）如图1，ܣܤ为半圆ܱ
的直径，ܥ为ܤܣ延长线上一点，ܥ쳌切半圆于点쳌，
ܤܧ٣ ܥ쳌，交ܥ쳌延长线于点ܧ，交半圆于点ܨ，已知ܱ
ܣൌ
͵
ʹ，ܣܥൌൌ．如图ʹ，连接ܣܨ，ܲ
为线段ܣܨ上
一点，过点ܲ
作ܤܥ的平行线分别交ܥܧ，ܤܧ于点ܯ，ܰ，过点ܲ
作ܲ
ܪ٣ ܣܤ于点ܪ．设ܲ
ܪൌݔ，ܯܰ
ൌݕ．
(1)求ܥܧ的长和ݕ关于ݔ的函数表达式．
(2)当ܲ
ܪᦙܲܰ
，且长度分别等于ܲ
ܪ，ܲܰ
，ܽ
的三条线段组成的三角形与ᇞܤܥܧ相似时，求ܽ
的值．
(3)延长ܲܰ
交半圆ܱ
于点ܳ
，当ܰܳ
ൌ
ൌൌ
Ͷ ݔെ͵ 时，求ܯܰ
的长．
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【答案】(1)ܥܧൌ
ൌ͸
ൌ，ݕൌെ
ʹൌ
ൌʹ ݔ㘮Ͷ
(2)
ൌ͸
ൌൌ或
ʹ͹
ͶͲ或
͸Ͳ
Ͷൌ
(3)
ൌ͹
ͺ
【分析】（1）如图1，连接ܱ
쳌，根据切线的性质得出ܱ
쳌٣ ܥܧ，证明ܱ
쳌צܤܧ，得出
ܥ쳌
ܥܧൌ
ܥܱ
ܥܤ，即可得
出ܥܧൌ
ൌ͸
ൌ；证明四边形ܣܲܯܥ是平行四边形，得出
ܯܰ
ܤܥൌ
ܯܧ
ܥܧ，代入数据可得ݕൌെ
ʹൌ
ൌʹ ݔ㘮Ͷ；
（2）根据ᇞܤܥܧ三边之比为͵ǣͶǣൌ，可分为三种情况．当ܲ
ܪǣܲܰ
ൌ͵ǣൌ时，当ܲ
ܪǣܲܰ
ൌͶǣൌ时，当ܲ
ܪǣܲܰ
ൌ͵ǣͶ 时，分别列出比例式，进而即可求解．
（3）连接ܣܳ，ܤܳ，过点ܳ
作ܳ
ܩ٣ ܣܤ于点ܩ，根据tanסܤܳܩൌtanסܳܣܤൌ
ݔ
͵ݔൌ
ൌ
͵，得出ܤܩൌ
ൌ
͵ܳ
ܩൌ
ൌ
͵ ݔ，
由ܣܤൌܣܩ㘮ܤܩൌ
ൌͲ
͵ ݔൌ͵，可得ݔൌ
耀
ൌͲ，代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：如图1，连接ܱ
쳌．
∵ܥ쳌切半圆ܱ
于点쳌，
∴ܱ쳌٣ ܥܧ．
∵ܱܣൌ
͵
ʹ，ܣܥൌൌ，
∴ܱܥൌ
ൌ
ʹ，
∴ܥ쳌ൌʹ．
∵ܤܧ٣ ܥܧ，
∴ܱ쳌צܤܧ，
∴
ܥ쳌
ܥܧൌ
ܥܱ
ܥܤ，
即
ʹ
ܥܧൌ
ൌ
ʹ
Ͷ，
∴ܥܧൌ
ൌ͸
ൌ．
如图2，סܣܨܤൌסܧൌ耀Ͳι，
∴ܣܨצ ܥܧ．
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∵ܯܰ
צ ܥܤ，
∴四边形ܣܲܯܥ是平行四边形，
∴ܥܯൌܲ
ܣൌܲ
ܪ
sinסൌൌܲ
ܪ
sinܥൌ
ݔ
͵
ൌ
ൌ
ൌ
͵ ݔ．
∵
ܯܰ
ܤܥൌ
ܯܧ
ܥܧ，
∴
ݕ
Ͷ ൌ
ൌ͸
ൌെൌ
͵ݔ
ൌ͸
ൌ
，
∴ݕൌെ
ʹൌ
ൌʹ ݔ㘮Ͷ．
（2）∵ܲܰ
ൌݕെൌൌെ
ʹൌ
ൌʹ ݔ㘮͵，ܲܪᦙܲܰ
，ᇞܤܥܧ三边之比为͵ǣͶǣൌ（如图2），
∴可分为三种情况．
i）当ܲ
ܪǣܲܰ
ൌ͵ǣൌ时，ܲܰ
ൌ
ൌ
͵ܲ
ܪ，െ
ʹൌ
ൌʹ ݔ㘮͵ ൌ
ൌ
͵ ݔ，
解得ݔൌ
Ͷ
ൌ，
∴ܽ
ൌ
Ͷ
͵ ݔൌ
ൌ͸
ൌൌ．
ii）当ܲ
ܪǣܲܰ
ൌͶǣൌ时，ܲܰ
ൌ
ൌ
Ͷܲ
ܪ，െ
ʹൌ
ൌʹ ݔ㘮͵ ൌ
ൌ
Ͷ ݔ，
解得ݔൌ
耀
ൌͲ，
∴ܽ
ൌ
͵
Ͷ ݔൌ
ʹ͹
ͶͲ．
iii）当ܲ
ܪǣܲܰ
ൌ͵ǣͶ 时，ܲܰ
ൌ
Ͷ
͵ܲ
ܪ，െ
ʹൌ
ൌʹ ݔ㘮͵ ൌ
Ͷ
͵ ݔ，
解得ݔൌ
͵͸
Ͷൌ，
∴ܽ
ൌ
ൌ
͵ ݔൌ
͸Ͳ
Ͷൌ．
（3）如图3，连接ܣܳ，ܤܳ，过点ܳ
作ܳ
ܩ٣ ܣܤ于点ܩ，
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则סܣܳܤൌסܣܩܳ
ൌ耀Ͳι，ܳܩൌܲ
ܪൌݔ，
∴סܳܣܤൌסܤܳܩ．
∵ܰܳ
ൌ
ൌൌ
Ͷ ݔെ͵，ܲܰ
ൌݕെൌൌെ
ʹൌ
ൌʹ ݔ㘮͵，
∴ܪܩൌܲܳ
ൌܰܳ
㘮ܲܰ
ൌ
ൌ
͵ ݔ．
∵ܣܪൌ
Ͷ
͵ ݔ，
∴ܣܩൌܣܪ㘮ܪܩൌ͵ݔ，
∴tanסܤܳܩൌtanסܳܣܤൌ
ݔ
͵ݔൌ
ൌ
͵，
∴ܤܩൌ
ൌ
͵ܳ
ܩൌ
ൌ
͵ ݔ，
∴ܣܤൌܣܩ㘮ܤܩൌ
ൌͲ
͵ ݔൌ͵，ݔൌ
耀
ൌͲ，
∴ݕൌെ
ʹൌ
ൌʹ ݔ㘮Ͷ ൌ
ൌ͹
ͺ ，即ܯܰ
的长为
ൌ͹
ͺ ．
6．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，在四边形ܣܤܥ쳌中，ܣ쳌צ ܤܥ쳌סܥൌͶൌι，以ܣܤ为腰作等腰直角
三角形ܤܣܧ，顶点ܧ恰好落在ܥ쳌边上，若ܣ쳌ൌൌ，则ܥܧ的长是（
）
A．ʹ
B．
ʹ
ʹ
C．2
D．1
【答案】A
【分析】先根据等腰三角形的性质可得ܤܧൌ
ʹܣܤ，סܣܤܧൌסܣܧܤൌͶൌι，סܤܣܧൌ耀Ͳι，再判断出
点ܣ쳌ܤ쳌ܧ쳌쳌四点共圆，在以ܤܧ为直径的圆上，连接ܤ쳌，根据圆周角定理可得סܤ쳌ܧൌ耀Ͳι，סܣ쳌ܤൌסܣܧܤൌ
Ͷൌι，然后根据相似三角形的判定可得ᇞܣܤ쳌׽ᇞܧܤܥ，根据相似三角形的性质即可得．
【详解】解：׶ᇞܤܣܧ是以ܣܤ为腰的等腰直角三角形，
׵ ܤܧൌ
ʹܣܤ，סܣܤܧൌסܣܧܤൌͶൌι，סܤܣܧൌ耀Ͳι，
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׶ ܣ쳌צ ܤܥ쳌סܥൌͶൌι，
׵ סܣ쳌ܧൌൌͺͲι െסܥൌൌ͵ൌι，
׵ סܣ쳌ܧ㘮סܣܤܧൌൌͺͲι，
׵点ܣ쳌ܤ쳌ܧ쳌쳌四点共圆，在以ܤܧ为直径的圆上，
如图，连接ܤ쳌，
由圆周角定理得：סܤ쳌ܧൌ耀Ͳι，סܣ쳌ܤൌסܣܧܤൌͶൌι，
׵ סܣ쳌ܤൌסܥൌסܥܤ쳌ൌͶൌι，
׵ סܣܤ쳌㘮ס쳌ܤܧൌͶൌι ൌסܧܤܥ㘮ס쳌ܤܧ，
׵ סܣܤ쳌ൌסܧܤܥ，
在ᇞܣܤ쳌和ᇞܧܤܥ中，
סܣ쳌ܤൌסܥ
סܣܤ쳌ൌסܧܤܥ，
׵ᇞܣܤ쳌׽ᇞܧܤܥ，
׵
ܥܧ
ܣ쳌ൌ
ܧܤ
ܣܤൌ
ʹ，
׵ ܥܧൌ
ʹܣ쳌ൌ
ʹ ൈൌൌ
ʹ，
故选：A．
7．（2023·浙江衢州·中考真题）下面是勾股定理的一种证明方法：图1 所示纸片中，סܣܥܤൌ耀Ͳι ܣܥᦙܤܥ，
四边形ܣܥ쳌ܧ，ܥܤܨܩ是正方形．过点ܥ，ܤ将纸片ܥܤܨܩ分别沿与ܣܤ平行、垂直两个方向剪裁成四部分，
并与正方形ܣܥ쳌ܧ，ᇞܣܤܥ拼成图2．
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（1）若cosסܣܤܥൌ
͵
Ͷ，ᇞܣܤܥ的面积为16，则纸片Ⅲ的面积为________．
（2）若ܲܳܤܳൌ
ൌ耀
ൌൌ，则
ܤܭ
ܣܭൌ________．
【答案】
9
ʹൌ
耀/ʹ
͹
耀
【分析】
（1）在图1 中，过ܥ作ܥܯ٣ ܣܤ于ܯ，由cosסܣܤܥൌ
͵
Ͷ，可得ܥ㌠ൌ
͵
Ͷ ܤܥ，ܥܯൌ
͵
Ͷ ܣܥ，故ܥ㌠ڄ ܥܯൌ
͵
Ͷ ܤܥڄ
͵
Ͷ ܣܥൌ
耀
ൌ͸ ܤܥڄ ܣܥ，而ᇞܣܤܥ的面积为16，即可得纸片Ⅲ的面积为
ൌ
ʹ ܥ㌠ڄ ܤ㌠ൌ
ൌ
ʹ ܥ㌠ڄ ܥܯൌ耀；
（2）标识字母如图，设ܰ
㌠ൌൌ耀㌳，证明ᇞܤܨܰ، ᇞܥܤhሺASAሻ，可得ܤܰ
ൌܥh ൌ͵Ͷ㌳，由ᇞܤܥ㌠׾ᇞhܤ㌠，
有ܥ㌠ڄ h㌠ൌܤ㌠ʹ，即ܥ㌠ڄ ሺ͵Ͷ㌳െܥ㌠ሻൌሺൌൌ㌳ሻʹ，可得ܥ㌠ൌ耀㌳或ܥ㌠ൌʹൌ㌳，而ܤܭൌܥ㌠，ܣܭൌh㌠，即
可得到答案．
【详解】（1）在图1 中，过ܥ作ܥܯ٣ ܣܤ于ܯ，如图：
׶ ܥ㌠צܣܤ，
׵ סܣܤܥൌסܤܥ㌠，
׶ cosסܣܤܥൌ
͵
Ͷ，
׵ cosסܤܥ㌠ൌ
͵
Ͷ，即
ܥ㌠
ܤܥൌ
͵
Ͷ，
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׵ ܥ㌠ൌ
͵
Ͷ ܤܥ，
׶ סܣܥܯൌ耀Ͳι െסܤܥܯൌסܣܤܥ，
׵ cosסܣܥܯൌcosסܣܤܥൌ
͵
Ͷ，即
ܥܯ
ܣܥൌ
͵
Ͷ，
׵ ܥܯൌ
͵
Ͷ ܣܥ，
׵ ܥ㌠ڄ ܥܯൌ
͵
Ͷ ܤܥڄ
͵
Ͷ ܣܥൌ
耀
ൌ͸ ܤܥڄ ܣܥ，
׶ᇞܣܤܥ的面积为16，
׵
ൌ
ʹ ܤܥڄ ܣܥൌൌ͸，
׵ ܤܥڄ ܣܥൌ͵ʹ，
׵ ܥ㌠ڄ ܥܯൌൌͺ，
׵纸片Ⅲ的面积为
ൌ
ʹ ܥ㌠ڄ ܤ㌠ൌ
ൌ
ʹ ܥ㌠ڄ ܥܯൌ耀；
故答案为：9；
（2）如图：
׶ܲܳܤܳൌ
ൌ耀
ൌൌ，
׵ܰ
㌠
ܤ㌠ൌ
ൌ耀
ൌൌ，
设ܰ
㌠ൌൌ耀㌳，则ܤ㌠ൌൌൌ㌳，ܤܰ
ൌ͵Ͷ㌳，
׶ סܨܤܰ
ൌ耀Ͳι െסܥܤܰ
ൌסܤܥh，ܤܨൌܤܥ，סܤܨܰ
ൌסܥܤh ൌ耀Ͳι，
׵ᇞܤܨܰ، ᇞܥܤhሺASAሻ，
׵ ܤܰ
ൌܥh ൌ͵Ͷ㌳，
׶ סܤܥ㌠ൌסhܤ㌠，סܤ㌠ܥൌסh㌠ܤൌ耀Ͳι，
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׵ᇞܤܥ㌠׾ᇞhܤ㌠，
׵
ܤ㌠
h㌠ൌ
ܥ㌠
ܤ㌠，
׵ ܥ㌠ڄ h㌠ൌܤ㌠ʹ，
׵ ܥ㌠ڄ ሺ͵Ͷ㌳െܥ㌠ሻൌሺൌൌ㌳ሻʹ，
解得ܥ㌠ൌ耀㌳或ܥ㌠ൌʹൌ㌳，
当ܥ㌠ൌ耀㌳时，h㌠ൌʹൌ㌳，这情况不符合题意，舍去；
当ܥ㌠ൌʹൌ㌳时，h㌠ൌ耀㌳，
而ܤܭൌܥ㌠，ܣܭൌh㌠，
׵
ܤܭ
ܣܭൌ
ʹൌ
耀．
故答案为：
ʹൌ
耀．
8．（2023·浙江金华·中考真题）如图，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܣܥܤൌ耀Ͳι，以其三边为边在ܣܤ的同侧作三个正
方形，点ܨ在ܩܪ上，ܥܩ与ܧܨ交于点ܲ
，ܥܯ与ܤܧ交于点ܳ
．若ܪܨൌܨܩ，则ܵ
四边形ܲ
ܥܳܧܵ
正方形ܣܤܧܨ
的值是（
）
A．
ൌ
Ͷ
B．
ൌ
ൌ
C．
͵
ൌʹ
D．
͸
ʹൌ
【答案】B
【分析】设ܪܨൌܨܩൌܽ
，正方形ܣܥܩܪ的边长为ʹܽ，证明tanסܪܣܨൌtanסܩܨܲ，先后求得ܩܲ
ൌ
ൌ
ʹܽ，ܲ
ܥൌ
͵
ʹܽ，ܤܥൌܽ
，利用三角形面积公式求得ܵᇞܤܥܳ
ൌ
ൌ
Ͷܽ
ʹ，证明Rt ᇞܤܳܥ׾ Rt ᇞܤܲܧ，求得ܵᇞܤܧܲൌ
ൌ
Ͷܽ
ʹ，ܵ
四边形ܥܳܧܲൌܽ
ʹ，据此求解即可．
【详解】解：∵四边形ܣܥܩܪ是正方形，且ܪܨൌܨܩ，
设ܪܨൌܨܩൌܽ
，则ܣܥൌܥܩൌܩܪൌܣܪൌʹܽ，
∵四边形ܣܤܧܨ是正方形，
∴סܣܨܲ
ൌ耀Ͳι，
∴סܪܣܨൌ耀Ͳι െסܪܨܣൌסܩܨܲ，
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∴tanסܪܣܨൌtanסܩܨܲ，即
ܪܨ
ܪܣൌ
ܩܲ
ܨܩൌ
ൌ
ʹ，
∴ܩܲ
ൌ
ൌ
ʹܽ，
∴ܲܥൌʹܽ
െ
ൌ
ʹܽ
ൌ
͵
ʹܽ，
同理tanסܪܣܨൌtanסܥܣܤ，即
ܪܨ
ܪܣൌ
ܤܥ
ܣܥൌ
ൌ
ʹ，
∴ܤܥൌܽ
，
同理ܥܳ
ൌ
ൌ
ʹܽ，
∴ܲܤൌ
ൌ
ʹܽ，
ܤܳ
ʹ ൌܽ
ʹ 㘮
ൌ
ʹܽ
ʹ
ൌ
ൌ
Ͷܽ
ʹ，ܵᇞܤܥܳ
ൌ
ൌ
ʹ ൈܽ
ൈ
ൌ
ʹܽ
ൌ
ൌ
Ͷܽ
ʹ，
∵Rt ᇞܤܳܥ׾ Rt ᇞܤܲܧ，
∴ܵ
ᇞܤܥܳܵ
ᇞܤܧܲൌ
ܤܳ
ܤܲ
ʹ
ൌ
ൌ
Ͷܽ
ʹ
ʹൌ
Ͷܽ
ʹ ൌ
ൌ
ൌ，
∴ܵᇞܤܧܲൌൌܵᇞܤܥܳ
ൌ
ൌ
Ͷܽ
ʹ，
∴ܵ四边形ܥܳܧܲൌܵ
ᇞܤܧܲെܵ
ᇞܤܥܳ
ൌܽ
ʹ，
∵ܵ正方形ܣܤܧܨൌܣܤʹ ൌܣܥʹ 㘮ܤܥʹ ൌʹܽ
ʹ 㘮ܽ
ʹ ൌൌܽ
ʹ，
∴ܵ
四边形ܲ
ܥܳܧܵ
正方形ܣܤܧܨ
ൌܽ
ʹ
ൌܽʹ ൌ
ൌ
ൌ，
故选：B．
9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3 节课后，发现学习内容是
一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线处应填：
__________
【答案】ʹ
【分析】根据题意得出ܽ
ൌ
ʹܾ쳌㐹ൌ
ʹ
ʹܾ
，进而即可求解．
【详解】解：∵ܾܽൌܾ㐹ൌ
ʹ
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∴ܽ
ൌ
ʹܾ쳌㐹ൌ
ʹ
ʹܾ
∴ܽ㐹ൌ
ʹܾ
ʹ
ʹܾ
ൌʹ，
故答案为：ʹ．
10．（2022·浙江温州·中考真题）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M
在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片ܱ
ܣ쳌ܱܤ，此时各叶片影子在点M 右侧成线
段ܥ쳌，测得ܯܥൌͺൌm쳌ܥ쳌ൌൌ͵m，垂直于地面的木棒ܧܨ与影子ܨܩ的比为2∶3，则点O，M 之间的距
离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．
【答案】
10
ൌͲ 㘮
ൌ͵
【分析】过点O 作AC、BD 的平行线，交CD 于H，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J，过点B 作BI⊥OJ，
垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，求出CH 的长度，根据
ܧܨ
ܨܩൌܱ
ܯ
ܯܪൌ
ʹ
͵，求出OM 的长度，证明ᇞܤ䳌ܱ
׾ᇞܬ䳌ܤ，
得出ܤ䳌ൌ
ʹ
͵ 䳌ܬ，ܱ䳌ൌ
Ͷ
耀䳌ܬ，求出IJ、BI、OI 的长度，用勾股定理求出OB 的长，即可算出所求长度．
【详解】如图，过点O 作AC、BD 的平行线，交CD 于H，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J，过点B
作BI⊥OJ，垂足为I，延长MO，使得OK＝OB，
由题意可知，点O 是AB 的中点，
∵ܱܪצ ܣܥצ ܤ쳌，
∴点H 是CD 的中点，
∵ܥ쳌ൌൌ͵m，
∴ܥܪൌܪ쳌ൌ
ൌ
ʹ ܥ쳌ൌ͸ൌm，
∴ܯܪൌܯܥ㘮ܥܪൌͺൌ㘮͸ൌൌൌൌm，
又∵由题意可知：
ܧܨ
ܨܩൌܱ
ܯ
ܯܪൌ
ʹ
͵，
∴ܱ
ܯ
ൌൌൌ
ʹ
͵，解得ܱ
ܯൌൌͲm，
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∴点O、M 之间的距离等于ൌͲm，
∵BI⊥OJ，
∴סܤ䳌ܱ
ൌסܤ䳌ܬൌ耀Ͳι，
∵由题意可知：סܱܤܬൌסܱܤ䳌㘮סܬܤ䳌ൌ耀Ͳι，
又∵סܤܱ䳌㘮סܱܤ䳌ൌ耀Ͳι，
∴סܤܱ䳌ൌסܬܤ䳌，
∴ᇞܤ䳌ܱ
׾ᇞܬ䳌ܤ，
∴
ܤ䳌
䳌ܬൌܱ
䳌
ܤ䳌ൌ
ʹ
͵，
∴ܤ䳌ൌ
ʹ
͵ 䳌ܬ，ܱ䳌ൌ
Ͷ
耀䳌ܬ，
∵ܱܬצ ܥ쳌쳌ܱܪצ 쳌ܬ，
∴四边形OHDJ 是平行四边形，
∴ܱܬൌܪ쳌ൌ͸ൌm，
∵ܱܬൌܱ
䳌㘮䳌ܬൌ
Ͷ
耀䳌ܬ㘮䳌ܬൌ͸ൌm，
∴䳌ܬൌͶൌm，ܤ䳌ൌ͵m，ܱ䳌ൌʹm，
∵在ܴ
㌳ᇞܱ
ܤ䳌中，由勾股定理得：ܱܤʹ ൌܱ
䳌ʹ 㘮ܤ䳌ʹ，
∴ܱܤൌܱ
䳌ʹ 㘮ܤ䳌ʹ ൌ
ʹʹ 㘮͵ʹ ൌ
ൌ͵m，
∴ܱܤൌܱ
ܭൌ
ൌ͵m，
∴ܯܭൌܯܱ
㘮ܱ
ܭൌൌͲ 㘮
ൌ͵ m，
∴叶片外端离地面的最大高度等于ൌͲ 㘮
ൌ͵ m，
故答案为：10，ൌͲ 㘮
ൌ͵．
11．（2022·浙江杭州·中考真题）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE
直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．已
知B，C，E，F 在同一直线上，AB⊥BC，DE⊥EF，DE=2.47m，则AB=_________m．
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【答案】9.88
【分析】根据平行投影得AC∥DE，可得∠ACB=∠DFE，证明RtᇞABC∽△RtᇞDEF，然后利用相似三
角形的性质即可求解．
【详解】解：∵同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC=8.72m，EF=2.18m．
∴AC∥DF，
∴∠ACB=∠DFE，
∵AB⊥BC，DE⊥EF，
∴∠ABC=∠DEF=90°，
∴RtᇞABC∽RtᇞDEF，
∴
ܣܤ
쳌ܧൌ
ܤܥ
ܧܨ，即
ܣܤ
ʹͶ͹ ൌ
ͺ͹ʹ
ʹൌͺ，
解得AB=9.88，
∴旗杆的高度为9.88m．故答案为：9.88．
12．（2022·浙江丽水·中考真题）一副三角板按图1 放置，O 是边ܤܥሺ쳌ܨሻ的中点，ܤܥൌൌʹcm．如图2，
将ᇞܣܤܥ绕点O 顺时针旋转͸Ͳι，ܣܥ与ܧܨ相交于点G，则ܨܩ的长是___________cm．
【答案】͵ ͵ െ͵
【分析】BC 交EF 于点N，由题意得，סܧ쳌ܨൌסܤܣܥൌ耀Ͳι，ס쳌ܧܨൌ͸Ͳι，ס쳌ܨܧൌ͵Ͳι，סܣܤܥൌ
סܣܥܤൌͶൌι，BC=DF=12，根据锐角三角函数即可得DE，FE，根据旋转的性质得ᇞܱܰ
ܨ是直角三角形，根
据直角三角形的性质得ܱܰ
ൌ͵，即ܰ
ܥൌ͵，根据角之间的关系得ᇞܥܰܩ是等腰直角三角形，即ܰ
ܩൌܰ
ܥൌ͵cm，根据סܨܱܰ
ൌסܨ쳌ܧൌ耀Ͳι，סܰܨܱ
ൌס쳌ܨܧൌ͵Ͳι得ᇞܨܱܰ
׾ᇞܨܧ쳌，即ܱܰ쳌ܧൌ
ܨܰ
쳌ܨ，解得
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ܨܰ
ൌ͵ ͵，即可得．
【详解】解：如图所示，BC 交EF 于点N，
由题意得，סܧ쳌ܨൌסܤܣܥൌ耀Ͳι，ס쳌ܧܨൌ͸Ͳι，ס쳌ܨܧൌ͵Ͳι，סܣܤܥൌסܣܥܤൌͶൌι，BC=DF=12，
在ܴ
㌳ᇞܧ쳌ܨ中，쳌ܧൌ
쳌ܨ
tanסܧ쳌ܨൌ
ൌʹ
tan͸Ͳι ൌͶ ͵，
ܧܨൌ
쳌ܨ
sinסܧ쳌ܨൌ
ൌʹ
sin͸Ͳι ൌͺ ͵，
∵△ABC 绕点O 顺时针旋转60°，
∴סܤܱ쳌ൌסܱܰ
ܨൌ͸Ͳι，
∴סܱܰ
ܨ㘮סܨൌ耀Ͳι，
∴סܨܱܰ
ൌൌͺͲι െסܱܰ
ܨെסܨൌ耀Ͳι，
∴ᇞܱܰ
ܨ是直角三角形，
∴ܱܰ
ൌ
ൌ
ʹܱ
ܨൌ͵（cm），
∴ܰܥൌܱ
ܥെܱܰ
ൌ͵（cm），
∵סܨܱܰ
ൌ耀Ͳι，
∴סܩܰܥൌൌͺͲι െסܨܱܰ
ൌ耀Ͳι，
∴ᇞܰ
ܩܥ是直角三角形，
∴סܰܩܥൌൌͺͲ െסܩܰܥെסܣܥܤൌͶൌι，
∴ᇞܥܰܩ是等腰直角三角形，
∴ܰܩൌܰ
ܥൌ͵cm，
∵סܨܱܰ
ൌסܨ쳌ܧൌ耀Ͳι，סܰܨܱ
ൌס쳌ܨܧൌ͵Ͳι，
∴ᇞܨܱܰ
׾ᇞܨܧ쳌，
即ܱܰ쳌ܧൌ
ܨܰ
쳌ܨ，
͵
Ͷ ͵ ൌ
ܨܰ
ൌʹ，
ܨܰ
ൌ͵ ͵，
∴ܨܩൌܨܰ
െܰ
ܩൌ͵ ͵ െ͵（cm），
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故答案为：͵ ͵ െ͵ ．
13．（2022·浙江绍兴·中考真题）将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩
下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四
边形纸片ܣܤܥ쳌，其中סܣൌ耀Ͳι，ܣܤൌ耀，ܤܥൌ͹，ܥ쳌ൌ͸，ܣ쳌ൌʹ，则剪掉的两个直角三角形的斜边长
不可能
．．．是（
）
A．
ʹൌ
ʹ
B．
Ͷൌ
Ͷ
C．10
D．
͵ൌ
Ͷ
【答案】A
【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两
个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．
【详解】解：当△DFE∽△ECB 时，如图，
∴
쳌ܨ
ܧܥൌ
ܨܧ
ܥܤൌ
쳌ܧ
ܧܤ，
设DF=x，CE=y，
∴
ݔ
ݕൌ
耀
͹ ൌ
͸㘮ݕ
ʹ㘮ݔ，解得：
ݔൌ
ʹ͹
Ͷ
ݕൌ
ʹൌ
Ͷ
，
∴쳌ܧൌܥ쳌㘮ܥܧൌ͸ 㘮
ʹൌ
Ͷ ൌ
Ͷൌ
Ͷ ，故B 选项不符合题意；
∴ܧܤൌ쳌ܨ㘮ܣ쳌ൌ
ʹ͹
Ͷ 㘮ʹ ൌ
͵ൌ
Ͷ ，故选项D 不符合题意；
如图，当△DCF∽△FEB 时，
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∴
쳌ܥ
ܨܧൌ
ܥܨ
ܧܤൌ
쳌ܨ
ܨܤ，
设FC=m，FD=n，
∴
͸
耀ൌ݉݊
㘮ʹ ൌ݊݉
㘮͹，解得：݉
ൌͺ݊
ൌൌͲ ，
∴FD=10，故选项C 不符合题意；
ܤܨൌܨܥ㘮ܤܥൌͺ 㘮͸ ൌൌͶ，故选项A 符合题意；
故选：A
14．（2022·浙江衢州·中考真题）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放
置成如图2 的位置，从矩的一端ܣ（人眼）望点ܧ，使视线通过点ܥ，记人站立的位置为点ܤ，量出ܤܩ长，
即可算得物高ܧܩ．令BG=x（m），EG=y（m），若a=30cm，b=60cm，AB=1.6m，则ݕ关于ݔ的函数表
达式为（
）
A．ݕൌ
ൌ
ʹ ݔ
B．ݕൌ
ൌ
ʹ ݔ㘮ൌ͸
C．ݕൌʹݔ㘮ൌ͸
D．ݕൌ
ൌͺͲͲ
ݔ
㘮ൌ͸
【答案】B
【分析】先根据矩形的判定与性质可得ܣܨൌܤܩൌݔm쳌ܨܩൌܣܤൌൌ͸m，从而可得ܧܨൌݕെൌ͸ m，
再根据相似三角形的判定证出ᇞܣܧܨ׽ᇞܣܥ쳌，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：由题意可知，四边形ܣܤܩܨ是矩形，
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׵ ܣܨൌܤܩൌݔm쳌ܨܩൌܣܤൌൌ͸m，
׶ ܧܩൌݕm，
׵ ܧܨൌܧܩെܨܩൌݕെൌ͸ m，
又׶ ܥ쳌٣ ܣܨ쳌ܧܨ٣ ܣܨ，
׵ ܥ쳌צ ܧܨ，
׵ᇞܣܧܨ׽ᇞܣܥ쳌，
׵
ܧܨ
ܥ쳌ൌ
ܣܨ
ܣ쳌，
׶ ܥ쳌ൌܽ
ൌ͵Ͳcm ൌͲ͵m쳌ܣ쳌ൌܾ
ൌ͸Ͳcm ൌͲ͸m，
׵
ݕെൌ͸
Ͳ͵ ൌ
ݔ
Ͳ͸，整理得：ݕൌ
ൌ
ʹ ݔ㘮ൌ͸，故选：B．
15．（2022·浙江金华·中考真题）如图是一张矩形纸片ܣܤܥ쳌，点E 为ܣ쳌中点，点F 在ܤܥ上，把该纸片
沿ܧܨ折叠，点A，B 的对应点分别为ܣԢ，ܤԢ，ܣԢܧ与ܤܥ相交于点G，ܤԢܣԢ的延长线过点C．若
ܤܨ
ܩܥൌ
ʹ
͵，则
ܣ쳌
ܣܤ
的值为（
）
A．ʹ ʹ
B．
Ͷ ൌͲ
ൌ
C．
ʹͲ
͹
D．
ͺ
͵
【答案】A
【分析】令BF=2x，CG=3x，FG=y，易证ᇞܥܩܣԢ ׾ᇞܥܨܤԢ，得出
ܥܩ
ܥܨൌ
ܣԢܩ
ܤԢܨ，进而得出y=3x，则AE=4x，
AD=8x，过点E 作EH⊥BC 于点H，根据勾股定理得出EH=ʹ ʹx，最后求出
ܣ쳌
ܣܤ的值．
【详解】解：过点E 作EH⊥BC 于点H，
又四边形ABCD 为矩形，
∴∠A=∠B=∠D=∠BCD=90°，AD=BC，
∴四边形ABHE 和四边形CDEH 为矩形，
∴AB=EH，ED=CH，
∵
ܤܨ
ܩܥൌ
ʹ
͵，
∴令BF=2x，CG=3x，FG=y，则CF=3x+y，ܤԢܨൌʹݔ，ܣԢܩൌ
ൌݔെݕ
ʹ ，
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由题意，得סܥܣԢܩൌסܥܤԢܨൌ耀Ͳι，
又סܩܥܣԢ为公共角，
∴ᇞܥܩܣԢ ׾ᇞܥܨܤԢ，
∴
ܥܩ
ܥܨൌ
ܣԢܩ
ܤԢܨ，
则
͵ݔ
͵ݔ㘮ݕൌ
ൌݔെݕ
ʹ
ʹݔ，
整理，得ݔ㘮ݕ
͵ݔെݕൌͲ，
解得x=-y（舍去），y=3x，
∴AD=BC=5x+y=8x，EG=3x，HG=x，
在RtᇞEGH 中EH2+HG2=EG2，
则EH2+x2=(3x)2，
解得EH=ʹ ʹx，EH=-ʹ ʹx(舍)，
∴AB=ʹ ʹx，
∴
ܣ쳌
ܣܤൌ
ͺݔ
ʹ ʹݔൌʹ ʹ．
故选：A．
16．（2022·浙江衢州·中考真题）如图，在ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌܣܥ쳌סܤൌ͵͸ι．分别以点ܣ，ܥ为圆心，大于
ൌ
ʹ ܣܥ
的长为半径画弧，两弧相交于点쳌，ܧ，作直线쳌ܧ分别交ܣܥ，ܤܥ于点ܨ，ܩ．以ܩ为圆心，ܩܥ长为半径
画弧，交ܤܥ于点ܪ，连结ܣܩ쳌ܣܪ．则下列说法错误
．．的是（
）
A．ܣܩൌܥܩ
B．סܤൌʹסܪܣܤ
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C．ᇞܥܣܪ؆ᇞܤܣܩ
D．ܤܩʹ ൌܥܩڄ ܥܤ
【答案】C
【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A；先根据等腰三角形的性质可得סܥܣܩൌ
סܥൌ͵͸ι，从而可得סܣܩܤൌ͹ʹι，再根据等腰三角形的性质可得סܣܪܩൌסܩܣܪൌൌͶι，然后根据三角形的
外角性质可得סܪܣܤൌൌͺι，由此即可判断选项B；先假设ᇞܥܣܪ؆ᇞܤܣܩ可得סܥܣܪൌסܤܣܩ，再根据角的
和差可得סܥܣܪൌ耀Ͳι쳌סܤܣܩൌ͹ʹι，从而可得סܥܣܪ്
סܤܣܩ，由此即可判断选项C；先根据等腰三角形的
判定可得ܤܩൌܣܤൌܣܥ，再根据相似三角形的判定可得ᇞܣܤܥ׽ᇞܩܣܥ，然后根据相似三角形的性质可得
ܣܥʹ ൌܥܩڄ ܥܤ，最后根据等量代换即可判断选项D．
【详解】解：由题意可知，쳌ܧ垂直平分ܣܥ，ܥܩൌܪܩ，
׵ ܣܩൌܥܩ，则选项A 正确；
׶ ܣܤൌܣܥ쳌סܤൌ͵͸ι，
׵ סܥൌסܤൌ͵͸ι，
׶ ܣܩൌܥܩ，ܥܩൌܪܩ，
׵ סܥܣܩൌסܥൌ͵͸ι，ܣܩൌܪܩ，
׵ סܣܩܤൌסܥܣܩ㘮סܥൌ͹ʹι，סܣܪܩൌסܩܣܪൌ
ൌͺͲιെסܣܩܤ
ʹ
ൌൌͶι，
׵ סܪܣܤൌסܣܪܩെסܤൌൌͺι，
׵ סܤൌʹסܪܣܤ，则选项B 正确；
假设ᇞܥܣܪ؆ᇞܤܣܩ，
׵ סܥܣܪൌסܤܣܩ，
又׶ סܥܣܪൌסܥܣܩ㘮סܩܣܪൌ͵͸ι 㘮ൌͶι ൌ耀Ͳι，
סܤܣܩൌסܪܣܤ㘮סܩܣܪൌൌͺι 㘮ൌͶι ൌ͹ʹι，
׵ סܥܣܪ്
סܤܣܩ，与סܥܣܪൌסܤܣܩ矛盾，
则假设不成立，选项C 错误；
׶ סܤܣܩൌ͹ʹι ൌסܣܩܤ，ܣܤൌܣܥ，
׵ ܤܩൌܣܤൌܣܥ，
在ᇞܣܤܥ和ᇞܩܣܥ中，סܤൌסܥܣܩൌ͵͸ι
סܥൌסܥ
，
׵ᇞܣܤܥ׽ᇞܩܣܥ，
׵
ܣܥ
ܥܩൌ
ܥܤ
ܣܥ，即ܣܥʹ ൌܥܩڄ ܥܤ，
׵ ܤܩʹ ൌܥܩڄ ܥܤ，则选项D 正确；
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故选：C．
17．（2022·浙江舟山·中考真题）如图，在ܴ
㌳ᇞܣܤܥ和ܴ
㌳ᇞܤ쳌ܧ中，סܣܤܥൌסܤ쳌ܧൌ耀Ͳι，点A 在边쳌ܧ
的中点上，若ܣܤൌܤܥ，쳌ܤൌ쳌ܧൌʹ，连结ܥܧ，则ܥܧ的长为（
）
A．ൌͶ
B．ൌൌ
C．4
D．ൌ͹
【答案】D
【分析】过点E 作EF⊥BC，交CB 延长线于点F，过点A 作AG⊥BE 于点G，根据等腰直角三角形的
性质可得ܤܧൌʹ ʹ，∠BED=45°，进而得到ܣܤൌܤܥൌ
ൌ，ܧܩൌܣܩൌ
ʹ
ʹ ܣܧൌ
ʹ
ʹ ，ܤܩൌ
͵ ʹ
ʹ ，再证得
△BEF∽△ABG，可得ܤܨൌ
ʹ ൌ
ൌ쳌ܧܨൌ
͸ ൌ
ൌ，然后根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图，过点E 作EF⊥BC，交CB 延长线于点F，过点A 作AG⊥BE 于点G，
在ܴ
㌳ᇞܤ쳌ܧ中，∠BDE=90°，쳌ܤൌ쳌ܧൌʹ，
∴ܤܧൌ
ܤ쳌ʹ 㘮쳌ܧʹ ൌʹ ʹ，∠BED=45°，
∵点A 在边쳌ܧ的中点上，
∴AD=AE=1，
∴ܣܤൌ
ܣ쳌ʹ 㘮ܤ쳌ʹ ൌ
ൌ，
∴ܣܤൌܤܥൌ
ൌ，
∵∠BED=45°，
∴△AEG 是等腰直角三角形，
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∴ܧܩൌܣܩൌ
ʹ
ʹ ܣܧൌ
ʹ
ʹ ，
∴ܤܩൌ
͵ ʹ
ʹ ，
∵∠ABC=∠F=90°，
∴EF∥AB，
∴∠BEF=∠ABG，
∴△BEF∽△ABG，
∴
ܤܧ
ܣܤൌ
ܤܨ
ܣܩൌ
ܧܨ
ܤܩ，即
ʹ ʹ
ൌൌ
ܤܨ
ʹ
ʹ
ൌ
ܧܨ
͵ ʹ
ʹ
，
解得：ܤܨൌ
ʹ ൌ
ൌ쳌ܧܨൌ
͸ ൌ
ൌ，
∴ܥܨൌ
͹ ൌ
ൌ，
∴ܥܧൌ
ܧܨʹ 㘮ܥܨʹ ൌ
ൌ͹．
故选：D
18．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上
的三个点A，B，C 都在横线上．若线段ܣܤൌ͵，则线段ܤܥ的长是（
）
A．
ʹ
͵
B．1
C．
͵
ʹ
D．2
【答案】C
【分析】过点ܣ作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于쳌、ܧ，根据题意得ܣ쳌ൌʹ쳌ܧ，
然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．
【详解】解：过点ܣ作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于쳌、ܧ，
根据题意得ܣ쳌ൌʹ쳌ܧ，
∵ܤ쳌צܥܧ，
∴
ܣܤ
ܤܥൌ
ܣ쳌
쳌ܧൌʹ，
又∵ܣܤൌ͵，
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∴ܤܥൌ
ൌ
ʹ ܣܤൌ
͵
ʹ
故选：C
19．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ᇞABC 中，点D，E，F 分别在边AB，AC，BC 上，连接DE，
EF，已知四边形BFED 是平行四边形，
쳌ܧ
ܤܥൌ
ൌ
Ͷ．
(1)若ܣܤൌͺ，求线段AD 的长．
(2)若ᇞܣ쳌ܧ的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．
【答案】(1)2
(2)6
【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ᇞܣ쳌ܧ׾ ᇞܣܤܥ，得到
쳌ܧ
ܤܥൌ
ܣ쳌
ܣܤ即可求出；
（2）利用平行条件证明ᇞܣ쳌ܧ׾ ᇞܧܨܥ，分别求出ᇞܣ쳌ܧ与ᇞܧܨܥ、ᇞܣ쳌ܧ与ᇞܣܤܥ的相似比，通过
相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出ܵᇞܧܨܥ、ܵᇞܣܤܥ，最后通过ܵ
ܤܨܧ쳌ൌܵ
ᇞܣܤܥെܵ
ᇞܧܨܥെܵ
ᇞܣ쳌ܧ
求出．
【详解】（1）∵四边形BFED 是平行四边形，
∴쳌ܧצܤܥ，
∴ᇞܣ쳌ܧ׾ ᇞܣܤܥ，
∴
쳌ܧ
ܤܥൌ
ܣ쳌
ܣܤ，
∵
쳌ܧ
ܤܥൌ
ൌ
Ͷ，
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∴
ܣ쳌
ܣܤൌ
ൌ
Ͷ，
∴ܣ쳌ൌ
ൌ
Ͷ ܣܤൌ
ൌ
Ͷ ൈͺ ൌʹ；
（2）∵四边形BFED 是平行四边形，
∴쳌ܧצܤܥ，ܧܨצܣܤ，DE=BF，
∴סܣܧ쳌ൌסܧܥܨ쳌סܧܣ쳌ൌסܥܧܨ，
∴ᇞܣ쳌ܧ׾ ᇞܧܨܥ
∴ܵ
ᇞܣ쳌ܧܵ
ᇞܧܨܥൌ
쳌ܧ
ܨܥ
ʹ
，
∵
쳌ܧ
ܤܥൌ
ൌ
Ͷ，DE=BF，
∴ܨܥൌܤܥെ쳌ܧൌͶ쳌ܧെ쳌ܧൌ͵쳌ܧ，
∴
쳌ܧ
ܨܥൌ
쳌ܧ
͵쳌ܧൌ
ൌ
͵，
∴ܵᇞܣ쳌ܧܵ
ᇞܧܨܥൌ
쳌ܧ
ܨܥ
ʹ
ൌ
ൌ
͵
ʹ
ൌ
ൌ
耀，
∵ᇞܣ쳌ܧ׾ ᇞܣܤܥ，
쳌ܧ
ܤܥൌ
ൌ
Ͷ，
∴ܵᇞܣ쳌ܧܵ
ᇞܣܤܥൌ
쳌ܧ
ܤܥ
ʹ
ൌ
ൌ
Ͷ
ʹ
ൌ
ൌ
ൌ͸，
∵ܵᇞܣ쳌ܧൌൌ，
∴ܵᇞܧܨܥൌ耀쳌ܵᇞܣܤܥൌൌ͸，
∴ܵ
ܤܨܧ쳌ൌܵ
ᇞܣܤܥെܵ
ᇞܧܨܥെܵ
ᇞܣ쳌ܧൌൌ͸ െ耀െൌൌ͸．
20．（2022·浙江宁波·中考真题）
(1)如图1，在ᇞܣܤܥ中，D，E，F 分别为ܣܤ쳌ܣܥ쳌ܤܥ上的点，쳌ܧצܤܥ쳌ܤܨൌܥܨ쳌ܣܨ交쳌ܧ于点G，求证：쳌ܩൌܧܩ．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接ܥ쳌쳌ܥܩ．若ܥܩ٣ 쳌ܧ쳌ܥ쳌ൌ͸쳌ܣܧൌ͵，求
쳌ܧ
ܤܥ的值．
(3)如图3，在
ܣܤܥ쳌中，סܣ쳌ܥൌͶൌι쳌ܣܥ与ܤ쳌交于点O，E 为ܣܱ
上一点，ܧܩצܤ쳌交ܣ쳌于点G，ܧܨ٣ ܧܩ
交ܤܥ于点F．若סܧܩܨൌͶͲι쳌ܨܩ平分סܧܨܥ쳌ܨܩൌൌͲ，求ܤܨ的长．
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【答案】(1)
证明：∵쳌ܧצ ܤܥ，
∴ᇞܣ쳌ܩ׽ᇞܣܤܨ쳌ᇞܣܧܩ׽ᇞܣܥܨ，
∴
쳌ܩ
ܤܨൌ
ܣܩ
ܣܨ쳌
ܧܩ
ܥܨൌ
ܣܩ
ܣܨ，
∴
쳌ܩ
ܤܨൌ
ܧܩ
ܥܨ．
∵ܤܨൌܥܨ，
∴쳌ܩൌܧܩ．
(2)
ൌ
͵
(3)ൌ㘮ൌ͵
【分析】（1）利用쳌ܧצܤܥ，证明ᇞܣ쳌ܩ׽ᇞܣܤܨ쳌ᇞܣܧܩ׽ᇞܣܥܨ，利用相似比即可证明此问；
（2）由（1）得쳌ܩൌܧܩ，ܥܩ٣ 쳌ܧ，得出ᇞ쳌ܥܧ是等腰三角形，利用三角形相似即可求出
쳌ܧ
ܤܥ的值；
（3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长ܩܧ交ܣܤ于点M，连接ܨܯ，作ܯܰ
٣ ܤܥ，垂足为N．构
造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出ܤܰ、ܨܰ
的值，即可得出ܤܨ的长．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得쳌ܩൌܧܩ，
∵ܥܩ٣ 쳌ܧ，
∴ܥܧൌܥ쳌ൌ͸．
∵ܣܧൌ͵，
∴ܣܥൌܣܧ㘮ܥܧൌ耀．
∵쳌ܧצ ܤܥ，
∴ᇞܣ쳌ܧ׽ᇞܣܤܥ．
∴
쳌ܧ
ܤܥൌ
ܣܧ
ܣܥൌ
ൌ
͵．
（3）解：如图，延长ܩܧ交ܣܤ于点M，连接ܨܯ，作ܯܰ
٣ ܤܥ，垂足为N．
在
ܣܤܥ쳌中，ܤܱ
ൌ쳌ܱ쳌סܣܤܥൌסܣ쳌ܥൌͶൌι．
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∵ܧܩצ ܤ쳌，
∴由（1）得ܯܧൌܩܧ，
∵ܧܨ٣ ܧܩ，
∴ܨܯൌܨܩൌൌͲ，
∴סܧܨܯൌסܧܨܩ．
∵סܧܩܨൌͶͲι，
∴סܧܯܨൌͶͲι，
∴סܧܨܩൌൌͲι．
∵ܨܩ平分סܧܨܥ，
∴סܧܨܩൌסܥܨܩൌൌͲι，
∴סܤܨܯൌൌͺͲι െסܧܨܯെסܧܨܩെסܥܨܩൌ͵Ͳι．
∴．在ܴ
㌳ᇞܨܯܰ
中，ܯܰ
ൌܨܯsin͵Ͳι ൌൌ쳌ܨܰ
ൌܨܯcos͵Ͳι ൌൌ͵．
∵סܯܤܰ
ൌͶൌι쳌ܯܰ
٣ ܤܰ，
∴ܤܰ
ൌܯܰ
ൌൌ，
∴ܤܨൌܤܰ
㘮ܨܰ
ൌൌ㘮ൌ͵．
考点02
锐角三角函数与解直角三角形
1．（2026·浙江·中考真题）如图，一辆高ܣܤ为0.54 米的智能摇杆车驶入夹角为ൌൌι的裂缝进行采样，
则智能车无法采样的距离ܤܥ为___________．（注：sinൌൌι ൎͲʹ͸，cosൌൌι ൎͲ耀͹，tanൌൌι ൎͲʹ͹）
【答案】ʹ 米
【分析】利用正切函数定义即可解答．
【详解】解：由题意可知，ᇞܣܤܥ为直角三角形，且סܣܤܥൌ耀Ͳι，סܥൌൌൌι，ܣܤൌͲൌͶ 米，
׵在Rt ᇞܣܤܥ中，tanܥൌ
ܣܤ
ܤܥ，
׵ ܤܥൌ
ܣܤ
tanܥൌ
ͲൌͶ
tanൌൌι ൎ
ͲൌͶ
Ͳʹ͹ ൌʹ（米），
即智能车无法采样的距离ܤܥ为2 米．
2．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实
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践方向．如图，在高速公路上，交警在A 处操控无人机巡查，无人机从点A 处飞行到点P 处悬停，探测到
它的正下方公路上点B 处有汽车发生故障．测得A 处到P 处的距离为ൌͲͲm，从点A 观测点P 的仰角为
ߙ쳌cosߙൌͲ耀ͺ，则A 处到B 处的距离为________m．
【答案】Ͷ耀Ͳ
【分析】利用仰角的余弦解答即可．
本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得ܣܤൌܣܲcosߙൌൌͲͲ ൈͲ耀ͺൌͶ耀Ͳm，
故答案为：Ͷ耀Ͳ．
3．
（2024·浙江·中考真题）如图，在ᇞܣܤܥ中，ܣ쳌٣ ܤܥ，ܣܧ是ܤܥ边上的中线，ܣܤൌൌͲ쳌ܣ쳌ൌ͸쳌tanסܣܥܤൌൌ．
(1)求ܤܥ的长；
(2)求sinס쳌ܣܧ的值．
【答案】(1)14
(2)
͵͹
͵͹
【分析】本题考查了三角形的高、中线的定义，勾股定理，解直角三角形，分别解Rt ᇞܣ쳌ܥ与Rt ᇞܣ쳌ܤ，
得出쳌ܥൌ͸，쳌ܤൌͺ 是解题的关键．
（1）先由三角形的高的定义得出סܣ쳌ܤൌסܣ쳌ܥൌ耀Ͳι，再利用tanסܣܥܤൌൌ得出쳌ܥൌ͸；在Rt ᇞܣ쳌ܤ，
根据勾股定理求出쳌ܤൌͺ，然后根据ܤܥൌܤ쳌㘮쳌ܥ即可求解．
（2）先由三角形的中线的定义求出ܤܧ的值，则쳌ܧൌܤ쳌െܤܧ，然后在Rt ᇞܣ쳌ܧ中根据正弦函数的
定义即可求解．
【详解】（1）解：在Rt ᇞܣܤ쳌中，ܣܤൌൌͲ쳌ܣ쳌ൌ͸，
∴ܤ쳌ൌ
ܣܤʹ െܣ쳌ʹ ൌ
ൌͲʹ െ͸ʹ ൌͺ，
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在Rt ᇞܣ쳌ܥ中，tanסܣܥܤൌ
ܣ쳌
쳌ܥൌൌ，
∴쳌ܥൌ͸，
∴ܤܥൌܤ쳌㘮쳌ܥൌͺ 㘮͸ ൌൌͶ；
（2）∵ܣܧ是ܤܥ边上的中线，
∴ܤܧൌ
ൌ
ʹ ܤܥൌ͹，
∴쳌ܧൌܤ쳌െܤܧൌͺ െ͹ ൌൌ，
∴ܣܧൌ
ܣ쳌ʹ 㘮쳌ܧʹ ൌ
͸ʹ 㘮ൌʹ ൌ
͵͹，
∴sinס쳌ܣܧൌ
쳌ܧ
ܣܧൌ
ൌ
͵͹ ൌ
͵͹
͵͹ ．
4．（2023·浙江杭州·中考真题）第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是1700 多年前中国古代数
学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（ᇞ쳌ܣܧ쳌ᇞܣܤܨ쳌ᇞܤܥܩ쳌ᇞܥ쳌ܪ）和中间一个小正
方形ܧܨܩܪ拼成的大正方形ܣܤܥ쳌中，סܣܤܨ㠮סܤܣܨ，连接ܤܧ．设סܤܣܨൌߙ쳌סܤܧܨൌߚ，若正方形ܧܨܩܪ
与正方形ܣܤܥ쳌的面积之比为ൌǣ݊쳌tanߙൌtanʹߚ，则݊
ൌ（
）
A．5
B．4
C．3
D．2
【答案】C
【分析】设ܤܨൌܣܧൌܽ
，ܧܨൌܾ
，首先根据tanߙൌtanʹߚ得到ʹܽʹ 㘮ʹܾܽ
ൌʹܾʹ，然后表示出正方形
ܣܤܥ쳌的面积为ܣܤʹ ൌ͵ܾʹ，正方形ܧܨܩܪ的面积为ܧܨʹ ൌܾ
ʹ，最后利用正方形ܧܨܩܪ与正方形ܣܤܥ쳌的
面积之比为ൌǣ݊
求解即可．
【详解】设ܤܨൌܣܧൌܽ
，ܧܨൌܾ
，
∵tanߙൌtanʹߚ，סܣܨܤൌ耀Ͳι，
∴
ܤܨ
ܣܨൌ
ܤܨ
ܧܨ
ʹ
，即ܽܽ㘮ܾൌܾܽ
ʹ
，
∴ܽܽ㘮ܾൌܽ
ʹܾ
ʹ，整理得ܽʹ 㘮ܾܽ
ൌܾ
ʹ，
∴ʹܽʹ 㘮ʹܾܽ
ൌʹܾʹ，
∵סܣܨܤൌ耀Ͳι，
∴ܣܤʹ ൌܣܨʹ 㘮ܤܨʹ ൌܽ
㘮ܾ
ʹ 㘮ܽ
ʹ ൌʹܽ
ʹ 㘮ʹܾܽ
㘮ܾ
ʹ ൌ͵ܾʹ，
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∴正方形ܣܤܥ쳌的面积为ܣܤʹ ൌ͵ܾʹ，
∵正方形ܧܨܩܪ的面积为ܧܨʹ ൌܾ
ʹ，
∵正方形ܧܨܩܪ与正方形ܣܤܥ쳌的面积之比为ൌǣ݊，
∴ܾ
ʹ
͵ܾʹ ൌ
ൌ݊，
∴解得݊
ൌ͵．
故选：C．
5．（2023·浙江衢州·中考真题）如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆ܤܥൌ
ʹܽ，
ܣܤൌܾ
，ܣܤ的最大仰角为ߙ.当סܥൌͶൌι时，则点ܣ到桌面的最大高度是（
）
A．ܽ㘮ܾcosܽ
B．ܽ㘮ܾsinߙ
C．ܽ㘮ܾcosܽ
D．ܽ㘮ܾsinߙ
【答案】D
【分析】过点ܣ作ܣܨ٣ ܤܧ于ܨ，过点ܤ作ܤܩ٣ ܥ쳌于ܩ，利用解直角三角形可得ܣܨൌܾ
sinߙ，ܤܩൌܽ
，
根据点ܣ到桌面的最大高度ൌܤܩ㘮ܣܨ，即可求得答案．
【详解】如图，过点ܣ作ܣܨ٣ ܤܧ于ܨ，过点ܤ作ܤܩ٣ ܥ쳌于ܩ，
在Rt ᇞܣܤܨ中，ܣܨൌܣܤڄ sinߙൌܾ
sinߙ，
在Rt ᇞܤܥܩ中，ܤܩൌܤܥڄ sinͶൌι ൌ
ʹܽൈ
ʹ
ʹ ൌܽ
，
׵点ܣ到桌面的最大高度ൌܤܩ㘮ܣܨൌܽ
㘮ܾsinߙ，故选：D．
6．（2023·浙江温州·中考真题）图1 是第七届国际数学教育大会（ICME）的会徽，图2 由其主体图案
中相邻两个直角三角形组合而成．作菱形ܥ쳌ܧܨ，使点D，E，F 分别在边ܱ
ܥ，ܱܤ，ܤܥ上，过点E 作ܧܪ٣ ܣܤ
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于点H．当ܣܤൌܤܥ，סܤܱܥൌ͵Ͳι，쳌ܧൌʹ 时，ܧܪ的长为（
）
A．͵
B．
͵
ʹ
C．ʹ
D．
Ͷ
͵
【答案】C
【分析】根据菱形性质和解直角三角形求出ܱ
ܤൌ͵ ͵，ܤܧൌ
͵，继而ܱ
ܣൌܱ
ܤʹ െܣܤʹ ൌ͵ ʹ求出
再根据sinסܱܤܣൌܱ
ܣܱ
ܤൌ
ܧܪ
ܧܤൌ
͸
͵ ，即可求ܧܪൌܧܤ൉sinסܱܤܣൌ
ʹ．
【详解】解：∵在菱形ܥ쳌ܧܨ中，ܥ쳌ൌ쳌ܧൌܧܨൌܥܨൌʹ，쳌ܧצ ܤܥ，
∴סܥܤܱ
ൌס쳌ܧܱ
ൌ耀Ͳι，
又∵סܤܱܥൌ͵Ͳι，
∴ܱ쳌ൌ
쳌ܧ
sinסܤܱܥൌ
ʹ
sin͵Ͳι ൌͶ，ܱܧൌܱ
쳌൉cosסܤܱܥൌͶ ൈcos͵Ͳι ൌʹ ͵，
∴ܱܥൌܥ쳌㘮ܱ
쳌ൌʹ 㘮Ͷ ൌ͸，，
∴ܤܥൌܱ
ܥ൉sinסܤܱܥൌ͸ ൈ
ൌ
ʹ ൌ͵，ܱܤൌܱ
ܥ൉cosסܤܱܥൌ͸ ൈcos͵Ͳι ൌ͵ ͵，
∴ܤܧൌܱ
ܤെܱ
ܧൌ͵ ͵ െʹ ͵ ൌ
͵
∵ܣܤൌܤܥൌ͵，
∴在Rt ᇞܱ
ܤܣ中，ܱܣൌܱ
ܤʹ െܣܤʹ ൌ
ሺ͵ ͵ሻʹ െ͵ʹ ൌ͵ ʹ，
∵ܧܪ٣ ܣܤ，
∴sinסܱܤܣൌܱ
ܣܱ
ܤൌ
ܧܪ
ܧܤൌ
͵ ʹ
͵ ͵ ൌ
͸
͵ ，
∴ܧܪൌܧܤ൉sinסܱܤܣൌ
͵ ൈ
͸
͵ ൌ
ʹ，
故选C．
7．（2023·浙江宁波·中考真题）某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和
铅锤自制了一个简易测角仪，如图1 所示．
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(1)如图2，在ܲ
点观察所测物体最高点ܥ，当量角器零刻度线上ܣ，ܤ两点均在视线ܲ
ܥ上时，测得视线与
铅垂线所夹的锐角为ߙ，设仰角为ߚ，请直接用含ߙ的代数式示ߚ．
(2)如图3，为了测量广场上空气球ܣ离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点ܤ，ܥ分别测得气球ܣ
的仰角סܣܤ쳌为͵͹ι，סܣܥ쳌为Ͷൌι，地面上点ܤ，ܥ，쳌在同一水平直线上，ܤܥൌʹͲm，求气球ܣ离地面
的高度ܣ쳌．（参考数据：sin͵͹ι ൎͲ͸Ͳ쳌cos͵͹ι ൎͲͺͲ，tan͵͹ι ൎͲ͹ൌ）
【答案】(1)ߚൌ耀Ͳι െߙ
(2)ܣ쳌ൌ͸Ͳm
【分析】（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；
（2）根据题意，ܣ쳌٣ ܤ쳌，在Rt ᇞܣܥ쳌中，סܣܥ쳌ൌͶൌι，由等腰直角三角形性质得到ܥ쳌ൌܣ쳌；在
Rt ᇞܣܤ쳌中，סܣܤ쳌ൌ͵͹ι，由tanסܣܤ쳌ൌtan͵͹ι ൌ
ܣ쳌
ܤ쳌ൌ
ܣ쳌
ܥ쳌㘮ʹͲ ൌ
ܣ쳌
ܣ쳌㘮ʹͲ，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：如图所示：
由题意知ܱ
쳌٣ܲ
쳌，
在Rt ᇞܱܲ
쳌中，ס쳌ൌ耀Ͳι，则סܲ
㘮סܱܲ
쳌ൌ耀Ͳι，即ߙ㘮ߚൌ耀Ͳι，
׵ ߚൌ耀Ͳι െߙ；
（2）解：如图所示：
׵ ܣ쳌٣ ܤ쳌，
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在Rt ᇞܣܥ쳌中，סܣܥ쳌ൌͶൌι，由等腰直角三角形性质得到ܥ쳌ൌܣ쳌，
在Rt ᇞܣܤ쳌中，סܣܤ쳌ൌ͵͹ι，
由tanסܣܤ쳌ൌtan͵͹ι ൌ
ܣ쳌
ܤ쳌ൌ
ܣ쳌
ܥ쳌㘮ʹͲ ൌ
ܣ쳌
ܣ쳌㘮ʹͲ，
即Ͳ͹ൌൌ
ܣ쳌
ܣ쳌㘮ʹͲ，
解得ܣ쳌ൌ͸Ͳm，
׵气球ܣ离地面的高度ܣ쳌ൌ͸Ͳm．
8．（2023·浙江温州·中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度
背
景
素
材
某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度
ܯܰ（如图1）．他们通过自制的测倾仪（如图2）在ܣ，ܤ，ܥ
三个位置观测，测倾仪上的示数如图3 所示．
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
任
务
1
分析规划
选择两个观测位置：点_________和
点_________
获取数据
写出所选位置观测角的正切值，并量
出观测点之间的图上距离．
任
务
2
推理计算
计算发射塔的图上高度ܯܰ．
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任
务
3
换算高度
楼房实际宽度쳌ܧ为ൌʹ 米，请通过
测量换算发射塔的实际高度．
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
【答案】规划一：[任务1]选择点ܣ和点ܤ；tanסൌൌ
ൌ
ͺ，tanסʹ ൌ
ൌ
Ͷ，tanס͵ ൌ
ൌ
͵，测得图上ܣܤൌͶmm；
[任务2]ൌͺmm；[任务3]发射塔的实际高度为Ͷ͵ʹ 米；规划二：[任务1]选择点ܣ和点ܥ．[任务2]ൌͺmm；
[任务3]发射塔的实际高度为Ͷ͵ʹ 米；
【分析】规划一：[任务1]选择点ܣ和点ܤ,根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上ܣܤൌͶmm
[任务2]如图1，过点ܣ作ܣܨ٣ ܯܰ
于点ܨ，过点ܤ作ܤܩ٣ ܯܰ
于点ܩ，设ܯܨൌݔሺmmሻ．根据
tanסܯܣܨൌ
ݔ
ܣܨൌ
ൌ
Ͷ，tanסܯܤܩൌ
ݔ㘮Ͷ
ܤܩൌ
ൌ
͵，得出ܣܨൌͶݔ，ܤܩൌ͵ݔ㘮ൌʹ．由ܣܨൌܤܩ，解得ݔൌൌʹ，根据
tanסܨܣܰ
ൌ
ܨܰ
Ͷͺ ൌ
ൌ
ͺ，得出ܨܰ
ൌ͸mm，即可求解；
[任务3 ]测得图上쳌ܧൌൌmm，设发射塔的实际高度为݄
米．由题意，得
ൌ
ൌʹ ൌ
ൌͺ݄，解得݄
ൌͶ͵ʹ，
规划二：[任务1]选择点ܣ和点ܥ．根据正切的定义求得三个角的正切值，测得图上ܣܥൌൌʹmm；
[任务2]如图2，过点ܣ作ܣܨ٣ ܯܰ
于点ܨ，过点ܥ作ܥܩ٣ ܯܰ，交ܯܰ
的延长线于点ܩ，则ܨܩൌܣܥൌ
ൌʹmm，设ܯܨൌݔሺmmሻ．根据tanסܯܣܨൌ
ݔ
ܣܨൌ
ൌ
Ͷ，tanסܯܥܩൌ
ݔ㘮ൌʹ
ܥܩൌ
ൌ
ʹ，得出ܣܨൌͶݔ，ܥܩൌʹݔ㘮ʹͶ．根
据ܣܨൌܥܩ，得出ݔൌൌʹ，然后根据tanסܨܣܰ
ൌ
ܨܰ
Ͷͺ ൌ
ൌ
ͺ，得出ܨܰ
ൌ͸mm，进而即可求解．
[任务3]测得图上쳌ܧൌൌmm，设发射塔的实际高度为݄
米．由题意，得
ൌ
ൌʹ ൌ
ൌͺ݄，解得݄
ൌͶ͵ʹ，即可
求解．
【详解】解：有以下两种规划，任选一种作答即可．
规划一：
[任务1]选择点ܣ和点ܤ．
tanסൌൌ
ൌ
ͺ，tanסʹ ൌ
ൌ
Ͷ，tanס͵ ൌ
ൌ
͵，测得图上ܣܤൌͶmm．
[任务2]如图1，过点ܣ作ܣܨ٣ ܯܰ
于点ܨ，过点ܤ作ܤܩ٣ ܯܰ
于点ܩ，
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则ܨܩൌܣܤൌͶmm，设ܯܨൌݔሺmmሻ．
∵tanסܯܣܨൌ
ݔ
ܣܨൌ
ൌ
Ͷ，tanסܯܤܩൌ
ݔ㘮Ͷ
ܤܩൌ
ൌ
͵，
∴ܣܨൌͶݔ，ܤܩൌ͵ݔ㘮ൌʹ．
∵ܣܨൌܤܩ，
∴Ͷݔൌ͵ݔ㘮ൌʹ
解得ݔൌൌʹ，
∴ܣܨൌܤܩൌͶݔൌͶͺmm．
∵tanסܨܣܰ
ൌ
ܨܰ
Ͷͺ ൌ
ൌ
ͺ，
∴ܨܰ
ൌ͸mm，
∴ܯܰ
ൌܯܨ㘮ܨܰ
ൌൌʹ 㘮͸ ൌൌͺmm．
[任务3 ]测得图上쳌ܧൌൌmm，设发射塔的实际高度为݄
米．
由题意，得
ൌ
ൌʹ ൌ
ൌͺ݄，解得݄
ൌͶ͵ʹ，
∴发射塔的实际高度为Ͷ͵ʹ 米．
规划二：
[任务1]选择点ܣ和点ܥ．
tanסൌൌ
ൌ
ͺ，tanסʹ ൌ
ൌ
Ͷ，tanסͶ ൌ
ൌ
ʹ，测得图上ܣܥൌൌʹmm．
[任务2]如图2，过点ܣ作ܣܨ٣ ܯܰ
于点ܨ，过点ܥ作ܥܩ٣ ܯܰ，交ܯܰ
的延长线于点ܩ，则ܨܩൌܣܥൌ
ൌʹmm，设ܯܨൌݔሺmmሻ．
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∵tanסܯܣܨൌ
ݔ
ܣܨൌ
ൌ
Ͷ，tanסܯܥܩൌ
ݔ㘮ൌʹ
ܥܩൌ
ൌ
ʹ，
∴ܣܨൌͶݔ，ܥܩൌʹݔ㘮ʹͶ．
∵ܣܨൌܥܩ，
∴Ͷݔൌʹݔ㘮ʹͶ，解得ݔൌൌʹ，
∴ܣܨൌܥܩൌͶݔൌͶͺmm．
∵tanסܨܣܰ
ൌ
ܨܰ
Ͷͺ ൌ
ൌ
ͺ，∴ܨܰ
ൌ͸mm，
∴ܯܰ
ൌܯܨ㘮ܨܰ
ൌൌʹ 㘮͸ ൌൌͺmm．
[任务3]测得图上쳌ܧൌൌmm，设发射塔的实际高度为݄
米．
由题意，得
ൌ
ൌʹ ൌ
ൌͺ݄，解得݄
ൌͶ͵ʹ．
∴发射塔的实际高度为Ͷ͵ʹ 米．
9．（2023·浙江嘉兴·中考真题）图1 是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才
能被识别），其示意图如图2，摄像头ܣ的仰角、俯角均为ൌൌι，摄像头高度ܱ
ܣൌൌ͸Ͳcm，识别的最远水
平距离ܱ
ܤൌൌൌͲcm．
(1)身高ʹͲͺcm 的小杜，头部高度为ʹ͸cm，他站在离摄像头水平距离ൌ͵Ͳcm 的点C 处，请问小杜最少需要
下蹲多少厘米才能被识别．
(2)身高ൌʹͲcm 的小若，头部高度为ൌൌcm，踮起脚尖可以增高͵cm，但仍无法被识别．社区及时将摄像头
的仰角、俯角都调整为ʹͲι（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．
（精确到Ͳൌcm，参考数据sinൌൌι ൎ
Ͳʹ͸쳌cosൌൌι ൎͲ耀͹쳌tanൌൌι ൎͲʹ͹쳌sinʹͲι ൎͲ͵Ͷ쳌cosʹͲι ൎͲ耀Ͷ쳌tanʹͲι ൎͲ͵͸）
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【答案】(1)ൌʹ耀cm
(2)能，理由如下：
过点ܤ作ܱ
ܤ的垂线分别交仰角、俯角线于点ܯ，ܰ，交水平线于点ܲ
，如图所示，
在Rt ᇞܣܲܯ中，tanסܯܣܲ
ൌ
ܯܲ
ܣܲ．
׵ ܯܲ
ൌܣܲ
ڄ tanʹͲι ൌൌൌͲ ൈͲ͵͸ ൌൌͶͲሺcmሻ，
׶ ܣܲ
ൌܣܲ쳌סܯܣܲ
ൌסܰܣܲ쳌סܣܲܯൌסܣܲܰ
ൌ耀Ͳι，
׵ᇞܣܯܲ، ᇞܣܰܲ
．
׵ܲܰ
ൌܯܲ
ൌൌͶͲሺcmሻ，
׵ ܤܰ
ൌܤܲ
െܲܰ
ൌൌ͸Ͳ െൌͶͲ ൌൌͲ͸Ͳሺcmሻ．
小若垫起脚尖后头顶的高度为ൌʹͲ 㘮͵ ൌൌʹ͵ሺcmሻ．
׵小若头顶超出点N 的高度ൌʹ͵ െൌͲ͸Ͳ ൌൌ͹Ͳሺcmሻ㠮ൌൌሺcmሻ．
׵小若垫起脚尖后能被识别．
【分析】（1）根据正切值求出ܧܨ长度，再利用三角形全等可求出ܧܨൌ쳌ܨൌ͵ൌൌሺcmሻ，最后利用矩
形的性质求出ܥܧ的长度，从而求出蹲下的高度．
（2）根据正切值求出ܯܲ
长度，再利用三角形全等可求出ܯܲ
ൌܲܰ
ൌൌͶͲሺcmሻ，最后利用矩形的性
质求出ܤܲ
的长度，即可求出ܤܰ
长度，与踮起脚尖后的高度进行比较，即可求出答案．
【详解】（1）解：过点ܥ作ܱ
ܤ的垂线分别交仰角、俯角线于点ܧ，쳌，交水平线于点ܨ，如图所示，
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在Rt ᇞܣܧܨ中，tanסܧܣܨൌ
ܧܨ
ܣܨ．
׵ ܧܨൌܣܨڄ tanൌൌι ൌൌ͵Ͳ ൈͲʹ͹ ൌ͵ൌൌሺcmሻ．
׶ ܣܨൌܣܨ쳌סܧܣܨൌס쳌ܣܨ쳌סܣܨܧൌסܣܨ쳌ൌ耀Ͳι，
׵ᇞܣ쳌ܨ، ᇞܣܧܨ．
׵ ܧܨൌ쳌ܨൌ͵ൌൌሺcmሻ．
׵ ܥܧൌܥܨ㘮ܧܨൌൌ͸Ͳ 㘮͵ൌൌൌൌ耀ൌൌሺcmሻ，ܧ쳌ൌʹܧܨൌ͵ൌൌൈʹ ൌ͹Ͳʹሺcmሻ㠮ʹ͸ሺcmሻ，
׵小杜下蹲的最小距离ൌʹͲͺ െൌ耀ൌൌൌൌʹ耀ሺcmሻ．
（2）略
10．（2023·浙江台州·中考真题）教室里的投影仪投影时，可以把投影光线ܥܣ，ܥܤ及在黑板上的投影图像
高度ܣܤ抽象成如图所示的ᇞܣܤܥ，סܤܣܥൌ耀Ͳι．黑板上投影图像的高度ܣܤൌൌʹͲcm，ܥܤ与ܣܤ的夹角
סܤൌ͵͵͹ι，求ܣܥ的长．（结果精确到1cm．参考数据：sin͵͵͹ι ൎͲൌൌ，cos͵͵͹ι ൎͲͺ͵，tan͵͵͹ι ൎͲ͸͹）
【答案】ܣܥ的长约为ͺͲcm
【分析】在Rt ᇞܣܤܥ中，由ܣܥൌܣܤڄ tan͵͵͹ι，再代入数据进行计算即可．
【详解】解：在Rt ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌൌʹͲ，סܤܣܥൌ耀Ͳι，סܤൌ͵͵͹ι，
∴ܣܥൌܣܤڄ tan͵͵͹ι
ൎൌʹͲ ൈͲ͸͹
ൌͺͲͶ
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ൎͺͲ cm ．
∴ܣܥ的长约为ͺͲcm．
11．（2023·浙江嘉兴·中考真题）如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体
净化设备上增加一条管道ܣെ쳌െܥ，已知쳌ܥ٣ ܤܥ，ܣܤ٣ ܤܥ쳌סܣൌ͸Ͳι쳌ܣܤൌൌൌm쳌ܥ쳌ൌͶm，求管道ܣെ
쳌െܥ的总长．
【答案】18m
【分析】如图：过点쳌作쳌ܧ٣ ܣܤ于点ܧ，由题意易得ܤܧൌܥ쳌ൌͶ，进而求得ܣܧൌ͹，再通过解直
角三角形可得ܣ쳌ൌܣܧൊcos͸Ͳι ൌൌͶ，然后求出ܣ쳌㘮ܥ쳌即可解答．
【详解】解：如图：过点쳌作쳌ܧ٣ ܣܤ于点ܧ，
由题意，得ܤܧൌܥ쳌ൌͶ，
∵ܣܤൌൌൌ，∴ܣܧൌ͹．
∵סܣൌ͸Ͳι，
∴ܣ쳌ൌܣܧൊcos͸Ͳι ൌൌͶ．
∴ܣ쳌㘮ܥ쳌ൌൌͺ m ．即管道ܣെ쳌െܥ的总长为ൌͺm．
12．（2022·浙江嘉兴·中考真题）如图，在ᇞABC 中，∠ABC＝90°，∠A＝60°，直尺的一边与BC 重
合，另一边分别交AB，AC 于点D，E．点B，C，D，E 处的读数分别为15，12，0，1，则直尺宽BD 的长
为_________．
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【答案】
ʹ ͵
͵
【分析】先求解ܣܤൌ
͵쳌ܣ쳌ൌ
͵
͵ 쳌再利用线段的和差可得答案．
【详解】解：由题意可得：쳌ܧൌൌ쳌쳌ܥൌൌൌെൌʹ ൌ͵쳌
׶ סܣൌ͸Ͳι쳌סܣܤܥൌ耀Ͳι쳌
׵ ܣܤൌ
ܤܥ
tan͸Ͳι ൌ
͵
͵ ൌ
͵쳌
同理：ܣ쳌ൌ
쳌ܧ
tan͸Ͳι ൌ
ൌ
͵ ൌ
͵
͵ 쳌
׵ ܤ쳌ൌܣܤെܣ쳌ൌ
͵ െ
͵
͵ ൌ
ʹ ͵
͵ 쳌故答案为：
ʹ ͵
͵
13．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，已知ᇞABC 内接于半径为1 的⊙O，∠BAC=θ（θ是锐角），则ᇞABC
的面积的最大值为（
）
A．cosߠൌ㘮cosߠ
B．cosߠൌ㘮sinߠ
C．sinߠൌ㘮sinߠ
D．sinߠൌ㘮cosߠ
【答案】D
【分析】要使ᇞABC 的面积S=
ൌ
ʹBC•h 的最大，则h 要最大，当高经过圆心时最大．
【详解】解：当ᇞABC 的高AD 经过圆的圆心时，此时ᇞABC 的面积最大，
如图所示，
∵A'D⊥BC，
∴BC=2BD，∠BOD=∠BAC=θ，
在RtᇞBOD 中，
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sinθ=
ܤ쳌ܱ
ܤൌ
ܤ쳌
ൌ，cosθ=ܱ
쳌ܱ
ܤൌܱ
쳌
ൌ，
∴BD=sinθ，OD=cosθ，
∴BC=2BD=2sinθ，
A'D=A'O+OD=1+cosθ，
∴S△A'BC=
ൌ
ʹAD•BC=
ൌ
ʹ•2sinθ（1+cosθ）=sinθ（1+cosθ）．故选：D．
14．（2022·浙江台州·中考真题）如图1，梯子斜靠在竖直的墙上，其示意图如图2，梯子与地面所成的角α
为75°，梯子AB 长3m，求梯子顶部离地竖直高度BC．
（结果精确到0.1m；参考数据：sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，
tan75°≈3.73）
【答案】梯子顶部离地竖直高度BC 约为2.9m．
【分析】根据竖直的墙与梯子形成直角三角形，利用锐角三角函数即可求出AC 的长．
【详解】解：在RtᇞABC 中，AB=3，∠ACB=90°，∠BAC=75°，
∴BC=ABڄsin75°
≈3×0.97=2.91
≈2.9(m)．
答：梯子顶部离地竖直高度BC 约为2.9m．
15．
（2022·浙江金华·中考真题）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知ܤܥൌ͸m，סܣܤܥൌߙ，
则房顶A 离地面ܧܨ的高度为（
）
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A．ሺͶ 㘮͵sinߙሻm
B．ሺͶ 㘮͵tanߙሻm
C．Ͷ 㘮
͵
sinߙm
D．Ͷ 㘮
͵
tanܽ
m
【答案】B
【分析】过点A 作AD⊥BC 于D，根据轴对称图形得性质即可得BD=CD，从而利用锐角三角函数正切
值即可求得答案．
【详解】解：过点A 作AD⊥BC 于D，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴ܤ쳌ൌ쳌ܥൌ
ൌ
ʹ ܤܥൌ͵m，
׵ tanߙൌ
ܣ쳌
ܤ쳌ൌ
ܣ쳌
͵ ，即ܣ쳌ൌ͵tanߙ，
׵房顶A 离地面ܧܨ的高度为ሺͶ 㘮͵tanߙሻm，故选B．
16．（2022·浙江衢州·中考真题）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，ܣ，ܤ是两侧山脚的
入口，从ܤ出发任作线段ܤܥ，过ܥ作ܥ쳌٣ ܤܥ，然后依次作垂线段쳌ܧ，ܧܨ，ܨܩ，ܩܪ，直到接近ܣ点，
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作ܣܬ٣ ܩܪ于点ܬ．每条线段可测量，长度如图所示．分别在ܤܥ，ܣܬ上任选点ܯ，ܰ，作ܯܳ
٣ ܤܥ，ܰܲ
٣ ܣܬ，
使得ܲܰܣܰ
ൌܳ
ܯ
ܤܯൌ݇
，此时点ܲ
，ܣ，ܤ，ܳ
共线．挖隧道时始终能看见ܲ
，ܳ
处的标志即可．
（1）ܥ쳌െܧܨെܩܬൌ_______km．
（2）݇=_______．
【答案】
1.8
耀
ൌ͵
【分析】（1）由图可知CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，代入CD－EF－GJ 计算即可得到答案；
（2）连接AB，过点A 作AT⊥CB，交CB 的延长线于点T，∠ATB＝90°，ܲ，ܣ，ܤ，ܳ
共线,得到∠MBQ
＝∠ABT，由题意可知BT 和AT 的长度，即可求得∠ABT 的正切，进一步即可得到答案．
【详解】解：（1）由图可知，CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，
∴CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8（km）；
故答案为：1.8
（2）连接AB，过点A 作AT⊥CB，交CB 的延长线于点T，∠ATB＝90°，
∵点ܲ
，ܣ，ܤ，ܳ
共线,
∴∠MBQ＝∠ABT，
由题意可知，BT＝DE＋FG－CB－AJ＝4.9＋3.1－3－2.4＝2.6,
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AT＝CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8，
∴tan∠ABT＝
ܣ㌠
ܤ㌠ൌ
ൌͺ
ʹ͸ ൌ
耀
ൌ͵，
∴tan∠MBQ ＝ܳ
ܯ
ܤܯൌܲܰܣܰ
ൌ݇
＝
耀
ൌ͵，
∴k＝
耀
ൌ͵．
故答案为：
耀
ൌ͵
17．（2022·浙江金华·中考真题）图1 是光伏发电场景，其示意图如图2，ܧܨ为吸热塔，在地平线ܧܩ上的
点B，ܤԢ处各安装定日镜（介绍见图3）．绕各中心点ܣ쳌ܣԢ 旋转镜面，使过中心点的太阳光线经镜面反射
后到达吸热器点F 处．已知ܣܤൌܣԢܤԢ ൌൌm쳌ܧܤൌͺm쳌ܧܤԢ ൌͺ ͵m，在点A 观测点F 的仰角为Ͷൌι．
（1）点F 的高度ܧܨ为______m．
（2）设ס쳌ܣܤൌߙ쳌ס쳌ԢܣԢܤԢ ൌߚ，则ߙ与ߚ的数量关系是_______．
【答案】
9
ߙെߚൌ͹ൌι
【分析】（1）过点A 作AG⊥EF，垂足为G，证明四边形ABEG 是矩形，解直角三角形AFG，确定
FG，EG 的长度即可．
（2）根据光的反射原理画出光路图，清楚光线是平行线，运用解直角三角形思想，平行线的性质求解
即可．
【详解】（1）过点A 作AG⊥EF，垂足为G．
∵∠ABE=∠BEG=∠EGA=90°，
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∴四边形ABEG 是矩形，
∴EG=AB=1m，AG=EB=8m，
∵∠AFG=45°，
∴FG=AG=EB=8m，
∴EF=FG+EG=9(m)．
故答案为：9；
（2）ߙെߚൌ͹ൌι．理由如下：
∵∠ܣԢ ܤԢE=∠ܤԢEG=∠EGܣԢ=90°，
∴四边形ܣԢ ܤԢEG 是矩形，
∴EG=ܣԢ ܤԢ=1m，ܣԢG=EܤԢ=ͺ ͵m，
∴tan∠ܣԢFG=
ܣԢܩ
ܨܩൌ
ͺ ͵
ͺ ൌ͵，
∴∠ܣԢFG=60°，∠FܣԢG=30°，
根据光的反射原理，不妨设∠FAN=2m，∠FܣԢM=2n，
∵光线是平行的，
∴AN∥ܣԢM，
∴∠GAN=∠GܣԢM，
∴45°+2m=30°+2n，
解得n-m=7.5°，
根据光路图，得ס쳌ܣܤൌߙൌ耀Ͳל െ݉
쳌ס쳌ԢܣԢܤԢ ൌߚൌ耀Ͳל െ݊
，
∴ߙെߚൌ耀Ͳל െ݉
െ耀Ͳל 㘮݊
ൌ݊
െ݉
，
故ߙെߚൌ͹ൌι，
故答案为：ߙെߚൌ͹ൌι ．
18．（2022·浙江绍兴·中考真题）圭表（如图ൌሻ是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪
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器，它包括一根直立的标竿（称为“表” ሻ和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭” ሻ，
当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最
短的那一天定为夏至．图2 是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表ܣܥ垂直圭ܤܥ，已知该市
冬至正午太阳高度角（即סܣܤܥሻ为͵͹ι，夏至正午太阳高度角（即סܣ쳌ܥሻ为ͺͶι，圭面上冬至线与夏至线之
间的距离（即쳌ܤ的长）为4 米．
(1)求∠BAD 的度数．
(2)求表AC 的长（最后结果精确到0.1 米）．（参考数据：sin37°≈
͵
ൌ，cos37°≈
Ͷ
ൌ，tan37°≈
͵
Ͷ，tan84°≈
ൌ耀
ʹ ）
【答案】(1)47°
(2)3.3 米
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
（2）分别求出סܣ쳌ܥ和סܣܤܥ的正切值，用ܣܥ表示出ܥ쳌和ܥܤ，得到一个只含有ܣܥ的关系式，再解
答即可．
【详解】（1）解：׶ סܣ쳌ܥൌͺͶι，סܣܤܥൌ͵͹ι，
׵ סܤܣ쳌ൌסܣ쳌ܥെסܣܤܥൌͶ͹ι，
答：סܤܣ쳌的度数是Ͷ͹ι．
（2）解：在Rt△ABC 中，tan͵͹ι ൌ
ܣܥ
ܤܥ，
∴ܤܥൌ
ܣܥ
tan͵͹ι．
同理，在Rt△ADC 中，有쳌ܥൌ
ܣܥ
tanͺͶι．
∵ܤ쳌ൌͶ，
∴ܤܥെ쳌ܥൌ
ܣܥ
tan͵͹ι െ
ܣܥ
tanͺͶι ൌܤ쳌ൌͶ．
∴
Ͷ
͵ ܣܥെ
ʹ
ൌ耀ܣܥൎͶ，
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∴ܣܥൎ͵͵（米）．
答：表AC 的长是3.3 米．
19．（2022·浙江宁波·中考真题）每年的11 月9 日是我国的“全国消防安全教育宣传日”，为了提升全民防
灾减灾意识，某消防大队进行了消防演习．如图1，架在消防车上的云梯AB 可伸缩（最长可伸至20m），
且可绕点B 转动，其底部B 离地面的距离BC 为2m，当云梯顶端A 在建筑物EF 所在直线上时，底部B 到
EF 的距离BD 为9m．
(1)若∠ABD=53°，求此时云梯AB 的长．
(2)如图2，若在建筑物底部E 的正上方19m 处突发险情，请问在该消防车不移动位置的前提下，云梯能否
伸到险情处？请说明理由．
（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3）
【答案】(1)15m
(2)
解：在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处，
理由：由题意得：
DE=BC=2m，
∵AE=19m，
∴AD=AE-DE=19-2=17（m），
在Rt△ABD 中，BD=9m，
∴AB=
ܣ쳌ʹ 㘮ܤ쳌ʹ ൌ
ൌ͹ʹ 㘮耀ʹ ൌ
͵͹Ͳ（m），
∵͵͹Ͳm＜20m，
∴在该消防车不移动位置的前提下，云梯能伸到险情处．
【分析】（1）在Rt△ABD 中，利用锐角三角函数的定义求出AB 的长，即可解答；
（2）根据题意可得DE=BC=2m，从而求出AD=17m，然后在Rt△ABD 中，利用锐角三角函数的定义
求出AB 的长，进行比较即可解答．
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【详解】（1）解：在Rt△ABD 中，∠ABD=53°，BD=9m，
∴AB=
ܤ쳌
cosൌ͵ι ൎ
耀
Ͳ͸=15（m），
∴此时云梯AB 的长为15m；
（2）略
20．（2022·浙江嘉兴·中考真题）小华将一张纸对折后做成的纸飞机如图1，纸飞机机尾的横截面是一个轴
对称图形，其示意图如图2．已知ܣ쳌ൌܤܧൌൌͲcm，ܥ쳌ൌܥܧൌൌcm，ܣ쳌٣ ܥ쳌，ܤܧ٣ ܥܧ，ס쳌ܥܧൌͶͲι．（结
果精确到0.1cm，参考数据：sinʹͲι ൎͲ͵Ͷ，cosʹͲι ൎͲ耀Ͷ，tanʹͲι ൎͲ͵͸，sinͶͲι ൎͲ͸Ͷ，cosͶͲι ൎͲ͹͹，
tanͶͲι ൎͲͺͶ）
(1)连结쳌ܧ，求线段쳌ܧ的长．
(2)求点A，B 之间的距离．
【答案】(1)͵Ͷcm
(2)ʹʹʹcm
【分析】（1）过点C 作ܥܨ٣ 쳌ܧ于点F，根据等腰三角形的性质可得쳌ܨൌܧܨ，ס쳌ܥܨൌסܧܥܨൌʹͲι，
再利用锐角三角函数，即可求解；
（2）连结ܣܤ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，可得对称轴l 经过点C．从而得到四边形DGCE
是矩形，进而得到DE=CG，然后过点D 作쳌ܩ٣ ܣܤ于点G，过点E 作EH⊥AB 于点H，可得סܩ쳌ܥൌסܥܧܪൌ
ൌ
ʹ ס쳌ܥܧൌʹͲι，从而得到ס쳌ܣܤൌסܩ쳌ܥൌʹͲι，סܧܤܪൌסܥܧܪൌʹͲι，再利用锐角三角函数，即可求解．
【详解】（1）解：如图2，过点C 作ܥܨ٣ 쳌ܧ于点F，
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∵ܥ쳌ൌܥܧ，
∴쳌ܨൌܧܨ，ܥܨ平分ס쳌ܥܧ．
∴ס쳌ܥܨൌסܧܥܨൌʹͲι，
∴쳌ܨൌܥ쳌ڄ sinʹͲι ൎൌൈͲ͵Ͷ ൌൌ͹(cm)，
∴쳌ܧൌʹ쳌ܨൌ͵Ͷcm．
（2）解：如图3，连结ܣܤ．设纸飞机机尾的横截面的对称轴为直线l，
∵纸飞机机尾的横截面示意图是一个轴对称图形，
∴对称轴l 经过点C．
∴ܣܤ٣݈，쳌ܧ٣݈，
∴AB∥DE．
过点D 作쳌ܩ٣ ܣܤ于点G，过点E 作EH⊥AB 于点H，
∵DG⊥AB，HE⊥AB，
∴∠EDG =∠DGH=∠EHG=90°，
∴四边形DGCE 是矩形，
∴DE=HG，
∴DG∥l，EH∥l，
∴סܩ쳌ܥൌסܥܧܪൌ
ൌ
ʹ ס쳌ܥܧൌʹͲι，
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∵ܣ쳌٣ ܥ쳌，BE⊥CE，
∴ס쳌ܣܤൌסܩ쳌ܥൌʹͲι，סܧܤܪൌסܥܧܪൌʹͲι，
∴ܣܩൌܣ쳌ڄ cosʹͲι ൎൌͲ ൈͲ耀Ͷ ൌ耀Ͷ cm 쳌ܤܪൌܤܧڄ cosʹͲι ൎൌͲ ൈͲ耀Ͷ ൌ耀Ͷ(cm)，
∴ܣܤൌܤܪ㘮ܣܩ㘮쳌ܧൌʹʹʹcm．
1．如图所示，已知正方形ܣܤܥ쳌是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的，延长ܤܪ交ܣ쳌于点
M．若ܣܯǣܯ쳌ൌൌǣʹ．则正方形ܧܨܩܪ与正方形ܣܤܥ쳌的面积之比为（
）
A．ൌǣൌ
B．ʹǣ͵
C．ʹǣൌ
D．͵ǣൌ
【答案】A
【分析】设ܣܯൌݔ，则ܯ쳌ൌʹݔ，ܣ쳌ൌ͵ݔ，ܵ正方形ܣܤܥ쳌ൌܣ쳌ʹ ൌ耀ݔʹ，作ܯܭ٣ ܣܧ于ܭ设直角三角
形的短直角边为ܽ
，长直角边为ܾ
，由勾股定理得耀ݔʹ ൌܽ
ʹ 㘮ܾ
ʹ，小正方形ܧܨܩܪ的边长为ܾ
െܽ，证明
ᇞܣܯܭ׾ᇞܣ쳌ܪ，得出ܭܯൌ
ൌ
͵ 쳌ܪൌ
ൌ
͵ܾ，ܣܭൌ
ൌ
͵ ܣܪൌ
ൌ
͵ܽ，从而可得ܭܪൌ
ʹ
͵ܽ，证明ᇞܯܭܪ׾ᇞܤܧܪ，
求出ܽ
ൌܾʹ，代入计算即可得出结果．
【详解】解：∵ܣܯǣܯ쳌ൌൌǣʹ，
∴设ܣܯൌݔ，则ܯ쳌ൌʹݔ，
∴ܣ쳌ൌܣܯ㘮ܯ쳌ൌ͵ݔ，
∴ܵ正方形ܣܤܥ쳌ൌܣ쳌ʹ ൌ耀ݔʹ，
作ܯܭ٣ ܣܧ于ܭ，如图，
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设直角三角形的短直角边为ܽ
，长直角边为ܾ
，
∵正方形ܣܤܥ쳌是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的，
∴由勾股定理得ܣ쳌ʹ ൌܣܪʹ 㘮쳌ܪʹ，即耀ݔʹ ൌܽ
ʹ 㘮ܾ
ʹ，小正方形ܧܨܩܪ的边长为ܾ
െܽ，
∵ܯܭ٣ ܣܧ，
∴ܭܯצ 쳌ܪ，
∴ᇞܣܯܭ׾ᇞܣ쳌ܪ，
∴
ܭܯ
쳌ܪൌ
ܣܭ
ܣܪൌ
ܣܯ
ܣ쳌ൌ
ݔ
͵ݔൌ
ൌ
͵，
∴ܭܯൌ
ൌ
͵ 쳌ܪൌ
ൌ
͵ܾ，ܣܭൌ
ൌ
͵ ܣܪൌ
ൌ
͵ܽ，
∴ܭܪൌܣܪെܣܭൌ
ʹ
͵ܽ，
∵סܯܭܪൌסܤܧܪൌ耀Ͳι，סܯܪܭൌסܤܪܧ，
∴ᇞܯܭܪ׾ᇞܤܧܪ，
∴
ܭܯ
ܭܪൌ
ܤܧ
ܪܧ，
∴
ൌ
͵ܾ
ʹ
͵ܽ
ൌܾܽ
െܽ，
∴ܽ
ൌܾʹ或ܽ
ൌെܾ（不符合题意，舍去），
∴ܾെܽ
ൌܾ
െ
ൌ
ʹܾ
ൌ
ൌ
ʹܾ，
∴ܵ正方形ܧܨܩܪൌܾ
െܽ
ʹ ൌ
ൌ
Ͷܾ
ʹ，ܵ正方形ܣܤܥ쳌ൌ耀ݔʹ ൌܽ
ʹ 㘮ܾ
ʹ ൌ
ൌ
ʹܾ
ʹ
㘮ܾ
ʹ ൌ
ൌ
Ͷܾ
ʹ，
∴正方形ܧܨܩܪ与正方形ܣܤܥ쳌的面积之比为
ൌ
Ͷܾ
ʹǣ
ൌ
Ͷܾ
ʹ ൌൌǣൌ．
2．如图1，点ܥ是以ܣܤ为直径的半圆上的一个动点，过点ܥ作ܥ쳌٣ ܣܤ于点쳌，ܧ是ܥ쳌的中点，连结ܣܥ，
ܤܧ．设ܣ쳌ൌݔ，ᇞܣ쳌ܥ的面积为ݕൌ，ᇞܤ쳌ܧ的面积为ݕʹ．函数ݕൌ，ݕʹ关于ݔ的图象如图2 所示，其中点ܲ
为两个图象的交点，则下列结论错误的是（
）
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A．݉
ൌʹ
B．点ൌ쳌
͵
ʹ 一定落在ݕൌ函数图像上
C．点ܲ
的坐标是
Ͷ
͵ 쳌
ൌ
Ͷ
D．当ᇞܣ쳌ܥ׾ᇞܤ쳌ܧ时，ݔൌ
ͺ
͵
【答案】C
【分析】根据题意得出ܣ쳌ൌܤ쳌，此时点D 在圆心位置，利用面积确定݉
ൌʹ，即可判断A；得出圆
的半径为2，直径为4，然后当ݔൌൌ时，结合图形求出相应面积即可判断选项B；根据题意得出ܤ쳌ൌͶ െݔ，
利用面积相等得出ݔൌ
Ͷ
͵，然后再求面积即可判断C 选项；利用相似三角形的性质即可判断D 选项．
【详解】解：根据题意得：当ݔൌ݉
时，ݕൌൌʹ쳌ݕʹ ൌൌ，
∴ݕൌൌʹݕʹ，
∵ܧ是ܥ쳌的中点，
∴쳌ܧൌ
ൌ
ʹ 쳌ܥ，
由题意得：ݕൌൌ
ൌ
ʹ ܣ쳌ڄ ܥ쳌ൌʹݕʹ ൌʹ ൈ
ൌ
ʹ ܤ쳌ڄ
ൌ
ʹ ܥ쳌，
∴ܣ쳌ൌܤ쳌，
∴此时点D 在圆心位置，
∴ܣ쳌ൌܤ쳌ൌܥ쳌ൌ݉
，
∴
ൌ
ʹ݉
ʹ ൌʹ，
解得݉
ൌʹ（负值舍去），故A 正确，不符合题意；
∴圆的半径为2，直径为4，
当ݔൌൌ时，即ܣ쳌ൌൌ쳌ܤ쳌ൌ͵，
设圆心为O，连接ܱ
ܥ，如图所示：
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∴ܱ쳌ൌൌ，
∴ܥ쳌ൌ
ܥܱ
ʹ െܱ
쳌ʹ ൌ
͵，
∴ݕൌൌ
ൌ
ʹ ܣ쳌ൈܥ쳌ൌ
͵
ʹ ，
∴点ൌ쳌
͵
ʹ 一定落在ݕൌ函数图像上，选项B 正确，不符合题意；
∵ܣ쳌ൌݔ，
∴ܤ쳌ൌͶ െݔ，
∵点ܲ
为两个图象的交点，
∴此时ݕൌൌݕʹ，即
ൌ
ʹ ݔൈܥ쳌ൌ
ൌ
ʹ ሺͶ െݔሻڄ
ൌ
ʹ ܥ쳌，
整理得ʹݔൌͶ െݔ，
解得：ݔൌ
Ͷ
͵，
当ݔൌ
Ͷ
͵时，ܱ쳌ൌʹ െ
Ͷ
͵ ൌ
ʹ
͵，
∴ܥ쳌ൌ
ܥܱ
ʹ െܱ
쳌ʹ ൌ
Ͷ ʹ
͵ ，
∴ݕൌൌ
ൌ
ʹ ܣ쳌ൈܥ쳌ൌ
ൌ
ʹ ൈ
Ͷ
͵ ൈ
Ͷ ʹ
͵ ൌ
ͺ ʹ
耀，
∴点ܲ
的坐标是
Ͷ
͵ 쳌
ͺ ʹ
耀
，故选项C 错误，符合题意；
∵ᇞܣ쳌ܥ׾ᇞܤ쳌ܧ，
∴
ܣ쳌
ܤ쳌ൌ
쳌ܥ
쳌ܧൌʹ，
∴
ݔ
Ͷെݔൌʹ，
解得：ݔൌ
ͺ
͵，故选项D 正确，不符合题意．
3．如图1，在ᇞܣܤܥ中，ܣܥൌܤܥ，סܥൌ耀Ͳι．쳌是ܣܤ上一点，ܥ쳌的中垂线交ᇞܣܤܥ的边于点ܧ，ܨ．记
ܣ쳌ൌݔ，四边形ܥܧ쳌ܨ面积为ݕ，利用数学软件画出ݕ关于ݔ的函数图象如图2 所示，其中一个最高点ܯ
坐标为݉
쳌㌳，一个最低点ܰ
坐标为݊
쳌ͺ ，下列选项正确的是（
）
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A．݉
ൌʹൌ
B．݊
ൌͶ ʹ
C．㌳ൌ͵ʹ ʹ െ͵ʹ
D．点͵쳌
ൌ͹
ʹ 在该函数图象上
【答案】C
【分析】由图象最低点ܰ
可知当쳌为ܣܤ中点时面积最小，据此求出ᇞܣܤܥ的边长及݊
的值；由图象
最高点ܯ为分段点，分析可知此时点ܨ与点ܤ重合，据此求出݉
和㌳的值；当ݔൌ͵ 时，݉
ᦙ͵ ᦙ݊
，点
ܧ在ܣܥ上，点ܨ在ܤܥ上，作쳌ܩ٣ ܣܥ于ܩ，再求出ܥܧ，然后说明ᇞܧܥܱ
׾ᇞܧܨܥ，求出ܥܨ，最后求
出ݕൌʹ ൈ
ൌ
ʹ ܥܧڄ ܥܨൌܥܧڄ ܥܨ，验证即可．
【详解】解：׶当쳌为ܣܤ中点时，ܥ쳌٣ ܣܤ，此时ܥ쳌最短，ܥ쳌ൌ
ൌ
ʹ ܣܤ
׵ ܥ쳌的中垂线ܧܨצܣܤ，ܧܨൌ
ൌ
ʹ ܣܤ，
∴ܥ쳌ൌܧܨ且ܥ쳌与ܧܨ互相平分，
∴四边形ܥܧ쳌ܨ为平行四边形，
∴四边形ܥܧ쳌ܨ为正方形，面积最小，
׵对应图象最低点ܰ
ሺ݊쳌ͺሻ
׵ܵ
ܥܧ쳌ܨൌ
ൌ
ʹ ܥ쳌ʹ ൌͺ ，
解得ܥ쳌ൌͶ．
׶ᇞܣܤܥ为等腰直角三角形，쳌为ܣܤ中点，
׵ ܣܤൌʹܥ쳌ൌͺ ，ܣܥൌܤܥൌͶ ʹ，
׵݊
ൌܣ쳌ൌ
ൌ
ʹ ܣܤൌͶ ，故B 错；
由图象可知ܯ为分段点，此时点ܨ从ܣܤ边运动到ܤܥ边，即ܨ与ܤ重合，
׶ ܧܨ垂直平分ܥ쳌，ܨ在ܧܨ上，
׵ ܤܥൌܤ쳌ൌͶ ʹ，
׵݉
ൌܣ쳌ൌܣܤെܤ쳌ൌͺ െͶ ʹ，故A 错误；
此时ܧ在ܣܥ上，ܨ与ܤ重合，四边形ܥܧ쳌ܨ即四边形ܥܧ쳌ܤ，
׶ ܤܥൌܤ쳌，סܤൌͶൌל，
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׵ סܤܥ쳌ൌסܤ쳌ܥൌ͸͹ൌל，
׵ סܣܥ쳌ൌ耀Ͳל െ͸͹ൌל ൌʹʹൌל．
׶ ܧܥൌܧ쳌，
׵ סܧ쳌ܥൌסܧܥ쳌ൌʹʹൌל，
׵ סܣ쳌ܧൌൌͺͲל െ͸͹ൌל െʹʹൌל ൌ耀Ͳל，
׵ᇞܣ쳌ܧ为等腰直角三角形，ܧ쳌ൌܣ쳌ൌ݉
ൌͺ െͶ ʹ，
׵ ܥܧൌܧ쳌ൌͺ െͶ ʹ，
׵ ㌳ൌܵ
ܥܧ쳌ܤൌܥܧڄ ܤܥൌሺͺ െͶ ʹሻൈͶ ʹ ൌ͵ʹ ʹ െ͵ʹ ，故C 正确；
当ݔൌ͵ 时，݉
ᦙ͵ ᦙ݊
，点ܧ在ܣܥ上，点ܨ在ܤܥ上，
过쳌作쳌ܩ٣ ܣܥ于ܩ，则쳌ܩൌܣܩൌ
ʹ
ʹ ݔൌ
͵ ʹ
ʹ ，ܥܩൌͶ ʹ െ
͵ ʹ
ʹ ൌ
ൌʹ
ʹ ，
则ܥ쳌ʹ ൌ쳌ܩʹ 㘮ܥܩʹ ൌ
耀
ʹ 㘮
ʹൌ
ʹ ൌൌ͹ ，
根据题意可知ܥܧൌ쳌ܧ，则ܧܩൌܥܩെܥܧൌ
ൌʹ
ʹ െ쳌ܧ，
根据勾股定理，得쳌ܧʹ ൌܧܩʹ 㘮쳌ܩʹ，
即쳌ܧʹ ൌሺ
ൌʹ
ʹ െ쳌ܧሻʹ 㘮ሺ
͵ ʹ
ʹ ሻʹ，
解得쳌ܧൌܥܧൌ
ൌ͹
ൌͲ
ʹ．
∵ܥ쳌ൌ
ൌ͹，
∴ܥܱ
ൌ
ൌ͹
ʹ ，
根据勾股定理，得ܥܧʹ ൌܧܱ
ʹ 㘮ܥܱ
ʹ，即ሺ
ൌ͹ ʹ
ൌͲ ሻʹ ൌܧܱ
ʹ 㘮ሺ
ൌ͹
ʹ ሻʹ，
解得ܧܱ
ൌ
͵ ൌ͹
ൌͲ ．
∵סܧܥܱ
ൌסܥܨܧ쳌סܥܱܧൌסܧܥܨൌ耀Ͳι，
∴ᇞܧܥܱ
׾ᇞܧܨܥ，
∴
ܥܱ
ܥܨൌ
ܧܱ
ܥܧ，
即
ൌ͹
ʹ
ܥܨൌ
͵ ൌ͹
ൌͲ
ൌ͹ ʹ
ൌͲ
，
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解得ܥܨൌ
ൌ͹ ʹ
͸ ，
∴ݕൌʹ ൈ
ൌ
ʹ ܥܧڄ ܥܨൌܥܧڄ ܥܨൌ
ൌ͹ ʹ
ൌͲ ൈ
ൌ͹ ʹ
͸
ൌ
ʹͺ耀
͵Ͳ്
ൌ͹
ʹ ，
所以点ሺ͵쳌
ൌ͹
ʹ ሻ不在该函数图象上．
则D 不正确．
4．如图1，在ᇞܣܤܥ中，点쳌是边ܣܥ上的定点，点ܲ
从点쳌出发，依次沿쳌՜ ܣ՜ ܤ՜ ܥ՜ 쳌的路线
匀速运动，回到点쳌时停止．设点ܲ
运动的路程为ݔ，쳌ܲ
ʹ为ݕ，则ݕ关于ݔ的函数图象如图2 所示，其中
ܯ，ܰ
分别是所在曲线的最低点，下列选项错误的是（
）
A．ܣ쳌ൌʹͲ
B．点ܯ的纵坐标为144
C．ܤܥൌ
Ͷ
ൌܣ쳌
D．点͸Ͷ쳌͵͸ 在该函数图象上
【答案】C
【分析】根据图2 最高点得出ܣ쳌长，根据ܯ点横坐标得出ܣܧ长进而求出쳌ܧ及ܯ点纵坐标；结合
图2 终点横坐标及选项D 验证ܥ쳌长，利用勾股定理逆定理推导ܣܤ、ܤܥ长，从而判断选项．
【详解】解：由图2 可知，ݕ的最大值为400，此时ܲ
运动到ܣ点，
∴ܣ쳌ʹ ൌͶͲͲ，解得ܣ쳌ൌʹͲ，故A 选项正确；
由图2 可知，ܯ点为ܣ՜ ܤ段的最低点，此时쳌ܲ
٣ ܣܤ，过点D 作쳌ܧ٣ ܣܤ，
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∵ܯ点横坐标为36，
∴ܣܧൌ͵͸ െܣ쳌ൌ͵͸ െʹͲ ൌൌ͸，
在Rt ᇞܣ쳌ܧ中，쳌ܧൌ
ܣ쳌ʹ െܣܧʹ ൌ
ʹͲʹ െൌ͸ʹ ൌൌʹ，
∴ܯ点纵坐标为쳌ܧʹ ൌൌͶͶ，故B 选项正确；
在图1 中，作点B 关于쳌ܧ的对称点F，
则쳌ܨʹ ൌ쳌ܤʹ，ܤܧൌܧܨ，
根据图2 可知ܲ
运动到点B 和点F 时，ݕൌ쳌ܲ
ʹ相等，
则ܣܨ㘮ܣ쳌ൌʹ͹，
∴ܣܨൌʹ͹ െܣ쳌ൌʹ͹ െʹͲ ൌ͹，
∴ܤܧൌܧܨൌܣܧെܣܨൌൌ͸ െ͹ ൌ耀，
∴ܣܤൌܣܨ㘮ܤܧ㘮ܧܨൌ͹ 㘮耀㘮耀ൌʹൌ，
∵ܤܧൌ耀，쳌ܧൌൌʹ，
∴ܤ쳌ൌ
ܤܧʹ 㘮쳌ܧʹ ൌൌൌ，
∴ܤ쳌ʹ 㘮ܣ쳌ʹ ൌܣܤʹ，
∴ᇞܣ쳌ܤ是直角三角形，סܣ쳌ܤൌסܤ쳌ܥൌ耀Ͳι，
由图2 可知ܲ
运动到ܥ点时ݔൌ͸ʹ，
∴ܣ쳌㘮ܣܤ㘮ܤܥൌ͸ʹ，
∴ܤܥൌ͸ʹ െܣ쳌㘮ܣܤൌൌ͹，
选项C 中ܤܥൌ
Ͷ
ൌܣ쳌ൌ
Ͷ
ൌൈʹͲ ൌൌ͸്
ൌ͹，故C 选项错误；
在ᇞܤ쳌ܥ中，ܥ쳌ൌ
ܤܥʹ െܤ쳌ʹ ൌ
ൌ͹ʹ െൌൌʹ ൌͺ，
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若选项D 正确，即点͸Ͷ쳌͵͸ 在函数图象上，
此时ܲ
在ܥ՜ 쳌段，ݔൌ͸Ͷ，
则ܲ
从ܥ՜ 쳌点运动了͸Ͷ െ͸ʹ ൌʹ，
∴쳌ܲ
ൌܥ쳌െʹ，
又ݕൌ쳌ܲ
ʹ ൌ͵͸，∴쳌ܲ
ൌ͸，
∴ܥ쳌ൌ͸ 㘮ʹ ൌͺ，符合题意；
综上，D 选项正确，C 选项错误．
5．（2026·浙江温州·二模）某校在教学楼顶安装可调节角度的光伏板，用于绿色发电．如图，长为2 米的
光伏板ܣܤ斜靠在竖直于地面的支架ܤܥ上，倾斜角为ߙ，为提高发电效率，将底端ܣ沿ܥܣ方向移动到点ܣԢ，
顶端ܤ向下滑动到点ܤԢ，此时倾斜角为ߚ，则顶端下降的垂直高度ܤܤԢ为（）
A．ʹsinߚെʹsinߙ米
B．ʹsinߙെʹsinߚ米
C．ʹcosߚെʹcosߙ米
D．ʹcosߙെʹcosߚ米
【答案】B
【分析】根据题意可知ܣܤൌܣԢܤԢ ൌʹ，在Rt ᇞܣܤܥ和Rt ᇞܣԢܤԢܥ中，分别利用正弦函数求出ܤܥ和ܤԢܥ
的长，最后根据ܤܤ̵ ൌܤܥെܤ̵ ܥ即可求解．
【详解】解：由题意可知，光伏板长度不变，即ܣܤൌܣԢܤԢ ൌʹ 米，且סܥൌ耀Ͳל．
在Rt ᇞܣܤܥ中，סܤܣܥൌߙ，
׶ sinߙൌ
ܤܥ
ܣܤ，
׵ ܤܥൌܣܤڄ sinߙൌʹsinߙ．
在Rt ᇞܣԢܤԢܥ中，סܤԢܣԢܥൌߚ，
∵sinߚൌ
ܤԢܥ
ܣԢܤԢ，
׵ ܤԢܥൌܣԢܤԢ ڄ sinߚൌʹsinߚ．
∴ܤܤԢ ൌܤܥെܤԢܥൌʹsinߙെʹsinߚ米．
6．（2026·浙江·模拟预测）如图1，在菱形ܣܤܥ쳌与菱形ܧܨܲܳ
中，ܣܤൌܧܨ，且סܨܧܳ
ൌ סܤܣ쳌，点ܲ
在
射线ܣܥ上，点ܧ在直线ܣܥ上．菱形ܧܨܲܳ
沿射线ܣܥ平移，设点ܣ与点ܲ
的距离为ݔͲ ൑ݔ൑ൌʹ ，菱
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形ܣܤܥ쳌与菱形ܧܨܲܳ
重叠部分的图形面积为ݕ．若ݕ关于ݔ的函数图象如图2 所示，则下列选项正确的
是（
）
A．ܤ쳌ൌ͸
B．sinסܥܣ쳌ൌ
ʹ
͵
C．当ݔൌ耀时，ݕൌ͵
D．当ݔ㠮ൌ时，ݕ㠮
ൌ
͵
【答案】C
【分析】本题考查由图象获取信息，菱形的判定及性质，锐角三角形函数，掌握相关知识是解题的关
键．
由题意可得，菱形ܣܤܥ쳌的面积为12，ܣܥൌ͸，根据菱形的面积公式即可求出ܤ쳌，从而判断A 选项；
连接ܤ쳌，根据菱形的对角线互相垂直平分可求出ܣܱ
ൌ
ൌ
ʹ ܣܥൌ͵，쳌ܱ
ൌ
ൌ
ʹ ܤ쳌ൌʹ，再由勾股定理求出ܣ쳌，
根据正弦的定义即可判断B 选项；当ݔൌ耀时，ܣܲ
ൌ耀，可得点O 与点E 重合，设ܥ쳌与ܧܳ
相交于点M，
ܤܥ与ܧܨ相交于点N，连接ܯܰ，交ܣܲ
于点H，证明重合部分四边形ܯܧܰܥ是菱形，求出ܥܧ，ܯܰ
的长，
进而求出菱形ܯܧܰܥ的面积，即可判断C 选项；由图象可得，当ݔൌൌʹ 时，ݕൌͲ，即可判断D 选项．
【详解】解：由题意可得，当菱形ܧܨܲܳ
与菱形ܣܤܥ쳌重合时，重叠部分的面积y 最大，此时点P 与
点C 重合时，点E 与点A 重合，ܣܲ
ൌܣܥൌݔ，重合部分的面积y 是菱形ܣܤܥ쳌的面积，
由图象可得，此时ݔൌൌʹ ൊʹ ൌ͸，ݕൌൌʹ，
∴ܣܥൌ͸，ܵ菱形ܣܤܥ쳌ൌൌʹ，
∵ܵ菱形ܣܤܥ쳌ൌ
ൌ
ʹ ܣܥڄ ܤ쳌，即ൌʹ ൌ
ൌ
ʹ ൈ͸ܤ쳌，
∴ܤ쳌ൌͶ，故A 选项错误．
连接ܤ쳌，交ܣܥ于点O，
∵四边形ܣܤܥ쳌是菱形，
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∴ܣܱ
ൌ
ൌ
ʹ ܣܥൌ͵，쳌ܱ
ൌ
ൌ
ʹ ܤ쳌ൌʹ，ܣܥ٣ ܤ쳌，
∴在Rt ᇞܣܱ쳌中，ܣ쳌ൌ
ܣܱ
ʹ 㘮쳌ܱ
ʹ ൌ
͵ʹ 㘮ʹʹ ൌ
ൌ͵，
∴sinסܥܣ쳌ൌ
쳌ܱ
ܣ쳌ൌ
ʹ
ൌ͵ ൌ
ʹ ൌ͵
ൌ͵ ，故选项B 错误；
当ݔൌ耀时，ܣܲ
ൌ耀，
∵在菱形ܣܤܥ쳌与菱形ܧܨܲܳ
中，ܣܤൌܧܨ，且סܨܧܳ
ൌ סܤܣ쳌，
∴菱形ܣܤܥ쳌与菱形ܧܨܲܳ
全等，
∴ܧܲ
ൌܣܥൌ͸，
∴ܣܧൌܣܲ
െܧܲ
ൌ耀െ͸ ൌ͵，
∴ܣܱ
ൌܣܧ，
∴点O 与点E 重合，如图所示，
设ܥ쳌与ܧܳ
相交于点M，ܤܥ与ܧܨ相交于点N，连接ܯܰ，交ܣܲ
于点H，
∵在菱形ܣܤܥ쳌和菱形ܧܨܲܳ
中，ס쳌ܣܥൌסܤܣܥൌ
ൌ
ʹ סܤܣ쳌，סܳܧܲ
ൌסܨܧܲ
ൌ
ൌ
ʹ סܳܧܨ，
又סܨܧܳ
ൌ סܤܣ쳌，
∴סܳܧܲ
ൌס쳌ܣܥ，סܨܧܲ
ൌסܤܣܥ，
∴ܳܧצܣ쳌，ܨܧצܣܤ，
∵在菱形ܣܤܥ쳌中，ܣ쳌צܤܥ，ܣܤצܥ쳌，
∴ܳܧצܤܥ，ܨܧצܥ쳌，
∴四边形ܯܧܰܥ是平行四边形，
∵ܣܤצܥ쳌，
∴ס쳌ܥܣൌסܥܣܤ，
∵סܳܧܲ
ൌס쳌ܣܥൌסܤܣܥ，
∴סܳܧܲ
ൌס쳌ܥܣ，
∴ܯܧൌܯܥ，
∴四边形ܯܧܰܥ是菱形，
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∴ܯܰ
٣ ܣܲ，ܥܪൌ
ൌ
ʹ ܥܧ，ܯܰ
ൌʹܯܪ，
∵ܥܧൌܥܱ
ൌ
ൌ
ʹ ܣܥൌ͵，
∴ܥܪൌ
͵
ʹ
∵在Rt ᇞܥܱ쳌中，tanס쳌ܥܱ
ൌ
쳌ܱ
ܥܱ
ൌ
ʹ
͵，
∴在Rt ᇞܥܯܪ中，ܯܪൌܥܪڄ tanס쳌ܥܱ
ൌ
͵
ʹ ڄ
ʹ
͵ ൌൌ，
∴ܯܰ
ൌʹܯܪൌʹ，
∴ܵ菱形ܯܧܰܥൌ
ൌ
ʹ ܥܧڄ ܯܰ
ൌ
ൌ
ʹ ൈ͵ ൈʹ ൌ͵，
即ݕൌ͵，故选项C 正确．
由图象可得，当ݔൌൌʹ 时，ݕൌͲ，故选项D 错误．
故选：C．
7．（2026·浙江宁波·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线ݕൌݔ㘮ܾ
分别交ݔ轴，ݕ轴于ܣ，ܤ两点，ܲ
为线段ܱ
ܤ上一点，且
ܤܱܲܲൌ
ൌ
͵，连接ܣܲ，将ܣܲ
绕点ܲ
逆时针旋转Ͷൌι交ݔ轴于点ܥ，若ܣሺെͶ쳌Ͳሻ，则ܥ
点坐标为（
）
A．െ
ൌ
ʹ 쳌Ͳ
B．െ
͵
͹ 쳌Ͳ
C．െ
͵
ͺ 쳌Ͳ
D．െ
ʹ
ൌ쳌Ͳ
【答案】B
【分析】把ܣሺെͶ쳌Ͳሻ代入ݕൌݔ㘮ܾ
求出ܾ
ൌͶ，进而求出ܤሺͲ쳌Ͷሻ，得出ᇞܱ
ܣܤ是等腰直角三角形，
סܱܣܤൌסܱܤܣൌͶൌι，ܣܤൌͶ ʹ，ܤܲ
ൌൌ，ܱܲ
ൌ͵，证明ᇞܤܪܲ
是等腰直角三角形，得出ܤܪൌܲ
ܪൌ
ʹ
ʹ ，
ܣܪൌ
͹ ʹ
ʹ ，利用旋转的性质及外角性质得出סܤܣܲ
ൌסܱܲ
ܥ，根据tanסܤܣܲ
ൌtanסܱܲ
ܥ得出ܲ
ܪ
ܣܪൌܱ
ܥܱܲ，即可
求出ܱ
ܥൌ
͵
͹，根据点ܥ在ݔ轴负半轴可得点ܥ坐标．
【详解】解：如图，过点ܲ
作ܲ
ܪ٣ ܣܤ于ܪ，
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∵直线ݕൌݔ㘮ܾ
分别交ݔ轴，ݕ轴于ܣ，ܤ两点，ܣሺെͶ쳌Ͳሻ，
∴െͶ 㘮ܾ
ൌͲ，
解得：ܾ
ൌͶ，
∴直线ܣܤ的解析式为ݕൌݔ㘮Ͷ，
当ݔൌͲ 时，ݕൌͶ，
∴ܤሺͲ쳌Ͷሻ，ܱܣൌܱ
ܤൌͶ，
∴ᇞܱ
ܣܤ是等腰直角三角形，סܱܣܤൌסܱܤܣൌͶൌι，ܣܤൌ
ʹܱܣൌͶ ʹ，
∵
ܤܱܲܲൌ
ൌ
͵，
∴ܤܲ
ൌൌ，ܱܲ
ൌ͵，
∵ܲܪ٣ ܣܤ，
∴ᇞܤܪܲ
是等腰直角三角形，
∴ܤܪൌܲ
ܪൌ
ʹ
ʹ ܤܲ
ൌ
ʹ
ʹ ，ܣܪൌܣܤെܤܪൌ
͹ ʹ
ʹ ，
∵将ܣܲ
绕点ܲ
逆时针旋转Ͷൌι交ݔ轴于点ܥ，
∴סܣܲܥൌͶൌι，
∵סܣܱܲ
ൌסܤܣܲ
㘮סܱܤܣൌסܣܲܥ㘮סܱܲ
ܥ，
∴סܤܣܲ
ൌסܱܲ
ܥ，
∴tanסܤܣܲ
ൌtanסܱܲ
ܥ，即ܲ
ܪ
ܣܪൌܱ
ܥܱܲ，
∴
ʹ
ʹ
͹ ʹ
ʹ
ൌܱ
ܥ
͵ ，
解得：ܱܥൌ
͵
͹，
∴ܥ点坐标为ሺെ
͵
͹ 쳌Ͳሻ．
8．（2026·浙江温州·二模）如图1，一个立方体箱子（侧面为正方形ܣܤܥ쳌）沿着足够长的斜坡从点ܧ向点
ܨ运动，过点ܥ作ܥܪ٣ ܧܩ于点ܪ，设ܣܧ为ݔ，ܥܪെܧܪ的值为ݕ，如图2，ݕ关于ݔ的函数图象与ݔ轴
交于点ܲ
͸쳌Ͳ ，且经过点ܯൌൌ쳌݉
．若tanסܨܧܩൌ
͵
Ͷ．则下列选项正确的是（）
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A．݉
ൌെൌʹ
B．ܣܤൌͲͺ
C．点ൌ쳌Ͳʹ 在该函数图象上
D．点ܰ
的纵坐标是2
【答案】C
【分析】设正方形ܣܤܥ쳌的边长为ܽ
，过点ܤ作ܤܳ
٣ ܧܩ于点ܳ
，过点ܥ作ܥܲ
٣ ܤܳ
交ܤܳ
的延长线
于点ܲ
，利用三角函数分别表示出ܥܪ和ܧܪ的长度，从而得到ݕ与ݔ的函数关系式，代入点ܲ
坐标求出ܽ
的值，进而确定函数解析式，最后对各选项进行判断
【详解】解：设正方形ܣܤܥ쳌的边长为ܽ
，则ܣܤൌܤܥൌܽ
，
׶ tanסܨܧܩൌ
͵
Ͷ，
׵ sinסܨܧܩൌ
͵
ൌ쳌cosסܨܧܩൌ
Ͷ
ൌ，
过点ܤ作ܤܳ
٣ ܧܩ于点ܳ
，过点ܥ作ܥܲ
٣ ܤܳ
交ܤܳ
的延长线于点ܲ
，
׶ ܥܪ٣ ܧܩ쳌ܤܳ
٣ ܧܩ쳌ܥܲ
٣ ܤܳ，
׵四边形ܥܲܳ
ܪ为矩形，
׵ ܥܪൌܲܳ
ൌܲ
ܤ㘮ܤܳ쳌ܧܪൌܧܳ
െܪܳ
ൌܧܳ
െܥܲ，
在Rt ᇞܧܤܳ
中，ܧܤൌܣܧ㘮ܣܤൌݔ㘮ܽ
，
׵ ܤܳ
ൌܧܤڄ sinסܨܧܩൌ
͵
ൌሺݔ㘮ܽ
ሻ쳌ܧܳ
ൌܧܤڄ cosסܨܧܩൌ
Ͷ
ൌሺݔ㘮ܽ
ሻ，
׶ סܥܤܲ
㘮סܧܤܳ
ൌ耀Ͳι쳌סܨܧܩ㘮סܧܤܳ
ൌ耀Ͳι，
׵ סܥܤܲ
ൌסܨܧܩ，
在Rt ᇞܥܤܲ
中，ܤܥൌܽ
，
׵ܲ
ܤൌܤܥڄ cosסܥܤܲ
ൌ
Ͷ
ൌܽ쳌ܥܲ
ൌܤܥڄ sinסܥܤܲ
ൌ
͵
ൌܽ，
׵ ܥܪൌ
͵
ൌሺݔ㘮ܽ
ሻ㘮
Ͷ
ൌܽ
ൌ
͵
ൌݔ㘮
͹
ൌܽܧܪൌ
Ͷ
ൌሺݔ㘮ܽ
ሻെ
͵
ൌܽ
ൌ
Ͷ
ൌݔ㘮
ൌ
ൌܽ，
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׵ ݕൌܥܪെܧܪൌሺ
͵
ൌݔ㘮
͹
ൌܽሻെሺ
Ͷ
ൌݔ㘮
ൌ
ൌܽሻൌെ
ൌ
ൌݔ㘮
͸
ൌܽ
即ݕൌെͲʹݔ㘮ൌʹܽ，
׶图象过点ܲ
ሺ͸쳌Ͳሻ，
׵ Ͳ ൌെͲʹ ൈ͸ 㘮ൌʹܽ，解得ܽ
ൌൌ，
׵函数解析式为ݕൌെͲʹݔ㘮ൌʹ，且ܣܤൌൌ，故B 选项错误；
当ݔൌൌൌ时，݉
ൌെͲʹ ൈൌൌ㘮ൌʹ ൌെൌ，故A 选项错误；
当ݔൌൌ时，ݕൌെͲʹ ൈൌ㘮ൌʹ ൌͲʹ，
׵点ሺൌ쳌Ͳʹሻ在该函数图象上，故C 选项正确；
当ݔൌͲ 时，ݕൌൌʹ，
׵点ܰ
的纵坐标是ൌʹ，故D 选项错误．
9．（2026·浙江金华·二模）如图ൌ，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܣܤܥൌ耀Ͳι，ܣܤൌܤܥ，以ܣܥ中点ܱ
为圆心、ܱܣ
长为半径作弧ܣܤ．点쳌从点ܣ出发，沿弧ܣܤ及线段ܤܥ向终点ܥ运动．记쳌的运动路程为ݔ，ܱ쳌ൌݕ，
ݕ关于ݔ的函数图象如图ʹ 所示，图象过点ܲܽ
쳌Ͷ ，则下列说法错误的是（
）．
A．点쳌在弧ܣܤ上运动时，ݕ的图象为一条线段
B．当ݔൌʹπ时，点쳌运动到点ܤ
C．ܱ쳌的最小值为ʹ ʹ
D．ܽ
ൌʹπ 㘮͵ ʹ
【答案】D
【分析】连接ܱ
ܤ，先根据题意和图ൌ确定Rt ᇞܣܤܥ为等腰直角三角形、ᇞܱ
ܤܥ为等腰直角三角形，
再根据图ʹ 进行分类，①当点쳌在ܣܤ
Ⴃ上，②当点쳌在线段ܤܥ上，结合等腰直角三角形的性质和弧长的性
质、及函数图像的性质判断即可．
【详解】连接ܱ
ܤ，
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∵在Rt ᇞܣܤܥ中，סܣܤܥൌ耀Ͳι，ܣܤൌܤܥ，
∴Rt ᇞܣܤܥ为等腰直角三角形，
∴סܣܥܤൌͶൌι，
∵点ܱ
为ܣܥ中点，
∴ܱܣൌܱ
ܥൌܱ
ܤ，סܣܱܤൌסܤܱܥൌ耀Ͳι，
∴ᇞܱ
ܤܥ为等腰直角三角形，
∵쳌的运动路程为ݔ，ܱ쳌ൌݕ，
又∵点쳌从点ܣ出发，沿弧ܣܤ及线段ܤܥ向终点ܥ运动，
①当点쳌在ܣܤ
Ⴃ上，
∴ܱ쳌ൌܱ
ܣൌܱ
ܤ，
∴ݕ为定值，ݕ的图象为一条线段，结合图像，ܱ쳌ൌͶ，故A 选项正确，不符合条件，
∴݈ܣܤ
Ⴃൌ
סܣܱ쳌ڄπڄܱ쳌
ൌͺͲι
，
∵Ͳι ൑סܣܱ쳌൑耀Ͳι，
∴Ͳ ൑݈
ܣܤ
Ⴃ൑ʹπ；
∴当ݔൌʹπ时，点쳌运动到点ܤ，故B 选项正确，不符合条件，
②当点쳌在线段ܤܥ上，
如图，过点ܱ
作ܱ
ܧ٣ ܤܥ交ܤܥ于点ܧ
当ܱ
쳌٣ ܤܥ，即ܱ
쳌有最小值，쳌、ܧ重合，
∵ܱ쳌٣ ܤܥ，סܣܥܤൌͶൌι，ܱܥൌܱ
ܤൌͶ，
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∴最小值ܱ
쳌ൌsinͶൌι ڄܱ
ܥൌʹ ʹ，故C 选项正确，不符合条件，
∵סܤܱܥൌ耀Ͳι，סܣܥܤൌͶൌι，ܱܥൌܱ
ܤൌͶ，
∴ܤܥൌ
Ͷ
sinͶൌι ൌͶ ʹ，
∵从图ൌ中，可看出ܱ
쳌先减小，再增大，由图ʹ 可得，点ܯ与点ܲ
为对称点，
点ܯ即在图ൌ中点쳌在点ܤ时的坐标，即ܱ
쳌ൌܱ
ܤൌͶ，
∴点ܲ
表示图ൌ中点쳌在点ܥ时的坐标，
∴ܽ
ൌܣܤ㘮ܤܥൌʹπ 㘮Ͷ ʹ，故D 选项不正确，符合条件．
10．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在矩形ܯܰܲܳ
内正好放置一个立方体的表面展开图，正方形ܣܤܥ쳌
是原立方体的一个面，点ܧ，ܨ，ܩ是原立方体的顶点，展开后点ܣ，ܧ，ܨ，ܩ均在矩形ܯܰܲܳ
的边上，若
点ܥ，쳌，ܳ
在同一直线上，则tanסܣܧܯ的值是______．
【答案】
ൌ͵㘮ൌ
ʹ
【分析】过点ܩ作ܩܪ٣ܳ
ܥ于点ܪ，不妨设ܳ
ܪൌݔ，小正方形的边长为1，先证明四边形ܪܥܨܩ是矩
形，根据סܩܳܪ㘮סܣܳܪൌ耀Ͳι ൌסܣܳܪ㘮סܳܣ쳌，得到סܩܳܪൌסܳܣ쳌，接着tanסܩܳܪൌtanסܳܣ쳌，算得ܳ
ܪ，再证明סܣܧܯൌסܳܣ쳌，从而得出答案．
【详解】解：过点ܩ作ܩܪ٣ܳ
ܥ于点ܪ，不妨设ܳ
ܪൌݔ，小正方形的边长为1，如图所示：
∵四边形ܯܰܲܳ
是矩形，
∴סܲܳ
ܯൌסܯൌ耀Ͳι，
∵סܩܪ쳌ൌסܪܩܨൌסܪܥܨൌ耀Ͳι，
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∴四边形ܪܥܨܩ是矩形，
∴ܩܨൌܪܥൌʹ쳌ܥܨൌܪܩൌ͵，
∵סܣ쳌ܳ
ൌסܣܳܲ
ൌ耀Ͳι，
∵סܩܳܪ㘮סܣܳܪൌ耀Ͳι ൌסܣܳܪ㘮סܳܣ쳌，
∴סܩܳܪൌסܳܣ쳌，
∴tanסܩܳܪൌtanסܳܣ쳌，
∵
ܩܪܳ
ܪൌܳ
쳌
ܣ쳌，
∴
͵
ݔൌ
ൌ㘮ݔ
ൌ，
∴ݔൌ
െൌ㘮ൌ͵
ʹ
（舍去负值），
∴ܳܪൌ
െൌ㘮ൌ͵
ʹ
，
∵四边形ܣܤܥ쳌是正方形，
∴ܣܤצ ܥ쳌，
∴ܣܧצܳ
ܥ，
∴סܯܣܧൌסܣܳ쳌，
∴ൌͺͲι െסܯെסܯܣܧൌൌͺͲι െסܳ쳌ܣെסܣܳ쳌，
∴סܣܧܯൌסܳܣ쳌，
∴tanסܣܧܯൌtanסܳܣ쳌ൌܳ
쳌
ܣ쳌ൌ
െൌ㘮ൌ͵
ʹ
㘮ൌ
ൌ
ൌ
ൌ㘮ൌ͵
ʹ
．
11．（2026·浙江嘉兴·二模）如图ൌ，已知ᇞܣܤܥ中，סܣൌ͸Ͳι，סܣܥܤൌ耀Ͳι．点ܲ
是边ܣܤ上一动点，点ܳ
在边ܤܥ上，且סܥܲܳ
为定角．设ܣܲ
ൌݔ，ܤܳ
ൌݕ，若ݕ关于ݔ的函数图象如图ʹ 所示，则݉
的值是________．
【答案】
ൌ
ʹ/Ͳൌ
【分析】先求得定角סܥܲܳ
ൌסܥܣܤൌ͸Ͳι，作ܳ
ܪ٣ ܣܤ于点ܪ，在ܣܪ上取点ܩ，使ܪܩൌܪܤ，连接ܳ
ܩ和ܥܩ，求得点ܲ
与点ܩ重合，据此即可求解．
【详解】解：由图ʹ 可知，当ݔൌܣܲ
ൌʹ 时，ݕൌܤܳ
ൌͲ，说明此时点ܲ
与点ܤ重合，
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∴ܣܤൌʹ，
∵ᇞܣܤܥ中，סܣൌ͸Ͳι，סܣܥܤൌ耀Ͳι，
∴ܣܥൌܣܤڄ cos͸Ͳι ൌൌ，ܤܥൌܣܤڄ sin͸Ͳι ൌ
͵，סܤൌ͵Ͳι，
当ݔൌͲ 时，ܲ
与ܣ重合，ݕൌͲ 说明ܳ
与ܤ重合，
∴定角סܥܲܳ
ൌסܥܣܤൌ͸Ͳι，
作ܳ
ܪ٣ ܣܤ于点ܪ，在ܣܪ上取点ܩ，使ܪܩൌܪܤ，连接ܳ
ܩ和ܥܩ，
由题意得ܤܳ
ൌݕൌ
͵
ʹ ，סܤൌ͵Ͳι，
∴ܳܪൌ
͵
Ͷ ，ܪܩൌܪܤൌ
͵
Ͷ，
∴ܤܩൌ
͵
ʹ，
∵ܪܩൌܪܤ，ܳܪ٣ ܣܤ，
∴ܳܩൌܳ
ܤൌ
͵
ʹ ，סܳܩܤൌסܤൌ͵Ͳι，
∴ܥܳ
ൌܤܥെܤܳ
ൌ
͵
ʹ ൌܳ
ܩ，סܥܳܩൌסܳܩܤ㘮סܤൌ͸Ͳι，
∴ᇞܥܩܳ
是等边三角形，
∴סܥܩܳ
ൌ͸Ͳι，
∴此时，点ܲ
与点ܩ重合，
∴݉
ൌܣܲ
ൌܣܩൌܣܤെܤܩൌʹ െ
͵
ʹ ൌ
ൌ
ʹ．
12．（2026·浙江·二模）如图，ܣܤܥ쳌的边ܣ쳌ൌ݇
，ܣܤൌʹ݇，סܤܣ쳌ൌͶൌι，ܧ是ܥ쳌边上的一点，将ᇞܥܤܧ
沿着ܤܧ翻折得到ܥ̵ ܤܧ，连接쳌ܥ̵ ，ܣܥ̵ ．
（1）若݇
ൌൌ，且点ܥ̵ 落在边ܥ쳌上时，则ᇞܣ쳌ܥ̵ 的面积为________；
（2）当ᇞܣ쳌ܥ̵ 面积最小时，则ܥܧ的长为_________．（用含݇
的式子表示）
【答案】
ʹെൌ
ʹ
ʹ
ʹ݇
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【分析】（1）当点ܥ̵ 落在边ܥ쳌上时，根据折叠的性质可知ܤܧ٣ ܥ쳌，ܤܥൌܤܥ̵ ൌൌ，根据等腰直角
三角形的性质可知ܥܧൌܥ̵ ܧൌ
ʹ
ʹ ，根据ܥ쳌ൌʹ 可以求出쳌ܥ̵ ൌʹ െ
ʹ，根据三角形的面积公式即可求出
ᇞܣ쳌ܥ̵ 的面积；
（2）根据折叠的性质可知，点ܥ̵ 在以点ܤ为圆心ܤܥ为半径的圆上，当点ܥ̵ 到ܣ쳌的距离最小时，ᇞܣ쳌ܥ̵
的面积最小，根据垂线段最短，过点ܤ作ܤܨ٣ ܣ쳌于点ܨ，交ٖ
ܤ于点ܥ̵ ，根据平行四边形的性质可知
סܨܤܥൌסܨൌ耀Ͳι，根据折叠的性质可知ܤܧ是ܥܥ̵ 的垂直平分线，再由条件证得ܥ̵ 쳌ܧ쳌ܥ三点共线，从而得
到ᇞܤܥܧ是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可以求出ܥܧൌ
ʹ
ʹ݇
．
【详解】（1）解：当点ܥ̵ 落在边ܥ쳌上时，如下图所示，
׶݇
ൌൌ，
׵ ܣ쳌ൌ݇
ൌൌ，ܣܤൌʹ݇
ൌʹ，
׶
ܣܤܥ쳌中סܤܣ쳌ൌͶൌι，
׵ סܥൌͶൌι，ܤܥൌܣ쳌ൌൌ，ܣܤൌܥ쳌ൌʹ，
由折叠可知ܤܧ٣ ܥ쳌，ܤܥൌܤܥ̵ ൌൌ，
׵ ܥܧൌܥ̵ ܧൌ
ʹ
ʹ ，
׵ ܥܥ̵ ൌʹܥܧൌ
ʹ，
׵ 쳌ܥ̵ ൌܥ쳌െܥܥ̵ ൌʹ െ
ʹ，
׵ܵ
ᇞܣ쳌ܥ̵ ൌ
ൌ
ʹ 쳌ܥ̵ ൉ܤܧൌ
ൌ
ʹ ൈʹ െ
ʹ ൈ
ʹ
ʹ ൌ
ʹെൌ
ʹ ；
（2）解：如下图所示，
由折叠可知点ܥ̵ 在以点ܤ为圆心ܤܥ为半径的圆上，
׶ ܣ쳌的长度一定，
׵当点ܥ̵ 到ܣ쳌的距离݄
最小时，ᇞܣ쳌ܥ̵ 的面积最小，
过点ܤ作ܤܨ٣ ܣ쳌于点ܨ，交ٖ
ܤ于点ܥ̵ ，
׵ סܣܨܤൌ耀Ͳι，
׶ ܣܤൌʹ݇，סܣൌͶൌι，
׵ סܣܤܨൌͶൌι，
∴ᇞܣܤܨ是等腰直角三角形，
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∴ܤܨൌ
ʹ݇，
则݄最小值ൌܤܨെܤܥ̵ ൌ
ʹ݇െ݇
ൌ
ʹ െൌ݇
，
׶四边形ܣܤܥ쳌是平行四边形，
׵ ܣ쳌צܤܥ，סܧܥܤൌסܣൌͶൌι，
׵ סܨܤܥൌסܨൌ耀Ͳι，
由折叠可知ܤܧ平分סܨܤܥ，
׵ סܨܤܧൌסܥܤܧൌͶൌι，
由折叠可知ܤܧ٣ ܥܥ̵ ，
又׶ סܥܤܧൌͶൌι，
׵ סܥ̵ ܥܤൌͶൌι，
又׶ סܧܥܤൌͶൌι，
׵ ܥ̵ 쳌ܧ쳌ܥ三点共线，即ܥ̵ 在ܥ쳌边上，
∴ᇞܤܥܧ是等腰直角三角形，
׵ ܥܧൌܤܧൌ
ʹ
ʹ ܤܥൌ
ʹ
ʹ݇
．
13．（2026·浙江·模拟预测）如图，E 为矩形ܣܤܥ쳌对角线ܤ쳌上一动点，סܣܤ쳌ൌߙ．连接ܣܧ，将ܣܧ绕
点A 逆时针旋转ߙ后并延长，交射线ܤ쳌于点F，交射线ܥ쳌于点G．已知tanߙൌ
Ͷ
͵，则当
쳌ܩ
ܥ쳌ൌ
ʹ
͵时，
쳌ܧ
쳌ܨൌ__________．
【答案】
ൌ
ൌ或
ൌൌ
ൌ
【分析】在Rt ᇞܣܤ쳌中，可得ܣ쳌ൌ
Ͷ
͵ ܣܤ，ܤ쳌ൌ
ൌ
͵ ܣܤ，当点F 在线段ܤ쳌上时，连接ܣܥ交ܤ쳌于点ܱ
，不妨设쳌ܩൌʹܽ，那么ܥ쳌ൌ͵ܽ
ൌܣܤ，则ܥܩൌܽ
，证明ᇞܣܤܧ׾ᇞܣܥܩ，可得ܤܧൌ
͵
ൌܽ，再证明ᇞ쳌ܨܩ׾ᇞ
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ܤܨܣ，可得쳌ܨൌ
ʹ
ൌܤ쳌ൌʹܽ，再通过ܤ쳌െܤܧ算得쳌ܧ，即可得出答案；当点F 落在射线ܤ쳌上，证明ᇞܣܤܨ׾
ᇞܩ쳌ܨ，得到쳌ܨൌൌͲܽ，ܩܨൌͶ ൌܽ，再证明ᇞܩ쳌ܨ׾ᇞܧܣܨ，得到쳌ܧൌʹܽ，得解．
【详解】解：当点F 在线段ܤ쳌上时，连接ܣܥ交ܤ쳌于点ܱ
，如图所示：
∵四边形ܣܤܥ쳌是矩形，
∴ܣܤൌܥ쳌，ܣ쳌ൌܤܥ，ܣܤצܥ쳌，ܱܣൌܱ
ܤൌܱ
ܥൌܱ
쳌，סܤܣ쳌ൌ耀Ͳι，ܣܥൌܤ쳌，
∴סܣܤ쳌ൌסܤ쳌ܥൌסܱܣܤൌסܣܥ쳌ൌߙ，
∵סܣܤ쳌ൌߙ，tanߙൌ
Ͷ
͵，סܤܣ쳌ൌ耀Ͳι，
∴
ܣ쳌
ܣܤൌ
Ͷ
͵，即ܣ쳌ൌ
Ͷ
͵ ܣܤ，
∴ܤ쳌ൌ
ܣܤʹ 㘮ܣ쳌ʹ ൌ
ൌ
͵ ܣܤ，
∵
쳌ܩ
ܥ쳌ൌ
ʹ
͵，
∴不妨设쳌ܩൌʹܽ，那么ܥ쳌ൌ͵ܽ
ൌܣܤ，则ܥܩൌܽ
，
∴ܣ쳌ൌ
Ͷ
͵ ܣܤൌͶܽ，ܤ쳌ൌ
ൌ
͵ ܣܤൌൌܽ
ൌܣܥ，
∵将ܣܧ绕点A 逆时针旋转ߙ后并延长，交射线ܤ쳌于点F，
∴סܧܣܨൌߙ，
∴סܧܣܨൌסܤܣܱ，
∴סܤܣܱ
െסܧܣܱ
ൌסܧܣܨെסܧܣܱ，
∴סܤܣܧൌסܱܣܨ，
又סܣܤܱ
ൌסܣܥ쳌，
∴ᇞܣܤܧ׾ᇞܣܥܩ，
∴
ܣܤ
ܣܥൌ
ܤܧ
ܥܩ，
∴
͵ܽ
ൌܽൌ
ܤܧܽ，
∴ܤܧൌ
͵
ൌܽ，
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∵ܣܤצܥ쳌，
∴ᇞ쳌ܨܩ׾ᇞܤܨܣ，，
∴
쳌ܨ
ܤܨൌ
쳌ܩ
ܤܣൌ
ʹ
͵，
∴쳌ܨൌ
ʹ
ൌܤ쳌ൌ
ʹ
ൌൈൌܽ
ൌʹܽ，
∵쳌ܧൌܤ쳌െܤܧൌൌܽ
െ
͵
ൌܽ
ൌ
ʹʹ
ൌܽ
，
∴
쳌ܧ
쳌ܨൌ
ʹʹ
ൌܽ
ʹܽൌ
ൌൌ
ൌ；
当点F 落在射线ܤ쳌上，如图：
∵
쳌ܩ
ܥ쳌ൌ
ʹ
͵，
∴不妨设쳌ܩൌʹܽ，ܥ쳌ൌ͵ܽ
ൌܣܤ，
∴ܣ쳌ൌ
Ͷ
͵ ܣܤൌͶܽ，ܤ쳌ൌ
ൌ
͵ ܣܤൌൌܽ，
∵四边形ܣܤܥ쳌是矩形，סܣ쳌ܥൌ耀Ͳι，
∴סܣ쳌ܩൌ耀Ͳι，
∴ܣܩൌ
ܣ쳌ʹ 㘮쳌ܩʹ ൌ
Ͷܽ
ʹ 㘮ʹܽ
ʹ ൌʹ ൌܽ，
∵ܣܤצܥ쳌，
∴ᇞܣܤܨ׾ᇞܩ쳌ܨ，סܩ쳌ܨൌסܣܤ쳌，
∴
ܣܤ
ܩ쳌ൌ
ܤܨ
쳌ܨൌ
ܣܨ
ܩܨ，
∴
͵ܽ
ʹܽൌ
ൌܽ㘮쳌ܨ
쳌ܨ
ൌ
ʹ ൌܽ㘮ܩܨ
ܩܨ
，
∴쳌ܨൌൌͲܽ，ܩܨൌͶ ൌܽ，
׶ סܩ쳌ܨൌסܣܤ쳌ൌסܧܣܨൌߙ쳌סܨൌסܨ，
∴ᇞܩ쳌ܨ׾ᇞܧܣܨ，
∴
ܩܨ
ܧܨൌ
쳌ܨ
ܣܨ，
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∴
Ͷ ൌܽ
쳌ܧ㘮ൌͲܽൌ
ൌͲܽ
͸ ൌܽ，
∴쳌ܧൌʹܽ，
∴
쳌ܧ
쳌ܨൌ
ʹܽ
ൌͲܽൌ
ൌ
ൌ．
综上所述：当
쳌ܩ
ܥ쳌ൌ
ʹ
͵时，
쳌ܧ
쳌ܨൌ
ൌൌ
ൌ或
ൌ
ൌ．
14．（2026·浙江舟山·一模）中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10 万元．为保障列车
运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在ൌͲι以内，某高铁线路需避开山体，在ܤ点处规划两处绕行方案：
方案一：设计耀ι的拐角，即סܥܤܨൌ耀ι，在ܥ点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即ܥܧצܤܨ；方案二：
设计͸ι的拐角，即ס쳌ܤܨൌ͸ι，在쳌点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线ܤ쳌
会经过一片沙地（即ܤ쳌为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%．
(1)若쳌ܧ与ܤܨ的距离쳌ܩ为66 米，求线段ܤ쳌、ܤܥ、ܥ쳌的长．
(2)在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．
（参考数据：sin͸ι ൎͲൌͲ，tan͸ι ൎͲൌൌ，
sin耀ι ൎͲൌൌ，tan耀ι ൎͲൌ͸）
【答案】(1)ܤܥൌͶͶͲm，ܤ쳌ൌ͸͸Ͳm，ܥ쳌ൌൌͺ͹ൌm
(2)解：方案一的造价更便宜，理由：
方案一造价：ൌͲ ൈܤܥ㘮ܥ쳌ൌൌͲ ൈͶͶͲ 㘮ൌͺ͹ൌൌ͸ʹ͹ൌ（万元），
方案二造价：ൌͲ ൈൌൌൈܤ쳌ൌൌͲ ൈൌൌൈ͸͸Ͳ ൌ͹ʹ͸Ͳ（万元），
∵͸ʹ͹ൌᦙ͹ʹ͸Ͳ，
∴方案一的造价更便宜．
【分析】（1）作ܥܭ٣ ܤܨ，垂足为ܭ，由已知可得ܥܭܩD 为矩形，则ܥܭൌ쳌ܩൌ͸͸ m ，解直角三角
形分别求出ܤܥ、ܤ쳌、ܤܭ、ܤܩ，再根据ܥ쳌ൌܭܩൌܤܩെܤܭ，即可得解；
（2）分别求出方案一和方案二的造价，再比较即可得出结论．
【详解】（1）解：如图：作ܥܭ٣ ܤܨ，垂足为ܭ，
∵ܥܭ٣ ܣܭ，쳌ܩ٣ ܣܭ，
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∴ܥܭצ쳌ܩ，
又∵ܥ쳌צܩܭ，
∴四边形ܥܭܩ쳌为矩形，
∴ܥܭൌ쳌ܩൌ͸͸ m ，
∴ܤܥൌ
ܥܭ
sin耀ι ൌ
͸͸
sin耀ι ൌͶͶͲ m ，
∴ܤ쳌ൌ
쳌ܩ
sin͸ι ൌ
͸͸
sin͸ι ൌ͸͸Ͳ m ，
∴ܤܭൌ
ܥܭ
tan耀ι ൌ
͸͸
tan耀ι ൌͶൌʹൌm ，ܤܩൌ
쳌ܩ
tan͸ι ൌ
͸͸
tan͸ι ൌ͸ͲͲ m ，
∴ܥ쳌ൌܭܩൌܤܩെܤܭൌൌͺ͹ൌm ；
（2）略
15．（2026·浙江温州·三模）某小组对两角和的正切公式tan ߙ㘮ߚൌ
tanߙ㘮tanߚ
ൌെtanߙڄtanߚ的证明产生浓厚兴趣．
【背景阐述】
已知：如图所示，在矩形ܣܤܥ쳌中，点ܧ在边ܤܥ上，连接ܣܧ，过点ܧ作ܧܨ٣ ܣܧ交ܥ쳌
边于点ܨ（点ܨ不与ܥ，쳌重合），连结ܣܨ．记סܤܣܧൌߙ，סܧܣܨൌߚ（其中ߙ，ߚ均为
锐角，且ߙ㘮ߚᦙ耀Ͳι）．
求证：tan ߙ㘮ߚൌ
tanߙ㘮tanߚ
ൌെtanߙڄtanߚ
证明：不妨设ܣܤൌൌ，
则在矩形ܣܤܥ쳌中，סܤൌסܥൌ耀Ͳι．
故tanߙൌ
ܤܧ
ܣܤൌ
ܤܧ
ൌ，即ܤܧൌtanߙ．
因为ܧܨ٣ ܣܧ，所以סܣܧܤ㘮סܥܧܨൌ耀Ͳι．
因为סܣܧܤൌ耀Ͳι െߙ，所以סܥܧܨൌߙ．
故ᇞܧܥܨ׾ᇞܣܤܧ，从而
ܧܥ
ܣܤൌ
ܥܨ
ܤܧൌ
ܧܨ
ܣܧ．
而在Rt ᇞܣܧܨ中，
ܧܨ
ܣܧൌtanߚ．
……
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【特例探试】
(1)利用“两角和的正切公式”求tan͹ʹι的近似值．（参考数据：tanʹ͹ι ൎͲൌ）
【推理验证】
(2)根据上述推导，补充完整证明过程，求证：tan ߙ㘮ߚൌ
tanߙ㘮tanߚ
ൌെtanߙڄtanߚ．
【答案】(1)͵
(2)补充证明：∴
ܥܧ
ܣܤൌ
ܥܧ
ൌൌtanߚ，
׵ ܥܧൌtanߚ，
׶
ܥܨ
ܤܧൌ
ܥܨ
tanߙൌtanߚ，
׵ ܥܨൌtanߙڄ tanߚ，
∵四边形ܣܤܥ쳌是矩形，
׵ ܣܤൌܥ쳌，ܣ쳌ൌܤܥ，ܣܤצܥ쳌，
׵ ܣ쳌ൌܤܧ㘮ܥܧൌtanߙ㘮tanߚ，סܣܨ쳌ൌסܤܣܨൌߙ㘮ߚ，
׵ 쳌ܨൌ쳌ܥെܨܥൌܣܤെܨܥൌൌെtanߙڄ tanߚ，
׵ tan ߙ㘮ߚൌtanסܣܨ쳌ൌ
ܣ쳌
쳌ܨൌ
tanߙ㘮tanߚ
ൌെtanߙڄtanߚ．
【分析】（1）根据tan ߙ㘮ߚൌ
tanߙ㘮tanߚ
ൌെtanߙڄtanߚ和tanʹ͹ι ൎͲൌ求解即可；
（2）根据题中思路，利用相似的性质表示出ܥܨൌtanߙڄ tanߚ，从而表示出ܣ쳌ൌtanߙ㘮tanߚ，쳌ܨൌൌെ
tanߙڄ tanߚ，根据平行性质得出סܣܨ쳌ൌסܤܣܨൌߙ㘮ߚ，再根据tan ߙ㘮ߚൌtanסܣܨ쳌ൌ
ܣ쳌
쳌ܨ即可证明；
【详解】（1）解：tan͹ʹι ൌtan ʹ͹ι 㘮Ͷൌι
ൌ
tanʹ͹ι㘮tanͶൌι
ൌെtanʹ͹ιڄtanͶൌι ൎ
Ͳൌ㘮ൌ
ൌെͲൌൈൌൌ͵．
（2）略
16．（2026·浙江舟山·二模）图1 为坐落于舟山马目山的风车营地，风车、大桥、山海、日落所构成的和谐
画面吸引了众多游客，成为了网红打卡地．除了景色，这里的风电机组所提供的清洁能源也带动了绿色经
济发展，某学习小组查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计
参数．为测量其高度，他们选定了当风车停止转动时的位置，如图2，风电塔筒AB 垂直于地面，叶片AC
恰好与塔筒AB 重合，三个叶片均匀分布（即סܥܣ쳌ൌס쳌ܣܧൌסܧܣܥൌൌʹͲι）且长度均为80m，在距离塔
底（点B）158m 的点F 处有一测角仪（其高度忽略不计）测得叶片端点D 的仰角ס쳌ܨܤ为͸Ͷι．
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(1)求风电塔筒ܣܤ的高度．（结果保留整数，参考数据：͵ ൎൌ͹͵，sin͸Ͷι ൎͲ耀Ͳ，cos͸Ͷι ൎͲͶͶ，tan͸Ͷι ൎ
ʹͲൌ）
(2)当叶片从图2 位置开始绕点A 沿顺时针方向第一次转动至图3 位置时，学习小组测量发现叶片端点E 的
离地高度增加了24.7m，求所有叶片在这段时间内扫过的区域面积．（结果保留π，参考数据：sinൌͶι ൎͲͺൌ，
cos͵͸ι ൎͲͺൌ，tan͵耀ι ൎͲͺൌ）
【答案】(1)ൌͶʹm
(2)ൌʹͺͲπmʹ
【分析】
（1）过点D 作쳌ܩ٣ ܤܨ于点G，过点A 作ܣܪ٣ 쳌ܩ于点H，四边形ܣܤܩܪ是矩形，易得ס쳌ܣܪൌ
͵Ͳι，利用三角函数求出ܣܪ，쳌ܪ，再求出ܨܩ，已知ס쳌ܨܤ，利用角的正切求出쳌ܩ，根据ܣܤൌܪܩൌ쳌ܩെ쳌ܪ，
求出塔高；
（2）过点E 作ܧܲ
צ ܣܤ，ܣܲ
٣ ܣܤ，两线交于点P，过点E'作ܧԢܳ
٣ ܣܲ
于点Q，同（1）可得ܧܲ，求
出ܧԢܳ，在Rt ᇞܧԢܳܣ中，求出sinסܧԢܳܣൌ
ܧԢܳܳ
ܣ，利用三角函数值得到סܧԢܳܣ，再求出סܧԢܣܧ，利用扇形的面
积公式，求出单个叶片扫过的面积，再乘以3，得到三个叶片扫过的面积．
【详解】（1）解：如图，过点D 作쳌ܩ٣ ܤܨ于点G，过点A 作ܣܪ٣ 쳌ܩ于点H，
由题意可知סܪܩܤൌסܣܤܩൌסܣܪܩൌ耀Ͳι，
׵四边形ܣܤܩܪ是矩形，
׵ סܪܣܤൌ耀Ͳι，ܣܪൌܤܩ，
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׵ ס쳌ܣܪൌס쳌ܣܤെסܪܣܤൌൌʹͲι െ耀Ͳι ൌ͵Ͳι，
׶ ܣ쳌ൌͺͲm，
׵ ܣܪൌܣ쳌ڄ cos͵Ͳι ൌͺͲ ൈ
͵
ʹ ൌͶͲ ͵ m ，쳌ܪൌܣ쳌ڄ sin͵Ͳι ൌͺͲ ൈ
ൌ
ʹ ൌͶͲ m ，
׵ ܤܩൌܣܪൌͶͲ ͵ ൎ͸耀ʹ m ，
׵ ܨܩൌܤܨെܤܩൎൌൌͺ െ͸耀ʹ ൌͺͺͺ m ，
׶ ס쳌ܨܤൌ͸Ͷι，
׵ 쳌ܩൌܨܩڄ tanס쳌ܨܤൌܨܩڄ tan͸Ͷι ൎͺͺͺ ൈʹͲൌൌൌͺʹͲͶ m ，
׵ ܣܤൌܪܩൌ쳌ܩെ쳌ܪൌൌͺʹͲͶ െͶͲ ൌൌͶʹͲͶ ൎൌͶʹ m ，
答：风电塔筒ܣܤ的高度为ൌͶʹm．
（2）解：如图，过点E 作ܧܲ
צ ܣܤ，ܣܲ
٣ ܣܤ，两线交于点P，过点E'作ܧԢܳ
٣ ܣܲ
于点Q，
同（1）可得ܧܲ
ൌͶͲ，סܧܣܲ
ൌ͵Ͳι，
由题意可得ܧԢܳ
ൌͶͲ 㘮ʹͶ͹ ൌ͸Ͷ͹，
在Rt ᇞܧԢܳܣ中，sinסܧԢܳܣൌ
ܧԢܳܳ
ܣൌ
͸Ͷ͹
ͺͲ ൎͲͺൌ，
׵ סܧԢܳܣൎൌͶι，
׵ סܧԢܣܧൌൌͶι െ͵Ͳι ൌʹͶι，
׵叶片ܣܧ扫过的区域面积是
ʹͶ
͵͸Ͳ πͺͲʹ ൌ
ൌʹͺͲ
͵ π，
׵所有叶片扫过的区域面积是
ൌʹͺͲ
͵ π ൈ͵ ൌൌʹͺͲπ mʹ ．
17．（2026·浙江杭州·一模）【综合与实践】
【定义理解】
设ܱ
ܥ是סܣܱܤ的平分线，若射线ܱܺ
쳌ܱܻ
在סܣܱܤ的内部且关于ܱ
ܥ对称，则称ܱܺ
与ܱܻ
为סܣܱܤ的一对
等角线．小丽发现，若סܣܱܤ内部的两条射线ܱܺ
쳌ܱܻ
满足סܣܱܺ
ൌסܤܱܻ
，则ܱܺ
与ܱܻ
就是סܣܱܤ的一对
等角线．
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【初步应用】
(1)如图①，已知射线ܱܺ
与ܱܻ
是סܣܱܤ的一对等角线，סܣܱܺ
ൌ
ൌ
͸ סܱܻܺ
，若סܣܱܤൌͺͲι，求סܣܱܻ
的度数．
【探索发现】
(2)如图②，在平行四边形ܣܤܥ쳌中，ܤܧ쳌ܤܨ是סܣܤܥ的一对等角线，分别交ܣ쳌쳌쳌ܥ于点ܧ쳌ܨ쳌ܣܲ
٣ ܤܧ于点ܲ
，
ܣܳ
٣ ܤܨ于点ܳ
쳌ܣܳ쳌ܤܧ交于点ܩ．
①求证：ܣܳ쳌ܣܲ
是סܤܣ쳌的一对等角线．
②若סܣܤܧൌ
ൌ
͵ סܣܤܥ，סܤܣܳ
ൌ
ൌ
͵ סܤܣ쳌，求ܣܲǣܣܳ
的值．
【答案】(1)͹Ͳι
(2)
①证明：׶ ܤܧ쳌ܤܨ是סܣܤܥ的一对等角线，
根据（1）中可得סܣܤܧൌסܥܤܨ，
׵ סܣܤܧ㘮סܧܤܨൌסܥܤܨ㘮סܧܤܨ，即סܣܤܨൌסܥܤܧ，
׶四边形ܣܤܥ쳌为平行四边形，
׵ ܣ쳌צ ܤܥ，
׵ סܣܧܲ
ൌסܧܤܥൌסܣܤܨ，
׶ ܣܲ
٣ ܤܧܣܳ
٣ ܤܨ，
׵ סܤܣܳ
ൌ耀Ͳι െסܣܤܨ，סܧܣܲ
ൌ耀Ͳι െסܣܧܲ，
׵ סܤܣܳ
ൌסܧܣܲ，
׵根据小丽的说法，可得ܣܳ쳌ܣܲ
是סܤܣ쳌的一对等角线；
②
͵
͵
【分析】（1）设סܣܱܺ
ൌסܤܱܻ
ൌݔ，则סܱܻܺ
ൌ͸ݔ，列方程即可解答；
（2）①证明סܣܧܲ
ൌסܧܤܥൌסܣܤܨ，再根据三角形内角和定理可得סܤܣܳ
ൌסܧܣܲ，即可解答；
②设סܣܤܧൌסܥܤܨൌݔ，则סܣܤܥൌ͵ݔ，则可得סܣܤܨൌʹݔ，סܤܣ쳌ൌൌͺͲι െ͵ݔ，列方程解得ݔൌ͵Ͳι，
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再解直角三角形得ܣܲ
ൌ
ൌ
ʹ ܣܤ，ܣܳ
ൌ
͵
ʹ ܣܤ，即可解答．
【详解】（1）解：׶射线ܱܺ
与ܱܻ
是סܣܱܤ的一对等角线，
׵ סܱܺ
ܥൌסܻܱ
ܥ，
׶ܱ
ܥ是סܣܱܤ的平分线，
׵ סܣܱܥൌסܤܱܥ，
׵ סܣܱܥെסܱܺ
ܥൌסܤܱܥെסܻܱ
ܥ，即סܣܱܺ
ൌסܤܱܻ
，
设סܣܱܺ
ൌסܤܱܻ
ൌݔ，则סܱܻܺ
ൌ͸ݔ，
则ݔ㘮ݔ㘮͸ݔൌͺͲ，
解得ݔൌൌͲ，
׵ סܱܻܺ
ൌ͸Ͳι，
׵ סܣܱܻ
ൌסܣܱܺ
㘮סܱܻܺ
ൌ͹Ͳι；
（2）①略
②解：设סܣܤܧൌסܥܤܨൌݔ，则סܣܤܥൌ͵ݔ，
׵ סܣܤܨൌסܣܤܥെסܥܤܨൌʹݔ，
׶ ܣ쳌צ ܤܥ，
׵ סܤܣ쳌ൌൌͺͲι െ͵ݔ，
׵ סܤܣܳ
ൌ
ൌͺͲιെ͵ݔ
͵
ൌ͸Ͳι െݔ，
׶ סܣܤܨ㘮סܤܣܳ
ൌ耀Ͳι，
׵ ʹݔ㘮͸Ͳι െݔൌ耀Ͳι，
解得ݔൌ͵Ͳι，
׵ סܣܤܳ
ൌʹݔൌ͸Ͳι，
在Rt ᇞܣܤܲ
中，ܣܲ
ൌܣܤڄ sinסܣܤܲ
ൌsin͵Ͳι ڄ ܣܤൌ
ൌ
ʹ ܣܤ，
在Rt ᇞܣܤܳ
中，ܣܳ
ൌܣܤڄ sinסܣܤܳ
ൌsin͸Ͳι ڄ ܣܤൌ
͵
ʹ ܣܤ，
׵ ܣܲǣܣܳ
ൌ
ൌ
ʹܣܤ
͵
ʹ ܣܤൌ
͵
͵ ．
18．（2026·浙江丽水·二模）【阅读理解】
如图1，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܥൌ耀Ͳι，סܤൌൌൌι，求tanൌൌι的值．
求解过程如下：在ܥܤ上取点쳌，使得ܤ쳌ൌܣ쳌，构造出等腰ᇞܣܤ쳌（如图2）．可得ᇞܣܤ쳌的外角סܣ쳌ܥൌ͵Ͳι，
设ܣܥൌܽ
，则ܣ쳌ൌܤ쳌ൌʹܽ，쳌ܥൌ
͵ܽ，
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所以tanൌൌι ൌ
ܣܥ
ܤܥൌܽʹܽ㘮͵ܽൌ
ൌ
ʹ㘮͵ ൌ
ʹെ͵
ʹ㘮͵
ʹെ͵ ൌʹ െ
͵．
【类比尝试】
(1)如图3，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܥൌ耀Ͳι，סܤൌʹʹൌι，类比上述解题过程求tanʹʹൌι的值．
【拓展应用】
(2)如图4，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܥൌ耀Ͳι，סܤൌߙ，ܤܥൌܽ
，ܣܥൌܾ
，用含ܽ
，ܾ的代数式表示tan
ߙ
ʹ的值，并
写出推理过程．
【答案】(1) ʹ െൌ
(2)tan
ߙ
ʹ ൌܽ
ʹ㘮ܾʹെܾܽ，过程如下
解：如图，延长ܥܤ至点ܧ，使得ܤܧൌܤܣ，连接ܣܧ，
则סܧൌ
ൌ
ʹ סܣܤܥൌ
ߙ
ʹ，
由题意得ܤܣൌܽ
ʹ 㘮ܾ
ʹ，
׵ ܧܥൌܽ
ʹ 㘮ܾ
ʹ 㘮ܽ，
׵ tan
ߙ
ʹ ൌ
ܣܥ
ܧܥൌܾܽ
ʹ㘮ܾʹ㘮ܽൌܾܽ
ʹ㘮ܾʹെܽܽ
ʹ㘮ܾʹ㘮ܽܽ
ʹ㘮ܾʹെܽ
ൌܽ
ʹ㘮ܾʹെܾܽ．
【分析】（1）根据题干，在ܤܥ上取一点쳌，使得ܤ쳌ൌܣ쳌，构造出等腰ᇞܣܤ쳌，即可求解；
（2）延长ܥܤ至点ܧ，使得ܤܧൌܤܣ，则סܧൌ
ൌ
ʹ סܣܤܥൌ
ߙ
ʹ，即可求解．
【详解】（1）解：如图，在ܤܥ上取一点쳌，使得ܤ쳌ൌܣ쳌，构造出等腰ᇞܣܤ쳌，
可得ᇞܣܤ쳌的外角סܣ쳌ܥൌͶൌι，
设ܣܥൌܽ
，则ܣ쳌ൌܤ쳌ൌ
ʹܽ，쳌ܥൌܽ
，
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׵ tanʹʹൌι ൌ
ܣܥ
ܤܥൌܽ
ʹܽ㘮ܽൌ
ൌ
ʹ㘮ൌൌ
ʹെൌ
ʹ㘮ൌ
ʹെൌൌ
ʹ െൌ．
（2）略
19．（2026·浙江湖州·二模）【文化欣赏】汉代初年的《淮南万毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，
则见四邻矣”，意思是利用杆上挂的平面镜和盆内水面（抽象为平面镜）的反射，就能从水盆里看见院外的
景象（如图ൌ）．
【科学原理】入射光线ܱܳ
经平面镜ܻܺ
反射得反射光线ܱܴ
（ܱܲ
٣ܻܺ
），则סܱܴܲ
ൌסܱܲܳ
（如图ʹ）．
【综合实践】小桐春假探望爷爷时，在院内作了实践探究：如图͵，杆ܣܤ٣地平线ܧܨ（ܣ为墙角），杆顶
ܤ悬一平面镜ܯܰ
ܯܰ
צ ܧܨ，院外的邻居（点ܪ）先经平面镜ܯܰ
的点ܤ处反射，再经水盆的水
面中心ܥ处反射后，恰被院内的小桐（观测点为ܩ）看到．现测得：ܥܣൌʹ͹ 米，סܩܥܧൌൌ͵ι．
【数学理解】
(1)求杆ܣܤ的高度．
(2)如图Ͷ，保持水盆和观测点的位置不变，将平面镜ܯܰ
绕点ܤ逆时针旋转ͺι，邻居沿射线ܣܪ方向移动
到ܪ̵ 处，经ܤ，ܥ两处反射后，小桐恰好观测到邻居，求邻居移动的距离ܪܪ̵ ．
（参考数据：sin͵͹ι ൎͲ͸，cos͵͹ι ൎͲͺ，tan͵͹ι ൎͲ͹ൌ）
【答案】(1)͵͸ 米
(2)邻居移动的距离ܪܪ̵ 约为ʹൌ米
【分析】（1）解直角三角形ܣܤܥ，即可得出结果；
（2）解直角三角形，分别求出ܣܪԢ쳌ܣܪ的长，作差即可．
【详解】（1）解：由科学原理可得，סܩܥܧൌסܣܥܤൌൌ͵ι ，
∵ܣܤ٣ ܧܨ，סܣܤܥൌ͵͹ι，tanסܣܤܥൌ
ܣܥ
ܣܤ，
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∴ܣܤൎ͵͸ 米，
答：杆ܣܤ的高度约为͵͸ 米．
（2）解：邻居移动前：ܯܰ
צ ܧܨ，
由科学原理可得，סܣܤܥൌסܪܤܣൌ͵͹ι ，
∵ܣܤ٣ ܧܨ，
∴tanסܣܤܪൌ
ܣܪ
ܣܤ，
∴ܣܪൌܣܥൌʹ͹ 米，
邻居移动后（如图Ͷ）：
סܥܤܲ
ൌסܣܤܥ㘮סܣܤܲ
ൌ͵͹ι 㘮ͺι ൌͶൌι ，
由科学原理可得，סܥܤܲ
ൌסܪԢܤܲ
ൌͶൌι，
∴סܪԢܤܣൌൌ͵ι，סܣܪԢܤൌ͵͹ι，
∵ܣܤ٣ ܧܨ
∴tanסܣܪԢܤൌ
ܣܤ
ܣܪԢ，
∴ܣܪԢ ൌͶͺ 米，
∴ܣܪԢ െܣܪൌʹൌ米，
答：邻居移动的距离ܪܪԢ约为ʹൌ米．
20．（2026·浙江·二模）【综合与实践】设计雨棚支架及确定雨棚的安装位置．
【生活情境】如图①是安装在外墙上的挡雨棚．矩形ܤܤൌܥൌܥ为雨棚的挡雨板，将雨棚的支架ܤܥ、ܣܤ、ܤൌܥൌ
及ܣൌܤൌ的端点ܣ、ܥ、ܣൌ、ܥൌ固定在外墙上，ܣܣൌ、ܤܤൌ，ܥܥൌ与ܱܱ
ൌ平行，ܣܣൌൌ͵ 米．图②是其侧面示意
图，在一般风力下，雨滴下落方向与地面的夹角为53°（סܤܲܯൌൌ͵ι）．安装挡雨棚时需考虑：在一般风
力下，确保雨滴不落在墙面ܱܱ
ൌܥൌܥ（不包括ܱܱ
ൌ）上．
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【数学活动】数学学习小组通过研究支架ܣܤ、ܤܥ的长度，支架端点ܣ、ܥ的距离以及支架ܣܤ与ܤܥ的夹
角ߙ（סܣܤܥൌߙ），对雨棚进行了重新设计．（参考数据：sinൌ͵ι取0．8，cosൌ͵ι取0．6）
图③是某小组的设计示意图，其中ܣܤൌܤܥ，tan
ߙ
ʹ ൌ
ͺ
ൌൌ，ܣܥൌൌ͸ 米．
【问题解决】
(1)请求出该小组设计的雨棚所需挡雨板的面积．
(2)在一般风力下，为确保雨滴不落在墙面ܱܱ
ൌܥൌܥ（不包括ܱܱ
ൌ）上，在安装该小组所设计的雨棚时，点ܣ
离地面距离不能超过多少米？
【答案】(1)ൌൌ米
(2)ൌʹ 米
【分析】（1）因为ܣܤൌܤܥ，已知ܣܥ长度和tan
ߙ
ʹ的值，所以过B 作ܣܥ的垂线，利用直角三角形三
角函数关系和勾股定理求出ܥܤ的长度，即为挡雨板的一边长，因为挡雨板是矩形，已知ܣܣൌ长度为矩形另
一边长，所以用矩形面积公式即可计算面积；
（2）要保证雨滴不落在墙面上，所以临界情况为雨滴沿下落方向刚好经过B 点且落在O 点，据此建立
几何关系，过B 作墙面的垂线得到水平距离，结合雨滴下落夹角ൌ͵ι，利用直角三角形三角函数求出B 点
到地面的高度，再求出A 点的最大高度；
【详解】（1）解：过点ܤ作ܤ쳌٣ ܣܥ于点쳌，
∵ܣܤൌܤܥ，סܣܤܥൌߙ，ܣܥൌൌ͸，
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∴סܣܤ쳌ൌ
ߙ
ʹ，ܣ쳌ൌܥ쳌ൌͲͺ，
在Rt ᇞܣܤ쳌中，tanסܣܤ쳌ൌtan
ߙ
ʹ ൌ
ܣ쳌
ܤ쳌ൌ
Ͳͺ
ܤ쳌，
∵tan
ߙ
ʹ ൌ
ͺ
ൌൌ，
∴
Ͳͺ
ܤ쳌ൌ
ͺ
ൌൌ，
解得ܤ쳌ൌൌൌ，
∴在Rt ᇞܣܤ쳌中，סܣ쳌ܤൌ耀Ͳι，
∴ܣܤൌ
ܣ쳌ʹ 㘮ܤ쳌ʹ ൌ
Ͳͺʹ 㘮ൌൌʹ ൌൌ͹，
∴ܤܥൌܣܤൌൌ͹，
∴所需挡雨板的面积为ܵ
ൌܣܣൌൈܤܥൌ͵ ൈൌ͹ ൌൌൌ（平方米）．
（2）连接ܱ
ܤ，
若סܤܱܯൌൌ͵ι，
∵ܤ쳌与ܱ
ܯ平行，
则在Rt ᇞܤܱ쳌中，סܱܤ쳌ൌൌ͵ι，
∴cosൌ͵ι ൌ
ܤ쳌ܱ
ܤൌ
ൌൌܱ
ܤൌͲ͸，
∴ܱܤൌʹൌ，
∴ܱ쳌ൌܱ
ܤʹ െܤ쳌ʹ ൌ
ʹൌʹ െൌൌʹ ൌʹ，
∴ܱܣൌܱ
쳌െܣ쳌ൌʹ െͲͺ ൌൌʹ（米），
∴点A 离地面距离不能超过ൌʹ 米．
21．（2026·浙江杭州·二模）定义：若一个三角形存在两个内角之差为耀Ͳι，则称这个三角形为“差直角三角
形”．例如，在ᇞܣܤܥ中，סܣൌൌൌͲι，סܤൌʹͲι，סܥൌൌͲι，满足סܣെסܤൌ耀Ͳι，所以ᇞܣܤܥ是“差直角
三角形”．
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(1)若ᇞܣܤܥ是差直角三角形，סܣൌൌʹͲι，则sinܤ的值为．
(2)如图1，在Rt ᇞܣܤܥ中，סܥൌ耀Ͳι，ܣ쳌是ᇞܣܤܥ的角平分线，求证：ᇞܣܤ쳌是差直角三角形．
(3)如图2，在ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌܣܥ，ܤܥൌͺ，tanܤൌ
͵
Ͷ，点D 是边ܣܤ上一动点（ܤ쳌ᦙܥ쳌），若ᇞܣܤ쳌是
差直角三角形，求ܣ쳌的长度．
【答案】(1)
ൌ
ʹ
(2)证明：׶ ܣ쳌是ᇞܣܤܥ的平分线，
׵ סܤܣ쳌ൌסܥܣ쳌，
׶ סܤ쳌ܣൌסܥ㘮סܥܣ쳌ൌ耀Ͳι 㘮סܥܣ쳌，
׵ סܤ쳌ܣൌ耀Ͳι 㘮סܤܣ쳌，即סܤ쳌ܣെסܤܣ쳌ൌ耀Ͳι
׵ᇞܣܤ쳌是差直角三角形．
(3)
ൌൌ
Ͷ 或
͵ ൌ
ʹ
【分析】（1）根据新定义求得סܤൌ͵Ͳι，再求正弦值，即可求解．
（2）根据角平分线的定义可得סܤܣ쳌ൌסܥܣ쳌，进而可得סܤ쳌ܣെסܤܣ쳌ൌ耀Ͳι，即可得证；
（3）作ܣܧ٣ ܤܥ于ܧ，过点쳌作쳌ܨ٣ ܤܥ交ܣܤ于ܨ，分两种情况讨论，①当סܣ쳌ܤെסܣܤ쳌ൌ耀Ͳι 时，
②当סܣ쳌ܤെסܤܣ쳌ൌ耀Ͳι 时，分别求解即可．
【详解】（1）解：∵ᇞܣܤܥ是差直角三角形，סܣൌൌʹͲι，סܣെסܤൌ耀Ͳι
∴סܤൌ͵Ͳι，
∴sinܤൌsin͵Ͳι ൌ
ൌ
ʹ；
（2）略
（3）解：如图，作ܣܧ٣ ܤܥ于ܧ，过点쳌作쳌ܨ٣ ܤܥ交ܣܤ于ܨ，
׶ ܣܤൌܣܥ，ܤܥൌͺ，
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׵ ܤܧൌൌ
ʹ ܤܥൌͶ
׶在Rt ᇞܣܤܧ中，tanB ൌ
͵
Ͷ，
׵
ܣܧ
Ͷ ൌ
͵
Ͷ，
解得ܣܧൌ͵，
在Rt ᇞܣܤܧ中，由勾股定理得ܣܤൌൌ；
①当סܣ쳌ܤെסܣܤ쳌ൌ耀Ͳι 时，סܣ쳌ܨൌסܣ쳌ܤെסܤ쳌ܨൌסܣ쳌ܤെ耀Ͳι ൌסܣܤ쳌，
׶ סܤܣ쳌ൌס쳌ܣܤ，
׵ᇞܣ쳌ܨ׾ᇞܣܤ쳌
׵
ܣ쳌
ܣܤൌ
쳌ܨ
ܤ쳌
׶ Rt ᇞܤ쳌ܨ中，tanܤൌ
쳌ܨ
ܤ쳌ൌ
͵
Ͷ
׵
ܣ쳌
ൌൌ
͵
Ͷ
解得，ܣ쳌ൌ
ൌൌ
Ͷ
②当סܣ쳌ܤെסܤܣ쳌ൌ耀Ͳι 时，סܣ쳌ܨൌסܣ쳌ܤെסܤ쳌ܨൌסܣ쳌ܤെ耀Ͳι ൌסܤܣ쳌，
׵ ܨ쳌ൌܣܨ
׶ Rt ᇞܤ쳌ܨ中，tanܤൌ
쳌ܨ
쳌ܤൌ
͵
Ͷ
设쳌ܨൌ͵ܽ，쳌ܤൌͶܽ，
׵ ܤܨൌ
ܤ쳌ʹ 㘮ܨ쳌ʹ ൌൌܽ
∵ܤܨൌܣܤെܣܨൌܣܤെ쳌ܨൌൌെ͵ܽ
∴ൌܽ
ൌൌെ͵ܽ
解得：ܽ
ൌ
ൌ
ͺ
׵ ܤ쳌ൌ
ൌ
ʹ，
׵ 쳌ܧൌܤܧെܤ쳌ൌͶ െ
ൌ
ʹ ൌ
͵
ʹ
由勾股定理得ܣ쳌ൌ
ܣܧʹ 㘮쳌ܧʹ ൌ
͵ʹ 㘮
͵
ʹ
ʹ
ൌ
͵ ൌ
ʹ ，
综上所述，ܣ쳌ൌ
ൌൌ
Ͷ 或
͵ ൌ
ʹ
22．（2026·浙江·二模）在菱形ܣܤܥ쳌中，点ܧ在ܣܤ上，且ܤܧൌʹܣܧ，如图1，过点ܧ的直线ܧܨ，交对
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角线ܤ쳌于点ܨ，ܤܥ与ܤԢܥԢ关于直线ܧܨ对称，点ܤ的对应点ܤԢ在ܤܣ的延长线上，ܤԢܥԢ分别交对角线ܤ쳌、
边ܣ쳌于点ܩ、ܪ．
(1)当ܣܧൌܣܪ时，求סܤܣ쳌的度数．
(2)如图2，当点ܥ与对应点ܥԢ重合时，求ᇞܥܨܩ与菱形ܣܤܥ쳌的面积之比．
(3)已知ܣܧൌൌ，ܥԢܩ与쳌ܪ的长度随סܣܤܥ的变化而变化，求쳌ܪെܥԢܩ的最大值．
【答案】(1)120°
(2)
͵
͵ൌ
(3)ൌ
【分析】（1）根据菱形性质，三角形内角和计算即可．
（2）根据菱形性质，三角形相似求解各边，分别计算出三角形面积即可．
（3）利用三角形相似和三角函数表示出쳌ܪ쳌ܥԢܩ，再进行求解即可．
【详解】（1）解：菱形ܣܤܥ쳌，
∴ܣ쳌צ ܤܥ，
∴סܥܤܣൌסܪܣܤԢ，
∵ܤܥ与ܤԢܥԢ关于直线ܧܨ对称，
∴四边形ܤܥܭܧ和四边形ܤԢܥԢܭܧ也关于直线ܧܨ对称，如图，
∴ܤԢܧൌܤܧ,סܥܤܣൌסܣܤԢܪ，
∴סܣܤԢܪൌסܪܣܤԢ，
∵ܤܧൌʹܣܧ，
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∴ܤԢܧൌʹܣܧ，
∴ܣܤԢ ൌܣܧ，
∵ܣܧൌܣܪ，
∴ܣܤԢ ൌܣܪ，
在ᇞܣܤԢܪ中，
∴סܣܤԢܪൌסܣܪܤԢ，
∵סܣܤԢܪൌסܪܣܤԢ，
∴סܣܤԢܪൌסܣܪܤԢ ൌסܪܣܤԢ，
∴סܪܣܤԢ ൌ͸Ͳι，
∵סܤܣ쳌㘮סܪܣܤԢ ൌൌͺͲι，
∴סܤܣ쳌ൌൌͺͲι െסܪܣܤԢ，
∴סܤܣ쳌ൌൌͺͲι െ͸Ͳι ൌൌʹͲι．
（2）解：当点ܥ与对应点ܥԢ重合时，ܤܥ与ܤԢܥԢ关于直线ܧܨ对称
∴ܧܨ为ܤܤԢ垂直平分线，
∴סܤܧܥൌ耀Ͳι，ᇞܤܧܥ和ᇞܤܧܨ为直角三角形，
∴ᇞܥܤܧ، ᇞܥܤԢܧ，
∴ܤԢܧൌܤܧ，ܥܤԢ ൌܥܤ，
∵ܤܧൌʹܣܧ，设ܣܧൌܽ
，
∴ܤԢܧൌܤܧൌʹܽ，
∴ܤܤԢ ൌͶܽ，ܣܤൌܣ쳌ൌ쳌ܥൌܤܥൌ͵ܽ，
在Rt ᇞܤܧܥ中，ܤܧൌʹܽ，ܤܥൌ͵ܽ，根据勾股定理得ܧܥൌ
ܤܥʹ െܤܧʹ，
∴ܧܥൌ
耀ܽʹ െͶܽʹ ൌ
ൌܽ，
∵菱形ܣܤܥ쳌，
∴ܣܤצ 쳌ܥ，
∴סܣܤ쳌ൌסܥ쳌ܤ，
∴ᇞܨܤܧ׾ᇞܨ쳌ܥ，ᇞܩܤܤԢ ׾ᇞܩ쳌ܥ，
∴
ܤܨ
쳌ܨൌ
ܧܨ
ܥܨൌ
ܤܧ
쳌ܥ，
ܩܤ
ܩ쳌ൌ
ܩܤԢ
ܩܥൌ
ܤܤԢ
쳌ܥ，
∵ܧܥൌ
ൌܽ，
∴
ܧܨ
ൌܽെܧܨൌ
ʹܽ
͵ܽ，
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解得ܧܨൌ
ʹ
ൌ
ൌܽ，
在ܴ
㌳ᇞܤܧܨ,ܧܨൌ
ʹ
ൌ
ൌܽ,ܤܧൌʹܽ，根据勾股定理得ܤܨൌ
ܤܧʹ 㘮ܧܨʹ，
∴ܤܨൌ
Ͷܽʹ 㘮
Ͷ
ൌܽ
ʹ ൌ
ʹ
ൌ
͵Ͳܽ，
∵
ܤܨ
쳌ܨൌ
ܤܧ
쳌ܥ，
∴
ܤܨ
ܤ쳌െܤܨൌ
ʹ
͵，
∴ܤ쳌ൌ
͵Ͳܽ，
∵
ܩܤ
ܩ쳌ൌ
ܤܤԢ
쳌ܥ，
∵ܩ쳌ൌܤ쳌െܩܤ，
∴
ܩܤ
ܤ쳌െܩܤൌ
ܤܤԢ
쳌ܥ，
∴
ܩܤ
͵Ͳܽെܩܤൌ
Ͷܽ
͵ܽ，
解得ܩܤൌ
Ͷ
͹
͵Ͳܽ，
∵ܨܩൌܩܤെܤܨ，
∴ܨܩൌ
Ͷ
͹
͵Ͳܽെ
ʹ
ൌ
͵Ͳܽ
ൌ
͸
͵ൌ
͵Ͳܽ，
连接菱形对角线ܣܥ交ܤ쳌于点ܱ
，如图，
∴ܣܥ٣ ܤ쳌，ܱܤൌܱ
쳌ൌ
ൌ
ʹ ܤ쳌ൌ
͵Ͳ
ʹܽ
，ܱܣൌܱ
ܥൌ
ൌ
ʹ ܣܥ，
在ܴ
㌳ᇞܣܱܤ中，ܣܤൌ͵ܽ，ܱܤൌ
͵Ͳ
ʹܽ
，根据勾股定理得ܱ
ܣൌ
ܣܤʹ െܱ
ܤʹ，
∴ܱܣൌ
耀ܽʹ െ
͵Ͳܽ
Ͷ
ʹ
ൌ
͸
ʹܽ
，
∴ܣܥൌ
͸ܽ，
∴菱形ܣܤܥ쳌面积ܵൌൌ
ൌ
ʹ ܣܥ൉ܤ쳌ൌ
ൌ
ʹ
͸ܽൈ
͵Ͳܽ
ൌ͵ ൌܽʹ，
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∴ᇞܥܨܩ面积ܵʹ ൌ
ൌ
ʹ ܨܩ൉ܱܥൌ
ൌ
ʹ ൈ
͸
͵ൌ
͵Ͳܽൈ
͸
ʹܽ
ൌ
耀ൌ
͵ൌܽ
ʹ，
∴ᇞܥܨܩ与菱形ܣܤܥ쳌的面积之比ܵʹܵ
ൌൌ
耀ൌ
͵ൌܽ
ʹ
͵ ൌܽʹ ൌ
͵
͵ൌ．
（3）解：设סܣܤܥൌߙ，
∵ܣܧൌൌ，ܤܧൌʹܣܧ，
∴ܤܧൌʹ，ܣܤൌ͵，
设סܣܤܥൌߙ，
∵ܤԢܧൌܤܧൌʹ，
∴ܣܤԢ ൌൌ，
在ᇞܣܤԢܪ中，过点ܪ作ܪܰ
٣ ܣܤԢ交ܣܤԢ于点ܰ
，
∴ܣܰ
ൌ
ൌ
ʹ，
∵סܣܤܥൌסܤԢܣ쳌ൌߙ，
∵cosסܤԢܣ쳌ൌcosߙൌ
ൌ
ʹ
ܣܪ，
∴ܣܪൌ
ൌ
ʹcosߙ，
∴쳌ܪൌܣ쳌െܣܪൌ͵ െ
ൌ
ʹcosߙ，
∵ᇞܪܤԢܣ׾ᇞܪܥԢ쳌，
∴
ܣܤԢ
ܥԢ쳌ൌ
ܣܪ
쳌ܪ，
∴
ൌ
ܥԢ쳌ൌ
ൌ
ʹcosߙ
͵െ
ൌ
ʹcosߙ
，
∴ܥԢ쳌ൌ͸cosߙെൌ，
∵ᇞܩ쳌ܥԢ ׾ᇞܩܤܤԢ，
∴
ܩܥԢ
ܩܤԢ ൌ
쳌ܥԢ
ܤܤԢ，
∵ܩܤԢ ൌܤԢܥԢ െܩܥԢ，
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∴ܩܤԢ ൌ͵ െܩܥԢ，
∴
ܩܥԢ
͵െܩܥԢ ൌ
͸cosߙെൌ
Ͷ
，
解得ܥԢܩൌ͵ െ
Ͷ
ʹcosߙ㘮ൌ，
∴쳌ܪെܥԢܩൌ͵ െ
ൌ
ʹcosߙെ͵ െ
Ͷ
ʹcosߙ㘮ൌൌ
Ͷ
ʹcosߙ㘮ൌെ
ൌ
ʹcosߙ，
设ݕൌ쳌ܪെܥԢܩ，cosߙൌݔ，
∴ݕൌ쳌ܪെܥԢܩൌ
Ͷ
ʹݔ㘮ൌെ
ൌ
ʹݔ，整理得ݕൌ
͸ݔെൌ
ʹݔ㘮ൌʹݔ，
ʹݔ㘮ൌʹݔ൉ݕൌ͸ݔെൌ，整理得Ͷݕݔʹ 㘮ʹݕെ͸ ݔ㘮ൌൌͲ 关于ݔ的一元二次方程，
∵ݕ要有最大值，方程要有实数根，
∴Δ ൌܾ
ʹ െͶܽ㐹ൌʹݕെ͸ ʹ െͶ ൈͶݕൈൌ൒Ͳ，
∴ݕʹ െൌͲݕ㘮耀൒Ͳ，
∴ݕെൌ
ݕെ耀൒Ͳ，
∴ݕെൌ൑Ͳ
ݕെ耀൑Ͳ 或ݕെൌ൒Ͳ
ݕെ耀൒Ͳ ，
∴ݕ൑ൌ或ݕ൒耀，
∵Ͳι ᦙߙᦙൌͺͲι，即Ͳι ᦙסܣܤܥᦙൌͺͲι，
∴cosߙᦙൌ，
∴ݔᦙൌ，
∴ݕൌ
Ͷ
ʹݔ㘮ൌെ
ൌ
ʹݔ൒耀不符合题意舍去，
∴ݕ൑ൌ，
∴ݕൌ쳌ܪെܥԢܩ最大值为ൌ．
23．（2026·浙江·一模）在等边ᇞܣܤܥ中，ܣܤൌͶ，쳌是ܤܥ边上的中点，ܧ，ܨ分别是线段ܣܥ，ܣ쳌上任
意一点，连接ܧܨ，将线段ܧܨ绕点ܧ顺时针旋转ൌʹͲι得到线段ܧܩ，连接ܨܩ、ܣܩ，ܧܨ的延长线交射线ܣܤ
于点ܯ．
(1)如图1，当点ܧ与点ܥ重合，若ܥܨ为סܣܥܤ的平分线，ܨܩ交ܣܥ于点ܲ
，求ܣܲ
的长；
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(2)如图2，若ܰ
为线段ܣܥ上一点，且סܣܩܰ
ൌסܣܧܩ，ܣܨൌܣܰ，求证：ܣܯ㘮ܣܨൌ
͵ܣܧ；
(3)如图3，设סܣܧܨൌߙ͵Ͳι ᦙߙᦙ耀Ͳι ，求证：
ܧܨ
ܯܨൌ
sin ൌʹͲιെߙ
sinߙ
．
【答案】(1)ܣܲ
ൌ
ͺ
͵
(2)
证明：如图，在射线ܣ쳌上取点ܪ，使得סܣܧܪൌൌʹͲι，作ܧ䳌٣ ܣܪ于点䳌，
∵ᇞܣܤܥ是等边三角形，D 是ܤܥ边上的中点，
∴סܤܣ쳌ൌסܥܣ쳌ൌ͵Ͳι，
∵סܣܧܪൌൌʹͲι，
∴סܪൌൌͺͲι െסܣܧܪെסܥܣ쳌ൌ͵Ͳι，
∴סܪൌסܥܣ쳌ൌסܤܣ쳌，
∴ܣܧൌܧܪ，ܣܤצ ܧܪ，
∴סܣܯܨൌסܪܧܨ，
∵ܧ䳌٣ ܣܪ，
∴ܣ䳌ൌܪ䳌ൌ
ൌ
ʹ ܣܪ，סܣ䳌ܧൌ耀Ͳι，
在Rt ᇞܣܧ䳌中，ܣ䳌ൌܣܧڄ cosסܥܣ쳌ൌܣܧڄ cos͵Ͳι ൌ
͵
ʹ ܣܧ，
∴ܣܪൌʹܣ䳌ൌ
͵ܣܧ，
∵线段ܧܨ绕点ܧ顺时针旋转ൌʹͲι得到线段ܧܩ，
∴ܧܨൌܧܩ，סܨܧܩൌൌʹͲι，
∵סܨܧܩൌסܣܧܨ㘮סܣܧܩൌൌʹͲι，סܣܧܪൌסܣܧܨ㘮סܪܧܨൌൌʹͲι，
∴סܣܧܩൌסܪܧܨൌסܣܯܨ，
在ᇞܣܧܩ和ᇞܪܧܨ中，
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ܧܩൌܧܨ
סܣܧܩൌסܪܧܨ
ܣܧൌܧܪ
，
∴ᇞܣܧܩ، ᇞܪܧܨSAS ，
∴סܧܣܩൌסܪൌסܤܣ쳌，ܣܩൌܪܨ，
∵סܣܩܰ
ൌסܣܧܩ，
∴סܣܩܰ
ൌסܣܯܨ，
在ᇞܣܩܰ
和ᇞܣܯܨ中，
סܣܩܰ
ൌסܣܯܨ
סܧܣܩൌסܤܣ쳌
ܣܰ
ൌܣܨ
，
∴ᇞܣܩܰ، ᇞܣܯܨAAS ，
∴ܣܯൌܣܩൌܪܨ，
∴ܣܪൌܪܨ㘮ܣܨൌܣܯ㘮ܣܨ，
∵ܣܪൌ
͵ܣܧ，
∴ܣܯ㘮ܣܨൌ
͵ܣܧ；
(3)
证明：如图，过点ܨ分别作ܣܤ、ܣܥ的垂线，垂足为ܬ、ܭ，
∵ᇞܣܤܥ是等边三角形，
∴סܤܣܥൌ͸Ͳι，
∴סܣܯܧൌൌͺͲι െסܣܧܨെסܤܣܥൌൌʹͲι െߙ，
∵点쳌为ܤܥ的中点，
∴ܣ쳌平分סܤܣܥ，
∵ܨܬ٣ ܣܤ，ܨܭ٣ ܣܥ，
∴ܨܬൌܨܭ，סܨܬܯൌסܨܭܧൌ耀Ͳι，
在Rt ᇞܨܬܯ中，ܨܬൌܨܯڄ sinסܣܯܧൌܨܯڄ sin ൌʹͲι െߙ，
在Rt ᇞܨܭܧ中，ܨܭൌܧܨڄ sinסܣܧܨൌܧܨڄ sinߙ，
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∴ܧܨڄ sinߙൌܨܯڄ sin ൌʹͲι െߙ，
∴
ܧܨ
ܯܨൌ
sin ൌʹͲιെߙ
sinߙ
．
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，ܣ쳌٣ ܤܥ，סܣܥܨൌסܤܥܨൌסܥܣ쳌ൌ͵Ͳι，则ܣܨൌܥܨ，쳌ܨൌ
ൌ
ʹ ܥܨൌ
ൌ
ʹ ܣܨ．由旋转的性质可得סܥܨܩൌ͵Ͳι，则ܨܲ
צ ܤܥ，从而证明ᇞܣܨܲ
׾ᇞܣ쳌ܥ，则
ܣܲ
ܣܥൌ
ܣܨ
ܣ쳌ൌ
ʹ
͵，因此
ܣܲ
ൌ
ʹ
͵ ܣܥൌ
ͺ
͵；
（2）在射线ܣ쳌上取点ܪ，使得סܣܧܪൌൌʹͲι，作ܧ䳌٣ ܣܪ于点䳌，根据题意可得סܪൌסܥܣ쳌ൌסܤܣ쳌ൌ
͵Ͳι，则ܣܧൌܧܪ，ܣܤצ ܧܪ，因此סܣܯܨൌסܪܧܨ．利用三角函数可计算得ܣ䳌ൌ
͵
ʹ ܣܧ，结合等腰三角形的
性质可得ܣܪൌʹܣ䳌ൌ
͵ܣܧ．由等量代换可得סܣܧܩൌסܪܧܨൌסܣܯܨ，从而证明ᇞܣܧܩ، ᇞܪܧܨSAS ，
则סܧܣܩൌסܪൌסܤܣ쳌，ܣܩൌܪܨ，进一步可证明ᇞܣܩܰ، ᇞܣܯܨAAS ，则ܣܯൌܣܩൌܪܨ，因此ܣܪൌ
ܣܯ㘮ܣܨൌ
͵ܣܧ；
（3）过点ܨ分别作ܣܤ、ܣܥ的垂线，垂足为ܬ、ܭ，由三角形的内角和定理可得סܣܯܧൌൌʹͲι െߙ，由
角平分线的性质可得ܨܬൌܨܭ，使用三角函数计算出ܨܬൌܨܯڄ sin ൌʹͲι െߙ，ܨܭൌܧܨڄ ݏ香݊ߙ，因此ܧܨڄ
sinߙൌܨܯڄ sin ൌʹͲι െߙ，变形得
ܧܨ
ܯܨൌ
sin ൌʹͲιെߙ
sinߙ
．
【详解】（1）解：∵ᇞܣܤܥ是等边三角形，
∴סܤܣܥൌסܣܥܤൌ͸Ͳι，ܣܤൌܣܥൌܤܥൌͶ，
∵쳌是ܤܥ边上的中点，
∴ܣ쳌٣ ܤܥ，סܥܣ쳌ൌ
ൌ
ʹ סܤܣܥൌ͵Ͳι，
∴סܣ쳌ܥൌ耀Ͳι，
∵ܥܨ为סܣܥܤ的平分线，
∴סܣܥܨൌסܤܥܨൌ͵Ͳι，
∴סܣܥܨൌסܥܣ쳌，
∴ܣܨൌܥܨ，
在Rt ᇞܥ쳌ܨ中，סܤܥܨൌ͵Ͳι，סܣ쳌ܥൌ耀Ͳι，
∴쳌ܨൌ
ൌ
ʹ ܥܨൌ
ൌ
ʹ ܣܨ，
∴
ܣܨ
ܣ쳌ൌ
ʹ
͵，
∵线段ܧܨ绕点ܧ顺时针旋转ൌʹͲι得到线段ܧܩ，
又∵点ܧ与点ܥ重合，
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∴ܥܨൌܥܩ，סܨܥܩൌൌʹͲι，
∴סܥܨܩൌסܥܩܨൌ
ൌͺͲιെסܨܥܩ
ʹ
ൌ͵Ͳι，
∵סܥܨܩൌ͵Ͳι ൌסܤܥܨ，
∴ܨܲ
צ ܤܥ，
∴סܣܨܲ
ൌסܣ쳌ܥ쳌סܣܲܨൌסܣܥ쳌，
∴ᇞܣܨܲ
׾ᇞܣ쳌ܥ，
∴
ܣܲ
ܣܥൌ
ܣܨ
ܣ쳌ൌ
ʹ
͵，
∴ܣܲ
ൌ
ʹ
͵ ܣܥൌ
ͺ
͵；
（2）略
（3）略
24．（2026·浙江温州·二模）如图1，在四边形ܣܤܥ쳌中，ܣ쳌צ ܤܥ，סܣܤܥൌ耀Ͳι，ܣܤൌൌ，ܤܥൌͶ，ܥܧ
平分סܤܥ쳌，交ܣܤ于点ܧ，点ܨ在ܣܤ上，且ܣܧൌܤܨ．
(1)如图2，当点ܧ与点ܨ重合时，求tanסܧܥ쳌的值．
(2)如图3，点ܩ在射线ܣ쳌上，且点ܧ在点ܨ上方时，连结쳌ܧ，ܨܩ．
①当ܧܨൌ
ൌ
͵时，求ܣ쳌的长．
②若ܣ쳌㘮ܣܩൌൌ，求쳌ܧ㘮ܨܩ的最小值．
【答案】(1)tanסܧܥ쳌ൌ
ൌ
ͺ．
(2)①ܣ쳌ൌ
͵͹
ൌʹ，②ൌʹ
【分析】（1）当ܧ与ܨ重合时，结合条件ܣܧൌܤܨ，可以推导出该点是ܣܤ的中点．因为ܣܤൌൌ，
所以ܣܧൌܤܧൌ
ൌ
ʹ ܣܤൌ
ൌ
ʹ，在直角三角形ᇞܤܥܧ中，求出tanסܧܥܤ，利用角平分线，得סܧܥ쳌ൌסܧܥܤ，即
可求解；
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（2）①过点쳌作쳌ܪ٣ ܧܥ，垂足为ܪ，延长ܥܧ交쳌ܣ延长线于ܯ，根据已知求出ܣܧൌܤܨൌ
ൌ
͵，在
Rt ᇞܤܥܧ和Rt ᇞܣܧܯ中，利用勾股定理和三角函数求出ܥܧ、ܯܧ，利用角平分线+平行模型证明ᇞܯܥ쳌是
等腰三角形，进而求出쳌ܪ、쳌ܯ，由ܣ쳌ൌܯ쳌െܣܯ即可求解；
②将两条分散的线段쳌ܧ和ܨܩ转化到同一直线上，延长ܣܤ到ܭ，使ܤܭൌܣ쳌，构造ᇞܣ쳌ܧ، ᇞܤܭܨ．得
到쳌ܧൌܨܭ．将쳌ܧ㘮ܨܩ的最小值转化为ܨܭ㘮ܨܩ的最小值．根据“两点之间线段最短”，当ܭ、ܨ、ܩ三
点共线时，ܨܭ㘮ܨܩ取得最小值，即线段ܭܩ的长度．
【详解】（1）解：∵当点ܧ与点ܨ重合时，ܣܧൌܤܨ．
∴ܣܧൌܤܧൌ
ൌ
ʹ ܣܤൌ
ൌ
ʹ，
∵סܣܤܥൌ耀Ͳι，
∴tanסܧܥܤൌ
ܤܧ
ܤܥൌ
ൌ
ʹ ൊͶ ൌ
ൌ
ͺ，
又∵ܥܧ平分סܤܥ쳌，即סܧܥ쳌ൌסܧܥܤ，
∴tanסܧܥ쳌ൌtanסܧܥܤൌ
ൌ
ͺ．
（2）解：①过点쳌作쳌ܪ٣ ܧܥ，垂足为ܪ，延长ܥܧ交쳌ܣ延长线于ܯ，如图͵ െൌ，
∵ܣܤൌൌ，ܧܨൌ
ൌ
͵，ܣܧൌܤܨ，
∴ܣܧൌܤܨൌ
ൌ
ʹ ൈሺൌെ
ൌ
͵ ሻൌ
ൌ
͵，
∴ܤܧൌ
ൌͲ
͵ ，
∵סܣܤܥൌ耀Ͳι，ܣ쳌צ ܤܥ，
∴סܧܥܤൌסܯ，ܧܥൌ
ܤܧʹ 㘮ܤܥʹ ൌ
ሺ
ൌͲ
͵ ሻʹ 㘮Ͷʹ ൌ
ʹ
͵
͸ൌ，
∴tanסܯൌtanסܧܥܤൌ
ܤܧ
ܤܥൌ
ൌͲ
͵
Ͷ ൌ
ൌ
͸，cosסܯൌcosסܧܥܤൌ
ܤܥ
ܧܥൌ
Ͷ
ʹ
͵ ͸ൌൌ
͸ ͸ൌ
͸ൌ，
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∴在Rt ᇞܣܧܯ中，ܣܯൌ
ܣܧ
tanסܯൌ
ൌ
͵ ൊ
ൌ
͸ ൌʹ，
∴ܯܧൌ
ܣܧʹ 㘮ܣܯʹ ൌ
ሺ
ൌ
͵ ሻʹ 㘮ʹʹ ൌ
͸ൌ
͵ ，
∴ܥܯൌܯܧ㘮ܥܧൌ
͸ൌ
͵ 㘮
ʹ ͸ൌ
͵
ൌ
͸ൌ，
又∵ܥܧ平分סܤܥ쳌，即סܧܥ쳌ൌסܧܥܤ，
∴סܧܥ쳌ൌסܧܥܤൌסܯ，
∴쳌ܯൌܥ쳌，
∵쳌ܪ٣ ܥܧ，
∴ܯܪൌ
ൌ
ʹ ܯܥൌ
͸ൌ
ʹ ，
∴在Rt ᇞ쳌ܪܯ中，쳌ܪൌܯܪtanסܯൌ
͸ൌ
ʹ ൈ
ൌ
͸ ൌ
ൌ͸ൌ
ൌʹ ，
ܯ쳌ൌ
ܯܪ
cosסܯൌ
͸ൌ
ʹ ൊ
͸ ͸ൌ
͸ൌൌ
͸ൌ
ൌʹ，
∴ܣ쳌ൌܯ쳌െܣܯൌ
͸ൌ
ൌʹ െʹ ൌ
͵͹
ൌʹ，
②延长ܥܤ到ܭ，使ܭܤൌܣ쳌，连接ܨܭ、ܩܭ，作ܩܰ
٣ ܤܥ垂足为ܰ
，如图͵ െʹ，
∵ܣ쳌צ ܤܥ，סܣܤܥൌ耀Ͳι，
∴סܣൌסܨܤܭൌ耀Ͳι，
又∵ܣܧൌܤܨ，
∴ᇞܣ쳌ܧ، ᇞܤܭܨSAS ，
∴ܨܭൌܧ쳌，
∵ܨܭ㘮ܨܩ൒ܭܩ，
∴쳌ܧ㘮ܨܩ൒ܭܩ，
当ܭ、ܨ、ܩ三点公共线时，等号成立，쳌ܧ㘮ܨܩ取最小值，最小值为ܭܩ，
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如图͵ െ͵ 所示，当ܣ쳌ൌܣܧ时，
∵סܣൌ耀Ͳι，
∴סܣܧ쳌ൌͶൌι，
∴ܣ쳌ൌܣܧൌܤܨ，
又∵ܣܤൌܣܨ㘮ܤܨൌܣܨ㘮ܣܧൌܣܨ㘮ܣ쳌ൌൌ，ܣ쳌㘮ܣܩൌൌ
∴ܣܨൌܣܩ，
∴סܣܨܩൌͶൌι，
又∵ᇞܣ쳌ܧ، ᇞܤܭܨ，
∴סܭܨܤൌͶൌι，
∴סܣܨܭ㘮סܭܨܤൌסܣܨܭ㘮סܣܨܩൌൌͺͲι，
∴ܭ、ܨ、ܩ三点公共线．
∵ܰܩ٣ ܤܥ，
∴四边形ܣܤܰܩ是矩形，
∴ܰܩൌܣܤൌൌ，ܣܩൌܤܰ，
∵ܣܩ㘮ܣ쳌ൌൌ，
∴ܰܭൌܤܰ
㘮ܭܤൌܣܩ㘮ܣ쳌ൌൌ，
∴ܭܩൌ
ܭܰ
ʹ 㘮ܰ
ܩʹ ൌ
ൌʹ 㘮ൌʹ ൌൌʹ．
∴쳌ܧ㘮ܨܩ的最小值为ൌʹ．
【点睛】这道几何综合题主要考查了矩形性质、角平分线定理、三角函数以及最值问题中的“将军饮马”
模型．这道题的解题关键在于模型的识别与转化，几何难题往往需要“化折为直”，通过构造辅助线（如全等、
对称）将分散的条件集中，利用勾股定理或三角函数求解．
第（1）问是基础铺垫，考察了角平分线定义与锐角三角函数的直接计算，体现了“数形结合”中由形得
数的思想．
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第（2）问①考察了在复杂图形中通过已知线段关系求未知线段的能力，重点在于利用方程思想求出中
间量，，再结合勾股定理和三角函数求解．
第（2）问②是典型的最短路径问题（将军饮马变式）．
核心技巧：当题目中出现ܣ쳌㘮ܣܩ为定值，且求两条折线段之和的最小值时，通常采用构造全等三角
形或轴对称的方法，将折线转化为直线．
难点突破：通过构造ܤܭൌܣ쳌，巧妙地将쳌ܧ转移到了ܨܭ的位置，从而将问题转化为定值条件下
的直角三角形斜边最值问题．
25．（2026·浙江台州·二模）如图1，在菱形ܣܤܥ쳌中，对角线ܣܥൌʹ ͵，ס쳌ܣܤൌ͸Ͳι，P 是射线ܣ쳌上
一点，连接ܤܲ，ᇞܤܲܳ
与ᇞܤܲܣ关于ܤܲ
对称．
(1)求ܣܤ的长．
(2)当ܤܳ
٣ ܣܤ时，求证：ܲܳ
צ ܣܥ．
(3)如图2，当直线ܲܳ
与ܣܥ相交时，记交点为E．
①当点P 在边ܣ쳌上，且ܲܳ
٣ ܣܤ时，求ܣܲ
的长．
②连接ܤܧ，当ܤܧ取得最小值时，求ܣܧ的长．
【答案】(1)ʹ
(2)证明见解析
(3)①Ͷ െʹ ͵；②当ܤܧ取得最小值时，ܣܧ的长为͵ െ
ʹ或͵ 㘮
ʹ
【分析】（1）如图，连接ܤ쳌交ܣܥ于ܱ
，证明ܣܤൌܤܥൌܥ쳌ൌܣ쳌，ܣܥ٣ ܤ쳌，ܱܣൌܱ
ܥൌ
͵，ᇞܣܤ쳌
是等边三角形，可得סܤܣܱ
ൌס쳌ܣܱ
ൌ͵Ͳι，进一步可得答案.
（2）如图，记ܤܳ
与ܣܥ的交点为ܭ，证明סܣܭܤൌ͸Ͳι，结合对折可得：סܳ
ൌס쳌ܣܤൌ͸Ͳι，可得סܣܭܤൌסܳ，
从而可得结论；
（3）①记ܤܳ
与ܣ쳌的交点为㌠，ܲܳ
与ܣܤ的交点为ܴ
，当点P 在边ܣ쳌上，且ܲܳ
٣ ܣܤ时，证明ᇞܲ
ܤܴ، ᇞܲ
ܤ㌠AAS ，可得ܲ
㌠ൌܴܲ
，设ܣܴ
ൌ݉
，则ܣܲ
ൌʹ݉
，ܴܲ
ൌ
ܣܲ
ʹ െܣܴ
ʹ ൌ
͵݉
，再进一步求解即可；
②如图，作ܧ关于ܲ
ܤ的对称点ܰ
，连接ܤܰ，证明ᇞܲ
ܤܴ، ᇞܲ
ܤ㌠AAS ，可得ܴܲ
ൌܲ
㌠，ܧ的对称点ܰ
在ܲ
㌠上，ܤܰ
ൌܤܧ，当ܤܰ
٣ ܣ쳌时，ܤܰ
最小，ܤܧ最小，进一步可求解，如图，当ܲ
在쳌的上方时，作ܧ
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关于ܲ
ܤ的对称点ܰ
，连接ܤܰ，同理可得：此时ܤܧൌܤܰ
ൌ
͵时最小，过ܧ作ܧܯ٣ ܥܤ于ܯ，设ܧܯൌ݊
，
进一步同法可得答案.
【详解】（1）解：如图，连接ܤ쳌交ܣܥ于ܱ
，
∵在菱形ܣܤܥ쳌中，对角线ܣܥൌʹ ͵，ס쳌ܣܤൌ͸Ͳι，
∴ܣܤൌܤܥൌܥ쳌ൌܣ쳌，ܣܥ٣ ܤ쳌，ܱܣൌܱ
ܥൌ
͵，ᇞܣܤ쳌是等边三角形，
∴סܤܣܱ
ൌס쳌ܣܱ
ൌ͵Ͳι，
∴ܣܤൌ
ܣܱ
cos͵Ͳι ൌ
͵
͵
ʹ
ൌʹ.
（2）证明：如图，记ܤܳ
与ܣܥ的交点为ܭ，
∵ܤܳ
٣ ܣܤ，
∴סܣܤܭൌ耀Ͳι，
׶ סܤܣܱ
ൌ͵Ͳι，
∴סܣܭܤൌ͸Ͳι，
由对折可得：סܳ
ൌס쳌ܣܤൌ͸Ͳι，
∴סܣܭܤൌסܳ，
∴ܲܳ
צܣܥ.
（3）解：①记ܤܳ
与ܣ쳌的交点为㌠，ܲܳ
与ܣܤ的交点为ܴ
，
当点P 在边ܣ쳌上，且ܲܳ
٣ ܣܤ时，
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∴סܳܲ
㌠ൌסܣܴܲ
ൌ耀Ͳι െ͸Ͳι ൌ͵Ͳι，
由对折可得：סܲܳ
ܤൌסܲܣܤൌ͸Ͳι，סܣܤܲ
ൌסܳܤܲ，
∴סܲ㌠ܳ
ൌ耀Ͳι ൌסܲ㌠ܤൌסܴܲ
ܤ，
∵ᇞܣܤ쳌为等边三角形，
∴ܣ㌠ൌ쳌㌠ൌ
ൌ
ʹ ܣ쳌ൌ
ൌ
ʹ ܣܤൌൌ，
∵ܤܲ
ൌܤܲ，
∴ᇞܲ
ܤܴ، ᇞܲ
ܤ㌠AAS ，
∴ܲ㌠ൌܴܲ
，
设ܣܴ
ൌ݉
，则ܣܲ
ൌʹ݉
，ܴܲ
ൌ
ܣܲ
ʹ െܣܴ
ʹ ൌ
͵݉
，
∴ܲ㌠ൌܴܲ
ൌ
͵݉
，
∴ʹ݉
㘮
͵݉
ൌൌ，
解得：݉
ൌʹ െ
͵，
∴ܣܲ
ൌʹ݉
ൌͶ െʹ ͵；
②如图，作ܧ关于ܲ
ܤ的对称点ܰ
，连接ܤܰ，
结合①同理可得：סܲܳ
ܤൌסܲܣܤൌ͸Ͳι，סܳܲ
㌠ൌסܣܴܲ
，סܲܤܳ
ൌסܲܤܣ，
∵סܤ㌠ܲ
ൌסܲܳ
ܤ㘮סܳܲ
㌠，סܴܲ
ܤൌסܲܣܤ㘮סܣܴܲ
，
∴סܲ㌠ܤൌסܴܲ
ܤ，
∵ܲܤൌܲ
ܤ，
∴ᇞܲ
ܤܴ، ᇞܲ
ܤ㌠AAS ，
∴ܴܲ
ൌܲ
㌠，ܧ的对称点ܰ
在ܲ
㌠上，ܤܰ
ൌܤܧ，
∴当ܤܰ
٣ ܣ쳌时，ܤܰ
最小，ܤܧ最小，
此时ܤܧൌܤܰ
ൌܣܤڄ cos͵Ͳι ൌ
͵，
过ܧ作ܧܯ٣ ܣܤ于ܯ，设ܧܯൌ݊
，而סܥܣܤൌ͵Ͳι，
∴ܣܧൌʹ݊，ܣܯൌ
͵݊，
∴ܤܯൌʹ െ
͵݊，
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∴݊
ʹ 㘮ʹ െ
͵݊
ʹ ൌ
͵
ʹ，
解得：݊
ൌ
͵㘮ʹ
ʹ
（舍去），或݊
ൌ
͵െʹ
ʹ
，
∴ܣܧൌʹ݊
ൌ
͵ െ
ʹ；
如图，当ܲ
在쳌的上方时，作ܧ关于ܲ
ܤ的对称点ܰ
，连接ܤܰ，
同理可得：此时ܤܧൌܤܰ
ൌ
͵时最小，过ܧ作ܧܯ٣ ܥܤ于ܯ，设ܧܯൌ݊
，
同理可得：ܥܧൌ
͵ െ
ʹ，
此时ܣܧൌܣܥെܥܧൌʹ ͵ െ
͵ െ
ʹ ൌ
͵ 㘮
ʹ，
综上：当ܤܧ取得最小值时，ܣܧ的长为͵ െ
ʹ或͵ 㘮
ʹ.