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专题22 特殊的平行四边形（3 考点46 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 矩形的性
质与判定
核心考查对角线相等、直角特性、
中心对称；选填侧重坐标、折叠计
算，解答为判定证明，融合尺规作
图、动点分段函数，依托矩形对称
中心平分面积命题。
变换创新：矩形折叠多解分类讨论；
坐标创新：平面直角坐标系结合动
点面积函数；作图创新：尺规作角
平分线、等线段结合矩形求线段；
模型创新：将军饮马最值阅读探究。
考点02 菱形的性
质与判定
围绕四边相等、对角线垂直平分、
60° 等边模型命题，面积双公式高
频考查；选填配函数图像动点，解
答结合折叠对称、文物实物情境，
开放条件判定菱形。
情境创新：汉代青铜文物、纹样拼
接；最值创新：动点线段差最大值；
函数创新：动点路程与线段长图像
结合；开放创新：自主补充条件证
菱形。
考点03 正方形的
性质与判定
综合矩形、菱形全部性质，压轴必
考；融合全等、勾股、外角平分线
模型，含剪拼、对称、动点存在性
探究，梯度设问区分度高。
操作创新：两正方形剪拼大正方形；
模型创新：正方形外角平分线经典
模型；定值探究：对称图形周长定
值辨析；动态创新：三角形内滑动
正方形参数求解。
考点01 矩形的性质与判定
1．（2026·广东·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在
平面内，把一个图形绕着某个点旋转180，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中
心对称图形．
根据中心对称图形和轴对称图形的概念求解即可．
【详解】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
D、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
2．（2026·贵州·中考真题）如图，小星在完成人工智能设计的计算机任务时，发现屏幕上出现了长为4 ，
宽为2 的矩形OABC，且点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，于是过定点(
)
0, 1
P
−
沿直线向矩
形OABC射去，如果某时刻射出的直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，则该直线与矩形BC 边的
交点坐标为（ ）
A．(
)
0, 1
−
B．(
)
2,2
−
C．(
)
4,2
−
D．(
)
3,2
−
【答案】D
【分析】根据矩形的性质，过矩形对称中心的直线将矩形面积平分，先求出矩形OABC的中心坐标，再结
合点P 的坐标求出直线解析式，最后求该直线与边BC 的交点坐标即可．
【详解】解：
矩形OABC的长为4 ，宽为2 ，且点A 在x 轴的负半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，
点
(0,0)
O
，点(
)
4,0
A −
，点(
)
0,2
C
，点
( 4,2)
B −
，
直线将矩形OABC分成面积相等的两部分，
该直线必经过矩形OABC的对称中心（即对角线OB 的中点），
设矩形中心为点M ，则点M 的坐标为
4
0 2
0
,
2
2
−+
+
，即
( 2,1)
M −
，
设过点
(0, 1)
P
−
和点
( 2,1)
M −
的直线解析式为y
kx
b
=
+
，
∴{
𝑏= −1
−2𝑘+ 𝑏= 1，解得{𝑘= −1
𝑏= −1，
直线解析式为
1
y
x
= −−，
点
(0,2)
C
，点
( 4,2)
B −
，
线段BC 在直线
2
y =
上，
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令
2
y =
，则2
1
x
= −−，解得
3
x
−
=
，
该直线与矩形BC 边的交点坐标为( 3,2)
−
．
3．（2026·云南·中考真题）在矩形ABCD中，若
7
AC =
，则BD = ________．
【答案】
7
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
,
AC BD 为矩形的两条对角线，
∴AC
BD
=
，
∵
7
AC =
，
∴
7
BD =
.
4．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O，AE 垂直且平分线
段BO，垂足为点E ．已知
20 cm
BD =
，则AB 的长为________cm．
【答案】
10
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到AB
AO
=
，再由矩形的性质得到
1
10cm
2
AO
BD
=
=
，则
10cm
AB
AO
=
=
．
【详解】解：∵AE 垂直且平分线段BO，
∴AB
AO
=
，
∵四边形ABCD是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O，
20cm
BD =
，
∴
1
1
10cm
2
2
AO
AC
BD
=
=
=
，
∴
10cm
AB
AO
=
=
．
5．（2026·四川成都·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
4,
6
AB
BC
=
=
，分别以B，C 两点为圆心，以AB
的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD内部交于点P，则点P 到AD 所在直线的距离为_____．
【答案】4
7
−
【分析】连接
,
PB PC ，过P 作PE
BC
⊥
，延长EP 交AD 于点F ，如图，根据题意可得，
4
PB
PC
AB
=
=
=
，
可得E 为线段BC 的中点，根据勾股定理求得PE 的长度，即可求解．
【详解】解：连接
,
PB PC ，过P 作PE
BC
⊥
，延长EP 交AD 于点F ，如图，
由题意可得，四边形ABEF 为矩形，
4
PB
PC
AB
=
=
=
，
则
4
EF
AB
=
=
，E 为线段BC 的中点，即
1
3
2
BE
BC
=
=
，
线段PF 的长为点P 到AD 所在直线的距离，
由勾股定理可得，
2
2
7
PE
PB
BE
=
−
=
，
∴
4
7
PF
EF
PE
−
=
=
−
，
则点P 到AD 所在直线的距离为4
7
−
．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，点到直线的距离，解题的关键是理解题意，作出辅助
线，构造出直角三角形．
6．（2026·山东德州·中考真题）如图，在四边形BCED 中，
90
B
D
=
=
，
3
BD =
，
5
CE =
．取BD 的中
点A ，连接AC ，AE ，将ABC和ADE 分别沿AC ，AE 折叠，若BC 和DE 恰好都能与EC 重合，线段AE
的长为______．
【答案】
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3 10
2
【分析】根据题意作图，得到AB
AB
AD
AD
=
=
=
，
1
3
2
2
AB
AD
BD
=
=
=
，
,
,
90
DE
D E BC
B C
ADE
AD E
B
AB C
=
=
=
=
=
=
，如图所示，过点C 作CF
DE
⊥
于点F，得到矩形
BCFD，由勾股定理得到
4
EF =
，设BC
B C
DF
x
=
=
=
，则
5
EB
CE
B C
x
=
−
= −，
4
DE
DF
EF
x
=
+
= + ，
由此列式得到
1
2
DF =
，则
9
2
DE =
，再根据勾股定理即可求解．
【详解】解：将ABC和ADE 分别沿AC ，AE 折叠，点B，D 的对应点为B，D，若BC 和DE 恰好都
能与EC 重合，则点
,
B D
重合，如图所示，且点A 是BD 的中点，
∴AB
AB
AD
AD
=
=
=
，
1
3
2
2
AB
AD
BD
=
=
=
，
,
,
90
DE
D E BC
B C
ADE
AD E
B
AB C
=
=
=
=
=
=
，
如图所示，过点C 作CF
DE
⊥
于点F，
∴
90
CFD
D
B
=
= =
，
∴四边形BCFD是矩形，
∴
90 ,
3,
CFE
CF
BD
BC
DF
=
=
=
=
，
∴
2
2
2
2
5
3
4
EF
CE
CF
=
−
=
−
=
，
设BC
B C
DF
x
=
=
=
，则
5
EB
CE
B C
x
=
−
= −，
4
DE
DF
EF
x
=
+
= + ，
∴5
4
x
x
−= +
，
解得，
1
2
x =
，
∴
1
9
4
2
2
DE =
+
=
，
在Rt ADE 中，
2
2
2
2
3
9
3 10
2
2
2
AE
AD
DE
=
+
=
+
=
．
7．（2026·山西·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AD
BC ，
90
B
=
，
10
AB =
．点E 是AB 边上的
一点，且
3
AE = ，连接DE ，过点E 作DE 的垂线，交BC 的延长线于点F ，交CD边于点G ．若
5
CF
CG
=
= ，
则线段BF 的长为________．
【答案】14
【分析】过点E 作EH
BF
∥
，交CD于点H ．通过等角对等边证明HG
EH
DH
=
=
，过点G 作GM
AB
⊥
于
点M ，作GN
BF
⊥
于点N ，证明AD
EH
MG ，根据平行线分线段成比例求出
3
EM
AE
=
= ，进而得出
4
BM =
，证明四边形BNGM 是矩形得到
4
GN
MB
=
=
，根据勾股定理求出NC ，得到NF 的长，从而可得
tanF 的值，进而在Rt BEF 中解直角三角形即可求解．
【详解】过点E 作EH
BF
∥
，交CD于点H ．
HEG
F
= ，
CF
CG
=
，
CGF
F
= ，
CGF
HGE
=
，
HEG
HGE
=
，
EH
HG
=
．
DE
EF
⊥
，
90
DEG
=
90
DEH
HEG
+
=
，
90
EDG
DGE
+
=
HEG
DGE
=
，
DEH
EDG
=
，
EH
DH
=
，
DH
HG
=
．
过点G 作GM
AB
⊥
于点M ，作GN
BF
⊥
于点N ，则
90
AMG
=
．
90
B
=
，
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AMG
B
= ，
∴MG
BC
∥
，
,
AD
BC EH
BC ，
AD
EH
MG
BC
，
1
AE
DH
EM
HG
=
= ，
3
EM
AE
=
=
，
10 3 3
4
MB
AB
AE
EM
−
−
=
=
−−=
．
90 ,
,
B
GM
AB GN
BC
=
⊥
⊥
，
四边形BMGN 是矩形，
4
GN
BM
=
=
，
在Rt GNC中，
2
2
3
NC
GC
GN
−
=
= ，
3 5
8
NF
NC
CF
=
+
= + =
．
在Rt GNF 中，
4
1
tan
8
2
GN
F
NF
=
=
=
，
在Rt
EBF
△
中，
3 4
7
BE
EM
MB
=
+
= +
=
，
7
14
1
tan
2
EB
BF
F
=
=
=
．
8．（2026·江苏连云港·中考真题）取一张矩形纸片ABCD（图1），按如图2 所示方式折叠，使点A 落在CD
上，折痕为DE ，再按如图3 所示方式折叠，点C 与点E 恰好重合，则AB
BC = ____．
【答案】2
【分析】设AD
BC
a
=
=
，根据折叠的性质、矩形的性质可判断ADE 是等腰直角三角形，则可得
2
2
DE
AD
a
=
=
，根据折叠的性质得出
2
CD
DE
a
=
=
，即可求解．
【详解】解：设AD
BC
a
=
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
A
ADC
=
=
，
根据图2 可得
1
45
2
ADE
FDE
ADF
=
=
=
，
∴ADE 是等腰直角三角形，
∴
2
2
DE
AD
a
=
=
，
根据图3 可得
2
CD
DE
a
=
=
，
∴
2
2
AB
CD
a
BC
BC
a
=
=
=
.
9．（2026·内蒙古·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
2
AB =
，
4
AD =
，AC 是它的一条对角线，以点B 为
圆心，BA 长为半径画弧，交AC 于点E （异于点A ），分别以点A 和点E 为圆心，大于1
2 AE 长为半径，在
直线AC 的右上方画弧（两弧半径相等），两弧交于点M ，连接BM ，与AC 交于点N ，则BN 的长为
____________．
【答案】4 5
5
【分析】根据题干构造图形，连接
,
,
BE AM EM ，由作图可知BM 垂直平分AE ，根据矩形的性质得到
4
BC
AD
=
=
，根据勾股定理求出
2 5
AC =
，根据等面积法计算即可．
【详解】解：如图，连接
,
,
BE AM EM
由作图可知
,
AB
BE AM
EM
=
=
，
即BM 垂直平分AE ，
∵矩形ABCD，
∴
4
BC
AD
=
=
，
∵
2
AB =
，
∴
2 5
AC =
，
∵
1
1
2
2
ABC
S
AB
BC
AC
BN
=
=
，
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∴1
1
2 4
2 5
2
2
BN
=
，
解得：
4 5
5
BN =
．
10．（2026·四川凉山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
6
AB = 厘米，
8
BC = 厘米．动点E 从点B 出发
以2 厘米/秒的速度在线段BC 上运动，运动到点C 处停止．动点E 运动t 秒时，连接AE ，将ABE 沿着直
线AE 折叠，顶点B 的对应点是点F，连接CF ．当EFC
V
是直角三角形时，则t 为_______秒．
【答案】1.5 或3/ 3
2 或3
【分析】根据折叠的性质可得
6
AF
AB
=
= ，
2
EF
BE
t
=
=
，
90
AFE
B
=
=
，分
90
EFC
=
，
90
CEF
=
和
90
FCE
=
三种情况讨论，利用勾股定理或等腰直角三角形的性质建立方程求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知，
6
AF
AB
=
= ，
2
EF
BE
t
=
=
，
90
AFE
B
=
=
，
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
B
=
，
2
2
2
2
6
8
10
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
∵点E 在线段BC 上，
∴
8 2
EC
BC
BE
t
−
=
= −
；
当EFC
V
是直角三角形时，分三种情况讨论：
①当
90
EFC
=
时，∵
90
AFE
=
，
∴
180
AFE
EFC
+
=
，
∴A ，F ，C 三点共线，
∴
10 6
4
FC
AC
AF
−
=
=
−=
，
在 Rt EFC 中，由勾股定理得
2
2
2
EF
FC
EC
+
=
即
2
2
2
(2 )
4
(8
2 )
t
t
+
=
−
，
解得
1.5
t =
；
②当
90
CEF
=
时，
∴EF
BC
⊥
，
∴
90
BEF
=
，
由折叠可知
AEB
AEF
=
，
∴
1
45
2
AEB
BEF
=
=
，
在 Rt
ABE
△
中，
90
45
BAE
AEB
−
=
=
，
∴
BAE
AEB
=
，
∴
6
BE
AB
=
= ，
∴2
6
t = ，
解得
3
t =
；
③当
90
FCE
=
时， 此时FC
BC
⊥
，即点F 在CD边上，
在 Rt
ADF
△
中，斜边
6
AF = ，直角边
8
AD
BC
=
=
，
∵AF
AD
，
∴此种情况不存在．
综上所述，t 的值为1.5或3．
11．（2026·湖北·中考真题）如图，在矩形ABCD中，E ，F ，G 分别是边AB ，BC ，CD的中点．求证：
EBF
GCF
≌
．
【答案】证明：
点F 是BC 的中点，
BF
CF
=
，
点E ，G 分别是边AB ，CD的中点，
1
BE
AB
2
=
，
1
2
CG
CD
=
，
四边形ABCD是矩形，
AB
CD
=
，
90
B
C
=
=
，
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BE
CG
=
，
在
EBF
△
和GCF 中，
BF
CF
B
C
BE
CG
=
=
=
，
(
)
SAS
EBF
GCF
≌
．
【分析】利用矩形的性质和中点的性质推出BF
CF
=
，
B
C
=
，BE
CG
=
，再利用SAS证明三角形全等
即可．
【详解】略．
12．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在ABC中，
,
AB
AC AD
=
平分
BAC
，点E 是线段AD 的中点，
过点A 作AF
BC
∥
交CE的延长线于点F，连接BF ．
(1)求证：
DEC
AEF
△
≌△
；
(2)判断四边形ADBF 的形状并说明理由．
【答案】(1)证明：∵AF
BC
∥
，
∴
EAF
EDC
EFA
ECD
=
=
∠
∠
，∠
∠
，
∵点E 是线段AD 的中点，
∴AE
DE
=
；
在AEF 和DEC中，
EAF
EDC
EFA
ECD
AE
DE
=
=
=
，
∴
(
)
DEC
AEF AAS
≌
；
(2)解：四边形ADBF 是矩形，理由如下：
∵在ABC中，
,
AB
AC AD
=
平分
BAC
，
∴AD
BC
CD
BD
⊥
=
，
，
∴
90
ADB
=
；
由（1）得
DEC
AEF
△
≌△
，
∴AF
CD
=
，
∴AF
BD
=
，
∵AF
BC ，即AF
BD
∥
，
∴四边形ADBF 是平行四边形，
又∵
90
ADB
=
，
∴平行四边形ADBF 是矩形．
【分析】（1）根据平行线的性质得到
EAF
EDC
EFA
ECD
=
=
∠
∠
，∠
∠
，由线段中点的定义可得AE
DE
=
，
即可证得结论；
（2）由三线合一定理得到AD
BC
CD
BD
⊥
=
，
，可得
90
ADB
=
，结合全等三角形的性质可得AF
BD
=
，
由已知可得AF
BD
∥
，可得四边形ADBF 是平行四边形，结合矩形的判定即可求解．
【详解】（1）略
（2）略
13．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E，F 分别在AD ，BC 上，且BE
DF
=
．求
证：四边形BFDE 是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
,
AB
CD AD
BC
=
=
，
90
A
C
=
=
．
又
BE
DF
=
，
(
)
,
Rt ABE
Rt CDF H L
≌
．
AE
CF
=
，
AD
BC
=
，
AD
AE
BC
CF
−
=
−
．即ED
BF
=
．
∴四边形BFDE 是平行四边形．
【分析】根据矩形性质结合BE
DF
=
证明
(
)
Rt
ABE
Rt
CDF HL
≌
，继而可得ED
BF
=
，根据两组对边相
等的四边形是平行四边形即可得出结论．
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【详解】略
14．（2026·四川自贡·中考真题）如图，在矩形ABCD中，点E ，F 分别为边AD ，BC 上的点，且DE
BF
=
，
连接AF ，CE．
求证：AF
CE
=
．
【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
=
，AD
BC
∥
，
∵DE
BF
=
，
∴AD
DE
BC
BF
−
=
−
∴AE
CF
=
∵AD
BC
∥
，点E ，F 分别为边AD ，BC 上的点，
∴AE
CF
∥
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AF
CE
=
．
【分析】根据矩形的性质可得AD
BC
=
，AD
BC
∥
，结合已知可得AE
CF
=
，进而得出四边形AFCE是平
行四边形，根据平行四边形的性质，即可得证．
【详解】略
15．（2026·四川攀枝花·中考真题）综合探究与应用
【阅读材料】
如图1，两定点A、B 在直线l 异侧，点P 是直线l 上任意一点，当点P 为线段AB 与直线l 的交点时，PA
PB
+
的值最小，最小值为线段AB 的长．理由：在直线l 上另取一点
1P ，连结
1
1
PA
PB
、
，因为三角形的两边之和
大于第三边，所以
1
1
PA
PB
AB
+
，即PA
PB
+
最小值为AB 的长．
【类比应用】
(1)根据阅读材料中的相同道理，类比解决下面的问题：
如图2，两定点A、B 在直线l 同侧，点P 是直线l 上任意一点，当点P 为线段AB 延长线与直线l 的交点时，
PA
PB
−
的值最大，最大值为线段AB 的长．请说明理由．
【拓展提升】
(2)如图3，在矩形ABCD中，
2,
3
AB
AD
=
= ，O为对角线AC 的中点，点H 在AD 边上，且
1
AH = ，点E
在BC 边上，连结HE ，OE ，求HE
OE
−
的最大值．
【答案】(1)解：理由如下：
如图，在直线l 上另取一点
2P ，连结
2P A ，
2P B ，
∵三角形的两边之差小于第三边，
∴
2
2
P A
P B
AB
−
，
当点P 为线段AB 延长线与直线l 的交点时，PA
PB
AB
−
=
，
∴对于直线l 上的任意一点P ，都有PA
PB
AB
−
，
∴当点P 为线段AB 延长线与直线l 的交点时，PA
PB
−
的值最大，最大值为线段AB 的长．
(2)
5
2
【分析】（1）根据三角形的三边关系定理解答即可；
（2）取AD 的中点F ，连接
,
OF OH ，先求出
,
FH OF 的长，再利用勾股定理求出HO 的长，然后利用（1）
的结论解答即可．
【详解】（1）解：略．
（2）解：如图，取AD 的中点F ，连接
,
OF OH ，
∵在矩形ABCD中，
2,
3
AB
AD
=
= ，
∴
1
3
2,
,
90
2
2
CD
AB
AF
AD
D
=
=
=
=
=
，
∵
1
AH = ，
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∴
1
2
FH
AF
AH
−
=
=
，
∵点F 为AD 的中点，点O为对角线AC 的中点，
∴OF 是ACD的中位线，
∴
1
,
1
2
OF
CD OF
CD
=
= ，
∴
90
AFO
D
=
=
，
在Rt HOF 中，
2
2
5
2
OH
OF
FH
=
+
=
，
由（1）可知，当点E 为BC 与HO 延长线的交点时，HE
OE
−
的值最大，最大值为线段HO 的长，即为
5
2 ．
16．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB
BC
，点E 在AD 的延长线上．
(1)求作点F ，使点F 在AD 边上，且
2
AFB
EBC
=
；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若
4
AB =
，
6
BC =
，
2
DE =
，求AF 的长．
【答案】(1)如图，点F 即为所求．
(2)3
【分析】（1）利用尺规作图作
FBE
EBC
=
，
FBE
的边BF 与AD 的交点即为所求作的点F ；
（2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得BF
EF
=
，即可求得AE 的长；设AF
x
=
，则
8
BF
EF
x
−
=
=
，在Rt ABF 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：作
FBE
EBC
=
，
FBE
的边BF 与AD 的交点即为所求作的点F ；
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
∥
，
∴
AFB
FBC
=
，
∵
2
FBC
FBE
EBC
EBC
=
+
=
，
∴
2
AFB
EBC
=
，即点F 即为所求．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
6
BC =
，
AD
BC
，
6
AD
BC
=
=
．
E
EBC
=
，
FBE
EBC
=
，
FBE
E
=
，
BF
EF
=
．
2
DE =
，
8
AE
AD
DE
=
+
= ，
设AF
x
=
，则
8
BF
EF
AE
AF
x
−
=
=
−
=
，
在Rt ABF 中，
90
A
=
，
4
AB =
，
由勾股定理得
2
2
2
AF
AB
BF
+
=
，
(
)
2
2
2
4
8
x
x
−
+
=
，解得
3
x = ，
即
3
AF = ．
17．（2026·吉林·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
6 cm
AB =
，
3 cm
AD =
．动点P 从点A 出发，沿折线
AB
BC
−
以1cm / s 的速度向终点C 运动．在运动过程中，连接DP ．设点P 的运动时间为( )(
)
s
0
t
t
，DP 扫
过的图形面积为(
)
2
cm
S
．
(1)求S 关于t 的函数解析式，并写出自变量t 的取值范围．
(2)当DP 扫过的图形面积(
)
2
cm
S
由矩形ABCD面积的
1
4 扩大到矩形ABCD面积的5
6 时，点P 运动了多长时
间？
【答案】(1)
(
)
(
)
3
0
6
2
3
9 6
9
t
t
S
t
t
=
−
(2)5s
【分析】（1）分0
6
t
和6
9
t
两种情况建立函数关系式即可；
（2）分别求出矩形ABCD面积的
1
4 和矩形ABCD面积的5
6 ，然后分别代入
3
2
S
t
=
和
3
9
S
t
=
−求出对应的时
间，再求解时间差即可．
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【详解】（1）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴
3cm
AD
BC
=
=
，
90
A
B
C
=
=
=
，
当0
6
t
时，
1
1
3
3
2
2
2
S
AP
AD
t
t
=
=
=
；
当6
9
t
时，DP 扫过的图形为四边形ADPB ，此时
(
)
6 cm
BP
t
=
−
∴
(
)
(
)
1
1
6
3
6
3
9
2
2
S
BP
AD
AB
t
t
=
+
=
−
+
=
−
∴
(
)
(
)
3
0
6
2
3
9 6
9
t
t
S
t
t
=
−
；
（2）解：由题意得，
2
3 6
18cm
ABCD
S
AB
AD
=
= =
矩形
，
当
1
9
18
4
2
S =
=
时，则3
9
2
2
t =
，解得
3s
t =
；
当
5 18
15
6
S =
=
时，则3
9 15
t −=
，解得
8s
t =
8 3
5s
−=
∴点P 运动了5s ．
18．（2026·四川乐山·中考真题）如图，在矩形ABCD中，
3
AB =
、
1
AD = ，点P 在线段CD上（点P 不
与点D 重合），连结AP ，将ADP 沿AP 翻折得到、点D 的对应点为D．
(1)求AD的长度；
(2)求证：当
1
DP = 时，四边形AD PD
为正方形；
(3)若点Q 在线段AB 上，且
(
)
0
3
BQ
DP
a
a
=
=
，连接CQ 、将BCQ 沿CQ 翻折得到B CQ
、点B 的对
应点为B，设点B与点D之间的距离为d ，求d 的取值范围．
【答案】(1)1
(2)证明：法一：
ADP 沿AP 翻折得到
AD P
△
，
∴
1
AD
AD
=
= ，
1
D P
DP
=
=
∴AD
AD
D P
DP
=
=
=
∴四边形AD PD
是菱形，
又∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
D
=
，
∴四边形AD PD
是正方形；
法二：
∵四边形ABCD是矩形，
∴
90
D
=
．
又∵△ADP 沿AP 翻折得到
AD P
△
，
∴
90
ADP
D
=
=
，
DAP
D AP
=
，
∵
1
DP
AD
=
= ，
∴
45
DAP
=
，
∴
45
DAP
DAP
=
=
，
∴
2
90
DAD
DAP
=
=
，
∴四边形AD PD
是矩形，
又∵DP
AD
=
，
∴四边形AD PD
是正方形；
(3) 0
2
d
【分析】（1）根据翻折得到
1
AD
AD
=
= ；
（2）根据翻折得到
1
AD
AD
=
= ，
1
D P
DP
=
= ，则AD
AD
D P
DP
=
=
=
推出四边形AD PD
是菱形，最后
根据
90
D
=
得到四边形AD PD
是正方形；
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（3）①当B' 与D重合时，此时
0
d =
最小．②当点P 与点C 重合（点Q 与点A 重合）时，根据折叠证明四
边形AB CD
是矩形，得到
2
d
B D
AC
=
=
=
，此时最大，即可得到点B与点D之间的距离为d 的取值范围
0
2
d
．
【详解】（1）解：
ADP 沿AP 翻折得到
AD P
△
，
∴AD
AD
=
，
又∵
1
AD = ，
∴
1
AD= ；
（2）略
（3）解：①当B' 与D重合时，
此时
0
d =
．
②当点P 与点C 重合（点Q 与点A 重合）时，
∵四边形ABCD是矩形，
3
AB =
、
1
AD = ，
∴
90
ADC
ABC
=
=
，
3
CD
AB
=
=
，
1
AD
BC
=
= ，
∴
(
)
2
2
2
2
3
1
2
AC
AB
BC
=
+
=
+
=
，
由折叠可得
1
AD
AD
=
= ，
3
AB
AB
=
=
，
3
CD
CD
=
=
，
1
CB
CB
=
= ，
90
ADC
ADC
=
=
，
90
AB C
ABC
=
=
，
∴
1
CB
AD
=
= ，
3
AB
CD
=
=
，
∴四边形AB CD
是平行四边形，
∵
90
ADC
ADC
=
=
，
∴平行四边形AB CD
是矩形，
∴B D
AC
=
，
∴
2
d
B D
AC
=
=
=
．
∴0
2
d
．
考点02 菱形的性质与判定
1．（2026·河北·中考真题）河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图1 所示）是汉代颇具代表性的香薰器物．将
它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2 所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图
形是（ ）
A．三角形
B．矩形
C．半圆
D．菱形
【答案】D
【分析】根据三视图的定义，分别分析圆锥、半球、圆柱的主视图形状，即可得出结论．
【详解】解：该几何体上部是圆锥，中部是半球，下部是圆柱
∴圆锥的主视图是三角形，半球的主视图是半圆，圆柱的主视图是矩形
∴这个几何体的主视图中出现的图形有三角形、半圆、矩形，没有菱形．
2．（2026·广西·中考真题）在平面上，基本图形经过旋转、平移等图形变化可以得到丰富的图案．如图1，
在菱形ABCD中剪去一个菱形EMFD 得到如图2 的基本图形，图2 经过旋转、拼接得到图3，图3 经过平
移、拼接得到图4．若
2
AB =
，点E ，F 分别为AD ，CD的中点，则图1 中阴影部分的面积是（ ）
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A．2 3
B．3 3
2
C．3
D．
3
2
【答案】B
【分析】根据菱形的性质及所拼图形，可求得
120
B
D
=
=
，进而可求得两个菱形的高，用大菱形的面积
减去小菱形的面积即可．
【详解】解：由图3 可得3
360
B
=
，
120
B
=
，
在菱形ABCD中，
,
,
AB
BC
CD
AD AD
BC AB
CD
=
=
=
∥
∥
，
180
120
60
A
=
−
=
，
作DG
AB
⊥
于G ，交EM 于H ，
四边形EMFD 是菱形，
EM
CD
∥
，
EM
AB
CD
∥
∥
，
DH
EM
⊥
，
60
DEM
A
= =
，
Rt ADG
中，
3
sin
2
3
2
DG
AD
A
=
=
=
，
点E ，F 分别为AD ，CD的中点，
1
DE
MF
EM
DF
=
=
=
= ，
同法可求得
3
2
DH =
，
3
3 3
2
3
1
2
2
ABCD
DEMF
S
S
S
=
−
=
−
=
形
形
阴影
菱
菱
．
3．
（2026·四川眉山·中考真题）如图，菱形ABCD中，对角线AC 与BD 相交于点O，
6 cm
AC =
，
8 cm
BD =
，
点P 为线段BC 上的一个动点（不与端点重合），过点P 作PM
AC
⊥
于点M，PN
BD
⊥
于点N，连接MN ，
则MN 的最小值为（ ）
A．5 cm
4
B．12 cm
5
C．5 cm
2
D．24 cm
5
【答案】B
【分析】由菱形性质和已知条件可证四边形OMPN 为矩形，所以MN
OP
=
，则MN 的最小值为OP 最小值，
因为点P 为线段BC 上的一个动点，所以OP
BC
⊥
时，OP 最小，根据面积法求出OP 最小值即可．
【详解】解：连接OP ，
∵在菱形ABCD中，
∴
90
BOC
=
，
1
1
3
,
4
2
2
OC
AC
cm OB
BD
cm
=
=
=
=
，
∵PM
AC
⊥
，PN
BD
⊥
，
∴四边形OMPN 为矩形，
∴MN
OP
=
，
则MN 的最小值为OP 最小值，
∵点P 为线段BC 上的一个动点，
∴OP
BC
⊥
时，OP 最小，
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此时
1
1
2
2
BOC
S
OB OC
BC OP
=
=
，
∵
2
2
3
4
5
BC =
+
=
，
∴
(
)
3 4
12
,
5
5
OB OC
OP
c m
BC
=
=
=
，
∴MN 的最小值为12
5 cm ．
4．（2026·贵州·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC ，BD 交于点O，
60
BAC
=
．以点A 为
圆心，以AO的长为半径作弧，交边AD 于点E ，连接OE ，若
1
OE = ，则菱形ABCD的边长为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据题意，易得ABC为等边三角形，得到AB
AC
=
，根据作图得到
,
AO
AE
=
证明AOE 为等边
三角形，得到
1
AO
OE
=
= ，即可得出结果．
【详解】解：∵菱形ABCD，
60
BAC
=
，
∴
,
2
AB
BC AC
OA
=
=
，
60
CAD
BAC
=
=
，
∴ABC为等边三角形，
∴
2
AB
AC
OA
=
=
，
由作图可知，AO
AE
=
，
∴AOE 为等边三角形，
∴
1
AO
OE
=
= ，
∴
2
2
AC
OA
=
=
，
∴
2
AB =
，即菱形ABCD的边长为2．
5．（2026·四川乐山·中考真题）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC 与BD 相交于点O，添加一个条件
后，不能判定四边形ABCD是菱形的是（ ）
A．AB
AD
=
B．AC
BD
⊥
C．AC
BD
=
D．
BAC
DAC
=
【答案】C
【详解】解：A、AB
AD
=
，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意；
B、AC
BD
⊥
，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意；
C、AC
BD
=
，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
//
AB CD，
∴
BAC
ACD
=
，
又∵
BAC
DAC
=
，
∴
ACD
DAC
=
，
∴AD
CD
=
，
∴平行四边形ABCD是菱形，不符合题意；
综上，故选C．
6．（2026·甘肃天水·中考真题）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC 与BD 交于点O，动点M 从点O出发，
沿OC
CD
→
匀速运动至点D 时停止．设点M 的运动路程为x ，AM 的长度为y ，y 与x 的函数图象如图2 所
示，在点M 的运动过程中，当AM
CD
⊥
时，AM 的长度是（ ）
A．3 5
B．6
C．4 2
D．3 3
【答案】D
【分析】根据函数图象获取AO 的长度以及OC
CD
+
的值，结合菱形性质求出边长CD和对角线AC ，判定
ACD的形状，最后利用三角函数或勾股定理求出CD边上的高AM ．
【详解】解：由图2 可知，当
0
x =
时，
3
y =
，此时点M 在点O 处，
∴
3
AO = ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC
BD
⊥
，
3
CO
AO
=
=
，AD
CD
=
．
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由图2 可知，当
9
x =
时，点M 到达点D，
此时运动路程为
9
OC
CD
+
=
，
∴
9
9 3
6
CD
OC
−
=
= −=
，
∴
6
AD
CD
=
=
．
∵
3 3
6
AC
AO CO
=
+
= + = ，
∴AC
AD
CD
=
=
，即ACD是等边三角形．
当AM
CD
⊥
时，AM 为等边ACD的高，
∴
3
sin60
6
3 3
2
AM
AD
=
=
=
．
7．（2026·四川凉山·中考真题）四边形ABCD的对角线互相垂直，垂足为点O，且满足AO
CO
=
，请添加
一个适当的条件：_______，使四边形ABCD成为菱形．（只需要添加一个条件即可）
【答案】
OB
OD
=
（答案不唯一）
【分析】本题可根据菱形的判定定理求解，已知四边形对角线互相垂直，且AO
CO
=
，只需证明四边形ABCD
是平行四边形，即可结合对角线互相垂直判定其为菱形．
【详解】解：添加条件OB
OD
=
即可，
AO
CO
=
，OB
OD
=
，
四边形ABCD是平行四边形，
四边形ABCD的对角线互相垂直，
平行四边形ABCD是菱形
故可添加为OB
OD
=
（答案不唯一）．
8．（2026·北京·中考真题）如图，
ABCD 的两条对角线相交于点O．已知
ABCD 的面积为24 ，BD 的长为
8，当AO的长为________时，
ABCD 是菱形．
【答案】3
【分析】由菱形面积公式
1
2
S
AC BD
=
，解得
6
AC =
，故
1
3
2
AO
AC
=
=
．
【详解】解：由题意，若
ABCD 是菱形，
则
ABCD的面积
1
2
S
AC BD
=
，
∵
ABCD 的面积为24 ，BD 的长为8，
∴
1
24
8
2 AC
=
．解得
6
AC =
．
∵四边形ABCD是菱形，
∴
1
1
6
3
2
2
AO
AC
=
=
=
．
9．（2026·山东·中考真题）如图，在平行四边形纸片ABCD中，
4 cm
AB =
，
5 cm
AD =
，点E 是边AD 的
中点，点F 在边CD上，连接EF ．将纸片沿EF 折叠，点D 落在纸片上的点G 处，连接AG ，CG ．若
3cm
AG =
，
GE
AB ，则
CFG
△
的面积为________
2
cm ．
【答案】9
5
【分析】先由折叠和GE
AB 推出 EG
ED
DF
GF
=
=
=
，从而四边形DEGF 是菱形，得 DG
EF
⊥
且J 为
DG 中点，再利用菱形及中点构造中位线得到I //
J AG且
3
2
EJ =
，结合
5
AD = 可证AG
DG
⊥
并求得
4
DG =
，
最后通过面积法求FH ，利用相似三角形FHD
CKF
求出CK ，从而算出
CFG
△
的面积．
【详解】解：连接DG ，作
,
FH
AD CI
AD
⊥
⊥
，
5
AD = ，点E 是边AD 的中点，
5
2
AE
DE
=
=
，根据折叠可知
5
2
GE =
，
GE
AB ，AB CD ，
EG
CD
∥
，
GEF
DFE
=
，
由折叠可知
DEF
GEF
=
，
DEF
DFE
=
，
5
2
DE
DE
=
=
，
由折叠可知
5
2
GF =
，
EG
DE
DF
GF
=
=
=
，
四边形DEGF 是菱形，
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DG
EF
⊥
，
设
,
DG EF 交点为J ，
J
为DG 中点，
EJ
AG
，且
1
3
2
2
EJ
AG
=
=
，
AG
DG
⊥
，
5,
3
AD
AG
=
=
，
4,
2
DG
JD
=
=
，
在EDF 中，1
1
2
2
ED FH
EF JD
=
，
5
3 2
2 FH
= ，
12
5
FH
=
，
设
,
GF CI 交点为K ，
I
FH
C ，KF
HD ，
FDH
CFK
=
，
I
FHD
C D
=
，
I
C D
CKF
=
，
FHD
CKF
=
FHD
CKF
∽
，
CK
CF
FH
DF
=
，
4
CD
AB
=
=
，
3
2
CF
=
3
2
12
5
5
2
CK
=
，
36
25
CK
=
，
1
1
5
36
9
2
2
2
25
5
CGF
S
GF CK
=
=
=
．
【点睛】本题考查平行四边形与折叠的综合应用，核心知识点是菱形判定、中位线性质、勾股定理及相似
三角形求高，解题关键是通过折叠与平行推出四边形DEGF 为菱形，从而得到垂直、中点及边长关系，进
而用面积和相似计算三角形面积．
10．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，菱形ABCD中，
60
BCD
=
，
6
CD =
，点P 在边CD上，且
2
PC =
，
Q 为边BC 上的动点，点C 关于PQ 的对称点为C．若
C AD
△
、C BD
的面积分别记为
C AD
S
△
、
C BD
S
△
，则
C AD
C BD
S
S
−
△
△
的最大值为____．
【答案】6
【分析】根据
C AD
C BD
ABD
C BA
S
S
S
S
−
=
−
得出当
C BA
S
最小时，即
C G 最小时，
C AD
C BD
S
S
−
△
△
最大，再根据
PC
C G
PH
+
得出
3 3
2
C G
PH
PC
−
=
=
−
最小
，由此即可求解．
【详解】解：过点D 作DF
AB
⊥
，垂足为F ，过点P 作PH
AB
⊥
，垂足为H ，过点C作C G
AB
⊥
，垂足
为G ，
∵
C AD
C AB
ABD
C DB
S
S
S
S
+
−
=
，
∴
C AD
C BD
ABD
C BA
S
S
S
S
−
=
−
，
∵菱形ABCD中，
60
BCD
=
，
6
CD =
，
∴
6
AB
AD
CD
=
=
=
，
60
DAB
BCD
=
=
，
∴
sin
6sin60
3 3
DF
AD
DAB
=
=
=
，
∴
1
6 3 3
9 3
2
ABD
S
=
=
．
∴
9 3
C AD
C BD
C BA
S
S
S
−
=
−
，
又∵
1
1
6
3
2
2
C BA
S
AB C G
C G
C G
=
=
=
，
∴当
C BA
S
最小时，即
C G 最小时，
C AD
C BD
S
S
−
△
△
最大，
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由对称可知：
2
PC
PC
=
=
，
∴C在以P 为圆心2 为半径的圆弧上运动，
∵PH
AB
⊥
，
∴PC
C G
PH
+
，
∴当C在线段PH 上时，
C G 取最小值，最小值C G
PH
PC
−
=
，
又∵AB CD ，
∴
3 3
PH
DF
=
=
，
∴
3 3
2
C G
PH
PC
−
=
=
−
最小
，
∴
C BA
S
的最小值
(
)
3
3
3 3
2
9 3
6
C G
=
=
−
=
−
，
∴
C AD
C BD
S
S
−
△
△
的最大值为
(
)
9 3
9 3
6
6
=
−
−
=
．
【点睛】解题关键是通过面积差的转化，得出
C AD
C BD
ABD
C BA
S
S
S
S
−
=
−
，将面积差最大问题转化为
C BA
S
最小，即
C G 最小．
11．（2026·天津·中考真题）如图，在菱形ABCD中，
5
BC =
，
60
B
=
，连接AC ．
（Ⅰ）线段AC 的长为________；
（Ⅱ）点E 在边AB 上，点F 在BC 的延长线上，EF 与AC 相交于点G ，H 为CD的中点．若
1
AE
CF
=
= ，
则线段GH 的长为________．
【答案】 5
21
2
【分析】（Ⅰ）因为菱形四边相等，所以AB
BC
=
，又因为
60
B
=
，所以ABC是等边三角形，由此可直
接得到AC 的长度．
（Ⅱ）过点E 作
//
EM BC ，交AC 于点M ， 过H 作HN
AC
⊥
于点N ，根据等边三角形的性质和判定先证得
AEM 是等边三角形，进而可证得EMG
FCG
≌
，可求得CG 的长度，在Rt CHN 中，
60
HCN
=
，可
求出
,
HN GN 的长，最后可利用勾股定理求出GH 的长．
【详解】解：（Ⅰ）
菱形ABCD，
5
AB
BC
=
= ．
又
60
B
=
，
ABC
是等边三角形，
5
AC
BC
=
= ．
（Ⅱ）过点E 作
//
EM BC ，交AC 于点M ， 过H 作HN
AC
⊥
于点N ，如图：
ABC 是等边三角形，
60
BAC
ACB
=
=
，
//
EM BC，
60
AEM
B
= =
，
EMG
FCG
=
，
AEM
是等边三角形，
1
AE
EM
AM
=
=
= ．
1
CF = ，
EM
CF
=
，
又
EGM
FGC
=
，
(
)
EMG
FCG AAS
≌
，
MG
CG
=
．
5 1
4
CM
AC
AM
−
=
= −=
，
1
2
2
CG
CM
=
=
．
已知H 是CD中点，
5
CD
BC
=
= ，
5
2
CH
=
，
由菱形性质得
60
ACD
ACB
=
=
，即
60
GCH
=
．
在Rt CHN 中，
60
HCN
=
，
5
1
5
cos60
2
2
4
CN
CH
=
=
=
，
5
3
5 3
sin60
2
2
4
HN
CH
=
=
=
，
5
3
2
4
4
GN
CG
CN
−
=
=
−
=
．
在Rt GNH 中，由勾股定理：
2
2
2
2
2
3
5 3
9
75
21
4
4
16
4
GH
GN
HN
+
=
+
=
+
=
=
，
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2
GH
=
（负值已舍去）．
12．（2026·广东深圳·中考真题）如图，在菱形ABCD中，点E 为边BC 的中点，连接AE ，DE ．若
4
AE =
，
且
2
DE
AB BE
=
，则菱形ABCD的边长为________．
【答案】2 2
【分析】设菱形的边长为a ，根据中点定义和已知条件表示出BE 和
2
DE ；过点A 作AH
BC
⊥
交CB 的延长
线于点H ，过点D 作DF
BC
⊥
于点F ，证明
ABH
DCF
≌
△
△
，设BH
CF
x
=
=
，利用勾股定理分别表示出
2
AE 和
2
DE ，建立关于a 和x 的方程组，求解即可．
【详解】解：设菱形ABCD的边长为a ，
四边形ABCD是菱形，
AB
BC
CD
DA
a
=
=
=
=
，AB
CD
∥
，
点E 为边BC 的中点，
1
1
2
2
BE
CE
BC
a
=
=
=
，
2
DE
AB BE
=
，
2
2
1
1
2
2
DE
a
a
a
=
=
，
过点A 作AH
BC
⊥
交CB的延长线于点H ，过点D 作DF
BC
⊥
于点F ，如图，
90
AHB
DFC
=
=
，
AB
CD
∥
，
ABH
DCF
=
，
在
ABH
△
和DCF 中，
AHB
DFC
ABH
DCF
AB
DC
=
=
=
，
(
)
AAS
ABH
DCF
≌
，
BH
CF
=
，AH
DF
=
，
设BH
CF
x
=
=
，
在Rt ABH 中，
2
2
2
2
2
AH
AB
BH
a
x
=
−
=
−
，
在Rt AHE中，∵
1
2
HE
HB
BE
x
a
=
+
=
+
，
2
2
2
2
2
2
2
1
5
2
4
AE
AH
HE
a
x
x
a
a
ax
=
+
=
−
+
+
=
+
，
4
AE =
，
2
5
16
4 a
ax
+
=
①，
在Rt DFE 中，∵
1
2
EF
CF
CE
x
a
=
−
=
−
，
2
2
2
2
2
2
2
1
5
2
4
DE
DF
EF
a
x
x
a
a
ax
=
+
=
−
+
−
=
−
，
2
2
1
2
DE
a
=
，
∴
2
2
5
1
4
2
a
ax
a
−
=
，
∴
2
3
4
ax
a
=
②，
将②代入①得
2
2
5
3
16
4
4
a
a
+
=
，
即
2
8
a = ，
解得
2 2
a =
（负值舍去）．
13．（2026·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）菱形ABCD中，点E 是边AD 的中点，EF
BC
⊥
交直线BC 于点F ．若
3
DE
CF
=
，
4 10
EF =
，则菱形ABCD的边长为__________．
【答案】6 5 或12 2 /12 2 或6 5
【分析】本题需分两种情况讨论，点F 在线段BC 上和点F 在BC 的延长线上，设菱形边长为未知数，利用
勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设菱形ABCD的边长为a ，
∴AD
BC ，CD
AD
a
=
=
，
点E 是AD 的中点，
1
2
DE
a
=
，
3
DE
CF
=
，
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3
6
DE
a
CF
=
=
，
EF
BC
⊥
，
EF
为平行线AD 与BC 之间的距离，即
4 10
EF =
．
分两种情况讨论：
情况1：点F 在线段BC 上，
过点E 作EH
CD
∥
，交直线BC 于点H ．
AD
BC ，EH
CD
∥
，
四边形EHCD是平行四边形，
EH
CD
a
=
=
，
1
2
CH
DE
a
=
=
，
1
1
1
2
6
3
FH
CH
CF
a
a
a
=
−
=
−
=
，
又
EF
BC
⊥
90
EFH
=
，
EFH
△
为直角三角形，
4 10
EF =
，
在Rt EFH 中，由勾股定理
2
2
2
FH
EF
EH
+
=
，得
(
)
2
2
2
1
4 10
3 a
a
+
=
2
2
160
9
a
a
+
=
2
8
160
9
a =
2
180
a =
0
a ，
180
6 5
a
=
=
．
情况2：点F 在BC 的延长线上，
1
1
2
2
6
3
FH
CH
CF
a
a
a
=
+
=
+
=
在Rt EFH 中，由勾股定理
2
2
2
FH
EF
EH
+
=
，得
(
)
2
2
2
2
4 10
3 a
a
+
=
2
2
4
160
9
a
a
+
=
2
5
160
9
a =
2
288
a =
0
a ，
288
12 2
a
=
=
．
14．（2026·四川遂宁·中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC
BD
、
相交于点
,
2 7,
6,
O AC
BD
EF
=
=
是线段BC 的垂直平分线，交BC 于点E，交BD 于点F，连接CF ，则
CDF
△
的周长为________．
【答案】10
【分析】根据菱形的性质得出对角线互相垂直平分，利用勾股定理求出边长CD，再根据线段垂直平分线的
性质得出CF
BF
=
，从而将CDF 的周长转化为CD
BD
+
进行计算
【详解】解：
四边形ABCD是菱形，
2 7,
6
AC
BD
=
=
1
1
,
7,
3
2
2
AC
BD OC
AC
OD
BD
⊥
=
=
=
=
在Rt COD中，
由勾股定理得 𝐶𝐷= √𝑂𝐶2 + 𝑂𝐷2 = √(√7)2 + 32 = 4
EF 是线段BC 的垂直平分线
CF
BF
=
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CDF
的周长为：
4 6 10
CD
DF
CF
CD
DF
BF
CD
BD
+
+
=
+
+
=
+
= + =
．
15．（2026·陕西·中考真题）如图，已知ABC ，AB
BC
=
．请用尺规作图法，求作一点D ，使得四边形ABCD
为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】如图，点D 即为所求．
【分析】由作图可得，BA
BC
AD
CD
=
=
=
，则四边形ABCD是菱形
【详解】解：分别以点,
A C 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧在AC 右侧相交，交点即为点D ．
16．（2026·山东德州·中考真题）如图，在Rt ACE 中，
90
CAE
=
，点D 是CE 的中点．连接AD ，
在平面内找一点B ，使得
//
AB CE ，
//
BE AD ．
(1)求证：四边形ABED 是菱形；
(2)若
2 3
AE =
，四边形ABED 的面积为4 3 ，求线段AC 的长．
【答案】(1)证明：∵
//
AB CE ，
//
BE AD ，
∴四边形 ABED 是平行四边形，
又∵
ACE 是直角三角形，
90
CAE
=
，D 是 CE 中点，
∴
1
2
AD
CE
DE
=
=
，
∴四边形 ABED 是菱形．
(2)4
【分析】（1）先根据两组对边分别平行的条件，判定四边形ABED 是平行四边形；再利用直角三角形斜
边中线定理，得到AD 与DE 的数量关系，结合菱形的判定定理完成证明．
（2）设点 A 到 CE 的距离为 h ，先表示出菱形 ABED 的面积，用两种方法表示出Rt ACE 的面积，
再结合已知中AE的长度，求解AC 的长．
【详解】（1）略
（2）解：设点 A 到 CE 的距离为 h ，因为
//
AB CE ，
∴菱形 ABED 的面积为
4 3
ABED
S
DE h
=
=
，
∵ D 是 CE的中点，
∴
2
CE
DE
=
，
则 Rt ACE的面积：
1
1
2
4 3
2
2
ACE
ABED
S
CE h
DE h
DE h
S
=
=
=
=
=
菱形
,
又∵ Rt ACE中
90
CAE
=
，面积也可表示为
1
2
ACE
S
AC AE
=
，
∵
2 3
AE =
，
∴1
2 3
4 3
2 AC
=
化简得
3
4 3
AC
=
，
∴
4
AC =
．
17．（2026·吉林·中考真题）如图①，在矩形ABCD中，点E 为边AB 上一点，连接CE ．将BCE 沿CE 折
叠得到
FCE
△
．点G 为CE上一点，连接FG ，BG ．
(1)如图②，当直线BG 经过点F 时，在不添加辅助线的前提下，请你增加一个条件，使BCF 是等边三角形，
不需要说明理由．
(2)如图③，当BG
CF
⊥
于点H 时，判断四边形EBGF 的形状，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，延长CF 交矩形ABCD的边于点P ．若
4
AB =
，
3
BC = ，当PA
PF
=
时，直接写出BG
的长．
【答案】(1)添加条件：
30
BCE
=
；
(2)解：四边形EBGF 是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
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∴
90
ABC
=
，
由折叠可得
CEF
CEB
△
≌△
，
∴
90
CFE
CBE
=
=
，
ECF
ECB
=
，EB
EF
=
，
∵BH
CF
⊥
，
∴
90
CHB
FHB
=
=
，
∴
90
CGH
ECF
+
=
，
∵
180
90
CEB
BCE
ABC
+
=
−
=
，
∴
CGH
CEB
=
，
∵
=
BGE
CGH
，
∴
BGE
BEG
=
，
∴BG
BE
=
，
∵BE
FE
=
，
∴BG
EF
=
．
∵
90
CHB
CFE
=
=
，
∴BH
EF
∥
，
∴四边形EBGF 是平行四边形，
∵EB
EF
=
，
∴EBGF 是菱形．
(3) 6
5 或2
【分析】（1）由折叠可得CB
CF
=
，FCE
BCE
=
，当
30
BCE
=
时，可得到
60
BCF
=
，即可得出BCF
是等边三角形；
（2）连接FG ．由矩形的性质得到
90
ABC
=
，由折叠得到
90
CFE
CBE
=
=
，ECF
ECB
=
，EB
EF
=
，
根据等角的余角相等得到
BGE
CGH
GEB
=
=
，从而有BG
BE
FE
=
=
，再证明BH
EF
∥
，可得四边形
EBGF 是平行四边形，结合EB
EF
=
得出EBGF 是菱形；
（3）设PA
PF
x
=
=
，根据勾股定理构造方程，求得
,
PA PF ，设BE
EF
y
=
=
，在Rt EFP中根据勾股定理
构造方程，求得
,
BE EF ，由BG
EF
=
即可解答．
【详解】（1）解：由折叠可得CB
CF
=
，
FCE
BCE
=
，
当
30
BCE
=
时，
30
FCE
BCE
=
=
，
∴
60
BCF
BCE
FCE
=
+
=
，
∴BCF 是等边三角形．
（2）略
（3）解：①如图，
设PA
PF
x
=
=
，则
4
BP
AB
AP
x
=
−
= −，
∵由翻折有
3
CF
CB
=
= ，
∴
3
CP
CF
PF
x
=
+
= +
，
∵在Rt
BCP
△
中，
2
2
2
BC
BP
PC
+
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
23
4
3
x
x
+
−
=
+
，解得
8
7
x =
，
∴
8
7
PA
PF
=
=
，
∴
20
7
BP =
．
设BE
EF
y
=
=
，则
20
7
PE
BP
BE
y
=
−
=
−
，
∵
90
CFE
=
，
∴
180
90
EFP
CFE
=
−
=
，
∴在Rt EFP中，
2
2
2
EF
PF
PE
+
=
，
即
2
2
2
8
20
7
7
y
y
+
=
−
，
解得
6
5
y =
，
∴
6
5
BE
EF
=
=
，
∴
6
5
BG
EF
=
=
．
②如图，
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设PA
PF
x
=
=
，则
3
DP
AD
AP
x
=
−
= −，
∵由翻折有
3
CF
CB
=
= ，
∴
3
CP
CF
PF
x
=
+
= +
，
∵在Rt DCP中，
2
2
2
DC
DP
PC
+
=
，
∴
(
)
(
)
2
2
2
4
3
3
x
x
+
−
=
+
，解得
4
3
x =
，
∴
4
3
PA
PF
=
=
，
∴
5
3
DP =
．
设BE
EF
y
=
=
，则
4
AE
BA
BE
y
=
−
=
−
，
∵
90
CFE
=
，
∴
180
90
EFP
CFE
=
−
=
，
∴在Rt EFP中，
2
2
2
EF
PF
PE
+
=
；在Rt EAP 中，
2
2
2
EA
PA
PE
+
=
，
2
2
2
2
EA
PA
EF
PF
+
=
+
，
即
2
2,
EF
AE
EF
AE
=
=
，
4
y
y
=
−
，
解得
2
y =
，
∴
2
BE
EF
=
=
，
∴
2
BG
EF
=
=
．
18．（2026·广东·中考真题）如图，AB
BC
=
，AE
BC
∥
，连接AC ．
(1)尺规作图：在AE 上作点D ，连接BD ，使得BD 平分
ABC
．（保留作图痕迹，不写作法．）
(2)连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】(1)如图，点D 即为所求；
(2)
证明：∵AE
BC
∥
，
∴
ADB
CBD
=
∵BD 平分
ABC
∴
ABD
CBD
=
∴
ADB
ABD
=
∴AB
AD
=
∵AB
BC
=
∴AD
BC
=
∵AE
BC
∥
，即AD
BC
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB
BC
=
，
∴四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出
ABC
的平分线与AE 的交点即为点D ；
（2）先根据平行线+角平分线证明AB
AD
=
，然后进行等量代换结合平行证明四边形ABCD是平行四边形，
再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
19．
（2026·云南·中考真题）如图，在四边形ABCD中，AC ，BD 相交于点O，AD
BC
=
，
180
ABC
BAD
+
=
，
BD 平分
ABC
．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若
2
BAD
ABC
=
，求
ACB
的度数．
【答案】(1)证明：∵
180
ABC
BAD
+
=
，
∴
//
AD BC，
∵AD
BC
=
，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵
//
AD BC，BD 平分
ABC
，
∴
,
ADB
CBD
ABD
CBD
=
=
，
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∴
ABD
ADB
=
，
∴AB
AD
=
，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)60
【分析】（1）根据
180
ABC
BAD
+
=
，得到
//
AD BC，进而得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行
线的性质，角平分线的定义，推出
ABD
ADB
=
，进而得到AB
AD
=
，即可得证；
（2）根据角的数量关系，和差关系求出
BAD
的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果．
【详解】（1）略
（2）解：∵
180
ABC
BAD
+
=
，
2
BAD
ABC
=
，
∴3
180
ABC
=
，
∴
60
ABC
=
，
∴
120
BAD
=
，
∵四边形ABCD是菱形，
∴
120
BCD
BAD
=
=
，
∴
1
60
2
ACB
BCD
=
=
．
20．（2026·湖北武汉·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 在一条直线上，AE
DF
=
，CE
BF
=
，AB
DC
=
．
(1)求证：
ACE
DBF
△
≌△
；
(2)连接BE 、CF ，添加一个条件，使四边形BECF 是菱形（不需要说明理由）．
【答案】(1)证明：∵AB
DC
=
，
∴AB
BC
CD
BC
+
=
+
，
∴AC
BD
=
，
∵AE
DF
=
，CE
BF
=
，
∴
(
)
SSS
ACE
DBF
△
≌△
；
(2) BE
BF
=
【分析】（1）因为AB
DC
=
，所以AB
BC
CD
BC
+
=
+
，再利用SSS证明
ACE
DBF
△
≌△
；
（2）由
(
)
SSS
ACE
DBF
≌
可得
ECB
FBC
=
，则CE
BF
∥
，又因为CE
BF
=
得四边形BECF 是平行四边
形，又因为BE
BF
=
，则BECF 为菱形．
【详解】（1）略；
（2）解：BE
BF
=
，理由如下：
∵
(
)
SSS
ACE
DBF
≌
，
∴
ECB
FBC
=
，
∴CE
BF
∥
，
∵CE
BF
=
，
∴四边形BECF 是平行四边形，
∵BE
BF
=
，
∴BECF 为菱形．
21．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在
ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD 、BC 于点
E、F，连接AF 、CE．
(1)求证：四边形AFCE为平行四边形；
(2)若EF
AC
⊥
，BC
AC
=
，
70
B
=
．求
BAF
∠
的度数．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC ，
∴
,
OAE
OCF
OEA
OFC
=
=
，
∵O 为AC 中点，
∴OA
OC
=
，
∴
(
)
AOE
COF AAS
≌
，
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∴AE
CF
=
，
∵AE
CF ，
∴四边形AFCE为平行四边形；
(2)
30
BAF
=
【分析】（1）由题意得AD
BC ，OA
OC
=
，然后可得
(
)
AOE
COF AAS
≌
，则有AE
CF
=
，进而问题可
求证；
（2）由题意证出四边形AFCE为菱形，则有
FAC
FCA
=
，然后可得
70 ,
180
2
40
BAC
B
ACB
B
=
=
=
−
=
，进而问题可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形AFCE为平行四边形，EF
AC
⊥
，
∴四边形AFCE为菱形，
∴AF
CF
=
，
∴
FAC
FCA
=
，
∵BC
AC
=
，
70
B
=
，
∴
70 ,
180
2
40
BAC
B
ACB
B
=
=
=
−
=
，
∴
40
FAC
=
，
∴
30
BAF
BAC
FAC
=
−
=
．
考点03 正方形的性质与判定
1．（2026·上海·中考真题）如图，已知边长为1的正方形ABCD，点E 是边AB 上的一点(不与点A 、B 重合)，
过点E 作EM
BD ，交边AD 与点M ，作点E 、M 关于BD 的对称点F 、G ，联结EF 、MG 交BD 于点P 、
H ，现有以下两个命题：①四边形EFGM 的周长是一个定值；②四边形EPHM 的周长是一个定值；
下列说法中，正确的是( )
A．①、②均正确
B．①正确，②错误
C．①错误，②正确
D．①、②均错误
【答案】B
【分析】设AM
a
=
，则
1
MD
a
−
=
，根据题意以及正方形的性质分别求得
(
)
2 1
EF
MG
a
−
=
=
，
2
FG
EM
a
=
=
，进而求得四边形EFGM 、EPHM 的周长，即可求解．
【详解】解：依题意，
,
,
,
AM
AE MD
DG BF
BE CF
CG
=
=
=
=
，设AM
a
=
，则
1
MD
a
−
=
，
AME 是等腰直角三角形，则
2
EM
a
=
，MDG是等腰直角三角形，
(
)
2 1
MG
a
−
=
，MHD 是等腰直
角三角形，则
(
)
2 1
2
MH
a
−
=
同理可得
(
)
2 1
EF
MG
a
−
=
=
，
2
FG
EM
a
=
=
，
∴四边形EFGM 的周长
(
)
2
2 2
2 2
2 2
2 2
EM
EF
a
a
=
+
=
+
−
=
四边形EPHM 的周长
(
)
2
2 2
2
2
2
2
EM
MH
a
a
a
=
+
=
+
−
=
+
故①正确，②错误
2．（2026·江苏扬州·中考真题）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正
方形ABCD和正方形BEFG按如图所示的方式摆放，在AB 边上取点M，使AM
BE
=
，沿MD ，MF 剪开，
可拼成正方形MFND．若
9
AE =
，
10
MN =
，则
DAM
△
的面积是_______．
【答案】31
4
【分析】设AD
AB
a
=
=
，AM
BE
b
=
=
，则
9
a
b
+
= ，利用正方形的性质可得
2
2
2
a
b
DM
+
=
，
2
2
2
2
2
10
DM
DN
DM
+
=
=
，进而可得
2
2
50
a
b
+
=
，利用完全平方公式求得
31
2
ab =
，然后利用三角形的面积
公式求解即可．
【详解】解：在正方形ABCD和正方形BEFG中，
90
A
E
= =
，AD
AB
=
，AM
BE
=
，
设AD
AB
a
=
=
，AM
BE
b
=
=
，则
2
2
2
a
b
DM
+
=
，
∵
9
AE =
，
∴
9
AB
BE
+
=
，即
9
a
b
+
= ；
∵四边形MFND是正方形，
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∴DM
DN
=
，
90
MDN
=
，又
10
MN =
，
∴
2
2
2
DM
DN
MN
+
=
，即
2
2
2
10
DM
=
，
∴
2
50
DM
=
，则
2
2
50
a
b
+
=
，
∵(
)
2
2
2
2
a
b
a
b
ab
+
=
+
+
，即
2
9
50
2ab
=
+
，
解得
31
2
ab =
，
∴
1
1
31
2
2
4
DAM
S
AD AM
ab
=
=
=
．
3．
（2026·广西·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E 为CD边上一点，连接AE ，BE ．若
4
AB =
，
1
tan
4
DAE
=
，
则BE = ___________．
【答案】5
【分析】根据正方形的性质可得AB
BC
CD
AD
=
=
=
，根据
1
tan
4
DAE
=
可求得DE ，进而可求得CE ，根据
勾股定理即可求得BE ．
【详解】解：
在正方形ABCD中，
4
AB =
，
4
AB
BC
CD
AD
=
=
=
=
，
90
C
D
=
=
，
1
tan
4
DAE
=
，即
1
4
DE
AD =
，
1
DE
= ，
3
CE
CD
DE
=
−
= ，
Rt
CBE
△
中，
2
2
2
2
3
4
5
BE
BC
CE
=
+
=
+
= ．
4．（2026·吉林·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E 、F 分别在边AB 、BC 上，且AE
BF
=
，连接DE 、
AF ．求证：
DAE
ABF
△
△
≌
．
【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD
AB
=
，
90
DAE
ABF
=
=
，
在DAE 和
ABF
△
中，
AD
BA
DAE
ABF
AE
BF
=
=
=
∴
(
)
SAS
DAE
ABF
V
V
≌
．
【分析】根据正方形的性质，结合 “SAS”证明全等即可．
【详解】略
5．（2026·贵州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，点E 是AD 边的中点，连接BE ，CE ．
(1)求证：ABE
DCE
≌
；
(2)若正方形ABCD的边长为4 ，求BCE 的周长．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴
,
90
BA
CD
A
D
=
=
=
∵点E 是AD 边的中点，
∴AE
DE
=
∴
(
)
SAS
ABE
DCE
≌
；
(2) 4 5
4
+
【分析】（1）根据正方形的性质结合SAS即可证明；
（2）先对Rt
ABE
△
运用勾股定理求解BE ，然后由全等三角形的性质即可得到CE 的长度，即可求解BCE
的周长．
【详解】（1）略
（2）解：∵四边形ABCD是正方形
∴
4,
90
AD
AB
BC
A
=
=
=
=
∵点E 是AD 边的中点
∴
2
AE
DE
=
=
∴
2
2
2 5
BE
AE
AB
=
+
=
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∵ABE
DCE
≌
∴
2 5
CE
BE
=
=
∴BCE 的周长
4
2 5
2 5
4 5
4
BC
CE
BE
=
+
+
=
+
+
=
+
．
6．（2026·四川广安·中考真题）如图，四边形ABCD是正方形，点E 是边BC（不与点B ，点C 重合）上的
一点，
90
AEF
=
，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ．
(1)如图1，求证：AE
EF
=
；
(2)如图2，M ，E 分别为AB ，BC 的中点，连接DM 和AE 相交于点G ，连接ME ，DF ．试判断四边形DMEF
的形状，并说明理由；
(3)若点M 是边AB（不与点A ，点B 重合）上的一点，直接写出BM ，BE ，CD三边满足什么数量关系时，
四边形DMEF 是平行四边形．
【答案】(1)证明：在AB 上截取AH
EC
=
，
四边形ABCD是正方形，
AB
BC
=
，
90
B
BCD
=
=
，
AH
EC
=
，
AB
AH
BC
EC
−
=
−
，即HB
EB
=
，
BHE
是等腰直角三角形，
45
BHE
=
，
135
AHE
=
，
CF 是正方形ABCD的外角平分线，
45
DCF
=
，
135
ECF
=
°，
135
AHE
ECF
∠
∠
=
=
，
90
AEF
=
，
90
AEB
FEC
+
=
，
90
BAE
AEB
+
=
，
BAE
FEC
=
，
在AHE 和
ECF
△
中，
AHE
ECF
AH
EC
HAE
CEF
=
=
=
(
)
AHE
ECF ASA
≌
，
AE
EF
=
；
(2)四边形DMEF 是平行四边形．
理由如下：
四边形ABCD是正方形，
AD
AB
BC
=
=
，
90
DAB
B
= =
，
M ，E 分别为AB ，BC 的中点，
AM
BE
=
，
在
DAM
△
和ABE 中，
AD
AB
DAB
B
AM
BE
=
=
=
(
)
DAM
ABE SAS
≌
，
ADM
BAE
=
，DM
AE
=
，
90
BAE
DAE
+
=
，
90
ADM
DAE
+
=
，
90
AGD
=
，
90
AEF
=
，
AGD
AEF
=
，
MD
EF
∥
，
由（1）得AE
EF
=
，
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MD
EF
=
，
四边形DMEF 是平行四边形．
(3)当BM
BE
CD
+
=
时，四边形DMEF 是平行四边形
【分析】（1）在AB 上截取AH
EC
=
，结合正方形的性质得到HB
EB
=
，则
45
BHE
=
，再结合正方形ABCD
的外角平分线，得到
135
AHE
ECF
=
=
，即可证明
(
)
AHE
ECF ASA
≌
，得到AE
EF
=
；
（2）由M ，E 分别为AB ，BC 的中点，得到AM
BE
=
，即可证明
(
)
DAM
ABE SAS
≌
，得到
ADM
BAE
=
，
DM
E
AE
F
=
=
，接着得到
90
A
AGD
EF
=
=
，则MD
EF
∥
，最后根据一组对边平行且相等即可得到四
边形DMEF 是平行四边形．
（3）根据BM
BE
CD
+
=
，得到AM
BE
=
，即可证明
(
)
DAM
ABE SAS
≌
，得到
ADM
BAE
=
，
DM
E
AE
F
=
=
，接着得到
90
A
AGD
EF
=
=
，则MD
EF
∥
，最后根据一组对边平行且相等即可得到四
边形DMEF 是平行四边形．
【详解】（1）略
（2）略
（3）解：当BM
BE
CD
+
=
时，四边形DMEF 是平行四边形．
理由如下：
四边形ABCD是正方形，
AD
AB
BC
=
=
，
90
DAB
B
= =
，
∵BM
BE
CD
+
=
，BM
AM
AB
+
=
，
AM
BE
=
，
在
DAM
△
和ABE 中，
AD
AB
DAB
B
AM
BE
=
=
=
(
)
DAM
ABE SAS
≌
，
ADM
BAE
=
，DM
AE
=
，
90
BAE
DAE
+
=
，
90
ADM
DAE
+
=
，
90
AGD
=
，
90
AEF
=
，
AGD
AEF
=
，
MD
EF
∥
，
由（1）得AE
EF
=
，
MD
EF
=
，
四边形DMEF 是平行四边形．
7．（2026·河北·中考真题）如图1 和图2，在ABC中，
10
AB
AC
=
=
，
12
BC =
，正方形DEFG 的顶点D ，
E ，F 分别在ABC的三边AB ，BC ，CA上．当点D 从点B 出发沿BA 向点A 移动时，点E ，F 随之分别
在BC ，CA上移动（正方形DEFG 的大小发生变化），当点F 与点C 重合时，移动停止．
(1) tan ABC
= ____________．
(2)如图1，当
45
BED
=
时，求证：BE
CE
=
．
(3)①如图2，当
20
7
BD =
时，求BE 的长；
②当
40
7
BE =
时，直接写出正方形DEFG 的边长．
(4)在移动过程中，每当点G 移动1 个单位长度时，点E 均移动d 个单位长度，直接写出d 的值．
【答案】(1) 4
3
(2)证明：∵四边形DEFG 是正方形，
∴
,
90
ED
EF
DEF
=
=
∵
45
BED
=
，
∴
180
45
CEF
DEF
BED
=
−
−
=
∴
BED
CEF
=
∵AB
AC
=
∴
B
C
=
，
∴
(
)
AAS
BED
CEF
△
≌△
∴BE
CE
=
；
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(3)①44
7 ；②16
5
7
(4) 1
7
【分析】（1）过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解
,
BH AH ，再由正切的
定义求解；
（2）证明
(
)
AAS
BED
CEF
△
≌△
即可；
（3）①过点D 作DM
BC
⊥
于点M ，过点F 作FN
BC
⊥
于点N ，在Rt BDM 中，由
4
tan
3
DM
B
BM
=
=
，设
4 ,
3
DM
x BM
x
=
=
，同理可设
4 ,
3
FN
y CN
y
=
=
，证明
(
)
AAS
DME
ENF
△
≌△
即可求解；
②构造同样辅助线，如上图，由
40
7
BE
BM
ME
=
+
=
，可得方程组
40
3
4
7
7
7
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，解方程组求解,x y ，再由
勾股定理求解DE ；
（4）先同样构造（3）问辅助线，再过点G 作GI
MD
⊥
交MD 的延长线于点I ，
同理可证明
DIG
EMD
△
≌△
，则
4 ,
4
IG
DM
x DI
ME
y
=
=
=
=
，证明当点D 运动时，点G 到BC 的距离不变，
为48
7 ，当点D 与点B 重合时，记作点D，作出初始位置时的正方形D E F G
，则点
, ,
,
G I G F
在同一直线
上，由题意设
1
GG
= ，可得四边形G D MI
是矩形，则
3
GI
DM
x
=
=
，
48
7
IM
BG
=
=
，那么
7
1
GG
GI
IG
x
=
+
=
= ，
48
7
BE
BG
=
=
，解得
1
7
x =
，再由d
EE
BE
BE
=
=
−
求解即可．
【详解】（1）解：过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，
∵
10
AB
AC
=
=
，
12
BC =
，
∴
1
6
2
BH
CH
BC
=
=
=
，
∴
2
2
8
AH
AB
BH
=
−
=
，
∴
4
tan
3
AH
ABC
BH
=
=
；
（2）略
（3）解：①过点D 作DM
BC
⊥
于点M ，过点F 作FN
BC
⊥
于点N ，则
90
BMD
DME
ENF
CNF
=
=
=
=
，
∴在Rt BDM 中，
4
tan
3
DM
B
BM
=
=
，设
4 ,
3
DM
x BM
x
=
=
，
∵
B
C
=
，
∴
4
tan
3
FN
C
CN
=
=
，则设
4 ,
3
FN
y CN
y
=
=
∵四边形DEFG 是正方形，
∴
,
90
ED
EF
DEF
=
=
∴
90
DEM
EFN
FEN
=
=
−
∴
(
)
AAS
DME
ENF
△
≌△
∴
4 ,
4
DM
EN
x ME
FN
y
=
=
=
=
在Rt BDM 中，由勾股定理得
2
2
20
5
7
BD
BM
DM
x
=
+
=
=
，
∴
4
7
x =
，
∴
12
3
7
BM
x
=
=
，
∵
3
4
4
3
7
7
12
BC
x
y
x
y
x
y
=
+
+
+
=
+
=
∴
8
7
y =
，
∴
12
8
44
3
4
4
7
7
7
BE
x
y
=
+
=
+
=
；
②构造同样辅助线，如上图，
∵
40
7
BE
BM
ME
=
+
=
，
∴可得方程组
40
3
4
7
7
7
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
8
7
4
7
x
y
=
=
，
∴
32
16
4
,
4
7
7
DM
x
ME
y
=
=
=
=
，
∴
2
2
16
5
7
DE
DM
ME
=
+
=
；
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（4）解：先同样构造（3）问辅助线，再过点G 作GI
MD
⊥
交MD 的延长线于点I ，
同理可证明
DIG
EMD
△
≌△
∴
4 ,
4
IG
DM
x DI
ME
y
=
=
=
=
，
由（3）可知7
7
12
x
y
+
=
,
∴
12
7
x
y
+
=
∴
12
48
4
4
4
7
7
IM
DI
DM
y
x
=
+
=
+
=
=
，
∴当点D 运动时，点G 到BC 的距离不变，为48
7 ，
当点D 与点B 重合时，记作点D，作出初始位置时的正方形D E F G
，则点
, ,
,
G I G F
在同一直线上，
由题意设
1
GG
= ，
∵四边形D E F G
是正方形，
∴
90
G
GDM
=
=
，
∵
90
DMB
=
∴四边形G D MI
是矩形，
∴
3
GI
DM
x
=
=
，
48
7
IM
BG
=
=
，
∴
7
1
GG
GI
IG
x
=
+
=
= ，
48
7
BE
BG
=
=
，
解得
1
7
x =
∴
48
4
7
DI
ME
IM
DM
x
=
=
−
=
−
，
48
48
3
4
7
7
BE
BM
ME
x
x
x
=
+
=
+
−
=
−
，
∴
48
48
1
7
7
7
d
EE
BE
BE
x
x
=
=
−
=
−
−
=
=
∴d 的值为1
7 ．
