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专题39 函数综合压轴题（39 题）
答案版
1．(1)
(
)
2
1
3
18
646
2
y
x
−
−
=
+
（0
28
x
）
(2)①当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13 千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5
千克；②15
2．(1)
2
1
6
3
y
x
x−
=
+
(2)
3 3 2
t
−
=
−
或
3 3 2
t
−
=
+
或
3
t
−
=
(3)15
2
3．(1)3
(2)（i）2
2
2
−
；（ⅱ）当
1,2,3
a =
时，
2
2
m
a
−；当
4
a
时，
2
2
m
a−
．
理由如下：由（i）得
2
1
2
AB
x
x
a
=
−
=
，已知2
1.414
，
2
1
m
a
+ 显然成立，
令
2
1
2
2
a
a−
+
，解得
3 2
3
5.121
2
a
+
，
也就是说，当
6
a
时，
2
2
m
a−
恒成立，
故只用讨论
1,2,3,4,5
a =
的情形：
1
a = 时，
1
2
2
2
1
0.293,
1
1.707
2
2
x
x
= −
= +
，故整数点只有
1
x = ，
1,2
2
0
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
2
a =
时，
1
2
2
2
0.586,
2
2
3.414
x
x
=
−
=
+
，故整数点有
1,
2,
3
x
x
x
=
=
=
，
3,2
2
2
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
3
a = 时，
1
2
3 2
3 2
3
0.879,
3
5.121
2
2
x
x
=
−
=
+
，故整数点有
1,
2,
3,
4,
5
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
，
5,2
2
4
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
4
a =
时，
1
2
4
2 2
1.172,
4
2 2
6.828
x
x
=
−
=
+
，故整数点有
2,
3,
4,
5,
6
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
，
5,2
2
6
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
5
a =
时，
1
2
5 2
5 2
5
1.465,
5
8.535
2
2
x
x
=
−
=
+
，故整数点有
2,
3,
4,
5,
6,
7,
8
x
x
x
x
x
x
x
=
=
=
=
=
=
=
，
7,2
2
8
m
a−
=
=
，
2
2
m
a−
；
综上所述，当
1,2,3
a =
时，
2
2
m
a
−；当
4
a
时，
2
2
m
a−
．
4．(1)
2
b =
；
3
c = −
(2)①点M 的横坐标为
5
2
−
，点N 的横坐标为1
2 ；②4
3
−+
或4
5
−+
5．(1)
3
y
x
=
−，点C不在直线PD 上
(2)t 的值为4
7
−
或4
(3) 2
−
6．(1)
2
1
2
4
y
x
x
=
+
+
(2)
(
)
2,5
E
(3) 1
2
7．(1)
4
y
x
=
(2)
1
PC
CQ = ，点Q 在抛物线上
8．(1)
2
1
3
2
2
2
y
x
x
= −
+
+
(2) 4 5
5
(3) 2
−或2
9．(1)
(3,3)
B
(2)直线AB 的函数表达式为：
3
21
4
4
y
x
−
=
+
；抛物线OCB 的函数表达式为：
2
4
y
x
x
= −
+
(3)1 km
10．(1)
(
)
2,0
−
，(
)
8,0
(2)
当
1
m = 时，
145
S
；当
1
5
m =
时，
145
S
11．(1) 1 9
,
2 4
(2)证明：
抛物线上的点(
)
0
0
,
P x y
在x 轴上方，
2
0
0
0
0
y
x
bx
c
−
=
+
+
，
2
0
0
0
c
x
bx
y
−
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
4
1
4
4
4
4
2
4
0
b
c
b
c
b
x
bx
y
x
b
y
−
−−
=
+
=
+
−
+
=
+
，
即方程
2
0
x
bx
c
−
+
+
=
有两个不相等的实数根，
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抛物线与x 轴有两个交点．
(3)CD和DE 的数量关系是CD
DE
=
，
证明：
抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点(
)
0,2
C
，如图，
故可设(
)
1,0
A x
，(
)
2,0
B x
，
1
2
x
x
，
则
1x ，
2x 是方程
2
2
0
x
bx
−
+
+
=
的两根，
由求根公式可得
2
1
8
2
b
b
x
+
+
=
，
2
2
8
2
b
b
x
−
+
=
，
又坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
=
=
，
由对称性可设
,
2
b
M
m
，
由勾股定理可得，
(
)
2
2
2
2
8
0
2
2
b
b
b
MA
m−
+
+
=
−
+
，
(
)
2
2
2
2
2
b
MC
m−
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
2
8
0
2
2
2
2
b
b
b
b
m
m
−
−
+
+
−
+
=
+
，
解得
1
2
m =
，
点M 的坐标为
1
,
2 2
b
，
直线
2
y
bx
=
+
与
1
y
bx
−
−
=
相交于点D ，
0
b
，
联立
2
1
y
bx
y
bx
−
−
=
+
=
，解得
3
2
1
2
x
b
y
−
=
=
，
点D 的坐标为
3
1
,
2
2
b
−
，
由
1
,
2 2
b
M
，
3
1
,
2
2
D
b
−
可知MD
CE
⊥
，
又
MC
ME
=
，
MD 垂直平分CE，
CD
DE
=
．
12．(1)
2
2
3
y
x
x
= −
−
+
(2) 2 5
5
(3) 25 2
8
13．(1)
3
m =
，
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+
(2)
14
1, 5
E
(3)存在，
11
2, 3
G
−
、
(
)
2,1
G −
、
(
)
2,2
G −
、
1
2, 3
G
−
14．(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
；
(2)①(
)
2,4
P
；②6；
(3)存在，Q 的坐标为(
)
3
2 3,2
3
+
+
，(
)
3
2 3,2
3
−
−
15．(1)直线
3
x = −
(2) 3 1
3
m
−
(3)3 3
16．(1) (
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
(2)①定点
(
)
1,0
F
；
如图，设直线l 与x 轴交于点F ，过点A 作AG
DE
⊥
，过点B 作BH
DE
⊥
，垂足分别为G 、H ．
∴
90
AGF
BHF
=
=
．
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又∵A、B 两点到直线l 的距离相等，
∴AG
BH
=
．
又∵
AFG
BFH
=
，
∴
(
)
AGF
BHF AAS
≌
．
∴AF
BF
=
，
即：点F 为AB 中点．
∵(
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
，
∴AB 中点
(
)
1,0
F
，
即直线l 过定点
(
)
1,0
F
；
②直线l 过定点(
)
1, 3
−
17．(1)点P 的坐标为(
)
1,4
−
；
(2)①c 的值为6；②c 的值为15 ．
18．(1)(
)
12,0 ，(
)
3, 3 3
−
(2)①
4 3
4 3
3
DF
t−
=
，3
6
t
；②
72 3
4 3
5
S
19．(1)
2
2
5
6
3
3
y
x
x−
=
+
(2)①8；②( 4, 2)
−−
(3) AE
CD
+
的最小值为13 5
4
，此时
9
4
p =
20．(1)
2
2
5
6
3
3
y
x
x
=
+
−
(2)①8；②
(
)
4
2
M −
−
，
(3)13
5
4
，
9
4
p =
21．(1)
1
k = ，点B 的坐标为(
)
2,4
(2)h 的取值范围是
1
2
h
(3)点E 的坐标为(
)
2,0 ，
2 2
k =
22．(1) (
)
1, 1
A −−
，
(
)
(
)
2
2
2
4 0
3
G
y
x
x
=
−
−
：
，(
)
2, 4
B
−
(2)①3
1
x
−
−或0
2
x
；②1
2
3
n
−
−
(3)①是；②
10
1
2
m = −−
或
10
1
5
m = −−
或
6
1
3
m = −+
23．(1)
0
6
m
n
=
=
；
(2)①线段OC 长度的最小值为11 ；②
6
2
y
x
=
．
24．(1)
2
2
y
x
x
−
−
=
+
(2)1
(3)存在，
6 104
,
7
49
Q
−
25．(1)
1
t = −
(2) MN 的最大值为19
4
(3)
5
2
t −
或
1
t
26．(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
(2)3 秒
(3)当
5
2
t =
时，四边形PCQB 的面积最大，最大面积为57
4
27．(1)
2
1
3
1
4
4
y
x
x
= −
+
+
(2)
3
2, 2
P
，9 2
4
(3)点M 的坐标为
1
1, 2
或(
)
14, 52
−
−
，
过程如下：
∵
2
2
1
3
1
3
25
1
4
4
4
2
16
y
x
x
x
= −
+
+ = −
−
+
，将抛物线沿射线CA 方向平移2 个单位长度得到抛物线y，
∴平移方式为将抛物线
2
1
3
1
4
4
y
x
x
= −
+
+ 向左平移1 个单位，向下平移1 个单位，
∴
2
2
2
1
3
25
1
1
9
1
1
1
1
1
4
2
16
4
2
16
4
4
2
y
x
x
x
x
= −
−
+
+
−
= −
−
+
= −
+
+
，
∵(
)
4,0
B
，点B 的对应点为F，
∴
(
)
4 1,0 1
F
−
−
，即
(
)
3, 1
F
−
，
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设直线BF 的解析式为y
mx
n
=
+
，
∴
0
4
1
3
m
n
m
n
=
+
−=
+
，解得
1
4
m
n
=
= −
，
∴直线BF 的表达式为
4
y
x−
=
，
∵直线y
x
=
在一三象限的角平分线上，与x 轴的夹角为45，
∴直线BF 与直线y
x
=
与x 轴所成的夹角相等，
∴
45
NBG
=
，
∴
180
45
135
HBN
=
−
=
，
情况1：
如图，取点
(
)
1,0
H
，当点N 在x 轴上方时，
∵(
)
1,0
A −
，(
)
0,1
C
∴
1
OA
OC
OH
=
=
= ，
∵AH
OC
⊥
，
∴
45
CAO
CHO
=
=
，
∴
135
CHB
HBN
=
=
，
90
ACH
=
，
∴
90
BCH
ACB
ACH
ACB
=
−
=
−
，
∵
90
ANB
ACB
=
−
，
∴
BCH
ANB
=
，
∴
CBO
BAN
=
，
∴
1
tan
tan
4
OC
CBO
BAN
OB
=
=
=
，
∵点N 在直线BF 上，
∴设
(
)
,
4
N n n−
，
∴
(
)
4
1
1
4
n
n
−
=
−−
，
解得
17
3
n =
，
∴
17 5
,
3
3
N
，
∵(
)
1,0
A −
，
∴可得直线AN 的表达式为
1
1
4
4
y
x
=
+
，
∴将
1
1
4
4
y
x
=
+
和
2
1
1
1
4
4
2
y
x
x
= −
+
+
联立得，
2
1
1
4
4
1
1
1
4
4
2
y
x
y
x
x
−
=
+
=
+
+
，
解得
1
1
2
x
y
=
=
，
1
0
x
y
= −
=
（舍去），
∴
1
1, 2
M
；
情况2：
如图，当点N 在x 轴下方时，
过点C 作CL
BC
⊥
交直线BF 于点L，CL与x 轴交点K，过点A 作AN
CL
∥
交直线BF 于点N，
设直线AC 的解析式为y
sx t
=
+ ，
∴
1
0
t
s
t
=
= −+
，解得
1
1
s
t
=
=
，
∴直线AC 的解析式为
1
y
x
=
+ ，
∵
1
AC
BF
k
k
=
= ，
∴AC
BF ，
∴
ACL
CLB
=
，
90
ACL
ACB
=
−
，
∵
90
ANB
ACB
=
−
，
∴
ANB
ACL
=
，
此时直线AN 与抛物线y的交点即为所求的M，
∵
90
CKO
KCO
KCO
OCB
OCB
CBO
+
=
+
=
+
=
，
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∴
CBO
KCO
=
，
在Rt CBO中，
1
tan
4
OC
CBO
OB
=
=
，
∴
1
tan
tan
4
KCO
CBO
=
=
，
∴
1
tan
4
OK
KCO
OC
=
=
，即
1
1
4
OK =
，
∴
1
4
OK =
，即
1 ,0
4
K
−
，
设直线CL的解析式为y
cx
d
=
+
，
将点C，K 分别代入得：
1
1
0
4
d
c
d
=
= −
+
，解得：
4
1
c
d
=
=
，
∴直线CL的解析式为
4
1
y
x
=
+ ，
∵AN
CL
∥
，
∴
4
AN
CL
k
k
=
=
，
设直线AN 的解析式为
4
y
x
e
=
+ ，
将点(
)
1,0
A −
代入，
4
e =
，
∴直线AN 的解析式为
4
4
y
x
=
+
，
将
4
4
y
x
=
+
和
2
1
1
1
4
4
2
y
x
x
= −
+
+
联立得，
2
4
4
1
1
1
4
4
2
y
x
y
x
x
−
=
+
=
+
+
解得
14
52
x
y
−
−
=
=
，
1
0
x
y
= −
=
（舍去），
∴
(
)
14, 52
M −
−
，
综上所述，点M 的坐标为
1
1, 2
或(
)
14, 52
−
−
．
28．(1) (
)
9,8.1
A −
，(
)
10,0
B
；
(2)能避开障碍物和暗礁；
(3) 41
21
4
2
p
．
29．(1) (
)
1,0
A −
，(
)
3,0
B
(2)
1
d = −
(3)证明：设直线MN 的解析式为y
kx
b
=
+
，点T 的横坐标为t ，则( ,
)
T t kt
b
+
，
PQ
y
∥
轴，
2
( ,
2
3)
P t
t
t
−
+
+
，
2
( ,
)
Q t t
pt
q
+
+
，
设
1
1
( ,
)
M x y ，
2
2
(
,
)
N x y
，
联立直线MN 与抛物线
1
C 得
2
2
3
kx
b
x
x
+
= −
+
+ ，
整理得：
2
(
2)
(
3)
0
x
k
x
b
+
−
+
−
=
，
M ，N 是直线与
1
C 的交点，
1x
，
2x 是该方程的两根，
(
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
1
2
2
3
2
3
P
T
PT
y
y
t
t
kt
b
t
k
t
b
t
x
t
x
=
−
= −
+
+ −
+
=
+
−
+
−
=
−
−
，
同理，联立直线MN 与抛物线
2
C 得
2
kx
b
x
px
q
+
=
+
+
，
整理得
2
(
)
(
)
0
x
p
k x
q
b
+
−
+
−
=
，
M ，N 也在抛物线
2
C 上，
1x
，
2x 也是该方程的两根，
(
) (
)
(
)
(
)
(
)(
)
2
2
1
2
Q
T
QT
y
y
t
pt
q
kt
b
t
p
k t
q
b
t
x
t
x
=
−
=
+
+
−
+
=
+
−
+
−
=
−
−
，
PT
QT
=
，
过点M 作MH
PQ
⊥
于点H ，则MH 是
PMT
△
和
QMT
△
的公共高，
1
2
PMT
S
PT MH
=
，
1
2
QMT
S
QT MH
=
，且PT
QT
=
，
PMT
QMT
S
S
=
，
同理，过点N 作NG
PQ
⊥
于点G ，可得
PNT
QNT
S
S
=
，
PMN
PMT
PNT
S
S
S
=
+
，
QMN
QMT
QNT
S
S
S
=
+
，
PMN
QMN
S
S
=
．
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30．(1)陌生；友好
(2)
3
x
−
或0
1
x
；
9
2
−
(3) 45
31．(1)
2
3
4
y
x
x
= −
+
+
(2) (
)
2,6
P
(3)
5 8
39
,
2
2
+
−
或
5 8
39
,
2
2
−
−
32．(1)
2
1
4
2
y
x
x
= −
+
+
(2) PE 的最大值为2，此时点P 的坐标为(
)
2,4
(3)(
)
5,2 或3
61
5
61
,
2
4
−
+
−
(4)5 2
33．(1)
2 5
AB =
(2)点P 的坐标为(
)
0, 5 或
5
0,
2
(3)是定值，
3
2
FG
GC =
34．(1)解：
2
4
4
y
x
x
=
−
+
与
2
2
y
x
x
−
=
+
互为“伴随对称抛物线”，
理由如下：
(
)
2
2
4
4
2
y
x
x
x−
=
−
+
=
的顶点为(
)
2,0 ，
将
2
x =
代入
2
2
y
x
x
−
=
+
中，得
2
2
2 2
0
y = −
+
=
，
即
2
2
y
x
x
−
=
+
经过(
)
2,0 ．
(
)
2
2
2
1
1
y
x
x
x
−
−
−
=
+
=
+ 的顶点为(
)
1,1 ，
将
1
x = 代入
2
4
4
y
x
x
=
−
+
中，得
21
4 1 4
1
y =
−+
= ，
即
2
4
4
y
x
x
=
−
+
经过(
)
1,1 ．
故
2
4
4
y
x
x
=
−
+
与
2
2
y
x
x
−
=
+
互为“伴随对称抛物线”．
(2)①
1
2
0
a
a
+
=
，证明如下：
∵
1
C ：
(
)
2
1
1
1
y
a
x
h
k
−
=
+
与
2
C ：
(
)
2
2
2
2
y
a
x
h
k
−
=
+
∴
(
)
1
1
1
,
A h k
，
(
)
2
2
2
,
A h k
，
∵若
1
C ：
(
)
2
1
1
1
y
a
x
h
k
−
=
+
与
2
C ：
(
)
2
2
2
2
y
a
x
h
k
−
=
+
互为“伴随对称抛物线”，
(
)
2
1
2
1
2
2
k
a
h
h
k
=
−
+
，
(
)
2
2
1
2
1
1
k
a h
h
k
=
−
+
，
两式相加得(
)(
)
2
1
2
1
2
0
a
a
h
h
+
−
=
．
1
2
h
h
，
1
2
0
a
a
+
=
．
②C 的对称中心为线段
1
2
A A 的中点；
③(
)(
)(
)
2
2
2
2
1
1
4
h
h
h
−
−
+
=
35．(1)
2,
8
m
n
= −
= −
(2)①
1
n −；②
1
2
3
4
2 2,
2 2,
2 6,
2 6
m
m
m
m
=
= −
=
= −
36．(1)抛物线的函数表达式为
2
2
1
y
x
x
= −
+
+ ，顶点坐标为(
)
1,2
(2)①3
6
p
②
25
4
h
③点M 的坐标为(
)
1
3, 1
−
−
或(
)
2
3,6 3
10
−+
−
37．(1)
2
3
3
6 3
12
2
y
x
x
= −
−
+
(2)①(
)
6,2 3
E −
；②3 5
3
−
38．(1)(
)
1, 1
−
−
，2π
(2)点F 的坐标为(
)
1, 3
−
(3)
1
1
4
2
t
−
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39．(1)
3
c = −
(2)(
)
1
2, 2
+
−
(3)①
(
)
(
)
2
3
6 0
1
2
4 1
3
t
t
t
f
t
t
+
−
=
−
；②
3
4
−
，1
3
2
−
，3
11
2
−+
