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专题36 规律性探索和新定义问题（5 考点20 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 数字类规
律
选择、填空、项目探究大题，结合
代数式、杨辉三角、勾股数、函数
交点、整数因数，要求归纳通项、
裂项求和、验证猜想，重逻辑验证。
文化融合：杨辉三角、古勾股数探
究；项目式设问：分层猜想+举反
例推翻错误规律；函数联动：正反
函数交点数列规律。
考点02 用代数式
表示数、图形的规
律
以日历九宫格为载体，用字母表示
位置关系，结合一元二次方程求解
最值，侧重代数等量代换。
生活情境创新：月历框选模型；方
程综合：结合方程根限定中心数，
推导极值；定值证明开放设问。
考点03 图形类规
律探索
选择填空为主，结合化学分子、多
边形数、直线交点，观察图形数量
递推，推导通用表达式。
跨学科：有机物分子结构；数形结
合：三角/四边/五边形数综合对比；
几何操作：直线相交最多交点探究。
考点04 点坐标规
律探索
平面直角坐标系图形平移、菱形/
三角形点阵，分组循环找点坐标，
结合一次函数直线递推纵坐标。
周期分组创新：图形点阵按周期分
组；几何变换叠加：平移+翻折复
合坐标变化；直线点阵递推数列。
考点05 新定义问
题
选择、压轴大题全覆盖，自定义运
算、点、函数、四边形，现场阅读
理解规则，融合方程、函数、几何
证明。
现场建模：当堂读懂新规则解题；
多层设问：定义识别→计算→分类
讨论压轴；跨模块：新四边形结合
相似、勾股。
考点01 数字类规律探索
1．（2026·云南·中考真题）按一定规律排列的代数式：2x ，4x ，6x ，8x，10x ，…，第n 个代数式为（ ）
A．x
B．2x
C．2nx
D．
2n x
【答案】C
【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第n 个代数式．
【详解】解：观察给出的代数式依次分析：
∵第1 个代数式：2
2 1
x
x
= ，
第2 个代数式：4
2 2
x
x
= ，
第3 个代数式：6
2 3
x
x
=
，
第4 个代数式：8
2 4
x
x
=
，... ，
依次类推，所有代数式的字母部分均为x ，第n 个代数式的系数为2n，
∴第n 个代数式为2nx ．
2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）按一定规律排列的数据依次为2 ，7 ，14，23，34，47 ，…．若按此
规律继续排列下去，则第n 个数可以表示为_________（结果用含n 的代数式表示）．
【答案】
2
2
1
n
n
+
−
【分析】解题思路为将数据对应其序号n ，通过对比已知数据归纳规律，再验证规律是否符合所有已知项，
从而得到第n 个数的表达式．
【详解】解：设第n 个数对应序号为n ，n 为正整数，
将已知数据按序号整理：
当
1
n = 时，
2
2
(1 1)
2
=
+
−
，
当
2
n =
时，
2
7
(2 1)
2
=
+
−
，
当
3
n = 时，
2
14
(3 1)
2
=
+
−
，
当
4
n =
时，
2
23
(4 1)
2
=
+
−
，
当
5
n = 时，
2
34
(5 1)
2
=
+
−，
当
6
n =
时，
2
47
(6 1)
2
=
+
−，
因此可得第n 个数的表达式为
2
(
1)
2
n +
−，即为
2
2
1
n
n
+
−．
3．（2026·四川内江·中考真题）南宋时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》记载着如下图表，后人把这
个图表称作“杨辉三角”．图中两条平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，…，我们把第一个数记为
1
1
a = ，
第二个数记为
2
3
a =
，第三个数记为
3
6
a =
，…，第n 个数记为
na ，则
1
2
3
1
1
1
1
n
a
a
a
a
+
+
++
= _________．
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【答案】
2
1
n
n +
【分析】根据杨辉三角中数的排列规律，归纳出第 n 个数
na 的通项公式为
(
1)
2
n n +
，进而得到
1
2
1
1
2
(
1)
1
na
n n
n
n
=
=
−
+
+
，最后利用裂项相消法计算求和即可．
【详解】由题意可知：
1
1 (1 1)
1
2
a
+
= =
2
2 (2 1)
3
2
a
+
=
=
3
3 (3 1)
6
2
a
+
=
=
4
4 (4 1)
10
2
a
+
=
=
(
1)
2
n
n n
a
+
=
(
)
1
2
1
1
2
1
1
na
n n
n
n
=
=
−
+
+
1
2
3
1
1
1
1
n
a
a
a
a
+
+
++
1
1
1
1
1
1
1
2 1
2
2
2
2
2
3
3
4
1
n
n
=
−
+
−
+
−
++
−
+
1
1
1
1
1
1
1
2 1
2
2
3
3
4
1
n
n
=
−
+
−
+
−
++
−
+
1
2 1
1
n
=
−
+
2
1
n
n
=
+
2
1
n
n
=
+ ．
4．
（2026·山东·中考真题）如图，一组反比例函数
1k
y
x
=
，
2k
y
x
=
，
3k
y
x
=
，
nk
y
x
=
，其中
0
x
，1
1
k = ，
1
n
n
k
k −
，
n 为大于1 的整数．这组反比例函数的图象与正比例函数y
x
=
的图象相交，交点依次记为
1A ，
2
A ，
3
A ，…，
n
A ．若
1
2
2
3
A A
A A
=
= …
1
2
n
n
A
A
−
=
=
，则
6k =________．
【答案】36
【分析】联立反比例函数与正比例函数解析式求出交点
n
A 的坐标，利用两点间距离公式结合已知条件
1
2
n
n
A
A
−
=
得出
1
1
n
n
k
k −
−
= ，进而发现
nk 的数值规律，求出
6k 的值即可求解．
【详解】解：联立
n
y
x
k
y
x
=
=
，
解得
n
n
x
k
y
k
=
=
（负值舍去）
点
n
A 的坐标为(
)
,
n
n
k
k
，
点
1
nA −的坐标为(
)
1
1
,
n
n
k
k
−
−
，
2
2
2
1
1
1
1
(
)
(
)
2(
)
n
n
n
n
n
n
n
n
A
A
k
k
k
k
k
k
−
−
−
−
=
−
+
−
=
−
，
1
n
n
k
k −
，
(
)
1
1
2
n
n
n
n
A
A
k
k
−
−
=
−
，
1
2
n
n
A
A
−
=
，
(
)
1
2
2
n
n
k
k −
−
=
，
1
1
n
n
k
k −
−
= ，
1
1
k = ，
1
1
k
= ，
2
1
1
2
k
k
=
+ =
，
3
2
1
3
k
k
=
+ = ，
6
6
k =
，
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2
6
6
36
k
=
=
．
5．（2026·四川宜宾·中考真题）某科研机构为训练机器人的判断和执行力，将100个机器人安排坐在编号依
次为1到100的桌子前，每张桌子的桌面上只平放一张反面向上的扑克牌（扑克牌只有正面向上或反面向
上）．开始向每个机器人发送1，2 ，3，…，100的数字指令，每个机器人作出判断和执行：当机器人所坐
桌子的编号是指令数字的整数倍时，就将桌面上扑克牌翻一面，否则就不动．假设每个机器人判断全部正
确且按要求完成了操作，则正面向上的张数是________．
【答案】10
【分析】初始所有扑克牌反面向上，每张牌被翻动的次数等于对应桌子编号的正因数个数，翻动奇数次后
牌变为正面向上，而只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数，故只需计
算1到100中完全平方数的个数即可．
【详解】解：由题意，初始所有扑克牌反面向上，对编号为n （1
100
n
，n 为正整数）的桌子，当指令
数字k 是n 的因数时，n 是k 的整数倍，对应扑克牌被翻动一次，因此编号n 的扑克牌被翻动次数等于n 的
正因数个数；
若扑克牌最终正面向上，则需翻动奇数次，
∵对任意正整数，正因数总是成对出现（一个正整数能分解成两个正整数的乘积），且只有完全平方数的
算术平方根是重复因数，
∴只有完全平方数的正因数个数为奇数，非完全平方数的正因数个数为偶数．
∵在1到100中，完全平方数为
2
2
2
2
1 ,2 ,3 ,
,10
，共10个，
∴正面向上的张数是10．
6．（2026·安徽·中考真题）项目式学习
【项目主题】
一类勾股数有序表示的探究
【预备知识】
能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足
2
2
2
a
b
c
+
=
的正整数a ，b ，c 是勾股数，
记为(
)
, ,
a b c ．
设m ，n 为正整数，且m
n
，因为(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
m
n
mn
m
n
−
+
=
+
，所以(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
为勾股数．本
项目只研究形如(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
的勾股数．
【规律探究】
分别对m ，n 进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下：
m
n
勾股数(
)
2
2
2
2
,2
,
m
n
mn m
n
−
+
序号
2
1
(
)
3,4,5
1
3
1
(
)
8,6,10
2
2
(
)
5,12,13
3
4
1
(
)
15,8,17
4
2
(
)
12,16,20
5
3
(
)
7,24,25
6
…
…
…
…
【规律应用】
根据上表规律，请完成下列问题：
(1)
5
m =
，
1
n = 对应的勾股数是（_____，_____，_____），序号为_____；
(2)勾股数(
)
35,12,37 对应的m=_____，n =_____；
(3)序号为15 的勾股数是（_____，_____，_____）．
【项目拓展】
(4)项目组某成员观察上表发现：在序号从1 依次增大到6 的过程中，勾股数中
2
2
m
n
+
的值随着序号的增大
而增大．他猜想：在序号从6 依次增大到16 的过程中，
2
2
m
n
+
的值也会随着序号的增大而增大．请问他的
猜想是否正确？若正确，说明理由；若不正确，举例说明．
【答案】(1)24，10，26，7
(2)6，1
(3)11，60，61
(4)不正确，
理由：当
5
m =
，
4
n =
时，
2
2
2
2
5
4
41
m
n
+
=
+
=
，序号为(
) (
)
5 1
5
2
4
10
2
−
−
+
=
；
当
6
m =
，
1
n = 时，
2
2
2
2
6
1
37
m
n
+
=
+
=
，序号为(
) (
)
6 1
6
2
1 11
2
−
−
+ =
；
∵41
37
，10
11
，
∴序号从10 增加到11 时，
2
2
m
n
+
的值减小，
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∴他的猜想不正确．
【分析】（1）根据表格中的规律求解即可；
（2）根据题干中勾股数的定义可得
2
2
35
m
n
−
=
，2
12
mn =
，
2
2
37
m
n
+
=
，把
2
2
35
m
n
−
=
、
2
2
37
m
n
+
=
两
式相加并结合已知条件则求出m 的值，然后把m 的值代入2
12
mn =
求解即可；
（3）根据表格中的规律发现：每一个m 对应的勾股数组数为(
)1
m−
组，从得出m 值从2 取到k 时，勾股数
的总组数为(
)
1
2
k k −
组，然后根据题意得出(
)1
15
2
k k −
=
，求出k 的值，即可求解；
（4）举反例说明即可．
【详解】（1）解∶当
5
m =
，
1
n = 时，
2
2
2
2
5
1
24
m
n =
−
=
−
，2
2 5 1 10
mn = =
，
2
2
2
2
5
1
26
m
n =
+
=
+
，
∴
5
m =
，
1
n = 对应的勾股数是(
)
24,10,26 ，序号为7；
（2）解：根据题意，得
2
2
35
m
n
−
=
，2
12
mn =
，
2
2
37
m
n
+
=
，
∴
2
2
2
2
35
37
m
n
m
n
+
=
+
−
+
，即
2
2
72
m =
，
又
0
m
，
∴
6
m =
，
把
6
m =
代入2
12
mn =
，得2 6
12
n
=
，
解得
1
n = ，
∴勾股数(
)
35,12,37 对应的
6
m =
，
1
n = ；
（3）解：由表格知，当
2
m =
时，符合题意的勾股数有2 1
1
−= 组；
当
3
m =
时，符合题意的勾股数有3 1
2
−=
组；
当
4
m =
时，符合题意的勾股数有4 1
3
−= 组；
……
当m
k
=
（
2
k
的整数）时，符合题意的勾股数有(
)1
k −
组；
此时一共有
(
)
(
)1
1 2
3
1
2
k k
k
−
−
+
+ +
+
=
组勾股数，
当(
)1
15
2
k k −
=
时，解得
6
k =
或
5
k
−
=
（舍去），
∴序号为15 时，
6
m
k
=
= ，
1
5
n
k
=
−= ，
∴
2
2
2
2
6
5
11
m
n =
−
=
−
，2
2 6 5
60
mn = =
，
2
2
2
2
6
5
61
m
n =
+
=
+
，
序号为15 的勾股数是(
)
11,60,61 ；
（4）略
考点02 用代数式表示数、图形的规律
1．（2026·山东德州·中考真题）探究小组发现了日历中的数学奥秘．规定如下：在日历中选取某月，任意
框出3 3
的方格即“九宫格”，九宫格中心位置的数称为“中心数”，请完成以下探究任务．
星期日
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
A
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
n
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
C
D
28
29
30
(1)如图，若九宫格的中心数为n ，四个角的数字分别是A 、B 、C 、D ．
①用含n 的式子表示A ；
②探究B C
A D
−
是否为定值，请证明：
(2)若框选出的九宫格的中心数是方程
2
13
22
0
x
x
−
+
=
的根，求九宫格中最大的数．
【答案】(1)①
8
n −；
②B C
A D
−
为定值28 ，理由如下：
由题意可得：
6
B
n−
=
，
6
C
n
=
+ ，
8
D
n
=
+ ，
∴
(
)(
) (
)(
)
2
2
6
6
8
8
36
64
28
B C
A D
n
n
n
n
n
n
−
−
−
=
+
−
+
=
−
−
+
=
．
(2)19
【分析】
（1）①根据中心数的特点可得
8
A
n−
=
；②根据中心数的特点分别表示
6
B
n−
=
，
6
C
n
=
+ ，
8
D
n
=
+ ，
再进一步求解即可；
（2）先解方程
2
13
22
0
x
x
−
+
=
，再结合中心数的特点可得答案．
【详解】（1）解：①由题意可得：
8
A
n−
=
；
②略
（2）解：∵
2
13
22
0
x
x
−
+
=
，
∴(
)(
)
2
11
0
x
x
−
−
=
，
∴
2
0
x−
=
或
11
0
x−
=
，
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解得：
1
2
x =
，
2
11
x =
，
∵x 为九宫格的中心数，
∴
2
x =
不符合题意，
∴中心数为11，
∴九宫格中最大的数为11 8 19
+ =
．
考点03 图形类规律探索
1．（2026·重庆·中考真题）醇类是由碳、氢、氧元素组成的一类有机化合物质，下图是这类物质的分子结
构式，其中C ，H ，O分别代表碳原子、氢原子、氧原子．第①个图中有4 个氢原子，第②个图中有6 个
氢原子，第③个图中有8 个氢原子，第④个图中有10 个氢原子…按照此规律，第⑨个图中氢原子的个数是
（ ）
A．14
B．16
C．18
D．20
【答案】D
【分析】观察图形中氢原子个数的变化规律，归纳出第n 个图形中氢原子个数的公式，将
9
n =
代入计算即
可．
【详解】解：
第①个图中有4 个氢原子，4
2 1
2
=
+
；
第②个图中有6 个氢原子，6
2 2 2
= +
；
第③个图中有8个氢原子，8
2 3 2
= + ；
第④个图中有10个氢原子，10
2 4 2
= +
第n 个图中氢原子的个数为2
2
n+
，
∴当
9
n =
时，氢原子的个数为2 9
2
20
+
=
．
2．（2026·四川广安·中考真题）链状烷烃是一类由碳，氢元素组成的有机化合物，这类物质前四种化合物
的分子结构模型如图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1 种如图①有1 个碳原子和4 个氢原子，
化学式为
4
CH ；第2 种如图②有2 个碳原子和6 个氢原子，化学式为
2
6
C H ；第3 种如图③有3 个碳原子和
8 个氢原子，化学式为
3
8
C H …按照这一规律，第2026 种化合物的化学式为（ ）
A．
2026
2026
C
H
B．
4052
4052
C
H
C．
2026
4052
C
H
D．
2026
4054
C
H
【答案】D
【分析】根据题意易得第n 种有n 个碳原子和(
)
2
2
n+
个氢原子，化学式为
2
2
C H
n
n+ ，然后问题可求解．
【详解】解：∵第1 种如图①有1 个碳原子和2 1
2
4
+
=
个氢原子，化学式为
4
CH ；
第2 种如图②有2 个碳原子和2 2 2
6
+
=
个氢原子，化学式为
2
6
C H ；
第3 种如图③有3 个碳原子和2 3 2
8
+ = 个氢原子，化学式为
3
8
C H ；
……；
∴第n 种有n 个碳原子和(
)
2
2
n+
个氢原子，化学式为
2
2
C H
n
n+ ，
∴第2026 种化合物的化学式为
2026
4054
C
H
．
3．（2026·四川乐山·中考真题）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数．他们根据
沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类．如图，第一行的1，3，6 ，10 称为三角形数，第二行的1，
4 ，9，16 称为四边形数，第三行的1，5 ，12 ，22 称为五边形数．
（1）下列三个数中，既是三角形数又是四边形数的有_________（填序号）：
①1； ②25 ； ③36．
（2）我们将k 边形数中第n 个数记为
(
)(
)
,
3
N n k
k
．已知
(
)
2
1
1
,3
2
2
N n
n
n
=
+
，(
)
2
,4
N n
n
=
，则
(
)
,5
N n
=
_________．（用含有n 的代数式表示）
【答案】 ①③
2
3
2
n
n
−
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【分析】（1）根据图形规律，往后写几个数即可求解；
（2）设
(
)
2
,5
N n
an
bn
c
=
+
+ ，利用待定系数法求解即可．
【详解】（1）解：1 和36 既是三角形数又是四边形数；
根据题意，第一行的三角形数分别为1,3,6,10,15,21,28,36，
第二行的四边形数分别为1,4,9,16,25,36,49，
第三行的五边形数分别为1,5,12,22,35,51，
故1 和36 既是三角形数又是四边形数．
（2）解：
(
)
2
1
1
,3
2
2
N n
n
n
=
+
，
(
)
2
,4
N n
n
=
都是n 的二次函数，
(
)
,5
N n
也可能是n 的二次函数，
不妨设
(
)
2
,5
N n
an
bn
c
=
+
+ ，
根据题意，得
1
4
2
5
9
3
12
a
b
c
a
b
c
a
b
c
+
+
=
+
+
=
+
+
=
，
解得
3
2
1
2
0
a
b
c
−
=
=
=
，
故
(
)
2
3
,5
2
n
n
N n
−
=
．
4．（2026·广东·中考真题）综合与实践
【提出问题】
同一平面内，有n 条直线两两相交，设它们最多有m 个交点，相交所成的最小角为．某数学学习小组提
出了下列探究问题．
问题一：m 与n 的关系；
问题二：的最大值与n 的关系．
【特例感知】
如图1，当
2
n =
时，学习小组发现
1
m = ，的最大值为90．
【实验探究】
步骤一：动手操作
学习小组画出了当
3
n = 时的两种情况，如图2，图3．
步骤二：观察分析
（一）由图2，图3 得
3
m =
；
（二）在图2 中，的最大值为60；
（三）在图3 中，的最大值为360
6
60
=
．
【规律探索】
(1)完成下表：
n
2
3
4
5
m
1
3
的最大值
90
60
【解决问题】
(2)①用关于n 的代数式表示m ，直接写出即可；
②的最大值与n 的关系是什么？写出并说明理由．
【答案】(1)
n
2
3
4
5
m
1
3
6
10
的最大值
90
60
45
36
(2)①
2
2
n
n
−
；
②的最大值为180
n
，理由如下：
将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持不变，此时n 条直线将周角360分割为2n 个相邻的
角(对顶角两两相等)，设为
1
2
3
2
,
,
,
,
n
A
A
A
A
，
则
1
2
3
2
360
n
A
A
A
A
+
+
+
+
=
，
∵最小角为，
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∴
1
2
3
2
,
,
,
,
n
A
A
A
A
∴
1
2
3
2
360
2
n
A
A
A
A
n
+
+
+
+
=
解得
180
n
∴的最大值为180
n
．
【分析】（1）找出规律即可求解；
（2）①根据（1）中填表得到的规律求解即可；②将所有直线平移至交于同一点，直线间的夹角大小保持
不变，此时n 条直线将周角360分割为2n个相邻的角(对顶角两两相等)，设为
1
2
3
2
,
,
,
,
n
A
A
A
A
，可得
不等式
1
2
3
2
360
2
n
A
A
A
A
n
+
+
+
+
=
，即可求解．
【详解】（1）解：2 条直线相交，最多有1 个交点，的最大值为
(
)
360
2 2
90
=
；
3 条直线相交，最多有1 2
3
+
= 个交点，的最大值为
(
)
360
3 2
60
=
；
4 条直线相交，最多有1 2 3
6
+ + =
个交点，的最大值为
(
)
360
4 2
45
=
；
5 条直线相交，最多有1 2 3 4
10
+ + +
=
个交点，的最大值为
(
)
360
5 2
36
=
；
故填表见答案；
（2）解：①由（1）规律可得，
(
)
(
)(
)
(
)
2
1
1
1
1
1 2
3
1
2
2
2
n
n
n n
n
n
m
n
+
−
−
−
−
= +
+ +
+
−
=
=
=
；
②略
考点04 点坐标规律探索
1．（2026·山东烟台·中考真题）如图，以原点O为顶点作边长为2 的菱形
1
2
3
OA A A ，点
3
A 在x 轴上，且
1
3
60
AOA
=
，将点
3
A 向右平移2 个单位得到点
4
A ，以
4
A 为顶点作与菱形
1
2
3
OA A A 全等的菱形
4
5
6
7
A A A A ，
点
7
A 在x 轴上；再将点
7
A 向右平移2 个单位得到点
8
A ，以
8
A 为顶点作与菱形
1
2
3
OA A A 全等的菱形
8
9
10
11
A A A A ，
点
11
A 在x 轴上；…；按照以上规律作图，则点
126
A
的坐标为__________．
【答案】(
)
125,
3
−
【分析】如图，过点
1A 作
1A H
x
⊥
于点H，从
1A 开始，每8 个点记为1 组，根据126
8 15 6
=
+ 得到
126
A
的位
置和第1 组中
6
A 的位置相同，然后求出
(
)
6 5,
3
A
−
，
(
)
14 13,
3
A
−
，
(
)
22 21,
3
A
−
，发现规律求解即可．
【详解】解：如图，过点
1A 作
1A H
x
⊥
于点H，
∵所以菱形都两两全等
∴从
1A 开始，每8 个点记为1 组，
∵126
8 15 6
=
+
∴
126
A
的位置和第1 组中
6
A 的位置相同，
∵
1
3
60
AOA
=
∴
1
30
OA H
=
∵菱形
1
2
3
OA A A 的边长为2
∴
1
1
2
3
2
OA
A A
OA
=
=
=
∴
1
1
1
2
OH
OA
=
=
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∴
2
2
1
1
3
AH
OA
OH
−
=
=
∴
(
)
1 1, 3
A
∴
(
)
2 3, 3
A
，
(
)
3 2,0
A
，
由平移得，
3
4
2
A A =
∴
4
3
3
4
4
OA
OA
A A
=
+
=
∴
(
)
4 4,0
A
，
(
)
7 6,0
A
∵菱形
1
2
3
OA A A 与菱形
4
5
6
7
A A A A 全等
∴同理可得，
(
)
6 5,
3
A
−
，
(
)
14 13,
3
A
−
，
(
)
22 21,
3
A
−
∴
(
)
6 8
5
8 ,
3
n
A
n −
+
+
∴
(
)
6 8 15 5
8 15,
3
A
−
+
+
∴
(
)
126 125,
3
A
−
．
2．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）数学活动课上，同学们把底角为30的等腰三角形称为“友好三角形”，
并利用“友好三角形”进行规律探究．如图，在平面直角坐标系中，点
1A 在经过原点的直线l 上，
1
1
OA = ，点
1B 在x 轴正半轴上，
1
1
AOB
△
是以
1
OB 为底边的“友好三角形”，以
1
1
A B 为底边向右作“友好三角形
1
1
1
A BC ”；过
点
1
C 作
1
1
A B 的平行线，分别交直线l 和x 轴正半轴于点
2
A ，
2
B ，以
2
2
A B 为底边向右作“友好三角形
2
2
2
A B C ”；
过点
2
C 作
2
2
A B 的平行线，分别交直线l 和x 轴正半轴于点
3A ，
3
B ，以
3
3
A B 为底边向右作“友好三角形
3
3
3
A B C ”…按此规律，点
2026
C
的纵坐标为____________．
【答案】
2025
1
4
2
3
【分析】如图过点
1A 作
1
A D
x
⊥
轴于点D ，得出
1
1
1
1
1
3
sin30
,
cos30
,
2
3
2
2
A D
OA
OD
OA
OB
OD
=
=
=
=
=
=
，
进而可得
1
1
3
3
OA
OB
=
，据此规律求得
2
3
,
OA OA ，结合题意可得
n
n
A C
x
∥轴，求得
n
A 的纵坐标为
1
1
4
2
3
n−
，
即可求解．
【详解】解：如图过点
1A 作
1
A D
x
⊥
轴于点D ，
∵
1
30
AOD
=
，
1
1
OA =
∴
1
1
1
1
1
3
sin30
,
cos30
,
2
3
2
2
A D
OA
OD
OA
OB
OD
=
=
=
=
=
=
，
∴
1
1
3
3
OA
OB
=
∴
1
3 1
,
2
2
A
，
∵
1
1
1
1
1
30
C A B
A BO
=
=
∴
1
1
AC
x
∥轴，则
1
C 的纵坐标为1
2
∴
2
1
1
1
1
30
A AC
AOB
=
=
同理可得：
1
1
1
1
3
3
3
3
AC
A B
=
=
，
1
2
1
1
3
1
3
3
A A
AC
=
=
，
∴
2
1
1
2
1
1
3
OA
OA
A A
=
+
= +
∴
2
A 的纵坐标为
2
1
1
1
1
1
1
1
4
1
2
2
3
2
2
3
2
3
OA
=
+
=
+
=
，
同理可得
2
2
A C
x
∥轴，则
2
C 的纵坐标为1
4
2
3
∵
1
30
AOD
=
∴
2
2
4
2
3
A
OA
y
=
=
，
∴
2
2
2
4
3
A B
OA
=
=
，同理可得：
2
2
2
2
3
3
4
3
3
3
A C
A B
=
=
，
2
3
2
2
3
1
4
3
3
3
A A
A C
=
=
∴
3
2
2
3
4
1
4
3
3
3
OA
OA
A A
=
+
=
+
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∴
3A 的纵坐标为
2
3
1
2
1
2
1
4
2
3
3
3
2
3
OA
=
+
=
……
∴
n
A 的纵坐标为
1
1
4
2
3
n−
，
又
n
n
A C
x
∥轴，则
n
C 的纵坐标为
1
1
4
2
3
n−
∴点
2026
C
的纵坐标为
2025
1
4
2
3
考点05 新定义问题
1．（2026·四川内江·中考真题）对于实数a 、b ，定义运算“☆”如下：
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，例如：
2
3
2
3 2
3 2
6
=
−
=
☆
，则方程2
3
x =
☆
的根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
【答案】A
【分析】根据题目给出的新定义，将方程2
3
x =
☆
转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断
根的情况即可．
【详解】解：∵
2
a
b
ab
ab
−
=
☆
，
∴
2
2
2
3
x
x
−
=
，
∴
2
2
2
3
0
x
x
−
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
Δ
2
4 2
3
4
24
28
0
= −
−−
=
+
=
，
∴原方程有两个不相等的实数根．
2．（2026·四川泸州·中考真题）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点
为“倒数点”．如：
1
(2,
)
2
A
，
1
3,
3
B
−
−
都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数
3
y
x
=
的图象上存在2 个“倒数点”；
②函数
1
y
x
=
−的图象上不存在“倒数点”；
③函数
2
2
1
y
x
=
+ 的图象上存在1 个“倒数点”；
④若函数
2
y
kx
=
+ 的图象上存在“倒数点”，则
1
k −．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据“倒数点”定义，若(
)
,x y 为倒数点，则满足
(
)
1
0
xy
x
=
，即
1
y
x
=
，联立各函数与
1
y
x
=
，判
断方程解的个数，逐个验证结论即可.
【详解】解：由定义得，倒数点满足
1
xy = ，
0
x
，即
1
y
x
=
，
① 联立
1
3
xy
y
x
=
=
，则
1
3x
x
=
，
整理得
2
3
1
x = ，
解得
3
3
x =
，
∴方程有2 个不同解，故存在2 个倒数点，故①正确；
② 联立
1
1
xy
y
x
=
=
−
，
1
0
y
x
=
−
，
0
x
，
当
1
x 时，
1
1
x
x
−=
，整理得
2
1
0
x
x
−
−=
，
2
Δ
( 1)
4 1 ( 1)
5
0
= −
−−
=
，
解得
1
1
5
2
x
+
=
，
2
1
5
2
x
−
=
，
正根
1
5
1
2
x
+
=
，存在解，
∴图象上存在倒数点，故②错误；
③ 联立
2
1
2
1
xy
y
x
=
=
+
，
∴
2
1
2
1
x
x =
+ ，
画出函数
1
y
x
=
和
2
2
1
y
x
=
+ 图象的草图如图所示：
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由图象知：函数
1
y
x
=
和
2
2
1
y
x
=
+ 图象有唯一的交点，
∴
2
1
2
1
x
x =
+ 有唯一的解，
∴存在1 个倒数点，故③正确；
④ 联立
1
2
xy
y
kx
=
=
+
，
整理得
2
2
1
0
kx
x
+
−=
，
当
0
k =
时，方程为2
1
0
x−=
，解得
1
2
x =
，
2
y =
，满足1
2
1
2
= ，是倒数点，
此时
0
1
k =
−，故④错误；
综上，正确的结论共2 个.
3．（2026·内蒙古·中考真题）计算下列各题：
(1)对实数a ，b 定义一种新运算“”：
0
2
a
b
a
a
b
=
+
−
，其中
0
a
，等式右边是实数运算．计算：(
)
5
5
−
．
(2)已知多项式
2
1
A
x
x
=
−
+ ，
2
2
B
x
x
=
−
，求2A
B
−
．
【答案】(1)1
(2)
2
2
x +
【详解】（1）解：∵
0
2
a
b
a
a
b
=
+
−
，
∴(
)
5
5
−
(
)
(
)
2
0
5
5
5
= −
+ −−
1 5 5
= + −
1
= ；
（2）解：将
2
1
A
x
x
=
−
+ ，
2
2
B
x
x
=
−
代入2A
B
−
得：
2
2
2
2(
1)
(
2 )
A
B
x
x
x
x
−
=
−
+
−
−
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
=
−
+
−
+
2
2
x
=
+
．
4．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交
点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
1
2
2
y
x
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．
(1)如图1，若点P 为线段AB 的中点，二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的“顶点弦”为线段PB ，且点P 为顶点，
求该二次函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，若直线AB 上方抛物线上有一点E ，使
45
BPE
BAO
+
=
，求点E 的坐标；
(3)点G 在线段AB 上，若抛物线
(
)
2
1
1
1
1
1
:
0
F
y
a x
b x
c a
=
+
+
和抛物线
(
)
2
2
2
2
2
2
:
0
F
y
a x
b x
c
a
=
+
+
的“顶点弦”
分别为GA和GB ，点G 为
1F 和
2
F 的顶点，且
1
2
2
0
a
a
+
=
，求GA
GB 的值．
【答案】(1)
2
1
2
4
y
x
x
=
+
+
(2)
(
)
2,5
E
(3) 1
2
【分析】（1）根据题意可求得A ，B 两点的坐标，再由中点坐标公式可求得点P 的坐标，设二次函数解析
式的顶点式，再将点B 的坐标代入，即可求解；
（2）设直线PE 与x 轴交于F 点，过点P 作PH
x
⊥
轴于点H ，从而求得
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45
PFH
BAO
APF
BAO
BPE
=
+
=
+
=
，得到PHF 为等腰直角三角形，由
1
PH
FH
=
= ，
2
OH =
，
得到
3
OF = ，(
)
3,0
F −
，利用待定系数法求得直线EF 的解析式为
3
y
x
=
+ ，根据题意令
2
1
3
2
4
x
x
x
+
=
+
+
，
即可求解；
（3）设
1
,
2
2
G m
m
+
，再根据顶点式可表示出
1F 和
2
F 的解析式，由(
)
4,0
A −
在抛物线
1F 上，(
)
0,2
B
在抛
物线
2
F 上，可得
(
)
2
1
1
4
2
0
2
a
m
m
−−
+
+
=
①，
2
2
1
2
2
2
a m
m
+
+
=
②，与
1
2
2
0
a
a
+
=
③，联立即可确定点G 的
坐标，再过点G 作GK
x
⊥轴于点K ，最后根据平行线分线段成比例列式计算即可．
【详解】（1）解：∵一次函数
1
2
2
y
x
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，
∴令
0
y =
，即1
2
0
2 x +
=
，解得
4
x = −，
令
0
x =
，
2
y =
；
∴(
)
4,0
A −
，(
)
0,2
B
，
∵点P 为线段AB 的中点，
∴
4
0 0
2
,
2
2
P −+
+
，即(
)
2,1
P −
，
∵二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的“顶点弦”为线段PB ，且点P 为顶点，
∴设二次函数解析式为
(
)
2
2
1
y
a x
=
+
+ ，
将点(
)
0,2
B
代入，得4
1
2
a+ =
，解得
1
4
a =
，
∴二次函数解析式为
(
)
2
2
1
1
2
1
2
4
4
y
x
x
x
=
+
+ =
+
+
；
（2）解：设直线PE 与x 轴交于F 点，过点P 作PH
x
⊥
轴于点H ，
(
)
2,1
P −
，
∴
2
OH =
，
1
PH = ，
∵
45
BPE
BAO
+
=
，
APF
BPE
=
，
∴
45
PFH
APF
BAO
BPE
BAO
=
+
=
+
=
，
又∵
90
PHF
=
，
∴PHF 为等腰直角三角形，
∴
1
FH
PH
=
= ，
∴
3
OF
OH
FH
=
+
= ，
∴点
(
)
3,0
F −
，
设直线EF 的解析式为y
kx
b
=
+
，
将点(
)
2,1
P −
，
(
)
3,0
F −
代入得：
2
1
3
0
k
b
k
b
−
+
=
−
+
=
，解得
1
3
k
b
=
=
，
∴直线EF 的解析式为
3
y
x
=
+ ，
∴令
2
1
3
2
4
x
x
x
+
=
+
+
，解得
1
2
x =
，
2
2
x = −（舍去），
∴
(
)
2,5
E
；
（3）解：设
1
,
2
2
G m
m
+
，
∴
(
)
2
1
1
2
2
y
a
x
m
m
=
−
+
+
，
(
)
2
2
1
2
2
y
a
x
m
m
=
−
+
+
，
∵(
)
4,0
A −
在抛物线
1F 上，(
)
0,2
B
在抛物线
2
F 上，
∴
(
)
2
1
1
4
2
0
2
a
m
m
−−
+
+
=
①，
2
2
1
2
2
2
a m
m
+
+
=
②，
∵
1
2
2
0
a
a
+
=
③，
∴联立①②③，得到
(
)
2
1
2
2
1
2
1
4
2
0
2
1
2
2
2
2
0
a
m
m
a m
m
a
a
−−
+
+
=
+
+
=
+
=
，解得
1
8
3
m = −
，
2
4
m = −（舍去），
∴
8 2
,
3 3
G
−
，
如图，过点G 作GK
x
⊥轴于点K ，
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∴GK
y
∥轴，
∴
(
)
8
4
1
3
8
2
3
GA
AK
GB
OK
−
−−
=
=
=
．
5．（2026·广东深圳·中考真题）综合与探究
定义：若四边形的一条对角线被另一条对角线平分，且另一条对角线被交点分成的两条线段长度之比为
(
)1
k k
，则称该四边形为“k 倍四边形”．
(1)①如图1，在
ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，点E 为OB 中点．若四边形AECD为k 倍四边形，
则k 的值为__________；
②如图2，在k 倍四边形ABCD中，若对角线AC 被BD 平分，则
ACD
ACB
S
S
=
△
△
__________；（用含k 的代数式表
示）
(2)如图3，四边形ABCD为k 倍四边形，其对角线BD 平分对角线AC ，且满足
2
BDC
ABD
=
，
4
BD
CD
=
，
求k 的值；
(3)如图4，已知定点A ，B ，且AB
BM
⊥
，点C 为射线BM 上一动点，点D 为平面内一点，连接A ，B ，C ，
D 构成四边形ABCD．若BD 平分AC ，
BAC
DAC
=
，四边形ABCD为2 倍四边形，求tan ACD
的值．
【答案】(1)①2 ；②k
(2) 5
3
(3)
3
5
或15
【分析】（1）①根据平行四边形的性质可得
,
AO
CO BO
DO
=
=
，根据点E 为OB 中点，得出
2
DO
EO
=
，
结合k 倍四边形的定义，即可求解；
②过点,
B D 分别作AC 的垂线，垂足分别为
,
E F ，证明BOE
DOF
∽
得出DF
DO
k
BE
BO
=
=
，进而根据三角形
的面积比，即可求解；
（2）过点A 作AG
CD
∥
交BD 于点G ，证明
(
)
AAS
APG
CPD
≌
得出AG
CD
=
，设CD
a
=
，进而表示出
,
BP PD 的长，即可求解；
（3）设
,
AC BD 交于点E ，过点,
B D 分别作AC 的垂线，垂足分别为
,
H G ；分两种情况讨论，当
2
BE
DE =
时，
设
2,
1
BE
DE
=
= ，证明DGE
BHE
∽
得出
2
EH
EG =
，设
2
EH
m
=
，则EG
m
=
，证明
ABH
ADG
△
∽△
得出
2
AH
AG
=
，进而求得m 的值，勾股定理求得GD，进而根据正切的定义，即可求解；当
1
2
BE
DE =
时，同理
可得结论．
【详解】（1）解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
,
AO
CO BO
DO
=
=
，
∵E 是OB 的中点，
∴
1
1
2
2
BE
EO
BO
DO
=
=
=
，
∵四边形AECD为k 倍四边形，
∴
2
DO
k
EO
=
=
；
②如图，过点,
B D 分别作AC 的垂线，垂足分别为
,
E F ，
∵四边形ABCD为k 倍四边形，对角线AC 被BD 平分，
∴DO
k
BO =
，
∵
90
EOB
DOF
BEO
DFO
=
=
=
，
∴BOE
DOF
∽
，
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∴DF
DO
k
BE
BO
=
=
，
∴
1
2
1
2
ACD
ACB
AC
DF
S
k
S
AC
BE
=
=
△
△
，
（2）解：如图，过点A 作AG
CD
∥
交BD 于点G ，
∴
3
BDC
=
，
∵
2
BDC
ABD
=
，
∴
3
2 2
= ，
又∵1
2
3
+= ，
∴
1
2
= ，
∴AG
BG
=
，
∵四边形ABCD为k 倍四边形，其对角线BD 平分对角线AC ，
∴AP
PC
=
，
又∵
APG
CPD
=
，
∴
(
)
AAS
APG
CPD
≌
，
∴AG
CD
=
，GP
DP
=
，
设CD
a
=
，
∴AG
CD
a
=
=
∴BG
a
=
，
∵
4
4
BD
CD
a
=
=
，
∴
4
3
GD
BD
BG
a
a
a
=
−
=
−
=
，
∴
1
3
2
2
GP
PD
GD
a
=
=
=
，
∴
3
5
2
2
BP
BG
GP
a
a
a
=
+
=
+
=
，
∴
5
5
2
3
3
2
a
BP
k
PD
a
=
=
=
；
（3）解：设
,
AC BD 交于点E ，过点,
B D 分别作AC 的垂线，垂足分别为
,
H G
①当
2
BE
DE =
时，设
2,
1
BE
DE
=
= ，如图4，
∵
90
ABC
=
，BD 平分AC ，
∴
2
BE
AE
EC
=
=
=
，
∵
,
90
BEH
DEG
DGE
BHE
=
=
=
，
∴DGE
BHE
∽
，
∴
2
BE
BH
EH
DE
GD
EG
=
=
=
，
设
2
EH
m
=
，则EG
m
=
，
∴
2
2
AH
AE
EH
m
=
+
=
+
，
2
AG
AE
GE
m
=
−
=
−
，
∵
BAC
DAC
=
，
90
AGD
AHB
=
=
，
∴
ABH
ADG
△
∽△
，
∴
2
AH
BH
AG
GD
=
=
，
∴
2
AH
AG
=
，即
(
)
2
2
2 2
m
m
+
=
−
，
解得：
1
2
m =
，
∴
1
5
2
2
2
CG
CE
GE
=
+
=
+
=
，
在Rt DEG 中，
2
2
2
2
1
3
1
2
2
GD
DE
GE
=
−
=
−
=
，
∴
3
3
2
tan
tan
5
5
2
GD
ACD
GCD
CG
=
=
=
=
；
②当
1
2
BE
DE =
时，设
1,
2
BE
DE
=
=
，如图4，
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同①可得
1
BE
AE
EC
=
=
= ，
ABH
ADG
△
∽△
，
∴
1
2
AH
BH
AG
GD
=
=
，
同①可得DGE
BHE
∽
，
∴
1
2
BE
BH
EH
DE
GD
EG
=
=
=
，
设EH
m
=
，则
2
EG
m
=
，
∴
1
AH
AE
HE
m
=
−
= −
，
1 2
AG
AE
EG
m
=
+
= +
，
∵2AH
AG
=
，即(
)
2 1
1 2
m
m
−
= +
，
解得：
1
4
m =
，
∴
1
2
2
EG
m
=
=
,
1
1
1 2
1 2
4
2
CG
CE
EG
m
=
−
= −
= −
=
，
在Rt DEG 中，
2
2
2
2
1
15
2
2
2
GD
DE
GE
=
−
=
−
=
，
∴
15
2
tan
tan
15
1
2
GD
ACD
GCD
CG
=
=
=
=
，
综上所述，tan ACD
的值为
3
5 或15 ．
6．（2026·河南·中考真题）定义：若点P ，Q 在同一抛物线上，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大3，则
称点Q 是点P 的“黄金搭档点”．例如，抛物线
2
y
x
=
上，点(
)
3,9 是点(
)
0,0 的“黄金搭档点”．
(1)点(
)
0, 3
A
−
和点B 在抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 上，点B 是点A 的“黄金搭档点”，且点B 的纵坐标为12．求b ，
c 的值．
(2)点M ，N 在（1）中的抛物线上，且点N 是点M 的“黄金搭档点”．
①若点M ，N 的纵坐标相等，求点M ，N 的横坐标．
②抛物线上M ，N 两点之间的部分（含M ，N 两点）记为图象W ，设点M 的横坐标为m ，当
5
0
2
m
−
时，若图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，请直接写出m 的值．
【答案】(1)
2
b =
；
3
c = −
(2)①点M 的横坐标为
5
2
−
，点N 的横坐标为1
2 ；②4
3
−+
或4
5
−+
【分析】（1）根据题意得出
(3,12)
B
，然后利用待定系数法求解即可；
（2）①设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为
3
t + ，根据题意建立方程求解即可；
②根据题意得出对称轴为：
2
1
2 1
x
−
−
=
=
，顶点坐标为( 1, 4)
−−
，抛物线与x 轴的交点为( 3,0),(1,0)
−
，点N
的横坐标为：
3
m+ ，1
3
3
2
m
+
，然后分情况分析：当
5
1
2
m
−
−，1
3
1
2
m
+
时，当
5
1
2
m
−
−，
1
3
2
m
+
时，当1
0
m
−
时，2
3
3
m
+ ，结合图象建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点B 是点A 的“黄金搭档点”，
(
)
0, 3
A
−
，点B 的纵坐标为12，
∴
(3,12)
B
，
∵点(
)
0, 3
A
−
和点B 在抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 上，
∴
3
9
3
12
c
b
c
= −
+
+
=
，
解得：
3
2
c
b
= −
=
；
（2）解：①设点M 的横坐标为t，则点N 的横坐标为
3
t + ，
由（1）得
2
2
3
y
x
x−
=
+
，
∵点M ，N 的纵坐标相等，
∴
2
2
2
3
(
3)
2(
3)
3
t
t
t
t
+
−=
+
+
+
−，
解得：
5
2
t = −
，
∴
5
1
3
3
2
2
t +
= −
+
=
，
∴点M 的横坐标为
5
2
−
，点N 的横坐标为1
2 ；
②由（1）得
2
2
3
y
x
x−
=
+
，
对称轴为：
2
1
2 1
x
−
−
=
=
，
当
1
x = −时，
4
y
−
=
，
∴顶点坐标为( 1, 4)
−−
，
当
0
y =
时，
2
2
3
0
x
x
+
−
=
，
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∴(
3)(
1)
0
x
x
+
−
=
解得：
1
2
3,
1
x
x
= −
= ，
∴抛物线与x 轴的交点为( 3,0),(1,0)
−
，
∵点N 是点M 的“黄金搭档点”，点M 的横坐标为m ，当
5
0
2
m
−
时，
∴点N 的横坐标为：
3
m+ ，1
3
3
2
m
+
，
当
5
1
2
m
−
−时，1
3
2
2
m
+
，
∵抛物线与x 轴的一个交点为(1,0) ，
∴当
5
1
2
m
−
−，1
3
1
2
m
+
时，如图所示：
点M、N 均在x 轴下方，最低点为抛物线的顶点( 1, 4)
−−
，
∵
5
( 1)
( 1)
1 ( 1)
2
m
−
−−
−−
−−−
即
3
1
0
2
m
−
+
，
1
( 1)
3
( 1)
1 ( 1)
2
m
−−
+ −−
−−
即3
4
2
2
m
+
，
∴此时点N 离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，
∴点N 到x 轴的距离为5 4
1
−
= ，
此时点N 的纵坐标为1
−，
∴
2
(
3)
2(
3)
3
1
m
m
+
+
+
−= −，
解得：
1
4
3
m = −+
，
2
4
3
m = −−
（不符合题意，舍去）；
当
5
1
2
m
−
−，1
3
2
m
+
时，如图所示：
点M 在x 轴下方，点N 在x 轴上方，最低点为抛物线的顶点( 1, 4)
−−
，
∴此时点N 离对称轴较远，最高点为点N，
∵图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，
∴点N 到x 轴的距离为5 4
1
−
= ，
此时点N 的纵坐标为1，
∴
2
(
3)
2(
3)
3
1
m
m
+
+
+
−= ，
解得：
1
4
5
m = −+
，
2
4
5
m = −−
（不符合题意，舍去）；
当1
0
m
−
时，2
3
3
m
+ ，
点M 在x 轴下方，点N 在x 轴上方，最低点为点M，最高点为点N，
∴
2
2
2
3,
(
3)
2(
3)
3
M
N
y
m
m
y
m
m
=
+
−
=
+
+
+
−
，
∴
5
M
N
y
y
+
= 即
2
2
2
3
(
3)
2(
3)
3
5
m
m
m
m
+
−
+
+
+
+
−
=
，
∴
2
2
2
3 (
3)
2(
3)
3
5
m
m
m
m
−
−
+ +
+
+
+
−=
，
整理得：6
10
0
m+
=
，
解得：
5
3
m = −
（不符合题意，舍去），
综上可得：
4
3
m = −
+
或
4
5
m = −+
．
7．（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相
连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
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【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所
以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定
2
1
y
x
=
−与
1
y
x
=
的关系时，由函数表达式得
1
2
1
x
x
−=
，
去分母得
2
2
1
0
x
x
−
−=
，因为
9
0
=
，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
(1)对于函数①
2
y
x
= −
，②
2
y
x
=
，③
3
1
y
x
−
=
+ ．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”；
(2)若
(
)
1
0
m
y
m
x
=
与
(
)
2
0
y
kx
b k
=
+
是“友好函数”，如图2，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是______；若
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−是“相连函数”，则n 的值为______；
(3)如图3，过点
(
)
0,6
C
的直线1l 、2l 对应的函数分别与
1k
y
x
=
（
1
0
k
，
0
x
），
2k
y
x
=
（
2
0
k
，
0
x
）
是“相连函数”，相连点分别为P ，Q ，1l 、2l 与x 轴分别交于A ，B 两点，已知
6
AB = ，1
2
18
k k = −
，求
2
2
1
2
k
k
+
的值．
【答案】(1)陌生；友好
(2)
3
x
−
或0
1
x
；
9
2
−
(3) 45
【分析】（1）联立函数，根据方程的解的个数判断函数类型即可；
（2）根据图象判断
1
2
y
y
时，x 的取值范围；联立
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−，由
0
=
求出n 的值；
（3）设直线1l 的函数解析式为
3
6
y
k x
=
+
，直线2l 的函数解析式为
4
6
y
k x
=
+
，将
3
6
y
k x
=
+
与
1k
y
x
=
联立，
并结合
0
=
可得
3
1
9
k
k
−
=
，进而计算出点A 的坐标为
1
2
,0
3 k
，同理，点B 的坐标为
2
2
,0
3 k
．由
6
AB = 可
得
2
1
9
k
k
−
=
，利用完全平方公式变形可计算出
2
2
1
2
k
k
+
的值．
【详解】（1）解：对于①与②，联立得
2
2x
x
−
=
，
整理，得
2
1
0
x + =
，
∵
2
1
1
x + ，
∴该方程无实数解，即
2
y
x
= −
与
2
y
x
=
无交点，
∴①与②是“陌生函数”，
对于①与③，联立得
2
3
1
x
x
−
−
=
+ ，
整理，得
2
3
2
0
x
x
−
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
Δ
1
4 3
2
25
0
= −
−−
=
，
∴
2
y
x
= −
与
3
1
y
x
−
=
+ 有两个交点，
∴①与③是“友好函数”；
（2）解：由图可知，两个函数的交点的横坐标为3
−和1，且在
3
x
−
和0
1
x
部分，反比例函数的图象高
于一次函数的图象，
∴当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是
3
x
−
或0
1
x
；
联立
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−，得，
2
6
n
x
x
−
=
，
整理，得
2
2
6
0
x
x
n
−
−
=
，
∵
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−是“相连函数”，
∴
(
)
(
)
2
Δ
6
4 2
0
n
−
= −
−
=
，
解得
9
2
n = −
；
（3）解：设直线1l 的函数解析式为
3
6
y
k x
=
+
，直线2l 的函数解析式为
4
6
y
k x
=
+
，
联立
3
6
y
k x
=
+
与
1k
y
x
=
，得，
1
3
6
k
k x
x
+
=
，
整理，得
2
3
1
6
0
k x
x
k
−
+
=
，
∵
3
6
y
k x
=
+
与
1k
y
x
=
是“相连函数”，
∴
(
)
2
3
1
Δ
6
4
0
k
k
=
−
−
=
，
∴
1 3
9
k k
−
=
，即
3
1
9
k
k
−
=
，
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∴直线1l 的函数解析式为
1
9
6
y
x
k
−
=
+ ，
将
0
y =
代入
1
9
6
y
x
k
−
=
+ ，得
1
2
3
x
k
=
，
∴点A 的坐标为
1
2
,0
3 k
，
同理，点B 的坐标为
2
2
,0
3 k
，
∴
2
1
2
2
6
3
3
AB
k
k
=
−
=
，即
2
1
9
k
k
−
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
2
1
1
2
2
9
2
18
45
k
k
k
k
k k
+
=
−
+
=
+ −
=
．
