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专题31 锐角三角函数
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 正弦、余
弦和正切
基础核心考点，依托三角形、正方形、
菱形、圆等图形命题，考查三角函数
定义与边角换算，常结合旋转、对称
变换，以选填题为主，侧重定义灵活
运用。
融合几何变换创新，结合旋转、折叠
求三角函数值；新增镜面反射、光影
测量情境题型，弱化单纯公式计算。
考点02 特殊角的
三角函数
高频基础考点，常结合实数混合运算、
零指数幂、二次根式化简考查，也融
入几何角度计算，覆盖计算、化简求
值、不等式组综合题型。
跨题型融合创新，联动因式分解、分
式化简、不等式求解；多运算混合考
查，强化基础运算的综合性与严谨性。
考点03 解直角三
角形计算
中档重点考点，结合圆、正多边形、
图形旋转折叠命题，考查边长、角度、
面积计算，常结合内心、直径、垂直
平分线等几何性质综合设问。
几何深度融合，嵌套圆的性质、图形
变换；新增最值探究、阴影面积计算
题型，侧重辅助线构造与综合推理。
考点04 方向角问
题
实际应用高频考点，以航海、航行场
景为载体，结合双观测点、多船只航
行模型，考查方向角识别与直角三角
形建模求解。
情境复杂化，增设双动点、多路段航
行场景；结合速度、行程计算设问，
强化数学建模与实际问题转化能力。
考点05 坡度坡比
问题
应用型必考考点，聚焦坡道、河堤、
山路、桥梁等实景，考查坡角、坡比
换算与高度、距离计算，贴合生活工
程实际场景。
结合无障碍设施、基建工程命题，新
增方案设计、合规性判断题型，兼顾
计算与实际应用分析。
考点06 仰角俯角
问题
解答题核心考点，依托无人机测量、
古建筑测算、地标高度测量等场景，
考查仰俯角建模、分段测量计算，题
型经典且设问灵活。
融入传统文化、科技测量情境，新增
分段水准测量、双观测点差值计算，
结合项目式学习设问，创新题型呈现
形式。
考点07 三角函数
综合创新
压轴拓展考点，结合古算诗词、光学
反射、汽车转弯、抛物线模型等新颖
场景，考查三角函数综合运用与几何
跨学科、跨领域创新，融合物理光学、
生活实操、古法数学；新增动态最值、
动态探究。
范围探究、参数求解等高阶设问。
考点01 正弦、余弦和正切
1．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
5,
12
B
AB
BC
=
=
=
，点M 是边AC 的中点．将
ABC绕着点A 逆时针旋转到ADE 的位置，点D 恰好在边AC 上，点M 是点M 的对应点，则M
M
、
两
点间的距离为（ ）
A．2 5
B．2 13
C．4 5
D．4 13
【答案】B
【分析】过点M 作M N
AD
⊥
，由题意易得
2
2
13
AC
AB
BC
=
+
=
，则有
5
12
cos
,sin
13
13
AB
BC
BAC
BAC
AC
AC
=
=
=
=
，然后根据旋转的性质可知
13,
2
AM
AM
BAC
MAM
=
=
=
，进
而根据三角函数及勾股定理可进行求解．
【详解】解：过点M 作M N
AD
⊥
，如图所示：
∵
90 ,
5,
12
B
AB
BC
=
=
=
，
∴
2
2
13
AC
AB
BC
=
+
=
，
∴
5
12
cos
,sin
13
13
AB
BC
BAC
BAC
AC
AC
=
=
=
=
，
∵点M 是边AC 的中点，
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∴
1
13
2
2
AM
CM
AC
=
=
=
，
由旋转可知：
13,
2
AM
AM
BAC
MAM
=
=
=
，
∴
13
5
5
cos
,
sin
6
2
13
2
AN
AM
MAM
M N
AM
MAM
=
=
=
=
=
，
∴
4
MN
AM
AN
=
−
=
，
∴
2
2
2 13
MM
M N
MN
=
+
=
．
2．（2026·山东德州·中考真题）如图，在ABC中，
5
AB
AC
=
= ，
8
BC = ，则cosB的值为（）
A．3
5
B．4
5
C．3
4
D．5
4
【答案】B
【分析】过点A 作AM
BC
⊥
于M ，用等腰三角形三线合一的性质求出BM 的长，再根据锐角三角函数的定
义即可求解．
【详解】解：如图，过点A 作AM
BC
⊥
于M ，
5,
8
AB
AC
BC
=
=
=
，
1
4
2
BM
BC
=
=
，
在Rt
ABM
△
中，
4
cos
5
BM
B
AB
=
=
．
3．（2026·陕西·中考真题）如图，正方形ABCD和正方形CEFG，点E 在BC 的延长线上．若
2
CE
BC
=
，则
tan AFC
的值为（ ）
A．2
B．1
2
C．
5
5
D．2 5
5
【答案】B
【分析】设正方形ABCD的边长为a ，则
2
CE
a
=
，利用正方形性质求出AC 、CF 的长及
90
ACF
=
，在
Rt
ACF
△
中利用正切定义求解．
【详解】解：连接AC ，如图：
设BC
a
=
，
∵四边形ABCD和CEFG是正方形，
2
CE
BC
=
，
∴AB
BC
CD
DA
a
=
=
=
=
，
2
CE
EF
FG
GC
a
=
=
=
=
，
90
B
E
= =
，
∴
2
2
2
=
+
=
AC
AB
BC
a ，
2
2
2 2
CF
CE
EF
a
=
+
=
，
∵AC 、CF 分别是正方形ABCD、CEFG的对角线，
∴
45
ACD
=
，
45
GCF
=
，
∴
45
45
90
ACF
ACD
GCF
=
+
=
+
=
，
∴在Rt
ACF
△
中，
2
1
tan
2
2 2
AC
a
AFC
CF
a
=
=
=
．
4．
（2026·福建·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，BC 是
O 的切线，AC 交
O 于点D．若AD
CD
=
，
则tanA的值是（ ）
A．
2
2
B．1
C．2
D．2
【答案】B
【分析】连接BD ，根据切线的性质得出
90
ABC
=
，再由直角三角形斜边中线的性质确定AD
BD
CD
=
=
，
利用圆周角定理得出
90
ADB
=
，得出
45
A
ABD
=
=
，再由正切函数即可求解．
【详解】解：连接BD ，如图所示：
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∵BC 是
O 的切线，
∴
90
ABC
=
，
∵AD
CD
=
，
∴点D 为AC 的中点，
∴AD
BD
CD
=
=
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
=
，
∴
45
A
ABD
=
=
，
∴tan
1
A = ．
5．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，菱形ABCD中，
60
BCD
=
，
6
CD =
，点P 在边CD上，且
2
PC =
，
Q 为边BC 上的动点，点C 关于PQ 的对称点为C．若
C AD
△
、C BD
的面积分别记为
C AD
S
△
、
C BD
S
△
，则
C AD
C BD
S
S
−
△
△
的最大值为____．
【答案】6
【分析】根据
C AD
C BD
ABD
C BA
S
S
S
S
−
=
−
得出当
C BA
S
最小时，即
C G 最小时，
C AD
C BD
S
S
−
△
△
最大，再根据
PC
C G
PH
+
得出
3 3
2
C G
PH
PC
−
=
=
−
最小
，由此即可求解．
【详解】解：过点D 作DF
AB
⊥
，垂足为F ，过点P 作PH
AB
⊥
，垂足为H ，过点C作C G
AB
⊥
，垂足
为G ，
∵
C AD
C AB
ABD
C DB
S
S
S
S
+
−
=
，
∴
C AD
C BD
ABD
C BA
S
S
S
S
−
=
−
，
∵菱形ABCD中，
60
BCD
=
，
6
CD =
，
∴
6
AB
AD
CD
=
=
=
，
60
DAB
BCD
=
=
，
∴
sin
6sin60
3 3
DF
AD
DAB
=
=
=
，
∴
1
6 3 3
9 3
2
ABD
S
=
=
．
∴
9 3
C AD
C BD
C BA
S
S
S
−
=
−
，
又∵
1
1
6
3
2
2
C BA
S
AB C G
C G
C G
=
=
=
，
∴当
C BA
S
最小时，即
C G 最小时，
C AD
C BD
S
S
−
△
△
最大，
由对称可知：
2
PC
PC
=
=
，
∴C在以P 为圆心2 为半径的圆弧上运动，
∵PH
AB
⊥
，
∴PC
C G
PH
+
，
∴当C在线段PH 上时，
C G 取最小值，最小值C G
PH
PC
−
=
，
又∵AB CD ，
∴
3 3
PH
DF
=
=
，
∴
3 3
2
C G
PH
PC
−
=
=
−
最小
，
∴
C BA
S
的最小值
(
)
3
3
3 3
2
9 3
6
C G
=
=
−
=
−
，
∴
C AD
C BD
S
S
−
△
△
的最大值为
(
)
9 3
9 3
6
6
=
−
−
=
．
【点睛】解题关键是通过面积差的转化，得出
C AD
C BD
ABD
C BA
S
S
S
S
−
=
−
，将面积差最大问题转化为
C BA
S
最小，即
C G 最小．
6．（2026·广东·中考真题）在桌上放一块平面镜，让手电筒的一束光斜射到平面镜上，在墙壁上就会出现一
个明亮的光斑．如图，
1
2
= ，若
3
tan
4
AOD
=
，
8
OB = ，则BC = _____．
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【答案】6
【分析】根据余角的性质及已知条件
1
2
= 推导出
AOD
BOC
=
， 再根据锐角三角函数的定义在
Rt OBC 中计算BC 的长即可．
【详解】由题意可知，法线垂直于平面镜AB ，
∴
1
90
AOD
+
=
，
2
90
BOC
+
=
，
∵
1
2
= ，
∴
AOD
BOC
=
，
∵
3
tan
4
AOD
=
，
∴
3
tan
4
BOC
=
，
在Rt OBC 中，
90
OBC
=
，
8
OB = ，
∴
3
tan
8
4
BC
BC
BOC
OB
=
=
=
∴
6
BC =
．
7．（2026·上海·中考真题）在ABC中，
90
C
=
，
10
AB =
，
6
AC =
，则tanB的值为________．
【答案】3
4
【分析】先利用勾股定理求出直角边BC 的长度，再根据锐角三角函数中正切的定义计算即可．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
10
AB =
，
6
AC =
，
由勾股定理得
2
2
2
2
10
6
8
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
根据正切的定义，
6
3
tan
8
4
AC
B
BC
=
=
=
．
考点02 特殊角的三角函数
1．（2026·天津·中考真题）2sin30
cos45
−
的值等于（ ）
A．1
2
−
B．0
C．
2
1
2
−
D．2
【答案】B
【详解】解：2sin30
cos45
−
1
2
2
2
2
=
−
2
2
2
2
=
−
0
=
．
2．（2026·四川自贡·中考真题）如图，在
ABCD 中，
8
AB = ，
6
AD =
，
60
D
=
，
DAB
与
ABC
的角平
分线分别交CD于点E ，F ，AE 与BF 相交于点P ，连接CP ，则sin PCF
的值为（ ）
A．2
3
−
B．
3
3
C．
3
2
D．1
2
【答案】D
【分析】先由平行四边形性质及角平分线定义得出相关角度，进而由等边三角形的判定与性质得出ADE 是
等边三角形，确定
6
AE
DE
AD
=
=
=
，再结合含30直角三角形性质得出
2
PE
CE
=
=
，由等边对等角及外角
性质求出
30
PCF
=
，最后根据特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】解：在
ABCD 中，
60
D
=
，AB CD ，则
120
BAD
=
，
60
ABC
=
，
AE 平分
BAD
，
1
60
2
DAE
BAE
BAD
=
=
=
，
在
ABCD 中，AB CD ，则
60
DEA
BAE
=
=
，
8
DC
AB
=
=
，
在ADE 中，
60
D
DAE
AED
=
=
=
，则ADE 是等边三角形，
6
AE
DE
AD
=
=
=
，则
8 6
2
EC
DC
DE
=
−
= −=
，
BF 平分
ABC
，
1
30
2
ABF
CBF
ABC
=
=
=
，
在ABP 中，
60
PAB
=
，
30
PBA
=
，则
90
APB
=
，
在Rt APB 中，
30
ABP
=
，
8
AB = ，则
1
1
8
4
2
2
PA
AB
=
=
=
，
6 4
2
PE
AE
AP
=
−
= −=
，
2
PE
CE
=
=
，则
PCE
CPE
=
，
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PEF
是PEC 的一个外角，且
60
PEF
=
，
1
30
2
PCF
PEF
=
=
，
1
sin
sin30
2
PCF
=
=
．
3．（2026·四川乐山·中考真题）sin30= _________．
【答案】1
2
【分析】根据特殊角的三角函数值即可直接得到结果．
【详解】解：根据特殊角的三角函数值可知：
1
sin30
2
=
.
4．（2026·四川广元·中考真题）计算：9
2cos30
1
3
−
+ −
．
【答案】2
【分析】先计算算术平方根、特殊角的三角函数值并化简绝对值，再计算加减即可．
【详解】解：9
2cos30
1
3
−
+ −
3
3
2
( 3
1)
2
=
−
+
−
3
3
3 1
= −
+
−
2
=
．
5．（2026·北京·中考真题）计算：
(
)
0
3
18
π
n 45
5
6si
−
−
+
−
+
．
【答案】3
1
+
【详解】解：原式
2
3
3 2
1
6
2
=
−
+ +
3
1
=
+ ．
6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）计算、分解因式：
(1)计算：
2
0
1
|
3
2 |
tan60
(
3.1 )
3
π
4
−
−
+
−−
+
−
；
(2)分解因式：
3x y
xy
−
．
【答案】(1)
6
−
(2)
(
)(
)
1
1
xy x
x
−
+
【详解】（1）解：原式
2
3
3
9 1
=
−
+
−+
6
= −
（2）解：原式
2
(
1)
xy x
=
−
(
1)(
1)
xy x
x
=
+
−
7．（2026·四川自贡·中考真题）计算：
(
)
0
1
sin60
π
4
−
−+
−
．
【答案】0
【分析】先分别计算绝对值、零指数幂、算术平方根，再算加减法．任意非零数的零指数幂等于1．
【详解】解：
(
)
0
1
sin60
π
4
−
−+
−
1 1
2
= + −
0
=
．
8．（2026·广东·中考真题）计算：(
)
1
0
1
1
3
9
sin30
2
−
−
+ −
−
−
+
．
【答案】5
2
【详解】解：原式
1
1 3
3
2
2
= + −−
+
5
2
=
．
9．（2026·四川巴中·中考真题）计算：
(1)(
)
0
2026
π
12
6sin60
1
3
−
−
+
−−
；
(2)求不等式组
(
)
4
5
3
1
3
1
4
1
2
3
x
x
x
x
−
−
+
−
的解集；
(3)先化简
2
2
3
1
1
2
4
4
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
+
，然后从1、2、3 这三个数中选出合适的数代入求值．
【答案】(1)2
(2) 5
2
x
−
(3)
2
x−
，当
3
x = 时，值为1
【分析】（1）利用零指数幂性质，二次根式化简，特殊角三角函数值，绝对值性质分别化简各项，再合并
同类项得到最终结果．
（2）分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集．
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（3）根据分式混合运算法则化简原式，根据分式有意义的条件排除不符合要求的x ，将合适的x 代入得到
计算结果．
【详解】（1）解：(
)
0
2026
π
12
6sin60
1
3
−
−
+
−−
(
)
3
1 2 3
6
3
1
2
= −
+
−
−
2 3
3 3
3 1
1−
+
−
+
=
2
=
（2）解：
(
)
4
5
3
1
3
1
4
1
2
3
x
x
x
x
−
−
+
−
①
②
解不等式①得：
2
x
，
解不等式②得
5
x −，
∴不等式组的解集为5
2
x
−
．
（3）解：
2
2
3
1
1
2
4
4
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
+
2
2
3
2
1
2
2
4
4
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
=
−
−
−
−
+
2
2
3
2
1
2
(
2)
x
x
x
x
x
−−
+
−
=
−
−
2
1 (
2)
2
1
x
x
x
x
−
−
=
−
−
2
x
=
−
根据分式有意义的条件，可得
2
0
x −
，
1
0
x−
，即
2
x
且
1
x ．
∴代入
3
x = ，原式
3 2
1
= −= ．
10．（2026·四川凉山·中考真题）计算：(
)
(
)
2
2
1
1
1
2sin 45
2
1
2
−
−
+
−
−
+
+ −
．
【答案】3
【分析】原式先分别计算乘方、特殊角三角函数值、绝对值、负整数指数幂，再合并同类项得到最终结果．
【详解】解：(
)
(
)
2
2
1
1
1
2sin 45
2
1
2
−
−
+
−
−
+
+ −
(
)
2
1
1 2
2
1
4
2
= +
−
−
+
+
(
)
1
1
2
2
1
4
= + −
−
+
+
1
2 1
2 1 4
= +
−−
−+
3
= ．
11．（2026·四川甘孜·中考真题）计算及解不等式组
(1)计算：
(
)
0
2
2026
π
2cos45
−
+
−
−
．
(2)解不等式组：
2
1
1
3
3
2
x
x
x
x
−
+
−
①
②
【答案】(1)1
(2)2
3
x
【详解】（1）解：
(
)
0
2
2026
π
2cos45
−
+
−
−
2
2
1
2
2
=
+ −
2
1
2
=
+ −
1
= ；
（2）解：
2
1
1
3
3
2
x
x
x
x
−
+
−
①
②
解不等式①得
2
x
，
解不等式②得
3
x
，
∴原不等式组的解集为2
3
x
．
12．（2026·四川宜宾·中考真题）计算：
(1)
0
4
( 2
1)
tan45
−
+
+
；
(2)
1
1
1
1
1
x
x
x
x
−
+
+
−
．
【答案】(1)2
(2)
2
1
x +
【详解】（1）解：
0
4
( 2
1)
tan45
−
+
+
2 1 1
=
−+
2
=
；
（2）解：
1
1
1
1
1
x
x
x
x
−
+
+
−
(
)(
)
(
)(
)
1
1
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
−
+
−
=
+
+
−
+
−
13 / 82
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(
)(
)
1
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
−+
+
−
=
+
−
(
)(
)
1
2
1
1
x
x
x
x
x +
−
−
=
2
1
x
=
+ ．
13．（2026·四川内江·中考真题）按要求解答下列各题：
(1)计算：
(
)
(
)
0
2
2
3
1
2
tan45
−
−−
+
+ −
；
(2)化简：
b
a
a
b
b
a
−
−
+
．
【答案】(1)4
(2) 1
−
【详解】（1）解：
(
)
(
)
0
2
2
3
1
2
tan45
−
−−
+
+ −
2 1
4 1
=
−+
−
4
=
；
（2）解：
b
a
a
b
b
a
−
−
+
b
a
a
b
a
b
−
−
=
−
b
a
a
b
−
−
=
1
= −．
14．（2026·湖南·中考真题）计算：
2
2sin30
3
2
+ −+
．
【答案】8
【分析】分别计算出算式中每一项的结果，再进行加法运算即可得到最终答案．
【详解】解：
2
2sin30
3
2
+ −+
1
2
3
4
2
=
+ +
1 3 4
= + +
8
= ．
15．（2026·江苏扬州·中考真题）计算：
(1)
(
)
0
18
π
3
4sin45
−
−
−
；
(2) (
) (
)
2
9
3
a
a
b
a
+
−
．
【答案】(1) 2
1
−
(2)ab
【详解】（1）解：原式
2
3 2
1 4
2
=
−−
3 2 1 2 2
=
−−
2 1
=
−；
（2）解：原式
2
2
9
9
a
ab
a
−
=
+
ab
=
．
16．（2026·云南·中考真题）计算：
(
)
(
)
1
2
0
1
2
2sin 45
1
π
7
7
−
−
−
+
+
−
−
．
【答案】1
【分析】分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质，再进行加
减运算即可得到结果．
【详解】解：原式
2
2
2
7
1 7
2
=
−
+
+ −
2
2
7 1 7
=
−
+ + −
1
= ．
17．（2026·四川泸州·中考真题）计算：
1
0
1
4sin30
3
(π
2)
3
−
+
+
+
−−
．
【答案】
3
【分析】先利用特殊锐角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、绝对值的性质分别化简每一项，再进行
加减计算即可．
【详解】解：原式
1
1
1
4
1
2
3
3
=
+
+ −
1
1
2
1
3
3
=
+
+ −
3
= ．
18．（2026·四川成都·中考真题）计算、解不等式组：
(1)
1
1
8
2cos60
1
2 2
3
−
−
+
+
−
(2)
(
)
3
2
2
5
1
2
3
x
x
x
x
−
+
+
①
②
【答案】(1)3
15 / 82
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(2) 1
3
x
−
【分析】（1）根据负整数指数幂的法则、算术平方根的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的定义把算式
中各部分计算出来，再根据运算法则进行计算；
（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，找出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】（1）解：
1
1
8
2cos60
1
2 2
3
−
−
+
+
−
1
1
1
2 2
2
2 2
1
2
1
3
=
−
+
+
−
3 2 2 1 2 2 1
= −
+ +
−
3
= ；
（2）解：
(
)
3
2
2
5
1
2
3
x
x
x
x
−
+
+
①
②
，
解不等式①：(
)
3
2
2
5
x
x
+
+ ，
去括号得：3
6
2
5
x
x
+
+ ，
移项得：3
2
5 6
x
x
−
−，
合并同类项得：
1
x −，
解不等式②：
1
2
3
x
x
−
，
去分母得：(
)
3
1
2
x
x
−
，
去括号得：3
3
2
x
x
−
，
移项得：3
2
3
x
x
−
，
合并同类项得：
3
x ，
不等式组的解集为1
3
x
−
．
19．（2026·四川遂宁·中考真题）计算：
0
3 8
(π 1)
sin30
−
−
+
．
【答案】3
2
【详解】解：原式
1
3
2 1
2
2
=
−+
=
．
20．（2026·四川广安·中考真题）完成下列小题；
(1)计算：
(
)
(
)
0
2
1
2
2sin45
2
3
π
−
−
+ −
+
−
．
(2)先化简，再求值：
2
2
2
3
1
1
2
1
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
，其中
5
x = ．
【答案】(1)4
(2)化简为
1
x
x
+ ；值为6
5 ；
【详解】（1）解：
(
)
(
)
0
2
1
2
2sin45
2
3
π
−
−
+ −
+
−
2
2
1
2
4 1
2
=
−−
+
+
2 1
2
4 1
=
−−
+ +
4
=
；
（2）解：
2
2
2
3
1
1
2
1
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
(
)
(
)
2
3
2
1
1
1
1
x x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+
+
(
)
(
)
2
1
3
1
3
x
x
x
x x
+
+
=
+
+
1
x
x
+
=
，
当
5
x = 时，原式
5 1
6
5
5
+
=
=
．
21．（2026·四川达州·中考真题）计算
(
)
0
2sin30
2026
4
1
−
−
+
+ −．
【答案】3
【分析】本题考查实数的混合运算，用到特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、算术平方根、绝对值的
相关知识，分别计算各项后再合并即可得到结果．
【详解】解：原式
1
2
1
2 1
2
=
−+
+
1 1
2
1
= −+
+
3
= ．
考点03 解直角三角形的相关计算
1．（2026·山东德州·中考真题）如图，在圆心角为60 ，半径为R 的扇形纸片OAB 中，点O到AB 的距
离记为d ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为h ，下列关于d 和h 的大小关系正
确的是（ ）
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A．d
h
B．d
h
=
C．d
h
D．无法确定
【答案】A
【分析】分别根据等边三角形的性质求出d ，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，
再利用勾股定理求出h ，最后比较大小即可．
【详解】解：
扇形圆心角为60 ，半径为OA
OB
R
=
=
OAB
是等边三角形，
∴AB
R
=
，
60
OBA
=
过点O作OJ
AB
⊥
于点J ，
3
27
sin60
2
6
d
OJ
R
R
R
=
=
=
=
设圆锥底面半径为r
扇形弧长等于圆锥底面周长
60π
2π
180
R
r
=
1
6
r
R
=
，
圆锥如图，取底面圆的中点V ，连接OV ，
∵OM
ON
=
，
∴OV
MN
⊥
，
∴由勾股定理得：
2
2
2
2
2
1
35
35
(
)
6
36
6
h
R
r
R
R
R
R
=
−
=
−
=
=
27
35
27
35
6
6
R
R
d
h
．
2．（2026·云南·中考真题）在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
．若
2
BC =
，
6
tan
2
B =
，则AB = （ ）
A．1
3
B．
3
7
C．5
D．4
5
【答案】C
【分析】先根据正切定义求出直角边AC 的长度，再利用勾股定理计算AB 的长度即可．
【详解】解：
Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
2
BC =
，
6
tan
2
B =
，
6
tan
2
3
2
AC
B BC
=
=
=
，
由勾股定理得
(
)
(
)
2
2
2
2
3
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
+
=
，
故选：C．
3．（2026·四川广元·中考真题）如图，AB 为
O 的直径，点C 在
O 上，点E 为ABC 的内心，CE 的延长
线交
O 于点F ，连接AF ，若
5
AC = ，
13 2
2
AF =
，则CE 的长为（ ）
A．3 2
2
B．2 2
C．5
2
−
D．1
2
+
【答案】B
【分析】连接
,
,
AE BE BF ，则
90 ,
90
ACB
AFB
=
=
， 由内心的定义可得CF 平分
ACB
， 可得
45
ACF
BCF
=
=
， 进一步可证明AF
BF
=
，利用勾股定理可得
13,
12
AB
BC
=
=
，设ABC 的内切圆
半径为r ， 根据
ABC
ACE
ABE
CBE
S
S
S
S
=
+
+
，可求出
2
r =
， 过点E 作EG
AC
⊥
于点G ，则
2
EG =
，解直
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角三角形即可求出CE的长．
【详解】解：如图所示，连接
,
,
AE BE BF ，
AB 为
O 的直径，
90 ,
90
ACB
AFB
=
=
，
点E 为ABC的内心，
CF
平分
ACB
，
45
ACF
BCF
=
=
，
弧AF = 弧BF ，
AF
BF
=
，
在 Rt AFB 中，由勾股定理得
2
2
13 2
2
2
13
2
AB
AF
BF
AF
=
+
=
=
=
，
在 Rt ABC 中，由勾股定理得
2
2
2
2
13
5
12
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
；
设ABC的内切圆半径为r ，
点 E 为ABC的内心，
点E 到ABC的三边的距离都等于r ，
ABC
ACE
ABE
CBE
S
S
S
S
=
+
+
，
1
1
1
1
2
2
2
2
AC r
AB r
BC r
AC BC
+
+
=
，
1
1
1
1
5
13
12
5 12
2
2
2
2
r
r
r
+
+
=
，
2
r
=
；
如图所示， 过点E 作EG
AC
⊥
于点G ，
则
2
EG =
，
在Rt CGE中，
45
GCE
=
，
CGE
是等腰直角三角形 ，
2
2 2
sin
sin 45
EG
CE
GCE
=
=
=
．
4．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，ABC内接于
O ，
11
AB =
，
5
BC =
，
4
sin
5
B =
，则
O 的直径是( )
A．5 5
B．3 14
C．8 2
D．2 33
【答案】A
【分析】过点C 作CD
AB
⊥
于点D，连接AO并延长交
O 于点E，连接CE ，解直角三角形BCD求出CD和
BD ，继而求出AD ，从而用勾股定理求出AC ，再在直角三角形ACE 中利用
4
sin
sin
5
B
AEC
=
=
求出AE 即
可．
【详解】解：过点C 作CD
AB
⊥
于点D，连接AO并延长交
O 于点E，连接CE ，
∵CD
AB
⊥
，
4
sin
5
B =
，
5
BC =
，
∴
4
sin
5
4
5
CD
BC
B
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
=
=
5
4 = 3
BD
BC
CD
−
−
，
又∵
11
AB =
，
∴
11 3
8
AD
AB
BD
=
−
=
−= ，
∴
2
2
2
2
8
4
4 5
AC
AD
CD
=
+
=
+
=
，
∵AC
AC
=
，
∴
B
AEC
=
，
∴
4
sin
sin
5
B
AEC
=
=
，
∵AE 是直径，
∴
90
ACE
=
，
∴
4 5
4
sin
5
AC
AEC
AE
AE
=
=
=
，
21 / 82
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解得：
5 5
AE =
，即
O 的直径是5 5 ．
5．（2026·陕西·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
60
B
=
，
6
AB = ．BC 的垂直平分线交BC 于
点D ，交AC 于点E ，则DE 的长为（ ）
A．2
B．3
C．2 3
D．4 3
【答案】C
【分析】根据直角三角形两锐角互余得到
30
C
=
，则
2
12
BC
AB
=
=
，根据题意可得
90
EDC
=
，
1
6
2
CD
BC
=
=
，解直角三角形即可得到答案．
【详解】解：∵在Rt
ABC
△
中，
90
A
=
，
60
B
=
，
∴
90
30
C
B
=
−=
，
∴
2
12
BC
AB
=
=
；
∵BC 的垂直平分线交BC 于点D ，交AC 于点E ，
∴
90
EDC
=
，
1
6
2
CD
BC
=
=
，
∴
tan
6 tan30
2 3
DE
CD
C
=
=
=
．
6．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC中，AB
AC
=
，
120
BAC
=
．将线段AB 绕点A 按逆时针
方向旋转至AM（
BAM
是旋转角，且0
120
BAM
），连接BM ，CM ，作AN
CM
⊥
，垂足为N．用
等式表示线段BM ，CM ，AN 之间的数量关系为_______．
【答案】
2
2 3
CM
BM
AN
+
=
【分析】过点A 作AH
BM
⊥
于点H，延长BM 交AN 延长线于点E，可推得
60
HAE
=
，则
30
MEN
=
，
分别在Rt NME 和Rt HAE中，利用特殊角三角函数关系，找到
,
NE ME 与MN 关系，HE 与AE 之间的关系，
再利用等腰三角形的性质，转化成BM ，CM ，AN 之间的数量关系．
【详解】解：过点A 作AH
BM
⊥
于点H，延长BM 交AN 延长线于点E，
由题意，AB
AM
AC
=
=
，
∵AH
BM
⊥
，AN
CM
⊥
，
∴
1
1
,
2
2
MAH
BAM
NAM
MAC
=
=
，
1
1
,
2
2
HM
BM MN
CM
=
=
，
∴
(
)
1
1
60
2
2
HAE
MAH
NAM
BAM
MAC
BAC
=
+
=
+
=
=
，
∴在Rt NME 中，
30
MEN
=
，
∴
3
3
tan30
2
MN
NE
MN
CM
=
=
=
，
2
sin30
MN
ME
MN
CM
=
=
=
，
同理，在Rt HAE中，
30
MEN
=
，
3
cos30
2
HE
HM
ME
AE
AN
NE
+
=
=
=
+
，
∴2
2
3
3
HM
ME
AN
NE
+
=
+
，
∴
1
3
2
2
3
2
2
BM
CM
AN
CM
+
=
+
，
整理，得
2
2 3
CM
BM
AN
+
=
．
7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在等边ABC中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，
2
AB =
．将ADE
沿DE 翻折得到A DE
，若点A恰好落在边BC 上，则线段AD 长度的最小值为_________．
【答案】4 3
6
−
/ 6
4 3
−+
【分析】过点D 作DH
BC
⊥
于点H，则
90
BHD
=
．设AD
x
=
，则
2
BD
AB
AD
x
−
−
=
=
，
3
sin
3
2
DH
BD
B
x
=
=
−
，根据A D
DH
列出不等式，求解即可．
【详解】解：过点D 作DH
BC
⊥
于点H，则
90
BHD
=
．
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设AD
x
=
，则
2
BD
AB
AD
x
−
−
=
=
，
由折叠可得AD
AD
x
=
=
，
∵ABC是等边三角形，
∴
60
B
=
，
∴在Rt
BDH
△
中，
(
)
3
sin
2
sin60
3
2
DH
BD
B
x
x
−
=
=
=
−
，
∵在Rt A DH
中，A D
DH
，
∴
3
3
2
x
x
−
，解得
4 3
6
x
−
，
∴
4 3
6
AD
−
，
∴AD 的最小值为4 3
6
−
．
8．（2026·河北·中考真题）某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中AB CD ，BD
DE
⊥
于点D ，AC
DE
⊥
于点E ，若
60
BAC
=
，
4m
AB =
，则CE =_________ m ．
【答案】2
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得BD
AC ，结合已知AB CD 可判定四边形ABDC 为平
行四边形，从而得出CD
AB
=
；利用平行线的性质得出
DCE
BAC
=
，最后在Rt
CDE
△
中利用三角函数
求解CE的长，即可求解．
【详解】解：
BD
DE
⊥
，AC
DE
⊥
，
BD
AC
∥
，
又
AB
CD
∥
，
四边形ABDC 是平行四边形，
4m
CD
AB
=
=
，
AB
CD
∥
，
60
DCE
BAC
=
=
，
在Rt
CDE
△
中，
90
CED
=
，
60
DCE
=
，
1
cos60
4
2m
2
CE
CD
=
=
=
．
9．
（2026·四川甘孜·中考真题）如图，将边长为3 的正方形ABCD绕点A 逆时针旋转30，得到正方形AEFG ，
EF 交CD于点H ，则四边形ADHE 的面积为______．
【答案】3 3
【分析】连接AH ，根据旋转的性质可得AE
AD
=
，
90
E
D
=
=
，利用HL 证明Rt
Rt
AEH
ADH
≌
，
从而得出
EAH
DAH
=
，结合旋转角求出
DAH
的度数，在Rt ADH 中利用三角函数求出DH 的长，最
后根据四边形面积等于两个三角形面积之和求解即可.
【详解】解：连接AH ，
四边形ABCD是边长为3 的正方形，
3
AB
AD
=
=
，
90
BAD
D
=
=
，
由旋转的性质可知：
3
AE
AB
=
= ，
30
BAE
=
，
90
AEF
B
=
=
，
点H 在EF 上，
90
AEH
=
，
AE
AD
=
，
90
AEH
D
=
=
，
90
BAD
=
，
30
BAE
=
，
90
30
60
DAE
BAD
BAE
=
−
=
−
=
；
在Rt AEH 和Rt ADH 中，
{𝐴𝐻= 𝐴𝐻
𝐴𝐸= 𝐴𝐷，
∴
(
)
Rt
Rt
AEH
ADH HL
≌
，
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1
30
2
EAH
DAH
DAE
=
=
=
，
在Rt ADH 中，tan
DH
DAH
AD
=
，
3
tan30
3
3
3
DH
AD
=
=
=
，
四边形ADHE 的面积
2
AEH
ADH
ADH
S
S
S
=
+
=
1
2
2 AD DH
=
3
3
=
3 3
=
.
10．（2026·四川广元·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
3
AC = ，
4
BC =
，点D ，E ，F 分别
在AB ，AC ，BC 边上，连接DE ，DF ，EF ，若
90
EDF
=
，AD
AE
=
，则EF 的最小值为__________．
【答案】6 5
5
【分析】勾股定理求得
5
AB = ，设
2
BAC
=
，延长CA 至H 使得
5
AH
AB
=
=
，则
1
2
H
ABH
CAB
=
=
=
，进而求得
5
sin
5
=
，取EF 的中点G ，连接
,
,
AG CG DG ，根据直角三角形中
斜边上的中线等于斜边的一半，垂直平分线的性质与判定，三线合一，得出
1
,
2
DG
EG CG
EF
=
=
，可得G 点
在
CAB
的角平分线上，CG
AG
⊥
时，CG 最小，此时EF 最小，进而解Rt ACG 求得CG 的最小值，即可
求解．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
3
AC = ，
4
BC =
，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
=
+
=
，
设
2
BAC
=
，
如图，延长CA至H 使得
5
AH
AB
=
=
，则
1
2
H
ABH
CAB
=
=
=
，
∴
3 5
8
HC
AC
AH
AC
AB
=
+
=
+
= + = ，
2
2
2
2
4
8
4 5
HB
BC
CH
=
+
=
+
=
，
∴
4
5
sin
sin
5
4 5
BC
H
HB
=
=
=
=
，
如图，取EF 的中点G ，连接
,
,
AG CG DG ，
∴
1
,
2
DG
EG CG
EF
=
=
，
又∵AD
AE
=
，
∴AG垂直平分DE ，AG是
CAB
的角平分线，
∴G 点在
CAB
的角平分线上，CG
AG
⊥
时，CG 最小，此时EF 最小，
∴此时
3 5
sin
5
CG
AC
=
=
，
∴
min
6 5
5
EF
=
.
11．（2026·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E 为CD边上一点，连接AE ，BE ．若
4
AB =
，
1
tan
4
DAE
=
，则BE = ___________．
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【答案】5
【分析】根据正方形的性质可得AB
BC
CD
AD
=
=
=
，根据
1
tan
4
DAE
=
可求得DE ，进而可求得CE ，根据
勾股定理即可求得BE ．
【详解】解：
在正方形ABCD中，
4
AB =
，
4
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
，
90
C
D
=
=
，
1
tan
4
DAE
=
，即
1
4
DE
AD =
，
1
DE
= ，
3
CE
CD
DE
=
−
= ，
Rt
CBE
△
中，
2
2
2
2
3
4
5
BE
BC
CE
=
+
=
+
= ．
12．（2026·四川达州·中考真题）如图，已知正六边形ABCDEF 的中心为O、边心距
3
OM =
，分别以F 、
C 为圆心，以正六边形的边长为半径画弧，与正六边形的边AB ，DE 所围成的阴影部分面积是________．
【答案】
8
6 3
3
−
【分析】连接AD 、BE 、CF ，由题意可得AD 、BE 、CF 交于点O，得出ODE 是等边三角形，利用等
边三角形的性质和三角函数可计算出
2
DE =
．由正多边形的内角公式可得
120
BCD
AFE
=
=
，用正六边
形的面积减去两个扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
【详解】解：如图，连接AD 、BE 、CF ，
在正六边形ABCDEF 中，
(
)
6
2
180
120
6
BCD
AFE
−
=
=
=
，AF
BC
DE
=
=
，
∵点O为正六边形ABCDEF 的中心，
∴AD 、BE 、CF 交于点O，
∴
360
6
60 ,
DOE
DO
EO
=
=
=
，
∴ODE 是等边三角形，
∴DE
OD
=
，
60
ODE
=
，
根据题意，OM
DE
⊥
，
在Rt ODM 中，
3
2
sin ∠
sin 60
OM
OD
ODE
=
=
=
，
∴
2
AF
BC
DE
OD
=
=
=
=
，
∵
正六边形
△
1
6
6
6 3
2
ABCDEF
ODE
S
S
DE
OM
=
=
=
，
∴
阴影
正六边形
扇形
扇形
ABCDEF
FAE
CBD
S
S
S
S
=
−
−
2
2
120π 2
120π 2
6 3
360
360
=
−
−
4
4
6 3
3
3
=
−
−
8
6 3
3
=
−
．
13．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，四边形ABCD内接于
O ，AC 为
O 的直径，点E 在AC 的
延长线上，且
90
CDE
ABD
+
=
．
(1)求证：DE 是
O 的切线；
(2)若
8
CE = ，
12
DE =
，
1
sin
2
BAC
=
，求阴影部分的面积．
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【答案】(1)证明：连接OD
OC
OD
=
，
ODC
OCD
=
．
ABD
OCD
=
，
ODC
ABD
=
．
90
CDE
ABD
+
=
，
90
CDE
ODC
+
=
，即
90
ODE
=
．
OD
DE
⊥
OD 为
O 的半径，
DE
是
O 的切线；
(2) 25
25
π
3
3
4
−
【分析】
（1）先利用等腰三角形的性质和圆周角定理得到
ODC
ABD
=
，结合已知条件得到
90
ODE
=
，
即OD
DE
⊥
，根据切线的判定可证得结论；
（2）连接OB ，设
O 的半径为x ，则OD
OC
x
=
=
，
8
OE
OC
CE
x
=
+
=
+ ．在Rt ODE中，利用勾股定理
求得
5
x = ，则
2
10
AC
x
=
=
．利用特殊角的三角函数值求得
30
BAC
=
．根据圆周角定理求得
2
60
BOC
BAC
=
=
，
90
ABC
=
，则
120
AOB
=
，根据含30 度角的直角三角形的性质求得
1
25
3
2
4
OAB
ABC
S
S
=
=
，然后利用扇形面积公式及
OAB
OAB
S
S
S
=
−
阴影
扇形
求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接OB ，
设
O 的半径为x ，则OD
OC
x
=
=
，
8
OE
OC
CE
x
=
+
=
+ ．
在Rt ODE 中，
2
2
2
OD
DE
OE
+
=
，
2
2
2
12
(
8)
x
x
+
=
+
，解得
5
x = ，
2
10
AC
x
=
=
．
1
sin
2
BAC
=
，
30
BAC
=
．
2
60
BOC
BAC
=
=
．
180
120
AOB
BOC
=
−
=
，
AC 是
O 的直径，
90
ABC
=
，
1
5
2
BC
AC
=
=
．
2
2
2
2
10
5
5 3
AB
AC
BC
=
−
=
−
=
．
1
1
25
5 3 5
3
2
2
2
ABC
S
AB BC
=
=
=
△
．
1
2
OA
AC
=
，
1
25
3
2
4
OAB
ABC
S
S
=
=
△
△
．
∴
2
120
5
25
25
25
3
π
3
360
4
3
4
π
OAB
OAB
S
S
S
=
−
=
−
=
−
△
阴影
扇形
．
14．（2026·广西·中考真题）如图1，O 是锐角三角形ABC 的外接圆，
45
BAC
=
，
2
BC =
，BD
AC
⊥
于
点D ．
(1)求证：OD平分
ADB
；
(2)如图2，若以O为圆心，OD为半径的圆与BC 相切于点E ，求AC 的长及
CBD
的度数．
【答案】(1)证明：连接OA，OB ，
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BD
AC
⊥
，
45
BAC
=
，
90
45
ABD
BAC
BAC
=
−
=
=
，
DA
DB
=
，
OA
OB
=
，DO
DO
=
，DA
DB
=
，
(
)
SSS
DOA
DOB
≌
，
ADO
BDO
=
，
OD
平分
ADB
；
(2)
6
AC =
，
15
CBD
=
【分析】（1）连接OA，OB ，证明
(
)
SSS
DOA
DOB
△
≌△
即可；
（2）连接OB ，OC ，OE ，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，根据圆周角定理先确定BOC 为等腰直角三角形，
45
OCB
OBC
=
=
，然后解Rt
BOC
△
求出OC ，再由圆的切线的性质求解OD
OE
=
，再解Rt ODF 求出
OF ，解Rt OCF 求出
OCF
，CF 最后根据垂径定理以及角度和差计算即可．
【详解】（1）略
（2）解：连接OB ，OC ，OE ，过点O作OF
AC
⊥
于点F ，
45
BAC
=
，
2
90
BOC
BAC
=
=
，
OB
OC
=
，
BOC
为等腰直角三角形，
45
OCB
OBC
=
=
，
2
sin 45
2
2
2
OC
OB
BC
=
=
=
=
，
以O为圆心，OD为半径的圆与BC 相切于点E ，
OE
BC
⊥
，
OEB
，OEC均为等腰直角三角形，
1
1
2
OE
EC
BE
BC
=
=
=
= ，
1
OD
OE
=
= ，
BD
AC
⊥
，OD平分
ADB
，
45
ODF
ODB
=
=
，
OF
AC
⊥
，
ODF
为等腰直角三角形，
2
2
sin 45
1
2
2
OF
OD
=
=
=
，
2
1
2
sin
2
2
OF
OCF
OC
=
=
=
，
(
)
2
2
2
2
2
6
2
2
2
CF
OC
OF
=
−
=
−
=
，
30
OCF
=
，
OF
AC
⊥
，
2
6
AC
CF
=
=
，
30
OCF
=
，
45
OCB
=
，
30
45
75
ACB
OCF
OCB
=
+
=
+
=
，
BD
AC
⊥
，
90
15
CBD
ACB
=
−
=
．
15．（2026·新疆·中考真题）如图，ABC内接于
O ，AD 平分
BAC
交
O 于点D，连接BD ，CD，经过
点D 的直线与AB 的延长线相交于点E，且
1
2
BDE
BAC
=
．
(1)求证：DE 是
O 的切线；
(2)如果点I 是ABC的内心，
12
tan
5
BAC
=
，
24
BC =
，求DI 的值．
【答案】(1)证明：连接DO 并延长交
O 于点F ，连接BF ，
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∵BD
BD
=
∴1
3
=
∵DF 是直径，
∴
90
FBD
=
∴1
2
90
+=
∵AD 平分
BAC
∴
1
3
2
BAC
=
∵
1
2
BDE
BAC
=
，
∴
3
BDE
=
∴
1
BDE
=
∴
2
90
BDE
EDF
+=
=
∵OD是半径，
∴DE 是
O 的切线；
(2) 4 13
【分析】（1）连接DO 并延长交
O 于点F ，连接BF ，由圆周角定理得到1
3
= ，
90
FBD
=
，则
1
2
90
+=
，由角平分线得到
1
3
2
BAC
=
，结合已知条件可得
3
BDE
=
，继而等量代换证明即可；
（2）连接
I, I,
,
,
B C OB OC OD ，OD交BC 于点M ，先由圆周角定理得到证明
4
5
= ，根据垂径定理的推
论可得OD
BC
⊥
，
1
2
BM
CM
BC
=
=
，再证明
BOM
BAC
=
，解Rt
BOM
△
求出OM ，OB ，即可求解DM ，
BD ，再由内心的性质导角证明DI
DB
=
．
【详解】（1）略
（2）解：连接
I, I,
,
,
B C OB OC OD ，OD交BC 于点M ，
∵AD 平分
BAC
∴
BAD
CAD
=
，
∴BD
CD
=
，
∴
4
5
= ，
∵DO 是半径，
∴OD
BC
⊥
，
1
1
24
12
2
2
BM
CM
BC
=
=
=
=
，
∵OB
OC
=
∴
2
BOC
BOM
=
∵
2
BOC
BAC
=
，
∴
BOM
BAC
=
∵
12
tan
5
BAC
=
∴
12
12
tan
5
BM
BOM
OM
OM
=
=
=
∴
5
OM =
∴
2
2
13
OB
OM
BM
=
+
=
∴
13
OD =
∴
8
DM
OD OM
−
=
=
∴
2
2
2
2
12
8
4 13
BD
BM
DM
=
+
=
+
=
，
∵点I 是ABC的内心，
∴
ABI
CBI
=
∵BD
BD
=
∴
5
BAD
=
∴
4
BAD
=
∵
I
4
I,
6
I
DB
CB
BAD
AB
= +
=
+
∴
I
6
DB
= ，
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∴
I
4 13
D
DB
=
=
．
考点04 方向角问题
1．（2026·新疆·中考真题）如图，甲、乙两艘货船分别从港口A 和港口B 同时出发向港口C 直线航行运送
货物．已知港口A 位于港口B 北偏西18.4的方向上，港口C 位于港口A 北偏东53的方向上，
100 10
AB =
海里，
500
AC =
海里，甲船航行速度为10 海里/时，乙船的航行速度大约是多少海里/时，甲、乙两船可以
同时到达港口C（结果保留根号）．
（参考数据：sin53
0.80
，cos53
0.60
，tan53
1.33
，
10
sin18.4
10
，
3 10
cos18.4
10
，
1
tan18.4
3
）
【答案】6 5 海里/时
【分析】根据题意构建直角三角形，利用已知角度的正弦值和余弦值，分别求出BD ，ED ，EF ，CF 的长
度，最后根据勾股定理即可求出BC 长度，利用时间相同求出乙船的时间，即可求出乙船的速度．
【详解】解：过点B 的正北方向作BF
CF
⊥
于点F ，交AC 于点E ，过点A 作AD
BF
⊥
于点D ，设A 的正
北方向上一点G ，如图所示，
90
ADB
ADE
CFE
=
=
=
，DF
AG ，
53
GAE
AED
CEF
=
=
=
．
10
sin18.4
10
，
3 10
cos18.4
10
，
100 10
AB =
海里，
500
AC =
海里，
在Rt ADB中，
10
sin18.4
10
100 10
AD
AD
AB
=
=
，
3 10
cos18.4
10
100 10
BD
BD
AB
=
=
，
100
AD
=
海里，
300
BD =
海里．
sin53
0.80
，cos53
0.60
，
在Rt
ADE
△
中，
100
sin53
0.80
AD
AE
AE
=
=
，则
125
AE =
海里，
cos53
0.60
125
ED
ED
AE
=
=
，则
75
ED =
海里．
500
AC =
海里，
500 125
375
EC
AC
AE
−
=
=
−
=
海里，
在Rt
CFE
△
中，sin53
0.80
375
CF
CF
CE
=
=
，则
300
CF =
海里，
cos53
0.60
375
EF
EF
CE
=
=
，则
225
EF =
海里．
300 75 225
600
FB
BD
DE
EF
=
+
+
=
+
+
=
海里，
在Rt
CFB
△
中，
2
2
2
2
300
600
300 5
BC
CF
FB
=
+
=
+
=
海里．
500
AC =
海里，甲船航行速度为10 海里/时，甲和乙的行驶时间相同，
500
50
10
t
t
=
=
=
乙
甲
小时，
300 5
BC =
海里，
300 5
6 5
50
V
=
=
乙
海里/时．
乙船的航行速度大约是6 5 海里/时，甲、乙两船可以同时到达港口C．
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题，涉及到正弦和余弦值，勾股定理，解题的关键在于利
用方向构建直角三角形．
2．（2026·安徽·中考真题）湖中有两个小岛，分别用点A ，B 表示，B 在A 的北偏东37方向上．为了测量A ，
B 间的距离，综合实践小组在观测点C 处测得A 在C 的正北方向，沿着北偏东56方向行走至另一观测点D ，
测得A 在D 的正西方向，B 在D 的北偏西53方向上，平面示意图如图所示．已知C ，D 间的距离为660 m ，
求A ，B 间的距离（精确到0.1m ）．参考数据：sin56
0.83
，cos56
0.56
，sin53
0.80
，cos53
0.60
，
sin37
0.60
，cos37
0.80
．
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【答案】A ，B 间的距离约为328.7m
【分析】由题意可得
90
CAD
=
，结合三角形的内角和定理可得
90
ABD
=
，解Rt CAD可得AD 的长，
解Rt ABD可得AB 的长．
【详解】解：由题意可得
90
CAD
=
，
90
37
53
BAD
=
−
=
，
90
53
37
BDA
=
−
=
，
660
CD
m
=
，
180
37
53
90
ABD
=
−
−
=
，
在Rt CAD中，
56
ACD
=
，sin56
0.83
，
0
0.83
sin
66
AD
AD
ACD
CD
=
=
，
( )
0.83 660
547.8
AD
m
=
，
在Rt ABD中，
37
BDA
=
，sin37
0.60
，
sin
0.60
AB
BDA
AD
=
，
( )
( )
0.60
0.60 547.8
328.68
328.7
AB
AD
m
m
=
=
，
A
，B 间的距离约为328.7m ．
3．（2026·四川泸州·中考真题）如图，某海岸线上有一观测点A ，在点A 的正东方向上有两个观测点C ，D ，
且A ，C 相距20nmile ．某日上午8 点，测得一艘轮船位于点A 的北偏西30方向上的B 处，且与A 相距
20nmile ，并沿固定方向匀速行驶，上午12 点测得该轮船位于点C 的北偏东30方向上的E 处，且C ，E 相
距60nmile ，此时点D 到E 的距离是D 到C 的距离的2 倍．
(1)求该轮船的航行速度；
(2)求点D ，E 间的距离（计算过程和结果中的数据不取近似值）．
【答案】(1)该轮船的航行速度为10 3
/
nmile h
(2)点D ，E 间的距离为(
)
20 13
20 nmile
−
.
【分析】（1）易得ABC为顶角为120 度的等腰三角形，BCE 为直角三角形，作AF
BC
⊥
，三线合一结
合勾股定理求出BC 的长，勾股定理求出BE 的长，再利用速度等于路程除以时间进行求解即可；
（2）作DH
CE
⊥
于点H ，设
2
CD
x
=
，则
4
DE
x
=
，分别解Rt CHD和Rt EHD，即可.
【详解】（1）解：由题意，得
20,
60,
90
30
120 ,
AB
AC
CE
BAC
=
=
=
=
+
=
∴
30
ABC
ACB
=
=
，
∵上午12 点测得该轮船位于点C 的北偏东30方向上的E 处，
∴
90
30
90
BCE
ACB
=
−
+
=
作AF
BC
⊥
于点F ，
则
2
BC
BF
=
，
在Rt ABF 中，
cos30
10 3
BF
AB
=
=
，
∴
20 3
BC =
，
在Rt ECB 中，由勾股定理，得
2
2
40 3
BE
BC
CE
=
+
=
，
故该轮船的航行速度为
(
)
(
)
40 3
12 8
10 3
/
nmile h
−
=
；
答：该轮船的航行速度为10 3
/
nmile h；
（2）解：作DH
CE
⊥
于点H ，
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∵点D 到E 的距离是D 到C 的距离的2 倍，
∴设
2
CD
x
=
，则
4
DE
x
=
，
在Rt CDH 中，
180
30
90
60
DCH
=
−
−
=
，
∴
cos60
,
sin60
3
CH
CD
x DH
CD
x
=
=
=
=
，
∴
60
EH
CE CH
x
=
−
=
−，
在Rt EHD中，由勾股定理，得
2
2
2
DE
EH
DH
=
+
，
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
4
3
60
x
x
x
=
+
−
，
解得
5 13
5
x =
−或
5 13
5
x = −
−（舍去）；
∴
(
)
4 5 13
5
20 13
20
DE =
−
=
−
；
故点D ，E 间的距离为(
)
20 13
20 nmile
−
.
考点05 坡度坡比问题
1．（2026·贵州·中考真题）项目课题：设计无障碍坡道．
项目情境：国家标准《无障碍设计规范》：不设扶手的平坡出入口地面坡度不应大于1:20．如图①是小红所
在学校的无障碍坡道．
=
坡面的铅直高度
坡度
坡面的水平宽度
项目实施：已知，无障碍坡道的水平宽度
4.8
AC =
米，坡角
14
BAC
=
．为检测该坡道是否符合国家标准，
小红抽象出坡道的示意图如图②所示，并进行计算和设计．
任务：
(1)如图②，根据已知数据，求出铅直高度BC 的值，请帮小红判断该坡道是否符合标准要求，并说明理由；
(2)如图③，受地面条件限制，该坡道CA方向能用的水平宽度只有20 米．小红设计了一个“回转坡道”的方
案示意图：在F 处安装支柱
0.8
DF =
米，在E 处留
2
EC =
米的通道，入口为点E ，经过两个坡道ED 与DB
再到达点B ，且
16
EF =
米．在满足地面限制条件下，小红设计的方案图是否符合标准？如果符合，请说明
理由：如果不符合，请提出修改建议．（参考数据：tan14
0.25
，sin14
0.24
，cos14
0.97
）
【答案】(1)该坡道不符合标准要求，理由如下：
在Rt
ABC
△
中，tan
BC
BAC
AC
=
，
∴tan14
0.25
4.8
BC
=
,
解得
( )
1.2 m
BC
，
而1.2
1
5
1
4.8
4
20
20
=
=
，
∴该坡道坡度大于国家标准，不符合标准要求；
(2)小红设计的方案图符合标准，理由如下：
过点D 作DG
BC
⊥
于点G ，
由题意得，在Rt EDF 中，
0.8m
DF =
，
16m
EF =
，
∴
0.8
1
tan
16
20
DF
DEF
EF
=
=
=
，
∴坡道ED 符合标准；
∵
90
F
C
DGC
=
=
=
，
∴四边形DFCG是矩形，
∴
0.8m
CG
DF
=
=
，
( )
16
2
18 m
DG
CF
EF
CE
=
=
+
=
+
=
，
∴
( )
1.2
0.8
0.4 m
BG
BC
CG
=
−
=
−
=
，
∴在Rt
BDG
△
中，
0.4
1
1
tan
18
45
20
BG
BDG
DG
=
=
=
，
∴坡道DB 符合标准，
又∵
18
20
CF =
，满足地面要求，
∴小红设计的方案图符合标准．
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【分析】（1）根据坡度的定义解Rt
ABC
△
求BC ，然后比较14的坡度与国家标准即可；
（2）过点D 作DG
BC
⊥
于点G ，分别在Rt EDF 、Rt
BDG
△
中求出坡道ED 、DB 的坡度，再比较CF 的
长度与20m的大小即可．
【详解】（1）略
（2）略
2．（2026·四川巴中·中考真题）“观四龛福城，赏巴河逐浪”，“光雾山杯”2026 年国际划联皮划艇马拉松世界
杯于5 月23 日在巴河之畔举行．一架无人机在巴河河堤上N 点处竖直升空，当升至距地面15m的空中P 点
时，测得C 点正前方的河面上两艘皮划艇A 和B 的俯角分别为42.3和52.4（点M、C、B、A 在一条直线
上）．已知河堤斜坡NC 的长为12m ，坡比为1:
3 （计算结果保留整数）．（参考数据：sin42.3
0.67
，
cos42.3
0.74
，tan42.3
0.91
，sin52.4
0.79
，cos52.4
0.61
，tan52.4
1.30
）
(1)求无人机距河面的高度PM ；
(2)求两艘皮划艇之间的距离AB ．
【答案】(1)21m
(2) 7m
【分析】（1）由题意得：
15m
PN =
，
3
tan
,
3
MCN
PM
AM
=
⊥
，则有
30
MCN
=
，然后根据三角函数
可进行求解；
（2）由题意得：
52.4 ,
42.3
PBM
PAM
=
=
，
21m
PM =
，然后根据三角函数进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
15m
PN =
，
3
tan
,
3
MCN
PM
AM
=
⊥
，
∴
30
MCN
=
，
∵
12m
NC =
，
∴
sin30
6m
MN
NC
=
=
，
∴
21m
PM
PN
MN
=
+
=
；
答：无人机距河面的高度PM 的长为21m
（2）解：由题意得：
52.4 ,
42.3
PBM
PAM
=
=
，
由（1）可知：
21m
PM =
，
在Rt PMB 中，
21
16.2m
tan52.4
1.30
PM
BM =
，
在Rt
PMA
△
中，
21
23.1m
tan 42.3
0.91
PM
AM =
，
∴
6.9
7m
AB
AM
BM
=
−
=
；
答：两艘皮划艇之间的距离AB 的长为7m ．
3．（2026·四川凉山·中考真题）如图是某高速公路悬索桥，为测量索塔的高度，从与索塔MN 相距300 米的
点A 观测塔顶M 的仰角为30，斜面AN 的坡度
1:5
i =
，点A，B，C，M，N 在同一平面内，AB 是桥面，CN
是水平线，AB CN ，AB
MN
⊥
．（计算结果均保留根号）
(1)求索塔桥面以上部分MB 的高度；
(2)求索塔MN 的高度．
【答案】(1)100 3 米
(2)(
)
100 3
60
+
米
【分析】（1）由题意得，
300
AB =
米，
90
ABM
ABN
=
=
，
30
BAM
=
，然后根据tan
MB
BAM
AB
=
求
解即可；
（2）作AQ
CN
⊥
于点Q，则四边形ABNQ 是矩形，根据斜面AN 的坡度
1:5
i =
，求出
60
AQ =
米即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，
300
AB =
米，
90
ABM
ABN
=
=
，
30
BAM
=
，
∵tan
MB
BAM
AB
=
，
∴
tan30
300
100 3
MB =
=
（米）；
（2）解：如图，作AQ
CN
⊥
于点Q，则四边形ABNQ 是矩形，
∴AQ
BN
=
，
300
NQ
AB
=
=
米，
∵斜面AN 的坡度
1:5
i =
，
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∴
1
300
5
AQ
AQ
NQ =
=
，
∴
60
AQ =
（米），
∴
60
BN =
米，
∴
(
)
100 3
60
MN
BM
BN
=
+
=
+
米．
4．（2026·四川达州·中考真题）在某次“重走革命先辈路”的主题教育活动中，九（6）班同学需要翻越一座
小山．他们由山脚A 处出发，先沿坡角为42的山坡行走300m到达B 处，再沿坡角为30的山坡行走200m
到达山顶C 处．估计这座小山的高度．（参考数据：sin42
0.67
、cos42
0.74
，tan42
0.90
，结果保
留整数）
【答案】301米
【分析】通过构造直角三角形，分别求出BF 、CH ，利用分段垂直高度累加法，由CG
CH
BF
=
+
即可求解．
【详解】解：过点B 作BF
AD
⊥
于F ，过点C 作CG
AD
⊥
于G ，交BE 于点H ．
由题意可得：AD
BE
∥
，
∴CH
BE
⊥
，
∴四边形BFGH 为矩形，故GH
BF
=
，
在Rt ABF 中，
300
AB =
米，
42
BAF
=
，
300 sin42
300 0.67
201
BF =
=
（米）
∴
201
HG =
米．
在Rt
BCH
△
中，
200
BC =
米，
30
CBE
=
，
1
200 sin30
200
100
2
CG =
=
=
（米）
小山高度
100 201 301
CG
CH
HG
=
+
=
+
=
（米）．
答：这座小山的高度301米．
5．
（2026·湖北·中考真题）近年来我国智能特种机器人产业发展迅速，在工业、救援、能源等领域应用广泛．某
台机器人能轻松爬上坡角不超过35的斜坡．如图，坡角为
A
的斜坡AB 长10m，铅直高度BC 长4.7 m ，
90
C
=
．该机器人一定能爬上斜坡AB 吗？请判断并说明理由．
（参考数据：sin28
0.47
，sin35
0.57
）
【答案】一定能，理由如下：
在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
4.7
sin
0.47
10
BC
A
AB
=
=
=
，
sin28
0.47
，
28
A
，
28
35
，
该机器人一定能爬上斜坡AB ．
【分析】根据正弦函数的定义计算sin
A
，求出
A
，与35比较，结合题意即可得出结论．
【详解】略
考点06 仰角俯角问题
1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，有一小型科学探测器在空中A 处探测到地平面目标B ，此时从探测
器上看目标B 的俯角
30
=
，探测器飞行的高度
60 3 m
AC =
，则探测器到目标B 的距离AB 约为（ ）
（其中3
1.732
，计算结果精确到0.1）
A．207.8 m
B．207.9 m
C．208.8 m
D．208.9 m
【答案】A
【分析】根据俯角的定义及平行线的性质得出
30
B
=
=
，在Rt ABC 中，利用正弦函数的定义
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sin
AC
B
AB
=
即可求出AB 的长，最后代入近似值计算即可．
【详解】解：由题意可知，水平视线与地面BC 平行，
30
B
=
=
在Rt ABC 中，
90
C
=
，
60 3
AC =
，
sin
AC
B
AB
=
，
(
)
60 3
120 3
120 1.732
207.84
207.8 m
1
sin30
2
AC
AB
=
=
=
=
．
2．（2026·湖北武汉·中考真题）如图1，龟山电视塔是我国第一座电视塔，是武汉著名的城市地标，在一次
综合实践活动中，某数学小组用无人机测量龟山电视塔AB 的高度．具体过程如下：如图2，将无人机上升
至距水平地面100 m 的C 处，测得龟山电视塔顶端A 的仰角为50.5，底端B 的俯角为45，则龟山电视塔的
高度约是_________ m（结果取整数，参考数据：sin50.5
0.772
，cos50.5
0.636
，tan50.5
1.213
）．
【答案】221
【分析】过点C 作CD
AB
⊥
，垂足为D ，根据题意可得：
100m
CE
BD
=
=
，然后在Rt BCD中，利用锐角
三角函数的定义求出CD的长，再在Rt ACD 中，利用锐角三角函数的定义求出AD 的长，最后进行计算即
可解答．
【详解】解：如图：过点C 作CD
AB
⊥
，垂足为D ，
∴
90
CDB
ABE
BEC
=
=
=
，
∴四边形CDBE 为矩形，
∴
100m
BD
CE
=
=
，
在Rt BCD中，
45
BCD
=
，
100(m)
tan 45
BD
CD
=
=
，
在Rt ACD 中，
50.5
ACD
=
，
( )
tan50.5
1.213 100
121.3 m
AD
CD
=
=
，
( )
100 121.3
221 m
AB
AD
BD
=
+
=
+
，
龟山电视塔的高度约为221m ．
3．（2026·山西·中考真题）项目式学习
项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件．下图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井．某校学生到
此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告．
项目主题
藻井的调查与测算
驱动任务
调查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据
活动过程
调查
工艺
该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑
等工艺形成逐层向上收缩的三层结构．
造型
该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱
形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱
形井．
测算
对象
中间层菱形井中较长对角线的长
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图示
图1 为藻井仰视平面图，其中线段AB 为中间
层菱形井较长的对角线（点A ，B 在同一水
平直线上）；图2 为测量方案示意图，其中测
量点C ，D 在同一水平直线上，且点A ，B ，
C ，D 在同一竖直平面内．
数据
在点D 处测得点A 的仰角为60，
6
AD =
米；
在点C 处测得点B 的仰角为45，
11
CD =
米．
结果
…
活动反思
…
请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB 的长（结果精确到0.1 米，参考数据：3
1.73
）．
【答案】该藻井中间层菱形井对角线AB 的长约为2.8 米
【分析】过点A 作AE
DC
⊥
于点E ，过点B 作BF
DC
⊥
于点F ，则四边形AEFB 为矩形，在Rt
ADE
△
中根
据正弦、余弦的计算得到
3 3,
3
AE
DE
=
= ， 在Rt
BCF
△
中得到
3 3
FC =
，由此即可求解．
【详解】解：过点A 作AE
DC
⊥
于点E ，过点B 作BF
DC
⊥
于点F ，
∴
90
AED
BFC
=
=
，则四边形AEFB 为矩形，
AE
BF
=
，AB
EF
=
，
在Rt
ADE
△
中，
60
D
=
，
6
AD =
，
sin
AE
D
AD
=
，cos
DE
D
AD
=
，
3
sin
6 sin 60
6
3 3
2
AE
AD
D
=
=
=
=
，
1
cos
6 cos60
6
3
2
DE
AD
D
=
=
=
=
，
3 3
BF
AE
=
=
，
在Rt
BCF
△
中，
45
C
=
，
tan
tan 45
1
BF
C
FC
=
=
= ，
3 3
FC
BF
=
=
，
11
CD
DE
EF
FC
=
+
+
=
，
11 3 3 3
8 3 3
EF
CD
DE
FC
=
−
−
=
−−
= −
，
8 3 3
8 3 1.73
2.8
AB
EF
=
= −
−
（米）．
答：该藻井中间层菱形井对角线AB 的长约为2.8 米．
4．（2026·四川眉山·中考真题）人工智能的快速发展给我们的工作和生活带来了很多便捷．如图，在公园内
的阅览室和篮球场之间有一湖泊，为了方便市民，准备在其间修建一座笔直的跨湖桥AB ．为确定跨湖桥AB
的长度，无人机在桥上方点C 处，测得点C 距地面的高度为90 米，同时测得桥头点A 处的俯角为60；从
点C 处沿AB 方向水平飞行300 米到达点D 处，测得桥头点B 处的俯角为42，求桥AB 的长度（结果精确
到1 米）．（参考数据：sin42
0.67
，cos42
0.74
，tan42
0.90
，3
1.73
）
【答案】桥AB 的长度约为148米
【分析】过点A 作AM
CD
⊥
于点M，过点B 作BN
CD
⊥
于点N ，则
90
AM
BN
=
=
米，AB
MN
=
，然后分
别解Rt
AMC
△
，Rt BDN 求出
,
CM DN ，再由线段和差计算即可．
【详解】解：过点A 作AM
CD
⊥
于点M，过点B 作BN
CD
⊥
于点N ，则
90
AM
BN
=
=
米，AB
MN
=
，
由题意得，
60 ,
42
C
D
=
=
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在Rt
AMC
△
中，tan
AM
C
CM
=
，即
90
tan 60
CM
=
∴
90
30 3
3
CM =
=
（米），
在Rt BDN 中，tan
BN
N
DN
=
，即
90
tan 42
DN
=
∴
90
100
0.9
DN
=
（米）
∵
300
CD =
米，
∴
300
30 3 100
200
30 3
148
AB
MN
CD
CM
DN
−
−
=
=
=
−
−
=
−
（米）
答：桥AB 的长度约为148米．
5．（2026·山东烟台·中考真题）【综合与实践】
活动主题
测算矩形广告牌的面积
测量工具
皮尺、无人机、计时器、计算器等
活动过程
测量过程
如图，矩形广告牌ABCD的边CD为11
米，BC 与水平地面垂直，支柱EF 长6.4
米，且垂直于地面．无人机从N 点起飞，
以3米/ 秒的速度竖直向上飞行8 秒到
达M 点，此时测得C 点的俯角为
67.4．D 点的俯角为36.9（图中各点
均在同一平面内）．
模型建构
参考数据
sin67.4
0.92
，cos67.4
0.38
，
tan67.4
2.40
，
sin36.9
0.60
，cos36.9
0.80
，
tan36.9
0.75
．
问题解决
求矩形广告牌ABCD的面积（结果精确
到1 平方米）．
【答案】矩形广告牌ABCD的面积约为62 平方米
【分析】过点
,
C B 分别作MN 的垂线，垂足分别为
,
H P ，则四边形CBPH ，EFNP是矩形，依题意，
3 8
24
MN = =
，
36.9 ,
67.4
GMD
GMC
=
=
，GM
CD
∥
，
11
DC =
，
6.4
PN
EF
=
=
，分别在
,
Rt MDH Rt MCH 中求得
,
DH CH ，根据
11
DC =
，建立方程，求得MH 进而求得BC 的长，再求得矩形
ABCD的面积，即可求解．
【详解】解：如图，过点
,
C B 分别作MN 的垂线，垂足分别为
,
H P ，则四边形CBPH ，EFNP是矩形，
依题意，
3 8
24
MN = =
，
36.9 ,
67.4
GMD
GMC
=
=
，GM
CD
∥
，
11
DC =
，
6.4
PN
EF
=
=
∴
36.9 ,
67.4
MDH
GMD
MCH
GMC
=
=
=
=
设MH
x
=
，则tan
tan36.9
0.75,tan
tan67.4
2.4
x
x
MDH
MCH
DH
CH
=
=
=
=
∴
11
0.75
2.4
x
x
DC
DH
CH
−
=
=
−
=
解得：
12
x =
∴
12
MH =
∴
24 12 6.4
5.6
CB
HP
MN
MH
PN
−
−
=
=
=
−
−
=
∴ABCD的面积=
5.6 11
61.6
62
BC DC
=
=
答：矩形广告牌ABCD的面积约为62 平方米
6．（2026·四川广安·中考真题）某实践小组开展了用测角仪测量建筑物高度的活动，记录如下：
活动主题
测量建筑物的高度
实物图和测量示意图
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测量说明
（1）测角仪在G 处测得建筑物顶D 的仰角为；
（2）测角仪在F 处测得建筑物顶D 的仰角为；
（3）点G ，F ，E 位于同一水平线上，测出AB 的长，测角
仪的高AG ，BF ．
测量数据
1.6 m
AG
BF
CE
=
=
=
，
35
=
，
50
=
，
9.8 m
AB =
参考数据
sin35
0.57
，cos35
0.82
，tan35
0.70
sin50
0.77
，cos50
0.64
，tan50
1.19
请根据以上数据求此建筑物高DE 的长．（结果保留整数）
【答案】18m
【分析】在直角三角形中，利用角的正切值，得出
10
7
AC
DC
，
100
119
BC
DC
，进而列方程求解即可．
【详解】解：已知，
35
=
，
50
=
，
9.8m
AB =
，
在Rt ACD 中，tan
DC
AC
=
，
10
tan
0.70
7
DC
DC
AC
DC
=
=
，
在Rt BCD中，tan
DC
BC
=
，
100
tan
1.19
119
DC
DC
BC
DC
=
=
，
AC
AB
BC
=
+
，
10
100
9.8
7
119
DC
DC
=
+
，
16.66m
DC
=
( )
16.66
1.6
18.26
18 m
DE
DC
CE
=
+
=
+
=
因此，此建筑的高约为18 m．
7．（2026·四川甘孜·中考真题）“分段水准测量法”是测量山高的一种技术手段，其核心原理是将难以一次性
完成的测量任务，分解为多个短距离测量段，逐段累加获得最终高度．某数学兴趣小组测量一座山的高度，
在山脚A 处测得山腰B 处的仰角为53，A ，B 间的距离为400 米，在山腰B 处测得山顶C 处的仰角为45，
B ，C 间的距离为600 米．求山高CD．（参考数据：
4
sin 53
5
，
3
cos53
5
，2
1.414
．计算结果取整
数．）
【答案】744 米
【分析】由已知条件在BCD和
ABF
△
中可求出
,
CE BF 长度，相加即可解决问题．
【详解】解：在Rt ABF 中，
4
sin53
400
320
5
BF
AB
=
=
（米），
在Rt BCE 中，
2
sin 45
600
600 0.707
424
2
CE
BC
=
=
=
（米），
由题意可知，四边形DEBF 为矩形，
∴
320
DE
BF
=
=
米，
∴
744
CD
CE
ED
=
+
=
（米）
答：山高CD为744 米．
8．（2026·四川宜宾·中考真题）宜宾已发展成为川南铁路交通枢纽．某校九年级学习小组带着皮尺和测角仪
来到高铁宜宾西站（如图1），高铁宜宾西站的正大门穹顶刚好是一段圆弧，圆弧下面有25 根柱子，每两根
柱子之间的距离为4 米（如图2 ），组长站在最中间柱子EC 正下方，背对车站向正前方走了20 米到达F 点，
转身测得D 、E 两点的仰角分别是50.3和58（不计测角仪的高度）（如图3）．
(1)求DE 的长；
(2)求正大门穹顶圆弧所在圆的半径．
（结果保留整数．参考数据：sin58
0.85
，cos58
0.53
，tan58
1.60
，sin50.3
0.77
，cos50.3
0.64
，
tan50.3
1.20
．）
【答案】(1)8米
(2)148米
【分析】( )
1 分别解Rt DFC，Rt EFC ，求出
,
DC EC ，进而根据DE
EC
DC
=
−
解答即可求解；
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( )
2 设MEN 的圆心为O，连接
,
NO CO ，根据题意可得
48
DN =
，设
O 的半径为r 米，则
(
)
8
OD
OE
DE
r
=
−
=
−
米，在Rt
ODN
△
中根据勾股定理建立方程即可求解．
【详解】（1）解：如图3，在Rt DFC中，tan
tan50.3
1.20
DC
DFC
FC
=
=
，
∴
20 1.20
24
DC
=
米，
在Rt EFC 中，tan
tan58
1.60
EC
EFC
FC
=
=
，
∴
20 1.60
32
EC
=
米，
∴
32
24
8
DE
EC
DC
=
−
=
−
= （米），
答：DE 的长为8米；
（2）解：如图2 ，设MEN 的圆心为O，连接
,
NO CO ，
∵圆弧下面有25 根柱子，每两根柱子之间的距离为4 米，
∴
(
)
25 1
4
96
MN =
−
=
米，
∵点D 是MN 的中点，
∴
1
48
2
DN
MN
=
=
米，OD
MN
⊥
，
设
O 的半径为r 米，则
(
)
8
OD
OE
DE
r
=
−
=
−
米，
在Rt ODN 中，
2
2
2
OD
DN
ON
+
=
，
∴(
)
2
2
2
8
48
r
r
−
+
=
，
解得
148
r =
，
答：正大门穹顶圆弧所在圆的半径为148米．
9．（2026·四川内江·中考真题）某地生态文旅景区内矗立着一座孔子雕像（如图甲）．某数学实践小组开展
实地测量活动，探测这座孔子雕像的高度．如图乙，测量人员在雕像前的C 处，测得雕像顶端A 的仰角为
45，沿水平方向向雕像行走12 米到达观测点D 处，测得雕像顶端A 的仰角为60 ．雕像底端B 与观测点
D 、C 在同一条水平直线上，且AB
BC
⊥
，求孔子雕像的高度AB ．（结果保留根号）
【答案】(
)
18
6 3 m
+
【分析】设
m
AB
x
=
，解直角三角形得到
3
3
BD
xm
BC
xm
=
=
，
，根据
12
CD
BC
BD
m
−
=
=
建立方程求出x
的值即可得到答案．
【详解】解：设
m
AB
x
=
，
∵AB
BC
⊥
，
∴
90
B
=
；
在Rt ABD中，
90
60
ABD
ADB
=
=
，
，
∴
( )
3
tan
tan 60
3
AB
x
BD
x m
ADB
=
=
=
；
在Rt
ABC
△
中，
90
45
ABC
ACB
=
=
，
，
∴
( )
tan
tan 45
AB
x
BC
x m
ACB
=
=
=
；
∵
12
CD
BC
BD
m
−
=
=
，
∴
3
12
3
x
x
−
=
，
解得
18
6 3
x =
+
，
∴
(
)
18
6 3
AB
m
=
+
，
答：孔子雕像的高度AB 为(
)
18
6 3 m
+
．
10．
（2026·天津·中考真题）综合与实践活动中，要用测角仪测量引滦入津工程纪念碑AB 的高度（如图①）．
某学习小组设计了一个方案：如图②所示，点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内，AB
BC
⊥
，BC
DE
∥
，
AB 的延长线与水平线DE 相交于点O．从地面C 处沿步道CD（看作斜坡）前行，至平台DE ，
22
CD
m
=
；
在平台D 处测得纪念碑顶部A 的仰角(
)
ODA
为42，斜坡CD的倾斜角（
ODC
）为12；在平台E 处
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测得纪念碑顶部A 的仰角(
)
OEA
为35，
9
DE
m
=
．根据该学习小组测得的数据，求引滦入津工程纪念碑
AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan35
0.7
，tan42
0.9
，sin12
0.2
．
【答案】引滦入津工程纪念碑AB 的高度约为24m．
【分析】分别在Rt AOD中，得出
tan 42
AO
DO =
，在Rt
AOE
△
中，得出
tan35
AO
EO =
，再根据
( )
9
EO
DO
DE
m
−
=
=
，列式求出AO，过点C 作CH
DE
⊥
，垂足为H，在Rt
CDH
△
中，利用sin
CH
CDH
CD
=
，
求出CH ，再利用四边形BCHO是矩形，结合AB
AO
BO
−
=
，即可求解．
【详解】解：根据题意，有
90
AOE
=
，
在Rt AOD中，tan
AO
ODA
DO
=
，
42
ODA
=
，
得
tan 42
AO
DO =
，
在Rt
AOE
△
中，tan
AO
OEA
EO
=
，
35
OEA
=
，
得
tan35
AO
EO =
，
∵
( )
9
EO
DO
DE
m
−
=
=
，
∴
9
tan35
tan 42
AO
AO
−
=
，
∴
( )
9 tan35
tan42
9 0.7 0.9
28.35
tan 42
tan35
0.9
0.7
AO
m
−
=
=
−
，
如图，过点C 作CH
DE
⊥
，垂足为H，
在Rt
CDH
△
中，sin
CH
CDH
CD
=
，
12
CDH
=
，
22
CD =
，
∴
( )
sin
22 sin12
22 0.2
4.4
CH
CD
CDH
m
=
=
=
，
∵
90
CBO
BOH
OHC
=
=
=
，
∴四边形BCHO是矩形，
∴
( )
4.4
BO
CH
m
=
，
∴
( )
28.35 4.4
24
AB
AO
BO
m
−
=
−
，
即引滦入津工程纪念碑AB 的高度约为24m．
11．（2026·上海·中考真题）如图，小明正在确认某一建筑物与栏杆是否安全，栏杆AB 与建筑物的底端处在
同一水平面上，规定建筑物高度h 与栏杆到建筑物的距离d 满足
1
8
h
d
即为安全．
(1)当
100
d =
米时，h 至少需要小于多少米？
(2)若在观测场测得AB 的长是a ，BC 的长为b ，在B 处观测C 的仰角为，求h
d ．（用含a 、b 、的代数
式表示）
【答案】(1)h 至少需要小于12.5米
(2)
sin
cos
h
a
b
d
b
+
=
【分析】（1）将
100
d =
代入
1
8
h
d
中，解得
12.5
h
，即可求解；
（2）过点B 作建筑物的垂线，垂足为点D ，则BD
d
=
，CD
h
a
−
=
，在Rt BCD中，sin
CD
h
a
BC
b
−
=
=
，
cos
BD
d
BC
b
=
=
，得到
sin
h
a b
=
+
，
cos
d
b
=
，即可求解．
【详解】（1）解：由题可知，当
100
d =
米时，
1
100
8
h
，解得
12.5
h
，
∴h 至少需要小于12.5米；
（2）解：如图所示，过点B 作建筑物的垂线，垂足为点D ，则BD
d
=
，CD
h
a
−
=
，
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在Rt BCD中，sin
CD
h
a
BC
b
−
=
=
，cos
BD
d
BC
b
=
=
，
∴
sin
h
a b
=
+
，
cos
d
b
=
，
∴
sin
cos
h
a
b
d
b
+
=
．
12．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，清代数学典籍《平三角举要》中记载了“用高上之高测远”的古法，
此法专门解决测远目标被遮挡且观测点周边没有多余空间的测绘困境，其关键在于观测者巧妙借用测远目
标竖直方向正上方建筑的已知高度来完成测算．某数学兴趣小组的成员在黄河南岸的A 处观测到黄河北岸
的山上有一座塔，他们想了解观测点到塔的水平距离，但因宽阔的河面及山脚遮挡，无法直接利用工具测
量，于是他们借助“用高上之高测远”的古法，设计了如下解决方案：如图2 ，设观测点A 到塔CD的水平距
离为AB（点B ，C ，D 在同一条直线上），CD
AB
⊥
，在点A 分别测得塔顶C 的仰角
16.73
CAB
=
、塔底D
的仰角
14.01
DAB
=
，查阅资料可知塔的高度
17
CD =
米．根据以上信息，请你求出观测点A 到塔CD的水
平距离AB ．（结果精确到1米）
参考数据：sin14.01
0.24
，cos14.01
0.97
，tan14.01
0.25
，sin16.73
0.29
，cos16.73
0.96
，
tan16.73
0.30
．
【答案】观测点A 到塔CD的水平距离AB 约是340米
【分析】设AB
x
=
米，在Rt
CAB
△
中，由正切定义得
tan16.73
0.30
CB
AB
x
=
；在Rt
DAB
△
中，
tan14.01
0.25
DB
AB
x
=
．根据塔高
17
CD
CB
DB
−
=
=
米列方程，求解即可．
【详解】解：设AB
x
=
米，
在Rt
CAB
△
中，tan
CB
CAB
AB
=
，
tan16.73
0.30
CB
AB
x
=
．
在Rt
DAB
△
中，tan
DB
DAB
AB
=
，
tan14.01
0.25
DB
AB
x
=
．
CB
DB
CD
−
=
，
0.30
0.25
17
x
x
−
=
，
解得
340
x =
．
答：观测点A 到塔CD的水平距离AB 约是340米．
13．（2026·四川遂宁·中考真题）遂宁涪江六桥是全国首座复杂曲线荷花瓣形钢混组合索塔斜拉桥．某数学
活动小组为测量涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离，设计了如下测量方案：
实物图
测量工具
无人机
测量方法及数据
在桥面A 点用无人机测得主桥塔顶C 点的仰角为37，将无人机垂直
上升40 米至B 处，测得主桥塔顶C 点的仰角为22．
测量示意图
参考数据
sin22
0.37
，cos22
0.93
，tan22
0.4
，sin37
0.60
，
cos37
0.80
，tan37
0.75
．
请根据上表提供的信息，求涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离即CD的长．（精确到1 米）
【答案】86m
【分析】过点B 作BE
CD
⊥
，构造矩形证AB
ED
=
，AD
BE
=
，设塔高CD为x ，然后表示出CE ，再根据
两个仰角的正切值表示出BE 并列方程，求解得到塔高．
【详解】解：如图，过点B 作BE
CD
⊥
，
根据题意可知，
22
CBE
=
，
37
CAD
=
，
40m
AB =
，
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90
BED
EDA
BAD
=
=
=
，
四边形ABED 为矩形，
40
ED
AB
m
=
=
，AD
BE
=
，
设
m
CD
x
=
，则
(
)
40
CE
x
m
−
=
，
在Rt
CBE
△
中，
22
CBE
=
，
tan
CE
CBE
BE
=
，
(
)
5
5
40
tan
0.4
2
2
CE
CE
BE
CE
x
CBE
−
=
=
=
，
在Rt CAD中，
37
CAD
=
，
tan
CD
CD
CAD
AD
BE
=
=
，
4
4
tan
0.75
3
3
CD
CD
BE
AD
CD
x
CAD
=
=
=
=
，
(
)
5
4
40
2
3
x
x
−
=
，
解得
86
x
m
，
答：涪江六桥主桥塔顶到桥面的距离CD的长为86 米．
14．（2026·四川成都·中考真题）尊老敬老是中华民族的传统美德．某社区开展了“智慧助老”行动，为高龄
老年人家庭免费安装智能门锁．如图，在侧面示意图中，智能门锁的摄像头A 拍摄的最大仰角为30，最大
俯角为52.43，某人站在门外距离门底部B 点0.9 米的N 处时，摄像头A 恰好能拍摄到站立点N 及头顶M．已
知
,
AB
BN MN
BN
⊥
⊥
，求此人的头顶M 到站立点N 的距离．（结果精确到0.01 米；参考数据：
3
1.732,sin52.43
0.793,cos52.43
0.610,tan52.43
1.300
）
【答案】此人的头顶M 到站立点N 的距离约为1.69 米
【分析】过点A 作AC
MN
⊥
于点C，根据题意可知：四边形ABNC 是矩形，
0.9
CA
NB
=
=
米，根据三角函
数求出MC ，NC 即可求解．
【详解】解：过点A 作AC
MN
⊥
于点C，
根据题意可知：四边形ABNC 是矩形，
0.9
CA
NB
=
=
米，
在Rt MAC 中，
30
MAC
=
，
∴
3 3
tan30
10
MC
AC
=
=
，
在Rt NAC 中，
52.43
NAC
=
，
tan52.43
0.9 1.300 1.170
NC
AC
=
=
米，
∴
3 3
1.170
1.69
10
MN
MC
NC
=
+
=
+
米，
答：此人的头顶M 到站立点N 的距离约为1.69 米．
15．
（2026·四川自贡·中考真题）在综合实践活动中，某数学兴趣小组准备测量操场围墙外一棵大树的高度．要
求在操场里利用现有工具皮尺、测角仪（高度1.5m
）和笔直的竹竿（长度2 m ）进行测量．
(1)小刚建议这样测量：如图1，线段AC 表示所要测量的大树，在操场上F 点处蹲下，眼睛视线沿着竹竿DE
（长度2 m ）顶部E 恰好看到树顶端A ，此时竖直竹竿DE 与小刚FG 的水平距离
2m
DF = ．小刚将观测点F
后移13m
到F处，采用同样方法，测得
3 m
D F
=
．小刚眼睛距离地面的高度
0.8 m
FG
F G=
=
，点F，D，
F ，D 与树的底部C 在同一水平线上．据此可知点E 到BG的距离EH 为_____ m ，图中两组相似三角形是
_____，请帮助小刚计算出此树的高度（结果精确到0.1m
）．
(2)小明提出可以这样改进：如图2，在点F 处安置测角仪（高度1.5m
）测得树顶端A 的仰角
26.7
AGB
=
，
前行到点E 处测得树顶端A 的仰角
45
ADB
=
，点E ，F 与树的底部C 在同一水平线上，量得
16
EF
m
=
．请
按此方案求树的高度（结果精确到0.1m
）．（参考数据sin26.7
0.45
，cos26.7
0.89
，tan26.7
0.50
）
(3)两种方法算出树的高度一致吗？如果不一致，请分析原因（写出一条即可）．
【答案】(1)1.2m，
GHE
GBA
∽
和
GHE
GBA
∽
， 16.4m
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(2)17 5. m
(3)不一致．
原因：小刚的方法在测量过程中需要保证眼睛、竹竿顶端、树顶端三点严格共线，实际操作中容易产生视
觉偏差，因此会导致两种方法算出树的高度不一致．
【分析】（1）由题意，
1.2
EH
m
=
，GHE
GBA
∽
和GHE
GBA
∽
，利用两次相似对应边成比例，列方
程2
3
13
GB
GB
=
+
，解得
26
GB =
，代入求
15.6
AB =
，进而求树高．
（2）在ABD 中，
45
ADB
=
得等腰直角三角形，故AB
BD
=
，在ABG 中，利用tan26.7
16
AB
AB
BG
AB
=
=
+
，
代入tan26.7
0.50
解得
16
AB
，进而求出树高．
（3）比较两种方法的结果，从两人的测量过程的步骤分析误差的原因即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
2 0.8 1.2m
EH
ED
HD
ED
FG
=
−
=
−
= −
=
，
,
H
EH
AB E
AB
∥
∥
，
图中两组相似三角形是GHE
GBA
∽
和
GHE
GBA
∽
，
由题意可得，
1.2m
EH
E H
=
=
，
2m
GH
FD
=
=
，
3m
GH
F D
=
=
，
13m
G G
F F
=
=
，则
13
G B
GB
=
+
．
第一次测量：GHE
GBA
∽
，
G
EH
AB
GH
H
=
，即1.2
2
AB
GB
=
，
第二次测量：GHE
GBA
∽
，
H
E H
A
G
G
B
B
=
，即1.2
3
13
AB
GB
=
+
，
2
3
13
GB
GB
=
+
，解得
26
GB =
，
1.2
2
26
AB =
，解得
15.6
AB =
，
此树的高度为
15.6
0.8
16.4m
AB
BC
AB
FG
+
=
+
=
+
=
．
（2）解：由题意可得，
1.5m
FG =
，
26.7
AGB
=
，
45
ADB
=
，
16
GD
EF
m
=
=
，
在Rt ABD中，
45
ADB
=
，
ABD
△
为等腰直角三角形，
90
ABD
=
,
AB
BD
=
，
在Rt ABG中，tan
AB
AGB
BG
=
，即tan26.7
AB
GD
BD
+
=
，
tan26.7
0.50
，
0.50
16
AB
AB
+
，解得
16
AB
，
此树的高度为
16 1.5 17.5m
AB
BC
AB
FG
+
=
+
=
+
=
．
（3）略．
考点07 其他问题
1．（2026·福建·中考真题）古算诗词题融数学于诗词之中，是前人智慧的结晶．如图是古算诗词题“争荡秋
千”所描绘的示意图．已知秋千的绳索长
6
OA=
尺，且秋千的绳索始终保持直线状态，踏板的起始位置在点
A 处，OA与地面BD 垂直，踏板离地面的高度
1
AB = 尺．当踏板从A 处绕点O运动到C 处时，踏板离地面
的高度
4
CD =
尺，则秋千的绳索荡过的
AOC
的大小为（ ）
A．30
B．45
C．60
D．75
【答案】C
【分析】先通过作垂线构造直角三角形，利用矩形边长相等求出线段OE 的长度，再结合秋千绳索长度得到
斜边OC ，最后根据余弦函数值求出
AOC
的度数．
【详解】解：如图，过点C 作CE
OB
⊥
，
由题意OA
BD
⊥
，CD
BD
⊥
，
四边形EBDC 是矩形，
4
EB
CD
=
=
尺，
6 1
7
OB
OA
AB
=
+
= + =
尺，
7 4
3
OE
OB
EB
−
=
= −= 尺，
6
OC
OA
=
=
尺，
在Rt OCE 中：
3
1
cos
6
2
OE
AOC
OC
=
=
=
，
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60
AOC
=
．
2．（2026·湖南·中考真题）门与两面墙的平面示意图如图所示，墙AC 与AB 垂直，门CD可绕C 旋转，F 是
门CD与门吸EF 的接触点（门吸指门页打开后吸住定位的装置），EF
AB
⊥
于点E ．已知AC
a
=
，EF
b
=
，
ACF
=
，且a
b
，则门吸EF 离墙AC 的距离AE 为（ ）
A．
tan
a
B．(
)sin
a
b
−
C．(
)cos
a
b
−
D．(
)tan
a
b
−
【答案】D
【分析】过点F 作FG
AC
⊥
于点G，证明四边形AEFG 是矩形，得到
,
,
AE
FG AG
EF
b
=
=
=
则
,
CG
a
b
−
=
根
据tan
GF
CG
=
得到
(
)
tan
tan
FG
CG
a
b
−
=
=
，即可求出AE ．
【详解】解：过点F 作FG
AC
⊥
于点G，
∵
,
,
AC
AB EF
AB FG
AC
⊥
⊥
⊥
，
∴四边形AEFG 是矩形，
∴
,
,
AE
FG AG
EF
b
=
=
=
∵AC
a
=
，
∴
,
CG
AC
AG
a
b
−
−
=
=
在Rt
CGF
△
中，
GCF
ACF
a
=
=
，
∴tan
GF
CG
=
，
∴
(
)
tan
tan
FG
CG
a
b
−
=
=
，
∴
(
)tan
AE
FG
a
b
−
=
=
．
3．（2026·广东深圳·中考真题）一天正午，太阳光与水平地面的夹角为53．身高为1.6 m 的小明站在水平地
面上，此时他的影长为________．（参考数据
4
: tan53
3
，
3
cos53
5
，
4
sin53
5
）
【答案】
1.2m
【分析】本题将实际问题转化为直角三角形问题，利用锐角正切的定义求解，小明身高垂直地面，影长为
水平直角边，结合太阳光与地面的给定夹角，代入参考正切值即可计算出影长．
【详解】解：设此时小明的影长为xm，
由题意可得，小明身高垂直于水平地面，身高、影长与太阳光构成直角三角形，其中太阳光与水平地面的
夹角为53，该角的对边为小明身高1.6m，邻边为影长xm，
根据正切的定义得
1.6
tan53
x
=
，将
4
tan53
3
代入得4
1.6
3
x
=
，
解得
1.2
x =
．
4．（2026·吉林·中考真题）如图，为了测量某条河的宽度，小明站在A 点，到河岸的距离AB 为10m，刚好
正对河对岸的一棵大树P ，此时点A ，B ，P 在一条直线上．小明沿着与河岸平行的直路向右走了93 m ，
到达C 点，此时测得
35
ACP
=
．求这条河的宽度PB （结果保留整数）．（参考数据：sin35
0.57
=
，
cos35
0.82
=
，tan35
0.70
=
）
【答案】55m
【分析】先根据三角函数求出AP 的长度，减去AB 的长度，即可求出PB 的长度．
【详解】解：由题意知，
90
PAC
=
，
在Rt PAC 中，
35
PCA
=
，
93m
AC =
，
∴
tan35
93 0.7
65.1m
AP
AC
=
=
=
，
∵
10m
AB =
，
∴
65.1 10
55m
PB =
−
，
答：这条河的宽度PB 为55m．
5．（2026·内蒙古·中考真题）综合与实践
下面呈现的是项目式学习的部分学习过程，请你一起参与并完成相应的任务．
项目
名称
为学校操场主席台遮阳棚设置灯带
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问题
情境
如图是某学校操场上坐南朝北的主
席台，由地台（长方体）、四根立柱、
遮阳棚组成．从侧面看，遮阳棚由
两条抛物线形线条组成，从正面看，
上方有一矩形，其一边与地台的长
度相同．项目式学习小组想为该矩
形四周设置灯带，测量了地台的长
度，在测量矩形另一边的长度时遇
到了困难，需要解决．
收集
信息
查找图纸：立柱
5m
ED =
，
7m
FG =
，
两根立柱ED 与FG 之间的距离
8m
DG =
．点F 是过点E ，N 的抛物线
的最高点，地台高
1m
AB =
，立柱FG 到
地台前边缘的距离
2m
AG =
．
查阅资料：小组通过查阅资料知道本地
春分日正午太阳光线与地面夹角的度数
为49．
实地测量：在太阳光下遮阳棚顶M 点的
影子落在操场上的H 点处，测得影长
7.5 m
HB =
．
抽象
模型
说明：①测量时间为春分日正午；
②点A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，
M ，N 在同一竖直平面内；点M ，N ，
A ，B 在同一竖直方向上，点H ，B ，C
在同一水平线上；
③各组选取不同的点作为坐标原点建立
平面直角坐标系解决问题．如图为“智慧”
小组以点D 为原点，AD 所在直线为x
轴，DE 所在直线为y 轴建立的平面直角
坐标系．
…
…
(1)任务一：请你根据“智慧”小组建立的平面直角坐标系，求过点E ，F ，N 的抛物线的函数表达式；
(2)任务二：请你求出矩形另一边MN 的长度．
（参考数据：sin49
0.75
，cos49
0.66
，tan49
1.15
）
【答案】(1)
(
)
2
1
8
7
32
y
x
= −
+
+
(2)0.75m
【分析】（1）由待定系数法求解即可；
（2）连接AN ，可得(
)
10,0
A −
，然后求出
55
10, 8
N
−
，再解Rt
HMB
△
即可．
【详解】（1）解：由题意得，顶点
(
)
8,7
F −
，
(
)
0,5
E
，
∴设过点E ，F ，N 的抛物线的表达式为
(
)
(
)
2
8
7
0
y
a x
a
=
+
+
，
代入点
(
)
0,5
E
得，64
7
5
a+
= ，解得
1
32
a = −
，
∴过点E ，F ，N 的抛物线的表达式为
(
)
2
1
8
7
32
y
x
= −
+
+
；
（2）解：连接AN ，由题意可得M ，N ，A ，B 共线，
∵
2m
AG =
，
8m
DG =
，
∵
( )
2 8
10 m
AD
AG
DG
=
+
=
+ =
，
∴(
)
10,0
A −
，
∴将
10
x
−
=
代入
(
)
2
1
8
7
32
y
x
= −
+
+
，则
(
)
2
1
55
10
8
7
32
8
y = −
−
+
+
=
，
∴
55
10, 8
N
−
，
在Rt
HMB
△
中，
49
H
=
，
7.5m
HB =
，
∴
( )
tan
7.5 1.15
8.625 m
BM
HB
H
=
=
=
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∴
(
)
55
8.625
1
0.75 m
8
MN
BM
NA
AB
=
−
−
=
−
−=
．
答：矩形另一边MN 的长度为0.75m．
6．（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502 km ．某数学兴趣小组开展测量
渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：
活动主题
测量渭河某段河道的宽度
活动方案
方案一
方案二
测量示意图
测量过程
1．在河道一侧的岸边选取两个观
测点B ，C ；
2．测量
ABC
，
ACB
的度数；
3．测量B ，C 两点之间的距离．
1．在河道一侧的岸边选取两个观
测点B ，C ，分别在AB ，AC 的
延长线上选取点D ，E ，使得
DE
BC
∥
；
2．测量B ，C 两点之间的距离，D ，
E 两点之间的距离，BC 与DE 之
间的距离h ．
测量数据
45
ABC
=
，
63.4
ACB
=
，
120 m
BC =
．
120 m
BC =
，
150 m
DE =
，
20 m
h =
．
备注
1．点A 是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点；
2．图中所有点均在同一平面内；
3．参考数据：sin63.4
0.89
，cos63.4
0.45
，tan63.4
2.00
．
请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A 到BC 的距离）．
【答案】这段河道的宽度为80m
【分析】方案一：过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，解Rt ABH 和Rt ACH 求解即可；方案二：过点A 作AG
DE
⊥
于点G ，交BC 于点H ，可得ABC
ADE
∽
，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可．
【详解】解：方案一：过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，
∵
45
ABC
=
，
63.4
ACB
=
∴在Rt ABH 中，
tan
AH
BH
ABC
BH
=
=
，
在Rt ACH 中，
tan
2
AH
AH
CH
ACB
=
=
，
∵BH
CH
BC
+
=
，
120m
BC =
，
∴
1
120
2
AH
AH
+
=
，解得
80m
AH =
，
∴这段河道的宽度为80m；
方案二：过点A 作AG
DE
⊥
于点G ，交BC 于点H ，
∵DE
BC
∥
∴ABC
ADE
∽
，AH
BC
⊥
，
∴BC
AH
DE
AG
=
，
∵
120m
BC =
，
150m
DE =
，
20m
h
HG
=
=
，
∴120
20
150
AG
AG
−
=
，解得
100
AG =
，
∴
100 20
80m
AH =
−
=
，
答：这段河道的宽度为80m．
7．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，点O位于竖直墙面l 上，平面镜AB 与墙面l 平行，从点O射出一束
激光，经过平面镜AB 的反射，在墙面l 上形成一个光点C ，OC 所在直线垂直于水平面．入射光线OP 与平
面镜AB 的夹角
60
OPA
=
．
（根据光的反射定律可知：反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角）
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(1)求证：OPC是等边三角形；
(2)如图②，将图①中的平面镜AB 绕点P 顺时针旋转7.5到A B
位置，入射光线OP 经过平面镜的反射后，
在墙面l 上形成光点E ，点E 在直线OC 上．
①
OPE
=_________°；
②若
60
OC =
厘米，求光点向下移动的距离CE 的长．（结果保留根号）
【答案】(1)
证明：
60
OPA
=
，
∴根据光的反射定律可知
60
BPC
OPA
=
=
．
180
60
OPC
OPA
BPC
−
−
=
=
．
∵
//
AB l ，
60
POC
OPA
=
=
．
OPC
△
是等边三角形；
(2)①75 ②CE的长为(
)
30 3
30
−
厘米
【分析】(1)首先根据光的反射原理得到
60
BPC
APO
=
=
，然后，再由平角的定义得
60
OPC
=
，再由
平行线的性质得
60
POC
OPA
=
=
即可证的结论；
(2)①首先根据题意及光的反射原理得到
7.5
52.5
EPB
OPA
OPA
=
=
−
=
，再根据平角的定义得到
75
OPE
=
；
②过点P 作PF
OE
⊥
于F，首先，根据已知条件得到
15
CPE
=
，然后，再证得
1
30
2
CPF
OPC
=
=
，
1
30
2
CF
OC
=
=
(厘米)，进而证得EPF 是等腰直角三角形，得PF
EF
=
，再由
CPF
的余弦值得到PF 的
长，最后，由CE
EF
CF
=
−
可得结果．
【详解】（1）略
（2）①解：∵
60
OPA
=
，平面镜AB 绕点P 顺时针旋转7.5到A B
位置，
∴根据光的反射定律可知
7.5
52.5
EPB
OPA
OPA
=
=
−
=
，
∴
180
75
OPE
EPB
OPA
=
−
−
=
；
②解：如图②，过点P 作PF
OE
⊥
于F，
由(1)知
60
OPC
=
，由①知
75
OPE
=
，
∴
15
CPE
OPE
OPC
=
−
=
．
由(1)知OPC是等边三角形，又知
60
OC =
厘米，
∴
60
OP
CP
OC
=
=
=
(厘米)，
又∵PF
OE
⊥
，
∴
1
30
2
CPF
OPC
=
=
，
1
30
2
CF
OC
=
=
(厘米)，
∴
45
EPF
CPF
CPE
=
+
=
，
∴EPF 是等腰直角三角形，
∴PF
EF
=
，
在Rt CPF 中，cos
PF
CPF
CP
=
，
∴
3
cos
60 cos30
60
30 3
2
EF
PF
CP
CPF
=
=
=
=
=
(厘米)，
∴
30 3
30
CE
EF
CF
=
−
=
−
(厘米)，即光点向下移动的距离CE 的长为(
)
30 3
30
−
厘米．
8．
（2026·四川广元·中考真题）凤舟赛是广元女儿节传统民俗文化体育运动，入选中华体育文化优秀项目．为
筹备凤舟赛，某训练队进行了如下测量：
测
量
任
务
任务一：测量“初始速度”
任务二：测量“冲刺速度”
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示
意
图
已
知
条
件
凤舟AB 长度约为14 米，训练过程中凤舟AB 始终与河岸MN 平行．
实
施
过
程
凤舟出发前，河岸观测点P 与舟头B 的连线
PB
MN
⊥
，同时测得P 与舟尾A 的连线PA 与河岸
MN 的夹角
65
APM
=
，当凤舟出发20 秒时，舟头
到达点C 并测得PC 与河岸MN 的夹角
29
CPN
=
．
当舟头B 行进到与观测点G 的连线BG
MN
⊥
时开始计时，舟头B 到达终点D 时，用时10
秒，同时测得GD 与MN 夹角
40
DGN
=
，在
距离G 点20 米的H 点处测得DH 与MN 的夹
角
63
DHN
=
．
解决对应的问题．
任务一：（参考数据：tan29
0.55
，tan65
2.14
）
(1)求凤舟与河岸的距离BP ；（结果保留整数）
(2)求凤舟前20 秒的平均速度．（结果保留两位小数）
任务二：（参考数据：tan40
0.84
，tan63
1.96
）
(3)求凤舟最后10 秒的平均速度．
【答案】(1)30米；
(2)2.72 米/秒；
(3)3.5 米/秒．
【分析】（1）根据平行线的性质得到
65
PAB
APM
=
=
，PB
AB
⊥
，进而可知
90
ABP
=
，根据三角
函数计算即可；
（2）同（1）计算即可；
（3）设凤舟10 秒内航行的路程BD
x
=
米，过D 作DE
MN
⊥
交MN 于点E，根据三角函数求出DE 的表达
式，列方程求出x 的值，进而可知凤舟最后10 秒的平均速度．
【详解】（1）解：由题意知：AB
MN
∥
，PB
MN
⊥
，
∴
65
PAB
APM
=
=
，PB
AB
⊥
，
因此ABP 是直角三角形，
90
ABP
=
，
∴tan
PB
PAB
AB
=
，
即
tan65
14 2.14
29.96
30
PB
AB
=
=
米；
（2）解：凤舟20 秒内航行的路程等于BC 的长度，
由题意知：AB
MN
∥
，PB
MN
⊥
，
∴
29
C
CPN
=
=
，PB
BC
⊥
，
∴
PBC
△
是直角三角形，
90
PBC
=
，
tan
PB
C
BC
=
，
∴
29.96
54.47
tan29
0.55
PB
BC =
米，
∴
54.47
2.72
20
20
BC
v =
米/秒；
（3）解：设凤舟10 秒内航行的路程BD
x
=
米，过D 作DE
MN
⊥
交MN 于点E，
可得四边形BDEG 是矩形，
∴GE
BD
x
=
=
米，
根据三角函数可知
tan40
tan40
DE
BD
x
=
=
米，
同时
(
) tan 63
(
20)tan 63
DE
x
GH
x
=
−
=
−
米．
∵tan40
0.84
，tan63
1.96
，
∴0.84
1.96(
20)
x
x
=
−
，
解得
35
x =
，
因此平均速度
35
3.5
10
v =
=
米/秒．
9．（2026·河南·中考真题）某学校为提高地下车库入口的行车安全性，计划对其进行改造．为此，某数学兴
趣小组开展了综合与实践活动，记录如下．
活
动
主
地下车库入口改造
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题
采
集
信
息
图1 是地下车库入口示意图．
①点C ，B ，D 在同一水平线上，
点E ，A ，F 在同一水平线上，
//
CD EF ．
②斜坡AB 的长为10 m ，
26.4
BAF
=
．
③车库限高2.7 m ．
设
计
方
案
如图2，保持点A 不动，将点B 沿
射线BD 平移到点B，使
18.4
B AF
=
．
完
成
任
务
任务一：求BB的长．
任务二：调整限高．经计算，点
C 到斜坡AB的距离约为
3.47 m ．在保障行车安全的前提
下，车库限高标志上的数值最大
可为________．（结果均保留一
位小数）
请帮数学兴趣小组完成表中的两个任务（参考数据：sin26.4
0.44
，cos26.4
0.90
，tan26.4
0.50
，
sin18.4
0.32
，cos18.4
0.95
，tan18.4
0.33
）．
【答案】任务一：
'
BB 的长约为4.3m．任务二：3.4m．
【分析】任务一：作AH
CD
⊥
，垂足为H ，利用解直角三角形，求出HB 、HB，由BB
HB
HB
=
−
即可求
解；
任务二：采用去尾法求近似数即可．
【详解】任务一：
解：如图，作AH
CD
⊥
，垂足为H ，
∵
26.4
BAF
=
，CD
EF
∥
，
∴
26.4
ABC
BAF
=
=
，
18.4
AB C
B AF
=
=
，
∴在Rt ABH 中，
( )
sin
10sin26.4
10 0.44
4.4 m
AH
AB
ABC
=
=
=
，
( )
cos
10cos26.4
10 0.90
9.0 m
HB
AB
ABC
=
=
=
，
∴在Rt AB H
中，
(
)
4.4
4.4
13.33 m
tan
tan18.4
0.33
AH
HB
AB C
=
=
，
∴
( )
13.33 9.0
4.3 m
BB
HB
HB
=
−
−
．
任务二：
解：点C 到斜坡AB的距离约为3.47m．在保障行车安全的前提下，车库限高标志上的数值最大可为3.4m．
10．（2026·江西·中考真题）为了测量一个圆柱型土坑的深度，某数学兴趣小组想利用已学习的镜面反射法
进行测量，具体研究方法与过程如表：
具体问
题
利用镜面反射法测量圆柱型土坑的深度
主要工
具
无人机、反射镜、测倾器、激光笔、皮尺
截面示
意图
操作步
骤
1．在水平地面上选定一个激光发射点A ，使A 位于土坑上底面直径DE 所在的直线上；
2．操控携带反射镜的无人机，使其悬停于土坑的上方；
3．调整反射镜与水平线的夹角，使得从A 处发出的激光经反射镜C 处反射后恰好到达坑底最
右端F 处；
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4．在线段AD 上确定一点B ，使得从B 处发出的激光经反射镜C 处反射后恰好到达坑底最左端G
处．
（以上各点均位于与水平地面垂直的同一平面内）
测量数
据
18
AB
m
=
，
12
DE
m
=
，
30
CAB
=
，
60
CBD
=
，
22.5
=
．
参考数
据
sin75
0.966
，cos75
0.259
，tan75
3.732
，3
1.732
．
根据以上信息，完成下列任务．（结果精确到0.01m ）
(1)任务一：计算点C 离水平地面的高度；
(2)任务二：计算
GCF
=_____________，
BCG
=______________；
(3)任务三：计算土坑的深度．
【答案】(1)点C 离水平地面的高度约为15.59m
(2)30；15
(3)土坑的深度约为6.80m
【分析】（1）连接DE ，过点C 作CK
GF
⊥
交GF 于K ，交DE 于H ，则CH
DE
⊥
，根据三角形的外角的性
质得出
30
ACB
=
，根据等角对等边可得
18
BC
AB
=
=
，解Rt
CBH
△
，即可求得CH 的长；
（2）根据光的反射原理得出
NCF
MCA
=
，得出
(
)
180
2
30
75
ACF
−
=
+
=
，
(
)
180
2
60
15
BCG
−
=
+
=
，进而根据
GCF
ACF
ACB
BCG
−
−
=
，即可求解；
（3）证明
(
)
CGK
CFK ASA
≌
，得出
6
GK
FK
=
= ，解Rt
CGK
△
，求得CK ，进而求得HK 的长，即可求
解．
【详解】（1）解：如图，连接DE ，过点C 作CK
GF
⊥
交GF 于K ，交DE 于H ，则CH
DE
⊥
．
30
CAB
=
，
60
CBD
=
，
30
ACB
=
18
BC
AB
m
=
=
．
在Rt
CBH
△
中，
3
sin60
18
9 3
15.588
15.59
2
CH
BC
m
=
=
=
即点C 离水平地面的高度约为15.59m．
（2）解：如图，
∵AB
PC
∥
，
30
CAB
=
∴
30
PCA
CAB
=
=
又∵
22.5
=
，
∴
30
22.5
30
52.5
NCF
MCA
MCP
PCA
=
=
+
=
+
=
+
=
∴
(
)
180
2
30
120
2
120
2 22.5
75
ACF
−
−
=
+
=
=
−
=
同理可得
(
)
180
2
60
60
2
60
2 22.5
15
BCG
−
−
−
=
+
=
=
=
，
∴
GCF
ACF
ACB
BCG
−
−
=
75
30
15
−
−
=
30
=
．
（3）解：由题意得四边形DEFG 是矩形，
则DE
GF
=
，
在Rt
CBH
△
中，
60
CBH
=
，
30
BCH
=
．
30
15
15
GCK
BCH
BCG
=
−
=
−
=
，
75
CGK
=
，
15
FCK
GCK
=
=
，
CK
CK
=
(
)
CGK
CFK ASA
≌
，
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1
1
6
2
2
GK
FK
GF
DE
m
=
=
=
=
．
在Rt
CGK
△
中，
tan75
6 3.732
22.392
CK
GK
=
=
，
22.392 15.588
6.804
6.80
HK
CK
CH
=
−
=
−
=
，
即土坑的深度约为6.80m ．
11．（2026·江苏连云港·中考真题）【生活观察】
(1)小越将自行车前后轮保持一定角度推行转圈．如图1，他发现前后轮行驶路径可近似抽象为两个同心圆，
车轮行驶方向与其行驶路径相切，某时刻的俯视图如图2 所示．若前后轮的轴心距（前后轮所在圆的圆心
的距离）
1.5 m
AB =
，前轮转向角即
30
CBD
=
，则旋转半径OB =_____ m ．
【类比探究】
(2)小越进一步研究发现，一般家用汽车在转弯行驶时为两轮转向，即汽车的前轮各按一定的转向角行驶．与
自行车的转弯行驶类似，四个车轮的行驶路径在理想状态下也可近似抽象为四个同心圆弧，车轮行驶方向
与其行驶路径相切（轮胎的宽度忽略不计）．
如图3，某款家用汽车宽AB 约为2 m ，轴心距BC 约为3m
．转弯时，若右前轮的转向角即
20.6
ECF
=
，
求此时左前轮的转向角
GDH
的度数．
（参考数据：
3
tan 20.6
8
，
1
tan 26.6
2
，
9
sin 20.6
25
，
2
tan33.6
3
，
1
tan18.5
3
）
【综合实践】
(3)如图4，汽车在直角处进行转弯．若（2）中的这款汽车行驶至车前轮所在圆的圆心C ，D 与直角拐点Q
共线位置时，其俯视图如图5 所示．若路宽均为5m
，车辆左侧与实线PQ 的距离为1m
．现右前轮欲以固
定转向角转弯行驶，若能规范通过此直角弯道（四轮均不压实线），请直接写出sin的范围．
【答案】(1)3
(2)此时左前轮的转向角
GDH
的度数约为26.6
(3) 3
3 58
sin
8
58
【分析】（1）根据题求得
30
AOB
=
，根据含30 度角的直角三角形的性质，即可求解；
（2）先求得
8
OB
m
，进而解Rt OAD得出
26.6
AOD
，根据等角的余角相等得出
26.6
GDH
AOD
=
，即可求解；
（3）分两种情况讨论，分别求得的最小值和最大值，再求正弦，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，OB
BD
⊥
，
30
CBD
=
∴
90
90
30
60
ABO
CBD
−
−
=
=
=
∵OA
AB
⊥
∴
90
90
60
30
AOB
ABO
−
−
=
=
=
∵
1.5 m
AB =
∴
3m
OB =
（2）解：由题意得OC
CF
⊥
，OB
BC
⊥
，OA
AD
⊥
，OD
DH
⊥
90 ,
90
ECF
OCB
COB
OCB
+
=
+
=
，
20.6 .
COB
ECF
=
=
在Rt OCB中，tan
CB
COB
OB
=
3
tan20.6
OB
=
3
3
8
OB
解得：
8
OB
m
8 2
6
OA
OB
AB
m
=
−
−=
在Rt OAD中,tan
AD
AOD
OA
=
3
1
tan
6
2
AOD
=
=
26.6
AOD
90
AOD
ADO
+
=
，
90
GDH
ADO
+
=
，
26.6 .
GDH
AOD
=
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答：此时左前轮的转向角
GDH
的度数约为26.6 .
（3）解：如图，连接OQ ，设OA，PQ 交于点M ，
当最大时，A 点经过Q 点，此时
1
DQ
AM
=
=
依题意，
ECF
COB
=
=
，
设OA
r
=
，则
1
OM
r
= −，
3
MQ
AD
=
=
在Rt OQM 中，
2
2
2
OQ
OM
QM
=
+
∴
(
)
2
2
2
1
3
r
r−
=
+
解得：
5
r =
∴
5 2
7
OB
OA
AB
=
+
= +
=
，
3
BC = ,
在Rt OBC中，
2
2
2
2
3
7
58
OC
BC
OB
=
+
=
+
=
∴
3 58
sin
sin
sin
58
CB
ECF
COB
OC
=
=
=
=
当最小时，此时转弯后车辆的右侧紧邻道路右侧，如图，过点O作ON 垂直于道路右侧
设道路宽为l ，依题意，
5
l =
∴
5 3
8
OC
ON
l
AD
=
= +
= + =
∴
3
sin
sin
sin
8
CB
ECF
COB
OC
=
=
=
=
综上所述，3
3 58
sin
8
58
12．（2026·山东·中考真题）我国古代学者戴震在《算学初稿》中记载了一种可测量仰（俯）角及计算其正
切值的工具：矩盘、综合实践小组开展矩盘应用的探究活动．
【模型制作】
综合实践小组制作了矩盘模型，示意图如图1．四边形ABCD为正方形，AG 为悬挂重物的铅垂线，AB 为
左矩，AD 为右矩，标有均匀刻度的BC 和DC 组成矩尺盘，以点A 为圆心，AB 为半径的标有均匀刻度的
弧组成角度盘．
【操作发现】
使用矩盘测量时，需要将左矩AB 或右矩AD 与视线PF 重合，且保证矩盘紧贴铅垂线，铅垂线与角度盘、
矩尺盘的交点的刻度为读数．
(1)如图2，左矩AB 与视线PF 重合，角度盘读数为31（
31
DAE
=
），矩尺盘读数为6（
6
DE =
），可知
仰角
31
P
DAE
=
=
，
6
tan
tan
0.6
10
DE
P
DAE
AD
=
=
=
=
．如图3，右矩AD 与视线PF 重合，角度盘读数为29
（
29
DAE
=
），矩尺盘读数为5.5（
5.5
DE =
），则仰角
P
= ________，tan
P
________（结果精确到0.1）．
【应用探究】
(2)综合实践小组测量某景区城门楼（如图4）的顶端E 到地面的距离（EB 的长度）．如图5，某同学站在城
门楼一侧A 处，用矩盘的左矩与视线ME 重合，此时矩尺盘读数为5；沿直线AB 前进，穿过城门BD 到达城
门楼另一侧C 处，在C 处将矩盘右矩与视线NE 重合，角度盘读数为45．已知
20m
AC =
，该同学眼睛到地
面的高度是1.6m，求城门楼的顶端E 到地面的距离（结果精确到0.1m）．
【答案】(1)61；1.8
(2)8.3m
【分析】（1）根据直角三角形两个锐角互余得出
90
61
P
DAE
=
−
=
，根据tan
tan
P
AED
=
，结合正切
定义，求出结果即可；
（2）设
m
EF
FN
x
=
=
，则
(
)
20
MF
x m
−
=
，则Rt EMF 中，根据tan
EF
EMF
MF
=
，得出0.5
20
x
x
=
−
，求
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出x 的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：根据题意可得：AG
PQ
⊥
，
90
AQP
=
，
∵
29
DAE
=
，
∴
90
61
P
DAE
=
−
=
，
∵在正方形ABCD中
90
ADC
=
，
∴
90
61
AED
DAE
=
−
=
，
∴
P
AED
=
，
∴
10
tan
tan
1.8
5.5
AD
P
AED
DE
=
=
=
；
（2）解：根据题意得：
1.6m
BF
CN
=
=
，
20m
MN
AC
=
=
，
90
EFM
EFN
=
=
，
45
NGH
=
，GH
MN
⊥
，
5
KL =
，
10
JK =
，
∴
90
45
45
ENF
=
−
=
，
∴Rt
EFN
△
中，tan
EF
ENF
FN
=
，
即tan 45
1
EF
FN
= =
，
∴EF
FN
=
，
设
m
EF
FN
x
=
=
，则
(
)
20
MF
x m
−
=
，
∵
90
MJL
EMF
MJL
KJL
+
=
+
=
，
∴
EMF
KJL
=
，
∴
5
tan
tan
0.5
10
KL
EMF
KJL
JK
=
=
=
=
，
∴Rt EMF 中，tan
EF
EMF
MF
=
，
即0.5
20
x
x
=
−
，
解得：
6.67
x
，
∴
( )
6.67 1.6
8.27
8.3
EB
EF
FB
m
=
+
=
+
=
，
答：城门楼的顶端E 到地面的距离约为8.3m ．
