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专题26 命题与证明、限定工具作图
（6 考点30 题）
考点分类
2026 年中考命题解读
创新考法
考点01 命题与证
明
以几何判定、代数概念、统计性质
为载体，辨析真假命题，配举反例、
翻牌逻辑探究，选择填空为主，渗
透反证基础思维。
逻辑创新：扑克牌翻动奇偶探究；
辨析创新：易混几何判定设陷阱；
开放创新：自主写出反例验证假命
题。
考点02 作基础线
段
依托三角形、圆、菱形背景，作等
长线段、对称点，常嵌入几何证明
大题第一小问，作图后配套线段计
算。
综合创新：作图+切线证明联动；
模型创新：利用圆半径对称找点；
情境创新：构造菱形配套线段作图。
考点03 作等角
核心为作一个角等于已知角，结合
平行四边形、木板裁割、木工素材，
拓展倍角、分角构造，阅读材料类
新题型增多。
情境创新：木工木板实操背景；拓
展创新：推导15°、45°特殊角；材
料阅读：提炼作图原理说理。
考点04 作角平分
线
必考基础作图，融合平行四边形、
直角三角形，依托角平分线性质求
面积、边长，结合平行线导角度计
算。
计算融合：作图后用距离相等算面
积；模型创新：平行+角平分线构
造等腰；痕迹辨析：识别角平分作
图痕迹。
考点05 作垂线/垂
直平分线
覆盖高线、中垂线作图，利用垂直
平分线等距性质求角度、线段长，
搭配坐标系几何综合题。
坐标创新：平面网格垂直找点；计
算联动：勾股结合中垂线求边长；
辨析创新：区分高、中线作图痕迹。
考点06 网格无刻
度作图
仅直尺操作，平移、对称、作角平
分线、构造等线段，限定画线条数，
侧重格点相似、中位线几何推理。
限制创新：限定画线数量；推理创
新：无圆规纯格点推导；综合：平
移+对称复合作图。
考点01 命题与证明
1．（2026·黑龙江绥化·中考真题）下列命题正确的是（ ）
A．正五边形的外角和是540
B．对角线互相垂直的四边形一定是菱形
C．三角形两边的和大于第三边
D．一组对角相等的四边形一定是平行四边形
【答案】C
【分析】根据多边形外角和性质、菱形判定、三角形三边关系、平行四边形判定，逐一判断各命题正误即
可得到结果．
【详解】解：A、正五边形外角和为360，故本选项的命题错误；
B、对角线互相垂直且平分的四边形才是菱形，仅对角线互相垂直无法判定是菱形，故本选项的命题错误；
C、三角形两边的和大于第三边，故本选项的命题正确；
D、平行四边形需要两组对角分别相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，故本选项的命题错误．
2．（2026·江苏连云港·中考真题）下列命题为真命题的是（ ）
①若
2
2
a
b
=
，则a
b
=
；②相等的角是对顶角；③末尾数字是5 的整数，能被5 整除；
④四边相等且对角线相等的四边形是正方形；⑤三个角分别对应相等的两个三角形全等．
A．①②⑤
B．③④
C．④⑤
D．①③
【答案】B
【详解】解：逐个判断命题：
①若
2
2
a
b
=
，则a
b
= ，例如
2
a =
，
2
b = −满足
2
2
a
b
=
但a
b
，①是假命题；
②相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行的同位角相等，同位角不是对顶角，②是假命题；
③末尾数字是5 的整数可表示为
(
)
10
5
5 2
1
k
k
+ =
+
，其中k 为整数，该数是5 的倍数，能被5 整除，③是
真命题；
④初中平面几何中，四边相等的四边形是菱形，对角线相等的菱形是正方形，④是真命题；
⑤三个角分别对应相等的两个三角形仅相似，不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，三角对应相
等但不全等，⑤是假命题；
综上真命题为③④．
3．（2026·四川达州·中考真题）下列命题为真命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．三角形的一个外角等于它的两个内角之和
C．带根号的数都是无理数
D．一般而言，一组数据的方差越大，这组数据就越稳定
【答案】A
【分析】本题考查命题真假判断，根据对顶角相等，三角形的外角的性质，无理数的定义，方差的意义，
逐项分析判断，即可求解．
【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等，
∴A 是真命题；
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∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，
选项B 未说明“不相邻”，
∴B 是假命题；
∵4
2
=
是有理数，说明带根号的数不一定是无理数，
∴C 是假命题；
∵一组数据的方差越大，数据波动越大，这组数据越不稳定，
∴D 是假命题．
4．（2026·四川甘孜·中考真题）桌上有6 张正面向上的扑克牌，每次翻动其中任意4 张（包括已翻过的牌），
使它们从一面向上变为另一面向上，至少翻动______次后，能使6 张扑克牌都反面向上；若桌上有n（
6
n
）
张正面向上的扑克牌，按同样的翻动方式，每次翻动其中任意(
)
2
n −
张，则至少翻动______次后，能使所
有的牌都反面向上．
【答案】 3 3
【分析】每张牌从正面向上变为反面向上需要翻动奇数次，总翻动次数需和牌的数量同奇偶，分析得翻动1
次和2 次都无法满足所有牌翻奇数次的要求，构造翻动3 次可满足条件，因此最少翻动次数为3.
【详解】解：每张扑克牌变为反面向上，需要翻动奇数次；
当共6 张牌，每次翻动4 张时：
若翻动1 次，仅4 张被翻动，剩余2 张未翻动，次数为偶数，不满足要求；
若翻动2 次，最多仅能使4 张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，故不满足要求；
构造3 次翻动：第一次不翻第1、2 张，翻其余4 张；第二次不翻第1、3 张，翻其余4 张；第三次不翻第2、
3 张，翻其余4 张；各牌翻动次数为1 次或3 次，均为奇数，可使所有牌反面向上，
故至少翻动3 次；
当共n 张牌，
6
n
，每次翻动
2
n−张时：
若翻动1 次，仅
2
n−张被翻动，剩余2 张未翻动，次数为偶数，不满足要求；
若翻动2 次，最多仅能使4 张牌翻动次数为奇数，无法满足所有牌均需翻动奇数次的要求，不满足要求；
构造3 次翻动：第一次不翻第1、2 张，翻其余
2
n−张；第二次不翻第1、3 张，翻其余
2
n−张；第三次不
翻第2、3 张，翻其余
2
n−张； 各牌翻动次数：第1、2、3 张各翻动1 次，其余牌各翻动3 次，所有次数
都是奇数，满足所有牌反面向上，因此至少翻动3 次.
5．（2026·四川广元·中考真题）说明命题“如果a 为实数，那么
2
a
a
=
”是假命题的a 的值可以为
__________．（写一个即可）
【答案】
1
−（答案不唯一，任意负数均可）
【分析】要说明命题为假命题，只需举出满足条件但不满足结论的反例，根据二次根式的性质，当
0
a
时，
2
a
a
，因此任取一个负实数即可．
【详解】解：取
1
a = −，
2
( 1)
1
1
1
−
=
= −，满足命题条件，不满足命题结论，可说明原命题是假命题．
∴a 的值可以为1
−（答案不唯一，任意负数均可）．
考点02 作线段（尺规作图）
1．（2026·广东深圳·中考真题）如图，AB 是
O 的直径，点C 是圆上一点，连接OC 并延长至点D ，使得
CBD
ACO
=
．
(1)求证: BD 是
O 的切线；
(2)若
4
CD =
，
6
BD =
，求BC 的长；
(3)利用圆规和无刻度直尺在图中作出点C 关于直线AB 的对称点P （保留作图痕迹，不要求写出作法）．
【答案】(1)
证明：∵OA
OC
=
∴
ACO
OAC
=
∵
CBD
ACO
=
∴
CBD
OAC
=
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
=
∴
90
OAC
ABC
+
=
∴
90
CBD
ABC
+
=
∴
90
ABD
=
，
∵OB 为半径，
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∴BD 是
O 的切线；
(2)10 13
13
(3)如图，点P 即为所求
【分析】（1）由OA
OC
=
结合已知条件得到
CBD
OAC
=
，然后根据圆周角定理得到
90
ACB
=
，再由
直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可；
（2）设OB
OC
r
=
= ，则
4
OD
r
= + ，先对Rt
OBD
△
运用勾股定理求解半径r ，然后利用
BOT
DOB
△
∽△
，
以及对Rt
BTC
△
运用勾股定理求解即可．
（3）以点A 为圆心，AC 为半径画弧与
O 交点即为点P ．
【详解】（1）略
（2）解：过点B 作BT
OC
⊥
于点T ，则
90
OTB
=
设OB
OC
r
=
= ，则
4
OD
r
= +
∵
90
ABD
=
，
∴
2
2
2
OB
BD
OD
+
=
∴
(
)
2
2
2
6
4
r
r
+
=
+
解得
5
2
r =
，
∴
5
2
OB
OC
=
=
，
13
2
OD =
，
∵
90
OTB
OBD
=
=
，
BOT
DOB
=
∴
BOT
DOB
△
∽△
∴BO
OD
BD
OT
OB
BT
=
=
∴
5
13
6
2
2
5
2
OT
BT
=
=
∴
25
26
OT =
，
30
13
BT =
∴
5
25
20
2
26
13
CT
OC
OT
=
−
=
−
=
∴
2
2
2
2
30
20
10 13
13
13
13
BC
BT
CT
=
+
=
+
=
．
（3）解：连接
,
AP PC ，
由作图可得AP
AC
=
，
则AP
AC
=
，
再由垂径定理的推论可得AB 垂直平分CP ，
即可得到点,
P C 关于AB 对称．
2．（2026·陕西·中考真题）如图，已知ABC，AB
BC
=
．请用尺规作图法，求作一点D ，使得四边形ABCD
为菱形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】如图，点D 即为所求．
【分析】由作图可得，BA
BC
AD
CD
=
=
=
，则四边形ABCD是菱形
【详解】解：分别以点,
A C 为圆心，AB 长为半径作弧，两弧在AC 右侧相交，交点即为点D ．
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考点03 尺规作图-作角
1．（2026·新疆·中考真题）如图，在
ABCD 中，点E 在AB 上．第一步：以点E 为圆心，任意长为半径画
弧交AE ，DE 于点M ，N ；第二步：以点B 为圆心，EM 长为半径画弧交AB 于点P ；第三步：以点P 为
圆心，MN 长为半径画弧交第二步所画的弧于点Q ，连接BQ 并延长，交DC 于点F ．则下列结论一定成立
的是（ ）
A．
ABF
CBF
=
B．
ADE
CBF
=
C．DF
CF
=
D．BE
BF
=
【答案】B
【分析】根据尺规作图痕迹可知
ABF
AED
=
，从而推出
//
DE BF ，结合平行四边形
//
AD BC的性质，利
用三角形内角和定理及平角定义进行角度转换即可得出结论．
【详解】解： 由作图步骤可知，
ABF
AED
=
四边形ABCD是平行四边形
//
AD BC
180
A
ABC
+
=
180
CBF
ABC
ABF
A
ABF
−
−
−
=
=
在ADE 中，
180
ADE
A
AED
−
−
=
ABF
AED
=
ADE
CBF
=
，其余结论均不能证明．
2．（2026·黑龙江绥化·中考真题）尺规作图：如图，在
AOB
的内部有一点P ．
(1)【初步探索】如图1，利用无刻度的直尺和圆规作一个等腰三角形OMN ，并使等腰三角形的底边MN 经
过点P ，点M ，点N 分别在射线OA，射线OB 上．（温馨提示：本小题作图不写作法，但需保留作图痕迹）
(2)【拓展探究】如图2，若
58
AOB
=
，连接OP ，
3
OP = ．以O为圆心，OP 为半径画圆，交射线OA，射
线OB 于C ，D 两点，则劣弧CD的长度为_________．（本小题无需在答题卡上作图，只需写出用含π的代
数式表示的结果）
【答案】(1)解∶如图，
OMN
△
即为所求，
(2) 29
30
【分析】（1）以O 为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线OA、射线OB 分别交于点C、点D，连接CP ，
作射线CP，以C 为圆心，适当长为半径画弧，弧与射线CP 、线段CD分别交于点E、点F，以P 为圆心，
CE为半径画弧，弧与射线CP相交于G，以G 为圆心，EF 为半径画弧，两弧相交于H，作直线PH ，与射
线OA，射线OB 分别相交于点M、点N，则
OMN
△
即为所求；
（2）直接根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：画图略，
理由：由作图知：OC
OD
=
，
ECF
GFH
=
，
∴
OCD
ODC
=
，CD
MN
∥
，
∴
OCD
OMN
=
，
ODC
ONM
=
，
∴
OMN
ONM
=
，
∴OM
ON
=
，
∴
OMN
△
即为所求；
（2）解：由作图知：
3
OC
OD
OP
=
=
= ，
∴劣弧CD的长度为58
3
29
180
30
=
．
3．（2026·山西·中考真题）阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务．
工匠智慧引发的数学思考【工匠智慧】如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直
尺在矩形木板上画特定度数的角．
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【数学抽象】
将图1 的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板ABCD 中，以点A 为
圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ；以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与BE 交
于点F ；连接BE ，BF ，AF ，即可得到特定度数的角，如
ABE
和
EBF
等．
【推广迁移】
受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角．如图3，已知
MAN
=
，作图步骤如下：①以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AM ，AN 于
点B ，C ；②分别以点B ，C 为圆心，BC 长为半径作弧，两弧在
MAN
内部交于点D ；
③连接CD，可得
1
150
2
ACD
=
−
．
结论“
1
150
2
ACD
=
−
”成立的理由如下：
连接BC ．
由步骤①可知，AB
AC
=
．…
任务：
(1)图2 中
ABE
= _____，
EBF
=_____；
(2)补全“推广迁移”中的说理过程；
(3)如图4，四边形ABCD表示一块木板，
130
BAD
=
，
85
ADC
．现要将此木板裁割成两部分，裁割
线为线段DE （点E 在BC 上），使
85
ADE
=
．请用尺规在木板上作出裁割线DE （要求：在木板上保留
作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)45，15
(2)解：连接BC ，BD ，如图，
由步骤①可知，AB
AC
=
．
∴
ACB
ABC
=
．
在ABC中，
A
MAN
=
=
，
∴
180
180
ACB
ABC
A
+
=
−=
−
．
∴
180
90
2
2
ACB
−
=
=
−
．
由步骤②可知，BC
BD
CD
=
=
．
∴BCD为等边三角形．
∴
60
BCD
=
．
∴
90
60
150
2
2
ACD
ACB
BCD
=
+
=
−
+
=
−
；
(3)解：如图，线段DE 即为所求作的裁割线．
【分析】（1）判断出ABE 为等腰直角三角形，由此可得
ABE
的度数，判断出ABF 为等边三角形，由
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此可得
EBF
的度数；
（2）添加辅助线，连接BC ，BD ，先由等边对等角得到
90
2
ACB
=
−
．再得到BCD为等边三角形，由
此可得到结论；
（3）作图步骤如下：①以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，交AB 于点F ；②分别以点F ，D 为圆心，FD
长为半径作弧，两弧在
BAD
内部交于点M ；③连接DM 交BC 于点E ，由“推广迁移”中的结论可得
1
150
130
85
2
ADE
=
−
=
．
【详解】（1）解：∵以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ，
∴AB
AE
AF
=
=
，
∵
90
BAD
=
，
∴ABE 为等腰直角三角形，
∴
45
ABE
=
；
∵以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，与BE 交于点F ，
∴BA
BF
=
，
∴AB
AF
BF
=
=
，
∴ABF 为等边三角形，
∴
60
ABF
=
，
∴
60
45
15
EBF
ABF
ABE
=
−
=
−
=
；
（2）略
（3）略
4．（2026·河南·中考真题）如图，在
ABCD 中，点E 为边BC 上一点，连接AE ．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作
DCM
，使
DCM
BAE
=
，且射线CM 交边AD 于点F （保留作图痕迹，
不写作法）．
(2)判断线段BE 与（1）中得到的线段DF 的数量关系，并给出证明．
【答案】(1)如图所示即为所求：
(2) BE
DF
=
，证明如下：
∵
ABCD ，
∴
,
AB
CD
B
D
=
=
，
由（1）得
BAE
DCF
=
，
∴
(ASA)
ABE
CDF
△
≌△
，
∴BE
DF
=
．
【分析】（1）根据作一个角等于已知角作图即可；
（2）根据平行四边形的性质得出
,
AB
CD
B
D
=
=
，再由全等三角形的判定和性质即可证明．
【详解】（1）略．
（2）略．
5．（2026·福建·中考真题）如图，四边形ABCD是矩形，AB
BC
，点E 在AD 的延长线上．
(1)求作点F ，使点F 在AD 边上，且
2
AFB
EBC
=
；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，若
4
AB =
，
6
BC =
，
2
DE =
，求AF 的长．
【答案】(1)如图，点F 即为所求．
(2)3
【分析】（1）利用尺规作图作
FBE
EBC
=
，
FBE
的边BF 与AD 的交点即为所求作的点F ；
（2）由矩形的性质、平行线的性质、等边对等角可得BF
EF
=
，即可求得AE 的长；设AF
x
=
，则
8
BF
EF
x
−
=
=
，在Rt ABF 中，利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：作
FBE
EBC
=
，
FBE
的边BF 与AD 的交点即为所求作的点F ；
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∵四边形ABCD是矩形，
∴AD
BC
∥
，
∴
AFB
FBC
=
，
∵
2
FBC
FBE
EBC
EBC
=
+
=
，
∴
2
AFB
EBC
=
，即点F 即为所求．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
6
BC =
，
AD
BC
，
6
AD
BC
=
=
．
E
EBC
=
，
FBE
EBC
=
，
FBE
E
=
，
BF
EF
=
．
2
DE =
，
8
AE
AD
DE
=
+
= ，
设AF
x
=
，则
8
BF
EF
AE
AF
x
−
=
=
−
=
，
在Rt ABF 中，
90
A
=
，
4
AB =
，
由勾股定理得
2
2
2
AF
AB
BF
+
=
，
(
)
2
2
2
4
8
x
x
−
+
=
，解得
3
x = ，
即
3
AF = ．
6．（2026·山东烟台·中考真题）如图，矩形ABCD 中，AC 是对角线，请解决下列问题：
(1)将ABC 绕点A 旋转后，点B 的对应点为点E ，点C 的对应点为点F ，且点E 在线段AC 上，请用尺
规作出旋转后的图形（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)在（1）的条件下，若
2
AB =
，
4
BC =
，EF 与AD 交于点G ，求FG 的长．
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）以A 为圆心，AB 为半径画弧，交AC 于E ，以E 为圆心BE 为半径画弧，两弧相交于M ，作
射线AM ，以A 为圆心，AC 长为半径画弧交AM 于F ，则AEF 即为所求；有作图可知
,
,
AB
AE
FAE
CAB AC
AF
=
=
=
，所以
AEF
ABC
≌
△
△
，且旋转角为
BAC
；
（2）可证AEG
ADC
∽
，利用对应边成比例可求EG ，则FG
FE
EG
−
=
可求．
【详解】（1）解：略；
（2）解：∵在矩形ABCD 中，
∴
90
ABC
D
=
=
，
由（1）知
AEF
ABC
≌
△
△
，
∴
2,
4,
90
AE
AB
EF
CB
AEF
B
=
=
=
=
=
=
，
∵
,
CAD
EAG
AEG
D
=
=
∴AEG
ADC
∽
，
∴AE
EG
AD
CD
=
，
∴2
4
2
EG
=
，
∴
1
EG = ，
∴
4 1 3
FG = −= ．
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考点04 尺规作图-作角平分线
1．（2026·四川宜宾·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
ACB
=
，以点A 为圆心，小于AC 长为半径画
弧分别交AC 、AB 于点P 、Q ，又分别以P 、Q 为圆心，大于1
2 PQ 为半径画弧交于点M ，连接AM 交BC
于点D．已知
5
AB = ，
2
CD =
，则ABD 的面积是（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】D
【分析】根据作图痕迹可知AD 是
BAC
的角平分线，利用角平分线的性质可得点D 到AB 的距离等于CD的
长，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：由作图痕迹可知，AD 是
BAC
的角平分线，
过点D 作DE
AB
⊥
于点E ，
90
ACB
=
，即DC
AC
⊥
，
2
DE
CD
=
=
，
1
1
5 2
5
2
2
ABD
S
AB DE
=
=
=
．
2．（2026·山东德州·中考真题）如图，为了作出
AOB
的角平分线，小明利用尺规进行了如下操作：以点O
为圆心，任意长度为半径画弧分别交OA，OB 于点C ，D ，再分别以C ，D 为圆心，大于1
2 CD 的长度为半
径画弧，两弧在
AOB
内部交于点E ，连接OE 并延长，射线OE 则为
AOB
的角平分线．小明说，可以通
过判定
OCE
ODE
△
≌△
得到对应角相等来证明射线OE 是
AOB
的角平分线，他使用的全等判定方法是（ ）
A．斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
B．两条边及其夹角相等的两个三角形全等
C．两角及其夹边对应相等的两个三角形全等
D．三条边分别相等的两个三角形全等
【答案】D
【分析】根据尺规作图的步骤，可以得到OC
OD
=
，CE
DE
=
，再加上公共边OE
OE
=
，利用“边边边”判
定定理即可证明三角形全等．
【详解】如图：
由作图步骤可知OC
OD
=
，CE
DE
=
在OCE和ODE 中，
OC
OD
CE
DE
OE
OE
=
=
=
(
)
OCE
ODE SSS
≌
使用的全等判定方法是三条边分别相等的两个三角形全等．
3．（2026·广西·中考真题）根据下列尺规作图痕迹，可判断所作的AD 是ABC的高的是（ ）
A．
B．
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C．
D．
【答案】B
【分析】根据每个选项的尺规作图痕迹逐选项即可判断．
【详解】解：由尺规作图的作图痕迹，可判断：
A．作的是
BAC
的角平分线，AD 是ABC 的角平分线，不符合题意；
B． 作的是AD
BC
⊥
，AD 是ABC的高，符合题意；
C． 作的是BC 边上的垂直平分线，AD 是ABC的中线，不符合题意；
D． 作的是
BAD
B
= ，AD 不是ABC 的高，不符合题意．
4．（2026·四川巴中·中考真题）如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
13
AB =
，
5
BC =
，以点B 为圆心任意
长为半径画弧分别交BC 、BA 于M 、N 两点，分别以点M 、N 为圆心，大于1
2 MN 长为半径画弧，两弧交
于点P ，连接BP 并延长交AC 于点F ，则
ABF
△
的面积为（）
A．10
3
B．25
3
C．40
3
D．65
3
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、角平分线的性质以及三角形面积公式．首先根据勾股定理求出AC 的长，再
根据尺规作图可知BF 是
ABC
的角平分线，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，结合面积法求出点
F 到AB 的距离（即FC 的长），最后计算
ABF
△
的面积．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
C
=
，
13
AB =
，
5
BC =
，
由勾股定理得：
2
2
2
2
13
5
12
AC
AB
BC
=
−
=
−
=
，
由尺规作图可知，BF 是
ABC
的角平分线，过点F 作FD
AB
⊥
于点D ，
90
C
=
，即FC
BC
⊥
，
FD
FC
=
，
ABC
ABF
CBF
S
S
S
=
+
，
1
1
1
2
2
2
AC BC
AB FD
BC FC
=
+
，
即1
1
1
12 5
13
5
2
2
2
FC
FC
=
+
，
60 13
5
FC
FC
=
+
，
18
60
FC =
，解得
10
3
FC =
，
10
3
FD
=
，
1
1
10
65
13
2
2
3
3
ABF
S
AB FD
=
=
=
．
5．（2026·山东·中考真题）如图，直线a b ，直线c 分别交a ，b 于点A ，B ．以点A 为圆心，以适当长为
半径作弧，分别交a ，c 于点M ，N ；再分别以点M ，N 为圆心，以大于MN 的长为半径作弧，两弧在
MAN
的内部交于点C ；作射线AC 交b 于点D ．若
54
ABD
=
，则
ADB
的度数是（ ）
A．36
B．54
C．63
D．72
【答案】C
【分析】根据作图痕迹可知AD 平分
MAB
，利用平行线的性质求出
MAB
的度数，进而求出
DAB
，最
后利用三角形内角和定理求解．
【详解】解：由作图可知，AD 平分
MAB
，
∴
1
2
MAD
DAB
MAB
=
=
，
∵a b ，
∴
180
MAB
ABD
+
=
，
∵
54
ABD
=
，
∴
180
54
126
MAB
=
−
=
，
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∴
1 126
63
2
DAB
=
=
；
在ABD 中，
180
180
54
63
63
ADB
ABD
DAB
=
−
−
=
−
−
=
6．（2026·四川甘孜·中考真题）如图，在平行四边形ABCD（AB
AD
）中，按如下步骤作图：①以点A 为
圆心，以适当长为半径画弧，分别交AB ，AD 于点M ，N ；②分别以点M ，N 为圆心，以大于1
2 MN 的长
为半径画弧，两弧在
BAD
内交于点P ；③作射线AP 交BC 于点E ．若
3
AB = ，
2
EC =
，则AD 的长为______．
【答案】5
【分析】由平行四边形的性质得到
,
AD
BC AD
BC
=
∥
，则
BEA
DAE
=
，由作图方法可知，AE 平分
BAD
，
则可推出
BAE
BEA
=
，得到
3
BE
AB
=
= ，据此求出BC 的长即可得到答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
,
AD
BC AD
BC
=
∥
，
∴
BEA
DAE
=
；
由作图方法可知，AE 平分
BAD
，
∴
BAE
DAE
=
，
∴
BAE
BEA
=
，
∴
3
BE
AB
=
= ，
∴
5
BC
BE
EC
=
+
=
，
∴
5
AD = ．
7．（2026·四川内江·中考真题）如图，在平行四边形
(
)
ABCD BC
AB
中，按以下步骤作图：①以点A 为
圆心，适当的长为半径画弧，交AB 于点M ，交AD 于点N ；②分别以点M 、N 为圆心，大于1
2 MN
的长为半径画弧，两弧在
BAD
的内部相交于点E ；③连接AE 并延长交线段BC 于点F ，若
6
CD =
，
2
CF =
，则平行四边形ABCD 的周长为_________．
【答案】28
【分析】先根据平行四边形的性质以及作图证明AB
BF
=
，再由平行四边形的对边相等即可求解周长．
【详解】解：由作图可得，AF 平分
BAD
，
∴
BAF
DAF
=
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴
6
AB
CD
=
=
，BC
AD
∥
，AD
BC
=
∴
BFA
DAF
=
∠
∠
∴
BAF
BFA
=
∴
6
BF
AB
=
=
，
∵
2
CF =
∴
8
BC
BF
CF
AD
=
+
= =
，
∴平行四边形ABCD 的周长为
(
)
2
6 8
28
+
=
．
8．（2026·四川广安·中考真题）如图所示，在
MAN
中，按以下步骤作图：（1）以点A 为圆心，4cm 长
为半径画弧，分别交AM ，AN 于点B ，C ；（2）分别以点B ，C 为圆心，大于1
2 BC 的长为半径画弧，两
弧在
MAN
内部相交于点D ；（3）作射线AD 交BC 于点E ；（4）连接BC ，交AD 于点F ，连接BE ．若
3 cm
AF =
，则BE = _____cm．
【答案】2 2
【分析】由作图可知：AE 垂直平分BC ，
4cm
AB
AC
AE
=
=
=
，结合勾股定理和线段的和差可得
7
BF =
，
1cm
EF =
，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由作图可知：AE 垂直平分BC ，
4cm
AB
AC
AE
=
=
=
，
∵
3
AF =
∴
2
2
7
BF
AB
AF
=
−
=
，
(
)
1
,
EF
AE
AF
c m
−
=
=
，
∴
(
)
2
2
8
2 2
,
BE
BF
EF
c m
=
+
=
=
．
9．（2026·四川广元·中考真题）如图，在四边形ABCD中，BC
AD
∥
，
1
2
BAD
BCD
=
．
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(1)尺规作图：在AD 边上作一点E ，使
BCE
DCE
=
；（不写作法，保留作图痕迹）
(2)在（1）的条件下，求证：四边形ABCE为平行四边形．
【答案】(1)
(2)证明：∵
1
2
BAD
BCD
=
，
BCE
DCE
=
，
∴
A
BCE
=
，
∵BC
AD
∥
，
∴
BCE
CED
=
，
∴
A
CED
=
，
∴AB CE
∥
，
∴四边形ABCE为平行四边形．
【分析】（1）作
BCD
的角平分线即可；
（2）根据平行线的判定和性质证明AB CE
∥
可得结论．
【详解】（1）略；
（2）略．
10．（2026·重庆·中考真题）综合与实践
在学习了平行四边形后，某数学学习小组利用尺规作图进行了拓展性探究．
【动手操作】
如图，在
ABCD 中，AB
BC
．用尺规完成基本作图：作出
ABC
的平分线，交AD 于点E ．
【问题提出】
他们猜想DE ，BC ，AB 之间存在以下数量关系：DE
BC
AB
=
−
．
【问题解决】
任务：
(1)请你按照要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)请帮助该学习小组完成以上猜想的证明．
【答案】(1)解：作图如下：
(2)证明：由作图知，BE 是
ABC
的平分线，
∴
ABE
CBE
=
，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC ，AD
BC
=
，
∴
AEB
CBE
=
，
∴
AEB
ABE
=
，
∴AB
AE
=
，
∵DE
AD
AE
=
−
，
∴DE
BC
AB
=
−
．
【分析】（1）按照尺规作图作角平分线的步骤进行即可；
（2）由角平分线的性质及平行四边形的性质、等角对等边得AB
AE
=
，从而可证明猜想．
【详解】（1）解：略；
（2）证明：略．
11．（2026·广东·中考真题）如图，AB
BC
=
，AE
BC
∥
，连接AC ．
(1)尺规作图：在AE 上作点D ，连接BD ，使得BD 平分
ABC
．（保留作图痕迹，不写作法．）
(2)连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
【答案】(1)如图，点D 即为所求；
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(2)
证明：∵AE
BC
∥
，
∴
ADB
CBD
=
∵BD 平分
ABC
∴
ABD
CBD
=
∴
ADB
ABD
=
∴AB
AD
=
∵AB
BC
=
∴AD
BC
=
∵AE
BC
∥
，即AD
BC
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB
BC
=
，
∴四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）根据作角平分线的尺规作图方法作出
ABC
的平分线与AE 的交点即为点D ；
（2）先根据平行线+角平分线证明AB
AD
=
，然后进行等量代换结合平行证明四边形ABCD是平行四边形，
再由有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
【详解】（1）略
（2）略
考点05 尺规作图-作垂线
1．（2026·四川眉山·中考真题）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于1
2 AB 的长为半径画
弧，两弧交于点D，点E，作直线DE 交BC 于点F，连接AF ，若
50
B =
∠
，
60
C
=
，则
CAF
的度
数为（ ）
A．10
B．20
C．30
D．40
【答案】B
【分析】根据作图过程可知直线DE 是线段AB 的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质可得FA
FB
=
，
进而得到
FAB
B
=
，再根据三角形内角和定理求出
BAC
的度数，最后利用
CAF
BAC
FAB
=
−
求
解即可．
【详解】由作图可知，直线DE 是线段AB 的垂直平分线，
FA
FB
=
，
FAB
B
= ，
50
=
B
，
50
FAB
=
，
在ABC中，
50
B =
∠
，
60
C
=
，
180
180
50
60
70
BAC
B
C
−
−
−
−
=
=
=
，
70
50
20
CAF
BAC
FAB
−
−
=
=
=
．
2．（2026·四川南充·中考真题）如图，在Rt ABC中，
90
ACB
=
，
10
AB =
，
8
AC = ．分别以点A ，C 为
圆心，大于1
2 AC 长为半径作弧，两弧交于M ，N 两点，直线MN 分别交AC ，AB 于点D ，E ，则DE 的
长为_______．
【答案】3
【分析】由勾股定理可得
6
BC =
，由尺规作图可得MN 是AC 的垂直平分线，容易证明ADE
ACB
∽
，则
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，因此
1
3
2
DE
BC
=
=
．
【详解】解：在Rt ABC中，
2
2
2
2
10
8
6
BC
AB
AC
=
−
=
−
=
，
由题意可知，MN 是AC 的垂直平分线，
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∴MN
AC
⊥
，
1
2
AD
AC
=
，
∴MN
BC
∥
，
∴ADE
ACB
∽
，
∴
1
2
DE
AD
BC
AC
=
=
，
∴
1
3
2
DE
BC
=
=
．
3．（2026·江苏连云港·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形ABCD的顶点分别为(
)
6,0
A −
，
(
)
10,0
B
，(
)
4,10
C
，
(
)
0,8
D
．请用无刻度直尺和圆规完成作图并作答．（不写作法，保留作图痕迹，标明
字母）
(1)在CD边上作一点P，使PA
PB
=
，此时点P 的坐标为 ；
(2)在BC 边上作一点Q，使
QAD
△
和
QOB
△
的面积相等．
【答案】(1)如图所示，点P 的坐标为
(
)
2,9
(2)如图2 所示．
【分析】
（1）根据垂直平分线的性质可得P 在直线
2
x =
上，进而待定系数法求得直线CD的解析式，令
2
x =
，
即可求解；
（2）根据题意得出Q 为
DAB
的角平分线与BC 的交点，即可求解．
【详解】（1）解：∵(
)
6,0
A −
，(
)
10,0
B
∴P 在直线
6 10
2
2
x
−+
=
=
上，
设直线CD的解析式为y
kx
b
=
+
，代入
(
)
4,10
C
，
(
)
0,8
D
∴
4
10
8
k
b
b
+
=
=
，解得；
1
2
8
k
b
=
=
∴直线CD的解析式为
1
8
2
y
x
=
+
当
2
x =
时，
1
2
8
9
2
y =
+
=
∴(
)
2,9
P
；
（2）解：如图，
∵(
)
6,0
A −
，(
)
10,0
B
，
(
)
0,8
D
∴
6,
8,
10
OA
OD
OB
=
=
=
∴
2
2
10
AD
AO
OD
=
+
=
∴AD
OB
=
设Q 到AD 的距离为
1h ，Q 到AB 的距离为
2h
∵
QAD
△
和
QOB
△
的面积相等
∴
1
2
1
1
10
10
2
2
h
h
=
∴
1
2
h
h
=
∴Q 在
DAB
的角平分线上，作
DAB
的角平分线交BC 于点Q ，即为所求．
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4．（2026·江苏扬州·中考真题）如图，在ABC中，
90
ACB
=
，
ABC
BAC
．以AB 边上的点O为圆
心，OA长为半径的
O 与AC 边的另一交点为D ，BD 为
O 的切线．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出符合条件的
O （保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
(2)若
4
AC =
，
1
tan
2
BAC
=
，求
O 的半径．
【答案】(1)解：
O 如下图所示．
作法：（1）作
DBC
A
= ，边BD 交AC 于点D ；
（2）作AD 的垂直平分线EF ，交AB 于点O；
（3）连接OD，则OA
OD
=
；（4）以OA为半径作
O ．
(2) 3 5
4
【分析】（1）先作
DBC
A
= 交AC 于点D ，再作AD 的垂直平分线，交AB 于点O，以OA为半径作
O
即可；
（2）由已知条件先求BC ，进一步可求DC 长度，AD 长度，
,
AF OF 均可求，最后借助勾股定理可求半径OA
长度．
【详解】（1）作图见答案，
证明：
90
ACB
=
，
90
DBC
BDC
+
=
，
EF 为AD 垂直平分线，
OA
OD
=
，
OAD
ODA
=
，
DBC
A
= ，
ODA
DBC
=
，
90
ODA
BDC
+
=
，
90
ODB
=
，
OD
BD
⊥
，
OD 为
O 半径，点D 在圆上，
BD
为
O 切线．
（2）
1
4,tan
2
AC
BAC
=
=
，
1
tan
4
2
BC
BC
BAC
AC
=
=
=
，
2
BC
=
，
DBC
A
= ，
1
tan
tan
2
DBC
BAC
=
=
，
1
2
DC
BC
=
，
1
DC
= ，
3
AD
= ，
3
2
AF
DF
=
=
，
1
tan
2
OF
OAF
AF
=
=
，
3
4
OF
=
，
2
2
3
3
9
9
45
3 5
2
4
4
16
16
4
OA
=
+
=
+
=
=
，
即
O 半径为3 5
4
．
考点06 格点作图题和无刻度直尺作图
1．（2026·湖北武汉·中考真题）下图是由小正方形组成的6 6
网格，每个小正方形的顶点叫作格点，ABC
的顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成如下两个画图任务，每个任务的画线不得超过五条．
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(1)如图1，先在AB 上画点D ，使
45
BCD
=
，再画点A 关于点D 的对称点E ；
(2)如图2，P 是边AC 与网格线的交点，先将AB 平移到FP （P 是点B 的对应点），再在FP 上画点G ，使
BGP
APF
=
．
【答案】(1)如图：点D、点E 即为所求．
(2)如图：点FP 、点G 即为所求．
【分析】（1）如图1：取格点F 使得
,
90
BF
BC
FBC
=
=
，连接CF 与AB 相交于点D；利用等腰直角三
角形可知
45
BCD
=
，即点D 即为所求；取格点H，使得GH
CF
∥
且
,
AF
FG
=
利用相似三角形可知
AD
DE
=
，则点A、点E 关于点D 对称，即点E 即为所求；
（2）设每个小正方形边长为1，如图：2 先将点A 向右平移2.5 ，再向上平移1 得到点F，连接FP 即为所
求；先作AB 的垂直平分线交AC 于H，则AH
BH
=
，即
BAH
ABH
=
；又AB
PF
∥
，则
,
BAH
APF
APF
BGP
=
=
，则
APF
BGP
=
，即点G 即为所求．
【详解】（1）解：∵
,
90
BF
BC
FBC
=
=
，
∴BCF 是等腰直角三角形，
∴
45
BCD
=
，即点D 即为所求；
如图：由作图过程以及网格可得：
,
AF
FG
=
GH
CF
∥
，
∴AFD
AGE
∽
，
∴
1
2
AD
AF
AE
AG
=
=
，
∴AD
DE
=
，
∴点A、点E 关于点D 对称，即点E 即为所求；
（2）解：设每个小正方形边长为1，如图2：由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知：点B 向右平
移2.5 ，再向上平移1 得到点P，
∴同理由平行线分线段成比例定理和中位线定理可知将点A 向右平移2.5 ，再向上平移1 得到点F，连接PF
即为所求；
∴AB
PF
∥
，
如图2：过D 作DI 垂直于格线，则四边形DIOL是矩形
由格点图知，L 为AP 中点，
则由平行线分线段成比例定理可知D 为AB 中点，
∴
1
1
2
2
DL
BP
=
=
，
1
2
OI
DL
=
=
，
同理J 为NK 中点，E 为NM 中点，
∴
1
1
2
2
JE
KM
=
=
，
∴
1
1
3
4
2
2
IE
AP
=
+
+
=
=
，
1
2
OI
DL
=
=
，
∵
,
90
DI
BP
APB
DIE
=
=
=
，
∴
(
)
SAS
ABP
FDI
≌
，
∴
DEI
PAB
=
，
∵
ALD
OLE
=
，
∴
90
ADL
LOE
=
=
，
∵AD
BD
=
，
∴DE 是AB 的垂直平分线，且交AC 于H，
∴AH
BH
=
，
∴
BAH
ABH
=
，
∵AB
PF
∥
，
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∴
,
BAH
APF
ABH
BGP
=
=
，
∴
APF
BGP
=
，即点G 即为所求．
2．（2026·江西·中考真题）如图，在8 4
的正方形网格中，ABC 的顶点B ，C 均在格点上，
90
A
=
，
30
C
=
，MN 为ABC 的中位线．
(1)请仅用无刻度直尺
．．．．．．．作
ABC
的平分线，交MN 于点P ；（保留作图痕迹）
(2)若网格中小正方形的边长为1，则（1）中BP 的长为______________．
【答案】(1)如图，BQ 即为所求；
(2) 2 3
【分析】（1）由题意分别求出
,
,
AM BM MN 的长度，取格点P，由题意可知，BM
MP
=
，则有
MBP
MPB
=
，再利用
//
MN BC 得到
PBC
MPB
=
则可证
PBC
MPB
=
，则可知BQ 即为所求角
平分线；
（2）取格点H，则有PH
BC
⊥
，
3
BH = ，由（1）可知
1
30
2
PBH
ABC
=
=
，利用锐角三角形函数
求BP 的长即可．
【详解】（1）解：取MN 与网格交点P，连接BP 并延长交AC 于点Q，BQ 即为所求；
由网格可知，
8
BC = ，
∵
90
A
=
，
30
C
=
，
∴
1
4
2
AB
BC
=
=
，
∵MN 为ABC 的中位线，
∴
1
2,
4
2
BM
MN
BC
=
=
=
，
//
MN BC ，
∴BM
MP
=
，
∴
MBP
MPB
=
，
∵
//
MN BC ，
∴
PBC
MPB
=
，
∴
PBC
MBP
=
，
则BQ 即为所求；
（2）解：取格点H，由网格可知，
PH
BC
⊥
，
3
BH = ，
∵
90
A
=
，
30
C
=
，
∴
60
ABC
=
∴
1
30
2
PBH
ABC
=
=
∴
3
2 3
cos30
3
2
BH
BP =
=
=
．
