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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（二）
一．选择题（共3 小题）
1．（2026•达州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x 与函数y 的部分对应值如表：
x
…
﹣2
0
2
…
y
…
0
c
c
…
在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1 时，y 的值随着x 值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2
＝4 是关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．（2026•泸州）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数
点”．如：A(2，1
2 )，B(-3，- 1
3 )都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数y＝3x 的图象上存在2 个“倒数点”；
②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”；
③函数y＝2x2+1 的图象上存在1 个“倒数点”；
④若函数y＝kx+2 的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（2026•台湾）已知坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+5）2﹣20 的图形，甲、乙两人提出以下看法：
【甲】此函数图形上某个点的y 坐标为﹣15；
【乙】此函数图形上某个点的y 坐标为25．
对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确
B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
二．填空题（共8 小题）
4．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝x2+4x+4 的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），
若m＞0，则y1 y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
5．（2026•贵州）一元二次方程ax2+2x+1＝0 的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0 的两根分
别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，把a，m，0，1 这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来：
．
6．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m 的取值范围为
．
7．（2026•巴中）如图，在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的动点（不与端点重合），过点
D 作DG⊥AB 于点G．下列说法正确的有 ．（填写序号）
①0＜DG＜1；
2
②S△ADG＞S△BDG；
③设AG＝x，则△ADG 的面积S 是关于x 的二次函数；
④仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG．
8．（2026•广西）二次函数y＝（x﹣20）2+26 的最小值为 ．
9．（2026•甘肃）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其
射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2 是一次捕食中一条射水鱼发现一
只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O 射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满
足函数关系y=- 1
10 x
2+4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流 击
中昆虫．（填“能”或“不能”）
10．（2026•苏州）如图，关于x 的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1 的图象为抛物线C，直线y＝a 与抛物线C
交于A，B 两点，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l，过A，B 分别作l 的垂线，垂足为M，N．若四
边形ABNM 为正方形，则a＝ ．
11．（2026•南充）抛物线y＝x2+mx+m﹣2 与x 轴交于A，B 两点，且AB=√5，则m 的值为 ．
三．解答题（共9 小题）
12．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点(0，1-a
a
)，对
3
称轴为x= 1
a．
（1）求b 的值，并用含a 的式子表示c；
（2）已知M 是抛物线C1上的点，M 的横坐标为t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得
到（特别地，当M 是C1的顶点时，C2即为C1）．若无论t 为何值，抛物线C2都不经过点O，求a 的取
值范围．
13．（2026•贵州）某课外实践小组用AI 模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①
所示．跳弹在空中飞行的高度y 与水平距离x 之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为8.1 的
A 处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O 开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为
C1：y＝﹣0.25x2+2.5x，C2：y＝﹣0.25x2+mx+n，C3：y＝﹣0.25x2+px+q，与水面分别接触于点B，点
C．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
（1）已知点A 与点O 所在直线AO 的表达式为y＝﹣0.9x，分别求出A，B 两点的坐标；
（2）若水面上D（12，0）处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽DE＝4 的暗礁，抛
物线C2在x＝14 时距水面最高，请判断跳弹沿路径C2运动时能否避开障碍物和暗礁；
（3）在（2）的条件下，若跳弹从水面上点C 弹起后，沿路径C3撞击对方目标截面F 处时，启动跳弹
内部回弹装置，避开暗礁沿直线FM 加速飞向水面，接触水面后沿直线MN 撞向目标，该过程始终保持
FH
MH = MH
NH = 1
2．且目标露出水面的垂直高度HG＝6，点H 的坐标（20，0），打击点N 距水面的距离
为NH，且6≤NH≤10，求抛物线C3中p 的取值范围．
14．（2026•南京）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C 是AB 的中点
且AC＝CB＝10m，CD＝10m．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为331m，已知山顶F 到
点A 的水平距离为364m．
（1）请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式．
（2）若一人站在拱桥上的点P 处，且点P 到点A 的水平距离为2m，人的眼睛位置为点Q，点Q 在点
P 的正上方，且PQ＝1.6m，请判断人眼在点Q 处能否直接看到山顶F，并说明理由．
（3）下列结论中，正确的是 ．
①在挑桥的AD 段有一个与P 不重合的M 点与人在P 点处看山顶F 的仰角相等；
②在拱桥的BD 段有一点M 与人在P 点处看山顶F 的仰角相等；
③人从点D 走到点B 的过程中，当人位于点D 时，眼睛Q 点到山顶F 的距离最近；
④人从点D 走到点B 的过程中，当人位于点B 时，眼睛Q 点到山顶F 的距离最近．
4
15．（2026•广东）如图1，设O 为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+3 的图象经过点A（﹣3，0），与y
轴交于点B，其对称轴与x 轴交于点C，连接AB，BC．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求cos∠ABC 的值；
（3）如图2，动点P 在线段AB 上，过点P 作AB 的垂线PQ，与二次函数在第二象限的图象交于点
Q，求BP+2PQ 的最大值．
16．（2026•陕西）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的自变量x 与函数y 的几组对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
5
…
（1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是 （填序号）；
①a＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③当x＝1 时，y 有最小值为﹣4；
④当x＞0 时，y 的值随x 值的增大而增大．
（3）若将该二次函数的图象沿y 轴向下平移6 个单位长度，交x 轴于A，B 两点，求AB 的长．
5
17．（2026•广元）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函
数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y= 1
2x+2 的图象与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点．
（1）如图1，若点P 为线段AB 的中点，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点
P 为顶点，求该二次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若直线AB 上方抛物线上有一点E，使∠BPE+∠BAO＝45°，求点E 的坐标；
（3）点G 在线段AB 上，若抛物线F1：y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）和抛物线F2：y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0）
的“顶点弦”分别为GA 和GB，点G 为F1和F2的顶点，且a1+2a2＝0，求GA
GB 的值．
18．（2026•绥化）综合与探究
已知抛物线y＝ax2+bx+4 与x 轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C，点O 为坐标原点，
作直线BC．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P 在第一象限，横坐标为m，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N，
交BC 于点M，点Q 的横坐标为m- 3
2．若△MCN 的面积记作S1，△PMQ 的面积记作S2，当S＝S1+S2
6
有最大值时，求点P 的坐标．（自行完成作图并解答）
（3）把抛物线y＝ax2+bx+4 沿射线BC 方向平移，平移后，新抛物线y′过点C，点E 是新抛物线y′
对称轴与x 轴的交点，点F 是新抛物线y′对称轴上的动点，连接FC，FO．若FO 平分∠CFE，请直
接写出符合条件的点F 坐标．（自行完成作图并作答）
19．（2026•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x 轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点D 为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD 面积的最大值．
（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB？若存在，求点Q 的坐标；若不
存在，说明理由．
20．（2026•甘孜州）如图1，抛物线y＝a（x+12）（x﹣6）（a≠0）与x 轴负半轴交于点A，与y 轴交于
B(0，6√3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将原点O，点B 关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C，点D，连接CD，AD，作∠OAD 的平
分线交CD 于点E．
①求点E 的坐标；
②如图2，点F 为直线AD 左侧抛物线上一点，连接FE 并延长交x 轴于点G，连接DG 交抛物线于点
H，连接EH，当∠DEH＝∠DEF 时，求点H 的横坐标．
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2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共3 小题）
题号
1
2
3
答案
C
B
B
一．选择题（共3 小题）
1．（2026•达州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x 与函数y 的部分对应值如表：
x
…
﹣2
0
2
…
y
…
0
c
c
…
在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1 时，y 的值随着x 值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2
＝4 是关于x 的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x 轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c 的开口方向，对称轴，与x 轴的交点，与y 轴的交点，逐一判断各
结论，即可得到结果．
【解答】解：因为
x
…
﹣2
0
2
…
y
…
0
c
c
…
，c＜0，
∴当﹣2＜x＜0，y 随x 的增大而减小，
∴开口向上，a＞0，故①正确；
当x＝0，x＝2 时，y 为c，
∴对称轴为直线x= 0+2
2
=1，
即- b
2a =1，
即2a+b＝0，故②正确；
∵开口向上，对称轴为直线x= 0+2
2
=1，
∴当x＜1 时，y 的值随着x 值的增大而减小，故③错误；
∵二次函数y＝ax2+bx+c 的对称轴为x＝1，函数图象过点（﹣2，0），
∴二次函数y＝ax2+bx+c 过x 轴的另一个交点为（4，0），
∴ax2+bx+c＝0 的两个根分别为x1＝﹣2，x2＝4，故结论④正确，
9
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2026•泸州）在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数
点”．如：A(2，1
2 )，B(-3，- 1
3 )都是“倒数点”．给出下列结论：
①函数y＝3x 的图象上存在2 个“倒数点”；
②函数y＝|x﹣1|的图象上不存在“倒数点”；
③函数y＝2x2+1 的图象上存在1 个“倒数点”；
④若函数y＝kx+2 的图象上存在“倒数点”，则k≤﹣1．
其中正确的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】B
【分析】根据“倒数点”定义，若（x，y）为倒数点，则满足xy＝1（x≠0），即y = 1
x ，联立各函数
与y = 1
x ，判断方程解的个数，逐个验证结论即可．
【解答】解：由定义得，倒数点满足xy＝1，x≠0，即y = 1
x ，
①联立{
xy =1
y =3 x，则3 x = 1
x ，
整理得3x2＝1，
解得x =± √3
3 ，
∴方程有2 个不同解，故存在2 个倒数点，故①正确；
②联立{
xy =1
y =| x -1|，
∵y＝|x﹣1|≥0，
∴x＞0，
当x≥1 时，x -1= 1
x ，整理得x2﹣x﹣1＝0，
Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5≥0，
解得x1= 1+√5
2
，x2= 1-√5
2
，
正根x= 1+√5
2
＞1，存在解，
∴图象上存在倒数点，故②错误；
10
③联立{
xy =1
y =2 x
2+1，
∴1
x =2 x
2+1，
画出函数y = 1
x 和y＝2x2+1 图象的草图如图所示：
∴由图象知：函数y = 1
x 和y＝2x2+1 图象有唯一的交点，
∴1
x =2 x
2+1有唯一的解，
∴存在1 个倒数点，故③正确；
④联立{
xy =1
y =kx +2，
整理得kx2+2x﹣1＝0，
当k＝0 时，方程为2x﹣1＝0，解得x = 1
2，y＝2，满足1
2 ×2=1，是倒数点，
此时k＝0＞﹣1，故④错误；
综上，正确的结论共2 个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，掌握其相关
知识点是解题的关键．
3．（2026•台湾）已知坐标平面上有二次函数y＝﹣（x+5）2﹣20 的图形，甲、乙两人提出以下看法：
【甲】此函数图形上某个点的y 坐标为﹣15；
【乙】此函数图形上某个点的y 坐标为25．
11
对于甲、乙两人的看法，下列判断何者正确？（ ）
A．甲、乙皆正确
B．甲、乙皆错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据题意，将y＝﹣15 和y＝25 分别代入函数解析式进行计算即可．
【解答】解：由题知，
当y＝﹣15 时，
﹣（x+5）2﹣20＝﹣15，
则（x+5）2＝﹣5，
此方程无解，
所以此函数图形上不存在纵坐标为﹣15 的点，
故甲错误；
当y＝25 时，
﹣（x+5）2﹣20＝25，
则（x+5）2＝﹣45，
此方程无解，
所以此函数图形上不存在纵坐标为25 的点，
故乙错误，
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性
质是解题的关键．
二．填空题（共8 小题）
4．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy 中，函数y＝x2+4x+4 的图象经过点（m，y1）和（m+1，y2），
若m＞0，则y1 ＜ y2（填“＞”“＝”或“＜”）．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】＜．
【分析】先将二次函数解析式配方，得到抛物线的开口方向与对称轴，再根据二次函数的增减性，结
合m＞0 判断两点横坐标的位置，即可比较1与y2的大小．
【解答】解：对函数解析式配方得y＝x2+4x+4＝（x+2）2，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，
∴当x＞﹣2 时，y 随x 的增大而增大，
12
∵m＞0，
∴m+1＞m＞0＞﹣2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
5．（2026•贵州）一元二次方程ax2+2x+1＝0 的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0 的两根分
别是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，把a，m，0，1 这四个数按从小到大的顺序用“＜”连接起来：
0
＜
a ＜
m ＜
1
．
【考点】抛物线与x 轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】0＜a＜m＜1．
【分析】设y1=a x
2+2 x +1，y2=m x
2+2 x +1，根据方程的根的情况，判断抛物线与x 轴的交点个数，
对称轴的位置，以及两条抛物线的开口大小，即可得出结果．
【解答】解：一元二次方程ax2+2x+1＝0 的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0 的两根分别
是x3，x4，若x1＜x3＜x4＜x2＜0，
设y1=a x
2+2 x +1，y2=m x
2+2 x +1，
则两个函数都经过点（0，1），对称轴分别为x =- 2
2a =- 1
a和x =- 2
2m =- 1
m，
∵一元二次方程ax2+2x+1＝0 的两根分别是x1，x2，一元二次方程mx2+2x+1＝0 的两根分别是x3，x4，
∴x1，x2为抛物线y1与x 轴的交点的横坐标，x3，x4为抛物线y2与x 轴的交点的横坐标，
∵x1＜x3＜x4＜x2＜0，
∴抛物线y1与抛物线y2的对称轴均在y 轴的左侧，
∴- 1
a ＜0，- 1
m ＜0，
∴a＞0，m＞0，
∴两条抛物线的开口向上，
∵x1＜x3＜x4＜x2＜0，
∴抛物线y1的开口大于抛物线y2的开口，
∴a＜m，
∵两条抛物线与x 轴都有两个交点，
∴Δ1=2
2- 4 a＞0，Δ2=2
2- 4 m＞0，
∴a＜1，m＜1，
综上：0＜a＜m＜1．
故答案为：0＜a＜m＜1．
13
【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，正确进行计算是解题关键．
6．（2026•南京）二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则m 的取值范围为m ＜
﹣
1
．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】m＜﹣1．
【分析】依据题意，由二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），则a﹣b＝m 且
a+b＝m+2，从而a＝m+1＜0，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝ax2+bx（a＜0）过点（﹣1，m），（1，m+2），
∴a﹣b＝m 且a+b＝m+2，
∴2a＝2m+2．
∴a＝m+1＜0．
∴m＜﹣1．
故答案为：m＜﹣1．
【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握
并能灵活运用二次函数的性质是关键．
7．（2026•巴中）如图，在边长为1 的等边三角形ABC 中，D 为BC 边上的动点（不与端点重合），过点
D 作DG⊥AB 于点G．下列说法正确的有
①②③④
．（填写序号）
①0＜DG＜1；
②S△ADG＞S△BDG；
③设AG＝x，则△ADG 的面积S 是关于x 的二次函数；
④仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG．
【考点】二次函数的性质；含30 度角的直角三角形；特殊角的三角函数值．菁优网版权所有
【专题】三角形．
【答案】①②③④．
【分析】由题意易得∠C＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝1，则有DG = BD⋅sin ∠B = √3
2 BD，BG
= BD⋅cos∠B = 1
2 BD，然后问题根据三角形面积，二次函数的性质及三角函数进行排除答案即可．
【解答】解：∵△ABC 是等边三角形，且边长为1，
∴∠C＝∠B＝60°，AB＝BC＝AC＝1，
14
∵DG⊥AB，
∴DG = BD⋅sin ∠B = √3
2 BD，BG= BD⋅cos∠B = 1
2 BD，
∵D 为BC 边上的动点（不与端点重合），
∴0＜BD＜1，
∴0＜DG＜√3
2 ＜1，0＜BG＜1
2，故①说法正确；
∵AG＝AB﹣BG＝1﹣BG，
∵0＜BG＜1
2，
∴1
2 ＜AG＜1，
∴AG＞BG，
∵S△ADG= 1
2 AG⋅DG，S△BDG= 1
2 BG⋅DG，
∴S△ADG＞S△BDG，故②说法正确；
设AG＝x，则有BG＝1﹣x，
∴DG = BG⋅tan ∠B =√3(1- x)，
∴S = 1
2 AG⋅DG = 1
2 x⋅√3(1- x)=- √3
2 x
2+ √3
2 x，
∴△ADG 的面积S 是关于x 的二次函数，故③说法正确；
过点D 作DH⊥AC，如图所示：
∵DH = DC ⋅sin ∠C = √3
2 DC，
设AG＝x，则BG＝1﹣x，
∴BD＝2BG＝2﹣2x，
∴DC＝BC﹣BD＝2x﹣1，
∴DH = √3
2 (2 x -1)=√3 x - √3
2 ，
∴S△ADC = 1
2 AC ⋅DH = √3
2 x - √3
4 ，
∵S△ADG=- √3
2 x
2+ √3
2 x，S△ACD＝S△ADG，
15
∴- √3
2 x
2+ √3
2 x = √3
2 x - √3
4 ，
解得：x= √2
2 （负根舍去），
∴仅存在一点D，使得S△ACD＝S△ADG，
故④说法正确；
综上所述：正确的有①②③④，
故答案为：①②③④．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，含30 度角的直角三角形，特殊角的三角函数值，掌握其相
关知识点是解题的关键．
8．（2026•广西）二次函数y＝（x﹣20）2+26 的最小值为
26
．
【考点】二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】26．
【分析】依据题意，由二次函数为y＝（x﹣20）2+26，则抛物线开口向上，对称轴是直线x＝20，从而
可以得解．
【解答】解：由题意，∵二次函数为y＝（x﹣20）2+26，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝20．
∴当x＝20 时，y 取最小值为26．
故答案为：26．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
9．（2026•甘肃）如图1，据生物学资料介绍，射水鱼会从口中射出一股水流击中昆虫达到捕食目的，其
射出的水流可以看作一条抛物线的一部分（不考虑空气阻力）．图2 是一次捕食中一条射水鱼发现一
只昆虫后射出水流的图象，其中水流从点O 射出，水流运动的高度y（cm）与水平距离x（cm）近似满
足函数关系y=- 1
10 x
2+4x（x≥0）．若这只昆虫在点P（20，50），则这次射出的水流 不能 击中
昆虫．（填“能”或“不能”）
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
16
【专题】二次函数的应用；运算能力．
【答案】不能．
【分析】依据题意，把x＝20 代入解析式：y =- 1
10 ×20
2+ 4×20=- 400
10 +80=- 40+80= 40，结合
昆虫纵坐标为50，40≠50，从而可以判断得解．
【解答】解：由题意，把x＝20 代入解析式：y =- 1
10 ×20
2+ 4×20=- 400
10 +80=- 40+80= 40，
∵昆虫纵坐标为50，40≠50，
∴不能击中．
故答案为：不能．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
10．（2026•苏州）如图，关于x 的二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1 的图象为抛物线C，直线y＝a 与抛物线C
交于A，B 两点，过抛物线C 的顶点作x 轴的平行线l，过A，B 分别作l 的垂线，垂足为M，N．若四
边形ABNM 为正方形，则a＝
5
．
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】5．
【分析】先求出抛物线顶点的坐标，据此表示出BN 的长，再分别求出点A 和点B 的坐标，据此表示出
AB 的长，最后根据四边形ABNM 为正方形建立方程进行求解即可．
【解答】解：由题知，
因为y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，
所以抛物线的顶点坐标为（m，1）．
因为点B 在直线y＝a 上且BN⊥l，
所以BN＝a﹣1．
由x2﹣2mx+m2+1＝a 得，
x=m±√a-1，
所以AB=m+√a-1-(m-√a-1)=2√a-1．
因为四边形ABNM 为正方形，
所以AB＝BN，
则2√a-1=a-1，
17
解得a＝1（舍去）或a＝5，
所以a 的值为5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的图象及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二
次函数的图象与性质是解题的关键．
11．（2026•南充）抛物线y＝x2+mx+m﹣2 与x 轴交于A，B 两点，且AB=√5，则m 的值为
1 或
3
．
【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】1 或3．
【分析】利用二次函数与x 轴的交点坐标关系，当y＝0 时，利用根与系数的关系解答．
【解答】解：当y＝0 时，x2+mx+m﹣2＝0，
∴x1+x2＝﹣m，x1•x2＝m﹣2．
∵AB=√5，
∴|x1﹣x2|=√( x1+ x2)
2- 4 x1 x2=√m
2- 4(m-2)=√5．
∴m2﹣4m+3＝0，
∴m＝1 或3．
故答案为：1 或3．
【点评】此题考查了一元二次方程的解法，要注意选择适宜的解题方法．
三．解答题（共9 小题）
12．（2026•北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点(0，1-a
a
)，对
称轴为x= 1
a．
（1）求b 的值，并用含a 的式子表示c；
（2）已知M 是抛物线C1上的点，M 的横坐标为t，抛物线C2的顶点为M，且可以由抛物线C1平移得
到（特别地，当M 是C1的顶点时，C2即为C1）．若无论t 为何值，抛物线C2都不经过点O，求a 的取
值范围．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）b＝﹣2，c = 1-a
a
；
（2）a＜1
2且a≠0．
【分析】（1）利用抛物线过(0，1-a
a
)直接得c，再套用对称轴公式x =- b
2a = 1
a，化简求出b；
（2）先写出顶点为M（t，y1）的平移后抛物线C2，代入原点（0，0）得到关于t 的一元二次方程，方
18
程无实数根则判别式Δ＜0，解不等式得到a 范围．
【解答】解：（1）∵抛物线C1：y =a x
2+bx +c(a≠0)经过点(0，1-a
a
)，
∴c = 1-a
a
，
∵抛物线C1的对称轴为x = 1
a，
∴- b
2a = 1
a，
∴b＝﹣2；
（2）设点M（t，y1），
∵M 是抛物线C1上的点，
∴y1=at
2-2t + 1-a
a
，
由题意，抛物线C2：y =a( x -t )
2+at
2-2t + 1-a
a
，
设抛物线C2与y 轴交于点N（0，y2），则y2=2at
2-2t + 1-a
a
，
∵无论t 为何值，抛物线C2都不经过点O，
∴无论t 为何值，都有y2≠0，
∴关于t 的方程2at
2-2t + 1-a
a
=0(a≠0)没有实数根，
∴Δ＜0，即4 -8a⋅1-a
a
＜0，
4﹣8（1﹣a）＜0，
化简得：8a﹣4＜0，
解得：a＜1
2，
∴a＜1
2，
∴a＜1
2 且a≠0．
【点评】本题考查了平面直角坐标系、二次函数的基本性质等，掌握二次函数的综合知识是解题的关
键．
13．（2026•贵州）某课外实践小组用AI 模拟军事演习，设计了水面“跳弹”，并进行模拟演示如图①
所示．跳弹在空中飞行的高度y 与水平距离x 之间的关系如图②所示．飞机在距水面垂直高度为8.1 的
A 处投放跳弹，跳弹与水面接触于点O 开始弹跳，运动路径会在空中近似地形成一组抛物线，分别为
C1：y＝﹣0.25x2+2.5x，C2：y＝﹣0.25x2+mx+n，C3：y＝﹣0.25x2+px+q，与水面分别接触于点B，点
C．（演示过程在同一平面内，其他因素忽略不计）
19
（1）已知点A 与点O 所在直线AO 的表达式为y＝﹣0.9x，分别求出A，B 两点的坐标；
（2）若水面上D（12，0）处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物和一个截面宽DE＝4 的暗礁，抛
物线C2在x＝14 时距水面最高，请判断跳弹沿路径C2运动时能否避开障碍物和暗礁；
（3）在（2）的条件下，若跳弹从水面上点C 弹起后，沿路径C3撞击对方目标截面F 处时，启动跳弹
内部回弹装置，避开暗礁沿直线FM 加速飞向水面，接触水面后沿直线MN 撞向目标，该过程始终保持
FH
MH = MH
NH = 1
2．且目标露出水面的垂直高度HG＝6，点H 的坐标（20，0），打击点N 距水面的距离
为NH，且6≤NH≤10，求抛物线C3中p 的取值范围．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）A（﹣9，8.1），B（10，0）；
（2）能避开障碍物和暗礁；
（3）41
4 ≤p≤43
4 ．
【分析】（1）将y＝8.1，代入y＝﹣0.9x，求得A 的坐标，将y＝0，代入C1：y =-0.25 x
2+2.5 x，
即可求得B 的坐标；
（2 ）先根据对称轴为 x ＝14 ，得出m ＝7 ，代入B （10 ，0 ）求得n ＝﹣45 ，得出
C2：y =-0.25 x
2+7 x - 45，分别计算x＝12 和x＝16 的函数值，结合题意，即可求解；
（3）设F（20，f），根据已知得出3
2 ≤f ≤5
2，将C（18，0）代入C3，得出q＝81﹣18p，将 x＝20 代
入，得出 f＝﹣19+2p，进而解不等式组，即可求解．
【解答】解：（1）∵飞机在距水面垂直高度为8.1 的A 处投放跳弹，直线AO 的表达式为y＝﹣0.9x，
当y＝8.1 时，﹣0.9x＝8.1，
解得：x＝9，
∴A（﹣9，8.1），
∵C1：y =-0.25 x
2+2.5 x，
当y＝0 时，﹣0.25x2+2.5x＝0，
解得：x1＝0，x2＝10，
20
∴B（10，0）；
（2）∵C2：y =-0.25 x
2+mx +n，抛物线C2在x＝14 时距水面最高，
∴x =-
m
2×(-0.25) =14，解得：m＝7，
∴C2：y =-0.25 x
2+7 x +n，
∵C2过点B（10，0），
∴当x＝10 时，﹣0.25×102+7×10+n＝0，
解得：n＝﹣45，
∴C2：y =-0.25 x
2+7 x - 45，
当y＝0 时，﹣0.25x2+7x﹣45＝0，
解得：x1＝10，x2＝18，
∴C（18，0），
∵水面上D（12，0）处有一个高为2（宽忽略不计）的障碍物，
∴当x＝12 时，y＝﹣0.25×122+7×12﹣45＝3，
∵3＞2，
∴跳弹能避开障碍物，
∵暗礁的一个截面宽DE＝4，OD＝12，
∴OE＝12+4＝16，
∴当x＝16 时，y＝﹣0.25×162+7×16﹣45＝3，
∵3＞0，
∴跳弹能避开暗礁，综上所述，跳弹沿路径C2运动时能避开障碍物和暗礁；
（3）点H 的坐标（20，0），设F（20，f），
∵FH
MH = MH
NH = 1
2，6≤NH≤10，
∴FH = 1
2 MH ，3≤MH ≤5，
∴3
2 ≤FH ≤5
2，即3
2 ≤f ≤5
2，
∵C3过点C（18，0），
当x＝18 时，﹣0.25×182+18p+q＝0，即q＝81﹣18p，
∴当x＝20 时，C3：y =-0.25×20
2+20 p+q =-100+20 p+q =-100+20p+81﹣18p＝﹣19+2p 即f＝
﹣19+2p，
∵3
2 ≤f ≤5
2，
21
∴{
-19+2 p≤5
2
-19+2 p≥3
2
，
解得：41
4 ≤p≤43
4 ．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，正确地求出C2的函数解析式是解题的关键．
14．（2026•南京）如图，有一座抛物线形拱桥，桥的两端分别为点A、B，顶点为D，点C 是AB 的中点
且AC＝CB＝10m，CD＝10m．拱桥右侧远处有一座山，山顶记为点F，山高为331m，已知山顶F 到
点A 的水平距离为364m．
（1）请建立适当的直角坐标系，并求出该抛物线形拱桥的函数表达式．
（2）若一人站在拱桥上的点P 处，且点P 到点A 的水平距离为2m，人的眼睛位置为点Q，点Q 在点
P 的正上方，且PQ＝1.6m，请判断人眼在点Q 处能否直接看到山顶F，并说明理由．
（3）下列结论中，正确的是
①
．
①在挑桥的AD 段有一个与P 不重合的M 点与人在P 点处看山顶F 的仰角相等；
②在拱桥的BD 段有一点M 与人在P 点处看山顶F 的仰角相等；
③人从点D 走到点B 的过程中，当人位于点D 时，眼睛Q 点到山顶F 的距离最近；
④人从点D 走到点B 的过程中，当人位于点B 时，眼睛Q 点到山顶F 的距离最近．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【答案】（1）抛物线形拱桥的函数表达式为：y =- 1
10 x
2+10（﹣10≤x≤10）；
（2）确实存在这样一个M 点（横坐标为﹣1）；
（3）①．
【分析】（1）建系求函数：以拱底中点C 为原点，AB 为x 轴，CD 为y 轴，设顶点式y＝ax2+10 代入A
（﹣10，0）得解析式．
（2）判断视线遮挡：求出Q 和F 坐标，写出视线直线方程，与抛物线作差，证明差值恒正，即视线在
桥面上方．
（3）判断仰角相等点，设AD 段动点M（x），写出仰角正切表达式，令其等于P 点处仰角正切0.9，
解方程得x＝﹣1 或﹣8，从而判断①对②错．判断距离最近点，分别别计算点D、B 到F 的距离的平
方，比较x＝5 时，对应的点到F 的距离平方即可判断③④错误．
22
【解答】解：（1）以点C 为原点，以AB 所在直线为x 轴，以CD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标
系，
则：A（﹣10，0），B（10，0），D（0，10），
因为抛物线顶点为D（0，10），
设抛物线为：y＝ax2+10，
把 A（﹣10，0）代入：0＝a•102+10，
a=- 1
10，
所以抛物线形拱桥的函数表达式为：y =- 1
10 x
2+10（﹣10≤x≤10）；
（2）由（1）可知点A 坐标为 （﹣10，0），
且点P 到点A 的水平距离为2m，因为P 在桥上且在A 的右侧，
所以P 的横坐标是：xp＝﹣10+2＝﹣8，将 x＝﹣8 代入抛物线y =- 1
10 x
2+10，
得：yP=- 1
10 ×64+10=-6.4+10=3.6，
所以 P（﹣8，3.6），
眼睛Q 在P 正上方1.6m，
所以Q（﹣8，5.2），
点A（﹣10，0），山顶到点A 的水平距离为364m（在右侧），
所以xF＝﹣10+364＝354，
由于山高331m，
所以F（354，331），
根据 Q（﹣8，5.2），F（354，331），
可求得直线QF 方程为：y＝0.9x+12.4，
设视线高度为y1＝0.9x+12.4，
桥面高度为y2=- 1
10 x
2+10，
所以y1﹣y2＝（0.9x+12.4）﹣（- 1
10 x
2+10），
h（x）＝0.1x2+0.9x+2.4，
令y＝0.1（x2+9x）+2.4，
配方可得：y＝0.1（x+4.5）2+0.375，
所以y1﹣y2≥0.375＞0，
所以视线QF 在拱桥范围内的每一个点上，都比拱桥高出至少0.375m，
即视线完全在拱桥上方，没有任何遮挡．所以，人眼在点Q 处能直接看到山顶F；
（3）①设拱桥AD 段上任意一点M 的横坐标为x（﹣10≤x≤0），
23
由抛物线y =- 1
10 x
2+10，
人站在M 点，眼睛在正上方1.6m 处，
所以眼睛坐标为Q'（x，- 1
10 x
2+11.6）
从点Q'看山顶F（354，331），
所以仰角α 的正切为：tanα =
331-(- 1
10 x
2+11.6)
354 - x
= 319.4 +0.1 x
2
354 - x
，
由于点P（﹣8，3.6），眼睛Q（﹣8，5.2），
从Q 看山顶F，其仰角为β，
所以tanβ = 331-5.2
354 -(-8) = 325.8
362 =0.9，
令tanα＝tanβ，解方程：319.4 +0.1 x
2
354 - x
=0.9，
化简得：（x+1）（x+8）＝0，
解得：x＝﹣1，或x＝﹣8，当x＝﹣8 正好是点P 的横坐标，
x＝﹣1 在AD 段内（因为﹣10≤﹣1≤0），且与P 不重合，
所以确实存在这样一个M 点（横坐标为﹣1）；
②在拱桥的BD 段有一点M 与人在P 点处看山顶F 的仰角相等这个结论是错误的，
根据结论①的推导，我们解出的两个使仰角相等的点，
横坐标分别为：x＝﹣8 和 x＝﹣1 这两个点都在AD 段（即x≤0 的左侧），
而BD 段对应的是0≤x≤10，
在BD 段内，没有任何一个x 能满足上述方程，
所以，拱桥的BD 段上不存在这样的点；
③用反例说明：
当人位于点D 时，x＝0，眼睛坐标为（0，11.6）．
到F（354，331）的距离平方为：
d D
2 =(354 -0)
2+(331-11.6)
2=35 4
2+319.4
2，
此时眼睛坐标为（5，- 1
10 ×25+11.6），即（5，9.1），
到F 的距离平方为：d x =5
2
=（354﹣5）2+（331﹣9.1）2＝3492+321.92，
比较d D
2 -d x =5
2
=3542+319.42﹣3492﹣321.92
＝（3542﹣3492）+（319.42﹣321.92）
＝（354﹣349）（354+349）+（319.4﹣321.9）（319.4+321.9）
24
＝5×703+（﹣2.5）×641.3
＝3515﹣1603.25＝1911.75＞0，
也就是说，在x＝5 处时，眼睛到山顶的距离比在点D 处更近，
既然存在比D 点更近的位置，那么点D 是最近点的说法就不成立；
④同样用反例说明：当人位于点B 时，x＝10，眼睛坐标为（10，1.6），
到F 的距离平方为：dB
2 =(354 -10)
2+(331-1.6)
2=34 4
2+329.4
2
仍然拿x＝5 时的距离来比较：此时眼睛坐标为（5，9.1），
到F 的距离平方为：d x =5
2
=（354﹣5）2+（331﹣9.1）2＝3492+321.92，
所以dB
2 -d x =5
2
=3442+329.42﹣3492﹣321.92
＝（3442﹣3492）+（329.42﹣321.92）
＝（344﹣349）（344+349）+（329.4﹣321.9）（329.4+321.9）
＝（﹣5）×693+7.5×651.3
＝﹣3465+4884.75
＝1419.75＞0，
也就是说，在x＝5 处时，眼睛到山顶的距离比在点B 处更近，
既然存在比D 点更近的位置，那么点D 是最近点的说法就不成立；
故答案为：①．
【点评】本意主要考查了二次函数建模、一次函数与二次函数的位置比较（视线遮挡）、解直角三角
形（仰角正切）以及利用函数思想分析动点最值问题．建立合适的坐标系并准确表示动点坐标，是解
题的关键．本题亮点在于将“能否看见”转化为“直线与抛物线是否相交”的代数判断，将仰角相等
转化为方程求解，将 距离最近转化为特殊值计算，体现了数形结合和转化思想．对初中生而言计算量
稍大，但对巩固二次函数应用能力很有价值．
15．（2026•广东）如图1，设O 为坐标原点，二次函数y＝﹣x2+bx+3 的图象经过点A（﹣3，0），与y
轴交于点B，其对称轴与x 轴交于点C，连接AB，BC．
（1）求二次函数的解析式；
25
（2）求cos∠ABC 的值；
（3）如图2，动点P 在线段AB 上，过点P 作AB 的垂线PQ，与二次函数在第二象限的图象交于点
Q，求BP+2PQ 的最大值．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）2√5
5
；
（3）25√2
8
．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）过点C 作CK⊥AB 于点K，先由勾股定理求解BC，然后运用等积法求解CK，再由勾股定理求解
BK，即可求解cos∠ABC；
（3）过点Q 作QE⊥x 轴交AB、x 轴于点D，E，可得△ADE，△QDP 为等腰直角三角形，设PQ＝PD
＝m ，则QD =√2m，设DE ＝AE ＝n ，则AD =√2n，表示出Q(n-3，n+√2m)，将点
Q(n-3，n+√2m)代入
y ＝﹣x2﹣2x+3 ，整理得m=- √2
2 n
2+ 3√2
2
n，那么得到
BP+2 PQ =3√2-√2n- √2
2 n
2+ 3√2
2
n，整理得，BP+2 PQ =- √2
2 n
2+ √2
2 n+3√2，再由二次函数
的性质求解即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝﹣x2+bx+3 的图象经过点A（﹣3，0），
∴﹣9﹣3b+3＝0，
解得：b＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∴C（﹣1，0），
当x＝0 时，y＝3，
26
∴B（0，3），
如图1，过点C 作CK⊥AB 于K，
∵A（﹣3，0），B（0，3），C（﹣1，0），
∴AC＝2，AB＝3√2，BC=√10，
∵cos∠BAC= AK
AC = OA
AB ，即AK
2 =
3
3√2，
∴AK=√2，
∴BK＝AB﹣AK＝2√2，
∴cos∠ABC= BK
BC = 2√2
√10 = 2√5
5
；
（3）过点Q 作QE⊥x 轴交AB、x 轴于点D，E，设抛物线顶点为点F，对称轴与线段AB 的交点为点
G，
由（2）知OA＝OB＝3，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A＝45°，
∴∠ADE＝∠QDP＝45°，△ADE 为等腰直角三角形，
∵QP⊥AB，
∴△QDP 为等腰直角三角形，QP＝DP，
∴QD =√Q P
2+ D P
2=√2 DP，
设PQ＝PD＝m，则QD =√2m，
同理设DE＝AE＝n，则AD =√2n，
27
∴OE＝OA﹣AE＝3﹣n，
∴Q(n-3，n+√2m)，
将点Q(n-3，n+√2m)代入y＝﹣x2﹣2x+3，
则-(n-3)
2-2(n-3)+3=n+√2m，
整理得，m=- √2
2 n
2+ 3√2
2
n，
∵BP+2 PQ =3√2-√2n-m+2m=3√2-√2n+m，
∴BP+2 PQ =3√2-√2n- √2
2 n
2+ 3√2
2
n，
整理得，BP+2 PQ =- √2
2 n
2+ √2
2 n+3√2，
∵y＝﹣（x+1）2+4，
∴F（﹣1，4），
同理可得△ACG 为等腰直角三角形，
∴CA＝CG＝2，
∴G（﹣1，2），
∴BF2+BG2＝（﹣1﹣0）2+（4﹣3）2+（﹣1﹣0）2+（3﹣2）2＝4，FG2＝（4﹣2）2＝4，
∴BF2+BG2＝FG2，
∴BF⊥AB，
∴当点P 与点B 重合时，则点Q 与抛物线顶点F 重合，则点D 为抛物线对称轴与线段AB 的交点G，
∴0＜n≤2，
∵- √2
2 ＜0，
∴当n=-
√2
2
2×(- √2
2 )
= 1
2时，BP+2PQ 取得最大值，
∴最大值为- √2
2 ×( 1
2 )
2+ √2
2 × 1
2 +3√2= 25
8 √2．
【点评】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等积法，等腰直角三角形的性质，二
次函数的性质等，掌握其相关知识点是解题的关键．
16．（2026•陕西）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的自变量x 与函数y 的几组对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
4
…
y
…
5
0
﹣3
﹣4
5
…
（1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（2）下列关于该二次函数的说法中，正确的是
①②③
（填序号）；
①a＞0；
28
②b2﹣4ac＞0；
③当x＝1 时，y 有最小值为﹣4；
④当x＞0 时，y 的值随x 值的增大而增大．
（3）若将该二次函数的图象沿y 轴向下平移6 个单位长度，交x 轴于A，B 两点，求AB 的长．
【考点】二次函数综合题．菁优网版权所有
【专题】代数综合题．
【答案】（1）
（2）①②③；
（3）2√10．
【分析】（1）先描点，再连线即可作图象；
（2）根据函数图象分析即可；
（3）先求出原抛物线的表达式，然后求出平移后的抛物线表达式，再令y＝0，求出其与x 轴的两个交
点坐标，即可求解AB．
【解答】解：（1）如图，二次函数图象即为所求：
29
（2）由函数图象可得，抛物线开口向上，故a＞0，①正确；
抛物线与x 轴有两个交点，故b2﹣4ac＞0，②正确；
由图象可得，当x＝1 时，y 有最小值为﹣4，③正确；
由图象可得，当x＞1 时，y 的值随x 值的增大而增大，④错误，
∴正确的有①②③，
故答案为：①②③；
（3）根据函数图象可得，顶点坐标为（1，﹣4），故设表达式为y＝a（x﹣1）2﹣4，
将点（0，﹣3）代入得，a﹣4＝﹣3，解得a＝1，
∴抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4，
∴沿y 轴向下平移6 个单位长度后的抛物线表达式为y＝（x﹣1）2﹣4﹣6，即为y＝（x﹣1）2﹣10，
令y＝0，则（x﹣1）2﹣10＝0，
解得x1=√10+1，x2=-√10+1，
∴抛物线y＝（x﹣1）2﹣10 与x 轴的交点为(√10+1，0)，(-√10+1，0)，
∴AB =√10+1-(-√10+1)=2√10．
【点评】本题主要考查了二次函数图象，平移的性质，抛物线与x 轴的交点等，掌握其相关知识点是
解题的关键．
17．（2026•广元）定义：如果二次函数与一次函数的图象有两个不同的交点，且其中一个交点为二次函
数的顶点，那么我们把这两点所连线段叫做“顶点弦”．
在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y= 1
2x+2 的图象与x 轴，y 轴分别交于A，B 两点．
（1）如图1，若点P 为线段AB 的中点，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点
P 为顶点，求该二次函数的解析式；
（2）在（1）的条件下，若直线AB 上方抛物线上有一点E，使∠BPE+∠BAO＝45°，求点E 的坐标；
（3）点G 在线段AB 上，若抛物线F1：y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0）和抛物线F2：y＝a2x2+b2x+c2（a2≠0）
30
的“顶点弦”分别为GA 和GB，点G 为F1和F2的顶点，且a1+2a2＝0，求GA
GB 的值．
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【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力．
【答案】（1）y= 1
4 x2+x+2；
（2）E（2，5）；
（3）1
2．
【分析】（1）求出P（﹣2，1），根据题意可得y＝a（x+2）2+1，将B 点代入，求出a 的值即可求解；
（2）设直线PE 与x 轴交于F 点，过P 作PH⊥x 轴交于H，则∠FPH+∠BAO＝∠PFH＝45°，求出F
（﹣3，0），可求直线EF 的解析式为y＝x+3，直线PE 与抛物线的交点即为E；
（3）设G（m，1
2m+2），则y＝a1（x﹣m）2+ 1
2m+2，y＝a2（x﹣m）2+ 1
2m+2，再由A 点在抛物线F1
上，B 点在抛物线F2上，可得a1（﹣4﹣m）2+ 1
2m+2＝0 ①，a2m2+ 1
2m+2＝2 ②，a1+2a2＝0 ③，联
立①②③，解得m=- 8
3 或m＝﹣4（舍），过G 点作GK⊥x 轴交于K 点，则GA
GB = AK
OK = m+ 4
-m
= 1
2．
【解答】解：（1）y= 1
2x+2 与x 轴交点A（﹣4，0），B（0，2），
∵点P 为线段AB 的中点，
∴P（﹣2，1），
∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的“顶点弦”为线段PB，且点P 为顶点，
∴y＝a（x+2）2+1，
将B 点代入，4a+1＝2，
解得a= 1
4 ，
31
∴y= 1
4 x2+x+2；
（2）设直线PE 与x 轴交于F 点，过P 作PH⊥x 轴交于H，
∵∠BPE+∠BAO＝45°，
∴∠FPH+∠BAO＝∠PFH＝45°，
∵PH＝1，
∴FH＝1，
∴F（﹣3，0），
∴直线EF 的解析式为y＝x+3，
当x+3= 1
4 x2+x+2 时，解得x＝2 或x＝﹣2，
∴E（2，5）；
（3）设G（m，1
2m+2），
∴y＝a1（x﹣m）2+ 1
2m+2，y＝a2（x﹣m）2+ 1
2m+2，
∵A 点在抛物线F1上，B 点在抛物线F2上，
∴a1（﹣4﹣m）2+ 1
2m+2＝0 ①，a2m2+ 1
2m+2＝2 ②，
∵a1+2a2＝0 ③，
联立①②③，解得m=- 8
3 或m＝﹣4（舍），
过G 点作GK⊥x 轴交于K 点，
32
∴GA
GB = AK
OK ，
∴GA
GB = m+ 4
-m
= 1
2．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄懂定义是解题的关键．
18．（2026•绥化）综合与探究
已知抛物线y＝ax2+bx+4 与x 轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y 轴交于点C，点O 为坐标原点，
作直线BC．
（1）求该抛物线的解析式．
（2）在抛物线上有两个动点P，Q，点P 在第一象限，横坐标为m，过点P 作x 轴的垂线，垂足为N，
交BC 于点M，点Q 的横坐标为m- 3
2．若△MCN 的面积记作S1，△PMQ 的面积记作S2，当S＝S1+S2
有最大值时，求点P 的坐标．（自行完成作图并解答）
（3）把抛物线y＝ax2+bx+4 沿射线BC 方向平移，平移后，新抛物线y′过点C，点E 是新抛物线y′
对称轴与x 轴的交点，点F 是新抛物线y′对称轴上的动点，连接FC，FO．若FO 平分∠CFE，请直
接写出符合条件的点F 坐标．（自行完成作图并作答）
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【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；
（2）P（2，6）；
33
（3）(- 5
2 ，8+√39
2
)或(- 5
2 ，8-√39
2
)．
【分析】（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据待定系数法求出直线BC 的解析式为y＝﹣x+4，结合已知可得P（m，﹣m2+3m+4）（0＜m
＜4），N（m，0），M（m，﹣m+4），Q(m- 3
2 ，-m
2+6m- 11
4 )，则MN＝﹣m+4，PM＝﹣
m2+4m，xP- xQ= 3
2，则可求出S = S1+ S2=- 5
4 m
2+5m，根据二次函数的性质得出当m＝2 时，S 有最
大值，此时﹣m2+3m+4＝6 即可求解；
（3）根据题意判断出点C 与点B 是平移前后的对应点，则把原抛物线向左平移4 个单位长度，再向上
平移4 个单位长度得出新抛物线y'，根据平移规律得出y'＝﹣（x+ 5
2）2+ 41
4 ，则新抛物线的对称轴为
直线x =- 5
2，E（- 5
2，0），根据角平分线的定义和平行线的性质可得出∠CFO＝∠COF＝∠EFO，根
据等边对等角得出CF＝CO，设F（- 5
2，n），根据两点距离公式得出√(0+ 5
2 )
2+(4 -n)
2=4，解方程
即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+4 经过点A（﹣1，0），B（4，0），
∴{
a-b+ 4 =0
16a+ 4 b+ 4 =0，
解得{
a=-1
b=3 ，
∴y＝﹣x2+3x+4；
（2）当x＝0 时，y＝4，
∴C（0，4），
设直线BC 的解析式为y＝k1x+b1，
则{
4 k1+b1=0
b1= 4
，
解得{
k1=-1
b1= 4 ，
∴直线BC 的解析式为y＝﹣x+4，
∴M（m，﹣m+4），
∴MN＝﹣m+4，PM＝（﹣m2+3m+4）﹣（﹣m+4）＝﹣m2+4m，
∴S＝S1+S2
34
= 1
2 MN ⋅xN + 1
2 PM ( xP- xQ)
= 1
2 (-m+ 4)m+ 1
2 (-m
2+ 4 m)⋅3
2
=- 5
4 m
2+5m，
∵- 5
4 ＜0，
当m＝2 时，面积有最大值．
此时，﹣m2+3m+4＝6．
即P 点坐标为（2，6）；
（3）∵原抛物线沿射线BC 方向平移后经过点C，
∴相当于点C 与点B 是平移前后的对应点．
即把原抛物线向左平移4 个单位长度，再向上平移4 个单位长度，
则y ' =-( x + 5
2 )
2+ 41
4 ，
新抛物线y'的对称轴是x =- 5
2，点E(- 5
2 ，0)，
设点F(- 5
2 ，n)，
过点F 作FG⊥y 轴，垂足为G，
∴FG = 5
2，
∵FO 平分∠CFE，
∴∠EFO＝∠CFO，
∵EF∥y 轴，
∴∠EFO＝∠COF，
∴∠CFO＝∠COF，
∴CO＝FC＝4，
35
在△FGC 中，GC =√F C
2- F G
2=√4
2-( 5
2 )
2= √39
2
，
∴如图1，EF =OG =CO+CG = 4+ √39
2 ，
如图2，EF =OG =CO -CG = 4 - √39
2 ，
∴F1(- 5
2 ，4 + √39
2 )、F2(- 5
2 ，4 - √39
2 )．
【点评】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
19．（2026•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x 轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）点D 为抛物线在第二象限内的动点，求△ACD 面积的最大值．
（3）在第二象限内的抛物线上是否存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB？若存在，求点Q 的坐标；若不
存在，说明理由．
36
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【专题】代数综合题．
【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2；
（2）1；
（3）存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB，Q(- 6
7 ，104
49 )．
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；
（2）由题意易得C（0，2），连接OD，设D（t，﹣t2﹣t+2），﹣2＜t＜0，然后根据割补法得到
△ACD 的面积，进而根据二次函数的性质进行求解即可；
（3）过点O 作OE∥CQ，交AC 于点E，过点E 作EG⊥OC，取OA 的中点F，连接CF，过点F 作
FH⊥BC，过点O 作OP⊥AC，由题意易得 OA＝OC＝2，OB＝1，BC =√O B
2+OC
2=√5，∠ACO＝
45°，然后可得∠BCF＝2∠BCO＝∠ACQ＝∠OEC，进而根据三角函数及勾股定理可进行求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x 轴交于A（﹣2，0）、B（1，0）两点，
∴{
4 a-2b+2=0
a+b+2=0
，
解得：{
a=-1
b=-1，
∴抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2；
（2）由（1）可知：抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴令x＝0 时，则有y＝2，即C（0，2），
连接OD，设D（t，﹣t2﹣t+2），﹣2＜t＜0，
∵A（﹣2，0），C（0，2），
∴OA＝OC＝2，S△AOC = 1
2 OA ⋅OC =2，S△AOD= 1
2 OA ⋅y D=-t
2-t +2，S△COD= 1
2 OC ⋅| xD|=-t
37
，
∴S△ADC＝S△AOD+S△COD﹣S△AOC＝﹣t2﹣t+2﹣t﹣2＝﹣t2﹣2t＝﹣（t+1）2+1，
当t＝﹣1 时，△ACD 的面积最大，最大值为1；
（3）存在点Q，使得∠ACQ＝2∠OCB，理由如下：
∵A（﹣2，0），C（0，2），B（1，0），
∴OA＝OC＝2，OB＝1，
∴BC =√O B
2+OC
2=√5，∠ACO＝45°，
过点O 作OE∥CQ，交AC 于点E，过点E 作EG⊥OC，取OA 的中点F，连接CF，过点F 作
FH⊥BC，过点O 作OP⊥AC，如图所示：
∴OF = 1
2 OA =1=OB，∠ACQ＝∠OEC，OP =OC ⋅sin 45° =√2=CP，
∵OC⊥BF，
∴CF = BC =√5，
∴∠BCO＝∠FCO，
∴∠BCF＝2∠BCO＝∠ACQ＝∠OEC，
∵S△BCF = 1
2 BF ⋅OC = 1
2 BC ⋅FH，
∴FH = 2×2
√5 = 4√5
5
，
∴sin∠FCB = FH
FC = 4
5 ，
∴sin∠OEC = OP
OE = 4
5 ，
∴OE = 5√2
4
，
∴PE =√O E
2-O P
2= 3√2
4
，
∴CE =CP+ PE = 7√2
4
，
∴EG =CG =CE⋅sin 45° = 7
4 ，
∴OG =OC -CG = 1
4 ，
38
∴E(- 7
4 ，1
4 )，
设OE 的解析式为y＝kx，则有- 7
4 k = 1
4 ，
∴k =- 1
7 ，，
∴OE 的解析式为y =- 1
7 x，
∵OE∥CQ，
∴设直线CQ 的解析式为y =- 1
7 x +m，把点C（0，2）代入得：m＝2，
∴直线CQ 的解析式为y =- 1
7 x +2，
联立{
y =- 1
7 x +2
y =- x
2- x +2
，
解得：{
x =- 6
7
y = 104
49
或{
x =0
y =2（不符合题意，舍去），
∴Q(- 6
7 ，104
49 )．
【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数，三角形面积，二次函数的性质，三角函数及勾股定
理等，掌握其相关知识点是解题的关键．
20．（2026•甘孜州）如图1，抛物线y＝a（x+12）（x﹣6）（a≠0）与x 轴负半轴交于点A，与y 轴交于
B(0，6√3)．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将原点O，点B 关于抛物线对称轴对称的点分别记为点C，点D，连接CD，AD，作∠OAD 的平
分线交CD 于点E．
①求点E 的坐标；
②如图2，点F 为直线AD 左侧抛物线上一点，连接FE 并延长交x 轴于点G，连接DG 交抛物线于点
H，连接EH，当∠DEH＝∠DEF 时，求点H 的横坐标．
39
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【专题】代数几何综合题；推理能力．
【答案】（1）y =- √3
12 x
2- √3
2 x +6√3；
（2）①E(-6，2√3)；②3√5-3．
【分析】（1）直接将B(0，6√3)代入抛物线解析式，然后化成一般式即可；
（2）①由题意可得A（﹣12，0），对称轴为x＝﹣3，进而得到C（﹣6，0），D(-6，6√3)，即
OC＝6，AC＝6，CD =6√3，再利用角平分线的定义、特殊角的三角函数值、解直角三角形可得
CE =2√3，即可确定点E 的坐标；
②设H (h，- √3
12 h
2- √3
2 h+6√3)，G（g，0）（g＞﹣6），利用待定系数法分别求得直线EG 的解
析式为y =- 2√3
g+6 x + 2√3 g
g+6 、直线DH 的解析式为y =- √3
12 h x +6√3- √3
2 h，进而得到g= 72
h -6；延
长EF 到，使得EJ ＝EH ，连接HJ ，易得点H 和点J 关于CD 对称，即
J (-12-h，- √3
12 h
2- √3
2 h+6√3)，再解方程组{
- √3
12 h
2- √3
2 h+6√3=- 2√3
g+6 (-12-h)+ 2√3 g
g+6
g= 72
h -6
，
即可解答．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x+12）（x﹣6）（a≠0）与y 轴交于B(0，6√3)，
∴6√3=a(0+12)(0-6)，
解得a=- √3
12 ，
∴y =- √3
12 ( x +12)( x -6)=- √3
12 x
2- √3
2 x +6√3，
即y =- √3
12 x
2- √3
2 x +6√3；
（2）①∵抛物线y =- √3
12 x
2- √3
2 x +6√3与x 轴负半轴交于点A，
∴A（﹣12，0），对称轴为x =-
- √3
2
- √3
12 ×2
=-3，
原点O，点B 关于抛物线对称轴x＝﹣3 对称的点分别记为点C，点D，
∴C（﹣6，0），D(-6，6√3)，
∴OC＝6，AC＝﹣6﹣（﹣12）＝6，CD =6√3-0=6√3，
40
∴tan ∠OAD = CD
AC = 6√3
6
=√3，即∠OAD＝60°，
∵AE 平分∠OAD，
∴∠CAE = 1
2 ∠OAD =30°，
∵tan ∠CAE = CE
AC = tan30° = √3
3 ，
∴CE
6 = √3
3 ，
解得CE =2√3，
∴E(-6，2√3)；
②设H (h，- √3
12 h
2- √3
2 h+6√3)，G（g，0）（g＞﹣6），
设直线EG 的解析式为y＝kx+b，
则{
2√3=-6 k +b
0= gk +b
，
解得{
k =- 2√3
g+6
b= 2√3 g
g+6
，
∴直线EG 的解析式为y =- 2√3
g+6 x + 2√3 g
g+6 ，
设直线DH 的解析式为y＝mx+n，
则{
6√3=-6m+n
- √3
12 h
2- √3
2 h+6√3=hm+n，
解得{
m=- √3
12 h
n=6√3- √3
2 h
，
∴直线DH 的解析式为y=- √3
12 hx+6√3- √3
2 h，
∴G( 72
h -6，0)，
∴g= 72
h -6，
如图，延长EF 到，使得EJ＝EH，连接HJ，
41
∵∠DEH＝∠DEF，
∴ED⊥HJ，ED 是中线，
∴ED 是HJ 的垂直平分线，
∴点H 和点关于CD 对称，
∴J (-12-h，- √3
12 h
2- √3
2 h+6√3)，
∴{
- √3
12 h
2- √3
2 h+6√3=- 2√3
g+6 (-12-h)+ 2√3 g
g+6
g= 72
h -6
，
解得：{
h=3√5-3
g=6√5 或{
h=-3√5-3
g=-6√5 （不合题意舍去），
∴点H 的横坐标为3√5-3．
【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
42
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）的图象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是（- b
k ，0）；与
y 轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
3．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x 值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各
取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．
画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对
称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| b
2a|个单位，再向上
或向下平移|4 ac -b
2
4 a
|个单位得到的．
4．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（- b
2a，4 ac -b
2
4 a
），对称轴直线x=- b
2a，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0 时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜- b
2a时，y 随x 的增大而减小；x＞- b
2a时，
y 随x 的增大而增大；x=- b
2a时，y 取得最小值4 ac -b
2
4 a
，即顶点是抛物线的最低点．
43
②当a＜0 时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜- b
2a时，y 随x 的增大而增大；x＞- b
2a时，
y 随x 的增大而减小；x=- b
2a时，y 取得最大值4 ac -b
2
4 a
，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|- b
2a|个单位，再向上或
向下平移|4 ac -b
2
4 a
|个单位得到的．
5．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．
当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右侧．
（简称：左同右异）
③常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0，c）．
④抛物线与x 轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；△＝b2﹣
4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
6．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（- b
2a，4 ac -b
2
4 a
）．
①抛物线是关于对称轴x=- b
2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析式中的c 值．
③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x
= x1+ x2
2
．
7．二次函数的最值
（1）当a＞0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为
图象有最低点，所以函数有最小值，当x=- b
2a时，y= 4 ac -b
2
4 a
．
（2）当a＜0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x=- b
2a时，y= 4 ac -b
2
4 a
．
44
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，
从而获得最值．
8．抛物线与x 轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于
x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0 根之间的关系．
△＝b2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；
△＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；
△＝b2﹣4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c 是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x 轴
的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
9．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函
数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值
的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实
到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问
题．
10．二次函数综合题
（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题
解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的
符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．
（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用
将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函
数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的
一些隐含条件．
（3）二次函数在实际生活中的应用题
从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系
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下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题
有意义．
11．含30 度角的直角三角形
（1）含30 度角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常
用来求边的长度和角的度数．
（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角
三角形不能应用；
②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．
12．特殊角的三角函数值
（1）特指30°、45°、60°角的各种三角函数值．
sin30°= 1
2； cos30°= √3
2 ；tan30°= √3
3 ；
sin45°= √2
2 ；cos45°= √2
2 ；tan45°＝1；
sin60°= √3
2
；cos60°= 1
2； tan60°=√3；
（2）应用中要熟记特殊角的三角函数值，一是按值的变化规律去记，正弦逐渐增大，余弦逐渐减小，正
切逐渐增大；二是按特殊直角三角形中各边特殊值规律去记．
（3）特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角
三角形中应用较多．
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