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专题39 函数综合压轴题（39 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点 函数综合压
轴题
核心考查二次函数基础解析式、抛
物线上线段最值（距离 / 长度 /
面积）、新定义函数题型、、函数
与几何综合存在性。
函数压轴三大变化：一是新定义常
态化，题干阅读量提升，要求现场
建模；二是跨模块深度融合，二次
函数串联一次函数、旋转对称、特
殊三角形、最值路径，不再单一考
计算；三是情境生活化，农田产量、
河道放牧等实际抛物线建模增多，
设问分层递进，基础求解析式、中
层线段最值、高层存在性探究，侧
重分类讨论、数形结合与逻辑说理
一、解答题
1．（2026·山西·中考真题）综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同
的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析．研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每
亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0
28
x
．设
中肥力麦田每亩的产量为
1y （千克），低肥力麦田每亩的产量为
2y （千克）．已知点(
)
0,160
A
，(
)
18,646
B
，
(
)
28,496
C
均在描述
1y 与x 关系的抛物线上，且点B 是这条抛物线的顶点．
(1)建立模型：求中肥力麦田中小麦每亩的产量
1y 与x 的函数关系式；
(2)应用分析：已知低肥力麦田中小麦每亩的产量
2y 与x 的函数关系式为
2
2
26
140
y
x
x
−
=
+
+
．
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同，当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以
及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1 亩的中肥力、低肥力麦田各一块．当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到
最大时，两块麦田的总产量为m 千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n 千克．经
判断n 小于m ，请直接写出m 与n 的差．
2．（2026·山东烟台·中考真题）如图，直线
6
y
x
−−
=
与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+
经过A ，C 两点，与x 轴的另一个交点为B ．抛物线的对称轴为直线
3
2
x = −
．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D 在抛物线上，横坐标为t ，若点D 到直线AC 的距离为3
2
2
，求出所有满足条件的t 的值；
(3)若H 为抛物线的顶点，P 为对称轴上一点，请直接写出
5
2
PH
PO
+
的最小值．
3．（2026·安徽·中考真题）已知抛物线
(
)(
)
2
3
2
0
y
x
a
x
a
a
−
=
．
(1)求抛物线顶点的纵坐标；
(2)点
1
3
, 2
A x
，
2
3
, 2
B x
，（
1
2
x
x
）都在抛物线上．
（i）求
1x
a 的值；
（ⅱ）设a 为正整数，线段AB 上横坐标为整数的点的个数为m ，请比较m 与2
2
a −
的大小，并说明理由．
4．（2026·河南·中考真题）定义：若点P ，Q 在同一抛物线上，且点Q 的横坐标比点P 的横坐标大3，则
称点Q 是点P 的“黄金搭档点”．例如，抛物线
2
y
x
=
上，点(
)
3,9 是点(
)
0,0 的“黄金搭档点”．
(1)点(
)
0, 3
A
−
和点B 在抛物线
2
y
x
bx
c
=
+
+ 上，点B 是点A 的“黄金搭档点”，且点B 的纵坐标为12．求b ，
c 的值．
(2)点M ，N 在（1）中的抛物线上，且点N 是点M 的“黄金搭档点”．
①若点M ，N 的纵坐标相等，求点M ，N 的横坐标．
②抛物线上M ，N 两点之间的部分（含M ，N 两点）记为图象W ，设点M 的横坐标为m ，当
5
0
2
m
−
时，若图象W 上的最高点和最低点到x 轴的距离之和为5，请直接写出m 的值．
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5．（2026·河北·中考真题）如图，二次函数
(
)(
)
3
y
x
t
x
t
=
−
−
（其中
0
t
）的图象与x 轴交于A ，B 两点（点
A 在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为P ．将点B 绕点A 顺时针旋转90得到点D ．
(1)若
1
t = ，求直线PD 的函数表达式，并判断点C 关于二次函数图象对称轴的对称点C是否在直线PD 上；
(2)当3
6
x
时，二次函数的最大值为9，求t 的值；
(3)连接OP ，当点D 不在直线OP 上时，过点D 作直线DE
OP
∥
交y 轴于点(
)
0,
E
m ，请直接写出m 的最小
值．
6．（2026·四川广元·中考真题）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交
点为二次函数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系xOy 中，一次函数
1
2
2
y
x
=
+
的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点．
(1)如图1，若点P 为线段AB 的中点，二次函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
的“顶点弦”为线段PB ，且点P 为顶点，
求该二次函数的解析式；
(2)在（1）的条件下，若直线AB 上方抛物线上有一点E ，使
45
BPE
BAO
+
=
，求点E 的坐标；
(3)点G 在线段AB 上，若抛物线
(
)
2
1
1
1
1
1
:
0
F
y
a x
b x
c a
=
+
+
和抛物线
(
)
2
2
2
2
2
2
:
0
F
y
a x
b x
c
a
=
+
+
的“顶点弦”
分别为GA和GB ，点G 为
1F 和
2
F 的顶点，且
1
2
2
0
a
a
+
=
，求GA
GB 的值．
7．（2026·上海·中考真题）对于函数
(
)
2
0
y
ax
bx
c a
=
+
+
，对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向右平移一个
单位得到点B ，使点C 与点B 的横坐标相等，且点C 的纵坐标为2a，则称点C 为抛物线的“派生点”，并且
将直线AC 称为抛物线的“派生直线”．
(1)已知函数
2
2
3
y
x
=
+ ，求该函数的“派生直线”解析式；
(2)已知点C 为某抛物线的“派生点”，点(
)
1,
P
m 和
(
)
7,
Q
n 在其“派生直线”
2
6
y
x
=
−上，且点P 是该抛物线与
其“派生直线”的交点，求PC
CQ 的值，并判断点Q 是否在抛物线上．
8．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数
(
)
2
3
0
2
y
ax
x
c a
=
+
+
的图象与x
轴交于(
)
1,0
A
B
−
、两点，与y 轴交于点
(
)
0,2
C
．
(1)求二次函数的表达式；
(2)连接BC ，点P 是第一象限内二次函数图象上的点，过点P 作PH
BC
⊥
于点H，求线段PH 的最大值；
(3)连接AC ，点D与点C关于原点成中心对称，在二次函数的图象上找一点E，作射线DE ，使
BDE
ACO
=
，
求点E 的纵坐标．
9．（2026·湖南·中考真题）如图1，公路1l 与铁路2l 垂直交汇于河岸O点处，公路1l 与河岸的另一交点为A ，
其中河岸OCB 段为抛物线的一部分，AB 段为线段，
7km
OA =
，
5km
AB =
，点B 到公路1l 的距离
3km
BD =
，
抛物线的顶点C 到公路1l 与铁路2l 的距离分别为4 km 与2 km ．当地政府为了振兴乡村经济，拟开发河道与
公路1l 围成的区域，用于生态放牧．为了放牧安全，准备用栅栏与河道围成封闭区域，如图2 ，栅栏EF 紧
挨公路1l （与公路1l 的距离忽略不计），栅栏EH
EF
⊥
，点H 在该段抛物线上；栅栏FG
EF
⊥
，点G 在线
段AB 上．以点O为坐标原点，直线1l 与2l 分别为x 轴与y 轴，规定1个单位长度为1 km ，建立平面直角坐标
系．
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(1)请直接写出点B 的坐标；
(2)分别求直线AB 与抛物线OCB 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)点E 到铁路2l 的距离小于1.5km ，
2
EH
FG
=
，已知建1 km 长栅栏的各项开支为2 万元，建完栅栏需花费
17 万元．求栅栏EH 到铁路2l 的距离．
10．（2026·云南·中考真题）已知
0
m
，
4
2
192
4
118
S
m
m
m
m
=
+
+
−
−
．某二次函数表示的图象为抛物线M ，
抛物线M 经过(
)
10,0
−
A
，(
)
2
2
4 ,0
B
m
m
−
两点．函数
(
)(
)
2
4
3
24
y
x
x
=
+
−
表示的图象为抛物线T ．x 轴上有
这样的点，它既在抛物线M 上，又在抛物线T 上．
(1)求抛物线T 与x 轴的公共点的坐标；
(2)比较S 与145 的大小．
11．（2026·福建·中考真题）已知抛物线
2
y
x
bx
c
−
=
+
+ ．
(1)若
1
b = ，
2
c =
，求抛物线的顶点坐标；
(2)若抛物线上存在一点(
)
0
0
,
P x y
在x 轴上方，求证：抛物线与x 轴有两个交点；
(3)抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点(
)
0,2
C
，直线
2
y
bx
=
+
与
1
y
bx
−
−
=
相交于点D ，E 是y 轴
上不与点C 重合的点．若坐标平面内存在点M 满足MA
MB
MC
ME
=
=
=
，试探究CD和DE 的数量关系，
并证明．
12．（2026·广东·中考真题）如图1，设O为坐标原点，二次函数
2
3
y
x
bx
= −
+
+
的图象经过点(
)
3,0
A −
，与
y 轴交于点B ，其对称轴与x 轴交于点C ，连接AB ，BC ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)求cos
ABC
的值；
(3)如图2，动点P 在线段AB 上，过点P 作AB 的垂线PQ ，与二次函数在第二象限的图象交于点Q ，求
2
BP
PQ
+
的最大值．
13．（2026·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)(
)
1
3
y
a x
x
=
+
−
与x 轴交于A ，B 两
点．与y 轴交于点C ．直线y
x
m
=
+
经过点C 、与x 轴交于点
(
)
3,0
D −
．
(1)求m 的值及抛物线的函数表达式；
(2)若线段EF 在抛物线的对称轴上运动，且
2
EF =
，求四边形DCEF 周长最小时点E 的坐标；
(3)将抛物线沿射线BC 方向平移3 2 个单位长度，点G 为平移后的抛物线对称轴上一动点，请问是否存在以
A ，C ，G 为顶点的直角三角形？若存在，直接写出点G 的坐标；若不存在．说明理由．
14．（2026·四川广安·中考真题）如图，二次函数
2
4
y
ax
bx
=
+
+ （a，b 为常数，
0
a
）的图象与x 轴分别
交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，
1
2
OB
OA =
，
6
AB = ．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①连接AC ，点P 是第一象限内抛物线上的一动点，当点P 到AC 的距离最大时，求点P 的坐标；
②在①的条件下，点M ，N 分别是y 轴和抛物线对称轴上两个动点，且MN
y
⊥
轴，连接BM ，MN ，NP，
求BM
MN
NP
+
+
的最小值；
(3)在（2）的条件下，平面内是否存在点Q ，使以点Q ，A ，P 为顶点的三角形为等边三角形？若存在，请
直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
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15．（2026·山东德州·中考真题）已知二次函数
(
)
(
)
2
2 3
3
y
x
m
x
m
=
−
+
−
− ，m 为常数．
(1)当
0
m =
时，求该二次函数的对称轴；
(2)若当
0
x
时，y 随x 的增大而增大，当
1
x − 时，y 随x 的增大而减小，求m 的取值范围；
(3)若在该二次函数的图象上有一点A ，且点A 到x 轴的距离为21，求点A 到对称轴的距离．
16．（2026·四川乐山·中考真题）已知抛物线
2
:
2
3
C y
x
x−
=
−
交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），
顶点为点P ．
(1)求A、B 两点的坐标；
(2)直线
(
)
:
0
l y
kx
b k
=
+
与抛物线C 交于D ，E 两点．
①若A、B 两点到直线l 距离相等，则直线l 过定点，请求出这个定点，并说明理由；
②若
90
DPE
=
，试问直线l 是否过定点？若过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．
17．（2026·天津·中考真题）已知抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ （a ，b ，c 为常数，
0
a
，
0
c
）的顶点为P ．
(1)当
1
a = −，
2
b = −，
3
c = 时，求点P 的坐标；
(2)点(
)
,0
A
c
−
和点B 为抛物线与x 轴的两个交点，点C 为抛物线与y 轴的交点．
①当
1
2
a
−
=
时，若
90
PCA
=
，求c 的值；
②若点(
)
,0
B m
，
75
ACB
=
，D 为线段BC 的中点，点M 在线段AC 上（不与点A ，C 重合），点N 在线
段AB 上，且
2
CM
BN
=
，当MN
ND
+
取得最小值为5时，求c 的值．
18．（2026·天津·中考真题）将一个四边形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，O 为原点，点B 在x 轴
的正半轴上，点A ，C 分别在第一、第四象限，且关于x 轴对称，
6
OA=
，
90
A
=
，
120
AOC
=
．
(1)填空：如图①，点B 的坐标为________，点C 的坐标为________；
(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l
x
⊥
轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O
落在x 轴的正半轴上．设OP
t
= ．
①如图②，若直线l 分别与边AB ，CB相交于点D ，E ，当折叠后重叠部分为五边形时，点A ，C 的
对应点分别为A，C，A O
与DB 相交于点F ，C O
与EB 相交于点G ．试用含有t 的式子表示线段DF
的长，并直接写出t 的取值范围；
②设折叠后重叠部分的面积为S ，当2
8
t
时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．
19．
（2026·甘肃天水·中考真题）抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
与x 轴交于A ，(2,0)
C
两点，与y 轴交于点(0, 6)
B
−
．动
点D 在线段OB 上（点D 与点O不重合）．
(1)求抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
的表达式；
(2)连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ．
①如图1，当
4
BD =
时，求正方形CDMN 的面积；
②如图2，当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标；
(3)如图3，在动点D 的正上方有另一动点
(0, )
E
p ，且
13
4
ED =
，当点D 从点B 开始运动时，点E 以相同的
速度同时出发，两点都沿y 轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E 同时停止运动．连接AE ，CD，求
AE
CD
+
的最小值和此时p 的值．
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20．（2026·甘肃武威·中考真题）抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
与x 轴交于A ，(
)
2,0
C
两点，与y 轴交于点(
)
0, 6
B
−
，
动点D 在线段OB 上（点D 与点O不重合）．
(1)求抛物线
2
2
3
y
x
bx
c
=
+
+
的表达式；
(2)连接CD，在CD的左上方以CD为边作正方形CDMN ．
①如图1，当
4
BD =
时，求正方形CDMN 的面积；
②如图2 ，当点M 落在抛物线上时，求点M 的坐标；
(3)如图3，在动点D 的正上方有另一动点
(
)
0,
E
p ，且
13
4
ED =
，当点D 从点B 开始运动时，点E 以相同的
速度同时出发，两点都沿y 轴的正方向匀速运动，点D 停止运动时点E 同时停止运动．连接AE ，CD，求
AE
CD
+
的最小值和此时p 的值．
21．（2026·四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线
2
y
kx
=
+ （
0
k ）与抛物线
2
y
x
=
相
交于A ，B 两点．C ，D 两点在抛物线上，且CD
AB
∥
．
(1)若点A 的坐标为(
)
1,1
−
，求k 的值和点B 的坐标；
(2)在（1）的条件下，记C ，D 两点的横坐标分别为m ，n （m
n
），当m
x
n
时，函数
(
)
2
y
x
h
=
−
总
在x
n
=
处取得最大值，求h 的取值范围；
(3)若
2
AB
CD
=
，直线AC ，BD 的交点E 恰好落在x 轴正半轴上，求点E 的坐标和k 的值．
22．（2026·吉林·中考真题）如图①，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，函数
(
)
(
)
2
1
1
3
0
y
x
x
=
+
−
−
的图象记为
1
G ，顶点为点A ．将
1
G 向右平移3 个单位长度，再向下平移3 个单位长度得到图象
2
G ，点A 的
对应点为点B ，图象
1
G 与
2
G 合起来得到的图象记为G ．
(1)填表：
图象
对应的函数解析式
点的坐标
1
G
(
)
(
)
2
1
1
3
0
y
x
x
=
+
−
−
A （__________，
__________）
2
G
__________
B （__________，
__________）
(2)观察图象G ，解答下列问题：
①直接写出当x 在什么范围内取值时，y 随x 的增大而减小；
②当2
x
n
−
时，1
0
y
−
，求n 的取值范围．
(3)如图②，点P 为
1
G 上一点，横坐标为m ；点Q 为
2
G 上一点，横坐标为
3
m+ ；点C 为
2
G 上一点，横坐标
为3．过点C 作x 轴的平行线1l ，点Q 关于直线1l 的对称点为点D ，过点D 作x 轴的平行线2l ．图象G 上P ，
Q 两点之间的部分（含P ，Q 两点）的最高点和最低点到直线2l 的距离分别为
1h ，
2h ．
①请你判断点P ，Q 是否为平移前后的一组对应点，不需要说明理由；
②当
1
2
2
h
h
=
时，直接写出m 的值．
23．（2026·四川自贡·中考真题）平面直角坐标系中，抛物线
2
1
2
y
x
mx
n
= −
+
+
经过(
)
0,6 和(
)
2,4 两点．
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(1)求m ，n 的值．
(2)如图，过原点O的两条直线与该抛物线相交于点A ，B ，C ，D（点A 在第三象限，点C 在第二象限）．
①求线段OC 长度的最小值；
②连接AC ，BD 分别交x 轴于E ，F 两点，设OAE ，
OBF
△
的面积分别为
1S ，
2
S ，是否存在直线AB 使
1
2
2
S
S
=
?若存在，求出直线AB 的解析式；若不存在，请说明理由．
24．（2026·四川巴中·中考真题）如图，抛物线
2
2
y
ax
bx
=
+
+ （
0
a
）与x 轴交于(
)
2,0
A −
、(
)
1,0
B
两点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点D 为抛物线在第二象限内的动点，求ACD面积的最大值；
(3)在第二象限内的抛物线上是否存在点Q ，使得
2
ACQ
OCB
=
？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，说
明理由．
25．（2026·四川南充·中考真题）已知抛物线
(
)
2
1
y
x
t
= −
−
+ ．（t 为常数）．
(1)若抛物线过点(
)
3,m
−
，(
)
1,m ，求t 的值．
(2)抛物线与x 轴交于A、B 两点，点(
)
2
1,0
P
t −
为线段AB 上一点，过点P 作x 轴垂线，分别与抛物线和直
线
1
3
2
y
x
= −
−交于点M，N，求MN 最大值．
(3)点(
)
1
1
,
C x y ，(
)
2
2
,
D x
y
都在抛物线上，当
1
2
1
2
t
x
t
−
−
−
，
2
2
4
x
时，都有
1
2
y
y
，求t 的取值范围．
26．（2026·四川凉山·中考真题）如图，抛物线
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与x 轴交于A，B 两点，与y 轴交于点C，其
中(
)
4,0
B
，(
)
0,4
C
，对称轴是直线
1
x = ．动点M 以每秒1 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点B 运动，
设运动时间为t（0
4
t
）秒，过点M 作x 轴的垂线交BC 于点N，交抛物线于点P．
(1)求抛物线解析式；
(2)抛物线的对称轴交BC 于点E，顶点是点D，当t 为何值时，四边形DENP 为平行四边形；
(3)动点M 开始运动时，另一动点Q 同时以每秒0.5 个单位长度的速度，沿x 轴从点O 向点A 运动．当t 为
何值时，四边形PCQB 的面积最大，并求最大面积．
27．（2026·重庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线
2
1
4
y
x
bx
c
−
=
+
+
与x 轴交于点A，(
)
4,0
B
，
与y 轴交于点(
)
0,1
C
，连接AC ，BC ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)P 是线段BC 上方抛物线上的一动点，过点P 作PD
BC
⊥
，垂足为D，E 是x 轴上一动点，连接PE ．当PD
的长度取得最大值时，求点P 的坐标及
2
2
PE
AE
+
的最小值；
(3)将抛物线沿射线CA方向平移2 个单位长度得到抛物线y，点B 的对应点为F，M 是平移后抛物线y上
一点，直线AM 交直线BF 于点N，且
90
ANB
ACB
=
−
．请直接写出所有符合条件的点M 的坐标，并写出
求解点M 的其中一种情况的过程．
28．（2026·贵州·中考真题）某课外实践小组用AI 模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图
①所示．跳弹在空中飞行的高度y 与水平距离x 之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为8.1的A
处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为
2
1
0.2
.5
:
5
2
C
y
x
x
= −
+
，
2
2
2
:
0. 5
C
y
x
mx
n
= −
+
+
，
2
3
2
:
0. 5
C
y
x
px
q
= −
+
+
，与水面分别接触于点B ，点C ．（演
示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
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(1)已知点A 与点O所在直线AO 的表达式为
0.9
y
x
= −
，分别求出A ，B 两点的坐标；
(2)若水面上
(
)
12,0
D
处有一个高为2 （宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽
4
DE =
的暗礁，抛物线
2
C 在
14
x =
时距水面最高，请判断跳弹沿路径
2
C 运动时能否避开障碍物和暗礁；
(3)在( )
2 的条件下，若跳弹从水面上点C 弹起后，沿路径
3
C 撞击对方目标截面F 处时，启动跳弹内部回弹
装置，避开暗礁沿直线FM 加速飞向水面，接触水面后沿直线MN 撞向目标，该过程始终保持
1
2
FH
MH
MH
NH
=
=
．且目标露出水面的垂直高度
6
HG =
，点H 的坐标(
)
20,0 ，打击点N 距水面的距离为NH ，
且6
10
NH
，求抛物线
3
C 中p 的取值范围．
29．（2026·湖北武汉·中考真题）抛物线
1
C ：
2
2
3
y
x
x
−
=
+
+ 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧）．
(1)求A 、B 两点的坐标．
(2)如图1，直线
(
0)
y
d d
=
交抛物线
1
C 于C 、D 两点，BCD的外心E 在边CD上，求d 的值．
(3)如图2，抛物线
2
C ：
2
y
x
px
q
+
=
+
与抛物线
1
C 交于M 、N 两点，连接MN ．T 是线段MN 上一点，过点
T 作y 轴的平行线分别交抛物线
1
C 、
2
C 于P 、Q 两点，连接PM 、PN 、QM 、QN ．求证：PMN 与
QMN
△
的面积相等．
30．（2026·四川达州·中考真题）数学活动：探究一次函数与反比例函数的关系
【定义】当两个函数图象无交点时，称它们为“陌生函数”：当两个函数图象只有一个交点时，称它们为“相
连函数”，交点为相连点；当两个函数图象有两个交点时，称它们为“友好函数”，交点为友好点．
根据定义在判定一次函数与反比例函数为何种关系函数时，可用以下两种方法：
【方法一】根据函数表达式画出图象，由图象确定．如图1．因为一次函数与反比例函数图象没有交点，所
以它们是“陌生函数”
【方法二】根据一元二次方程根的判别式确定，如判定
2
1
y
x
=
−与
1
y
x
=
的关系时，由函数表达式得
1
2
1
x
x
−=
，
去分母得
2
2
1
0
x
x
−
−=
，因为
9
0
=
，所以函数图象有两个交点，故它们是“友好函数”
【问题解决】
(1)对于函数①
2
y
x
= −
，②
2
y
x
=
，③
3
1
y
x
−
=
+ ．其中①与②是“______函数”，①与③是“______函数”；
(2)若
(
)
1
0
m
y
m
x
=
与
(
)
2
0
y
kx
b k
=
+
是“友好函数”，如图2，当
1
2
y
y
时，x 的取值范围是______；若
(
)
0
n
y
n
x
=
与
2
6
y
x
=
−是“相连函数”，则n 的值为______；
(3)如图3，过点
(
)
0,6
C
的直线1l 、2l 对应的函数分别与
1k
y
x
=
（
1
0
k
，
0
x
），
2k
y
x
=
（
2
0
k
，
0
x
）
是“相连函数”，相连点分别为P ，Q ，1l 、2l 与x 轴分别交于A ，B 两点，已知
6
AB = ，1
2
18
k k = −
，求
2
2
1
2
k
k
+
的值．
31．（2026·黑龙江绥化·中考真题）综合与探究，已知抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
与x 轴交于点(
)
1,0
A −
，(
)
4,0
B
，
与y 轴交于点C ，点O为坐标原点，作直线BC ．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)在抛物线上有两个动点P ，Q ，点P 在第一象限，横坐标为m ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N ，交BC
于点M ，点Q 的横坐标为
3
2
m −
．若
MCN
△
的面积记作
1S ，
PMQ
△
的面积记作
2
S ，当
1
2
S
S
S
=
+
有最大值
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时，求点P 的坐标．（自行完成作图并解答）
(3)把抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
沿射线BC 方向平移，平移后，新抛物线y过点C ，点E 是新抛物线y对称轴与
x 轴的交点，点F 是新抛物线y对称轴上的动点，连接FC ，FO．若FO平分
CFE
，请直接写出符合条
件的点F 坐标．（自行完成作图并作答）
32．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线
(
)
2
4
0
y
ax
bx
a
=
+
+
与x 轴交于点(
)
2,0
A −
，(
)
4,0
B
，与y 轴交于
点C ，作直线AC ，BC ，点P 为第一象限内抛物线上的动点，过点P 作PD
x
⊥
轴，垂足为D ，PD 交直线
BC 于点E ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求PE 的最大值及PE 最大时点P 的坐标；
(3)如图2，若将抛物线
2
4
y
ax
bx
=
+
+
沿射线AC 方向平移5 个单位长度，得到新抛物线，点Q 为新抛物线
上一点，且
CBQ
ACB
=
∠
∠
，则点Q 的坐标为 ；
(4)当PE 最大时，作直线OE ，若点M 为直线BC 上的一个动点，连接OM ，将线段OM 绕点O顺时针旋转90
得到OM，取OM的中点N ，过点N 作NF
OE
⊥
，垂足为F ，连接AN ，PF ，则AN
PF
+
的最小值为 ．
33．（2026·四川成都·中考真题）如图1，在平面直角坐标系xOy 中，直线y
kx
=
与反比例函数
2
y
x
=
的图象
相交于(
)
1,
A
a ，B 两点，过点A 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为C，D．
(1)求线段AB 的长；
(2)已知P 为y 轴正半轴上一点，若ABP 为直角三角形，求点P 的坐标；
(3)如图2，将线段DA ，AC 组成的折线段“ D
A C
−
−
”沿x 轴正方向平移得到折线段“ D
A
C
−
−
”，点D，A，
C 的对应点分别为
,
,
D A C
．A C
与反比例函数的图象交于点E，直线BD与反比例函数的图象在第一象限
交于点F，OE 与C F交于点G．试探究：在平移过程中，FG
GC的值是否为定值？若是，求出这个值；若不
是，请说明理由．
34．（2026·江西·中考真题）如果两条不共顶点的抛物线，都经过对方的顶点，那么称这两条抛物线互为“伴
随对称抛物线”．
(1)试判断
2
4
4
y
x
x
=
−
+
与
2
2
y
x
x
−
=
+
是否互为“伴随对称抛物线”，并说明理由；
(2)如图1，若
1
C ：
(
)
2
1
1
1
y
a
x
h
k
−
=
+
与
2
C ：
(
)
2
2
2
2
y
a
x
h
k
−
=
+
互为“伴随对称抛物线”，顶点分别为
1A ，
2
A ，
记
1
C ，
2
C 组成的图形为C ．
①试猜想
1a 与
2a 的数量关系，并证明；
②进一步探究可知C 为中心对称图形，请确定C 的对称中心的位置；（直接写出结果）
③如图2，若
1
C ：
2
y
x
=
，
2
0
h
，
1B ，
2
B 分别为
1
C ，
2
C 上的点，且四边形
1
1
2
2
A B A B 为正方形，求
(
)(
)(
)
2
2
2
2
1
1
h
h
h
−
−
+
的值．
35．（2026·江苏苏州·中考真题）将一个二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 与一个一次函数y
mx
n
=
+
求和，可以得到
一个新的二次函数
(
)
(
)
2
y
ax
b
m x
c
n
=
+
+
+
+
，我们将这种得到新二次函数的方法叫做二次函数对一次函数
的“吸收”．“吸收”得到的新二次函数叫做“吸收函数”．
(1)若二次函数
2
y
x
=
对一次函数y
mx
n
=
+
“吸收”，所得“吸收函数”的图像与x轴的交点坐标为(
)
2,0
−
，(
)
4,0 ，
求m，n 的值；
(2)已知二次函数
2
2
3
y
x
x−
=
+
对一次函数y
mx
n
=
+
“吸收”．
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①若所得“吸收函数”的最小值与
2
2
3
y
x
x−
=
+
的最小值相等，求n 的取值范围；
②若所得“吸收函数”的图像顶点为M，且与一次函数y
mx
n
=
+
的图像交于A，B 两点．当ABM 的面积为
4 时，求m 的值．
36．（2026·江苏扬州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线
2
1
y
ax
bx
=
+
+ 经过点(
)
2,1 和(
)
4, 7
−
．
(1)求抛物线的函数表达式，并写出它的顶点坐标．
(2)抛物线上有两动点M，N，横坐标分别为m，n（m
n
），记抛物线在M，N 之间的部分（包括M，N
两点）为图象G．过图象G 的左右两端M，N 分别作x 轴的垂线，过图象G 的最高点和最低点分别作y 轴
的垂线，四条直线围成的矩形记为矩形R．
①若
2
m = −，矩形R 的垂直高度
9
=
h
，则矩形R 的水平宽度p 的取值范围是_______；
②若矩形R 的水平宽度
5
p =
，则矩形R 的垂直高度h 的取值范围是_______；
③若矩形R 为正方形且边长为3，求点M 的坐标．
37．（2026·四川甘孜·中考真题）如图1，抛物线
(
)(
)
12
6
y
a x
x
=
+
−
(
)
0
a
与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴
交于(
)
0,6 3
B
．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将原点O，点B 关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C ，点D ，连接CD，AD ，作
OAD
的平分线交
CD于点E ．
①求点E 的坐标；
②如图2 ，点F 为直线AD 左侧抛物线上一点，连接FE 并延长交x 轴于点G ，连接DG 交抛物线于点H ，
连接EH ，当
DEH
DEF
=
时，求点H 的横坐标．
38．（2026·北京·中考真题）对于不共线的三点A，B，C，连接AB ，AC ，并作劣弧BC ，使得BC 所在圆
的圆心在过点A 且与BC 平行的直线上，称由AB ，AC 和BC 组成的图形为单弧三角形，记作
A
BC
−
△
，
其中BC 所在圆的圆心称为
A
BC
−
△
的弧心．
在平面直角坐标系xOy 中，
(1)如图1，点(
)
2, 1
A
−
−
，(
)
3,1
B −
，
(
)
1,1
C
，直接写出
A
BC
−
△
的弧心的坐标及BC 的长；
(2)如图2，点(
)
2 3,2
D −
，(
)
2,0
E
，当
D
EF
−
△
的弧心为O 时，求点F 的坐标；
(3)已知点
(
)
1,0
M
，对于平面内的点N，存在点P，Q 满足
P
MN
−
△
和
Q
MN
−
△
的弧心均为O，PMN 和
QMN
△
都不是钝角三角形，且
1
PQ = ，记N 的横坐标为t，直接写出t 的取值范围．
39．（2026·湖北·中考真题）抛物线
2
2
y
x
x
c
=
−
+
与x 轴交于点(
)
1,0
A −
和点B ，与y 轴交于点C ．点P 在
直线BC 上，设点P 的横坐标为t ．
(1)求c 的值；
(2)如图1，点H 是抛物线上位于第四象限的点，PH 平行于x 轴．当
1
t = 时，求点H 的坐标；
(3)点Q 在直线BC 上且位于点P 的右上方，
2 2
PQ =
．过点P ，Q 分别作x 轴和y 轴的垂线，四条垂线围
成四边形PEQF ．若四边形PEQF 的边与抛物线有两个交点M ，N ，记M ，N 的纵坐标之和为f ．
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①当点P 在线段BC 上时，求f 关于t 的函数解析式；
②当
11
2
f = −
时，直接写出t 的值．
