文档内容
专题 21 特殊平行四边形的性质与判定综合
解题思路
类型一： 从平行四边形到特殊平行四边形
类型二：特殊平行四边形间的交叉运用
典例分析
【类型一： 从平行四边形到特殊平行四边形】
【典例1】（2020春•濮阳期末）如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的
中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，①则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是矩形；
②则当∠ADE＝ °时，四边形BECD是菱形．
【答案】（1）略 （2）80°，90°
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中， ，
∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：①当∠ADE＝80°时，四边形BECD是矩形；
理由：∵∠A＝50°，∠ADE＝80°，
∴∠AED＝50°，
∴∠A＝∠AED，
∴AD＝DE，
∵AB＝CD＝BE，
∴BD⊥AE，
∴∠DBE＝90°，
∵四边形BECD是平行四边形，
∴四边形BECD是矩形；
②当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形，
∵∠A＝50°，∠ADE＝90°，
∴∠AED＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE＝∠A＝50°，
∴∠BOE＝90°，
∴BC⊥DE，
∴四边形BECD是菱形，
故答案为：80，90．
【变式1-1】（2020•金昌）如图，矩形 ABCD中，AB＝6，BC＝4，过对角线
BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．【答案】（1）略 （2）
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中， ，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：当四边形BEDF是菱形时，BD⊥EF，
设BE＝x，则 DE＝x，AE＝6﹣x，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2+AE2，
∴x2＝42+（6﹣x）2，
解得：x＝ ，
∵BD＝ ＝2 ，
∴OB＝ BD＝ ，
∵BD⊥EF，
∴EO＝ ＝ ，
∴EF＝2EO＝ ．
【变式 1-2】（2021 春•黄山期末）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线
AC，BD 交于点 O，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，延长 BC 到点 F，使 CF＝
BE，连接DF．
（1）求证：四边形ADFE是矩形；
（2）连接OF，若AD＝6，EC＝4，∠ABF＝60°，求OF的长度．【答案】（1） 略 （2）
【解答】（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
∴AB∥DC且AB＝DC，
∴∠ABE＝∠DCF，
在△ABE和△DCF中， ，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴AE＝DF，∠AEB＝∠DFC＝90°，
∴AE∥DF，
∴四边形ADFE是矩形；
（2）解：由（1）知：四边形ADFE是矩形，
∴EF＝AD＝6，
∵EC＝4，
∴BE＝CF＝2，
∴BF＝8，
Rt△ABE中，∠ABE＝60°，
∴AB＝2BE＝4，
∴DF＝AE＝ ，
∴BD＝ ＝2 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，
∴OF＝ BD＝ ．
【类型二 特殊平行四边形间的交叉运用】【典例2】（2021•丰台区一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于
点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使CF＝BE，连接DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AD＝10，EC＝4，求OE的长度．
【答案】（1）略 （2） ．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AD＝10，
∴AD＝AB＝BC＝10，
∵EC＝4，
∴BE＝10﹣4＝6，
在Rt△ABE中，AE＝ ，
在Rt△AEC中，AC＝ ，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，∴OE＝ AC＝ ．
【变式2-1】（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E
是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．
【答案】（1）略 （2）OE=5,BG=2
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵E是AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG是平行四边形，
∵EF⊥AB，
∴∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG是矩形；
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，AB＝AD＝10，
∴∠AOD＝90°，
∵E是AD的中点，
∴OE＝AE＝ AD＝5；
由（1）知，四边形OEFG是矩形，
∴FG＝OE＝5，
∵AE＝5，EF＝4，∴AF＝ ＝3，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝10﹣3﹣5＝2．
【变式2-2】（春•江汉区期末）如图，矩形 ABCD的对角线AC，BD相交于点
O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）判断四边形OCED的形状，并进行证明；
（2）若AB＝4，∠ACB＝30°，求四边形OCED的面积．
【答案】（1） 略 （2）8
【解答】证明：（1）∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形DOCE是平行四边形，
∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OC＝ AC＝ BD＝OD，
∴四边形OCED为菱形
（2）∵AB＝4，∠ACB＝30°，
∴AC＝8，
∴BC＝ ＝ ＝4
∴S ＝ ×AB×BC＝8
△ABC
∴S ＝4
△ABO
∵四边形ABCD是矩形
∴S ＝S ＝4 ，
△ABO △CDO
∵四边形OCED为菱形∴四边形OCED的面积＝2S ＝8
△CDO
【典例3】（2021秋•凤翔县期末）如图，菱形 ABCD的对角线AC和BD交于
点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．
（1）求证：四边形ODEC是矩形；
（2）当∠ADB＝60°，AD＝2 时，求EA的长．
【答案】（1）略 （2）AE=
【解答】（1）证明：∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形ODEC是平行四边形．
又∵菱形ABCD，
∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°．
∴四边形ODEC是矩形．
（2）解：
【变式3】（2021春•固始县期末）在 Rt△ABC中，D是BC的中点，E是AD
的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）证明：四边形ADCF是菱形；
（2）若AC＝4，AB＝5，求菱形ADCF的面积．【答案】（1）略 （2）10
【解答】（1）证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
，
∴△AEF≌△DEB（AAS）；
∴AF＝DB，
又∵AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝ BC＝CD，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（2）解：∵D是BC的中点，
∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝ △ABC的面积，
∵四边形ADCF是菱形，
∴菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝ AC×AB＝ ×4×5
＝10．
【典例 4】（2021秋•南海区月考）如图，点 B在MN 上，过 AB 的中点 O作
MN的平行线，分别交∠ABM的平分线和∠ABN的平分线于点C、D．
（1）试判断四边形ACBD的形状，并证明你的结论．（2）当△CBD满足什么条件时，四边形ACBD是正方形？并给出证明．
【答案】（1）四边形ACBD是矩形
（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形
【解答】解：（1）四边形ACBD是矩形，
证明：∵CD平行MN，
∴∠OCB＝∠CBM，
∵BC平分∠ABM，
∴∠OBC＝∠CBM，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴OC＝OB，
同理可证：OB＝OD，
∴OA＝OB＝OC＝OD，
∵CD＝OC+OD，
AB＝OA+OB，
∴AB＝CD，
∴四边形ACBD是矩形；
（2）△CBD满足CB＝BD时，四边形ACBD是正方形，
证明：由（1）得四边形ACBD是矩形，
∵CB＝BD，
∴四边形ACBD是正方形．【变式 4-1】（2021春•昆明期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＞
∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB交DE的延长线
于点F．
（1）求证：DE＝EF；
（2）当Rt△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请证明你的结
论．
【答案】（1）略 （2）
【解答】证明：（1）∵DE∥BC，CF∥AB，
∴四边形DBCF为平行四边形，
∴DF＝BC，
∵D为边AB的中点，DE∥BC，
∴DE＝ BC，
∴EF＝DF﹣DE＝BC﹣ CB＝ CB，
∴DE＝EF；
（2）解：当△ABC满足∠BAC＝45°，四边形ADCF是正方形，
证明：∵四边形DBCF为平行四边形，
∴BD＝CF，
∵∠ACB＝90°，D为边AB的中点，
∴AD＝BD＝CD，
∴AD＝CF，
∵AD∥CF，
∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠DCA＝45°，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形ADCF是正方形．
【变式4-2】（2021•平凉模拟）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、
BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：BM＝CM．
（2）当AB：AD的值为多少时，四边形MENF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）略 （2）当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠A＝∠D＝90°，
∵M为AD中点，
∴AM＝DM，
在△ABM和△DCM中，
，
∴△ABM≌△DCM（SAS），
∴BM＝CM；
（2）解：当AB：AD＝1：2时，四边形MENF是正方形，理由如下：
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴NE∥CM，NE＝ CM，
∵MF＝ CM，
∴NE＝FM，
∵NE∥FM，
∴四边形MENF是平行四边形，由（1）知△ABM≌△DCM，
∴BM＝CM，
∵E、F分别是BM、CM的中点，
∴ME＝MF，
∴平行四边形MENF是菱形；
∵M为AD中点，
∴AD＝2AM，
∵AB：AD＝1：2，
∴AD＝2AB，
∴AM＝AB，
∵∠A＝90°，
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
同理∠DMC＝45°，
∴∠EMF＝180°﹣45°﹣45°＝90°，
∵四边形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形．
夯实基础
1．（2021•黄冈模拟）如图，在菱形 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过
点A作AE⊥BC于点E，延长BC到点F，使得CF＝BE，连接DF，
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接OE，若AB＝13，OE＝ ，求AE的长．
【答案】（1）略 （2）AE＝12．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC且AD＝BC，∵BE＝CF，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∵AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝13，
∴BC＝AB＝13，AC⊥BD，OA＝OC＝ AC，OB＝OD＝ BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴OE＝ AC＝OA＝2 ，AC＝2OE＝4 ，
∴OB＝ ＝ ＝3 ，
∴BD＝2OB＝6 ，
∵菱形ABCD的面积＝ BD×AC＝BC×AE，
即 ×6 ×4 ＝13×AE，
解得：AE＝12．
2．（2021秋•兰山区月考）四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若 AB＝AD，点 F 是 AB 上的点，AF＝BE，EG⊥AC 于点 G，连接
DF，GF，DG，CG，如图2，求证：△EGF≌△AGD．
【答案】（1）略 （2）略
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝90°，
∴CB⊥AE，
又∵AC＝EC，
∴AB＝BE，
∴BE＝CD，BE∥CD，
∴四边形BECD为平行四边形；
（2）∵AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形，
∴∠GAD＝∠GAE＝45°，
∵EG⊥AC，
∴∠E＝∠GAE＝45°，
∴GE＝GA，
又∵AF＝BE，
∴AF+BF＝BE+BF，
即AB＝EF，
∴EF＝AD，
在△EGF和△AGD中，
，
∴△EGF≌△AGD（SAS）．
3．（2019春•鱼台县期末）如图，在△ABC中，O是AC上的一个动点（不与
点 A、C 重合），过 O 点作直线 MN∥BC，设 MN 交∠BCA 的平分线于点
E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）试说明：OE＝OF；
（2）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】（1）略 （2）O运动到AC中点
【解答】（1）证明：∵MN∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，
∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴OE＝OC，OC＝OF，
∴OE＝OF．
（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：
∵AO＝CO，OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECA+∠ACF＝ （∠ACB+∠ACD）＝ ∠BCD，
∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形
能力提升
4．（高阳县一模）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝DC；
（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
（3）在（2）的条件下，要是四边形ADCF为正方形，在△ABC中应添加什
么条件，请直接把补充条件写在横线上 （不需说明理由）．【答案】（1）略 （2）略 （3） AC ＝ AB
【解答】（1）证明：连接DF，
∵E为AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS），
∴EF＝BE，
∵AE＝DE，
∴四边形AFDB是平行四边形，
∴BD＝AF，
∵AD为中线，
∴DC＝BD，
∴AF＝DC；
（2）四边形ADCF的形状是菱形，
证明：∵AF＝DC，AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵AC⊥AB，
∴∠CAB＝90°，
∵AD为中线，
∴AD＝DC，
∴平行四边形ADCF是菱形；
（3）解：AC＝AB，
理由是：∵∠CAB＝90°，AC＝AB，AD为中线，
∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，
∵四边形ADCF是菱形，
∴四边形ADCF是正方形，
故答案为：AC＝AB．
5．（2020•青岛）已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E，O，F 分别为 AB，
AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．
【答案】（1）略 （2）当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B＝∠D，AB＝BC＝DC＝AD，
∵点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，
∴AE＝BE＝DF＝AF，OF＝ DC，OE＝ BC，OE∥BC，
在△BCE和△DCF中， ，
∴△BCE≌△DCF（SAS）；
（2）解：当AB⊥BC时，四边形AEOF是正方形，理由如下：
由（1）得：AE＝OE＝OF＝AF，∴四边形AEOF是菱形，
∵AB⊥BC，OE∥BC，
∴OE⊥AB，
∴∠AEO＝90°，
∴四边形AEOF是正方形．
