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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 12 2026-2027 学年八年级上册数学单元自测 第十四章 全等三角形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C D D A A C B C 二、填空题（本大题共6 小题，每小题3 分，共18 分） 11．HL 12．2 13．27 14．8 15．8 16．7 3 、17 3 、8 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题，每题12 分； 共9 小题，共72 分） 17．(1)证明：∵CB AB ⊥ ，CD AD ⊥ ， ∴ 90 B D = = ， ∵在Rt ABC △ 和Rt ADC △ 中， AC AC BC DC = = ， ∴ ( ) Rt Rt HL ABC ADC ≌ △ △ ．..............3 分 （2）解：∵ ( ) Rt Rt HL ABC ADC ≌ △ △ ， ∴ 3 BC DC = = ， ∵ 90 B = ， ∴ Rt 1 1 4 3 6 2 2 ABC S AB BC = = = ， ∴ Rt Rt 6 ADC ABC S S = = ， ∴ 6 6 12 ABC ADC ABCD S S S = + = + = 四边形 ．.............6 分 18． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 12 【详解】（1）∵ , 2 EH DF AB DH = = ，则 2 DE EH DF DH = + = ∴AB DE = 在ABC 和DEF 中， 90 AB DE CAB FDE AC DF = = = = ， ∴ ( ) ABC DEF SAS ≌ ， ∴ 13m EF BC = = ，..............3 分 (2)解：BC EF ⊥ ． 理由：延长BC 交EF 于点M ， ∵ 90 EDF = ， ∴ 90 DFE DEF + = ， ∵ ( ) SAS ABC DEF ≌ ， ∴ B DEF = ， ∴ 90 B DFE + = ， ∴ 90 BMF = ， ∴EF BM ⊥ ．..............6 分 19． 【详解】(1) AC BD = ，理由如下： ∵ AOB COD = ， ∴ AOB COB COD COB + = + ，∴ AOC BOD = ， 在AOC 和BOD 中， OA OB AOC BOD OC OD = = = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 12 ∴ ( ) AOC BOD SAS ≌ ， ∴AC BD = ．..............3 分 （2）解：由（1）可得， ( ) AOC BOD SAS ≌ ， ∴ OAC OBD = ， 在AOQ 和BPQ 中， BQP AQO = ， OAQ QBP = ， ∴ 50 BPQ AOQ = = ∴ 180 180 50 130 APD BPQ = − = − = ．..............6 分 20． 【详解】（1）解：由题意得运动t 秒，点P 运动2 cm t ， 2 cm BP t = ， ( ) 20 2 cm PC BC BP t = − = − ；..............2 分 （2）解：四边形ABCD是长方形， 90 ABP DCP = = ，AB DC = ， 要使ABP DCP ≌ ，则有BP CP = ，即2 20 2 t t = − ，解得 5 t = ， 在ABP 和DCP 中， AB DC ABP DCP BP CP = = = ， 当 5 t = 时， ( ) ABP DCP SAS ≌ ；..............4 分 （3）解：分以下两种情况： ①当 12 AB PC = = 时，20 2 12 t − = ，解得 4 t = ， 8 BP = ， 12 PC = ， 要使ABP 与 PQC △ 全等，则有 8 BP CQ = = ， 2 CQ x t = = ， 在ABP 和PCQ 中， AB PC ABP PCQ BP CQ = = = ， 当 2 x = 时， ( ) SAS ABP PCQ ≌ ； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 12 ②当BP PC = 时，2 20 2 t t = − ，解得 5 t = ， 10 BP PC = = ， 要使ABP 与 PQC △ 全等，则有 12 AB CQ = = ， 2.4 CQ x t = = ， 在ABP 和QCP 中， AB QC ABP QCP BP CP = = = ， 当 2.4 x = 时， ( ) SAS ABP QCP ≌ ．..............6 分 21． 【详解】(1)证明：∵G 是AB 的中点， ∴AG BG = , 在AEG 和BFG 中， A B AG BG AGE BGF = = = ， ∴ ( ) ASA AEG BFG ≌ △ △ ；..............2 分 （2）解：在（1）的条件下，AG BG = ， ( ) ASA AEG BFG ≌ △ △ ， ∴ AEG BFG S S = ， ∵ED AG ⊥ ，FC BG ⊥ ， ∴ 1 1 2 2 AEG BFG S ED AG S CF BG = = = ， ∴DE CF = ， ∵ AGE BGF = ， 90 EDG FCG = = ， ∴ ( ) AAS EDG FCG ≌ ， ∴DG CG = ， ∵AD DE = ， 5 cm, 2 cm ED CG = = ， ∴ 5 cm, 2 cm AD DE DG CG = = = = ， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 5 2 14 cm AB AG AD DG = = + = + = ；..............5 分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 12 (3)若测量出 50m BC = ，则河流 50m AH = ，理由如下： ∵GC HG = ，GF EG = ， HGE CGF = ， ∴ ( ) SAS HGE CGF ≌ ， ∴ E F = ，HE CF = ， ∵ E F = ，GF EG = ， AGE BGF = ， ∴ ( ) ASA AGE BGF ≌ ， ∴AE BF = ， ∴AE HE BF CF − = − ， ∴BC AH = , ∴若测量出 50m BC = ，则河流 50m AH = ．..............8 分 22． 【详解】(1) 证明：如图，过点E 作EM BF ⊥ 于点M ，作EN AC ⊥ 于点N ， BE 平分 ABC ，EM BF ⊥ ，EH BD ⊥ ， EM EH = ， CE 平分 ACD ，EN AC ⊥ ，EH BD ⊥ ， EN EH = ， EM EN = ， 又点E 在 CAF 的内部， AE 平分 CAF ；..............3 分 （2）解： ACD 是ABC 的一个外角，BE为 ABC 的角平分线，CE 为 ACD 的角平分线， 1 2 EBC ABC = ， 1 2 ECD ACD = ， ECD EBC BEC = + ， ACD ABC BAC = + ， 1 ( ) 2 BEC ECD EBC ACD ABC = − = − ， BAC ACD ABC = − ， 1 1 30 15 2 2 BEC BAC = = = ．..............5 分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 12 （3）解：由（1）已得：EM EH EN = = ， 设EM EH EN x = = = ， 12 ABE S = △ ， 1 6 12 2 x = ， 4 x = ， 4 EM EH EN = = = ， 1 1 1 1 · · 5 4 8 4 26 2 2 2 2 ACD ACE ECD S S S AC EN CD EH = + = + = + = ．..............8 分 23． 【详解】(1)解：AD CF = ，理由如下： ∵ 90 A = ， ∴ 90 ADC ACD + = ； ∵CE CD ⊥ ， ∴ 90 DCE = ， ∴ 90 ACD FCE + = ∠ ∠ ， ∴ ADC FCE = ； ∵EF AC ⊥ ， ∴ 90 EFC A = = ， 又∵CE CD = ， ∴ ( ) AAS ADC FCE ≌ △ △ ， ∴AD CF = ；..............2 分 （2）解：①由（1）得ADC FCE ≌ ， 2 CF AD = = ， ∴FE AC = ； ∵ 6 AC AB = = ， ∴ 4 AF AC CF = − = ，FE AB = ， ∵EF AC ⊥ ， ∴ 90 EFM A = = ， 又∵ AMB FME = ∠ ∠ ， ∴ ( ) AAS AMB FME ≌ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 12 ∴ 1 2 2 AM FM AF = = = ；..............4 分 ②由（2）①得 2 AM AD = = ， 又∵ , A A AB AC = = ∠ ∠ ， ∴ ( ) SAS ABM ACD ≌ ， ∴ ABM ACD S S = △ △ ， ∴ ABM ACD ADNM ADNM S S S S − = − △ △ 四边形 四边形 ， ∴ BDN CMN S S = △ △ ， ∴ 1 2 S S − ( ) ( ) 1 2 CMN BDN S S S S = + − + BCM ABM S S = − △ △ ( ) 1 1 6 6 2 6 2 2 2 = − − 6 = ；..............6 分 (3)解：点M 是线段BE的中点，理由如下： ∵ 90 BAC = ， ∴ 180 90 CAD BAC = − = ， ∴ 90 ADC ACD + = ∵CE CD ⊥ ， ∴ 90 DCE = ， ∴ 90 ACD FCE + = ∠ ∠ ， ∴ ADC FCE = ， ∵EF AC ⊥ ， ∴ 90 EFC A = = ， 又∵CE CD = ， ∴ ( ) AAS ADC FCE ≌ △ △ ， ∴EF AC = ， 又∵AC AB = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 12 ∴AB EF = ， 又∵ 90 , BAM EFM AMB FME = = = ∠ ∠ ∠ ∠ ， ∴ ( ) AAS AMB FME △ ≌△ ， ∴BM EM = ， ∴点M 是线段BE的中点．..............8 分 24． 【详解】（1）解：延长FD到点G ，使DG BE = ．再连接AG ，如图1， ∵ 90 B ADC = = ， ∴ 90 ADG B = = ， ∵AB AD = ， ∴ ( ) ABE ADG SAS ≌ ， ∴ , BAE DAG AE AG = = ， ∵EF BE FD DG FD GF = + = + = ，AF AF = ， ∴ ( ) AEF AGF SSS ≌ ， ∴ EAF GAF DAG DAF BAE DAF = = + = + ；.............4 分 (2)仍然成立，理由如下： 延长FD到点H ，使得DH BE = ，如图所示： ∵ 180 B ADC + = ， 180 ADH ADC + = ， ∴ B ADH = ， ∵AB AD = ， ∴ ( ) ABE ADH SAS ≌ ， ∴ , BAE DAH AE AH = = ， ∵EF BE FD DH FD HF = + = + = ，AF AF = ， ∴ ( ) SSS AEF AHF ≌ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 12 ∴ EAF HAF DAH DAF BAE DAF = = + = + ；..............8 分 （3）解：在DC 的延长线上取一点G ，使得DG BE = ，连接AG ，如图所示： ∵ 180 ABC ADC + = ， 180 ABC ABE + = ， ∴ ADC ABE = ， ∵AB AD = ， ∴ ( ) SAS ADG ABE ≌ ， ∴AG AE = ， DAG BAE = ， ∵EF BE FD DG FD GF = + = + = ，AF AF = ， ∴ ( ) AEF AGF SSS ≌ ， ∴ FAE FAG = ， ∵ 360 FAE FAG GAE + + = ， ∴ ( ) 2 360 FAE GAB BAE + + = ， ∴ ( ) 2 360 FAE GAB DAG + + = ，即2 360 FAE DAB + = ， ∴ 1 180 2 FAE DAB = − ， ∵ 180 ABC ADC + = ， 360 ABC ADC DAB BCD + + + = ， 62 C = ， ∴ 180 118 DAB C = − = ， ∴ 1 180 118 121 2 FAE = − = ．..............12 分 25． 【详解】(1)方法①∶证明：如图，延长FE至点G ，使GE FE = ，连接CG ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 在 DFE △ 和CGE 中， DE CE DEF CEG EF EG = = = ， ( ) SAS DFE CGE ≌ ， DF CG = ， DFE G = ， DF AC = ， CG AC = ， CAG G = ， DF AB ∥ ， BAE DFE = ， BAE CAG = ， AE 平分 BAC ； 方法②：证明：如图，延长AE 至点G ，使GE AE = ，连接DG ， 在 ACE △ 和 GDE △ 中， AE GE AEC GED CE DE = = = ， ( ) SAS ACE GDE ≌ ， AC DG = ， CAE G = ， DF AC = ， DG DF = ， DFG G = ， DF AB ∥ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / DFG BAE = ， BAE CAE = ， AE 平分 BAC ；..............4 分 (2)如图，延长AD至点G ，使GD AD = ，连接BG ， AD 是BC 边上的中线， BD CD = ， 在ACD 和GBD 中， CD BD ADC GDB AD GD = = = ， ( ) SAS ACD GBD ≌ ， BG AC = ， ACD GBD = ， ∴BG AC ∥ ， ∴ 180 ABG BAC + = ， AC AF = ， BG AF = ， 90 BAE CAF = = ， 360 180 EAF BAE CAF BAC BAC = − − − = − ， 180 ABG ABC GBD ABC ACD BAC = + = + = − ， EAF ABG = ， 在AEF 和 BAG △ 中， AE AB EAF ABG AF BG = = = ， ( ) SAS AEF BAG ≌ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / ∴ AEF BAG = ， 设AD与EF 交于点H， ∵ 90 BAE = ， ∴ 90 BAG EAH + = ， 又∵ AEF BAG = ， ∴ 90 AEF EAH + = ， ∴ 90 AHE = ， 即 ⊥ AD EF ．..............8 分 (3) ABC 与AEF 面积相等，理由如下； 由（2）可知ACD GBD ≌ ， ∴ ACD GBD S S = ， ∵ ABC ABD ACD S S S = + ， ABG ABD GBD S S S = + ， ∴ ABC ABG S S = △ △ ， 由（2）可知AEF BAG ≌ ， ∴ AEF ABG S S = ， ∴ AEF ABC S S = ．..............12 分
