文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次根式
一．选择题（共5 小题）
1．（2026•河北）计算：√30×√
1
6 =（ ）
A．√5
B．5
C．5√6
D．6√5
2．（2026•深圳）下列运算正确的是（ ）
A．（ab）4＝a4b4
B．a3•a4＝a12
C．（a+b）2＝a2+b2
D．√(-2)
2=-2
3．（2026•内江）下列实数中，能使函数y =√3- x有意义的x 的值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
4．（2026•云南）若√x -10在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为（ ）
A．x＞4
B．x≠3
C．x＜3
D．x≥10
5．（2026•台湾）若√504的最简根式为a√b，则a+b 之值为何？（ ）
A．13
B．19
C．20
D．50
二．填空题（共12 小题）
6．（2026•眉山）若√x -2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．
7．（2026•新疆）若√x -1在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为 ．
8．（2026•烟台）若
x
√2 x -1在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．
9．（2026•巴中）代数式
1
√x -3有意义时，x 的取值范围是 ．
10．（2026•南京）计算：(√8-√
9
2 )×√2= ．
11．（2026•巴中）(√5+1)(√5-1)= ．
12．（2026•广元）已知x=√7 -2，则x2+4x﹣5 的值为 ．
13．（2026•广西）计算：(√6)
2= ．
14．（2026•山西）比较大小：(√6)
2 6（填“＞”“＜”或“＝”）．
15．（2026•天津）计算(√10+√3)(√10-√3)的结果为 ．
16．（2026•甘肃）若代数式√x +1
x
在实数范围内有意义，则实数x 的值可以是 ．（请
写出一个符合条件的值即可）
17．（2026•苏州）若√x -3有意义，则x 的取值范围是 ．
三．解答题（共4 小题）
2
18．（2026•陕西）计算：(-3)
2+( 1
4 )
0
-√2×√8．
19．（2026•上海）计算：(- 1
4 )
0
+|√3-1|-√48+
4
√3-1
．
20．（2026•福建）阅读下列材料，回答问题．
主题
探究形如（√2a+b）2的数的整数部分与小
数部分的特征
提出问题
学过“二次根式”，我们知道许多二次根
式√p为无理数，且均可表示为整数部分与
小数部分的和，即√p=m+n，其中m 为整
数，0 ＜n ＜1 ．如√2=1+ （√2-1 ），1
-√5=-2+ （3-√5）．那么形如（√2
a+b）2 的数，其整数部分m 与小数部分n
各有什么特征呢？
探究发现
小华对此展开研究，其探究过程如下：
（1）（√2-1）2＝0+（3﹣2√2）；
（2 ）（√2+1 ）2＝3+2√2=①
+（2√2-2）；
（3）（2√2-2）2＝0+（12﹣8√2）；
（4 ）（2√2+2 ）2 ＝12+8√2=23+②
；
（5）（3√2-4）2＝0+（34﹣24√2）；
（6 ）（3√2+4 ）2 ＝34+24√2=67+ （24
√2-33）．
据此，小华提出并证明了以下命题．
命题：若整数a，b 满足0＜√2a﹣b＜1，
且（√2a+b）2 的整数部分为m，小数部分
为n，则m 必为奇数，且（√2a﹣b）2＝1
﹣n．
命题证明
证明：因为（√2a+b）2＝2a2+2√2ab+b2，
（√2a﹣b）2＝2a2﹣2√2ab+b2，
所以（√2a+b）2+（√2a﹣b）2＝4a2+2b2，
即（√2a+b）2＝4a2+2b2﹣（√2a﹣b）2．
又因为（√2a+b）2＝m+n，且0＜n＜1，
所以4a2+2b2﹣（√2a﹣b）2＝m+n．
又根据0＜√2a﹣b＜1，可得0＜（√2a﹣
b）2＜1．
因此，m＝③ ，n＝④
．
又因为a，b 均为整数，所以4a2+2b2 为偶
数，
故m 必为奇数，且（√2a﹣b）2＝1﹣n．
拓展延伸
问题1 若整数a，b 满足1＜√2a﹣b＜√2
，那么（√2a+b）2的整数部分m 是否仍为
3
奇数？证明你的结论；
问题2 若整数a ，b 满足√k ＜√2a﹣b
＜√k +1，其中k 为整数，且k≥2，试探
究：（√2a+b）2的整数部分m 是奇数还是
偶数？直接写出结论，不必证明．
（1）补全①②③④所缺的内容；
（2）解决问题1；
（3）解决问题2．
21．（2026•甘肃）计算：√14×√
4
7 +√18．
4
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次根式
参考答案与试题解析
一．选择题（共5 小题）
题号
1
2
3
4
5
答案
A
A
D
D
C
一．选择题（共5 小题）
1．（2026•河北）计算：√30×√
1
6 =（ ）
A．√5
B．5
C．5√6
D．6√5
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】利用二次根式的乘法法则计算即可．
【解答】解：原式=√30× 1
6 =√5，
故选：A．
【点评】本题考查二次根式的乘除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2．（2026•深圳）下列运算正确的是（ ）
A．（ab）4＝a4b4
B．a3•a4＝a12
C．（a+b）2＝a2+b2
D．√(-2)
2=-2
【考点】二次根式的性质与化简；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】A
【分析】根据二次根式的性质、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式逐项分析判断
即可．
【解答】解：根据二次根式的性质、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式逐项分析
判断如下：
选项A：根据积的乘方法则，可得（ab）4＝a4b4，A 运算正确；
选项B：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，∵a3•a4＝a3+4＝a7≠a12，
∴B 运算错误；
选项C：根据完全平方公式，∵（a+b）2＝a2+2ab+b2≠a2+b2，
∴C 运算错误；
选项D：根据二次根式性质√a
2=|a|，∵√(-2)
2=|-2|=2≠-2，
5
∴D 运算错误．
故选：A．
【点评】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键．
3．（2026•内江）下列实数中，能使函数y =√3- x有意义的x 的值是（ ）
A．8
B．6
C．4
D．2
【考点】二次根式有意义的条件；函数值．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出x 的范围，进而得到答案．
【解答】解：由题意得：3﹣x≥0，
解得：x≤3，
则四个数中，2 符合题意，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4．（2026•云南）若√x -10在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为（ ）
A．x＞4
B．x≠3
C．x＜3
D．x≥10
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】D
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
【解答】解：由题意得：x﹣10≥0，
解得：x≥10，
故选：D．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．
5．（2026•台湾）若√504的最简根式为a√b，则a+b 之值为何？（ ）
A．13
B．19
C．20
D．50
【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】C
【分析】先对√504进行化简，进而得出a、b 的值，再代入即可．
【解答】解：√504 =6√14，
∵√504的最简根式为a√b，
∴a＝6，b＝14，
∴a+b＝6+14＝20．
故选：C．
【点评】本题主要考查最简二次根式，理解题意是解题的关键．
6
二．填空题（共12 小题）
6．（2026•眉山）若√x -2在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 x ≥
2
．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥2
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x 的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．
7．（2026•新疆）若√x -1在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围为 x ≥
1
．
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【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥1
【分析】根据二次根式有意义的条件即可解得．
【解答】解：由题意可得√x -1≥0，
∴x﹣1≥0，
∴x≥1，
故答案为：x≥1．
【点评】此题考查了二次根式的意义，解题的关键是列出不等式求解．
8．（2026•烟台）若
x
√2 x -1在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 x＞1
2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式．
【答案】x＞1
2．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0 列式计算即可得解．
【解答】解：根据意义可知：2x﹣1≥0，且√2 x -1≠0，
解得x ≥1
2且x≠1
2，
∴x＞1
2，
故答案为：x＞1
2．
【点评】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握其相关知识点是解题的关键．
9．（2026•巴中）代数式
1
√x -3有意义时，x 的取值范围是x ＞
3
．
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．菁优网版权所有
7
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】x＞3．
【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，列出不等式求解即可．
【解答】解：要使代数式
1
√x -3有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根
据二次根式的定义，被开方数需大于等于0，可得 x﹣3≥0．
根据分式的定义，分母不能为0，可得√x -3≠0，
即x﹣3≠0，
联立两个条件可得 x﹣3＞0，
解不等式得x＞3．
故答案为：x＞3．
【点评】此题主要考查了二次根式和分式有意义，关键是掌握二次根式中的被开方数必须是非负数，
分式有意义的条件是分母不等于零．
10．（2026•南京）计算：(√8-√
9
2 )×√2=
1
．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】1．
【分析】利用乘法分配律进行计算，即可解答．
【解答】解：原式=√8×√2-√
9
2 ×√2
=√16-√9
＝4﹣3
＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2026•巴中）(√5+1)(√5-1)=
4
．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】4．
【分析】利用平方差公式计算即可．
【解答】解：原式＝5﹣1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
12．（2026•广元）已知x=√7 -2，则x2+4x﹣5 的值为 ﹣
2
．
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【专题】二次根式；运算能力．
8
【答案】﹣2．
【分析】把x 的值代入代数式进行计算即可．
【解答】解：∵x=√7-2，
∴x2+4x﹣5
＝x2+4x+4﹣9
＝（x+2）2﹣9
＝（√7-2+2）2﹣9
＝7﹣9
＝﹣2．
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
13．（2026•广西）计算：(√6)
2=
6
．
【考点】二次根式的乘除法；二次根式的性质与化简．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据（√a）2＝a（a≥0）计算即可．
【解答】解：（√6）2＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质是解题的关键．
14．（2026•山西）比较大小：(√6)
2 ＝ 6（填“＞”“＜”或“＝”）．
【考点】二次根式的性质与化简；实数大小比较．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】＝．
【分析】根据二次根式的性质进行计算，然后判断即可．
【解答】解：(√6)=6，
故答案为：＝．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握二次根式的性质．
15．（2026•天津）计算(√10+√3)(√10-√3)的结果为
7
．
【考点】二次根式的混合运算；平方差公式．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】7
【分析】利用平方差公式进行计算即可．
【解答】解：原式＝（√10）2﹣（√3）2
＝10﹣3
9
＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查的是二次根式的混合运算及平方差公式，熟记平方差公式是解题的关键．
16．（2026•甘肃）若代数式√x +1
x
在实数范围内有意义，则实数x 的值可以是
2 （答案不唯一）
．
（请写出一个符合条件的值即可）
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】分式；二次根式；运算能力．
【答案】2（答案不唯一）．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件确定x 的取值范围，然后写出一个符合题意的x 的值即可．
【解答】解：若代数式√x +1
x
在实数范围内有意义，
则x+1≥0 且x≠0，
解得：x≥﹣1 且x≠0，
那么x 可以是2，
故答案为：2（答案不唯一）．
【点评】本题考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握其有意义的条件是解题的关键．
17．（2026•苏州）若√x -3有意义，则x 的取值范围是x ≥
3
．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】x≥3．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x 的一元一次不等式，求解即可
得到x 的取值范围．
【解答】解：根据题意可知，x﹣3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是关键．
三．解答题（共4 小题）
18．（2026•陕西）计算：(-3)
2+( 1
4 )
0
-√2×√8．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂．菁优网版权所有
【专题】整式；二次根式；运算能力．
【答案】6．
【分析】根据二次根式的混合运算、零指数幂法则进行解题即可．
【解答】解：原式＝9+1-√16
＝10﹣4
＝6．
10
【点评】本题考查二次根式的混合运算、零指数幂，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
19．（2026•上海）计算：(- 1
4 )
0
+|√3-1|-√48+
4
√3-1
．
【考点】二次根式的混合运算；零指数幂；分母有理化．菁优网版权所有
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】2-√3．
【分析】先根据零指数幂、绝对值、算术平方根、分母有理化的运算法则计算，再合并即可．
【解答】解：(- 1
4 )
0
+|√3-1|-√48+
4
√3-1
＝1+√3-1- 4√3+
4×(√3+1)
(√3-1)×(√3+1)
＝1+√3-1- 4√3+ 4×(√3+1)
3-1
=1+√3-1- 4√3+ 4×(√3+1)
2
=1+√3-1- 4√3+2×(√3+1)
=1+√3-1- 4√3+2√3+2
=2-√3．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．（2026•福建）阅读下列材料，回答问题．
主题
探究形如（√2a+b）2的数的整数部分与小
数部分的特征
提出问题
学过“二次根式”，我们知道许多二次根
式√p为无理数，且均可表示为整数部分与
小数部分的和，即√p=m+n，其中m 为整
数，0 ＜n ＜1 ．如√2=1+ （√2-1 ），1
-√5=-2+ （3-√5）．那么形如（√2
a+b）2 的数，其整数部分m 与小数部分n
各有什么特征呢？
探究发现
小华对此展开研究，其探究过程如下：
（1）（√2-1）2＝0+（3﹣2√2）；
（2）（√2+1）2＝3+2√2=①
5
+（2
√2-2）；
（3）（2√2-2）2＝0+（12﹣8√2）；
（4）（2√2+2）2＝12+8√2=23+② （
8
√2-11
）
；
（5）（3√2-4）2＝0+（34﹣24√2）；
（6 ）（3√2+4 ）2 ＝34+24√2=67+ （24
√2-33）．
据此，小华提出并证明了以下命题．
11
命题：若整数a，b 满足0＜√2a﹣b＜1，
且（√2a+b）2 的整数部分为m，小数部分
为n，则m 必为奇数，且（√2a﹣b）2＝1
﹣n．
命题证明
证明：因为（√2a+b）2＝2a2+2√2ab+b2，
（√2a﹣b）2＝2a2﹣2√2ab+b2，
所以（√2a+b）2+（√2a﹣b）2＝4a2+2b2，
即（√2a+b）2＝4a2+2b2﹣（√2a﹣b）2．
又因为（√2a+b）2＝m+n，且0＜n＜1，
所以4a2+2b2﹣（√2a﹣b）2＝m+n．
又根据0＜√2a﹣b＜1，可得0＜（√2a﹣
b）2＜1．
因此，m＝③
4 a 2 +2
b 2 ﹣
1
，n＝④
1
﹣（√2a ﹣
b ）
2 ．
又因为a，b 均为整数，所以4a2+2b2 为偶
数，
故m 必为奇数，且（√2a﹣b）2＝1﹣n．
拓展延伸
问题1 若整数a，b 满足1＜√2a﹣b＜√2
，那么（√2a+b）2的整数部分m 是否仍为
奇数？证明你的结论；
问题2 若整数a ，b 满足√k ＜√2a﹣b
＜√k +1，其中k 为整数，且k≥2，试探
究：（√2a+b）2的整数部分m 是奇数还是
偶数？直接写出结论，不必证明．
（1）补全①②③④所缺的内容；
（2）解决问题1；
（3）解决问题2．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）①5；②（8√2-11）；③4a2+2b2﹣1；④1﹣（√2a﹣b）2；
（2）m 不是奇数，证明如下：
∵(√2a+b)
2=2a
2+2√2ab+b
2，(√2a-b)
2=2a
2-2√2ab+b
2，
∴(√2a+b)
2+(√2a-b)
2= 4 a
2+2b
2，
即(√2a+b)
2= 4 a
2+2b
2-(√2a-b)
2，
∵(√2a+b)
2=m+n，且0＜n＜1，
∴4 a
2+2b
2-(√2a-b)
2=m+n，
∵1＜√2a-b＜√2，
12
∴1＜(√2a-b)
2＜2，
∴m+n= 4 a
2+2b
2-2+2-(√2a-b)
2，
故m＝4a2+2b2﹣2，
∵a，b 均为整数，
∴4a2+2b2﹣2 为偶数，
故m 不是奇数；
（3）由（2）得4 a
2+2b
2-(√2a-b)
2=m+n，
∵√k ＜√2a﹣b＜√k +1，
∴k＜（√2a﹣b）2＜k+1，
∴m+n＝4a2+2b2﹣（k+1）+k+1﹣（√2a﹣b）2，
故m＝4a2+2b2﹣（k+1），
∵a，b 均为整数，k 为整数，且k≥2，，
∴当k 为偶数，且k≥2 时，m 为奇数；
当k 为奇数，且k≥2 时，m 为偶数．
【分析】（1）根据题意求解即可；
（2 ）先求得即(√2a+b)
2= 4 a
2+2b
2-(√2a-b)
2，根据(√2a+b)
2=m+n，且0 ＜n ＜1 ，得到
4 a
2+2b
2-(√2a-b)
2=m+n，由1＜√2a-b＜√2得到1＜(√2a-b)
2＜2，则n＝2﹣（√2a﹣b）
2，进而求得m 并判断即可；
（3）由（2）知4 a
2+2b
2-(√2a-b)
2=m+n，根据√k ＜√2a﹣b＜√k +1得到k＜（√2a﹣b）2＜
k+1，进而得到n＝k+1﹣（√2a﹣b）2，推出m 后进行判定即可．
【解答】解：（1）（√2+1）2＝3+2√2=5+（2√2-2），
（2√2+2）2＝12+8√2=23+（8√2-11），
所以4a2+2b2﹣（√2a﹣b）2＝m+n，
又根据0＜√2a﹣b＜1，可得0＜（√2a﹣b）2＜1，
则m＝4a2+2b2﹣1，n＝1﹣（√2a﹣b）2，
故答案为：①5；②（8√2-11）；③4a2+2b2﹣1；④1﹣（√2a﹣b）2；
（2）m 不是奇数，证明如下：
∵(√2a+b)
2=2a
2+2√2ab+b
2，(√2a-b)
2=2a
2-2√2ab+b
2，
∴(√2a+b)
2+(√2a-b)
2= 4 a
2+2b
2，
13
即(√2a+b)
2= 4 a
2+2b
2-(√2a-b)
2，
∵(√2a+b)
2=m+n，且0＜n＜1，
∴4 a
2+2b
2-(√2a-b)
2=m+n，
∵1＜√2a-b＜√2，
∴1＜(√2a-b)
2＜2，
∴m+n= 4 a
2+2b
2-2+2-(√2a-b)
2，
故m＝4a2+2b2﹣2，
∵a，b 均为整数，
∴4a2+2b2﹣2 为偶数，
故m 不是奇数；
（3）由（2）得4 a
2+2b
2-(√2a-b)
2=m+n，
∵√k ＜√2a﹣b＜√k +1，
∴k＜（√2a﹣b）2＜k+1，
∴m+n＝4a2+2b2﹣（k+1）+k+1﹣（√2a﹣b）2，
故m＝4a2+2b2﹣（k+1），
∵a，b 均为整数，k 为整数，且k≥2，，
∴当k 为偶数，且k≥2 时，m 为奇数；
当k 为奇数，且k≥2 时，m 为偶数．
【点评】本题考查二次根式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键．
21．（2026•甘肃）计算：√14×√
4
7 +√18．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【专题】计算题；运算能力．
【答案】5√2．
【分析】先算乘法，再算加法即可．
【解答】解：原式＝2√2+3√2
＝5√2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
14
考点卡片
1．实数大小比较
实数大小比较
（1）任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个
负实数比大小，绝对值大的反而小．
（2）利用数轴也可以比较任意两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的总比左边的大，在
原点左侧，绝对值大的反而小．
2．同底数幂的乘法
（1）同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
am•an＝am+n（m，n 是正整数）
（2）推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p 都是正整数）
在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如23 与25，（a2b2）3 与（a2b2）4，（x﹣
y）2与（x﹣y）3等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相乘时才是底数不变，
指数相加．
（3）概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在运用时要抓
住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变形为同底数幂．
3．幂的乘方与积的乘方
（1）幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
（am）n＝amn（m，n 是正整数）
注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘，
这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别．
（2）积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
（ab）n＝anbn（n 是正整数）
注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义，
计算出最后的结果．
4．完全平方公式
（1）完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．
可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
（2）完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式，其中首末两
项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的2 倍；其符号与左边的运算符号相同．
（3）应用完全平方公式时，要注意：①公式中的a，b 可是单项式，也可以是多项式；②对形如两数和
（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完
全平方公式．
5．平方差公式
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（1）平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．
（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
（2）应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：
①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；
②右边是相同项的平方减去相反项的平方；
③公式中的a 和b 可以是具体数，也可以是单项式或多项式；
④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简
便．
6．分式有意义的条件
（1）分式有意义的条件是分母不等于零．
（2）分式无意义的条件是分母等于零．
（3）分式的值为正数的条件是分子、分母同号．
（4）分式的值为负数的条件是分子、分母异号．
7．零指数幂
零指数幂：a0＝1（a≠0）
由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）
注意：00≠1．
8．二次根式有意义的条件
判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
（3）二次根式具有非负性．√a（a≥0）是一个非负数．
学习要求：
能根据二次根式中的被开方数是非负数来确定二次根式被开方数中字母的取值范围，并能利用二次根式
的非负性解决相关问题．
【规律方法】二次根式有无意义的条件
1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是
非负数．
2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．
9．二次根式的性质与化简
（1）二次根式的基本性质：
①√ a≥0； a≥0（双重非负性）．
②（√ a）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．
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③√ a
2=|a|={
a (a＞0)
0 (a=0)
-a (a＜0)
（算术平方根的意义）
（2）二次根式的化简：
①利用二次根式的基本性质进行化简；
②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
√ab=√a•√b（a≥0，b≥0）√a
√b =√
a
b（a≥0，b＞0）
（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能
开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指
数都小于根指数2．
【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法
1．常见题型：与分式的化简求值相结合．
2．解题方法：
（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．
（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．
（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．
10．最简二次根式
最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化
为平方数或平方式的因数或因式．
如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2、3、a（a≥0）、x+y 等；
含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、a2、（x+y）2、x2+2xy+y2 等．
11．二次根式的乘除法
（1）积的算术平方根性质：√a⋅b=√a•√b（a≥0，b≥0）
（2）二次根式的乘法法则：√a•√b=√a⋅b（a≥0，b≥0）
（3）商的算术平方根的性质：√
a
b = √a
√b
（a≥0，b＞0）
（4）二次根式的除法法则：√a
√b =√
a
b（a≥0，b＞0）
规律方法总结：
17
在使用性质√a•√b=√a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0 的条件限制，如果a＜0，b＜0，使
用该性质会使二次根式无意义，如（√- 4）×（√-9）≠﹣4×﹣9；同样的在使用二次根式的乘法法则，
商的算术平方根和二次根式的除法运算也是如此．
12．分母有理化
（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．
分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．
例如：①1
√a =
√a
√a⋅√a = √a
a ；②
1
√a+√b =
√a-√b
(√a+√b)(√a-√b) = √a-√b
a-b
．
（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．
一个二次根式的有理化因式不止一个．
例如：√2-√3的有理化因式可以是√2+√3，也可以是a（√2+√3），这里的a 可以是任意有理数．
13．二次根式的混合运算
（1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运
算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，
往往能事半功倍．
14．二次根式的化简求值
二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．
二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互
相干扰．
15．函数值
函数值是指自变量在取值范围内取某个值时，函数与之对应唯一确定的值．
注意：①当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，给出函数值时，求相
应的自变量的值就是解方程；
②当自变量确定时，函数值是唯一确定的．但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个．
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