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专题29 图形的相似（6 大考点）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点 01 平行线
分线段成比例
基础必背考点，以选择、填空为主，
结合反比例函数、折叠、等边三角形
命题，核心考查线段比例换算、中位
线推导。
跨函数融合创新，将比例线段与反比
例坐标结合；折叠联动比例计算，弱
化单纯线段求值。
考点 02 相似三
角形的判定
中档高频考点，常搭配旋转、矩形、
尺规作图，依托 AA、SAS、SSA 判定，
侧重等角条件挖掘。
几何变换叠加判定，旋转图形中找相
似；尺规作图结合证明，强化推理书
写规范。
考点 03 相似三
角形的性质
核心计算考点，考查周长、面积比，
联动动点函数图像、平行四边形折叠，
侧重相似比平方应用。
动点图像结合相似求值；折叠菱形嵌
套相似，多层比例推导，增加数形结
合难度。
考点 04 相似实
际应用
应用题必考，涵盖标杆测高、小孔成
像、河道 / 广告牌测量，结合传统文
化、本土实景命题。
跨文史情境创新（《墨经》小孔成像）；
实地测量方案设计，双方法对比求解。
考点 05 位似变
换
坐标类高频小题，常与旋转复合，考
查原点位似坐标缩放、位似比计算。
“旋转 + 位似” 两步坐标变换；多
边形位似边长、面积综合计算。
考点 06 相似综
合压轴
解答压轴重难点，融合圆、正方形、
动点、切线证明，以相似为桥梁推导
线段乘积、长度。
圆与相似深度嵌套；动点分类讨论相
似存在性；多模型（A 字、母子型）
叠加推理。
考点01 平行线分线段成比例
1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，一条直线与反比例函数
(
0)
k
y
x
x
=
的图象交于A、B 两点，分别与y
轴、x 轴交于C、D 两点．若2
3
AB
BD
=
，
7
COD
S
=
△
，则k 的值是（ ）
A．3
B．20
7
C．7
D．40
21
【答案】B
【分析】如图，过点A作AE
OD
⊥
于点E，过点B作BF
OD
⊥
于点F，证明DBF
DAE
∽
V
V
，得到
2
5
BF
BD
AE
AD
=
=
，
设
5
AE
a
=
，
2
BF
a
=
得到
,5
5
k
A
a
a
，
,2
2
k
B
a
a
，
5
k
OE
a
=
，
2
k
OF
a
=
，然后由平行线分线段成比例得
到
5
k
FD
a
=
，然后利用相似三角形的性质得到
7
OC
a
=
，最后利用
7
COD
S
=
△
列方程求解．
【详解】解：如图，过点A 作AE
OD
⊥
于点E，过点B 作BF
OD
⊥
于点F，
∵2
3
AB
BD
=
∴
2
3
BD
AB =
∴
2
5
BD
AD =
∵AE
OD
⊥
，BF
OD
⊥
∴AE
BF
∴DBF
DAE
∽
V
V
∴
2
5
BF
BD
AE
AD
=
=
设
5
AE
a
=
，
2
BF
a
=
∴
,5
5
k
A
a
a
，
,2
2
k
B
a
a
∴
5
k
OE
a
=
，
2
k
OF
a
=
∴
3
10
k
EF
OF
OE
a
=
−
=
∵AE
BF
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∴
2
3
FD
BD
EF
AB
=
=
∴
2
3
3
10
FD
k
a
=
∴
5
k
FD
a
=
∴
7
2
5
10
k
k
k
OD
OF
FD
a
a
a
=
+
=
+
=
∵CO
OD
⊥
∴OC
BF
∥
∴DBF
DCO
∽
∴BF
FD
OC
OD
=
，即2
5
7
10
k
a
a
k
OC
a
=
∴
7
OC
a
=
∵
7
COD
S
=
△
∴1
1
7
7
7
2
2
10
k
OD OC
a
a
=
=
∴
20
7
k =
．
2．（2026·四川眉山·中考真题）如图，1
2
3
l
l
l ，
3
AB = ，
5
DE = ，
6
BC =
，则DF 的长度是_______．
【答案】
15
【分析】根据平行线分线段成比例定理，由1
2
3
l
l
l 可得AB
DE
BC
EF
=
，求出EF 的长，再根据DF
DE
EF
=
+
即
可求解.．
【详解】解：
1
2
3
l
l
l
AB
DE
BC
EF
=
3
AB = ，
6
BC =
，
5
DE =
3
5
6
EF
=
10
EF
=
5 10 15
DF
DE
EF
=
+
= +
=
．
3．（2026·吉林·中考真题）如图，在ABC中，AC
AB
，点D 为边AB 上一点，
2
AD =
，
1
BD = ．以点C
为圆心，AD 长为半径画弧，交AC 于点E ，连接DE ．若DE
BC
∥
，则AE =__________．
【答案】4
【分析】由作法可知，
2
CE
AD
=
=
，再利用平行线分线段成比例定理求解即可．
【详解】解：由作法可知，
2
CE
AD
=
=
，
DE
BC
∥
Q
，
AD
AE
BD
CE
=
，
2
1
2
AE
=
，
4
AE
= ．
4．
（2026·内蒙古·中考真题）如图，等边三角形纸片ABC 的边长为10，点E ，F 分别为AB ，AC 边上的点．将
BAC
沿EF 折叠，若点A 恰好落在该纸片BC 边的中点D 处，则四边形EBDF 的周长是____________．
【答案】20
【分析】连接AD 交EF 于点O，由三线合一得
1
5
2
BD
CD
BC
=
=
=
，AD
BC
⊥
． 由折叠的性质可知，
OA
OD
=
，AE
DE
=
，AF
DF
=
，
⊥
AD
EF ，可得EF
BC
∥
，由平行线分线段成比例求出
1
1
5,
5
2
2
AE
BE
AB
AF
CF
DF
AC
=
=
=
=
=
=
=
，再根据三角形中位线的性质求出
1
5
2
EF
BC
=
=
即可求解．
【详解】解：如图，连接AD 交EF 于点O，
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ABC 是等边三角形，边长为10
10
AB
BC
AC
=
=
=
，
点D 是BC 边的中点
1
5
2
BD
CD
BC
=
=
=
，AD
BC
⊥
．
由折叠的性质可知，OA
OD
=
，AE
DE
=
，AF
DF
=
，
⊥
AD
EF ，
∴EF
BC
∥
，
∴
1
AE
AF
OA
BE
CF
OD
=
=
= ，
∴
1
1
5,
5
2
2
AE
BE
AB
AF
CF
DF
AC
=
=
=
=
=
=
=
，
∴
1
5
2
EF
BC
=
=
，
∴四边形EBDF 的周长
5 5 5 5
20
BD
DF
EF
BE
=
+
+
+
= + + + =
．
考点02 相似三角形的判定
1．（2026·四川凉山·中考真题）如图，将ABC 在平面内绕点B 逆时针旋转到
A BC
△
的位置，AC 与A C
交
于点E ，AC 与BC交于点F ，则下列结论不一定正确的是（ ）
A．AE
EF
=
B．
ABA
CBC
=
C．ABC
A BC
≌
D．BCF
EC F
∽
【答案】A
【详解】解：由旋转的性质可得，ABC
A BC
≌
，
ABA
CBC
=
，
∴选项B 与选项C 不符合题意，
∵ABC
A BC
≌
，
∴
C
C
= ，
又∵
BFC
EFC
=
，
∴BCF
EC F
∽
，故选项D 不符合题意，
在旋转的过程中，AE
EF
=
不一定成立，故A 符合题意．
2．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形ABCD 中，AC 是对角线，请解决下列问题：
(1)将ABC 绕点A 旋转后，点B 的对应点为点E ，点C 的对应点为点F ，且点E 在线段AC 上，请用尺
规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若
2
AB =
，
4
BC =
，EF 与AD 交于点G ，求FG 的长．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）以A 为圆心，AB 为半径画弧，交AC 于E ，以E 为圆心BE 为半径画弧，两弧相交于M ，作
射线AM ，以A 为圆心，AC 长为半径画弧交AM 于F ，则AEF 即为所求；有作图可知
,
,
AB
AE
FAE
CAB AC
AF
=
=
=
，所以
AEF
ABC
≌
△
△
，且旋转角为
BAC
；
（2）可证AEG
ADC
∽
，利用对应边成比例可求EG ，则FG
FE
EG
−
=
可求．
【详解】（1）解：略；
（2）解：∵在矩形ABCD 中，
∴
90
ABC
D
=
=
，
由（1）知
AEF
ABC
≌
△
△
，
∴
2,
4,
90
AE
AB
EF
CB
AEF
B
=
=
=
=
=
=
，
∵
,
CAD
EAG
AEG
D
=
=
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∴AEG
ADC
∽
，
∴AE
EG
AD
CD
=
，
∴2
4
2
EG
=
，
∴
1
EG = ，
∴
4 1 3
FG = −= ．
考点03 相似三角形的性质
1．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点，连
接DE 、EF 、DF ．若
1
DEF
S
= ，则
ABC
S
=
△
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
【答案】B
【分析】先证明
2
2
1
1
2
4
BDE
BCA
S
DE
S
AC
=
=
=
，同理可证，解答即可．
【详解】解：点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，
∴
1
,
2
DE
AC DE
AC
=
，
∴BDE
BAC
∽
，
∴
2
2
1
1
2
4
BDE
BCA
S
DE
S
AC
=
=
=
，
同理可证，
1
1
,
4
4
CEF
ADF
BCA
BCA
S
S
S
S
=
=
，
∴
1
4
DEF
BCA
S
S
=
，
由
1
DEF
S
= ，
∴
4
ABC
S
=
．
2．（2026·四川自贡·中考真题）如图1，在四边形ABCD中，AB CD，
90
B
=
，点P 从点D 出发以每秒2
个单位长度的速度沿D
A
B
C
→
→
→
匀速运动，到达点C 后停止运动；同时点Q 从点D 出发以每秒1 个单
位长度的速度沿
→
D
C匀速运动，当点P 停止运动时点Q 也随之停止运动，过点P 作PF
CD
⊥
于点F ．设
运动时间为x 秒，PF
DQ
y
+
=
，y 关于x 的函数图象如图2 所示，则CD的长为（ ）
A．8
B．9
C．10
D．11
【答案】C
【分析】过A 作AH
DC
⊥
于H ，可证得四边形AHCB为矩形，Δ
Δ
DPF
DAH
∽
，根据相似三角形的性质得
到比例式，再表示出
,
PF DQ 关于x 的式子，代入到PF
DQ
y
+
=
中，得到关系式，再结合函数图象求出AD ，
AH ，DH 的长，结合沿BC 运动时候的函数图像求出AB 的长，进而可求出CD的长．
【详解】解：过A 作AH
DC
⊥
于H ，如图所示，
∵AB CD ，
∴
180
B
C
+
=
，
∵
90
B
=
，
∴
90
C
=
∵AH
DC
⊥
∴
90
AHC
=
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∴四边形AHCB为矩形，
∴
,
AH
BC AB
HC
=
=
，
当P 在DA 上运动时，
∵PF
CD
⊥
，
∴PF
AH ，
∴Δ
Δ
DPF
DAH
∽
，
∴PF
DP
DF
AH
AD
DH
=
=
，
由题设
2
DP
x
=
，则DQ
x
=
，
∴
2
AH
PF
x
AD
=
，
∴
2
1
AH
y
PF
DQ
x
AD
=
+
=
+
，
由函数图象可知，当
1
x = 时，
13
5
y =
，
∴2
13
1
5
AH
AD + =
，即
4
5
AH
AD =
，
当P 到达A 点后，P 在AB 上运动时，PF 恒等于高AH ，此时y
AH
x
=
+
，
由函数图象可知，当
4
x = 时
8
y =
，
∴
4
8
AH +
= ，即
4
AH =
，
∴
4
AH
BC
=
=
，
把
4
AH =
代入
4
5
AH
AD =
中得4
4
5
AD =
，
解得
5
AD = ；
∴在
Δ
Rt ADH 中，
2
2
2
2
5
4
3
DH
AD
AH
=
−
=
−
= ，
当点P 开始沿BC 运动，此时
(
)
4
2
4
2
5
9
2
PF
x
AD
AB
x
AB
x
AB
=
−
−
−
=
−
+ −
= −
+
，
∴
9
2
9
y
PF
DQ
x
AB
x
x
AB
=
+
=
−
+
+
=
−
+
，
代入
7
x =
时
9
y =
，得9 7
9
AB
−+
=
，
∴
7
AB =
，
∴
3
7 3 10
CD
AB
=
+ = + =
．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图像的性质，矩形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定
理，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键．
3．（2026·山东·中考真题）如图，在平行四边形纸片ABCD中，
4 cm
AB =
，
5 cm
AD =
，点E 是边AD 的中
点，点F 在边CD上，连接EF ．将纸片沿EF 折叠，点D 落在纸片上的点G 处，连接AG ，CG ．若
3cm
AG =
，
GE
AB ，则
CFG
△
的面积为________
2
cm ．
【答案】9
5
【分析】先由折叠和GE
AB 推出 EG
ED
DF
GF
=
=
=
，从而四边形DEGF 是菱形，得 DG
EF
⊥
且J 为
DG 中点，再利用菱形及中点构造中位线得到I //
J AG且
3
2
EJ =
，结合
5
AD = 可证AG
DG
⊥
并求得
4
DG =
，
最后通过面积法求FH ，利用相似三角形FHD
CKF
求出CK ，从而算出
CFG
△
的面积．
【详解】解：连接DG ，作
,
FH
AD CI
AD
⊥
⊥
，
5
AD = ，点E 是边AD 的中点，
5
2
AE
DE
=
=
，根据折叠可知
5
2
GE =
，
GE
AB ，AB CD ，
EG
CD
∥
，
GEF
DFE
=
，
由折叠可知
DEF
GEF
=
，
DEF
DFE
=
，
5
2
DE
DE
=
=
，
由折叠可知
5
2
GF =
，
EG
DE
DF
GF
=
=
=
，
四边形DEGF 是菱形，
DG
EF
⊥
，
设
,
DG EF 交点为J ，
J
为DG 中点，
EJ
AG
，且
1
3
2
2
EJ
AG
=
=
，
AG
DG
⊥
，
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5,
3
AD
AG
=
=
，
4,
2
DG
JD
=
=
，
在EDF 中，1
1
2
2
ED FH
EF JD
=
，
5
3 2
2 FH
= ，
12
5
FH
=
，
设
,
GF CI 交点为K ，
I
FH
C ，KF
HD ，
FDH
CFK
=
，
I
FHD
C D
=
，
I
C D
CKF
=
，
FHD
CKF
=
FHD
CKF
∽
，
CK
CF
FH
DF
=
，
4
CD
AB
=
=
，
3
2
CF
=
3
2
12
5
5
2
CK
=
，
36
25
CK
=
，
1
1
5
36
9
2
2
2
25
5
CGF
S
GF CK
=
=
=
．
【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似
三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形DEGF 为菱形，从而得到垂直、中点及边长关系，进
而用面积和相似计算三角形面积．
考点04 相似三角形的实际应用
1．
（2026·贵州·中考真题）如图，小红利用标杆DE 测量学校旗杆BC 的高度，标杆DE 高3m ，测得
6m
AE =
，
18m
BE =
，则旗杆BC 的高度是（ ）
A．9m
B．12 m
C．18m
D．24 m
【答案】B
【分析】可证ADE
ACB
∽
，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆BC 的高度．
【详解】解：
DE
AB
⊥
，BC
AB
⊥
，
//
DE BC
，
ADE
ACB
∽
，
AE
DE
AB
BC
=
，
3m
DE =
，
6m
AE =
，
18m
BE =
，
6 18
24m
AB
AE
BE
=
+
= +
=
，
6
3
24
BC
=
，
12m
BC
=
．
2．（2026·四川南充·中考真题）中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1 是小孔成像示
意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体AB 在幕布上形成倒立的实像A B
（点A，B 的对应
点分别是A，B），且AB
A B
⊥
，A B
A B
⊥
，若
10cm
AB =
，P 到A B
的距离
6cm
=
PQ
，则A B
长为（ ）
A．12cm
B．13.5cm
C．15cm
D．18cm
【答案】C
【分析】由题意易得AB
PQ
A B
∥
∥
，则有
,
A PQ
A AB
BPQ
BB A
∽
∽
，然后可得
6
3
10
5
A Q
PQ
A B
AB
=
=
=
，
则
2
5
BQ
BA =
，进而根据BPQ
BB A
∽
进行求解即可．
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【详解】解：∵AB
A B
⊥
，A B
A B
⊥
，PQ
A B
⊥
，
∴AB
PQ
A B
∥
∥
，
∴
,
A PQ
A AB
BPQ
BB A
∽
∽
，
∴
6
3
10
5
A Q
PQ
A B
AB
=
=
=
，
∴
2
5
BQ
BA =
，
∵BPQ
BB A
∽
，
∴
2
5
QP
BQ
A B
BA
=
=
，
∴
5
15cm
2
A B
PQ
=
=
．
3．（2026·陕西·中考真题）渭河是黄河的最大支流，在陕西省境内长达502 km ．某数学兴趣小组开展测量
渭河河道宽度的实践活动．他们在确保安全的前提下，选取了一段相对笔直的河道开展活动，记录如下：
活动主题
测量渭河某段河道的宽度
活动方案
方案一
方案二
测量示意图
测量过程
1．在河道一侧的岸边选取两个观
测点B ，C ；
2．测量
ABC
，
ACB
的度数；
3．测量B ，C 两点之间的距离．
1．在河道一侧的岸边选取两个观
测点B ，C ，分别在AB ，AC 的
延长线上选取点D ，E ，使得
DE
BC
∥
；
2．测量B ，C 两点之间的距离，D ，
E 两点之间的距离，BC 与DE 之
间的距离h ．
测量数据
45
ABC
=
，
63.4
ACB
=
，
120 m
BC =
．
120 m
BC =
，
150 m
DE =
，
20 m
h =
．
备注
1．点A 是为了测量河道的宽度，在河道另一侧的岸边选取的参照点；
2．图中所有点均在同一平面内；
3．参考数据：sin63.4
0.89
，cos63.4
0.45
，tan63.4
2.00
．
请从以上两种方案中任选一种，帮助他们求出这段河道的宽度（即点A 到BC 的距离）．
【答案】这段河道的宽度为80m
【分析】方案一：过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，解Rt ABH 和Rt ACH 求解即可；方案二：过点A 作AG
DE
⊥
于点G ，交BC 于点H ，可得ABC
ADE
∽
，根据相似三角形的相似比等于对应边高之比求解即可．
【详解】解：方案一：过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，
∵
45
ABC
=
，
63.4
ACB
=
∴在Rt ABH 中，
tan
AH
BH
ABC
BH
=
=
，
在Rt ACH 中，
tan
2
AH
AH
CH
ACB
=
=
，
∵BH
CH
BC
+
=
，
120m
BC =
，
∴
1
120
2
AH
AH
+
=
，解得
80m
AH =
，
∴这段河道的宽度为80m；
方案二：过点A 作AG
DE
⊥
于点G ，交BC 于点H ，
∵DE
BC
∥
∴ABC
ADE
∽
，AH
BC
⊥
，
∴BC
AH
DE
AG
=
，
∵
120m
BC =
，
150m
DE =
，
20m
h
HG
=
=
，
∴120
20
150
AG
AG
−
=
，解得
100
AG =
，
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∴
100 20
80m
AH =
−
=
，
答：这段河道的宽度为80m．
4．（2026·广西·中考真题）图1 是广场上的矩形公益广告牌的示意图，数学小组借助平面镜测量公益广告牌
的高度MN ．
如图2，MN 所在直线垂直地面于点A ，甲把光源放置于点B 处，BC 垂直地面于点C ，点A ，C 在同一水
平线上，乙沿CA方向移动平面镜，移到点D 时，从点B 发出的光线反射到点M 处；移到点E 时，从点B 发
出的光线反射到点N 处．经测量：
1.5
BC =
米，
12
AC =
米，
2
CD =
米，
2
DE =
米，记点D ，E 处的法线
分别为SD，TE ，即SD
AC
⊥
，TE
AC
⊥
，根据光的反射定律，
MDS
BDS
=
，
NET
BET
=
．
(1)求证：
MDA
BDC
=
；
(2)求此公益广告牌的高度MN ．
【答案】(1)
证明：∵SD
AC
⊥
，
∴
90
SDC
SDA
=
=
，
∵
MDS
BDS
=
，
∴
SDC
BDS
SDA
MDS
−
=
−
，
∴
MDA
BDC
=
；
(2)4.5 米
【分析】（1）根据垂直的意义得到
90
SDC
SDA
=
=
，得到结合
MDS
BDS
=
进行求证即可；
（2）通过MDA
BDC
∽
和
BCE
NAE
△
∽△
求出
,
MA NA，再由MN
MA NA
=
−
求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：由题意得，
,
BC
AC MA
AC
⊥
⊥
，
∴
BCD
MAD
=
，
∵
MDA
BDC
=
，
∴MDA
BDC
∽
，
∴BC
CD
MA
AD
=
，
∵
1.5
BC =
米，
12
AC =
米，
2
CD =
米，
∴1.5
2
12
2
MA =
−
，
∴
7.5
MA=
（米），
同理可得，
BCE
NAE
△
∽△
，
∴BC
CE
NA
AE
=
，
∵
2
DE =
米，
∴1.5
2
2
12
2
2
NA
+
=
−
−
，
∴
3
NA=
（米），
∴
7.5 3
4.5
MN
MA NA
=
−
=
−=
（米）．
答：公益广告牌的高度MN 为4.5 米．
考点05 位似
1．
（2026·黑龙江绥化·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，OAB是等腰直角三角形，
90
A
=
，
2 2
OB =
，
将OAB绕点O顺时针旋转45后，得到
OA B
△
，点A ，B 的对应点分别是点A，B，以原点为位似中心，
将
OA B
△
放大为原来的3 倍后，得到OA B
，顶点B 在第一象限对应点B的坐标是（ ）
A．(
)
6,6
B．(
)
6,2
C．(
)
6,6 2
D．(
)
6 2,6
【答案】A
【分析】由OAB是等腰直角三角形得到OA
AB
=
，
45
AOB
ABO
=
=
，即可判断旋转后点A在x 轴上，
A B
x
⊥
轴，
45
B OA
BOA
=
=
，
2 2
OB
OB
=
=
，通过解直角三角形得到OA，A B
，得到点B的坐
标，再根据位似图形的坐标变化求解即可．
【详解】解：如图，
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∵OAB是等腰直角三角形，
90
A
=
，
2 2
OB =
，
∴OA
AB
=
，
45
AOB
ABO
=
=
，
∴OA与x 轴的夹角为90
45
45
−
=
，
∵OAB绕点O顺时针旋转45后，得到
OA B
△
，
∴点A在x 轴上，A B
x
⊥
轴，
45
B OA
BOA
=
=
，
2 2
OB
OB
=
=
，
∴
cos
2 2 cos45
2
OA
OB
B OA
=
=
=
，
sin
2 2 sin45
2
A B
OB
B OA
=
=
=
，
∴
(
)
2,2
B
，
∵以原点为位似中心，将
OA B
△
放大为原来的3 倍后，得到OA B
，
∴顶点B 在第一象限对应点B的坐标是(
)
2 3,2 3
，即(
)
6,6 ．
2．（2026·甘肃天水·中考真题）如图，四边形ABCD与四边形A B C D
是以原点O为位似中心的位似图形．若
(
)
2,0
B
，(
)
4,0
B
，
5
A B
=
，则AB = （ ）
A．3
B．2 5
C．4
D．3 5
【答案】B
【分析】根据对应点坐标求出位似比，再利用对应边之比等于位似比求解即可．
【详解】解：∵
(
)
2,0
B
，(
)
4,0
B
，
∴
2
OB=
，
4
OB =
，
∵四边形ABCD与四边形A B C D
是以原点O为位似中心的位似图形，
∴A B
OB
AB
OB
=
，即
5
2
4
AB =
，
∴
2 5
AB =
．
考点06 相似三角形的判定与性质综合
1．（2026·四川内江·中考真题）如图，在ABC中，DE
BC
∥
，若
13
AD AB =
∶
∶，则ADE 与ABC 的面积
之比为（ ）
A．1 2
∶
B．13
∶
C．1 4
∶
D．19
∶
【答案】D
【分析】证明
ADE
ABC
△
△
∽
，可得
2
ADE
ABC
S
AD
S
AB
=
，据此可得答案．
【详解】解：∵DE
BC
∥
，
∴
ADE
ABC
△
△
∽
，
∴
2
2
1
1
3
9
ADE
ABC
S
AD
S
AB
=
=
=
．
2．（2026·江苏苏州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
3
AB = ，
2
BC =
，E 是AB 边上的动点（点E 在A，
B 之间运动，不与A，B 重合），过E 作CE 的垂线交AD 边于点F，则AE
AF
+
的最大值是（ ）
A．21
8
B．3
C．25
8
D．27
8
【答案】C
【分析】设AE
x
=
，则
3
BE
AB
AE
x
=
−
= −，然后证明AEF
BCE
∽
，表示出
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(
)
2
3
1
5
2
2
2
x
x
AE
AF
x
x
x
−
−
+
=
+
=
+
，再由二次函数的性质求解即可．
【详解】解：设AE
x
=
，则
3
BE
AB
AE
x
=
−
= −
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
A
B
= =
∵CE
EF
⊥
∴
90
AEF
BCE
BEC
−
=
=
∴AEF
BCE
∽
∴AF
AE
BE
BC
=
∴3
2
AF
x
x
−
=
∴
(
)
3
2
x
x
AF
−
=
∴
(
)
2
3
1
5
2
2
2
x
x
AE
AF
x
x
x
−
−
+
=
+
=
+
，
∵
1
0
2
−
，0
3
x
，
∴当
5
5
2
1
2
2
2
x
−
=
=
−
时，AE
AF
+
取得最大值，
将
5
2
x =
代入
2
1
5
2
2
AE
AF
x
x
−
+
=
+
得，(
)max
1
25
5
5
25
2
4
2
2
8
AE
AF
−
+
=
+
=
．
3．（2026·云南·中考真题）如图，AC ，BD 相交于点O，AB
CD
∥
，记
COD
△
的面积为
1S ，AOB 的面积
为
2
S ．若
2
3
CD
AB =
，则
1
2
S
S = （ ）
A．2
5
B．3
7
C．4
9
D．5
12
【答案】C
【详解】解：
AB
CD
∥
，
COD
AOB
∽
，
2
3
CD
AB =
，
2
1
2
2
4
3
9
S
S
=
=
，
故选：C．
4．（2026·天津·中考真题）如图，在ABC中，
8
AB = ，
6
AC =
，将ABC 绕点A 顺时针旋转得到ADE ，
使点C 的对应点E 落在边AB 上，点B 的对应点为D ，连接CE 并延长，与BD 相交于点F ，若
3
BF = ，则
ABF
△
的面积为（ ）
A．2 55
B．4 10
C．8 2
D．7 2
【答案】C
【分析】由旋转的性质可知：
6,
8,
AC
AE
AB
AD
CAE
BAD
=
=
=
=
=
，则有ACE
ABD
∽
，然后可得
BEF
BDA
∽
，则有
3
BF
EF
=
=
，过点F 作FH
AB
⊥
，进而根据勾股定理及等腰三角形的性质进行求解
即可．
【详解】解：由旋转的性质可知：
6,
8,
AC
AE
AB
AD
CAE
BAD
=
=
=
=
=
，
∴
3
4
AE
AC
AD
AB
=
=
，
2
BE
AB
AE
=
−
=
，
∴ACE
ABD
∽
，
∴
AEC
ADB
=
，
∵
AEC
BEF
=
，
∴
BEF
BDA
=
，
∵
FBE
ABD
=
，
∴BEF
BDA
∽
，
∴BF
EF
BA
DA
=
，
∴
3
BF
EF
=
=
，
过点F 作FH
AB
⊥
，如图所示：
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∴
1
1
2
BH
EH
BE
=
=
= ，
∴
2
2
2 2
FH
BF
BH
−
=
=
，
∴
1
8 2
2
ABF
S
AB FH
=
=
．
5．（2026·山西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，对角线AC ，BD 交于点O．将线段AD 沿射线AB 方
向平移，点A ，D 的对应点分别为点E ，F ，线段EF 分别与OA，OD交于点G ，H ．当点G 是OA的中
点时，GH
AB 的值为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．
1
4
D．
2
4
【答案】A
【分析】由四边形ABCD是正方形得AD
AB
=
，由点G 是OA的中点得
2
OA
OG
=
，由平移得
//
AD EF ，进
而得OGH
OAD
∽
，得出
1
2
GH
OG
AD
OA
=
=
，代换即可求出
1
2
GH
AB =
．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD
AB
=
，
∵点G 是OA的中点，
∴
2
OA
OG
=
，
由平移得
//
AD EF ，
∴OGH
OAD
∽
，
∴
1
2
2
GH
OG
OG
AD
OA
OG
=
=
=
,
又∵AD
AB
=
，
∴
1
2
GH
AB =
．
6．（2026·河北·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD
BC ，
3
BC
AD
=
，过点A 作AE
DC 交BC 于点
E ，将ABE 沿AE 翻折，得到
AB E
△
．B A
，B E
分别与直线DC 交于M ，N 两点，则MB N
与ABE 的
面积之比为（ ）
A．1
2
B．1
3
C．
1
4
D．1
8
【答案】C
【分析】首先证明四边形AECD是平行四边形，得到AD
EC
=
，推出
2
BE
EC
=
，由折叠得，BE
B E
=
，
ABE
AB E
S
S
=
，
BEA
B EA
=
，得到
1
2
EN
B N
B E
=
=
，证明B MN
B AE
∽
，然后利用相似三角形的性质
求解．
【详解】解：∵AD
BC ，AE
DC
∴四边形AECD是平行四边形
∴AD
EC
=
∴
3
3
BC
AD
EC
BE
EC
=
=
=
+
∴
2
BE
EC
=
由折叠得，BE
B E
=
，
ABE
AB E
S
S
=
，
BEA
B EA
=
∵AE
DC
∴
ENC
B EA
=
，
BEA
C
=
∴
ENC
C
=
∴EN
EC
=
∴
2
B E
BE
EN
=
=
∴
1
2
EN
B N
B E
=
=
∵AE
DC
∴
B MN
B AE
=
，
B NM
B EA
=
∴B MN
B AE
∽
∴
2
2
1
1
2
4
B MN
B AE
S
B N
S
B E
=
=
=
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∴
1
4
B MN
BAE
S
S
=
．
7．（2026·四川南充·中考真题）如图，在Rt ABC中，
90
ACB
=
，
10
AB =
，
8
AC = ．分别以点A ，C 为
圆心，大于1
2 AC 长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点，直线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ，则DE 的
长为_______．
【答案】3
【分析】由勾股定理可得
6
BC =
，由尺规作图可得MN 是AC 的垂直平分线，容易证明ADE
ACB
∽
，则
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，因此
1
3
2
DE
BC
=
=
．
【详解】解：在Rt ABC中，
2
2
2
2
10
8
6
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
由题意可知，MN 是AC 的垂直平分线，
∴MN
AC
⊥
，
1
2
AD
AC
=
，
∴MN
BC
∥
，
∴ADE
ACB
∽
，
∴
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，
∴
1
3
2
DE
BC
=
=
．
8．（2026·四川眉山·中考真题）如图，四边形ABCD是
O 的内接四边形，AB 是
O 的直径，对角线AC 平
分
BAD
交BD 于点E ，点F 在AB 的延长线上，且满足
BCF
BAC
=
．
(1)求证：CF 是
O 的切线；
(2)若
3
CE =
，
5
BE =
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：连接OC ，
∵OA
OC
=
∴
OAC
OCA
=
∵
BCF
BAC
=
∴
BCF
OCA
=
∵AB 是
O 的直径
∴
90
ACB
=
∴
90
OCA
OCB
+
=
∴
90
BCF
OCB
OCF
+
=
=
又∵点C 在
O 上
∴CF 是
O 的切线；
(2)10
3
【分析】（1）连接OC ，由OA
OC
=
，得到
OAC
OCA
=
，然后由圆周角定理得到
90
ACB
=
，再结合
已知条件进行等量代换证明
90
BCF
OCB
OCF
+
=
=
即可；
（2）先由勾股定理求解BC ，然后根据圆周角定理得到
4
CD
CB
=
=
，再由DEC
AEB
∽
求出AB ，即可求
解半径．
【详解】（1）略
（2）解：由（1）得
90
ACB
=
，
∵
3
CE =
，
5
BE =
∴
2
2
4
BC
BE
CE
−
=
=
∵AC 平分
BAD
∴
CAD
CAB
=
∴CD
CB
=
∴
4
CD
CB
=
=
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∵
BAC
BDC
=
，
ABD
ACD
=
∴DEC
AEB
∽
∴DC
CE
AB
BE
=
∴4
3
5
AB =
∴
20
3
AB =
∴
1
1
20
10
2
2
3
3
OA
AB
=
=
=
∴
O 的半径为10
3 ．
9．（2026·江西·中考真题）如图，D ，E 分别在ABC的边BA ，CA 的延长线上，
//
DE BC ，
3
AD = ，
5
AB = ，
5
DE = ，求BC 的长．
【答案】
25
3
BC =
【分析】根据
//
DE BC ，证明ABC
ADE
∽
，进而得出AB
BC
AD
DE
=
，代入数据，即可求解．
【详解】解：
DE
BC
∵
∥
，
B
D
= ，
C
E
=
，
ABC
ADE
△
∽△
，
AB
BC
AD
DE
=
．
3
AD = ，
5
AB = ，
5
DE = ，
5
3
5
BC
=
，
25
3
BC
=
．
10．（2026·四川达州·中考真题）已知：如图，P 为
O 外一点，PA 与
O 相切于点A．连接OP ，AC OP ，
BC 为
O 的直径、连接PB ．
(1)试判断PB 与
O 的位置关系，并说明理由；
(2)若
O 的半径为6 、
4
AC =
，求PB 的长．
【答案】(1) PB 与
O 相切，理由如下：
连接AO，
∵PA 与
O 相切，
∴
90
PAO
=
．
∵AC
OP
∥
，
∴
,
AOP
OAC
ACO
POB
=
=
．
∵OA
OB
OC
=
=
，
∴
OAC
ACO
=
，
∴
AOP
POB
=
．
∵OP
OP
=
，
∴PAO
PBO
≌
，
∴
90
PBO
PAO
=
=
，
∴PB
BO
⊥
，
∴PB 与
O 相切；
(2)
3
【分析】（1）连接OA，根据切线的性质得
90
PAO
=
，再根据平行线的性质和等腰三角形的性质说明
AOP
POB
=
，然后根据“边角边”证明PAO
PBO
≌
，可得
90
PBO
=
，进而得出答案；
（2）作OD
AC
⊥
，根据垂径定理得
2
AD =
，再根据勾股定理求出
2
OD =
，然后说明ADO
OBP
∽
，可
得AD
OD
OB
PB
=
，则此题可解．
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【详解】（1）略
（2）解：如图所示，过点O 作OD
AC
⊥
于点D，
∴
1
2
2
AD
CD
AC
=
=
=
．
在Rt AOD中，
6,
2
OA
OB
AD
=
=
=
，
根据勾股定理，得
2
2
2
2
( 6)
2
2
OD
OA
AD
=
−
=
−
=
．
∵
,
90
CAO
POB
PBO
ADO
=
=
=
，
∴ADO
OBP
∽
，
∴AD
OD
OB
PB
=
，
即2
2
6
PB
=
，
解得
3
PB =
．
11．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，ABC是等腰三角形，AC
BC
=
，
120
ACB
=
，点D 是AB 中点，
CE平分
ACD
交AB 于点E ．
(1)求
BCE
的度数；
(2)求证：AC 与BCE 的外接圆相切；
(3) P 为BCE 外接圆上任意一点，试探究PD 与PA 的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)90
(2)证明：由（1）知
90
BCE
=
，
∴EB 是BCE 的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC ，
∵AC
BC
=
，
120
ACB
=
，
∴
180
30
2
ACB
B
CAB
−
=
=
=
∵OC
OB
=
，
∴
30
OCB
B
= =
∴
90
ACO
ACB
OCB
=
−
=
，
∵OC 为半径，
∴AC 与BCE 的外接圆相切；
(3)解：
2
PA
PD
=
，理由如下：
连接OP ，设OP
OE
OC
R
=
=
=
，
∵
30 ,
90
CAB
ACO
=
=
∴
2
2
AO
CO
R
=
=
，
∵CE
CE
=
∴
2
60
COE
B
= =
∵CA
CB
=
，点D 是AB 中点，
∴CD
AB
⊥
∴
90
30
DCO
COE
=
−
=
，
∴
1
1
2
2
OD
OC
R
=
=
，
∴
2
2
1
2
2
OD OA
R
R
R
OP
=
=
=
∴OD
OP
OP
OA
=
∵
DOP
POA
=
∴
DOP
POA
△
∽△
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∴
1
2
2
PD
OP
R
PA
OA
R
=
=
=
，
∴
2
PA
PD
=
．
【分析】（1）根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可；
（2）可得EB 是BCE 的外接圆的直径，设圆心为点O，连接OC ，先由等腰三角形的性质以及三角形内角
和定理得到
30
B
CAB
=
=
，再由OC
OB
=
，得到
30
OCB
B
= =
，则
90
ACO
ACB
OCB
=
−
=
，
即可证明；
（3）连接OP ，设OP
OE
OC
R
=
=
=
，导角证明
DOP
POA
△
∽△
即可求解．
【详解】（1）解：∵AC
BC
=
，
120
ACB
=
，点D 是AB 中点，
∴
1
60
2
BCD
ACD
ACB
=
=
=
∵CE平分
ACD
∴
3
1
2
0
A
DCE
CD
=
=
∴
90
BCE
BCD
DCE
=
+
=
（2）略
（3）略
12．（2026·河北·中考真题）按要求解答下列问题：
(1)尺规作图：如图1，在ABC 中，作出AB 边的垂直平分线l ；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)如图2，在ABC中，
2
BAC
B
= ，点D 在BC 边上，且DA
DB
=
．若
6
AC =
，
9
BC =
，求线段CD的
长．
【答案】(1)如图1，直线l 即为所求；
(2) 4
【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可；
（2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明
BAC
CDA
=
，即可证明
CDA
CAB
△
∽△
，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵DA
DB
=
∴
B
BAD
=
∴
2
CDA
B
BAD
B
=
+
=
∵
2
BAC
B
=
∴
BAC
CDA
=
∵
C
C
=
∴
CDA
CAB
△
∽△
∵
6
AC =
，
9
BC =
∴CD
CA
CA
CB
=
∴
6
6
9
CD =
解得
4
CD =
．
13．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，AB ，BC ，CD分别与
O 相切于E ，F ，G 三点，且AB CD ．
(1)判断OB 与OC 的位置关系，并说明理由；
(2)若
3
BO =
，
3
tan
4
=
OCD
，求
O 的半径．
【答案】(1)解：OB
OC
⊥
，理由如下：
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如图所示，连接
,
,
OE OF OG ，
，
∵AB ，BC ，CD分别与
O 相切于E ，F ，G 三点，
∴
90
OEB
OFC
OGC
=
=
=
，
在Rt
OBE
△
和Rt
OBF
△
中，
OE
OF
OB
OB
=
=
，
∴
(
)
Rt
Rt
HL
OBE
OBF
≌
，
∴
EOB
FOB
=
，
同理可证Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，
∴
FOC
GOC
=
，
∵
2
2
2
180
EOB
FOB
FOC
GOC
FOB
FOC
BOC
+
+
+
=
+
=
=
，
∴
90
BOC
=
，
即OB
OC
⊥
．
(2)
O 的半径为12
5
【分析】（1）利用圆的切点的性质证得Rt
Rt
OBE
OBF
≌
和Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，得出
EOB
FOB
=
，
FOC
GOC
=
，再根据这四个角相加为180求解；
（2）由（1）可得
90 ,
BOC
OCD
OCB
=
=
，利用
3
tan
tan
4
OCD
OCB
=
=
求出OC 的长度，再根据勾
股定理求出BC 的长度；再根据已知条件证明BOC
BFO
∽
，利用相似求解．
【详解】（1）解：OB
OC
⊥
，理由见答案
（2）解：由（1）知，OB
OC
⊥
，Rt
Rt
OFC
OGC
≌
，
∴
90 ,
BOC
OCD
OCB
=
=
，
∵
3
tan
4
=
OCD
，
∴
3
tan
4
BO
OCB
OC
=
=
，
∵
3
BO =
，
∴
4
OC =
，
在Rt OCB中，
2
2
2
2
3
4
5
BC
OB
OC
=
+
=
+
=
；
∵
90
BOC
OFB
=
=
，
OBF
CBO
=
，
∴BOC
BFO
∽
，
∴OB
OF
BC
OC
=
，即3
5
4
OF
=
，解得
12
5
OF =
，
∴
O 的半径为12
5 ．
14．（2026·四川广安·中考真题）如图，ABC 内接于
O ，AD 是
O 的直径，过点A 作射线AE 交BC 的延
长线于点E ，使
EAB
ECA
=
．
(1)求证：AE 是
O 的切线；
(2)过点C 作CF
AE 交AB 于点F ，若
2
AF =
，
9
AB = ，求AC 的长．
【答案】(1)证明：连接DC ，
ECA
B
BAC
=
+
，
EAB
CAE
BAC
=
+
，
∵
ECA
EAB
=
，
B
BAC
CAE
BAC
+
=
+
，
B
CAE
=
，
AD 是
O 的直径，
90
ACD
=
，
90
D
DAC
+
=
，
B
D
=
，
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CAE
D
=
，
90
CAE
DAC
+
=
，
DA
AE
⊥
，
AE
是
O 的切线．
(2)3 2
【分析】（1）连接DC ，由题意易得
B
CAE
=
，
90
ACD
=
，则有
90
D
DAC
+
=
，然后可得DA
AE
⊥
，
进而问题可求证；
（2）由题意易得
FCA
CAE
=
，则有
FCA
B
= ，然后可得ACF
ABC
∽
，进而可得
2
AC
AB AF
=
，
则问题可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵CF
AE ，
FCA
CAE
=
，
CAE
B
=
Q
，
FCA
B
= ，
在
ACF
△
和ABC中，
FCA
B
CAF
BAC
=
=
，
ACF
ABC
△
∽△
，
AC
AF
AB
AC
=
，
2
AC
AB AF
=
，
9
AB =
，
2
AF =
，
2
9 2
18
AC
=
=
，
∴
3 2
AC =
．
15．（2026·广东深圳·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C 是圆上一点，连接OC 并延长至点D ，使得
CBD
ACO
=
．
(1)求证: BD 是
O 的切线；
(2)若
4
CD =
，
6
BD =
，求BC 的长；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C 关于直线AB 的对称点P （保留作图痕迹，不要求写出作法）．
【答案】(1)
证明：∵OA
OC
=
∴
ACO
OAC
=
∵
CBD
ACO
=
∴
CBD
OAC
=
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
∴
90
OAC
ABC
+
=
∴
90
CBD
ABC
+
=
∴
90
ABD
=
，
∵OB 为半径，
∴BD 是
O 的切线；
(2)10 13
13
(3)如图，点P 即为所求
【分析】（1）由OA
OC
=
结合已知条件得到
CBD
OAC
=
，然后根据圆周角定理得到
90
ACB
=
，再由
直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可；
（2）设OB
OC
r
=
= ，则
4
OD
r
= + ，先对Rt
OBD
△
运用勾股定理求解半径r ，然后利用
BOT
DOB
△
∽△
，
以及对Rt
BTC
△
运用勾股定理求解即可．
（3）以点A 为圆心，AC 为半径画弧与
O 交点即为点P ．
【详解】（1）略
（2）解：过点B 作BT
OC
⊥
于点T ，则
90
OTB
=
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设OB
OC
r
=
= ，则
4
OD
r
= +
∵
90
ABD
=
，
∴
2
2
2
OB
BD
OD
+
=
∴
(
)
2
2
2
6
4
r
r
+
=
+
解得
5
2
r =
，
∴
5
2
OB
OC
=
=
，
13
2
OD =
，
∵
90
OTB
OBD
=
=
，
BOT
DOB
=
∴
BOT
DOB
△
∽△
∴BO
OD
BD
OT
OB
BT
=
=
∴
5
13
6
2
2
5
2
OT
BT
=
=
∴
25
26
OT =
，
30
13
BT =
∴
5
25
20
2
26
13
CT
OC
OT
=
−
=
−
=
∴
2
2
2
2
30
20
10 13
13
13
13
BC
BT
CT
=
+
=
+
=
．
（3）解：连接
,
AP PC ，
由作图可得AP
AC
=
，
则AP
AC
=
，
再由垂径定理的推论可得AB 垂直平分CP ，
即可得到点,
P C 关于AB 对称．
