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专题31 锐角三角函数
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 正弦、余
弦和正切
基础核心考点，依托三角形、正方形、
菱形、圆等图形命题，考查三角函数
定义与边角换算，常结合旋转、对称
变换，以选填题为主，侧重定义灵活
运用。
融合几何变换创新，结合旋转、折叠
求三角函数值；新增镜面反射、光影
测量情境题型，弱化单纯公式计算。
考点02 特殊角的
三角函数
高频基础考点，常结合实数混合运算、
零指数幂、二次根式化简考查，也融
入几何角度计算，覆盖计算、化简求
值、不等式组综合题型。
跨题型融合创新，联动因式分解、分
式化简、不等式求解；多运算混合考
查，强化基础运算的综合性与严谨性。
考点03 解直角三
角形计算
中档重点考点，结合圆、正多边形、
图形旋转折叠命题，考查边长、角度、
面积计算，常结合内心、直径、垂直
平分线等几何性质综合设问。
几何深度融合，嵌套圆的性质、图形
变换；新增最值探究、阴影面积计算
题型，侧重辅助线构造与综合推理。
考点04 方向角问
题
实际应用高频考点，以航海、航行场
景为载体，结合双观测点、多船只航
行模型，考查方向角识别与直角三角
形建模求解。
情境复杂化，增设双动点、多路段航
行场景；结合速度、行程计算设问，
强化数学建模与实际问题转化能力。
考点05 坡度坡比
问题
应用型必考考点，聚焦坡道、河堤、
山路、桥梁等实景，考查坡角、坡比
换算与高度、距离计算，贴合生活工
程实际场景。
结合无障碍设施、基建工程命题，新
增方案设计、合规性判断题型，兼顾
计算与实际应用分析。
考点06 仰角俯角
问题
解答题核心考点，依托无人机测量、
古建筑测算、地标高度测量等场景，
考查仰俯角建模、分段测量计算，题
型经典且设问灵活。
融入传统文化、科技测量情境，新增
分段水准测量、双观测点差值计算，
结合项目式学习设问，创新题型呈现
形式。
考点07 三角函数
综合创新
压轴拓展考点，结合古算诗词、光学
反射、汽车转弯、抛物线模型等新颖
场景，考查三角函数综合运用与几何
跨学科、跨领域创新，融合物理光学、
生活实操、古法数学；新增动态最值、
动态探究。
范围探究、参数求解等高阶设问。
考点01 正弦、余弦和正切
1．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
5,
12
B
AB
BC
=
=
=
，点M 是边AC 的中点．将
ABC绕着点A 逆时针旋转到ADE 的位置，点D 恰好在边AC 上，点M 是点M 的对应点，则M
M
、
两
点间的距离为（ ）
A．2 5
B．2 13
C．4 5
D．4 13
∵
90 ,
5,
12
B
AB
BC
=
=
=
，
∴
2
2
13
AC
AB
BC
=
+
=
，
∴
5
12
cos
,sin
13
13
AB
BC
BAC
BAC
AC
AC
=
=
=
=
，
2．（2026·山东德州·中考真题）如图，在ABC中，
5
AB
AC
=
= ，
8
BC = ，则cosB的值为（）
A．3
5
B．4
5
C．3
4
D．5
4
3．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点E 在BC 的延长线上．若
2
CE
BC
=
，则
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tan AFC
的值为（ ）
A．2
B．1
2
C．
5
5
D．2 5
5
4．
（2026·福建·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，BC 是
O 的切线，AC 交
O 于点D．若AD
CD
=
，
则tanA的值是（ ）
A．
2
2
B．1
C．2
D．2
5．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，菱形ABCD中，
60
BCD
=
，
6
CD =
，点P 在边CD上，且
2
PC =
，
Q 为边BC 上的动点，点C 关于PQ 的对称点为C．若
C AD
△
、C BD
的面积分别记为
C AD
S
△
、
C BD
S
△
，则
C AD
C BD
S
S
−
△
△
的最大值为____．
6．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一
个明亮的光斑．如图，
1
2
= ，若
3
tan
4
AOD
=
，
8
OB = ，则BC = _____．
7．（2026·上海·中考真题）在ABC中，
90
C
=
，
10
AB =
，
6
AC =
，则tanB的值为________．
考点02 特殊角的三角函数
1．（2026·天津·中考真题）2sin30
cos45
−
的值等于（ ）
A．1
2
−
B．0
C．
2
1
2
−
D．2
2．（2026·四川自贡·中考真题）如图，在
ABCD 中，
8
AB = ，
6
AD =
，
60
D
=
，
DAB
与
ABC
的角平
分线分别交CD于点E ，F ，AE 与BF 相交于点P ，连接CP ，则sin PCF
的值为（ ）
A．2
3
−
B．
3
3
C．
3
2
D．1
2
3．（2026·四川乐山·中考真题）sin30= _________．
4．（2026·四川广元·中考真题）计算：9
2cos30
1
3
−
+ −
．
5．（2026·北京·中考真题）计算：
(
)
0
3
18
π
n 45
5
6si
−
−
+
−
+
．
6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）计算、分解因式：
(1)计算：
2
0
1
|
3
2 |
tan60
(
3.1 )
3
π
4
−
−
+
−−
+
−
；
(2)分解因式：
3x y
xy
−
．
7．（2026·四川自贡·中考真题）计算：
(
)
0
1
sin60
π
4
−
−+
−
．
8．（2026·广东·中考真题）计算：(
)
1
0
1
1
3
9
sin30
2
−
−
+ −
−
−
+
．
9．（2026·四川巴中·中考真题）计算：
(1)(
)
0
2026
π
12
6sin60
1
3
−
−
+
−−
；
(2)求不等式组
(
)
4
5
3
1
3
1
4
1
2
3
x
x
x
x
−
−
+
−
的解集；
(3)先化简
2
2
3
1
1
2
4
4
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
+
，然后从1、2、3 这三个数中选出合适的数代入求值．
10．（2026·四川凉山·中考真题）计算：(
)
(
)
2
2
1
1
1
2sin 45
2
1
2
−
−
+
−
−
+
+ −
．
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11．（2026·四川甘孜·中考真题）计算及解不等式组
(1)计算：
(
)
0
2
2026
π
2cos45
−
+
−
−
．
(2)解不等式组：
2
1
1
3
3
2
x
x
x
x
−
+
−
①
②
12．（2026·四川宜宾·中考真题）计算：
(1)
0
4
( 2
1)
tan45
−
+
+
；
(2)
1
1
1
1
1
x
x
x
x
−
+
+
−
．
13．（2026·四川内江·中考真题）按要求解答下列各题：
(1)计算：
(
)
(
)
0
2
2
3
1
2
tan45
−
−−
+
+ −
；
(2)化简：
b
a
a
b
b
a
−
−
+
．
14．（2026·湖南·中考真题）计算：
2
2sin30
3
2
+ −+
．
15．（2026·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)
(
)
0
18
π
3
4sin45
−
−
−
；
(2) (
) (
)
2
9
3
a
a
b
a
+
−
．
16．（2026·云南·中考真题）计算：
(
)
(
)
1
2
0
1
2
2sin 45
1
π
7
7
−
−
−
+
+
−
−
．
17．（2026·四川泸州·中考真题）计算：
1
0
1
4sin30
3
(π
2)
3
−
+
+
+
−−
．
18．（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组：
(1)
1
1
8
2cos60
1
2 2
3
−
−
+
+
−
(2)
(
)
3
2
2
5
1
2
3
x
x
x
x
−
+
+
①
②
19．（2026·四川遂宁·中考真题）计算：
0
3 8
(π 1)
sin30
−
−
+
．
20．（2026·四川广安·中考真题）完成下列小题；
(1)计算：
(
)
(
)
0
2
1
2
2sin45
2
3
π
−
−
+ −
+
−
．
(2)先化简，再求值：
2
2
2
3
1
1
2
1
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
，其中
5
x = ．
21．（2026·四川达州·中考真题）计算
(
)
0
2sin30
2026
4
1
−
−
+
+ −．
考点03 解直角三角形的相关计算
1．（2026·山东德州·中考真题）如图，在圆心角为60 ，半径为R 的扇形纸片OAB 中，点O到AB 的距
离记为d ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h ，下列关于d 和h 的大小关系正
确的是（ ）
A．d
h
B．d
h
=
C．d
h
D．无法确定
2．（2026·云南·中考真题）在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
．若
2
BC =
，
6
tan
2
B =
，则AB = （ ）
A．1
3
B．
3
7
C．5
D．4
5
3．（2026·四川广元·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，点C 在
O 上，点E 为ABC 的内心，CE 的延长
线交
O 于点F ，连接AF ，若
5
AC = ，
13 2
2
AF =
，则CE 的长为（ ）
A．3 2
2
B．2 2
C．5
2
−
D．1
2
+
4．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，ABC内接于
O ，
11
AB =
，
5
BC =
，
4
sin
5
B =
，则
O 的直径是( )
A．5 5
B．3 14
C．8 2
D．2 33
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5．（2026·陕西·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
60
B
=
，
6
AB = ．BC 的垂直平分线交BC 于
点D ，交AC 于点E ，则DE 的长为（ ）
A．2
B．3
C．2 3
D．4 3
6．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
．将线段AB 绕点A 按逆时针
方向旋转至AM（
BAM
是旋转角，且0
120
BAM
），连接BM ，CM ，作AN
CM
⊥
，垂足为N．用
等式表示线段BM ，CM ，AN 之间的数量关系为_______．
7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在等边ABC中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，
2
AB =
．将ADE
沿DE 翻折得到A DE
，若点A恰好落在边BC 上，则线段AD 长度的最小值为_________．
8．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中AB CD ，BD
DE
⊥
于点D ，AC
DE
⊥
于点E ，若
60
BAC
=
，
4m
AB =
，则CE =_________ m ．
9．
（2026·四川甘孜·中考真题）如图，将边长为3 的正方形ABCD绕点A 逆时针旋转30，得到正方形AEFG ，
EF 交CD于点H ，则四边形ADHE 的面积为______．
10．（2026·四川广元·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
3
AC = ，
4
BC =
，点D ，E ，F 分别
在AB ，AC ，BC 边上，连接DE ，DF ，EF ，若
90
EDF
=
，AD
AE
=
，则EF 的最小值为__________．
11．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E 为CD边上一点，连接AE ，BE ．若
4
AB =
，
1
tan
4
DAE
=
，则BE = ___________．
12．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF 的中心为O、边心距
3
OM =
，分别以F 、
C 为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB ，DE 所围成的阴影部分面积是________．
13．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，四边形ABCD内接于
O ，AC 为
O 的直径，点E 在AC 的
延长线上，且
90
CDE
ABD
+
=
．
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(1)求证：DE 是
O 的切线；
(2)若
8
CE = ，
12
DE =
，
1
sin
2
BAC
=
，求阴影部分的面积．
14．（2026·广西·中考真题）如图1，O 是锐角三角形ABC 的外接圆，
45
BAC
=
，
2
BC =
，BD
AC
⊥
于
点D ．
(1)求证：OD平分
ADB
；
(2)如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC 相切于点E ，求AC 的长及
CBD
的度数．
15．（2026·新疆·中考真题）如图，ABC内接于
O ，AD 平分
BAC
交
O 于点D，连接BD ，CD，经过
点D 的直线与AB 的延长线相交于点E，且
1
2
BDE
BAC
=
．
(1)求证：DE 是
O 的切线；
(2)如果点I 是ABC的内心，
12
tan
5
BAC
=
，
24
BC =
，求DI 的值．
考点04 方向角问题
1．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A 和港口B 同时出发向港口C 直线航行运送
货物．已知港口A 位于港口B 北偏西18.4的方向上，港口C 位于港口A 北偏东53的方向上，
100 10
AB =
海里，
500
AC =
海里，甲船航行速度为10 海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以
同时到达港口C（结果保留根号）．
（参考数据：sin53
0.80
，cos53
0.60
，tan53
1.33
，
10
sin18.4
10
，
3 10
cos18.4
10
，
1
tan18.4
3
）
2．（2026·安徽·中考真题）湖中有两个小岛，分别用点A ，B 表示，B 在A 的北偏东37方向上．为了测量A ，
B 间的距离，综合实践小组在观测点C 处测得A 在C 的正北方向，沿着北偏东56方向行走至另一观测点D ，
测得A 在D 的正西方向，B 在D 的北偏西53方向上，平面示意图如图所示．已知C ，D 间的距离为660 m ，
求A ，B 间的距离（精确到0.1m ）．参考数据：sin56
0.83
，cos56
0.56
，sin53
0.80
，cos53
0.60
，
sin37
0.60
，cos37
0.80
．
3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点A ，在点A 的正东方向上有两个观测点C ，D ，
且A ，C 相距20nmile ．某日上午8 点，测得一艘轮船位于点A 的北偏西30方向上的B 处，且与A 相距
20nmile ，并沿固定方向匀速行驶，上午12 点测得该轮船位于点C 的北偏东30方向上的E 处，且C ，E 相
距60nmile ，此时点D 到E 的距离是D 到C 的距离的2 倍．
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(1)求该轮船的航行速度；
(2)求点D ，E 间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
考点05 坡度坡比问题
1．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道．
项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1:20．如图①是小红所
在学校的无障碍坡道．
=
坡面的铅直高度
坡度
坡面的水平宽度
项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度
4.8
AC =
米，坡角
14
BAC
=
．为检测该坡道是否符合国家标准，
小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计．
任务：
(1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC 的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由；
(2)如图③，受地面条件限制，该坡道CA方向能用的水平宽度只有20 米．小红设计了一个“回转坡道”的方
案示意图：在F 处安装支柱
0.8
DF =
米，在E 处留
2
EC =
米的通道，入口为点E ，经过两个坡道ED 与DB
再到达点B ，且
16
EF =
米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明
理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：tan14
0.25
，sin14
0.24
，cos14
0.97
）
2．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026 年国际划联皮划艇马拉松世界
杯于5 月23 日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N 点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P 点
时，测得C 点正前方的河面上两艘皮划艇A 和B 的俯角分别为42.3和52.4（点M、C、B、A 在一条直线
上）．已知河堤斜坡NC 的长为12m ，坡比为1:
3 （计算结果保留整数）．（参考数据：sin42.3
0.67
，
cos42.3
0.74
，tan42.3
0.91
，sin52.4
0.79
，cos52.4
0.61
，tan52.4
1.30
）
(1)求无人机距河面的高度PM ；
(2)求两艘皮划艇之间的距离AB ．
3．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN 相距300 米的
点A 观测塔顶M 的仰角为30，斜面AN 的坡度
1:5
i =
，点A，B，C，M，N 在同一平面内，AB 是桥面，CN
是水平线，AB CN ，AB
MN
⊥
．（计算结果均保留根号）
(1)求索塔桥面以上部分MB 的高度；
(2)求索塔MN 的高度．
4．（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座
小山．他们由山脚A 处出发，先沿坡角为42的山坡行走300m到达B 处，再沿坡角为30的山坡行走200m
到达山顶C 处．估计这座小山的高度．（参考数据：sin42
0.67
、cos42
0.74
，tan42
0.90
，结果保
留整数）
5．
（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某
台机器人能轻松爬上坡角不超过35的斜坡．如图，坡角为
A
的斜坡AB 长10m，铅直高度BC 长4.7 m ，
90
C
=
．该机器人一定能爬上斜坡AB 吗？请判断并说明理由．
（参考数据：sin28
0.47
，sin35
0.57
）
考点06 仰角俯角问题
1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中A 处探测到地平面目标B ，此时从探测
器上看目标B 的俯角
30
=
，探测器飞行的高度
60 3 m
AC =
，则探测器到目标B 的距离AB 约为（ ）
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（其中3
1.732
，计算结果精确到0.1）
A．207.8 m
B．207.9 m
C．208.8 m
D．208.9 m
2．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次
综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔AB 的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升
至距水平地面100 m 的C 处，测得龟山电视塔顶端A 的仰角为50.5，底端B 的俯角为45，则龟山电视塔的
高度约是_________ m（结果取整数，参考数据：sin50.5
0.772
，cos50.5
0.636
，tan50.5
1.213
）．
3．（2026·山西·中考真题）项目式学习
项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井．某校学生到
此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告．
项目主题
藻井的调查与测算
驱动任务
调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据
活动过程
调查
工艺
该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑
等工艺形成逐层向上收缩的三层结构．
造型
该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱
形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱
形井．
测算
对象
中间层菱形井中较长对角线的长
图示
图1 为藻井仰视平面图，其中线段AB 为中间
层菱形井较长的对角线（点A ，B 在同一水
平直线上）；图2 为测量方案示意图，其中测
量点C ，D 在同一水平直线上，且点A ，B ，
C ，D 在同一竖直平面内．
数据
在点D 处测得点A 的仰角为60，
6
AD =
米；
在点C 处测得点B 的仰角为45，
11
CD =
米．
结果
…
活动反思
…
请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB 的长（结果精确到0.1 米，参考数据：3
1.73
）．
4．（2026·四川眉山·中考真题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内
的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB ．为确定跨湖桥AB
的长度，无人机在桥上方点C 处，测得点C 距地面的高度为90 米，同时测得桥头点A 处的俯角为60；从
点C 处沿AB 方向水平飞行300 米到达点D 处，测得桥头点B 处的俯角为42，求桥AB 的长度（结果精确
到1 米）．（参考数据：sin42
0.67
，cos42
0.74
，tan42
0.90
，3
1.73
）
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5．（2026·山东烟台·中考真题）【综合与实践】
活动主题
测算矩形广告牌的面积
测量工具
皮尺、无人机、计时器、计算器等
活动过程
测量过程
如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11
米，BC 与水平地面垂直，支柱EF 长6.4
米，且垂直于地面．无人机从N 点起飞，
以3米/ 秒的速度竖直向上飞行8 秒到
达M 点，此时测得C 点的俯角为
67.4．D 点的俯角为36.9（图中各点
均在同一平面内）．
模型建构
参考数据
sin67.4
0.92
，cos67.4
0.38
，
tan67.4
2.40
，
sin36.9
0.60
，cos36.9
0.80
，
tan36.9
0.75
．
问题解决
求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确
到1 平方米）．
6．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下：
活动主题
测量建筑物的高度
实物图和测量示意图
测量说明
（1）测角仪在G 处测得建筑物顶D 的仰角为；
（2）测角仪在F 处测得建筑物顶D 的仰角为；
（3）点G ，F ，E 位于同一水平线上，测出AB 的长，测角
仪的高AG ，BF ．
测量数据
1.6 m
AG
BF
CE
=
=
=
，
35
=
，
50
=
，
9.8 m
AB =
参考数据
sin35
0.57
，cos35
0.82
，tan35
0.70
sin50
0.77
，cos50
0.64
，tan50
1.19
请根据以上数据求此建筑物高DE 的长．（结果保留整数）
7．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性
完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，
在山脚A 处测得山腰B 处的仰角为53，A ，B 间的距离为400 米，在山腰B 处测得山顶C 处的仰角为45，
B ，C 间的距离为600 米．求山高CD．（参考数据：
4
sin 53
5
，
3
cos53
5
，2
1.414
．计算结果取整
数．）
8．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪
来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25 根柱子，每两根
柱子之间的距离为4 米（如图2 ），组长站在最中间柱子EC 正下方，背对车站向正前方走了20 米到达F 点，
转身测得D 、E 两点的仰角分别是50.3和58（不计测角仪的高度）（如图3）．
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(1)求DE 的长；
(2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．
（结果保留整数．参考数据：sin58
0.85
，cos58
0.53
，tan58
1.60
，sin50.3
0.77
，cos50.3
0.64
，
tan50.3
1.20
．）
9．（2026·四川内江·中考真题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展
实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的C 处，测得雕像顶端A 的仰角为
45，沿水平方向向雕像行走12 米到达观测点D 处，测得雕像顶端A 的仰角为60 ．雕像底端B 与观测点
D 、C 在同一条水平直线上，且AB
BC
⊥
，求孔子雕像的高度AB ．（结果保留根号）
10．
（2026·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB
BC
⊥
，BC
DE
∥
，
AB 的延长线与水平线DE 相交于点O．从地面C 处沿步道CD（看作斜坡）前行，至平台DE ，
22
CD
m
=
；
在平台D 处测得纪念碑顶部A 的仰角(
)
ODA
为42，斜坡CD的倾斜角（
ODC
）为12；在平台E 处
测得纪念碑顶部A 的仰角(
)
OEA
为35，
9
DE
m
=
．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑
AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan35
0.7
，tan42
0.9
，sin12
0.2
．
11．（2026·上海·中考真题）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆AB 与建筑物的底端处在
同一水平面上，规定建筑物高度h 与栏杆到建筑物的距离d 满足
1
8
h
d
即为安全．
(1)当
100
d =
米时，h 至少需要小于多少米？
(2)若在观测场测得AB 的长是a ，BC 的长为b ，在B 处观测C 的仰角为，求h
d ．（用含a 、b 、的代数
式表示）
12．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，
此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目
标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A 处观测到黄河北岸
的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测
量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2 ，设观测点A 到塔CD的水平距
离为AB（点B ，C ，D 在同一条直线上），CD
AB
⊥
，在点A 分别测得塔顶C 的仰角
16.73
CAB
=
、塔底D
的仰角
14.01
DAB
=
，查阅资料可知塔的高度
17
CD =
米．根据以上信息，请你求出观测点A 到塔CD的水
平距离AB ．（结果精确到1米）
参考数据：sin14.01
0.24
，cos14.01
0.97
，tan14.01
0.25
，sin16.73
0.29
，cos16.73
0.96
，
tan16.73
0.30
．
13．（2026·四川遂宁·中考真题）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学
活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
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实物图
测量工具
无人机
测量方法及数据
在桥面A 点用无人机测得主桥塔顶C 点的仰角为37，将无人机垂直
上升40 米至B 处，测得主桥塔顶C 点的仰角为22．
测量示意图
参考数据
sin22
0.37
，cos22
0.93
，tan22
0.4
，sin37
0.60
，
cos37
0.80
，tan37
0.75
．
请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长．（精确到1 米）
14．（2026·四川成都·中考真题）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄
老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A 拍摄的最大仰角为30，最大
俯角为52.43，某人站在门外距离门底部B 点0.9 米的N 处时，摄像头A 恰好能拍摄到站立点N 及头顶M．已
知
,
AB
BN MN
BN
⊥
⊥
，求此人的头顶M 到站立点N 的距离．（结果精确到0.01 米；参考数据：
3
1.732,sin52.43
0.793,cos52.43
0.610,tan52.43
1.300
）
15．
（2026·四川自贡·中考真题）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要
求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m
）和笔直的竹竿（长度2 m ）进行测量．
(1)小刚建议这样测量：如图1，线段AC 表示所要测量的大树，在操场上F 点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE
（长度2 m ）顶部E 恰好看到树顶端A ，此时竖直竹竿DE 与小刚FG 的水平距离
2m
DF = ．小刚将观测点F
后移13m
到F处，采用同样方法，测得
3 m
D F
=
．小刚眼睛距离地面的高度
0.8 m
FG
F G=
=
，点F，D，
F ，D 与树的底部C 在同一水平线上．据此可知点E 到BG的距离EH 为_____ m ，图中两组相似三角形是
_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到0.1m
）．
(2)小明提出可以这样改进：如图2，在点F 处安置测角仪（高度1.5m
）测得树顶端A 的仰角
26.7
AGB
=
，
前行到点E 处测得树顶端A 的仰角
45
ADB
=
，点E ，F 与树的底部C 在同一水平线上，量得
16
EF
m
=
．请
按此方案求树的高度（结果精确到0.1m
）．（参考数据sin26.7
0.45
，cos26.7
0.89
，tan26.7
0.50
）
(3)两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．
考点07 其他问题
1．（2026·福建·中考真题）古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋
千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长
6
OA=
尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点
A 处，OA与地面BD 垂直，踏板离地面的高度
1
AB = 尺．当踏板从A 处绕点O运动到C 处时，踏板离地面
的高度
4
CD =
尺，则秋千的绳索荡过的
AOC
的大小为（ ）
A．30
B．45
C．60
D．75
2．（2026·湖南·中考真题）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC 与AB 垂直，门CD可绕C 旋转，F 是
门CD与门吸EF 的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF
AB
⊥
于点E ．已知AC
a
=
，EF
b
=
，
ACF
=
，且a
b
，则门吸EF 离墙AC 的距离AE 为（ ）
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A．
tan
a
B．(
)sin
a
b
−
C．(
)cos
a
b
−
D．(
)tan
a
b
−
3．（2026·广东深圳·中考真题）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为53．身高为1.6 m 的小明站在水平地
面上，此时他的影长为________．（参考数据
4
: tan53
3
，
3
cos53
5
，
4
sin53
5
）
4．（2026·吉林·中考真题）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A 点，到河岸的距离AB 为10m，刚好
正对河对岸的一棵大树P ，此时点A ，B ，P 在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了93 m ，
到达C 点，此时测得
35
ACP
=
．求这条河的宽度PB （结果保留整数）．（参考数据：sin35
0.57
=
，
cos35
0.82
=
，tan35
0.70
=
）
5．（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践
下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务．
项目
名称
为学校操场主席台遮阳棚设置灯带
问题
情境
如图是某学校操场上坐南朝北的主
席台，由地台（长方体）、四根立柱、
遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由
两条抛物线形线条组成，从正面看，
上方有一矩形，其一边与地台的长
度相同．项目式学习小组想为该矩
形四周设置灯带，测量了地台的长
度，在测量矩形另一边的长度时遇
到了困难，需要解决．
收集
信息
查找图纸：立柱
5m
ED =
，
7m
FG =
，
两根立柱ED 与FG 之间的距离
8m
DG =
．点F 是过点E ，N 的抛物线
的最高点，地台高
1m
AB =
，立柱FG 到
地台前边缘的距离
2m
AG =
．
查阅资料：小组通过查阅资料知道本地
春分日正午太阳光线与地面夹角的度数
为49．
实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M 点的
影子落在操场上的H 点处，测得影长
7.5 m
HB =
．
抽象
模型
说明：①测量时间为春分日正午；
②点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，
M ，N 在同一竖直平面内；点M ，N ，
A ，B 在同一竖直方向上，点H ，B ，C
在同一水平线上；
③各组选取不同的点作为坐标原点建立
平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”
小组以点D 为原点，AD 所在直线为x
轴，DE 所在直线为y 轴建立的平面直角
坐标系．
…
…
(1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E ，F ，N 的抛物线的函数表达式；
(2)任务二：请你求出矩形另一边MN 的长度．
（参考数据：sin49
0.75
，cos49
0.66
，tan49
1.15
）
6．（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502 km ．某数学兴趣小组开展测量
渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：
活动主题
测量渭河某段河道的宽度
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活动方案
方案一
方案二
测量示意图
测量过程
1．在河道一侧的岸边选取两个观
测点B ，C ；
2．测量
ABC
，
ACB
的度数；
3．测量B ，C 两点之间的距离．
1．在河道一侧的岸边选取两个观
测点B ，C ，分别在AB ，AC 的
延长线上选取点D ，E ，使得
DE
BC
∥
；
2．测量B ，C 两点之间的距离，D ，
E 两点之间的距离，BC 与DE 之
间的距离h ．
测量数据
45
ABC
=
，
63.4
ACB
=
，
120 m
BC =
．
120 m
BC =
，
150 m
DE =
，
20 m
h =
．
备注
1．点A 是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点；
2．图中所有点均在同一平面内；
3．参考数据：sin63.4
0.89
，cos63.4
0.45
，tan63.4
2.00
．
请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A 到BC 的距离）．
7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点O位于竖直墙面l 上，平面镜AB 与墙面l 平行，从点O射出一束
激光，经过平面镜AB 的反射，在墙面l 上形成一个光点C ，OC 所在直线垂直于水平面．入射光线OP 与平
面镜AB 的夹角
60
OPA
=
．
（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）
(1)求证：OPC是等边三角形；
(2)如图②，将图①中的平面镜AB 绕点P 顺时针旋转7.5到A B
位置，入射光线OP 经过平面镜的反射后，
在墙面l 上形成光点E ，点E 在直线OC 上．
①
OPE
=_________°；
②若
60
OC =
厘米，求光点向下移动的距离CE 的长．（结果保留根号）
8．
（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为
筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量：
测
量
任
务
任务一：测量“初始速度”
任务二：测量“冲刺速度”
示
意
图
已
知
条
件
凤舟AB 长度约为14 米，训练过程中凤舟AB 始终与河岸MN 平行．
实
施
过
程
凤舟出发前，河岸观测点P 与舟头B 的连线
PB
MN
⊥
，同时测得P 与舟尾A 的连线PA 与河岸
MN 的夹角
65
APM
=
，当凤舟出发20 秒时，舟头
到达点C 并测得PC 与河岸MN 的夹角
29
CPN
=
．
当舟头B 行进到与观测点G 的连线BG
MN
⊥
时开始计时，舟头B 到达终点D 时，用时10
秒，同时测得GD 与MN 夹角
40
DGN
=
，在
距离G 点20 米的H 点处测得DH 与MN 的夹
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角
63
DHN
=
．
解决对应的问题．
任务一：（参考数据：tan29
0.55
，tan65
2.14
）
(1)求凤舟与河岸的距离BP ；（结果保留整数）
(2)求凤舟前20 秒的平均速度．（结果保留两位小数）
任务二：（参考数据：tan40
0.84
，tan63
1.96
）
(3)求凤舟最后10 秒的平均速度．
9．（2026·河南·中考真题）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴
趣小组开展了综合与实践活动，记录如下．
活
动
主
题
地下车库入口改造
采
集
信
息
图1 是地下车库入口示意图．
①点C ，B ，D 在同一水平线上，
点E ，A ，F 在同一水平线上，
//
CD EF ．
②斜坡AB 的长为10 m ，
26.4
BAF
=
．
③车库限高2.7 m ．
设
计
方
案
如图2，保持点A 不动，将点B 沿
射线BD 平移到点B，使
18.4
B AF
=
．
完
成
任
务
任务一：求BB的长．
任务二：调整限高．经计算，点
C 到斜坡AB的距离约为
3.47 m ．在保障行车安全的前提
下，车库限高标志上的数值最大
可为________．（结果均保留一
位小数）
请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：sin26.4
0.44
，cos26.4
0.90
，tan26.4
0.50
，
sin18.4
0.32
，cos18.4
0.95
，tan18.4
0.33
）．
10．（2026·江西·中考真题）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法
进行测量，具体研究方法与过程如表：
具体问
题
利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度
主要工
具
无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺
截面示
意图
操作步
骤
1．在水平地面上选定一个激光发射点A ，使A 位于土坑上底面直径DE 所在的直线上；
2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；
3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从A 处发出的激光经反射镜C 处反射后恰好到达坑底最
右端F 处；
4．在线段AD 上确定一点B ，使得从B 处发出的激光经反射镜C 处反射后恰好到达坑底最左端G
处．
（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）
测量数
据
18
AB
m
=
，
12
DE
m
=
，
30
CAB
=
，
60
CBD
=
，
22.5
=
．
参考数
据
sin75
0.966
，cos75
0.259
，tan75
3.732
，3
1.732
．
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根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m ）
(1)任务一：计算点C 离水平地面的高度；
(2)任务二：计算
GCF
=_____________，
BCG
=______________；
(3)任务三：计算土坑的深度．
11．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】
(1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，
车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2 所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心
的距离）
1.5 m
AB =
，前轮转向角即
30
CBD
=
，则旋转半径OB =_____ m ．
【类比探究】
(2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与
自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向
与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）．
如图3，某款家用汽车宽AB 约为2 m ，轴心距BC 约为3m
．转弯时，若右前轮的转向角即
20.6
ECF
=
，
求此时左前轮的转向角
GDH
的度数．
（参考数据：
3
tan 20.6
8
，
1
tan 26.6
2
，
9
sin 20.6
25
，
2
tan33.6
3
，
1
tan18.5
3
）
【综合实践】
(3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C ，D 与直角拐点Q
共线位置时，其俯视图如图5 所示．若路宽均为5m
，车辆左侧与实线PQ 的距离为1m
．现右前轮欲以固
定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sin的范围．
12．（2026·山东·中考真题）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正
切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD为正方形，AG 为悬挂重物的铅垂线，AB 为
左矩，AD 为右矩，标有均匀刻度的BC 和DC 组成矩尺盘，以点A 为圆心，AB 为半径的标有均匀刻度的
弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩AB 或右矩AD 与视线PF 重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、
矩尺盘的交点的刻度为读数．
(1)如图2，左矩AB 与视线PF 重合，角度盘读数为31（
31
DAE
=
），矩尺盘读数为6（
6
DE =
），可知
仰角
31
P
DAE
=
=
，
6
tan
tan
0.6
10
DE
P
DAE
AD
=
=
=
=
．如图3，右矩AD 与视线PF 重合，角度盘读数为29
（
29
DAE
=
），矩尺盘读数为5.5（
5.5
DE =
），则仰角
P
= ________，tan
P
________（结果精确到0.1）．
【应用探究】
(2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E 到地面的距离（EB 的长度）．如图5，某同学站在城
门楼一侧A 处，用矩盘的左矩与视线ME 重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB 前进，穿过城门BD 到达城
门楼另一侧C 处，在C 处将矩盘右矩与视线NE 重合，角度盘读数为45．已知
20m
AC =
，该同学眼睛到地
面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E 到地面的距离（结果精确到0.1m）．
