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专题37 方程与不等式的实际问题探究
（6 考点62 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 一元一次
方程实际问题
选择、填空、简答全覆盖，以《九
章算术》古算题为核心，搭配行程、
图形分割、营销计费、劳动种植情
境，核心抓单一等量关系列式求
解。
传统文化入题；图象结合行程追及；
方案决策类分段计费；几何切割周
长等量建模。
考点02 二元一次
方程（组）实际问
题
必考简答，古算、农产品、无人机、
手工编织为载体，双等量构建方程
组，延伸搭配不等式求最优方案。
跨产业低空经济素材；叠放物体高
度建模；结合一次函数求运费/采购
最低成本；图形面积等量综合。
考点03 一元二次
方程实际问题
增长率、比赛场次、销售利润、古
代几何构图为主，结合图形面积、
二次函数利润综合设问。
赵爽弦图几何解法；文创售价分段
利润；赛事双循环场次建模，搭配
不等式限定售价区间。
考点04 分式方程
实际问题
工程、行程、产量、滞尘环保题型，
核心抓住“时间/数量相等”列方
程，必设检验步骤。
生物树叶滞尘、智能分拣机器人；
标记重捕估算总量；项目式成本利
润综合大题。
考点05 一元一次
不等式的应用
电梯载重、采购进货、函数大小比
较，求整数方案、取值范围，结合
实际取整。
劳动桌椅摆放空间规划；分段售价
利润调控；函数区间恒成立判断，
生活载重限制建模。
考点06 一元一次
不等式组的应用
浓度、交通红绿灯、工厂加工线多
限制条件，联立多约束求可行整数
方案，搭配最值计算。
交通动态红绿灯综合；农产品加工
多重约束；多参数速度取值范围分
类讨论。
考点01 一元一次方程实际问题
1．（2026·贵州·中考真题）在《详解九章算法》中有一道题，大意是：铜的单价是每斤9文，锡的单价是
每斤7 文，购买相同斤数的铜和锡共花费10贯（1贯1000
=
文）．问购买铜和锡的花费各是多少？如果设购
买相同斤数是x ，下列方程正确的是（ ）
A．9
7
10 1000
x
x
+
=
B．9
7
10 1000
x
x
−
=
C．9
7
10
x
x
+
=
D．9
7
10
x
x
−
=
【答案】A
【分析】先统一单位，再分别表示出购买铜和锡的花费，根据总花费列方程即可．
【详解】解：设购买铜和锡的斤数都为x ，
铜的单价为每斤9文，锡的单价为每斤7 文，
购买铜的花费为9x 文，购买锡的花费为7x 文，
1贯1000
=
文，总花费为10贯，则总花费为10 1000
文，
根据“总花费=购买铜的花费+ 购买锡的花费”可列方程：9
7
10 1000
x
x
+
=
．
2．（2026·天津·中考真题）《九章算术》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有共买羊，人出五，
不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”意思是：现有几个人共同买羊，每人出5钱，少45钱；
每人出7 钱，少3钱．那么人数、羊价各是多少？若设人数为x ，则可以列出的方程为（ ）
A．5
45
7
3
x
x
+
=
+
B．5
3
7
45
x
x
+ =
+
C．5
45
7
3
x
x−
+
=
D．5
45
7
3
x
x
−
=
+
【答案】A
【分析】解题核心是抓住羊价不变的等量关系，根据两种出钱方案分别表示出羊价，即可列出正确方程．
【详解】解：设人数为x ，
∵每人出5钱，还差45 钱，
∴羊价可表示为(
)
5
45
x +
钱，
∵每人出7 钱，还差3钱，
∴羊价可表示为(
)
7
3
x +
钱，
∵羊价固定不变，
∴可列方程为5
45
7
3
x
x
+
=
+ ．
3．（2026·黑龙江绥化·中考真题）《孙子算经》是我国古代数学经典著作，书中记载了这样一道题目：今
有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人有几何？意思是：今有3 个人坐一辆车，有2 辆车是空的；
2 个人坐一辆车，有9 个人需要步行．问共有多少人？设共有x 人，可列方程为（ ）
A．
2
9
3
2
x
x
+
=
−
B．
9
2
3
2
x
x −
+
=
C．
9
2
3
2
x
x+
−=
D．
2
9
3
2
x
x
−
=
+
【答案】B
【分析】核心思路是抓住车的总数不变，用含x 的式子分别表示两种情况下的总车数，即可列出方程．
【详解】解：∵设共有x 人，车的总数固定不变，
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第一种情况：3 人共车，2 辆车空，载人的车辆数为3
x ，因此总车数为
2
3
x +
，
第二种情况：2 人共车，9 人步行，坐车的总人数为
9
x −，因此总车数为
9
2
x −
，
∴可列方程为
9
2
3
2
x
x −
+
=
．
4．（2026·河北·中考真题）如图，将一个边长为a 的正方形分成6 个全等的矩形，若这6 个矩形周长之和
比原正方形的周长多48，则a 的值为（ ）
A．6
B．8
C．12
D．16
【答案】B
【分析】根据图形切割的特点，每切一刀，总周长增加两个切线长度，据此建立方程求解即可．
【详解】解：根据题意可知正方形的边长为a ，由图可知，将正方形分成6 个全等矩形，需要横向切2 刀，
纵向切1 刀，
每切一刀，周长之和增加2a，
6 个矩形的周长之和比原正方形周长多2
(2 1)
6
a
a
+
=
，
6 个矩形周长之和比原正方形的周长多48，
6
48
a
=
，
解得：
8
a = ．
5．（2026·四川成都·中考真题）有一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每
人八竿恰齐足．”其大意是：牧童们在树下拿着竹竿玩耍，不知有多少人和竹竿．每人6 竿，剩余14 竿；
每人8 竿，恰好用完．则牧童的人数和竹竿的根数分别为（ ）
A．8，64
B．7，56
C．6，48
D．5，40
【答案】B
【分析】设牧童的人数为x 人，根据竹竿总数不变建立方程，解方程即可．
【详解】解：设牧童的人数为x 人，
由题意得：6
14
8
x
x
+
=
，
解得
7
x =
，
则8
8 7
56
x = =
，
所以牧童的人数为7 人，竹竿的根数为56 根．
6．（2026·山东·中考真题）在2026 年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰
参加了5 km健步走项目．两人8:00 从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了15 min 后仍按原速行进，小
杰全程无停留行进．他们行走的路程
(km)
y
与时间
(min)
x
之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（）
A．8: 25
B．8:33
C．9:00
D．9:17
【答案】C
【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25 分钟走了2km ，停留15
分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25 分钟走了1.5km，设出发后x 分钟小英追上小杰，根据两
人路程相等列方程求解即可
【详解】解：由图象可知，小英在0
25min 内行走了2km，
小英的速度为2 km / min
25
，
∵小杰在25min 内行走了1.5km，
小杰的速度为1.5
3 km / min
25
50
=
，
小英途中停留了15min ，
小英再次出发的时刻为第25 15
40(min)
+
=
，此时路程为2km，
设小英追上小杰的时刻为出发后min
x
，
根据题意得：3
2
2
(
40)
50
25
x
x−
=
+
，
解得
60
x =
，
两人8:00 从起点出发，
小英追上小杰的时刻是9:00．
7．（2026·四川南充·中考真题）我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首诗：“林下牧童闻如果，不知
人数不知竹，每人五竿多三竿，每人七竿少五竿”．设有牧童x 人，可列方程为（ ）
A．3
5
5
7
x
x
+ =
− B．5
3
7
5
x
x
+ =
−
C．3
5
5
7
x
x
−
=
+
D．5
3
7
5
x
x
−=
+
【答案】B
【分析】根据两种分配方式分别表示出竹子总数量，即可列出对应方程．
【详解】解：∵每人分五竿竹子时多三竿，
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∴竹子总数量为5
3
x + ，
∵每人分七竿竹子时少五竿，
∴竹子总数量也可表示为7
5
x −，
∵竹子总数量固定不变，
∴可列方程为5
3
7
5
x
x
+ =
−．
8．（2026·福建·中考真题）由于水对物体的浮力作用，实心的纯金和纯银浸没水中称重时，弹簧测力计的
示数分别约为原来的19
20 和9
10 ．一件重80 克的实心金银饰品，浸没水中称重，弹簧测力计的示数为原来的15
16 ，
若实心的纯金和纯银浸没水中称重，弹簧测力计的示数分别按原来的19
20 和9
10 计算，则这件金银饰品中含金
____________克．
【答案】60
【分析】设这件金银饰品中含金x 克，则含银(
)
80
x
−
克，根据浸没水中后弹簧测力计总示数等于金的示数
与银的示数之和，列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设这件金银饰品中含金x 克，则含银(
)
80
x
−
克，
根据题意列方程得：
(
)
19
9
15
80
80
20
10
16
x
x
+
−
=
去括号，得19
9
72
75
20
10
x
x
+
−
=
移项合并同类项，得1
3
20 x =
系数化为1，得
60
x =
．
9．（2026·北京·中考真题）在一次机器人跑步比赛中，自主导航机器人（以下称A 类机器人）与遥控机器
人（以下称B 类机器人）在同一赛道比赛，统一排名．为鼓励自主导航技术研发，主办方制定了以下计算
完赛成绩的规则：
·A 类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）；
·B 类机器人的完赛成绩为从起点跑到终点的时间（包含途中维护时间）的1.2倍．
已知比赛中，一台A 类机器人全程保持匀速，途中没有维护，完赛成绩为60 min ；一台B 类机器人起跑后，
前25 min 保持匀速，速度是这台A 类机器人的1.1倍，之后原地维护10 min ，维护后匀速跑至终点，速度比
维护前增加了70 m/min，完赛成绩为72 min ．求这台A 类机器人的速度和此次比赛从起点到终点的路程．
【答案】A 类机器人的速度为350m / min ，比赛起点到终点的路程为21000m
【分析】根据赛道总路程不变，设A 类机器人速度为x ，得出全程路程60x ；再根据B 类成绩规则，由公
示成绩72 min 算出它含维护的实际总耗时60 min ，拆分出两段行驶时长与对应速度，将两段行驶路程相加，
与总路程相等建立方程求解．
【详解】设这台A 类机器人的速度为m/min
x
，
由题意可知，
(
)
72
25 1.1
25 10
1.1
70
60
1.2
x
x
x
+
−
−
+
=
，
解得
350
x =
，
所以60
21000
x =
，
答：这台A 类机器人的速度为350m/min ，此次比赛从起点到终点的路程为21000m ．
10．（2026·湖南·中考真题）我国已有三代治沙人致力于沙漠改造、他们采用科学治沙、绿色发展的理念开
展治沙工作，治沙效果大幅提升，某地区三代治沙人共完成治沙面积29 万亩，比第一代治沙人治沙面积的3
倍还多5万亩，求第一代治沙人的治沙面积．
【答案】第一代治沙人的治沙面积为8万亩
【分析】设第一代治沙人的治沙面积为x 万亩，根据题意“三代总治沙面积比第一代的3 倍还多5 万亩”，列
方程求解即可．
【详解】解：设第一代治沙人的治沙面积为x 万亩，
根据题意得
3
5
29
x+ =
，
解得
8
x = ，
答：第一代治沙人的治沙面积为8 万亩．
11．（2026·云南·中考真题）问题提出
云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短．这里出产的蓝莓
果粒大，果味香，果肉甜脆．近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特
制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸．
该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低．
问题解决
在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用．具体收费方案为：
甲印制公司的收费方案是：收1350 元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2 元印制费；
乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35 元印制费．
根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？
【答案】
当印制贴纸数量小于9000 张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000 张时，选择甲、乙两家印制
公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000 张时，选择甲印制公司
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【分析】设印制x 张专用介绍贴纸，根据收费方案，列出代数式，分3 种情况，列出方程或不等式进行求解
即可.
【详解】解：设印制x 张专用介绍贴纸，
由题意，甲印制公司所需费用为(
)
1350
0.2x
+
元，乙印制公司所需费用为0.35x 元，
当1350 0.2
0.35
x
x
+
=
时，解得
9000
x =
；
当1350 0.2
0.35
x
x
+
时，解得
9000
x
；
当1350 0.2
0.35
x
x
+
时，解得
9000
x
；
综上：当印制贴纸数量小于9000 张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000 张时，选择甲、乙两
家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000 张时，选择甲印制公司.
12．（2026·江苏连云港·中考真题）某数学兴趣小组研究《九章算术》里的这一问题：今有善田一亩，价三
百；恶田七亩，价五百．今并买100 亩，价一万．其大意为：今有好田1 亩价值300 钱；坏田7 亩价值500
钱．今买好田、坏田共100 亩，价值10000 钱．
(1)求好田、坏田各买了多少亩？
(2)现用部分田地种植某谷物，其中好田比坏田少50 亩，好田的总产量为3000 kg
，坏田的总产量为6000 kg
，
但好田平均亩产量是坏田平均亩产量的3 倍，求好田的平均亩产量？
【答案】(1)好田买了25
2 亩，坏田买了175
2 亩
(2)好田的平均亩产量是300 kg
【分析】（1）设好田有x 亩，则坏田有(
)
100
x
−
亩，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解；
（2）设坏田平均亩产量为
kg
y
，则好田平均亩产量是3
kg
y
，根据题意列出分式方程，解方程并检验，即
可求解．
【详解】（1）解：设好田有x 亩，则坏田有(
)
100
x
−
亩．
根据题意，得
(
)
500
300
100
10000
7
x
x
+
−
=
．
解这个方程，得
25
2
x =
．
175
100
2
x
−
=
．
答：好田买了25
2 亩，坏田买了175
2 亩．
（2）设坏田平均亩产量为
kg
y
，则好田平均亩产量是3
kg
y
．
根据题意，得3000
6000
50
3y
y
+
=
．
解方程，得
100
y =
．
经检验，
100
y =
是所列方程的解．所以有3
300
y =
．
答：好田的平均亩产量是300 kg
．
13．（2026·四川自贡·中考真题）在七年级校园足球赛中，每班球队要进行15场比赛．每场比赛结果分为胜、
平、负，胜1场积3分，平1场积1分，负1场积0 分．
(1)1班负了3场，总积分为20 分，求1班胜了多少场？
(2) 2 班总积分为15分，请直接写出2 班比赛胜、平、负场数可能的结果（写出两种情况即可）．
【答案】(1)
4 场
(2)
①胜0 平15负0 ；
②胜1平12负2 ；
③胜2 平9负4 ；
④胜3平6 负6 ；
⑤胜4 平3负8；
⑥胜5平0 负10．（任意两种正确结果即可）
【分析】（1）设1班胜了x 场，用总场次、负场数表示的平场数，再根据总积分列一元一次方程，求解得
到胜场数；
（2）设2 班胜x 场，平y 场，根据总积分列二元一次方程，结合场次限制，列举出所有非负整数解对应的
胜、平、负场次组合．
【详解】（1）解：设1班胜了x 场，
∵一共15场比赛，负了3场，
∴平的场数为
(
)
15 3
12
x
x
−
−
−
=
场，
根据总积分为20 分列方程：3
1 (12
)
20
x
x
+
−
=
，
化简得2
8
x = ，
解得
4
x = ，
答：1班胜了4 场；
（2）解：设2 班胜x 场，平y 场（,x y 为非负整数，且
15
x
y
+
），
∵总积分为15分，
∴3
15
x
y
+
=
，即
15
3
y
x
=
−
取非负整数解即可：
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①
0,
15
x
y
=
=
，则15 0 15
0
−−
=
；即负0 场，即胜0 平15负0 ；
②
1,
12
x
y
=
=
，则负场15 1 12
2
−−
=
，即胜1平12负2 ；
③
2,
9
x
y
=
=
，则负场15 2 9
4
−−=
，即胜2 平9负4 ；
④
3,
6
x
y
=
=
，则负场15 3 6
6
−−=
，即胜3平6 负6 ；
⑤
4,
3
x
y
=
= ，则负场15 4 3
8
−−=
，即胜4 平3负8；
⑥
5,
0
x
y
=
=
，则负场15 5 0 10
−−=
，即胜5平0 负10（任选两种写出即可）．
14．（2026·重庆·中考真题）列方程解下列问题：
某企业承担了一款智能机器人的A，B 两种型号配件的生产任务．已知该企业每天生产A 型配件的数量比每
天生产B 型配件的数量少30个，且3天生产的A 型配件的数量与1天生产的B 型配件的数量相等．
(1)求该企业每天生产A，B 型配件的数量分别是多少个？
(2)如果该企业每天生产A，B型配件的数量分别减少a 个和2a个，那么生产200 个A型配件的天数与生产700
个B 型配件的天数相同，求a 的值．
【答案】(1)该企业每天生产A 型配件的数量为15 个，每天生产B 型配件的数量为45 个
(2)
5
a =
．
【分析】（1）设该企业每天生产A 型配件的数量为x 个，则每天生产B 型配件的数量为(
)
30
x +
个，根据3
天生产的A 型配件的数量与1天生产的B 型配件的数量相等建立方程求解即可；
（2）根据生产200 个A 型配件的天数与生产700 个B 型配件的天数相同建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设该企业每天生产A 型配件的数量为x 个，则每天生产B 型配件的数量为(
)
30
x +
个，
由题意得，
(
)
3
1
30
x
x
=
+
，
解得
15
x =
，
∴
30
45
x+
=
，
答：该企业每天生产A 型配件的数量为15 个，每天生产B 型配件的数量为45 个；
（2）解：由题意得，200
700
15
45
2
a
a
=
−
−
，
解得
5
a =
，
检验，当
5
a =
时，15
10
0 45 2
35
0
a
a
−
=
−
=
，
，
∴
5
a =
是原方程的解，且符合题意．
考点02 二元一次方程实际问题
1．（2026·四川甘孜·中考真题）《九章算术》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：
人与车各几何？其大意是：若3 人坐一辆车，则两辆车是空的；若2 人坐一辆车，则9 人需要步行．问：
人与车各多少？设有x 人，y 辆车，则符合题意的方程组是（ ）
A．
(
)
3
2
9
2
x
y
x
y
=
−
−
=
B．
(
)
3
2
9
2
x
y
x
y
=
+
−
=
C．
(
)
3
2
2
9
x
y
x
y
=
−
=
−
D．
(
)
3
2
2
9
x
y
x
y
=
+
=
−
【答案】A
【详解】解：设有x 人，y 辆车，
∵3 人坐一辆车时，有2 辆车是空的，
∴被使用的车辆数为
2
y −
，总人数满足
(
)
3
2
x
y
=
−
；
∵2 人坐一辆车时，有9 人需要步行，
∴坐上车的人数为
9
x −，这部分人刚好坐满y 辆车，可得
9
2
x
y
−
=
．
因此符合题意的方程组为
(
)
3
2
9
2
x
y
x
y
=
−
−
=
．
2．（2026·重庆·中考真题）中国古代数学著作《九章算术》中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小
器五容二斛．问大小器各容几何．”意思是：有大小两种容器，已知5 个大容器和1 个小容器的总容量为3
斛（斛是过去的一种量器），1 个大容器和5 个小容器的总容量为2 斛．大小容器的容量分别是多少斛？设
1 个大容器的容量为x 斛，1 个小容器的容量为y 斛，则可列方程组为（ ）
A．
5
3
5
2
x
y
x
y
+
=
+
=
B．
5
3
5
2
x
y
x
y
−
=
+
=
C．
5
3
5
2
x
y
x
y
+
=
−
=
D．
5
3
5
2
x
y
x
y
−
−
=
=
【答案】A
【分析】设1 个大容器的容量为x 斛，1 个小容器的容量为y 斛，根据“5 个大容器和1 个小容器的总容量为
3 斛”和“1 个大容器和5 个小容器的总容量为2 斛”建立方程组．
【详解】解：设1 个大容器的容量为x 斛，1 个小容器的容量为y 斛，
∵5 个大容器和1 个小容器的总容量为3 斛，
∴5
3
x
y
+
= ，
∵1 个大容器和5 个小容器的总容量为2 斛，
∴
5
2
x
y
+
=
，
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因此可得方程组
5
3
5
2
x
y
x
y
+
=
+
=
．
3．（2026·四川宜宾·中考真题）我国古代算书《四元玉鉴》中记载：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，
甜果九个十一文，苦果七个四文钱．试问甜苦果几个，又问各该几个钱？”大致意思是：999 文钱买甜果和
苦果共1000个，甜果11文钱买9个，苦果4 文钱买7 个，问买甜果和苦果各多少个，买甜果和苦果各多少钱？
设买甜果x 个，买苦果y 个．下列所列方程组中正确的是（ ）
A．
1000
11
4
999
9
7
x
y
x
y
+
=
+
=
B．
1000
9
7
999
11
4
x
y
x
y
+
=
+
=
C．
999
11
4
1000
9
7
x
y
x
y
+
=
+
=
D．
999
9
7
1000
11
4
x
y
x
y
+
=
+
=
【答案】A
【分析】设买甜果x 个，买苦果y 个，根据甜果和苦果共1000个，可得方程
1000
x
y
+
=
，求出单个甜果的
价格为11
9 文，单个的苦果价格为4
7 文，根据总花费一共是999 文，可得方程11
4
999
9
7
x
y
+
=
，据此可得答案．
【详解】解：设买甜果x 个，买苦果y 个，
∵甜果和苦果共1000个，
∴
1000
x
y
+
=
，
∵11文钱可以买9个甜果，4 文钱可以买7 个苦果，
∴单个甜果的价格为11
9 文，单个的苦果价格为4
7 文，
∵总花费一共是999 文，
∴11
4
999
9
7
x
y
+
=
，
∴可得方程组
1000
11
4
999
9
7
x
y
x
y
+
=
+
=
．
4．（2026·新疆·中考真题）我国古代数学名著《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引
绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩
余4.5 尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1 尺，问木长多少尺．设木长x 尺，绳子长y 尺，则可列方程
组为（ ）
A．
4.5
1
1
2
y
x
y
x−
=
+
=
B．
4.5
1
1
2
x
y
y
x−
=
+
=
C．
4.5
1
1
2
y
x
x
y−
=
+
=
D．
4.5
1
1
2
y
x
y
x
−
−
=
=
【答案】A
【详解】解：设木长x 尺，绳长y 尺，
用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5 尺，
绳长=木长+ 剩余绳长，即
4.5
y
x
=
+
将绳子对折再量长木，长木还剩余1 尺，
对折后绳长=木长−剩余木长，对折后绳长为1
2
y ，即1
1
2 y
x
=
−；
综上可得方程组
4.5
1
1
2
y
x
y
x−
=
+
=
5．（2026·江苏苏州·中考真题）《九章算术》中有一道“雀燕集称之衡”问题：“今有五雀、六燕，集称之衡．雀
俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问雀、燕一枚各重几何？”题意是：现有5 只
雀，6 只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重．聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻．若将其中1 只雀和1 只燕
互换位置，则二者轻重相同．已知5 只雀和6 只燕总重1 斤（注：中国古代1 斤16
=
两）．则1 只雀和1
只燕分别重多少？若假设每只雀、燕的重量分别为x，y 两，根据题意，可列出的方程组为（ ）
A．
4
5
5
6
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
B．
5
6
5
6
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
C．
4
5
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
D．
5
6
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
【答案】A
【分析】只需从题干提取两个等量关系，结合单位换算列出方程即可得到答案．
【详解】解：设每只雀重量为x 两，每只燕重量为y 两
∵5 只雀和6 只燕总重1 斤，且1 斤=16 两，
∴可得方程5
6
16
x
y
+
=
将1 只雀和1 只燕互换位置后，两边重量相等，此时一边为4 只雀加1 只燕，另一边为5 只燕加1 只雀，
∴可得方程 4
5
x
y
y
x
+
=
+
,
因此可列方程组为
4
5
5
6
16
x
y
y
x
x
y
+
=
+
+
=
．
6．（2026·四川眉山·中考真题）《九章算术》是我国古代数学的经典著作，其中记载了一道方程的应用题，
大意为：五只雀，六只燕，共重16 两；雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀，燕各重多少？
设雀每只x 两，燕每只y 两，则可列出方程组为（ ）
A．
5
6
16
4
5
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
B．
5
6
16
5
6
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
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C．
6
5
16
4
5
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
D．
6
5
16
5
6
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
【答案】A
【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方
程，即可选出正确答案．
【详解】解：设雀每只x 两，燕每只y 两，
∵五只雀，六只燕共重16 两，
∴可得第一个方程 5
6
16
x
y
+
=
，互换其中一只后，一方剩余4 只雀，得到1 只燕，另一方剩余5 只燕，
得到1 只雀，此时二者重量相等，
∴可得第二个方程 4
5
x
y
y
x
+
=
+
，
因此列出的方程组为
5
6
16
4
5
x
y
x
y
y
x
+
=
+
=
+
．
7．（2026·甘肃天水·中考真题）甘肃省是“一带一路”沿线上重要的节点省份，特色农产品正借势加速走向
世界．兰州海关数据显示，2026 年第一季度甘肃省农产品出口呈增长趋势，其中天水花牛苹果汁和陇南黄
芪出口总额为3.4亿元，苹果汁出口额比黄芪出口额的2 倍少0.4 亿元．设苹果汁和黄芪的出口额分别为x 亿
元、y 亿元，则可列二元一次方程组为（ ）
A．
3.4
2
0.4
x
y
x
y
+
=
=
+
B．
3.4
2
0.4
x
y
y
x
+
=
=
+
C．
3.4
2
0.4
x
y
y
x−
+
=
=
D．
3.4
2
0.4
x
y
x
y−
+
=
=
【答案】D
【分析】解题关键是从题干中提取两个等量关系，分别列出方程后可得对应选项．
【详解】解：∵苹果汁出口额为x 亿元，黄芪出口额为y 亿元，两种产品出口总额为3.4亿元，
∴
3.4
x
y
+
=
，
∵ 苹果汁出口额比黄芪出口额的2 倍少0.4 亿元，
∴
2
0.4
x
y
=
−
，
因此可得方程组
3.4
2
0.4
x
y
x
y
+
=
=
−
，符合的选项为D ．
8．（2026·江苏扬州·中考真题）《九章算术》是中国古代算经之首，其中“方程”章中有“甲乙持钱”问题：“今
有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲乙持钱各几何．”大意是：甲、
乙二人带的钱不知道数目，若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲所带钱的三分之二也有
五十钱，问甲、乙各带了多少钱．设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，可以列出二元一次方程组_______．
【答案】
1
50
2
2
50
3
x
y
y
x
+
=
+
=
【分析】设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，根据若甲得到乙所带钱的二分之一就有五十钱，若乙得到甲
所带钱的三分之二也有五十钱，列出二元一次方程组即可．
【详解】解：设甲带的钱数为x，乙带的钱数为y，
根据题意：
1
50
2
2
50
3
x
y
y
x
+
=
+
=
．
9．（2026·山东烟台·中考真题）路上一群马车行，车车坐人都相等．五人同车三车空，四人同车九步行．问
车有多少辆，共有多少人？设有x 辆车，y 个人，根据题意，可列关于x ，y 的方程组为__________．
【答案】
(
)
5
3
4
9
y
x
y
x
−
=
=
+
【分析】根据五人同车三车空，四人同车九步行，列方程组即可解决．
【详解】解：设有x 辆车，y 个人，由题意得，
(
)
5
3
4
9
y
x
y
x
−
=
=
+
．
10．（2026·四川遂宁·中考真题）值日生小明整理同学们的水杯时发现：把同一款杯子整齐地叠放，4 个杯
子叠放成一摞的总高度为14cm，9 个杯子叠放成一摞的总高度为24cm ，如图所示．请问将50 个这款杯子
放在限高45cm 的摆放区，至少需要叠放________摞．
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【答案】3
【分析】设每个杯子的高为cm
a
，每多叠一个杯子增加的高度为cm
b
，根据“4 个杯子叠放成一摞的总高度
为14cm，9 个杯子叠放成一摞的总高度为24cm ”可列二元一次方程组
3
14
8
24
a
b
a
b
+
=
+
=
，求得
8
2
a
b
=
=
，由此可得
n 个杯子叠放的高度公式为
(
)
2
6 cm
h
n
=
+
，再根据高度不超过45cm 列不等式求出n 的最大值即可求解．
【详解】解：设每个杯子的高为cm
a
，每多叠一个杯子增加的高度为cm
b
，根据题意得：
3
14
8
24
a
b
a
b
+
=
+
=
，
解得
8
2
a
b
=
=
，
∴n 个杯子叠放的高度公式为
(
)
2
6 cm
h
n
=
+
，
又每一摞的总高度不超过45cm ，
∴2
6
45
n+
，
解得
19.5
n
，
因为n 是整数，所以一摞最多放19 个杯，
50 19
2
=
（摞）
12 （个），
剩下的12 个还需要1 摞，所以至少需要2 1
3
+ = （摞）．
11．（2026·山西·中考真题）《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例．某
工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12 千克铜和2 千克锡，制作一面铜镜需要1 千克铜和
1 千克锡，现用60 千克铜和20 千克锡制作鼎和铜镜、这些铜和锡恰好全部用完时．可制作多少个鼎和多少
面铜镜？
【答案】可制作4 个鼎和12 面铜镜
【分析】设制作x 个鼎、y 面铜镜，根据铜总质量、锡总质量列出二元一次方程组，即可解答．
【详解】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作x 个鼎和y 面铜镜．根据题意，得
12
60,
2
20.
x
y
x
y
+
=
+
=
解得
4
12
x
y
=
=
答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4 个鼎和12 面铜镜．
12．（2026·广东·中考真题）低空经济赋能乡村振兴，在广东某地万亩高标准农田里，农业无人机旋翼轰鸣，
稻种精准洒落，科技助农的场景让农户们连连感叹．现有A，B 两种型号的无人机可用来播种．
(1)如果购买1 台A 型无人机和3 台B 型无人机需9 万元，购买3 台A 型无人机和1 台B 型无人机需11 万
元，求两种型号的无人机单价分别是多少万元．
(2)每台A 型无人机比B 型无人机日均播种面积多200 亩，每台A 型无人机播种1500 亩所用时间与B 型无
人机播种900 亩所用时间相等，求两种型号的无人机每台日均分别播种多少亩．
【答案】(1)A 型无人机单价为3 万元，B 型无人机单价为2 万元．
(2)A 型无人机每台日均播种500 亩，B 型无人机每台日均播种300 亩．
【详解】（1）解：设A 型无人机的单价是x 万元、B 型无人机的单价是y 万元，
根据题意得：
3
9
3
11
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
3
2
x
y
=
=
，
答：A 型无人机单价为3 万元，B 型无人机单价为2 万元；
（2）解：设A 型无人机每台日均播种m 亩，B 型无人机每台日均播种(
)
200
m−
亩，则
1500
900
200
m
m
=
−
，
解得
500
m =
，
经检验
500
m =
是分式方程的解且符合题意，
200
500
200
300
m−
=
−
=
，
答：A 型无人机每台日均播种500 亩，B 型无人机每台日均播种300 亩．
13．（2026·安徽·中考真题）广告公司设计一份文艺活动海报，该海报由A，B，C，D 四个小矩形组成，如
图所示．C 的面积比A 的面积的2 倍多
2
2m ，D 的面积比B 的面积的3 倍少
2
3m ．设A 的面积为
2
m
x
，B 的
面积为
2
m
y
．
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(1)C 的面积为_____
2
m （用含x 的代数式表示），D 的面积为_____
2
m （用含y 的代数式表示）；
(2)若A 的面积与B 的面积之和为
2
10m ，C 的面积比D 的面积少
2
5m ，求x 和y ．
【答案】(1)(
)
2
2
x +
；(
)
3
3
y −
；
(2) x 和y 的值分别为4 和6
【分析】（1）根据题意进行求解即可；
（2）根据题意可得
10
x
y
+
=
和(
) (
)
3
3
2
2
5
y
x
−
−
+
= ，再进行求解即可．
【详解】（1）解：∵C 的面积比A 的面积的2 倍多
2
2m ，A 的面积为
2
m
x
，
∴C 的面积为(
)
2
2
2 m
x +
；
∵D 的面积比B 的面积的3 倍少
2
3m ，B 的面积为
2
m
y
，
∴D 的面积为(
)
2
3
3 m
y −
；
（2）解：∵A 的面积与B 的面积之和为
2
10m ，
∴
10
x
y
+
=
，
∵C 的面积比D 的面积少
2
5 m ，
∴(
) (
)
3
3
2
2
5
y
x
−
−
+
=
3
3
2
2
5
y
x
−−
−
=
2
3
10
x
y
−
+
=
，
∴
10
2
3
10
x
y
x
y
+
=
−
+
=
，
解得
4
6
x
y
=
=
．
14．（2026·四川广安·中考真题）某市发生洪灾，各地发扬“一方有难，八方支援”的精神，现A，B 两地收
到社会各界人士所捐物资共400 吨．据统计，A 地收到物资吨数的3 倍与B地收到物资吨数的5 倍相等．现
要把这批物资全部运往受灾的C，D 两地．从A 地运往C，D 两地的费用分别为15 元/吨和20 元/吨；从B
地运往C，D 两地的费用分别为12 元/吨和18 元/吨；现C 地需物资180 吨，D 地需物资220 吨．
(1)分别求出A，B两地各收到多少吨物资；
(2)请你帮运输公司设计一种总运费最少的方案，并求出最少费用．
【答案】(1)A 地收到250 吨物资，B 地收到150 吨物资．
(2)从A 地运往C 地30 吨，运往D 地220 吨，从B 地运往C 地150 吨，运往D 地0 吨时，总运费最少，最
少费用为6650 元．
【分析】（1）设A 地收到x 吨物资，B 地收到y 吨物资．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设总费用为W 元，从A 地运往C 地m 吨，则运往D 地(
)
250
m
−
吨，B 地运往C 地(
)
180
m
−
吨，运往
D 地(
)
30
m−
吨，易得
6620
W
m
=
+
、30
180
m
再利用一次函数的性质求最值即可．
【详解】（1）解：设A 地收到x 吨物资，B 地收到y 吨物资．
由题意得：
400
3
5
x
y
x
y
+
=
=
，解得：
250
150
x
y
=
=
．
答：A 地收到250 吨物资，B 地收到150 吨物资．
（2）解：设总费用为W 元，从A 地运往C 地m 吨，则运往D 地(
)
250
m
−
吨，B 地运往C 地(
)
180
m
−
吨，
运往D 地(
)
30
m−
吨，
由题意得：
(
)
(
)
(
)
15
20 250
12 180
18
30
6620
W
m
m
m
m
m
=
+
−
+
−
+
−
=
+
，
0,
250
0
180
0
30
0
m
m
m
m
−
−
−
30
180
m
1
0
k =
∴W 随m 的增大而增大，
当
30
m =
，总费用最少，
30
6620
6650
W =
+
=
元．
250
220
m
−
=
，180
150
m
−
=
，
30
0
m−
=
答：从A 地运往C 地30 吨，运往D 地220 吨，从B 地运往C 地150 吨，运往D 地0 吨时，总运费最少，
最少费用为6650 元．
15．（2026·山东·中考真题）在第十个“全国科技工作者日”到来之际，某校科技馆计划购买非遗描金琉璃瓶
和内画瓶作为纪念品，赠送给科技工作者．两名志愿者的对话如下：
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请根据他们的对话解答下列问题：
(1)求描金琉璃瓶和内画瓶的单价；
(2)若购买描金琉璃瓶和内画瓶共20 个，且描金琉璃瓶的数量不少于内画瓶数量的2 倍，则分别购买多少个
描金琉璃瓶和内画瓶，可使总费用最少？最少费用为多少元？
【答案】(1)描金琉璃瓶单价40 元，内画瓶单价30 元．
(2)购买14 个描金琉璃瓶和6 个内画瓶时总费用最少，为740 元．
【分析】（1）设描金琉璃瓶单价为x 元，内画瓶单价为y 元．根据题干已知等量关系列方程组即可求解；
（2）设购买描金琉璃瓶m 个(
)
20
m
，则内画瓶为(
)
20
m
−
个，得出总费用
10
600
W
m
=
+
，再利用一次函
数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设描金琉璃瓶单价为x 元，内画瓶单价为y 元．根据题意列方程组：
2
100
3
4
240
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
40
30
x
y
=
=
，
答：描金琉璃瓶单价40 元，内画瓶单价30 元．
（2）设购买描金琉璃瓶m 个(
)
20
m
，则内画瓶为(
)
20
m
−
个．
(
)
2 20
m
m
−
，
解得
14
m
（m 为整数）．
设总费用为W ，则
(
)
40
30 20
10
600
W
m
m
m
=
+
−
=
+
．
因10
0
，则W 随m 增大而增大，故当
14
m =
时，W 最小．
10 14 600
740
W =
+
=
（元）
此时内画瓶数量为6 ，最少费用为740 元．
答：购买14 个描金琉璃瓶和6 个内画瓶时总费用最少，为740 元．
16．（2026·四川广元·中考真题）苍溪红心猕猴桃是广元特色农产品，国家地理标志产品．某电商基地分装
销售中果和大果两种猕猴桃礼盒，若购进3 件中果礼盒和2 件大果礼盒需190 元，购进2 件中果礼盒和4
件大果礼盒需260 元．
(1)求购进中果礼盒、大果礼盒每件的价格；
(2)根据市场需求，该电商基地计划购进这两种礼盒共100 件进行销售，中果礼盒每件售价50 元，大果礼盒
每件售价80 元，且中果礼盒件数不少于大果礼盒件数的2 倍．求怎样进货才能使利润最大，最大利润是多
少？
【答案】(1)购进中果礼盒每件30 元，大果礼盒每件50 元．
(2)购进中果礼盒67 件，大果礼盒33 件时可获得最大利润，最大利润为2330 元．
【分析】（1）设购进中果礼盒每件x 元，大果礼盒每件y 元．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）设购进大果礼盒m 件，则购进中果礼盒(
)
100
m
−
件，根据题意可得
100
3
m
，即m 的最大值为33；再
列出获得利润：
10
2000
W
m
=
+
，再利用一次函数的性质求最值即可解答．
【详解】（1）解：设购进中果礼盒每件x 元，大果礼盒每件y 元．
则
3
2
190
2
4
260
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得：
30
50
x
y
=
=
，
答：购进中果礼盒每件30 元，大果礼盒每件50 元．
（2）解：设购进大果礼盒m 件，则购进中果礼盒(
)
100
m
−
件，
由题意可得：2
100
m
m
−
，解得：
100
3
m
，
∵m 为整数，
∴m 的最大值为33，
由题意可得：获得利润：
(
)
(
)(
)
80 50
50 30 100
10
2000
W
m
m
m
=
−
+
−
−
=
+
，
∵10
0
，
∴W 随m 的增大而增大，
∴当
33
m =
时，有最大利润33 10 2000
2330
+
=
元．
答：购进中果礼盒67 件，大果礼盒33 件时可获得最大利润，最大利润为2330 元．
17．（2026·湖北·中考真题）“中国结”寓意团圆美满、吉祥幸福，反映人们对美好生活的向往和追求．已知
编织2 个大号中国结和3 个小号中国结需用绳19米；编织4 个大号中国结和1 个小号中国结需用绳23米．
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(1)求编织1 个大号中国结和1 个小号中国结各需用绳多少米；
(2)某饰品店计划编织大、小号中国结共120个进行销售，所用编织绳不超过450 米．设编织m 个大号中国结．
①求m 的取值范围；
②已知每个大号中国结售价为12元，每个小号中国结售价为8 元，每米编织绳的成本为1元，其他成本总计
90元．求该饰品店获得的最大利润．
【答案】(1)编织1 个大号中国结需用绳5米，编织1 个小号中国结需用绳3米
(2)①0
45
m
且m 为整数；②该饰品店获得的最大利润为600元
【分析】（1）设编织1 个大号中国结需用绳x 米，编织1 个小号中国结需用绳y 米，利用题目给的条件列
出方程组，求解即可；
（2）①由题得编织(
)
120
m
−
个小号中国结，利用题目所给条件列出不等式结合m 是计划编织的大号中国结
个数即可求出m 的取值范围；②利用每米编织绳的成本为1元可得出编织1 个大号中国结和1 个小号中国结
各需多少成本，结合售价和题目信息可列出利润表达式，利用m 的取值范围可得出最大利润．
【详解】（1）解：设编织1 个大号中国结需用绳x 米，编织1 个小号中国结需用绳y 米，
由题意得
2
3
19
4
23
x
y
x
y
+
=
+
=
①
②，
2
①
得4
6
38
x
y
+
=
③，
③-②得5
15
y =
，解得
3
y =
，
把
3
y =
代入②得
5
x = ，
故原方程组的解为
5
3
x
y
=
=
．
答：编织1 个大号中国结需用绳5米，编织1 个小号中国结需用绳3米．
（2）解：①依题意得
(
)
5
3 120
450
m
m
+
−
，
化简得2
90
m
，
解得
45
m
，
因为m 是计划编织的大号中国结个数，
所以
0
m
，为整数，
所以m 的取值范围为0
45
m
，且m 为整数．
②由题意得每个大号中国结用绳成本为5 元，每个小号中国结用绳成本为3 元，
设获得的利润为W 元，
由题意得
(
)
(
) (
)
12 5
8 3
120
90
2
510
W
m
m
m
=
−
+
−
−
−
=
+
，
因为2
0
，所以W 随m 的增大而增大，
由①知0
45
m
，且m 为整数，
所以当
45
m =
时，W 最大，最大值为2 45 510
600
+
=
，
答：该饰品店获得的最大利润为600元．
18．（2026·吉林·中考真题）吉林玉米黄金带是世界三大玉米黄金带之一，吉林玉米享誉全国．购买7 箱“吉
林一号”玉米和9 箱“吉林二号”玉米共花费580 元；购买2 箱“吉林一号”玉米比1 箱“吉林二号”玉米多花费5
元．求每箱“吉林一号”玉米和每箱“吉林二号”玉米的售价．
【答案】每箱“吉林一号”玉米售价为25 元，每箱“吉林二号”玉米售价为45 元．
【分析】设出两种玉米的单价，根据题干给出的两个等量关系列出方程组，解方程组即可得到结果．
【详解】解：设每箱“吉林一号”玉米售价为x 元，每箱“吉林二号”玉米售价为y 元．
根据题意列方程组得
7
9
580
2
5
x
y
x
y
+
=
−
=
，
解得
25
45
x
y
=
=
，
答：每箱“吉林一号”玉米售价为25 元，每箱“吉林二号”玉米售价为45 元．
19．（2026·河北·中考真题）如图1 和图2，在ABC中，
10
AB
AC
=
=
，
12
BC =
，正方形DEFG 的顶点D ，
E ，F 分别在ABC的三边AB ，BC ，CA上．当点D 从点B 出发沿BA 向点A 移动时，点E ，F 随之分别
在BC ，CA上移动（正方形DEFG 的大小发生变化），当点F 与点C 重合时，移动停止．
(1) tan ABC
= ____________．
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(2)如图1，当
45
BED
=
时，求证：BE
CE
=
．
(3)①如图2，当
20
7
BD =
时，求BE 的长；
②当
40
7
BE =
时，直接写出正方形DEFG 的边长．
(4)在移动过程中，每当点G 移动1 个单位长度时，点E 均移动d 个单位长度，直接写出d 的值．
【答案】(1) 4
3
(2)证明：∵四边形DEFG 是正方形，
∴
,
90
ED
EF
DEF
=
=
∵
45
BED
=
，
∴
180
45
CEF
DEF
BED
=
−
−
=
∴
BED
CEF
=
∵AB
AC
=
∴
B
C
=
，
∴
(
)
AAS
BED
CEF
△
≌△
∴BE
CE
=
；
(3)①44
7 ；②16
5
7
(4) 1
7
【分析】（1）过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解
,
BH AH ，再由正切的
定义求解；
（2）证明
(
)
AAS
BED
CEF
△
≌△
即可；
（3）①过点D 作DM
BC
⊥
于点M ，过点F 作FN
BC
⊥
于点N ，在Rt BDM 中，由
4
tan
3
DM
B
BM
=
=
，设
4 ,
3
DM
x BM
x
=
=
，同理可设
4 ,
3
FN
y CN
y
=
=
，证明
(
)
AAS
DME
ENF
△
≌△
即可求解；
②构造同样辅助线，如上图，由
40
7
BE
BM
ME
=
+
=
，可得方程组
40
3
4
7
7
7
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，解方程组求解,x y ，再由
勾股定理求解DE ；
（4）先同样构造（3）问辅助线，再过点G 作GI
MD
⊥
交MD 的延长线于点I ，
同理可证明
DIG
EMD
△
≌△
，则
4 ,
4
IG
DM
x DI
ME
y
=
=
=
=
，证明当点D 运动时，点G 到BC 的距离不变，
为48
7 ，当点D 与点B 重合时，记作点D，作出初始位置时的正方形D E F G
，则点
, ,
,
G I G F
在同一直线
上，由题意设
1
GG
= ，可得四边形G D MI
是矩形，则
3
GI
DM
x
=
=
，
48
7
IM
BG
=
=
，那么
7
1
GG
GI
IG
x
=
+
=
= ，
48
7
BE
BG
=
=
，解得
1
7
x =
，再由d
EE
BE
BE
=
=
−
求解即可．
【详解】（1）解：过点A 作AH
BC
⊥
于点H ，
∵
10
AB
AC
=
=
，
12
BC =
，
∴
1
6
2
BH
CH
BC
=
=
=
，
∴
2
2
8
AH
AB
BH
=
−
=
，
∴
4
tan
3
AH
ABC
BH
=
=
；
（2）略
（3）解：①过点D 作DM
BC
⊥
于点M ，过点F 作FN
BC
⊥
于点N ，则
90
BMD
DME
ENF
CNF
=
=
=
=
，
∴在Rt BDM 中，
4
tan
3
DM
B
BM
=
=
，设
4 ,
3
DM
x BM
x
=
=
，
∵
B
C
=
，
∴
4
tan
3
FN
C
CN
=
=
，则设
4 ,
3
FN
y CN
y
=
=
∵四边形DEFG 是正方形，
∴
,
90
ED
EF
DEF
=
=
∴
90
DEM
EFN
FEN
=
=
−
∴
(
)
AAS
DME
ENF
△
≌△
∴
4 ,
4
DM
EN
x ME
FN
y
=
=
=
=
在Rt BDM 中，由勾股定理得
2
2
20
5
7
BD
BM
DM
x
=
+
=
=
，
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∴
4
7
x =
，
∴
12
3
7
BM
x
=
=
，
∵
3
4
4
3
7
7
12
BC
x
y
x
y
x
y
=
+
+
+
=
+
=
∴
8
7
y =
，
∴
12
8
44
3
4
4
7
7
7
BE
x
y
=
+
=
+
=
；
②构造同样辅助线，如上图，
∵
40
7
BE
BM
ME
=
+
=
，
∴可得方程组
40
3
4
7
7
7
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得
8
7
4
7
x
y
=
=
，
∴
32
16
4
,
4
7
7
DM
x
ME
y
=
=
=
=
，
∴
2
2
16
5
7
DE
DM
ME
=
+
=
；
（4）解：先同样构造（3）问辅助线，再过点G 作GI
MD
⊥
交MD 的延长线于点I ，
同理可证明
DIG
EMD
△
≌△
∴
4 ,
4
IG
DM
x DI
ME
y
=
=
=
=
，
由（3）可知7
7
12
x
y
+
=
,
∴
12
7
x
y
+
=
∴
12
48
4
4
4
7
7
IM
DI
DM
y
x
=
+
=
+
=
=
，
∴当点D 运动时，点G 到BC 的距离不变，为48
7 ，
当点D 与点B 重合时，记作点D，作出初始位置时的正方形D E F G
，则点
, ,
,
G I G F
在同一直线上，
由题意设
1
GG
= ，
∵四边形D E F G
是正方形，
∴
90
G
GDM
=
=
，
∵
90
DMB
=
∴四边形G D MI
是矩形，
∴
3
GI
DM
x
=
=
，
48
7
IM
BG
=
=
，
∴
7
1
GG
GI
IG
x
=
+
=
= ，
48
7
BE
BG
=
=
，
解得
1
7
x =
∴
48
4
7
DI
ME
IM
DM
x
=
=
−
=
−
，
48
48
3
4
7
7
BE
BM
ME
x
x
x
=
+
=
+
−
=
−
，
∴
48
48
1
7
7
7
d
EE
BE
BE
x
x
=
=
−
=
−
−
=
=
∴d 的值为1
7 ．
20．（2026·河南·中考真题）近视可防可控不可逆，保持“一尺、一拳、一寸”的正确书写姿势能有效预防近
视．小文发现，一本书的长度加上她的一拳长是1 尺，这本书长度的2 倍比她的一拳长的3 倍多1 尺．这
本书的长度和小文的一拳长分别是多少尺？
【答案】这本书的长度是0.8尺，小文的一拳长是0.2 尺
【分析】设这本书的长度是x 尺，小文的一拳长是y 尺，根据“一本书的长度加上她的一拳长是1 尺，这本
书长度的2 倍比她的一拳长的3 倍多1 尺”列出二元一次方程组求解．
【详解】解：设这本书的长度是x 尺，小文的一拳长是y 尺．
根据题意，得
1
2
3
1
x
y
x
y
+
=
−
=
，
解这个方程组，得
0.8
0.2
x
y
=
=
，
答：这本书的长度是0.8尺，小文的一拳长是0.2 尺．
21．（2026·四川泸州·中考真题）某中学手工社团准备到甲、乙两家超市购买A、B 两种材料制作端午香包，
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两家超市以同样的价格出售相同的材料．已知购买1 份A 材料和3 份B 材料的总费用为110 元；购买2 份
A 材料和1 份B 材料的总费用为70 元．
(1)购买1 份A 材料和1 份B 材料的费用分别是多少元？
(2)现甲、乙两家超市均对B 材料开展促销活动，甲超市对B 材料按9 折出售；乙超市对一次购买B 材料总
金额超过180 元的部分打8 折．该手工社团计划购买B 材料m 份（
6
m
），如何根据购买数量选择在哪家
超市购买？
【答案】(1)
购买1 份A 材料的费用为20 元，购买1 份B 材料的费用为30 元.
(2)
当6
12
m
时，选择甲超市购买更合算；当
12
m =
时，选择两家超市购买费用相同；当
12
m
时，选择乙
超市购买更合算.
【分析】（1）根据购买1 份A 材料和3 份B 材料的总费用为110 元；购买2 份A 材料和1 份B 材料的总
费用为70 元列出方程组，解方程组即可；
（2）分别用m 的式子表示出在甲、乙超市购买的费用，然后分甲超市费用高于乙超市费用；甲超市费用和
乙超市费用一样多；甲超市费用低于乙超市费用讨论即可.
【详解】（1）解：设购买1 份A 材料的费用为x 元，购买1 份B 材料的费用为y 元，
根据题意，得：
3
110
2
70
x
y
x
y
+
=
+
=
，
解得：
20
30
x
y
=
=
，
答：购买1 份A 材料的费用为20 元，购买1 份B 材料的费用为30 元；
（2）解：在甲超市购买的费用为0.9 30
27
m
m
=
（元），在乙超市购买的费用为
(
) (
)
180
0.8 30
6
24
36
m
m
+
−
=
+
（元），
当甲超市费用高于乙超市费用时，27
24
36
m
m
+
，
解得
12
m
，
∴当
12
m
时，选择乙超市购买更合算；
当甲超市费用和乙超市费用一样多时，27
24
36
m
m
=
+
，
解得
12
m =
，
∴当
12
m =
时，选择两家超市购买费用相同；
当甲超市费用低于乙超市费用时，27
24
36
m
m
+
，
解得
12
m
，
又
6
m
，
∴6
12
m
，
∴当6
12
m
时，选择甲超市购买更合算；
综上，当6
12
m
时，选择甲超市购买更合算；当
12
m =
时，选择两家超市购买费用相同；当
12
m
时，
选择乙超市购买更合算
22．（2026·四川遂宁·中考真题）安居“524”红薯是国家质检总局批准的地理标志保护产品．根据市场需求，
合作社将“524”红薯制成“红薯粉条”和“红薯淀粉”两类产品，用于旅游特产销售．经了解，“红薯粉条”比“红
薯淀粉”每袋多卖4 元，且用30 元购买“红薯粉条”的袋数与用18 元购买“红薯淀粉”的袋数相等．
(1)求“红薯粉条”和“红薯淀粉”每袋分别售价多少元？
(2)某游客计划购买这两类产品（两类都有），恰好用完100 元．请问该游客有哪几种购买方案？
【答案】(1)
“红薯粉条”每袋售价10 元，“红薯淀粉”每袋售价6 元；
(2)
该游客共有3 种购买方案，分别为：方案一：购买红薯粉条1 袋，红薯淀粉15 袋；方案二：购买红薯粉条
4 袋，红薯淀粉10 袋；方案三：购买红薯粉条7 袋，红薯淀粉5 袋．
【分析】（1）根据两种商品购买袋数相等建立等量关系；
（2）根据总费用列出二元一次方程，结合购买数量为正整数的条件，找出所有符合要求的购买方案．
【详解】（1）解： 设“红薯淀粉”每袋售价x 元，则“红薯粉条”每袋售价(
4)
x +
元，
根据题意得30
18
4
x
x
=
+
，
解得
6
x =
，
检验：当
6
x =
时，(
4)
0
x x +
，
因此
6
x =
是原分式方程的解，
4 10
x+ =
，
答：“红薯粉条”每袋售价10 元，“红薯淀粉”每袋售价6 元；
（2）解：设购买“红薯粉条”a 袋，购买“红薯淀粉”b 袋，其中,a b 均为正整数，
根据题意得10
6
100
a
b
+
=
，
整理得
50
5
3
a
b
−
=
，
b为正整数，
50 5a
−
是3 的正倍数，且50 5
0
a
−
，
即
10
a
，
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当
1
a = 时，
50
5 1
15
3
b
−
=
=
，符合要求；
当
4
a =
时，
50
5 4
10
3
b
−
=
=
，符合要求；
当
7
a =
时，
50
5 7
5
3
b
−
=
=
，符合要求；
答：该游客共有3 种购买方案，分别是：①购买“红薯粉条”1 袋，“红薯淀粉”15 袋；②购买“红薯粉条”4 袋，
“红薯淀粉”10 袋；③购买“红薯粉条”7 袋，“红薯淀粉”5 袋．
考点03 一元二次方程实际问题
1．（2026·湖北武汉·中考真题）对于一元二次方程，我国古代数学家研究过其几何解法．以方程
2
8
48
x
x
+
=
为例，赵爽的《勾股圆方图注》中记载的方法是：如图1，先构造一个面积为
2
x 的正方形，再以正方形的
边为一边向外构造四个面积为2x 的矩形，最后补图得到大正方形，其面积为
2
48
4
2
64
+
=
，则该方程的正
数解为8
2 2
4
−=
．小美尝试用此方法解关于x 的方程
2
12
0
x
x
c
+
+
=
，构造如图2 所示的图形．若图2 中
大正方形的面积为100，则方程
2
12
0
x
x
c
+
+
=
的正数解是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】A
【分析】仿照题中方法，构造一个面积为
2
x 的正方形，向外构造四个面积为3x的矩形，得出四个小正方形
的边长为3，根据大正方形的面积为100得出大正方形的边长为10，进而求出方程
2
12
0
x
x
c
+
+
=
的正数解即
可．
【详解】解：如图2，先构造一个面积为
2
x 的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为3x的矩
形，
∴四个小正方形的边长为3，
∵大正方形的面积为100，
∴大正方形的边长为100=10 ，
∴方程
2
12
0
x
x
c
+
+
=
的正数解是10 2 3
4
−=
．
2．（2026·山西·中考真题）某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3
月份此款飞行器产量为1200 台，5 月份的产量为1600 台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增
长率为x ，则下列方程正确的是（ ）
A．
(
)
1200 1
1600
x
+
=
B．
(
)
1200 1 2
1600
x
+
=
C．
(
)
2
1200 1
1600
x
+
=
D．
(
)
2
1600 1
1200
x
−
=
【答案】C
【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5 月份实际产量列出等式即可．
【详解】解：∵3 月份产量为1200台，月平均增长率为x ，
∴4 月份产量为
(
)
1200 1 x
+
台 ，
∴5 月份产量为
(
) (
)
2
1200 1
1
1200(1
)
x
x
x
+
+
=
+
台 ，
又∵5 月份实际产量为1600台 ，
∴可列方程为
(
)
2
1200 1
1600
x
+
=
．
3．（2026·四川凉山·中考真题）四川省城市足球联赛决赛阶段每两队之间都进行两场比赛，有x 支球队进
入决赛阶段，共比赛72 场，根据题意可列关于x 的方程为（ ）
A．
(
)
1
1
72
2 x x−
=
B．(
)1
72
x x−
=
C．(
)1
72
x x +
=
D．
(
)
1
1
72
2 x x +
=
【答案】B
【详解】解：∵共有x 支球队，每支球队需要和除自身外的(
)1
x −
支球队比赛，
又∵每两队之间进行两场比赛，不需要去掉重复计数，
∴总比赛场数为(
)1
x x −
，已知总比赛场数为72 场，
∴可列方程(
)1
72
x x −
=
．
4．（2026·山东烟台·中考真题）为庆祝长征胜利90 周年，文旅公司推出多款长征主题的文创产品．已知某
款文创产品的成本价是每件20 元，日销售量y （件）与每件售价x （元）的函数关系如图所示．
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(1)求y 与x 的函数表达式；
(2)文旅公司在销售这款文创产品时，若每天盈利525 元，且尽可能的让利于顾客，求该款文创产品每件的
售价为多少元？
【答案】(1)
70
y
x
−
=
+
(2)该款文创产品每件的售价为35 元．
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据题意列一元二次方程，取较小解即可．
【详解】（1）解：设y 与x 的函数表达式为y
kx
b
=
+
，
将点(
)
30,40 和点(
)
40,30 的代入得：
30
40
40
30
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得：
1
70
k
b
−
=
=
，
y 与x 的函数表达式为
70
y
x
−
=
+
；
（2）解：根据题意得：(
)(
)
20
70
525
x
x
−
−+
=
，
整理得：
2
90
1925
0
x
x
−
+
=
，
解得：
1
35
x =
，
2
55
x =
，
尽可能的让利于顾客，
35
x
=
，
即该款文创产品每件的售价为35 元．
考点04 分式方程实际问题
1．（2026·吉林·中考真题）十三世纪的《计算之书》中记载了一个数学问题：将10 写成两个数的和，10
除以第一个数，所得的商乘第二个数，得
1
20 4 ，这两个数分别为多少？若设第一个数为x ，则所列方程为
（ ）
A．(
)
1
10
20 4
x
x
−
=
B．
1
20
10
4
x
x =
−
C．(
)
10
1
20
10
4
x
x =
−
D．
(
)
10
1
10
20 4
x
x
−
=
【答案】D
【分析】先根据两数和为10，用x 表示出第二个数，再按照题目描述的运算顺序列出方程，对比选项即可
得到结果．
【详解】解：∵设第一个数为x ，两数和为10，
∴第二个数为10
x
−，
∴可列方程
(
)
10
1
10
20 4
x
x
−
=
．
2．（2026·四川巴中·中考真题）科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗
粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量
的2 倍少4mg ，一年滞尘1000mg 所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550mg 所需的国槐树叶的片数相同．设
一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg
x
，则可列方程为（ ）
A．1000
550
2
4
x
x
=
−
B．1000
550
2
4
x
x
=
−
C．1000
550
2
4
x
x
=
+
D．1000
550
2
4
x
x
=
+
【答案】B
【分析】本题考查列分式方程解决实际问题，解题思路是先根据题意表示出一片银杏树叶的平均滞尘量，
再根据“片数=总滞尘量÷单片滞尘量”，结合两种树叶的片数相等列出方程．
【详解】解：∵设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为mg
x
，一片银杏树叶一年的平均滞尘量比国槐的2 倍
少4mg ，
∴一片银杏树叶一年的平均滞尘量为(
)
2
4 mg
x −
．
∵一年滞尘1000mg 所需的银杏树叶的片数为1000
2
4
x −
，一年滞尘550mg 所需的国槐树叶的片数为550
x ，且两
种树叶的片数相同，
∴可列方程：1000
550
2
4
x
x
=
−
．
3．（2026·四川成都·中考真题）为了估计瓶中豆子的数量，先从瓶中取出100 颗豆子，并给这些豆子做上
记号，然后把这些豆子放回瓶中，充分摇匀，再从瓶中随机取出60 颗豆子，发现其中有5 颗豆子带有记号，
则瓶中豆子的颗数约为（ ）
A．300
B．600
C．1000
D．1200
【答案】D
【分析】设瓶中豆子的颗数约为x 颗，根据总体中带记号豆子的频率与样本中带记号豆子的频率相等建立方
程求解即可．
【详解】解：设瓶中豆子的颗数约为x 颗，
由题意得：100
5
60
x =
，
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解得
1200
x =
，经检验，是所列分式方程的解，
则瓶中豆子的颗数约为1200 颗．
4．（2026·四川内江·中考真题）内江市小青龙河绿道风光秀丽，适合市民徒步休闲．小林、小明两人在小
青龙河6 千米长的绿道上快走，小林的速度是小明的1.2 倍，小林比小明早15 分钟走完全程．设小明的速
度为x 千米/时，则符合题意的方程是（ ）
A．6
6
15
1.2
x
x
=
+
B．6
6
15
1.2
x
x
=
−
C．6
6
1
1.2
4
x
x
=
+
D．6
6
1
1.2
4
x
x
=
−
【答案】C
【分析】由题意得，小明走完全程的时间为6
x 小时，小林走完全程的时间为
6
1.2x 小时，而小林比小明早15
分钟走完全程，即小明走完全程的时间比小林多
1
4 小时，即可建立方程．
【详解】解：设小明的速度为x 千米/时，则小林的速度为1.2x 千米/时，
由题意得，6
6
1
1.2
4
x
x
=
+
．
5．（2026·山东德州·中考真题）书店正在销售文学类和科技类的书籍，已知科技类单价是文学类单价的1.5
倍，用700 元和900 元分别购买文学类和科技类，文学类可以比科技类多买5 本．设文学类书籍的单价为x
元，由已知可列方程（ ）
A．700
900
5
1.5x
x
−
=
B．900
700
5
1.5
x
x
−
=
C．900
700
5
1.5x
x
−
=
D．700
900
5
1.5
x
x
−
=
【答案】D
【分析】根据设出的未知数表示出两类书籍的单价与购买数量，再根据两类书籍的数量差关系列出方程．
【详解】解：∵设文学类书籍的单价为x 元，科技类单价是文学类单价的1.5倍，
∴科技类书籍的单价为1.5x 元.
根据数量等于总价除以单价，可得：购买文学类书籍的数量为700
x 本，购买科技类书籍的数量为900
1.5x 本.
∵文学类比科技类多买5本，即文学类数量减去科技类数量等于5，
∴列方程得700
900
5
1.5
x
x
−
=
．
6．（2026·江西·中考真题）我国智能制造蓬勃发展，某工厂引进A，B 两种型号智能机器来加工某种零件．已
知A 每小时比B 多加工50 个零件，A 加工1640 个零件所用时间与B 加工1230 个零件所用时间相等，求A，
B 每小时各加工多少个零件．设B 每小时加工x 个零件，可列分式方程为__________________．
【答案】1640
1230
50
x
x
=
+
【分析】设B 每小时加工x 个零件，则A 每小时加工(
)
50
x +
个零件，根据“A 加工1640 个零件所用时间与
B 加工1230 个零件所用时间相等”列出分式方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设B 每小时加工x 个零件，则A 每小时加工(
)
50
x +
个零件，依题意得，1640
1230
50
x
x
=
+
．
7．（2026·湖北武汉·中考真题）某校九年级开展了“手工文创作品制作·模拟营销”的项目式学习活动．
市场调查 选取两类作品：原木小件(记作A 品)、滴胶花艺(记作B 品)．
收集到如下信息：
信息1：制作一件A 品比一件B 品的成本高2 元，用120元制作A 品的件数与用80元制作B 品的件数相等．
信息2：当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件；B 品售价固定为16元/
件．
信息3：根据市场需求，制作并销售A 品和B 品共300件．
成本核算：
(1)分别求制作一件A 品和一件B 品的成本．
模型建立：
(2)设销售A 品和B 品的总利润为w元，A 品售价为x 元/件，求w 关于x 的函数解析式(不要求写自变量x 的
取值范围)．
方案设计：
(3)若制作A 品和B 品的总成本不超过1400元，且总利润最大，请设计A 品和B 品的数量分配方案．
【答案】(1)制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元
(2)
2
10
580
3600
w
x
x
= −
+
−
(3)制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大
【分析】（1）设制作一件B 品的成本为a 元，则制作一件A 品的成本为(
)
2
a +
元，根据“用120元制作A
品的件数与用80元制作B 品的件数相等”列出分式方程并求解即可；
（2）根据“当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件”求出A 品的销量，再
根据总销量300 件求出B 品的销量，从而利用利润公式求出w 关于x 的函数解析式；
（3）先利用不等式求出x 的取值范围，再根据二次函数的图象和性质求解即可．
【详解】（1）解：设制作一件B 品的成本为a 元，则制作一件A 品的成本为(
)
2
a +
元，
由题意可知：120
80
2
a
a
=
+
，
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解得：
4
a =
，
经检验：
4
a =
是原方程的根，符合题意，
故
2
6
a+
=
，
答：制作一件A 品的成本为6 元，制作一件B 品的成本为4 元；
（2）解：∵当A 品售价为18元/件时，其销量为220 件，售价每涨1元，销量减少10件，
∴A 品的销量为：
(
)
220 10
18
400 10
x
x
−
−
=
−
(件)，
∴B 品的销量为：
(
)
300
400 10
10
100
x
x
−
−
=
−
(件)，
∴
(
)(
) (
)(
)
2
6
400 10
16
4 10
100
10
580
3600
w
x
x
x
x
x
=
−
−
+
−
−
= −
+
−
，
答：w 关于x 的函数解析式为：
2
10
580
3600
w
x
x
= −
+
−
；
（3）解：∵制作A 品和B 品的总成本不超过1400元，
∴(
)
(
)
6 400 10
4 10
100
1400
x
x
−
+
−
，
解得：
30
x
，
又∵400 10
0
x
−
且10
100
0
x−
，即10
40
x
，
∴30
40
x
，
∵
(
)
2
2
10
580
3600
10
29
4810
w
x
x
x
= −
+
−
= −
−
+
，10
0
−
，
∴当30
40
x
时，w 随着x 的增大而减小，
∴当
30
x =
时，
(
)
2
max
10 30
29
4810
4800
w
= −
−
+
=
．
此时400 10
100
x
−
=
，10
100
200
x−
=
，总成本等于1400 元，
答：制作A 品100 件，B 品200 件时，总成本不超过1400 元且总利润最大．
8．（2026·贵州·中考真题）亚洲体操锦标赛于2026 年6 月18日在贵州遵义举行，“红色旅游+体育赛事”为
黔北地区旅游产业发展带来了机遇．某旅游公司计划购进A ，B 两种以“遵义会议”为主题的纪念品赠送给
游客．已知A 种物品的单价比B 种物品的单价多20 元，用1200元采购A 种物品的数量与用800 元采购B 种
物品的数量相同．
(1)求A ，B 两种物品的单价各是多少元？
(2)该公司计划购进这两种物品共700 个，当购买A 种物品的费用不超过购买B 种物品的费用的2 倍时，A 种
物品最多能购进多少个？
【答案】(1)
A 种物品单价为60 元，B种物品单价为40 元
(2)
A 种物品最多能购进400 个
【分析】（1）设A 种物品单价为x 元，B种物品单价为(
)
20
x −
元，列分式方程求解即可；
（2）设购买A 种物品y 个，则购买B种物品(
)
700
y
−
个，根据购买A 种物品的费用不超过购买B 种物品费
用的2 倍，列不等式求解．
【详解】（1）解：设A 种物品单价为x 元，B种物品单价为(
)
20
x −
元，
根据题意可得：1200
800
20
x
x
=
−
，
解得：
60
x =
，
经检验，
60
x =
是所列分式方程的解，
20
60 20
40
x
−
=
−
=
，
答：A 种物品单价为60 元，B种物品单价为40 元；
（2）解：设购买A 种物品y 个，则购买B种物品(
)
700
y
−
个，
根据题意可得：
(
)
60
2 40 700
y
y
−
，
解得：
400
y
，
答：A 种物品最多能购进400 个．
9．（2026·黑龙江绥化·中考真题）我国人工智能发展迅速，能替代人类完成很多工作．某快递公司准备购
进A，B 两种型号的快递智能分拣机械手（以下A 型快递智能分拣机械手简称A 型机械手，B 型快递智能
分拣机械手简称B 型机械手），已知A 型机械手的单价比B 型机械手的单价高2 万元，用120 万元购进A
型机械手的数量和用80 万元购进B 型机械手的数量相等．
(1)求A，B 两种型号机械手的单价分别是多少万元？
(2)快递公司计划购买A，B 两种型号的机械手共30 台，且A 型的数量不少于B 型数量的2 倍．如何购买
这两种机械手使其总费用最少，最少费用是多少万元？
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(3)该快递公司使用甲、乙两台不同型号的机械手进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度保持不变．某
天甲机械手先开始工作，工作一段时间后，因发生故障停工检修，同时乙机械手开始工作，甲机械手修好
后又以原速度继续工作，完成分拣后两台机械手同时停止工作．甲、乙两台机械手分拣快递的数量y（件）
与甲机械手工作时间x （分钟）之间的函数关系如图所示．
①乙机械手的工作速度为_________件/分钟，a =_________．
②直接写出BC 所在直线的函数表达式：_________．
③当乙机械手工作_________分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．
【答案】(1)A 型机械手的单价为6 万元，B 型机械手的单价为4 万元；
(2)购买A 型机械手20 台，B 型机械手10 台，此时所需费用最少，费用最少为160 万元；
(3)①20；60；②
15
450
BC
y
x
=
−
；③22.5
【分析】（1）设A 型机械手的单价为n 万元，B 型机械手的单价为(
)
2
n−
万元，根据题意列出分式方程，
据此求解即可；
（2）设购买A 型机械手m 台，则购买B 型机械手(
)
30
m
−
台，所需费用为w 万元，根据题意列出不等式
组，求得20
30
m
，再列出w 关于m 的一次函数，再利用一次函数的性质求解即可；
（3）①根据函数图象求解即可；②利用待定系数法求解即可；③相同数量是450 件，据此计算即可求解．
【详解】（1）解：设A 型机械手的单价为n 万元，B 型机械手的单价为(
)
2
n−
万元，
由题意得120
80
2
n
n
=
−
，
解得：
6
n =
，
经检验：
6
n =
是原分式方程的解，
B 型机械手的单价：
2
6 2
4
n−= −=
（万元），
答：A 型机械手的单价为6 万元，B 型机械手的单价为4 万元；
（2）解：设购买A 型机械手m 台，则购买B 型机械手(
)
30
m
−
台，所需费用为w 万元，
由题意得
(
)
2 30
30
0
m
m
m
−
−
，
解得：20
30
m
，
由题意得：
(
)
6
4 30
2
120
w
m
m
m
=
+
−
=
+
，
∵2
0
，
∴w 随m 的增大而增大，且m 取正整数，
∴当
20
m =
时，w 的最小值为2
120
2 20 120
160
m+
=
+
=
（万元），
此时B 型机械手：30
30 20
10
m
−
=
−
=
（台），
答：购买A 型机械手20 台，B 型机械手10 台，此时所需费用最少，费用最少为160 万元；
（3）解：①乙机械手的工作速度为
(
)
3000
180 30
20
−
=
件/分钟，
甲机械手的工作速度为450 30
15
=
件/分钟，
∴
(
)
180
2250
450
15
60
a =
−
−
=
；
②设BC 所在直线的函数表达式为
BC
y
kx
b
=
+ ，
将(
)
60,450 ，(
)
180,2250 代入
BC
y
kx
b
=
+ ，
得
60
450
180
2250
k
b
k
b
+
=
+
=
，
解得
15
450
k
b
=
= −
，
∴BC 所在直线的函数表达式为
15
450
BC
y
x
=
−
；
③∵乙机械手的工作速度为20 件/分钟，
由图象知，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同的数据是450 件，
∴450 20
22.5
=
，
∴当乙机械手工作22.5 分钟时，甲、乙两台机械手分拣快递的数量相同．
10．（2026·广东深圳·中考真题）为激发学生对科技的兴趣，某校计划购买甲、乙两种型号的机器人用于科
技节展示．已知用200 万元购买甲型机器人的数量，是用120 万元购买乙型机器人数量的2 倍，且每台乙
型机器人比每台甲型机器人贵5 万元．小丽和小亮分别提出了不同的解题思路：
学生
设未知量
所列方程
小丽
设甲型机器人的数量
为x 台
200
120
5
1
2
x
x
=
−
小亮
设每台甲型机器人的
价格为y 万元
（请补充）
(1)请写出小亮所列的方程；
(2)若购买甲、乙两种型号的机器人共16 台，且总费用不超过420 万元，则最多可购买乙型机器人多少台？
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【答案】(1) 200
120
2
5
y
y
=
+
；
(2)最多可购买乙型机器人4 台
【分析】（1）根据“总价单价=数量”，结合题干中甲型数量和乙型数量的倍数关系，即可列出小亮的方
程；
（2）先求解第一问的方程得到甲、乙两种型号的机器人的单价，再设购买乙型机器人的数量，根据总费用
不超过420 万元列出一元一次不等式，求解后取最大正整数解即可得到结果．
【详解】（1）解：∵设每台甲型机器人的价格为y 万元，且每台乙型机器人比每台甲型机器人贵5万元，
∴每台乙型机器人的价格为(
)
5
y +
万元，
∵用200 万元购买甲型机器人的数量，是用120 万元购买乙型机器人数量的2 倍，
∴可得方程：200
120
2
5
y
y
=
+
；
（2）解：由（1）得，200
120
2
5
y
y
=
+
解得
25
y =
，
经检验
25
y =
是原方程的解，且符合题意，
则
5
25
5
30
y +
=
+
=
，
∴每台甲型机器人25 万元，每台乙型机器人30 万元，
设购买乙型机器人m 台，则购买甲型机器人(
)
16
m
−
台，
根据题意得
(
)
30
25 16
420
m
m
+
−
，
解得
4
m
，
∵m 是非负整数，
∴m 的最大值为4 ，
答：最多可购买乙型机器人4 台．
11．（2026·四川达州·中考真题）综合与实践
背景
某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种
植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路AC （忽略小
路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（ABC ）种植甲种蔬菜，
Ⅱ区域（ACD）种植乙种蔬菜．
素材一
用测量工具测得：
6
AB = 米，
8
BC = 米，
24
CD =
米，
26
AD =
米，
90
ABC
=
；
素材二
用200 元购进甲种菜苗，1080元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价
比甲种菜苗的单价多20%，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的4 倍多
200 株；
素材三
经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为75%，乙种菜苗成活率为
95%．
完成以下任务
(1)任务一：求四边形空地的面积；
(2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价；
(3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本G = 购买某种菜苗的费用
实际成活的菜苗株数，比较大小：G甲________G乙（填“”“”
或“=”）
【答案】(1)144平方米
(2)甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6 元每株
(3)
【分析】（1）根据勾股定理求得AC ，进而根据勾股定理证明ACD是直角三角形，且
90
ACD
=
，再根
据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解；
（2）设甲菜苗的单价为x 元每株，乙菜苗的单价为1.2x 元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求
解．
（3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：∵
6
AB = ，
8
BC = ，
90
ABC
=
，
∴
2
2
10
AC
AB
BC
=
+
=
米
∵
24
CD =
米，
26
AD =
米，
∴
2
2
2
100,
576,
676
AC
CD
AD
=
=
=
∴
2
2
2
AD
AC
CD
=
+
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∴ACD是直角三角形，且
90
ACD
=
∴
1
1
1
1
6 8
10 24
144
2
2
2
2
S
S
AB
BC
AC
CD
+
=
+
=
+
=
Ⅰ
Ⅱ
平方米；
（2）设甲菜苗的单价为x 元每株，乙菜苗的单价为(
)
1 20%
1.2
x
x
+
=
元每株，根据题意得，
200
1080
4
200
1.2
x
x
+
=
解得：
0.5
x =
，经检验
0.5
x =
是原方程的解，且符合题意，
∴乙菜苗的单价为1.2
1.2 0.5
0.6
x =
=
元，
答：甲菜苗的单价为0.5元每株，乙菜苗的单价为0.6 元每株
（3）甲种菜苗的数量为200
400
0.5 =
（株），成活数为400 75%
300
=
（株）
200
2
300
3
G =
=
甲
乙种菜苗的数量为1080
1800
0.6 =
（株），成活数为1800 95% 1710
=
（株）
1080
12
1710
19
G
=
=
乙
∵2
12
3
19
∴G
G
乙
甲
12．（2026·江苏扬州·中考真题）用甲、乙两种型号的机器人搬运货物．已知乙型机器人比甲型机器人搬运
效率高50%，且乙型机器人搬运1500kg 货物比甲型机器人搬运1200kg 货物少用10 分钟．求这两种机器人每
分钟分别搬运多少货物．
【答案】甲型机器人每分钟搬运20kg 货物，乙型机器人每分钟搬运30kg 货物
【分析】设甲型机器人每分钟搬运kg
x
货物，根据效率关系表示出乙型机器人的搬运效率，再结合题目给出
的时间差关系列分式方程求解，最后检验得到结果．
【详解】解：设甲型机器人每分钟搬运kg
x
货物，
根据题意，乙型机器人效率比甲型高50%，
∴乙型机器人每分钟搬运(
)
(
)
1 50%
1.5
kg
x
x
+
=
，
∴甲型搬运1200kg 货物的时间为1200
x
分钟，乙型搬运1500 kg货物的时间为1500
1.5x 分钟，
∵乙型搬运比甲型少用10 分钟，
∴1200
1500
10
1.5
x
x
−
=
200
10
x
=
解得
20
x =
，
经检验，
20
x =
是原方程的解，
∴1.5
1.5 20
30
x =
=
（千克），
答：甲型机器人每分钟搬运20kg 货物，乙型机器人每分钟搬运30kg 货物．
13．（2026·云南·中考真题）某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出A ，B两种生日系
列花束．已知A 种花束每束的价格比B种花束每束的价格少8 元，用480 元购买A 种花束的数量与用560
元购买B种花束的数量相同．求每束A 种花束的价格．
【答案】
每束A 种花束的价格为48 元
【分析】设出A 种花束的单价，根据A、B 单价的关系表示出B 的单价，再利用“480 元购买A 种花束的数
量与560 元购买B 种花束的数量相等”这一等量关系，列出分式方程，求解检验后得到结果.
【详解】解：设每束A 种花束的价格为x 元，则每束B 种花束的价格为(
8)
x +
元；
根据题意，得480
560
8
x
x
=
+
，
解得
48
x =
；
经检验
48
x =
是原分式方程的解，且符合题意；
答：每束A 种花束的价格为48 元．
考点05 一元一次不等式的应用
1．（2026·四川广安·中考真题）根据图中对话内容，选择恰当的选项（ ）
A．m
n
，
7
7
m
n
+ +
B．m
n
，7
7
m
n
C．m
n
，7
7
m
n
D．m
n
，
7
7
m
n
+
+
【答案】B
【详解】解：根据图片对话，每天记的英语单词个数可得m
n
，7 天记的英语单词个数可得7
7
m
n
．
2．（2026·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy 中，函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象经过点(
)
2, 1
−
−
和(
)
15, ．
(1)求k ，b 的值；
(2)当2
1
x
−
时，对于x 的每一个值，函数
(
)
0
y
mx m
=
的值小于函数y
kx
b
=
+
的值，直接写出m 的取值
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范围．
【答案】(1)k 的值为2，b 的值为3
(2) 1
5
2
m
【分析】（1）将两点坐标代入一次函数解析式，构建二元一次方程组，解方程组求出k ，b ；
（2）先写出一次函数解析式，整理不等式
2
3
mx
x
+ ，分
2
m
、
2
m
、
2
m =
三类讨论，结合x 的取值范
围列不等式求解，合并得到m 的范围．
【详解】（1）解：
函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的图象经过点(
)
2, 1
−
−
和(
)
15, ，
2
1
5
k
b
k
b
−
+
= −
+
=
，
解得
2
3
k
b
=
=
，
k
的值为2，b 的值为3；
（2）由（1）可得，函数
(
)
0
y
kx
b k
=
+
的解析式为：
2
3
y
x
=
+ ，
∵当2
1
x
−
时，对于x 的每一个值，函数
(
)
0
y
mx m
=
的值小于函数
2
3
y
x
=
+ 的值，
∴当2
1
x
−
时，
2
3
mx
x
+ ，即(
)
2
3
m
x
−
，
∵当
2
m
时，
3
2
x
m
−
，
∴
3
2
2
m
−
−
，
解得1
2
2
m
，
∵当
2
m
时，
3
2
x
m
−
，
∴
3
1
2
m
−
，
解得2
5
m
，
∵当
2
m =
时，(
)
2
2
3
x
−
恒成立，
∴
2
m =
符合题意，
综上所述：1
5
2
m
．
3．（2026·内蒙古·中考真题）某超市的一部货运电梯的额定载重量为1000 千克，甲、乙两位搬运师傅用这
部电梯搬运货物上楼，两位师傅每次都和货物一起乘梯，已知甲、乙两位师傅的身体质量分别为75 千克和
65 千克．（不考虑空间因素）
(1)现有一批货物质量共3000 千克，两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要多少次？请说明理由；
(2)若该超市购进大量A，B 两种货物，A 种货物每箱的质量为100 千克，B 种货物每箱的质量为80 千克．为
了尽快搬运上楼，这两位师傅决定满载搬运，有哪几种满载搬运的搭配方案？
【答案】(1)至少需要4 次，理由如下：
设至少需要x 次，由题意得：(
)
1000
75 65
3000
x
−
−
，
解得
21
3 43
x
，
∵x 为正整数，
∴x 取4 ，
答：两位师傅要把这批货物搬运完，至少需要4 次；
(2)共有2 种满载搭配方案：方案一：A 种货物3 箱，B 种货物7 箱；方案二：A 种货物7 箱，B 种货物2
箱
【分析】（1）设至少需要x 次，根据“ x 次搬运的货物总质量大于等于货物总质量” 建立不等式求解即可；
（2）设搬运A 种货物m 箱，B 种货物n 箱，（
,
m n 为非负整数），根据题意建立二元一次方程，然后求其
非负整数解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设搬运A 种货物m 箱，B 种货物n 箱，（
,
m n 为非负整数）
由题意得，100
80
75 65 1000
m
n
+
+
+
=
，
化简得：5
4
43
m
n
+
=
，
∵
,
m n 为非负整数，
∴解得
3
7
m
n
=
=
或
7
2
m
n
=
=
，
因此共有2 种满载搭配方案：方案一：A 种货物3 箱，B 种货物7 箱；方案二：A 种货物7 箱，B 种货物2
箱．
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4．（2026·四川内江·中考真题）某商场准备购进甲、乙两种衬衣进行销售．甲种衬衣每件进价100元，售价
160元；乙种衬衣每件进价80元，售价120元．现计划购进两种衬衣共100件，其中甲种衬衣不少于60 件．设
购进甲种衬衣x 件，两种衬衣全部售完，商场可获利y 元．
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若商场购进这100件衬衣的总费用不超过9300元，求有哪几种进货方案？
(3)在( )
2 的条件下，商场准备对甲种衬衣进行优惠促销活动，决定对甲种衬衣每件降价a 元（0
30
a
）出
售，乙种衬衣售价不变，若最大利润为4650 元，求a 的值．
【答案】(1)
20
4000
y
x
=
+
（60
100
x
，x 为整数）；
(2)共有6 种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60 件，乙种衬衣40 件；②购进甲种衬衣61件，乙种衬衣39
件；③购进甲种衬衣62 件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37 件；⑤购进甲种衬衣64
件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣35 件；
(3)
10
a =
【分析】( )
1 设购进甲种衬衣x 件，则购进乙种衬衣(
)
100
x
−
件，然后根据“总利润=甲的利润+ 乙的利润”，
列出函数关系式即可；
( )
2 根据题意，总费用不超过9300元，可得
(
)
100
80 100
9300
x
x
−
+
，结合自变量的取值范围得到所有整数
解，即所有进货方案；
( )
3 根据题意调价后甲每件利润为(
)
60
a
−
元，乙每件利润仍为40 元，则利润
(
)
20
4000
y
a x
−
=
+
，分情况
根据一次函数增减性求最大利润，结合给定最大利润求解a ，舍去不符合范围的解．
【详解】（1）解：设购进甲种衬衣x 件，则购进乙种衬衣(
)
100
x
−
件，
甲每件利润为160 100
60
−
=
元，乙每件利润为120 80
40
−
=
元，
根据题意得
(
)
60
40 100
20
4000
y
x
x
x
−
=
+
=
+
由题意得
60
x
，100
0
x
−
，
因此60
100
x
，且x 为整数；
（2）解：根据题意，总费用不超过9300元，可得
(
)
100
80 100
9300
x
x
−
+
，
整理得20
1300
x
，
解得
65
x
，
∵
60
x
，且x 为正整数，
∴60
65
x
，x 的取值为60,61,62,63,64,65，对应乙的数量为40,39,38,37,36,35，
因此共有6 种进货方案，分别是①购进甲种衬衣60 件，乙种衬衣40 件；②购进甲种衬衣61件，乙种衬衣
39件；③购进甲种衬衣62 件，乙种衬衣38件；④购进甲种衬衣63件，乙种衬衣37 件；⑤购进甲种衬衣
64 件，乙种衬衣36件；⑥购进甲种衬衣65件，乙种衬衣35 件；
（3）解：根据题意，调价后甲每件利润为(
)
60
a
−
元，乙每件利润仍为40 元，
∴利润
(
)
(
) (
)
60
40 100
20
4000
y
a x
x
a x
−
−
−
=
+
=
+
，
①当0
20
a
时，20
0
a
−
，
∴y 随x 的增大而增大，
∵60
65
x
，
∴当
65
x =
时，利润有最大，此时(
)
20
65
4000
4650
a
−
+
=
，
解得
10
a =
；
②当
20
a =
时，
4000
4650
y =
，不符合题意；
③当20
30
a
时，20
0
a
−
，
∴y 随x 的增大而减小，
∵60
65
x
，
∴当
60
x =
时，利润有最大，此时(
)
20
60
4000
4650
a
−
+
=
，
解得
55
6
a =
，不符合题意；
综上可得：最大利润为4650 元时a 的值为10．
5．
（2026·上海·中考真题）某景区通过自动扶梯将游客送往观景台，8:10:00时第一位游客站上扶梯，8:10:51
时第一位游客到达观景台，此后的游客有序排队入场，每位游客到达时间的间隔为0.8秒．
(1)设登上观景台的游客数为x ，时间为y （从8:10:00开始计时，单位为秒），请完成表格，并写出y 关于
x 的函数解析式；（不用写定义域）
x
1
6
y
表1
(2)①请你求出从8 10
0
8 12
0
点
分秒整到点
分秒整，一共有几位游客到达观景台；
②请你求出
8 12
0
8 14
0
从点
分秒整到点
分秒整，一共有几位游客到达观景台．
【答案】(1)表格依次填入51，55；y 关于x 的函数解析式为
0.8
50.2
y
x
=
+
(2)①87位；②150位
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【分析】本题为一次函数实际应用问题，解题思路为：首先根据题意得到第一位游客到达的时间，结合游
客到达间隔推出表格数据，再推导得到y 关于x 的一次函数解析式，最后根据不同时间段的总计时y 的范围，
结合x 为正整数的性质，计算得到对应游客数量．用到的性质为一次函数的定义与一元一次不等式的求解．
【详解】（1）解：由题意可知，第一位游客到达时间为从计时开始51 秒．
所以当
1
x = 时，
51
y =
．
每位游客到达间隔为0.8秒，
当
6
x =
时，
51
0.8 (6 1)
55
y =
+
−
=
．
∵x 位游客，第一位用时51 秒，剩余(
)
1
x −
位每位间隔0.8秒，
∴
51
0.8(
1)
0.8
50.2
y
x
x
−
=
+
=
+
（2）解：①从8 点10 分0 秒整到8 点12 分0 秒整，总计时
120
y =
秒．
令0.8
50.2 120
x+
解得
87.25
x
x 为正整数，因此最大
87
x =
．
答：一共有87位游客到达观景台．
②从8 点10 分0 秒整到8 点14 分0 秒整，总计时
240
y =
秒．
令0.8
50.2
240
x+
解得
237.25
x
x 为正整数，
因此到8 点14 分0 秒整最多有237 位游客到达．
该时间段游客数为237 87
150
−
=
．
答：一共有150位游客到达观景台．
6．（2026·湖南·中考真题）某中学为了满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有的桌椅摆放进行调整．
【数据收集】
图1是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为1.2米的正方形ABCD，座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边
的等腰直角三角形．如图2 ，该阅读室摆放了5行8列共40 套桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），
桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道宽度均为0.6 米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙．
(1)如图1，连接FH ，则FH = ________米，取2
1.414
，EH ________米（结果保留一位小数）；
(2)求阅读室的长与宽；
【问题解决】
(3)调整桌椅摆放方向如图3所示（EH 平行于墙面），阅读室可以容纳更多套桌椅．如图4 ，相邻两排桌椅
间的过道宽度仍为0.6 米，靠墙过道的宽度不低于0.5米，请利用前面的计算结果，判断阅读室能否摆下60
套桌椅，并说明理由．
【答案】(1) 2.4 ，1.7
(2)长为23.4 米，宽为14.4 米
(3)解：可以摆下
理由：设横向摆放x 套桌椅，纵向摆放y 套桌椅，
根据题意，得
(
)
1.7
0.6
1
23.4 0.5 2
x
x−
+
−
，
解得
10
x
，
∴最大整数x 为10，
根据题意，得
(
)
1.7
0.6
1
14.4 0.5 2
y
y−
+
−
，
解得
2
6 23
y
，
∴最大整数y 为6，
∵10 6
60
=
，
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∴可以摆下．
【分析】（1）根据三角形中位线定理求出FH ，根据勾股定理求EH 即可；
（2）根据长为8 个FH 的长加上7 个过道；宽为5 个FH 的长加上4 个过道求解即可；
（3）设横向摆放x 套桌椅，纵向摆放y 套桌椅，根据x 个EH 的长加上(
)
1
x −
个过道不超过总长度减去靠墙
的两个过道，列不等式求出整数x 的最大值，根据y 个EH 的长加上(
)
1
y −
个过道不超过总宽度减去靠墙的
两个过道，列不等式求出整数一的最大值，则可求出xy 的最大值，然后与60 比较，即可得出结论．
【详解】（1）解∶∵座椅预留活动空间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形，
∴EA
FA
ED
DH
=
=
=
，
90
E
=
，
∴
2
2.4
FH
AD
=
=
（米），EF
EH
=
，
∴
2
2
2
2
2
2
2.4
EF
EH
EH
FH
+
=
=
=
，
∴
2.4
1.7
2
EH =
（米）；
（2）解∶阅读室的长为
(
)
2.4 8 0.6
8 1
23.4
+
−
=
（米），宽为
(
)
2.4 5 0.6
5 1
14.4
+
−
=
（米）
（3）略
考点06 一元一次不等式组的应用
1.（2026·四川达州·中考真题）食盐的主要成分是NaCl ，在忽略其它成分的前提下，一般情况下，当盐水
的浓度在1%~1.5%时，汤咸淡适中，味道最佳，小明向锅里倒入1000mL水，要想烧出味美的汤，可放入盐
（ ）（水的密度是
3
1g / cm ，
3
1mL
1cm
=
）
A．6g
B．12g
C．18g
D．25g
【答案】B
【分析】先根据体积和密度求出水的质量，再利用浓度公式列出不等式，得到盐的质量取值范围，即可选
出符合范围的选项，本题用到浓度公式
= 溶质质量
浓度
溶液质量，溶液质量=溶质质量+溶剂质量．
【详解】解：∵
3
1000mL=1000cm ，水的密度为
3
1g/cm
∴水的质量为1000 1
1000g
=
设放入盐的质量为g
x ，根据浓度要求在1%~1.5%，
可得不等式：1%
1.5%
1000
x
x
+
解左边不等式：
(
)
0.01 1000
x
x
+
10 0.01x
x
+
得
10
10.10
0.99
x
g
解右边不等式：
(
)
0.015 1000
x
x
+
15 0.015
x
x
+
得
15
15.23
0.985
x
g
∴盐的质量范围约为10.10
15.23
g
x
g
，
选项中只有12g 在此范围内．故选B．
2．（2026·江苏苏州·中考真题）如图①，对某条笔直道路的三个路口的红绿灯情况进行观测发现：路口A，
C 的绿灯持续时间为40 秒，红灯持续时间为40 秒；路口B 的绿灯持续时间为30 秒，红灯持续时间为30
秒．各路口红绿灯随时间t （秒）的变化情况如图②所示，例如当
10
t =
时，路口A 为绿灯，路口B 为红
灯，路口C 为绿灯．已知路口A 到路口B，C 的距离分别为600 米和1000 米．（为了研究方便，黄灯时间
和路口宽度忽略不计）
请根据上述信息，解决下列问题：
(1)甲驾驶汽车在道路上以15 米/秒的速度匀速行驶，且恰好在绿灯刚亮起时（即
0
t =
）通过A 路口，请判
断其是否能不停车通过B 路口，并说明理由；
(2)乙驾驶汽车在道路上以速度v （米/秒）匀速行驶，且恰好在绿灯亮起10 秒时（即
10
t =
）通过A 路口，
若其能在100 秒前（含100 秒，即
100
t
）不停车连续通过B，C 两个路口，求其行驶速度v 的取值范围；
(3)对于匀速行驶的汽车，是否存在速度v （米/秒），使得该车在0
20
秒内（含0 秒和20 秒）任意时刻
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通过A 路口后，都能在180 秒前（含180 秒，即
180
t
）不停车连续通过B，C 两个路口．若存在，请直．
接写出
．．．v 的取值范围；若不存在，请说明理由．
（说明：不停车通过路口是指到达路口时，路口为绿灯状态．）
【答案】(1)能不停车通过B 路口，理由如下：
甲到达B 路口的时间是600 15
40
=
（秒），
由图②可知，路口B 处于绿灯状态，
∴甲驾驶汽车能不停车通过B 路口；
(2)12
20
v
(3) 25
20
4
3
v
或
50
15
3
v
【分析】（1）求出甲到达B 路口的时间，根据图②判断即可；
（2）设乙驾驶汽车离开A 路口的路程为s，要使其在100 秒前能不停车连续通过B，C 两个路口，则要求
汽车在30 秒到60 秒之间通过B 路口，60 秒到100 秒之间通过C 路口，据此列出不等式组，求解即可；
（3）分汽车在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口；和在B 路口第2 个绿
灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，两种情况，分别列出不等式组求解即可．
【详解】（1）略
（2）解：设乙驾驶汽车离开A 路口的路程为s，
∴
(
)
10
s
v t
=
−
．
∵要使其在100 秒前能不停车连续通过B，C 两个路口，则要求汽车在30 秒到60 秒之间通过B 路口，60
秒到100 秒之间通过C 路口，
∴
(
)
(
)
30 10
600
60 10
600
v
v
−
−
，且
(
)
(
)
60 10
1000
100 10
1000
v
v
−
−
，
解得12
30
v
且100
20
9
v
，
∴满足条件的行驶速度v 的取值范围为12
20
v
；
（3）解：当汽车在0 秒时经过A 路口，且在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C
两个路口，则
30
600
60
600
60
1000
100
1000
v
v
v
v
，解得
50
10
3
v
；
当汽车在20 秒时经过A 路口，且在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，
则
(
)
(
)
(
)
(
)
30
20
600
60
20
600
60
20
1000
100
20
1000
v
v
v
v
−
−
−
−
，解得15
25
v
；
∴汽车在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，速度v 应满足
50
15
3
v
．
当汽车在0 秒时经过A 路口，且在B 路口第2 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，
则
90
600
120
600
140
1000
180
1000
v
v
v
v
，解得
20
5
3
v
；
当汽车在20 秒时经过A 路口，且在B 路口第2 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，
则
(
)
(
)
(
)
(
)
90
20
600
120
20
600
140
20
1000
180
20
1000
v
v
v
v
−
−
−
−
，解得25
25
4
3
v
；
∴汽车在B 路口第1 个绿灯时经过B 路口，且不停车连续通过B，C 两个路口，速度v 应满足25
20
4
3
v
．
综上所述，v 的取值范围为25
20
4
3
v
或
50
15
3
v
．
3．（2026·四川南充·中考真题）在综合与实践课程中，学校数学兴趣小组调查了乡村食品加工情况，得到
下列信息．
背
景
某乡水资源丰富，村民喜欢养鸭，但面临鸭蛋滞销的困境．为了提高村民养鸭的积极
性，乡政府招商引资创办了一个鸭蛋加工厂，为村民致富提供便利，鸭蛋加工厂共有
9 条加工线，将鸭蛋加工成皮蛋或咸蛋．（温馨提示：一枚鸭蛋可加工成一枚皮蛋或
咸蛋）
素
材
一
若3 条加工线加工皮蛋和1 条加工线加工咸蛋，则每月可加工11 万枚；
若2 条加工线加工皮蛋和3 条加工线加工咸蛋，则每月可加工12 万枚．
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素
材
二
现收购了30 万枚鸭蛋，计划在一月内用9 条加工线加工成皮蛋或咸蛋；经过市场调
研，加工成咸蛋的数量不低于皮蛋数量的一半；
加工厂安排皮蛋加工线不低于3 条；
一月内未能加工完的鸭蛋另作处理．
素
材
三
每万枚皮蛋可获利0.7 万元，每万枚咸蛋可获利1.2 万元；
一个月内未能加工的鸭蛋，按每万枚亏本0.1 万元处理．
根据以上信息，完成下列任务：
(1)【任务一】该加工厂每条加工线每月分别可加工皮蛋或咸蛋多少万枚？
(2)【任务二】工厂有几种安排加工线的方案？
(3)【任务三】如何安排加工线方案，可获得最大利润，并求出最大利润．
【答案】(1)每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，可加工咸蛋2 万枚
(2)共有3种安排加工线的方案
(3)安排3条加工线加工皮蛋，6 条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为19.8万元
【分析】（1）设每条加工线每月可加工皮蛋x 万枚，可加工咸蛋y 万枚，由题意得
3
11
2
3
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，然后进
行求解即可；
（2）设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，由题意得
(
)
3
1
2 9
3
2
m
m
m
−
，进而求解
即可；
（3）设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，可获利润为W 万元，由题意得
0.2
20.4
W
m
= −
+
，然后根据一次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设每条加工线每月可加工皮蛋x 万枚，可加工咸蛋y 万枚，由题意得：
3
11
2
3
12
x
y
x
y
+
=
+
=
，解得：
3
2
x
y
=
=
；
答：每条加工线每月可加工皮蛋3万枚，可加工咸蛋2 万枚．
（2）解：设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，由题意得：
(
)
3
1
2 9
3
2
m
m
m
−
，解得：
36
3
7
m
，
∵m 为正整数，
∴m 的取值为3,4,5，
答：共有3种安排加工线的方案．
（3）解：设加工厂安排皮蛋加工线m 条，则安排咸蛋加工线(
)
9
m
−
条，可获利润为W 万元，由题意得：
(
)
(
)
0.7 3
1.2 2 9
0.1 30
3
2 9
W
m
m
m
m
=
+
−
−
−
−
−
(
)
2.1
21.6
2.4
0.1 12
m
m
m
=
+
−
−
−
0.2
20.4
m
= −
+
，
由（2）可知：
36
3
7
m
，
∵0.2
0
−
，
∴W 随m 的增大而减小，
∴当
3
m =
时，W 有最大值，最大值为0.2 3 20.4
19.8
−
+
=
，此时9
9 3
6
m
−
= −=
；
答：安排3条加工线加工皮蛋，6 条加工线加工咸蛋时可获得最大利润，最大利润为19.8万元．
