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专题23 圆的相关性质（5 考点38 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 垂径定理
核心考查垂直弦、平分弦、勾股结
合计算，分水面高低双解模型；常
搭配切线证明、阴影面积、实际管
道 / 拱桥应用题，选择解答均有
覆盖。
实践创新：圆柱形水管、石拱桥跨
度拱高建模；文化创新：沈括会圆
术近似弧长计算；综合创新：垂直
平分线、切线判定联动证明。
考点02 弧、弦、
圆心角关系
围绕等弧对等弦、等圆心角命题，
搭配切线、等腰三角形，以证明题
为主，含线段等量、扇形面积计算，
侧重全等转化推理。
开放创新：自主推导线段数量关系；
变换创新：切线 + 中位线组合模
型；情境创新：直角三角形内切圆
结合圆性质设问。
考点03 圆周角定
理
核心为圆心角 = 2 倍圆周角，融
合正多边形、圆内接四边形；基础
角度计算，中档结合切线，大题联
动内心、直径直角模型。
模型创新：正五边形外接圆角度；
融合创新：三角形内心与圆周角导
角；几何链：切线 + 直径直角综
合计算。
考点04 同弧等弧
圆周角相等
依托等弧角度等量代换，常与直径
直角、相交弦、内心结合，多用于
角度推导、相似证明，是圆证明核
心过渡工具。
综合创新：相交弦三角形角度等量；
拓展创新：切线平行线搭配等弧导
角；计算创新：设参勾股求圆半径。
考点05 直径所对
圆周角为直角
必考基础模型，直角为桥梁串联勾
股、中位线、切线判定，多作为解
答题第一问核心条件，搭配阴影面
积、三角函数求值。
动态创新：圆上动点角度范围判断；
几何综合：中位线 + 等边三角形
组合；图形操作：作垂线构造切线
证明。
考点01 垂径定理
1．（2026·四川南充·中考真题）如图，AB 为
O 直径，弦CD
AB
⊥
于E，
2
OB
CD
=
=
，则OE 长为（ ）
A．1
B．3
C．2
D．5
【答案】B
【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出CE 的长，再在Rt OCE 中利用勾股定理求出OE
的长即可．
【详解】解：
AB 为
O 直径，CD
AB
⊥
，
2
OC
OB
CD
=
=
= ，
1
1
2
CE
CD
=
= ，
在Rt OCE 中，
2
2
2
2
2
1
3
OE
OC
CE
=
−
=
−
=
．
2．
（2026·四川广安·中考真题）水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为0.5 m 的圆，其中水面宽为0.8 m ，
则水面高为_____m．
【答案】0.2 或0.8/或0.8 或0.2
【分析】分水面在圆心下方和水面在圆心上方两种情况讨论，利用垂径定理结合勾股定理计算圆心到水面
的距离，进而得到水面高度．
【详解】解：设截面圆的圆心为O，弦AB 为水面，已知
0.5
OA
m
=
，
0.8
AB
m
=
．
过点O作OC
AB
⊥
于点C ，直线OC 交AB 下面圆弧于点D，
根据垂径定理可得：
1
0.4
2
AC
AB
m
=
=
在
Δ
Rt OAC中，由勾股定理得：
( )
2
2
2
2
0.5
0.4
0.09
0.3
OC
OA
AC
m
=
−
=
−
=
=
分两种情况讨论：
当水面在圆心下方时，
水面高度为
( )
0.2
CD
OD OC
m
=
−
=
；
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当水面在圆心上方时，
水面高度为
( )
0.8
CD
OD
OC
m
=
+
=
．
故答案为0.2 或0.8．
3．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，C 为
O 上一点，过点A 的直线和过点C 的切线
互相垂直，垂足为D ，AD 交
O 于点E ，连接AC ．
(1)求证：AC 平分
DAB
；
(2)若
6
AE =
，
3
ED = ．求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)证明：连接OC ，
∵OA
OC
=
，
∴
OAC
OCA
=
，
∵CD是
O 的切线，
∴OC
CD
⊥
，
∵AD
CD
⊥
，
∴OC
AD
∥
，
∴
=
DAC
OCA，
∴
=
DAC
OAC，
∴AC 平分
DAB
；
(2)6
9 3
−
【分析】（1）连接OC ，利用切线的性质，推出OC
AD
∥
，得到
=
DAC
OCA，利用等边对等角得到
OAC
OCA
=
，进而得到
=
DAC
OAC，即可；
（2）连接BE ，交OC 于点F ，连接OE ，交AC 于点G ，分割法求阴影部分面积即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接BE ，交OC 于点F ，连接OE ，交AC 于点G ，
∵AB 为直径，
∴
90
AEB
=
，
∴
90
DEB
=
，
∵OC
CD
⊥
，AD
CD
⊥
，
∴四边形CDEF 为矩形，
∴OC
BE
⊥
，
3
CF
ED
=
= ，
∴BF
EF
=
，
∵OA
OB
=
，
∴OF 是ABE 的中位线，
∴
1
3
2
OF
AE
=
=
，
∴
6
OA
OC
OF
CF
=
=
+
=
，
∴
6
OA
OE
AE
=
=
=
，
∴
AOE
△
为等边三角形，
∴
60
EOA
=
，
∵OC
AD
∥
，
∴
60
EOC
=
，
∵AE
AO
=
，
EAG
OAG
=
，
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∴AG
OE
⊥
，即OE
AC
⊥
，
∴
1
3
2
OG
OA
=
= ，
∴
2
2
3 3
AG
OA
OG
=
−
=
，
∴
2
60
1
6
6 3 3
6
9 3
360
2
AOE
AOE
S
S
S
=
−
=
−
=
−
阴影
扇形
．
4．（2026·四川攀枝花·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
，垂足为H ．E 为BD上一点，连
接AE 交CD于点F ，EF 的垂直平分线交CD的延长线于点G ，连接GE ．
(1)若
O 的半径为3，
2
AH = ，求CD的长；
(2)求证：EG 是
O 的切线．
【答案】(1)4 2 ；
(2)证明：连接OE ，
∵点G 在EF 的垂直平分线上，
∴GE
GF
=
，
∴
GEF
GFE
=
，
∵
GFE
AFH
=
，
∴
GEF
AFH
=
，
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
AHF
=
，
∴
90
A
AFH
+
=
，
∵OA
OE
=
，
∴
A
OEA
=
，
∴
90
OEA
GEF
+
=
，
∴
90
OEG
=
，
∴OE
EG
⊥
，
∵OE 是
O 半径，
∴EG 是
O 的切线。
【分析】（1）连接OC ，先求出OH 长度，利用垂径定理得
1
2
CH
DH
CD
=
=
，再在Rt OCH 中由勾股定理
算出CH ，进而求出CD；
（2）连接OE ，由垂直平分线性质得GE
GF
=
，等边对等角得
GEF
GFE
=
，结合CD
AB
⊥
推出
90
A
AFH
+
=
，再利用OA
OE
=
得
A
OEA
=
，等量代换证明
90
OEG
=
，依据切线判定定理证EG 为
切线。
【详解】（1）解：连接OC ，
∵
O 半径为3，
∴
3
OC
OA
=
= ，
∵
2
AH =
，
∴
3 2 1
OH
OA
AH
=
−
= −= ，
∵CD
AB
⊥
，AB 为直径，
∴
90
OHC
=
，
2
CD
CH
=
，
在Rt OCH 中，
2
2
2
2
3
1
2 2
CH
OC
OH
=
−
=
−
=
，
∴
2 2 2
4 2
CD =
=
；
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（2）略
5．（2026·湖北·中考真题）如图，在ABC中，AC
BC
=
，以BC 为直径的
O 交AB 于点D ，弦DF
BC
⊥
，
垂足为E ．
(1)求证：AD
BD
=
；
(2)若
10
AB =
，
8
DF =
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：如图，连接CD，
BC 为
O 的直径，
90
CDB
=
，
又AC
BC
=
，
AD
BD
=
；
(2) 25
6
【分析】（1）利用等腰三角形三线合一证明即可；
（2）由（1）得出BD 的长，利用垂径定理求出DE 的长，在Rt
DEB
△
中利用勾股定理求出BE 的长，设
O
的半径为r ，则OD
r
= ，
3
OE
r
= −，在Rt
DOE
△
中利用勾股定理即可求出r ．
【详解】（1）略；
（2）解：如图，连接OD，
弦DF
BC
⊥
，BC 为直径，
8
DF =
，
1
4
2
DE
DF
=
=
，
AD
BD
=
，
10
AB =
，
1
5
2
BD
AB
=
=
，
在Rt
DEB
△
中，
2
2
2
2
5
4
3
BE
BD
DE
=
−
=
−
= ，
设
O 的半径为r ，则OD
r
= ，
3
OE
r
= −，
在Rt
DOE
△
中，
2
2
2
OD
DE
OE
=
+
，
(
)
2
2
2
4
3
r
r
=
+
−
，化简得6
25
r =
，解得
25
6
r =
，
O
的半径为25
6 ．
6．（2026·陕西·中考真题）如图，点A 在
O 上，连接OA并延长至点B ，过点B 作
O 的切线，切点为C ，
作弦CD
OA
⊥
，垂足为H ，作弦DE
BC
∥
，连接CE ．
(1)求证：CE
CD
=
；
(2)若
2
AB =
，
4
BC =
，求DE 的长．
【答案】(1)证明：连接
,
,
OE OD CO ，并延长CO交DE 于点G ，
∵BC 为
O 的切线，CO为半径，
∴
90
OCB
=
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∵DE
BC
∥
∴
90
CGE
OCB
=
=
，即CG
DE
⊥
∵OE
OD
=
∴CG 垂直平分DE
∴CE
CD
=
；
(2)144
25
【分析】（1）连接
,
,
OE OD CO ，并延长CO交DE 于点G ，根据圆的切线的性质以及平行线的性质可得
CG
DE
⊥
，再由三线合一得到CG 垂直平分DE ，即可得到CE
CD
=
；
（2）设OC
OA
r
=
=
，先对Rt OCB运用勾股定理求解半径，然后用面积法求解CH ，即可求解CD，再证明
OCD
B
= ，则由sin
sin
OCD
B
=
求解DG ，最后由垂径定理求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设OC
OA
r
=
=
，则
2
OB
OA
AB
r
=
+
= +
，
∵
90
OCB
=
，
∴
2
2
2
OC
CB
OB
+
=
∴
(
)
2
2
2
4
2
r
r
+
=
+
，
解得
3
r = ，
∴
3,
3
2
5
OC
OB
=
=
+
=
，
∵CD
OA
⊥
，
∴1
1
2
2
OC
CB
OB CH
=
，
∴
3 4
12
5
5
CH
=
=
，
∵OC
OD
=
，CD
OA
⊥
，
∴
24
2
5
CD
CH
=
=
，
∵
90
OCB
=
，
∴
90
OCD
B
COB
= =
−
，
∴sin
sin
OCD
B
=
，
d 又
90
CDG
=
，
∴DG
OC
DC
OB
=
，
∴
3
24
5
5
DG =
，
解得
72
25
DG =
，
∵CG
DE
⊥
，CG 经过圆心，
∴
144
2
25
DE
DG
=
=
．
7．（2026·河北·中考真题）在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一
个小组尚未完成的活动报告．
主题
求生活中的圆弧长
研究内
容
本次活动选取学校的铅球场地，
将场地的一部分抽象为扇形
OPQ（如图1 所示），已知扇形
OPQ 所在圆的半径OM
PQ
⊥
于
点N ，
10.00m
OP
，用不同的
方案分别求PQ的长l ．
工具
软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等
研究方
案与实
践成果
方案一
方案二
方案三
用软尺直接测
量PQ的长．
测量数据：
第一次6.36m
第二次6.32m
用测角仪测角，
利用弧长公式
计算PQ的长．
测量数据：
36
POQ
查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中
收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1
中，弧长
2
MN
l
PQ
OP
=
+
．
测量数据：
6.20m
PQ
0.50m
MN
反思应
用
取两次测量结
果的平均数，
则
6.34m
l =
．
利用弧长公
式，……
根据“会圆术”，……
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①方案一可通过____________的
方法减少误差；
②我们可以利用上面的活动经验
解决一些生活中的问题．
如图2 所示，公园里一座桥的主
桥拱是圆弧形，已知其跨度AB
为6m，拱高CD为1m ，虽然弧
长AB
l
和圆心角
AEB
不方便测
量，但可以通过计算近似得出．
计算过程如下：……
请你帮助该小组完成活动报告，具体如下：
(1)写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可）
(2)分别利用方案二（结果保留π）和方案三计算PQ的长l ；
(3)求图2 中弧长AB
l
和圆心角
AEB
．（π取3.1）
【答案】(1)多次测量取平均值
(2)方案二弧长为2 m
；方案三弧长为6.225m
(3)
6.2m
AB
l
=
，
72
AEB
=
【分析】（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差；
（2）方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可；
（3）先由垂径定理以及勾股定理求解AE ，再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角的度数
即可．
【详解】（1）解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差；
（2）解：方案二：PQ的长
(
)
36
10
2
m
180
l
=
=
；
方案三：∵
2
MN
l
PQ
OP
=
+
，
6.20m
PQ
，
0.50m
MN
，
10.00m
OP
∴
(
)
2
m
0.50
1
2
0.0
6.20
5
0
6. 2
l =
+
=
；
（3）解：∵CD
AB
⊥
，
6m
AB =
∴
(
)
1
3 m
2
AD
BD
AB
=
=
=
在Rt
ADE
△
中，由勾股定理得，
2
2
2
AE
AD
DE
=
+
，
1m
CD =
∴
(
)
2
2
2
3
1
AE
AE
=
+
−
解得
( )
5 m
AE =
由“会圆术”可得，
(
)
2
1
6
6.2 m
5
AB
CD
l
AB
AE
=
+
=
+
=
，
设
AEB
的度数为n ，则由
180
AB
n
AE
l
=
得，
3.1 5
6.2
180
n
=
，
解得
72
n =
8．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
于点E，连接AC ，过点D 的直线分
别与AB
AC
、
的延长线交于点F
G
、
，且
1
2
A
CDG
=
．
(1)求证：DG 是
O 的切线；
(2)若
,
AB
10 CD
6
=
=
，求BF 的长．
【答案】(1)证明：连接OD
AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
于点E，
BC
BD
=
，
90
BOD
ODE
+
=
，
2
BOD
A
= ，
2
90
A
ODE
+
=
，
1
2
A
CDG
=
，
2
CDG
A
= ，
90
CDG
ODE
+
=
，
90
ODG
=
，
DG
是
O 的切线；
(2) 5
4
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【分析】（1）连接OD，证明
90
ODG
=
即可证明DG 是
O 的切线；
（2）设BF
x
=
，得到
(
)
5
,
1
OF
OB
BF
x
EF
BE
BF
x
=
+
=
+
=
+
=
+ ，根据勾股定理得到
2
2
2
2
2
OF
OD
DF
DE
EF
−
=
=
+
，解答即可．
【详解】（1）略
（2）解：设BF
x
=
，
AB 是
O 的直径，弦CD
AB
⊥
于点E，
,
AB
10 CD
6
=
=
，
5,
3
OB
OD
DE
=
=
=
，
2
2
4
OE
OD
DE
=
−
= ，
1
BE
OB OE
=
−
= ，
(
)
5
,
1
OF
OB
BF
x
EF
BE
BF
x
=
+
=
+
=
+
=
+ ，
CD
AB
⊥
∵
，
90
ODG
=
，
2
2
2
2
2
OF
OD
DF
DE
EF
−
=
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
5
5
3
1
x
x
+
−
=
+
+
，
解得
5
4
x =
，
故BF 的长为5
4 ．
9．（2026·安徽·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，点C 在
O 上，点A ，B 分别在CDEF 的边CD，CF
上，DE ，EF 分别与
O 相切于点M ，N ．
(1)求证：四边形OMEN 为正方形；
(2)若
9
CD =
，
10
AB =
，求CF 的长．
【答案】(1)证明：∵AB 为
O 的直径，
∴
90
C
=
，
∵四边形CDEF 是平行四边形，
∴
90
=
=
E
C
，
∵DE ，EF 分别与
O 相切于点M ，N ，
∴
90
OME
ONE
=
=
，
∴
90
E
OME
ONE
=
=
=
，
∴四边形OMEN 为矩形，
∵OM
ON
=
，
∴四边形OMEN 为正方形；
(2)8
【分析】
（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到
90
C
=
，然后根据平行四边形的性质得到
90
=
=
E
C
，
再由圆的切线的性质证明即可；
（2）过点O作OT
BC
⊥
于点T ，由垂径定理得BT
CT
=
，然后求出
1
5
2
EN
ON
OB
AB
=
=
=
=
， 再证明四
边形ONFT 是矩形，则
5
TF
ON
=
= ，
9 5
4
OT
NF
EF
EN
−
=
=
= −=
，再由勾股定理求解BT ，最后由
CF
CT
TF
=
+
求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：过点O作OT
BC
⊥
于点T ，则
90
OTF
=
，
∵OT 经过圆心，
∴BT
CT
=
，
∵在CDEF 中，
90
C
=
，
∴四边形CDEF 是矩形，
9
EF
CD
=
= ，
∴
90
F
=
，
∵
10
AB =
，四边形OMEN 为正方形，
∴
1
5
2
EN
ON
OB
AB
=
=
=
=
，
∵
90
ONE
=
，
∴
180
90
ONF
ONE
=
−
=
，
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∴
90
F
OTF
ONF
=
=
=
，
∴四边形ONFT 是矩形，
∴
5
TF
ON
=
= ，
9 5
4
OT
NF
EF
EN
−
=
=
= −=
，
∴
2
2
2
2
5
4
3
BT
OB
OT
=
=
−
−
=
，
∴
3
CT = ，
∴
3 5
8
CF
CT
TF
=
+
= + = ．
考点02 弧、弦、圆心角的关系
1．（2026·贵州·中考真题）如图，已知AB 是
O 的直径，点P ，C 在
O 上，PA
PC
=
．
(1)线段PA 与线段PC 的数量关系是________，若连接AC ，则直线PO与AC 的位置关系是________；
(2)求证：PO
BC ；
(3)过点P 作
O 的切线l ，过点A 作AD
l
⊥于点D ．根据题意补全图形，若
2 2
=
PD
，
2
BC =
，求
O 的
半径．
【答案】(1)相等；互相垂直
(2)证明：延长PO交AC 于点H ，
由（1）可得，PO垂直平分AC ，即HA
HC
=
，
∵OA
OB
=
，
∴OH 是ABC的中位线，
∴OH
BC ，即PO
BC ；
(3)补全图形如图：
O 的半径为3
【分析】（1）先根据弧与弦之间的关系求解；再根据线段垂直平分线的判定证明PO垂直平分AC 即可；
（2）延长PO交AC 于点H ，证明OH 是ABC的中位线，再由中位线的性质求解即可；
（3）先根据题意补全图形，然后连接AC ，延长PO交AC 于点H ，然后证明四边形PDAH 是矩形，再由
圆周角定理得到
90
ACB
=
，最后对Rt
ABC
△
运用勾股定理求解．
【详解】（1）解：∵在
O 中，PA
PC
=
，
∴PA
PC
=
，
∴线段PA 与线段PC 的数量关系是相等；
连接AC ，
∵
,
PA
PC OA
OC
=
=
，
∴PO垂直平分AC
∴直线PO与AC 的位置关系是互相垂直；
（2）略
（3）解：如图，连接AC ，延长PO交AC 于点H ，
由（2）可知
90
=
PHA
，HA
HC
=
∵直线l 是
O 的切线，AD
l
⊥，
∴
90
PDA
DPH
=
=
，
∴
90
PDA
DPH
PHA
=
=
=
，
∴四边形PDAH 是矩形，
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∴
2 2
AH
PD
=
=
，
∴
2
4 2
AC
AH
=
=
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∴
2
2
2
AC
BC
AB
+
=
，
∴
(
)
2
2
4 2
2
6
AB =
+
=
，
∴半径为1
3
2 AB =
．
2．（2026·山东烟台·中考真题）如图，ABC中，
90
C
=
，O是边AB 上一点，以OB 为半径作
O ，分
别与BC ，AB 交于D ，E 两点，与AC 相切于点F ，连接EF ，BF ．
(1)求证：EF
FD
=
；
(2)试用等式表示线段BE ，BD ，CD之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】(1)证明：如图，连接OF ，
∵AC 是
O 的切线，
∴1
2
90
+=
∵
90
C
=
，
∴
4
2
90
+=
∴
1
4
=
又∵OF
OB
=
∴1
3
=
∴
3
4
=
∴EF
FD
=
；
(2)
2
BE
BD
CD
=
+
，
证明：如图，连接FD ，过点F 作FG
BE
⊥
于点G ，
∴
90
FGB
C
=
=
由（1）可得
FBC
FBE
=
又∵FB
FB
=
∴
(
)
FBC
FBG AAS
≌
∴
,
FC
FG BC
BG
=
=
，
∵EF
FD
=
∴FD
FE
=
，
∴
(
)
Rt EFG
Rt DFC HL
≌
∴CD
EG
=
∴
2
BE
BG
EG
BC
CD
BD
CD
=
+
=
+
=
+
，即
2
BE
BD
CD
=
+
【分析】（1）根据切线的性质可得1
2
90
+=
，根据直角三角形的两个锐角互余可得
4
2
90
+=
，则
1
4
= ，根据OF
OB
=
得出1
3
= ，等量代换可得
3
4
= ，即可得出EF
FD
=
；
（2）连接FD ，过点F 作FG
BE
⊥
于点G ，证明
(
)
FBC
FBG AAS
≌
得出
,
FC
FG BC
BG
=
=
，进而证明
(
)
Rt EFG
Rt DFC HL
≌
，得出CD
EG
=
，根据线段的和差关系，即可得证．
【详解】（1）略
（2）略
3．（2026·山西·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C ，D 是
O 上的两点，且BD
BC
=
，过点C 作
O
的切线与AB 的延长线交于点E ，连接AC ，OD．若
115
ACE
=
，
6
OB = ，求扇形BOD（即阴影部分）
的面积（结果保留π）．
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【答案】扇形BOD（即阴影部分）的面积为5π
【分析】连接OC ，先根据切线性质得到
90
OCE
=
，进而得到
ACO
，然后根据等弧所对的圆心角相等
得到
COB
，继而得到
BOD
，最后根据扇形的面积公式进行求解即可．
【详解】解：连接OC ．
CE 与
O 相切于点C ．
OC
CE
⊥
．
90
OCE
=
．
115
ACE
=
，
115
90
25
ACO
ACE
OCE
=
−
=
−
=
．
OA
OC
=
，
25
A
ACO
=
=
．
2
50
COB
A
= =
．
BD
BC
=
，
50
BOD
COB
=
=
．
6
OB =
，
2
50 π 6
5π
360
BOD
S
=
=
扇形
．
4．（2026·天津·中考真题）已知点A ，B 在
O 上，
120
AOB
=
，点C 在AB 上，点D 在以A ，B 为
端点的优弧上．
(1)如图①，当C 为AB 的中点时，若DB
DC
=
，求
OBC
和
OBD
的大小；
(2)如图②，当
90
AOC
=
时，过点D 作
O 的切线EF ，且EF
OB ，CD与OB 相交于点G ，若
O 的半
径为3 ，求BD 和DG 的长．
【答案】(1)
60
OBC
=
，
15
OBD
=
(2)
3 2
BD =
，
2 3
DG =
【分析】（1）连接OC ，根据题意可得AC
BC
=
，则可得到
60
AOC
BOC
=
=
，由圆周角定理可得
30
BDC
=
；根据等腰三角形的性质和三角形内角定理可求出
,
OBC
DBC
的度数，进而可求出
OBD
的
度数；
（2）连接OD，由切线的性质得到
90
ODF
=
，则由平行线的性质可得
90
BOD
=
；由勾股定理可求出
3 2
BD =
；求出
30
BOC
=
，则由圆周角定理得到
15
BDC
=
；可证明
45
ODB
=
，则
30
ODG
=
，
解直角三角形求出DG 的长即可．
【详解】（1）解：如图①所示，连接OC ，
∵C 为AB 的中点，
∴AC
BC
=
，
∴
1
60
2
AOC
BOC
AOB
=
=
=
，
∴
1
30
2
BDC
BOC
=
=
；
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∵OB
OC
=
，
∴
OCB
OBC
=
，
∵
180
OCB
OBC
BOC
+
+
=
，
∴
60
OCB
OBC
=
=
；
∵DB
DC
=
，
∴
DBC
DCB
=
，
∵
180
DBC
DCB
BDC
+
+
=
，
∴
75
DBC
DCB
=
=
，
∴
15
OBD
DBC
OBC
−
=
=
；
（2）解：如图②所示，连接OD ，
∵EF 与
O 相切，
∴OD
EF
⊥
，即
90
ODF
=
，
∵EF
OB ，
∴
180
BOD
ODF
+
=
，
∴
90
BOD
=
；
∵
O 的半径为3，
∴
3
OD
OB
=
= ，
∴
2
2
2
2
3
3
3 2
BD
OB
OD
=
+
=
+
=
；
∵
120
90
AOB
AOC
=
=
，
，
∴
30
BOC
AOB
AOC
−
=
=
，
∴
1
15
2
BDC
BOC
=
=
；
∵
90
OD
OB
BOD
=
=
，
，
∴
180
45
2
BOD
ODB
OBD
−
=
=
=
，
∴
30
ODG
ODB
BDC
−
=
=
，
∴
3
2 3
cos
cos30
OD
DG
ODG
=
=
=
．
5．（2026·四川成都·中考真题）如图，点C 在以AB 为直径的
O 上，连接AC ，BC ，过点C 作CD
AB
⊥
，
垂足为D ，在圆上取一点E ，使CE
CB
=
连接CE ，BE ．
(1)求证：
90
ACD
CBE
+
=
；
(2)若
5
sin
,
7
6
A
OD
=
=
，求
O 的半径和BE 的长．
【答案】(1)证明：∵AB 为的
O 直径，
∴
90
ACB
=
，即
90
ACD
BCD
+
=
又∵CD
AB
⊥
，
∴
90
BCD
ABC
CAB
=
−
=
∵CE
CB
=
∴
CBE
CAB
=
∴
90
ACD
CBE
+
=
；
(2)
O 的半径为18，
10 11
BE =
【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，得出
90
ACD
BCD
+
=
，进而根据同角的余角相等得出
BCD
CAB
=
，结合已知得出
CBE
CAB
=
，进而可得
90
ACD
CBE
+
=
；
（2）设
O 的半径为r ，由（1）可得
BCD
CAB
=
，根据正弦的定义，可得
7
5
2
6
r
BC
BC
r
+
=
=
，求得
18
r =
，
30
BC =
，勾股定理求得AC ，进而求得
11
cos
6
A =
，证明CE
CB
=
，过点C 作CF
BE
⊥
于点F ，则EF
BF
=
，
进而解Rt
CBF
△
，求得BF ，进而求得BE 的长，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：设
O 的半径为r ，
由（1）可得
BCD
CAB
=
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∴
5
sin
6
sin
BCD
A =
=
∴
7
5
2
6
r
BC
BC
r
+
=
=
解得：
18
r =
，
30
BC =
∴
2
36
AB
r
=
=
，
在Rt
ABC
△
中，
∴
2
2
2
2
36
30
6 11
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
∴
6 11
11
cos
=
36
6
AC
A
AB =
=
∵CE
CB
=
∴CE
CB
=
如图，过点C 作CF
BE
⊥
于点F ，则EF
BF
=
∵
CBE
CAB
=
∴cos
cos
CBE
CAB
=
∴
11
6
BF
BC =
∴
11
30
5 11
6
BF =
=
∴
2
10 11
BE
BF
=
=
考点03 圆周角定理
1．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，ABC 内接于
O ，
11
AB =
，
5
BC =
，
4
sin
5
B =
，则
O 的直径是( )
A．5 5
B．3 14
C．8 2
D．2 33
【答案】A
【分析】过点C 作CD
AB
⊥
于点D，连接AO并延长交
O 于点E，连接CE ，解直角三角形BCD求出CD和
BD ，继而求出AD ，从而用勾股定理求出AC ，再在直角三角形ACE 中利用
4
sin
sin
5
B
AEC
=
=
求出AE 即
可．
【详解】解：过点C 作CD
AB
⊥
于点D，连接AO并延长交
O 于点E，连接CE ，
∵CD
AB
⊥
，
4
sin
5
B =
，
5
BC =
，
∴
4
sin
5
4
5
CD
BC
B
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
=
=
5
4 = 3
BD
BC
CD
−
−
，
又∵
11
AB =
，
∴
11 3
8
AD
AB
BD
=
−
=
−= ，
∴
2
2
2
2
8
4
4 5
AC
AD
CD
=
+
=
+
=
，
∵AC
AC
=
，
∴
B
AEC
=
，
∴
4
sin
sin
5
B
AEC
=
=
，
∵AE 是直径，
∴
90
ACE
=
，
∴
4 5
4
sin
5
AC
AEC
AE
AE
=
=
=
，
解得：
5 5
AE =
，即
O 的直径是5 5 ．
2．（2026·广东·中考真题）如图，
O 的半径为1，点A ，B ，C 在
O 上，
30
ACB
=
．则图中阴影部
分的面积为（ ）
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A．6
B．3
C．1
6
D．1
3
【答案】A
【分析】根据圆周角定理求出圆心角
AOB
的度数，再利用扇形面积公式计算即可．
【详解】解：
30
ACB
=
，
ACB
与
AOB
分别是AB 所对的圆周角和圆心角
2
2 30
60
AOB
ACB
=
=
=
O的半径为1
2
60
1
360
6
S
=
=
阴影
．
3．（2026·四川内江·中考真题）如图，正五边形ABCDE 内接于
O ，P 为BC 上的一点（点P 不与点C 重
合），则
CPD
的度数为（ ）
A．36
B．45
C．60
D．72
【答案】A
【分析】先求得中心角
72
COD
=
，进而根据圆周角定理，即可求解．
【详解】解：∵正五边形ABCDE 内接于
O ，
∴
1
360
72
5
COD
=
=
，
∵
CPD
与
COD
分别是CD所对的圆周角和圆心角，
∴
1
36
2
CPD
COD
=
=
．
4．（2026·河北·中考真题）如图，在
O 中，ACB 所对的圆心角为150，点D 在AC 上．若
CBO
n
= ，
则
ADC
=（ ）
A．90
n
+
B．180
n
−
C．195
n
−
D．2n
【答案】C
【分析】如图，连接CO并延长交
O 于点E，连接AE ，首先利用等边对等角得到
C
OCB
BO
n
=
=
，然
后利用三角形内角和定理求出
180
180
2
BOC
B
OCB
n
=
−−
=
−
，然后结合圆周角定理和圆内接四边
形对角互补求解即可．
【详解】解：如图，连接CO并延长交
O 于点E，连接AE
∵OB
OC
=
∴
C
OCB
BO
n
=
=
∴
180
180
2
BOC
B
OCB
n
=
−−
=
−
∴
(
)
150
180
2
2
30
AOC
AOB
BOC
n
n
=
−
=
−
−
=
−
∴
1
15
2
E
AOC
n
=
= −
∴
(
)
180
180
15
195
ADC
E
n
n
=
−
=
−
−
=
−．
5．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，
O 是ABC的外接圆，连接OA、OC ．若AOC 为等边三角形，
则
ABC
的度数是（ ）
A．20
B．30
C．50
D．60
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【答案】B
【分析】根据等边三角形的性质得到
AOC
的度数，再由圆周角定理即可得到
ABC
的度数．
【详解】解：∵AOC 为等边三角形，
∴
60
AOC
=
，
∵AC
AC
=
，
∴
1
30
2
ABC
AOC
=
=
．
6．（2026·云南·中考真题）如图，AB 是
O 的弦，点C 在
O 上．若
26
ACB
=
，则
AOB
= （ ）
A．10
B．26
C．40
D．52
【答案】D
【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解．
【详解】解：
2
2 26
52
AOB
ACB
=
=
=
．
7．（2026·重庆·中考真题）如图，点A，B，C 在
O 上．若
40
ACB
=
，则
AOB
的度数是（ ）
A．140
B．100
C．90
D．80
【答案】D
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的2 倍求解即可．
【详解】 解：∵
ACB
与
AOB
是同弧所对的圆周角与圆心角，
2
AOB
ACB
=
∵
40
ACB
=
，
∴
2 40
80
AOB
=
=
．
8．
（2026·湖北·中考真题）如图，PA 与
O 相切于点A ，连接PO并延长交
O 于点B ，连接AB ．若
24
B
=
，
则
P
的度数是（ ）
A．42
B．48
C．56
D．66
【答案】A
【分析】连接OA，根据切线的性质可得OA
PA
⊥
，根据圆周角定理求出
AOP
的度数，最后在Rt
OAP
△
中
利用直角三角形两锐角互余求解即可．
【详解】解：连接OA，
PA是
O 的切线，
OA
PA
⊥
，
90
OAP
=
，
24
B
=
，
2
48
AOP
B
= =
，
90
42
P
AOP
=
−
=
．
9．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，点A ，B ，C 在
O 上，若
28
A
=
，则
O
=______度．
【答案】56
【分析】本题考查了圆周角定理，即在同圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的2 倍．根据图形可知
A
是弧
BC 所对的圆周角，
BOC
（即
O
）是弧BC 所对的圆心角，利用定理直接计算即可．
【详解】解：
A
是
O 中弧BC 所对的圆周角，
BOC
是弧BC 所对的圆心角，
2
BOC
A
= ．
28
A
=
，
2 28
56
BOC
=
=
．即
56
O
=
．
10．
（2026·陕西·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，点C 在
O 上，ACB
的平分线交
O 于点D ．若
4
AB =
，
则BD的长为_________．
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【答案】π
【分析】连接OD，根据直径所对的圆周角是直角得到
90
ACB
=
，由角平分线的定义和圆周角定理得到
90
BOD
=
，再根据弧长公式求解即可．
【详解】解：如图所示，连接OD，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∵
ACB
的平分线交
O 于点D ，
∴
1
45
2
BCD
ACB
=
=
，
∴
2
90
BOD
BCD
=
=
∠
∠
，
∵
4
AB =
，
∴
2
OD
OB
=
=
，
∴BD的长为90π
2
π
180
=
．
11．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在
O 中，AB
AC
=
，
70
ABC
=
，则
BOC
=______．
【答案】80
【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得AB
AC
=
，所以
70
ABC
ACB
=
=
，再通过三角形内角和定理可
得
40
A =
∠
，最后由圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵AB
AC
=
，
∴AB
AC
=
，
∴
70
ABC
ACB
=
=
，
∴
(
)
180
40
A
ABC
ACB
=
−
+
=
，
∴
2
80
BOC
A
= =
．
12．（2026·广西·中考真题）如图1，
O 是锐角三角形ABC 的外接圆，
45
BAC
=
，
2
BC =
，BD
AC
⊥
于点D ．
(1)求证：OD平分
ADB
；
(2)如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC 相切于点E ，求AC 的长及
CBD
的度数．
【答案】(1)证明：连接OA，OB ，
BD
AC
⊥
，
45
BAC
=
，
90
45
ABD
BAC
BAC
=
−
=
=
，
DA
DB
=
，
OA
OB
=
，DO
DO
=
，DA
DB
=
，
(
)
SSS
DOA
DOB
≌
，
ADO
BDO
=
，
OD
平分
ADB
；
(2)
6
AC =
，
15
CBD
=
【分析】（1）连接OA，OB ，证明
(
)
SSS
DOA
DOB
△
≌△
即可；
（2）连接OB ，OC ，OE ，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，根据圆周角定理先确定BOC 为等腰直角三角形，
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45
OCB
OBC
=
=
，然后解Rt
BOC
△
求出OC ，再由圆的切线的性质求解OD
OE
=
，再解Rt ODF 求出
OF ，解Rt OCF 求出
OCF
，CF 最后根据垂径定理以及角度和差计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接OB ，OC ，OE ，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，
45
BAC
=
，
2
90
BOC
BAC
=
=
，
OB
OC
=
，
BOC
为等腰直角三角形，
45
OCB
OBC
=
=
，
2
sin 45
2
2
2
OC
OB
BC
=
=
=
=
，
以O为圆心，OD为半径的圆与BC 相切于点E ，
OE
BC
⊥
，
OEB
，OEC均为等腰直角三角形，
1
1
2
OE
EC
BE
BC
=
=
=
= ，
1
OD
OE
=
= ，
BD
AC
⊥
，OD平分
ADB
，
45
ODF
ODB
=
=
，
OF
AC
⊥
，
ODF
为等腰直角三角形，
2
2
sin 45
1
2
2
OF
OD
=
=
=
，
2
1
2
sin
2
2
OF
OCF
OC
=
=
=
，
(
)
2
2
2
2
2
6
2
2
2
CF
OC
OF
=
−
=
−
=
，
30
OCF
=
，
OF
AC
⊥
，
2
6
AC
CF
=
=
，
30
OCF
=
，
45
OCB
=
，
30
45
75
ACB
OCF
OCB
=
+
=
+
=
，
BD
AC
⊥
，
90
15
CBD
ACB
=
−
=
．
考点04 同弧或等弧所对的圆周角相等
1．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，ABC内接于
O ，CD是
O 的直径，AB 与CD交于点P ．若
60
ABC
=
，
50
ACB
=
，则
BPC
= （ ）
A．95
B．100
C．105
D．110
【答案】B
【分析】根据CD是直径得到
90
CBD
=
，因此根据角的和差求出
ABD
，根据三角形的内角和定理求出
A
，即可得到
D
，再根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】解：∵CD是直径，
∴
90
CBD
=
，
∵
60
ABC
=
，
∴
90
60
30
ABD
CBD
ABC
−
−
=
=
=
．
∵
60
ABC
=
，
50
ACB
=
，
∴
180
70
A
ABC
ACB
−
−
=
=
，
∴
70
D
A
= =
，
∴
70
30
100
BPC
D
ABD
= +
=
+
=
．
2．（2026·四川泸州·中考真题）如图，
O 的直径AB 与弦CD相交于点E ，连接AC ，AD ，BD ，BC ，
若
40
ACD
=
，
65
AEC
=
，则
CBD
=（ ）
A．45
B．55
C．60
D．65
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【答案】B
【分析】由题意易得
90
ADB
=
，
40
ABD
ACD
=
=
，然后可得
90
50
DAB
ABD
BCD
=
−
=
=
，进
而根据三角形外角的性质进行求解即可．
【详解】解：∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
=
，
∵
40
ABD
ACD
=
=
，
∴
90
50
DAB
ABD
BCD
=
−
=
=
，
∵
65
AEC
BCD
CBE
=
+
=
，
∴
65
15
CBE
BCD
=
−
=
，
∴
55
CBD
ABD
CBE
=
+
=
．
3．（2026·四川广元·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，点C 在
O 上，点E 为ABC 的内心，CE 的延
长线交
O 于点F ，连接AF ，若
5
AC = ，
13 2
2
AF =
，则CE 的长为（ ）
A．3 2
2
B．2 2
C．5
2
−
D．1
2
+
【答案】B
【分析】连接
,
,
AE BE BF ，则
90 ,
90
ACB
AFB
=
=
， 由内心的定义可得CF 平分
ACB
， 可得
45
ACF
BCF
=
=
， 进一步可证明AF
BF
=
，利用勾股定理可得
13,
12
AB
BC
=
=
，设ABC 的内切圆
半径为r ， 根据
ABC
ACE
ABE
CBE
S
S
S
S
=
+
+
，可求出
2
r =
， 过点E 作EG
AC
⊥
于点G ，则
2
EG =
，解直
角三角形即可求出CE的长．
【详解】解：如图所示，连接
,
,
AE BE BF ，
AB 为
O 的直径，
90 ,
90
ACB
AFB
=
=
，
点E 为ABC的内心，
CF
平分
ACB
，
45
ACF
BCF
=
=
，
弧AF = 弧BF ，
AF
BF
=
，
在 Rt AFB 中，由勾股定理得
2
2
13 2
2
2
13
2
AB
AF
BF
AF
=
+
=
=
=
，
在 Rt ABC 中，由勾股定理得
2
2
2
2
13
5
12
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
；
设ABC的内切圆半径为r ，
点 E 为ABC的内心，
点E 到ABC的三边的距离都等于r ，
ABC
ACE
ABE
CBE
S
S
S
S
=
+
+
，
1
1
1
1
2
2
2
2
AC r
AB r
BC r
AC BC
+
+
=
，
1
1
1
1
5
13
12
5 12
2
2
2
2
r
r
r
+
+
=
，
2
r
=
；
如图所示， 过点E 作EG
AC
⊥
于点G ，
则
2
EG =
，
在Rt CGE中，
45
GCE
=
，
CGE
是等腰直角三角形 ，
2
2 2
sin
sin 45
EG
CE
GCE
=
=
=
．
4．（2026·河南·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，C ，D 为
O 上两点，
40
ADC
=
，则
CAB
的度
数为_________．
【答案】50
【分析】由圆周角定理得到
40
90
ABC
ADC
ACB
=
=
=
，
，再根据三角形内角和定理计算即可．
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【详解】解：∵AC
AC
=
，
∴
40
ABC
ADC
=
=
，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∴
90
50
CAB
ABC
=
−
=
．
5．（2026·山东·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，C ，D 是
O 上的两点，AC
BD
=
，连接AC ，AD ，
CD，过点A 作AH
CD
⊥
交DC 的延长线于点H ．
(1)求证：AH 是
O 的切线；
(2)若
2
AH = ，
5
sin
5
CAH
=
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：∵AC
BD
=
，
∴
ADC
BAD
=
，
∴CD
AB ，
∵AH
CD
⊥
，
∴AH
AB
⊥
，
又∵AB 是
O 的直径，
∴AH 是
O 的切线．
(2) 5
2
【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等可得
ADC
BAD
=
，进而判断CD
AB ，由AH
CD
⊥
即可
得出AH
AB
⊥
，由此判定AH 是
O 的切线．
（2）连接OC ，过点C 作CG
AB
⊥
，垂足为G ，构造矩形AHCG和直角三角形Rt
OCG
△
，利用
5
sin
5
CAH
=
求出
1
AG
CH
=
= ，在Rt
OCG
△
中根据勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接OC ，过点C 作CG
AB
⊥
，垂足为G ，
∵
90
H
HAG
=
=
，
∴四边形AHCG是矩形，
∴
2
CG
AH
=
=
，AG
CH
=
，
∵
5
sin
5
CAH
=
，
90
H
=
，
∴
5
sin
5
HC
CAH
AC
=
=
，
∴
5
AC
HC
=
，
∵在Rt AHC 中，
2
2
2
AH
HC
AC
+
=
，
∴
2
2
2
2
( 5
)
CH
CH
+
=
，解得：
1
CH = ，（负值不合题意已经舍去），
∴
1
AG
CH
=
= ，
设
O 的半径为r ，即OA
OC
r
=
=
，则
1
OG
OA
AG
r
=
−
= −，
∵在Rt
OCG
△
中，
2
2
2
OG
CG
OC
+
=
，
∴
2
2
2
2
(
1)
r
r
+
−
=
，解得：
5
2
r =
，
答：
O 的半径为5
2 ，
【点睛】已知半径证垂直是解（1）的关键，小问（2）求圆的半径，最经典的套路就是“构造直角三角形，
用勾股定理列方程”．
考点05 半圆（直径）所对的圆周角是直角
1．（2026·吉林·中考真题）如图，ABC是
O 的内接三角形，AB 是
O 的直径，点P 为边AC 上不与点A ，
C 重合的任意一点，连接BP ．若
60
BAC
=
，则
ABP
的度数可能为（ ）
A．20
B．35
C．45
D．60
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【答案】A
【分析】根据直径所对的圆周角为直角，求出
90
ACB
=
，根据
60
BAC
=
，求出
90
60
30
ABC
=
−
=
，
得出0
30
ABP
，再进行判断即可．
【详解】解：∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
，
∵
60
BAC
=
，
∴
90
60
30
ABC
=
−
=
，
∵点P 为边AC 上不与点A ，C 重合的任意一点，
∴0
30
ABP
，
∵0
20
30
35
45
60
∴四个选项中只有A 选项符合题意．
2．
（2026·福建·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，BC 是
O 的切线，AC 交
O 于点D．若AD
CD
=
，
则tanA的值是（ ）
A．
2
2
B．1
C．2
D．2
【答案】B
【分析】连接BD ，根据切线的性质得出
90
ABC
=
，再由直角三角形斜边中线的性质确定AD
BD
CD
=
=
，
利用圆周角定理得出
90
ADB
=
，得出
45
A
ABD
=
=
，再由正切函数即可求解．
【详解】解：连接BD ，如图所示：
∵BC 是
O 的切线，
∴
90
ABC
=
，
∵AD
CD
=
，
∴点D 为AC 的中点，
∴AD
BD
CD
=
=
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
=
，
∴
45
A
ABD
=
=
，
∴tan
1
A = ．
3．
（2026·江苏扬州·中考真题）如图，C 是以AB 为直径的
O 上一点，点D 在BC 上，
20
ABC
=
，则
CDB
=
_______．
【答案】110
【分析】根据直径所对的圆周角是直角，得出
90
ACB
=
，利用三角形内角和定理求出
CAB
的度数，再
根据圆内接四边形对角互补，即可求解．
【详解】解：
AB 是
O 的直径，
90
ACB
=
，
20
ABC
=
，
90
70
CAB
ABC
−
=
=
，
四边形ACDB内接于
O ，
180
CDB
CAB
+
=
，
180
70
110
CDB
−
=
=
．
4．（2026·四川乐山·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，点C 为圆上一点，点D 在BA 延长线上，连接CD，
且
ACD
B
= ．
(1)求证：CD为
O 的切线；
(2)若
3
tan
4
D =
，
O 的半径为3，求AD 的长．
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【答案】(1)证明：如图所示，连接OC ，
OB
OC
=
，
B
BCO
=
，
ACD
B
= ，
ACD
BCO
=
．
AB 为
O 的直径，
90
ACB
=
，
90
ACO
BCO
+
=
．
90
ACD
ACO
+
=
，即
90
OCD
=
，
又
OC 是
O 的半径，
CD
为
O 的切线；
(2) 2
【分析】（1）由等腰三角形的性质得到
B
BCO
=
，则可证明
ACD
BCO
=
，由直径所对的圆周角是直
角得到
90
ACO
BCO
+
=
，则可证明
90
ACD
ACO
+
=
，即
90
OCD
=
，据此可证明CD为
O 的切
线；
（2）解直角三角形得到
4
CD =
，由勾股定理可得
5
OD = ，再由线段的和差关系可得答案．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得
90
OCD
=
，
3
tan
4
D =
，
O 的半径为3，
3
4
OC
CD
=
，即3
3
4
CD =
，
∴
4
CD =
，
2
2
2
2
3
4
5
OD
OC
CD
=
+
=
+
=
,
5 3
2
AD
OD OA
=
−
= −=
．
5．（2026·新疆·中考真题）如图，ABC内接于
O ，AD 平分
BAC
交
O 于点D，连接BD ，CD，经过
点D 的直线与AB 的延长线相交于点E，且
1
2
BDE
BAC
=
．
(1)求证：DE 是
O 的切线；
(2)如果点I 是ABC的内心，
12
tan
5
BAC
=
，
24
BC =
，求DI 的值．
【答案】(1)证明：连接DO 并延长交
O 于点F ，连接BF ，
∵BD
BD
=
∴1
3
=
∵DF 是直径，
∴
90
FBD
=
∴1
2
90
+=
∵AD 平分
BAC
∴
1
3
2
BAC
=
∵
1
2
BDE
BAC
=
，
∴
3
BDE
=
∴
1
BDE
=
∴
2
90
BDE
EDF
+=
=
∵OD是半径，
∴DE 是
O 的切线；
(2) 4 13
【分析】（1）连接DO 并延长交
O 于点F ，连接BF ，由圆周角定理得到1
3
= ，
90
FBD
=
，则
1
2
90
+=
，由角平分线得到
1
3
2
BAC
=
，结合已知条件可得
3
BDE
=
，继而等量代换证明即可；
（2）连接
I, I,
,
,
B C OB OC OD ，OD交BC 于点M ，先由圆周角定理得到证明
4
5
= ，根据垂径定理的推
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论可得OD
BC
⊥
，
1
2
BM
CM
BC
=
=
，再证明
BOM
BAC
=
，解Rt
BOM
△
求出OM ，OB ，即可求解DM ，
BD ，再由内心的性质导角证明DI
DB
=
．
【详解】（1）略
（2）解：连接
I, I,
,
,
B C OB OC OD ，OD交BC 于点M ，
∵AD 平分
BAC
∴
BAD
CAD
=
，
∴BD
CD
=
，
∴
4
5
= ，
∵DO 是半径，
∴OD
BC
⊥
，
1
1
24
12
2
2
BM
CM
BC
=
=
=
=
，
∵OB
OC
=
∴
2
BOC
BOM
=
∵
2
BOC
BAC
=
，
∴
BOM
BAC
=
∵
12
tan
5
BAC
=
∴
12
12
tan
5
BM
BOM
OM
OM
=
=
=
∴
5
OM =
∴
2
2
13
OB
OM
BM
=
+
=
∴
13
OD =
∴
8
DM
OD OM
−
=
=
∴
2
2
2
2
12
8
4 13
BD
BM
DM
=
+
=
+
=
，
∵点I 是ABC的内心，
∴
ABI
CBI
=
∵BD
BD
=
∴
5
BAD
=
∴
4
BAD
=
∵
I
4
I,
6
I
DB
CB
BAD
AB
= +
=
+
∴
I
6
DB
= ，
∴
I
4 13
D
DB
=
=
．
6．（2026·四川内江·中考真题）如图，在ABC中，AB
AC
=
，以边AB 为直径作
O ，交BC 于点D ，
交CA的延长线于点E ，连接DE 交AB 于点F ．
(1)如图1，过点D 作DM
AC
⊥
于点M ．
①求证：DM 是
O 的切线；
②若
30
CED
=
，
6
AB = ，求阴影部分的面积；
(2)如图2，连接BE ，若
1
2
EF
FD =
，
2 15
BE =
，求AE 的值．
【答案】(1)①证明：如图1 所示，连接
,
AD OD ，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ADB
=
，即AD
BC
⊥
，
∵AC
AB
=
，
∴CD
BD
=
，即点D 为BC 的中点，
又∵点O 为AB 的中点，
∴OD是ABC的中位线，
∴OD
AC ，
∵DM
AC
⊥
，
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∴DM
OD
⊥
，
∵OD是
O 的半径，
∴DM 是
O 的切线；
②
9 3
3π
4
−
(2) 2
【分析】（1）①连接
,
AD OD ，可证明AD
BC
⊥
，得到点D 为BC 的中点，则OD 是ABC 的中位线，进而
可证明OD
AC ，进一步可证明DM
OD
⊥
，则可证明DM 是
O 的切线；②由圆周角定理可得
60
AOD
=
，则可证明AOD是等边三角形，得到
3
AD = ，
60
OAD
=
，解直角三角形得到
3 3
BD =
，
可求出
1
9 3
2
4
BOD
ADB
S
S
=
=
，根据
BOD
BOD
S
S
S
=
−
阴影
扇形
列式求解即可；
（2）取AC 的中点T，连接DT ，可证明DT 为ABC的中位线，则DT
AB ，由平行线分线段成比例定理
得到
1
2
AE
EF
AT
FD
=
=
；设AE
x
=
，则
4
AB
AC
x
=
=
，由勾股定理得(
)
(
)
2
2
2
4
2 15
x
x
=
+
，解方程即可得到答
案．
【详解】（1）①略；
②解：如图1 所示，连接
,
AD OD ，
∵AB 为
O 的直径，
∴
90
ADB
=
；
∵AD
AD
=
，
∴
2
60
AOD
AED
=
=
，
∵OA
OD
=
，
∴AOD是等边三角形，
∴
1
3
2
AD
OA
OB
AB
=
=
=
=
，
60
OAD
=
，
∴
sin
6 sin60
3 3
BD
AB
DAB
=
=
=
，
∴
1
1
9 3
3 3 3
2
2
2
ADB
S
AD BD
=
=
=
，
∵点O 为AB 的中点，
∴
1
9 3
2
4
BOD
ADB
S
S
=
=
，
∵
180
120
BOD
S
AOD
−
=
=
，
∴
2
120π 3
9 3
9 3
3π
360
4
4
BOD
BOD
S
S
S
−
=
−
=
−
=
阴影
扇形
；
（2）解：如图2 所示，取AC 的中点T，连接DT ，
由（1）可得点D 为BC 的中点，
∴DT 为ABC的中位线，
∴DT
AB ，
∴
1
2
AE
EF
AT
FD
=
=
；
设
2
AE
x
AT
CT
x
=
=
=
，
，则
4
AC
AT
CT
x
=
+
=
，
∴
4
AB
AC
x
=
=
；
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
AEB
=
；
在Rt
ABE
△
中，由勾股定理得
2
2
2
AB
AE
BE
=
+
，
∴(
)
(
)
2
2
2
4
2 15
x
x
=
+
，
解得
2
x =
或
2
x = −（舍去），
∴
2
AE =
．
7．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C 是
O 上一点，CD
AB
⊥
于点D ，点E 在AB
的延长线上，CB平分
ECD
．
(1)求证：CE是
O 的切线；
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(2)当
8
AD = ，
5
sin
5
BCE
=
时，
①填空：tan BCE
的值等于__________；
②求BC 的长．
【答案】(1)证明：如图，连接OC ，
∵OC
OB
=
，
∴
OBC
OCB
=
．
∵CB平分
ECD
，
∴
BCE
DCB
=
．
∵CD
AB
⊥
，
∴
90
OBC
DCB
+
=
，
∴
90
OCB
BCE
+
=
，
∴OC
CE
⊥
．
∵OC 为
O 的半径，
∴CE是
O 的切线；
(2)①
1
tan
2
BCE
=
；②2 5
【分析】（1）连接OC ，由OC
OB
=
得
OBC
OCB
=
；由CB 平分
ECD
得
BCE
DCB
=
．结合CD
AB
⊥
，
可知Rt BCD中
90
OBC
DCB
+
=
，等量代换得
90
OCB
BCE
+
=
，即OC
CE
⊥
，进而即可证明；
（2）①由CB平分
ECD
得
BCE
DCB
=
，在Rt BCD中，
5
sin
5
BD
DCB
BC
=
=
．可得
5
5
BC
BD =
，由
勾股定理得
2 5
5
BC
CD =
，进而即可求出tan
BCE
；②连接AC ，由AB 是直径得
90
ACB
=
，结合CD
AB
⊥
，
由同角的余角相等得
DCB
CAB
=
，则可得
CAB
BCE
=
，即
1
tan
2
CAB
=
．在Rt ACD 中，
8
AD = ，
由
1
tan
2
CD
CAB
AD
=
=
得
4
CD =
；在Rt BCD中，由
1
tan
2
BD
DCB
CD
=
=
得
2
BD =
，最终由勾股定理求解即
可．
【详解】（1）略
（2）解：①∵
BCE
DCB
=
，
5
sin
5
BD
BCE
BC
=
=
，
∴
5
5
BC
BD =
，
∵
2
2
2
BD
CD
BC
+
=
，
∴
2 5
5
BC
CD =
，
∴
5
1
5
tan
tan
2
2 5
5
BC
BD
BCE
BCD
CD
BC
=
=
=
=
；
②如图，连接AC ，
AB 为
O 的直径，
90
ACB
=
，
90
OBC
CAB
+
=
．
由（1）可知，
90
OBC
DCB
+
=
，
DCB
CAB
=
，
由（1）可知，
DCB
BCE
=
，
DCB
CAB
BCE
=
=
，
1
tan
tan
tan
2
DCB
CAB
BCE
=
=
=
．
在Rt ACD 中，
1
tan
2
CD
CAB
AD
=
=
，
8
AD = ，
4
CD
=
．
在Rt BCD中，
1
tan
2
BD
DCB
CD
=
=
，
4
CD =
，
2
BD
=
，
2
2
2
2
2
4
2 5
BC
BD
CD
=
+
=
+
=
．
