文档文本内容
1
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（一）
一．选择题（共20 小题）
1．（2026•成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的自变量x 与函数y 的几组对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
…
y
…
3
4
3
0
﹣12
…
下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1
C．2a+c＝0
D．b2﹣4ac＞0
2．（2026•内蒙古）二次函数y＝x2﹣9 的图象与x 轴交于A，B 两点，则线段AB 的长是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．18
3．（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可
以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y
（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是
（ ）
A．9cm
B．30cm
C．90cm
D．360cm
4．（2026•巴中）关于二次函数y= 1
4 x
2-x，下列说法正确的个数是（ ）
①它的图象经过第一、二、三象限；
②当x＞3 时，y 随x 的增大而增大；
③它的图象可由y= 1
4 x
2向右平移2 个单位，再向下平移1 个单位得到；
④直线y＝kx+1（k 为常数）与它的图象一定有两个交点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
5．（2026•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，5），与x 轴交于A
（m，0），B 两点，其中2＜m＜3．则下列结论：
①b
ac ＜0；
②b+4a＝0；
2
③a﹣b+3c＞0；
④- 5
16 ＜a＜- 1
5；
⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k 为常数）有实数根．
其中正确的个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
6．（2026•广元）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当a≤x≤a+2 时，y 的最小值为t，则下列t 与a 的函数关
系图象正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2026•甘孜州）对于抛物线y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴为直线x＝5
C．顶点坐标为（5，4）
D．当x＞5 时，y 随x 的增大而减小
8．（2026•齐齐哈尔）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的部分图象，其顶
点坐标为（1，n），与y 轴交于点A，与x 轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：
①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t＜3
2）都在抛物
线y＝ax2+bx+c 上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x 的方程ax2+（b+1）x＝0 的两根之和为c．其中
3
正确结论的个数是（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
9．（2026•内江）如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象经过点A（1，0）、B（5，0），下列说法正确的
是（ ）
A．c＞0
B．4a﹣2b+c＜0
C．b2﹣4ac＜0
D．图象的对称轴是直线x＝2
10．（2026•宜宾）点P 是抛物线y＝﹣x2+2（a﹣1）x﹣（a2﹣1）的顶点，点A（﹣1，m）、B（t，m）
在抛物线上（其中t＞﹣1）．下列结论：
①当点P 在x 轴上时，a＝1；②点P 在直线y＝2x 上；③m+2t＜1；④当点P 所在直线与线段AB 没
有交点时，a 的取值范围是a＞2；⑤当点P 在原点时，过点C(0，- 1
4 )的直线与抛物线交于M、N 两
点，则1
CM + 1
CN = 4．
其中正确的结论有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
11．（2026•福建）已知抛物线y＝x2﹣2nx 经过点A（3，a），B（5，b）．若a＜b，且ab＜0，则n 的取
值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
12．（2026•天津）矩形ABCD 中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿边AD、
边DC 向终点C 运动；动点Q 从点A 同时出发，以1cm/s 的速度沿边AB、边BC 向终点C 运动．设运
动的时间为ts．当t＝3s 时，点P，Q 的位置如图所示．给出下面三个结论：
4
①当t＝6s 时，四边形APCQ 是平行四边形；
②△APQ 的最大面积为35
2 cm2；
③当△APQ 的面积为10cm2时，t＝2√5s 或t＝10s．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
13．（2026•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（
）
A．abc＞0
B．b+4a＝0
C．5a+c＞0
D．当x＜﹣5 或x＞1 时，y＞0
14．（2026•眉山）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y 轴的
交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②2
3 ≤a≤1；③对于任
意实数m，a+b≤m（am+b）总成立；④关于x 的方程ax2+bx+c＝n﹣1 有两个不相等的实数根．其中
正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
15．（2026•乐山）已知二次函数y＝x2+bx+c，有下列结论：
5
①二次函数图象与y 轴的交点坐标是（0，c）；
②二次函数的顶点坐标是( b
2 ，c - b
2
4 )；
③若二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，则b＞﹣2；
④当1≤x≤2 时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m﹣n 的值与c 无关．
其中，正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
16．（2026•江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3 的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0 在0，1 之间有根．
取0，1 的平均数0.5，当x＝0.5 时，y＜0，进一步可知这个根在0.5 和1 之间，则与方程x2+3x﹣3＝0
另一根更接近的是（ ）
A．﹣4.5
B．﹣4
C．﹣3.5
D．﹣3
17．（2026•山东）如图，点P 是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点．下列结论正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．- 3
4 ＜a＜- 1
2
C．对任意实数t，at2+bt＜4a+2b 总成立
D．若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）在抛物线上，则y1＜y2
18．（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的部分图象与x 轴交于点A（1，0），与y 轴的交点C 位
于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝
0；③﹣1＜a＜- 2
3；④设抛物线与x 轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a=- √2
2 ．其中正确的是
（ ）
6
A．②③④
B．②③
C．②④
D．①③④
19．（2026•南充）已知抛物线C1：y1＝mx2与C2：y2＝（m+2）x2，过原点O 的直线l 与抛物线C1，C2的
另一个交点分别为A1，A2，如果OA2＝3OA1，则m 的值为（ ）
A．﹣3 或- 3
2
B．﹣3 或1
C．- 1
2或- 3
2
D．- 1
2或1
20．（2026•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且a≠0）与x 轴的两个交点坐标分别为
（﹣1，0）、（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③﹣4a＜y 最小值＜- 9a
4 ；
④若方程ax2+bx+c+ 1
2 =0 有实数根，则b2﹣4ac＞a．其中正确结论的序号为（ ）
A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④
7
2026 年中考数学真题知识点分类汇编之二次函数（一）
参考答案与试题解析
一．选择题（共20 小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
B
C
C
B
A
B
B
B
B
C
题号
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
D
D
B
B
B
B
A
A
D
一．选择题（共20 小题）
1．（2026•成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的自变量x 与函数y 的几组对应值如表：
x
…
﹣2
﹣1
0
1
3
…
y
…
3
4
3
0
﹣12
…
下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1
C．2a+c＝0
D．b2﹣4ac＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x 轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】C
【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可．
【解答】解：将点 （﹣1，4），（1，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c 得：{
a-b+c = 4
a+b+c =0
c =3
，
解得{
a=-1
b=-2
c =3
，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3，
∵a＝﹣1＜0，
∴函数图象的开口向下，则选项A 正确；
将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3 化成顶点式为y＝﹣（x+1）2+4，
∴函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，则选项B 正确；
又∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3，
∴2a+c＝2×（﹣1）+3＝1，则选项C 错误；
b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，则选项D 正确，
故选：C．
8
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x 轴
的交点，掌握其相关知识点是解题的关键．
2．（2026•内蒙古）二次函数y＝x2﹣9 的图象与x 轴交于A，B 两点，则线段AB 的长是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．18
【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】B
【分析】先利用x 轴上点的纵坐标为0 的性质，求出二次函数与x 轴的两个交点坐标，再计算两点间的
距离即可得到结果．
【解答】解：∵二次函数图象与x 轴交点的纵坐标为0，
∴令y＝0，得方程x2﹣9＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣3，
∴A，B 两点的坐标为 （﹣3，0）和 （3，0），
∴线段AB 的长为3﹣（﹣3）＝6，
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，掌握其相关知识点是解题的关键．
3．（2026•陕西）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可
以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度y
（cm）与水平距离x（cm）的关系可以表示为y＝﹣0.1x2+6x，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是
（ ）
A．9cm
B．30cm
C．90cm
D．360cm
【考点】二次函数的应用．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】将解析数化为顶点式，即可得到这条鱼此次射出的水流的最大高度．
【解答】解：∵y＝﹣0.1x2+6x＝﹣0.1（x﹣30）2+90，
∴当x＝30 时，y 取得最大值90，
即这条鱼此次射出的水流的最大高度是90cm，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，会将函数解析式化为顶点式．
9
4．（2026•巴中）关于二次函数y= 1
4 x
2-x，下列说法正确的个数是（ ）
①它的图象经过第一、二、三象限；
②当x＞3 时，y 随x 的增大而增大；
③它的图象可由y= 1
4 x
2向右平移2 个单位，再向下平移1 个单位得到；
④直线y＝kx+1（k 为常数）与它的图象一定有两个交点．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【考点】二次函数图象与几何变换；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；二次函数的性
质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】C
【分析】先将二次函数配方为顶点式，再结合二次函数的图象性质、平移规律、交点与判别式的关系
逐个判断即可得结论．
【解答】解：∵y = 1
4 x
2- x = 1
4 ( x -2)
2-1，
∵a= 1
4 ＞0，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），
①令y＝0，得1
4 x
2- x =0，
解得x＝0 或x＝4，即抛物线与x 轴交于（0，0）和（4，0），
∵抛物线开口向上，
∴当x＜0 时，y = 1
4 x
2- x＞0恒成立，不存在x＜0 且y＜0 的点，
∴图象不经过第三象限，故①错误；
②∵开口向上，对称轴为x＝2，
∴x＞2 时，y 随x 的增大而增大，又3＞2，
∴x＞3 时y 随x 的增大而增大，故②正确；
③根据平移规律可得，y = 1
4 x
2向右平移2 个单位，再向下平移1 个单位，得到的二次函数解析式为
y = 1
4 ( x -2)
2-1，与原函数一致，故③正确；
④联立{
y = 1
4 x
2- x
y =kx +1
，整理得x2﹣4（k+1）x﹣4＝0，
∵Δ＝[﹣4（k+1）]2﹣4×1×（﹣4）＝16（k+1）2+16＞0 恒成立，
10
∴方程总有两个不相等的实数根，即直线与抛物线一定有两个交点，故④正确；
综上所述，正确的说法共3 个．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
5．（2026•绥化）已知二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，5），与x 轴交于A
（m，0），B 两点，其中2＜m＜3．则下列结论：
①b
ac ＜0；
②b+4a＝0；
③a﹣b+3c＞0；
④- 5
16 ＜a＜- 1
5；
⑤方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k 为常数）有实数根．
其中正确的个数有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，5），与y 轴交于正半轴，得到a＜0，b＝4a＜0，c
＞0，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为（﹣2，5）得到c＝4a+5，根据当x＝2 时，y＞0，
当x＝3 时，y＜0，即可判断④；讨论抛物线y＝ax2+bx+c 与直线y＝﹣k2x﹣k2的交点情况即可判断⑤．
【解答】解：∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣2，5），与y 轴交于正半轴，
∴a＜0，- b
2a =-2，c＞0，
∴b＝4a＜0，
∴b
ac ＞0，故①错误；
∵b＝4a，
11
∴b﹣4a＝0，故②错误；
∵a＜0，c＞0，
∴c﹣a＞0，
∴a﹣b+3c＝a﹣4a+3c＝3（c﹣a）＞0，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，5），
∴当x＝﹣2 时，y＝4a﹣2b+c＝5，即4a﹣2×4a+c＝5，
∴c＝4a+5，
由图象可得当x＝2 时，y＞0，即4a+2b+c＞0，
∴4a+8a+4a+5＞0，
∴a＞- 5
16，
由图象可得当x＝3 时，y＜0，即9a+3b+c＜0，
∴9a+12a+4a+5＜0，
∴a＜- 1
5，
∴- 5
16 ＜a＜- 1
5，故④正确；
∵方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0 可化为ax2+bx+c＝﹣k2x﹣k2，
∴该方程的解为抛物线y＝ax2+bx+c 与直线y＝﹣k2x﹣k2的交点的横坐标，
∵直线y＝﹣k2x﹣k2＝﹣k2（x+1），
∴该直线过定点（﹣1，0），且过第二、三、四象限，
∴抛物线y＝ax2+bx+c 与直线y＝﹣k2x﹣k2必有交点，
∴方程ax2+（b+k2）x+c+k2＝0（k 为常数）有实数根．故⑤正确．
综上所述，正确的结论是③④⑤，共3 个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
6．（2026•广元）已知二次函数y＝x2﹣2x+3，当a≤x≤a+2 时，y 的最小值为t，则下列t 与a 的函数关
系图象正确的是（ ）
A．
B．
12
C．
D．
【考点】二次函数的性质；二次函数的最值；二次函数的图象．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】A
【分析】根据二次函数的性质和分类讨论的方，可以发现t 随a 的变化如何变化，然后即可判断哪个选
项符合题意．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴为直线x＝1，最小值为2，
当a＞1，a≤x≤a+2 时，t 随a 的增大而增大，故选项B 和D 不符合题意；
当﹣1≤a≤1，a≤x≤a+2 时，t 的值恒为2，
当a＜﹣1，a≤x≤a+2 时，t 随a 的增大而减小，故选项A 符合题意，选项C 不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的图象、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意
利用数形结合的思想解答．
7．（2026•甘孜州）对于抛物线y＝3（x﹣5）2﹣4，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴为直线x＝5
C．顶点坐标为（5，4）
D．当x＞5 时，y 随x 的增大而减小
【考点】二次函数的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据所给二次函数解析式，结合二次函数的图象与性质，对所给选项依次进行判断即可．
【解答】解：由题知，
因为抛物线的解析式为y＝3（x﹣5）2﹣4，
所以抛物线的开口向上，对称轴为直线x＝5，顶点坐标为（5，﹣4），当x＞5 时，y 随x 的增大而增
大，
所以只有B 选项符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键．
8．（2026•齐齐哈尔）如图所示的是二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0）的部分图象，其顶
点坐标为（1，n），与y 轴交于点A，与x 轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）．下列结论：
13
①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c﹣n）；④若点P（t，y1），Q（3﹣t，y2）（t＜3
2）都在抛物
线y＝ax2+bx+c 上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x 的方程ax2+（b+1）x＝0 的两根之和为c．其中
正确结论的个数是（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【考点】抛物线与x 轴的交点；根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的
坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】B
【分析】先根据抛物线开口、对称轴、与y 轴交点判定a、b、c 正负，判断①；
利用抛物线对称性得到 y（3）＝3a+c，结合B 点横坐标范围判断②；
由顶点纵坐标公式变形推导验证等式判断③；
计算两点到对称轴距离并作差比较远近，结合开口方向判断函数值大小得④；由OA＝OB 推出 m＝
c，代入抛物线得到b+1 与a、c 关系式，再借助韦达定理验证方程两根之和判断⑤，最后统计正确结
论个数选出答案．
【解答】解：由二次函数图象可得：
∵抛物线开口向下，
∴a＜0；
顶点坐标为（1，n），则对称轴为直线x＝1，
由对称轴公式- b
2a =1，
整理得b＝﹣2a，结合a＜0，得b＞0；
抛物线与y 轴交于正半轴，
∴c＞0；
抛物线与x 轴正半轴交点B（m，0）满足3＜m＜4．
∵a＜0，b＞0，c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
根据二次函数轴对称性质：对称轴为x＝1，则y（﹣1）＝y（3），
将x＝3 代入解析式得，y（3）＝9a+3b+c，
14
把b＝﹣2a 代入，化简得，y（3）＝9a+3（﹣2a）+c＝3a+c，
∵3＜m＜4，说明直线x＝3 在交点B 左侧，此位置抛物线图象在x 轴上方，
∴y（3）＞0，即3a+c＞0，故②错误；
∵顶点坐标为（1，n），
∴n= 4 ac -b
2
4 a
，
∴4an＝4ac﹣b2，b2＝4ac﹣4an＝4a（c﹣n），故③正确；
抛物线开口向下，点到对称轴越近，函数值越大．
点P 到对称轴x＝1 的距离：|t﹣1|，
点Q 到对称轴x＝1 的距离：|（3﹣t）﹣1|＝|2﹣t|，
平方作差比较距离大小：|t﹣12|﹣|2﹣t|2＝（t2﹣2t+1）﹣（t2﹣4t+4）＝2t﹣3，
∵t ＜3
2，
∴2t﹣3＜0，即|t﹣1|2＜|2﹣t|2，得|t﹣1|＜|2﹣t|，
∴点P 离对称轴更近，y1＞y2，故④正确；
由A（0，c）得OA＝c，由B（m，0）得OB＝m，
∵OA＝OB，
∴m＝c，即B（c，0），
将B（c，0）代入抛物线解析式：ac2+bc+c＝0，
∵c≠0，
∴ac+b+1＝0，b+1＝﹣ac，
设一元二次方程ax2+（b+1）x＝0 的两根为x1，x2，
由韦达定理可得：x1+ x2=- b+1
a
，
将b+1＝﹣ac 代入得：x1+ x2=--ac
a =c，故⑤正确；
综上所述正确结论一共有3 个，
故选：B．
【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，根与系数的关系，二次函数图象与系数的关系，二次
函数图象上点的坐标特征，掌握其相关知识点是解题的关键．
9．（2026•内江）如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的图象经过点A（1，0）、B（5，0），下列说法正确的
是（ ）
15
A．c＞0
B．4a﹣2b+c＜0
C．b2﹣4ac＜0
D．图象的对称轴是直线x＝2
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x 轴的交点．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据函数图象和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，然后即可判断哪个选
项符合题意．
【解答】解：由图象可得，
图象与y 轴交于负半轴，则c＜0，故选项A 错误，不符合题意；
当x＝﹣2 时，y＝4a﹣2b+c＜0，故选项B 正确，符合题意；
图象与x 轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故选项C 错误，不符合题意；
图象的对称轴是直线x= 1+5
2
=3，故选项D 错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用
二次函数的性质解答．
10．（2026•宜宾）点P 是抛物线y＝﹣x2+2（a﹣1）x﹣（a2﹣1）的顶点，点A（﹣1，m）、B（t，m）
在抛物线上（其中t＞﹣1）．下列结论：
①当点P 在x 轴上时，a＝1；②点P 在直线y＝2x 上；③m+2t＜1；④当点P 所在直线与线段AB 没
有交点时，a 的取值范围是a＞2；⑤当点P 在原点时，过点C(0，- 1
4 )的直线与抛物线交于M、N 两
点，则1
CM + 1
CN = 4．
其中正确的结论有（ ）
A．2 个
B．3 个
C．4 个
D．5 个
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质；一次函数
图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
16
【答案】B
【分析】先对抛物线配方得到顶点坐标，再逐个验证五个结论，利用二次函数顶点坐标性质、对称点
性质、交点判断等初中知识逐一分析，统计正确结论个数即可．
【解答】解：∵y＝﹣x2+2（a﹣1）x﹣（a2﹣1）＝﹣[x﹣（a﹣1）]2﹣2a+2，
∴顶点P 坐标为（a﹣1，﹣2a+2），
①若P 在x 轴上，则顶点纵坐标为0，即﹣2a+2＝0，
解得 a＝1，故①正确；
②将x＝a﹣1 代入y＝2x＝2（a﹣1）＝2a﹣2，当a≠1 时，2a﹣2≠﹣2a+2，
∴点P 不在直线y＝2x 上，故②错误；
③∵A（﹣1，m），B（t，m）纵坐标相同，对称轴为x＝a﹣1，
∴-1+t
2
=a-1，
解得t＝2a﹣1，
将A（﹣1，m）代入抛物线得m＝﹣（﹣1）2+2（a﹣1）（﹣1）﹣（a2﹣1）＝2﹣2a﹣a2，
∴m+2t＝2﹣2a﹣a2+2（2a﹣1）＝﹣a2+2a＝﹣（a﹣1）2+1≤1，
当a＝1 时，m+2t＝1，不满足m+2t＜1，故③错误；
④∵顶点P 坐标为 （a﹣1，﹣2a+2），
∴yp＝﹣2a+2＝﹣2（a﹣1）＝﹣2xp，
∴P 所在直线为y＝﹣2x，
将y＝m 代入y＝﹣2x 得，m＝﹣2x，
解得x =- m
2 =- 2-2a-a
2
2
= a
2+2a-2
2
，
∵当点P 所在直线与线段AB 没有交点时，
∴x＜﹣1 或x＞t＝2a﹣1，
∴a
2+2a-2
2
＜-1或a
2+2a-2
2
＞2a-1，
整理得，a（a+2）＜0 或a（a﹣2）＞0，
∵t＝2a﹣1＞﹣1，
∴a＞0，
∴a（a+2）＜0 无解；
∵a（a﹣2）＞0，
∴a﹣2＞0，
∴a＞2，故④正确；
⑤∵点P（a﹣1，﹣2a+2）在原点，
∴a﹣1＝0，﹣2a+2＝0，
∴a＝1，
17
∴抛物线为y＝﹣x2，
当过C(0，- 1
4 )的直线是x＝0 时，此时直线与抛物线只有一个交点不符合题意，
则可设过C(0，- 1
4 )的直线为y =kx - 1
4 ，
联立得- x
2=kx - 1
4 ，
整理得，4x2+4kx﹣1＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
∴x1+x2＝﹣k，x1 x2=- 1
4 ，
∴( x1+ x2)
2=k
2，| x1 x2|= 1
4 ，
∴x1
2+ x2
2+2 x1 x2=k
2，即x1
2+ x2
2=k
2-2 x1 x2，
∴(| x1|+| x2|)
2= x1
2-2+ x2
2+2| x1|| x2|=k
2-2 x1 x2+2| x1|| x2|=k
2-2×(- 1
4 )+2× 1
4 =k
2+1，
∴| x1|+| x2|=√k
2+1，
∴CM =√( x1-0)
2+( y1+ 1
4 )
2=√( x1-0)
2+(k x1- 1
4 + 1
4 )
2=| x1|√1+k
2，
同理可得，CN =| x2|√1+ k
2，
∴
1
CM + 1
CN = CM +CN
CM ⋅CN =| x1|√1+ k
2+| x2|√1+k
2
| x1 x2|(√1+k
2)
2
= (| x1|+| x2|)√k
2+1
1
4 (√1+k
2)
2
= (√1+ k
2)
2
1
4 (√1+ k
2)
2 = 4．
故⑤正确．
综上，正确结论为①④⑤，共3 个．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的应用等，掌握二次函数的综合知识是解题的关键．
11．（2026•福建）已知抛物线y＝x2﹣2nx 经过点A（3，a），B（5，b）．若a＜b，且ab＜0，则n 的取
值可以是（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】C
【分析】根据抛物线y＝x2﹣2nx 经过点A（3，a），B（5，b），可以得到a＝9﹣6n，b＝25﹣10n，然
后根据a＜b，且ab＜0，可以得到a＜0，b＞0，从而可以得到关于n 的不等式组，求出该不等式组的
18
解集，最后即可判断哪个选项符合题意．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2nx 经过点A（3，a），B（5，b），
∴a＝9﹣6n，b＝25﹣10n，
∵a＜b，且ab＜0，
∴a＜0，b＞0，
∴{
9-6n＜0
25-10n＞0，
解得3
2 ＜n＜5
2，
∴n 可以为2，n 不可以取0，1，3，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明
确题意，利用二次函数的性质解答．
12．（2026•天津）矩形ABCD 中，AB＝5cm，AD＝7cm．动点P 从点A 出发，以1cm/s 的速度沿边AD、
边DC 向终点C 运动；动点Q 从点A 同时出发，以1cm/s 的速度沿边AB、边BC 向终点C 运动．设运
动的时间为ts．当t＝3s 时，点P，Q 的位置如图所示．给出下面三个结论：
①当t＝6s 时，四边形APCQ 是平行四边形；
②△APQ 的最大面积为35
2 cm2；
③当△APQ 的面积为10cm2时，t＝2√5s 或t＝10s．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．①②③
【考点】二次函数的最值；平行四边形的判定与性质；矩形的性质．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；运算能力．
【答案】D
【分析】依据题意，由AB＝5cm，AD＝7cm，从而结合题意可分下面三种情形分析：当0＜t≤5 时，S
= 1
2t2；当5＜t≤7 时，S= 5
2t；当7＜t＜12 时，S＝35- 5(t -5)
2
- 7(t -7)
2
- (12-t )
2
2
=- 1
2
t2+6t，接着
对各个选项逐个判断可以得解．
【解答】解：由题意，∵AB＝5cm，AD＝7cm，
∴可分下面三种情形分析：
19
当0＜t≤5 时，S= 1
2t2；
当5＜t≤7 时，S= 5
2t；
当7＜t＜12 时，S＝35- 5(t -5)
2
- 7(t -7)
2
- (12-t )
2
2
=- 1
2
t2+6t．
①当t＝6s 时，如图所示，
∴CQ＝AB+BC﹣6＝12﹣6＝6（cm），AP＝6cm，即AP＝CQ，
又∵AP∥CQ，
∴四边形APCQ 是平行四边形，故①正确；
②当0＜t≤5 时，S= 1
2t2，则S 最大值为25
2 ；
当5＜t≤7 时，S= 5
2t，则S 最大值为35
2 ；
当7＜t＜12 时，S＝35- 5(t -5)
2
- 7(t -7)
2
- (12-t )
2
2
=- 1
2
t2+6t=- 1
2（t﹣6）2+18，此时最大值小于
35
2 ，
综上，△APQ 的最大面积为35
2 cm2，故②正确；
③当0＜t≤5 时，S= 1
2t2，
令S＝10，则t＝2√5s，负值舍去；
当5＜t≤7 时，S= 5
2t，
令S＝10，则t＝4＜5，不合题意；
当7＜t＜12 时，S＝35- 5(t -5)
2
- 7(t -7)
2
- (12-t )
2
2
=- 1
2
t2+6t，
令S＝10，则- 1
2t2+6t＝10，
∴t＝2 或10，
∵7＜t＜12，
∴t＝10．
综上，t＝2√5s 或t＝10s，故③正确．
20
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的最值、平行四边形的判定与性质、矩形的性质，解题时要熟练掌
握并能根据题意列出关系式是关键．
13．（2026•凉山州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（
）
A．abc＞0
B．b+4a＝0
C．5a+c＞0
D．当x＜﹣5 或x＞1 时，y＞0
【考点】二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】观察图象可得a＞0，b＞0，c＜0，则可判断A 选项；由图象可得对称轴为直线x＝﹣2，可判
断B 选项；由对称性质可得抛物线与x 轴的右交点的横坐标为1，此时a+b+c＝0，可判断C 选项；观
察图象可知当x＜﹣5 或x＞1 时，y＞0，可判断D 选项．
【解答】解：观察图象可得a＞0，b＞0，c＜0，
故abc＜0，则A 选项错误；
由图象可得对称轴为直线x=- b
2a =-2，
故b＝4a，则B 选项错误；
由对称性质可得抛物线与x 轴的右交点的横坐标为2×（﹣2）﹣（﹣5）＝1，
此时a+b+c＝0，即a+4a+c＝0，
即5a+c＝0，则C 选项错误；
观察图象可知当x＜﹣5 或x＞1 时，y＞0，则D 选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的对称性质，增减性质，掌握二次函数与
系数的关系并准确从图象中获取信息是解题关键．
14．（2026•眉山）如图，抛物线y＝ax2+bx+c 与x 轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标（1，n），与y 轴的
交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），下列结论：①3a+b＜0；②2
3 ≤a≤1；③对于任
意实数m，a+b≤m（am+b）总成立；④关于x 的方程ax2+bx+c＝n﹣1 有两个不相等的实数根．其中
21
正确结论的个数为（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x 轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，再由抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a，则3a+b＝a，于是可
对①进行判断；利用﹣3≤c≤﹣2 和c＝﹣3a 可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；
根据抛物线y＝ax2+bx+c 与直线y＝n﹣1 没有交点可对④进行判断．
【解答】解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
又∵抛物线的对称轴为直线x=- b
2a =1，即b＝﹣2a＜0，
∴3a+b＝3a﹣2a＝a＞0，故①错误；
∵抛物线与y 轴的交点在（0，﹣2），（0，﹣3）之间（包含端点），
∴﹣3≤c≤﹣2，
∵抛物线过（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴﹣3≤﹣3a≤﹣2，
∴2
3 ≤a≤1，故②正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），
∴x＝1 时，二次函数值有最小值n，
∴a+b+c≤am2+bm+c，
∴a+b≤am2+bm，故③正确；
∵抛物线的顶点坐标（1，n），且抛物线开口向上，
∴抛物线y＝ax2+bx+c 与直线y＝n﹣1 没有两个交点，
∴关于x 的方程ax2+bx+c＝n﹣1 有没有的实数根，故④错误．
综上，正确的有②③，共2 个．
22
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．当a＞
0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴
的位置：当a 与b 同号时，对称轴在y 轴左；当a 与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项c 决定抛物线
与y 轴交点：抛物线与y 轴交于（0，c）．抛物线与x 轴交点个数由判别式确定：Δ＝b2﹣4ac＞0 时，
抛物线与x 轴有2 个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0 时，抛物线与
x 轴没有交点．
15．（2026•乐山）已知二次函数y＝x2+bx+c，有下列结论：
①二次函数图象与y 轴的交点坐标是（0，c）；
②二次函数的顶点坐标是( b
2 ，c - b
2
4 )；
③若二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，则b＞﹣2；
④当1≤x≤2 时，二次函数的最大值为m，最小值为n，则m﹣n 的值与c 无关．
其中，正确的结论有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】B
【分析】①依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，则当x＝0 时，y＝c，则二次函数图象与y 轴的交点
坐标是（0，c），故可判断①；
②依据题意得，二次函数y＝x2+bx+c 的对称轴是直线x=- b
2，可得顶点坐标为（- b
2，c- b
2
4 ），故可
判断②；
③依据题意，由二次函数为y＝x2+bx+c，则抛物线开口向上，可得抛物线上的点离对称轴越近函数值
越小，又二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，对称轴是直线x=- b
2，从而|
﹣1+ b
2|＞|3+ b
2|，可得当b
2 ＜-3 时，即b＜﹣6，则1- b
2 ＞-3- b
2，符合题意；当﹣3≤b
2 ≤1 时，即﹣
6≤b≤2，则1- b
2 ＞3+ b
2，可得b＜﹣2，故﹣6≤b＜﹣2；当b
2 ＞1 时，即b＞2，则b
2 -1＞3+ b
2，无
解，故b＜﹣2，从而可以判断③；
④依据题意，当1≤x≤2 时，二次函数的最大值为m，最小值为n，不妨设当x＝x1时，取最大值m；
当x＝x2 时，取最小值为n，可得m= x1
2+bx1+c，n= x2
2+bx2+c，从而m﹣n＝（x1
2+bx1+c）﹣（x2
2+
23
bx2+c）= x1
2+bx1- x2
2-bx2，则m﹣n 的值与c 无关，故可判断④．
【解答】解：①由题意，∵二次函数为y＝x2+bx+c，
∴当x＝0 时，y＝c，则二次函数图象与y 轴的交点坐标是（0，c），故①正确；
②由题意得，二次函数y＝x2+bx+c 的对称轴是直线x=- b
2，
∴顶点坐标为（- b
2，c- b
2
4 ），故②错误；
③∵二次函数为y＝x2+bx+c，
∴抛物线开口向上，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又∵二次函数图象经过A（﹣1，y1），B（3，y2）两点，且y1＞y2，对称轴是直线x=- b
2，
∴|﹣1+ b
2|＞|3+ b
2|．
∴当b
2 ＜-3 时，即b＜﹣6，则1- b
2 ＞-3- b
2，符合题意；
当﹣3≤b
2 ≤1 时，即﹣6≤b≤2，则1- b
2 ＞3+ b
2，可得b＜﹣2，故﹣6≤b＜﹣2；
当b
2 ＞1 时，即b＞2，则b
2 -1＞3+ b
2，无解，
∴b＜﹣2，故③错误；
④由题意，当1≤x≤2 时，二次函数的最大值为m，最小值为n，
不妨设当x＝x1时，取最大值m；当x＝x2时，取最小值为n，
∴m= x1
2+bx1+c，n= x2
2+bx2+c，
∴m﹣n＝（x1
2+bx1+c）﹣（x2
2+bx2+c）
= x1
2+bx1- x2
2-bx2．
∴m﹣n 的值与c 无关，故④正确．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解题时
要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
16．（2026•江西）如图，观察函数y＝x2+3x﹣3 的图象，可以发现方程x2+3x﹣3＝0 在0，1 之间有根．
取0，1 的平均数0.5，当x＝0.5 时，y＜0，进一步可知这个根在0.5 和1 之间，则与方程x2+3x﹣3＝0
另一根更接近的是（ ）
24
A．﹣4.5
B．﹣4
C．﹣3.5
D．﹣3
【考点】图象法求一元二次方程的近似根；根与系数的关系；二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点．
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【专题】数形结合；一元二次方程及应用；运算能力；模型观念．
【答案】B
【分析】求出函数y＝x2+3x﹣3 的图象的对称轴，再结合已知的根的范围可得答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+3x﹣3 的对称轴为x=- b
2a =- 3
2 =-1.5，已知根0.75＜x1＜1，由对称性得
另一根﹣1.5×2﹣1＜x2＜﹣1.5×2﹣0.75，即﹣4＜x2＜﹣3.75，
∴另一根更接近的是﹣4．
故选：B．
【点评】本题考查的是根据图象求一元二次方程的解，读懂函数图象，从中获取正确的信息是解题的
关键．
17．（2026•山东）如图，点P 是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点．下列结论正确的是（ ）
A．2a+b＝0
B．- 3
4 ＜a＜- 1
2
C．对任意实数t，at2+bt＜4a+2b 总成立
D．若点A（1﹣m，y1），B（1+m，y2）在抛物线上，则y1＜y2
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】B
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与y 轴交点的位置，结合二次函数的性质逐
一判断选项．
25
【解答】解：由图象可知，抛物线开口向下，则a＜0．
∵顶点P 的坐标为（2，3），
∴对称轴为直线x＝2，即- b
2a =2，
∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故A 错误；
设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+3，
令x＝0，得y＝4a+3，即抛物线与y 轴的交点坐标为（0，4a+3）．
由图象可知，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方且在y＝1 的下方，
∴0＜4a+3＜1，
解得- 3
4 ＜a＜- 1
2，故B 正确；
根据图象得：当x＝2 时，y＝ax2+bx+c 取得最大值为：y＝4a+2b+c，
对任意实数t，at2+bt+c≤4a+2b+c，
∴at2+bt≤4a+2b，故C 错误；
∵对称轴为x＝2，
∴|1﹣m﹣2|＝|m+1|，|1+m﹣2|＝|m﹣1|，
当m＝0 时，两点到对称轴的距离相等，y1＝y2，故D 错误．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象等，掌握综合知识是解题的关键．
18．（2026•烟台）如图，二次函数y＝ax2+bx+c 的部分图象与x 轴交于点A（1，0），与y 轴的交点C 位
于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，顶点为P，对称轴为直线x＝2．下列说法：①abc＜0；②4a+b＝
0；③﹣1＜a＜- 2
3；④设抛物线与x 轴的另一交点为B，当∠CPB＝90°时，a=- √2
2 ．其中正确的是
（ ）
A．②③④
B．②③
C．②④
D．①③④
【考点】抛物线与x 轴的交点；二次函数图象与系数的关系．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质．
【答案】A
【分析】①由函数图象的开口方向、对称轴、与y 轴的交点分别判断a、b、c 的正负，进而判断abc
26
的正负；
②用对称轴公式x =- b
2a =2＞0，变形推导等式；
③把b＝﹣4a、A（1，0）代入解析式得c＝3a，结合c 的范围解不等式；
④利用二次函数图象的对称性得B 点坐标，据c＝3a，得C 点坐标，将x＝2，c＝3a，b＝﹣4a 代入y
＝ax2+bx+c，得出点P 的坐标，根据勾股定理列方程求出a．
【解答】解：∵二次函数图象开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴为直线x =- b
2a =2＞0，
∴b＞0，
∵二次函数的图象与y 轴的交点C 位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，
∴c＜0，
∴abc＞0，①错；
∵对称轴为直线x =- b
2a =2，
∴b＝﹣4a，
∴4a+b＝0，②正确；
∵二次函数的图象与x 轴交于点A（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵b＝﹣4a，
∴a﹣4a+c＝0，
∴c＝3a，
∵二次函数图象与y 轴的交点C 位于（0，﹣2）和（0，﹣3）之间，
∴可得﹣3＜c＝3a＜﹣2，
∴-1＜a＜- 2
3，③正确；
∵二次函数的图象与x 轴交于点A（1，0），对称轴为直线x＝2，
∴点B 的坐标为（3，0），
∵c＝3a，
∴点C 的坐标为（0，3a），
当x＝2，可得y＝4a+2b+c，
将c＝3a，b＝﹣4a 代入，可得y＝﹣a，
∴点P 的坐标为 （2，﹣a），
∴PC2＝4+16a2，PB2＝1+a2，BC2＝9+9a2，
∵∠CPB＝90°，
∴PC2+PB2＝BC2，
27
可得4+16a2+1+a2＝9+9a2，
解得a= √2
2 或a=- √2
2 ，
∵a＜0，
∴a=- √2
2 ，④正确．
④解法二
前面已证c＝3a，设C（0，3a）P（2，﹣a）
∵∠CPB＝90°
∴CP⊥PB
∴直线CP，PB 对应一次函数斜率乘积为﹣1
-a-3a
2-0
×-a-0
2-3 =-1
a
2= 1
2 ，a＜0时，a=- √2
2
∴④正确
综上，正确的说法为②③④，
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x 轴的交点，掌握其相关知识点是解
题的关键．
19．（2026•南充）已知抛物线C1：y1＝mx2与C2：y2＝（m+2）x2，过原点O 的直线l 与抛物线C1，C2的
另一个交点分别为A1，A2，如果OA2＝3OA1，则m 的值为（ ）
A．﹣3 或- 3
2
B．﹣3 或1
C．- 1
2或- 3
2
D．- 1
2或1
【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，设过原点直线l：y＝kx（k≠0），联立方程组{
y =m x
2
y =kx ，则mx2＝kx，则x（mx﹣
28
k）＝0，舍去原点x＝0，得A1( k
m ，k
2
m )；联立方程组{
y =(m+2)x
2
y =kx
，则（m+2）x2＝kx，则
x[（m+2）x﹣k]＝0，舍去原点x＝0，得A2(
k
m+2 ，
k
2
m+2 )，故可得OA1，OA2，结合OA2＝3OA1，从
而|m|＝3|m+2|，进而计算可以得解．
【解答】解：设过原点直线l：y＝kx（k≠0），
联立方程组{
y =m x
2
y =kx ，则mx2＝kx，
∴x（mx﹣k）＝0，舍去原点x＝0，得A1( k
m ，k
2
m )；
联立方程组{
y =(m+2)x
2
y =kx
，则（m+2）x2＝kx，
∴x[（m+2）x﹣k]＝0，舍去原点x＝0，得A2(
k
m+2 ，
k
2
m+2 )．
∴O A1=√( k
m )
2+( k
2
m )
2=|k |√1+ k
2
|m|
，O A2=√(
k
m+2 )
2+( k
2
m+2 )
2=|k |√1+k
2
|m+2|
，
∵OA2＝3OA1，
∴|m|＝3|m+2|．
∴m＝﹣3 或m=- 3
2．
故选：A．
【点评】本题主要考查了二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标
特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
20．（2026•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c 为常数，且a≠0）与x 轴的两个交点坐标分别为
（﹣1，0）、（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③﹣4a＜y 最小值＜- 9a
4 ；
④若方程ax2+bx+c+ 1
2 =0 有实数根，则b2﹣4ac＞a．其中正确结论的序号为（ ）
29
A．①④
B．②③
C．①②④
D．①③④
【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x 轴的交点；根的判别式．菁优网版权所有
【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．
【答案】D
【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号，利用抛物线解析式及m 的范围
推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵与x 轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）、（m，0），
∴对称轴x =- b
2a =-1+m
2
，a﹣b+c＝0，y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，
∴b＝（1﹣m）a，c＝﹣am，
∵2＜m＜3，
∴1
2 ＜-1+m
2
＜1，
∴对称轴在y 轴右侧，
∴x =- b
2a ＞0，
∴b＜0，
∵抛物线与y 轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确；
3a+c＝3a﹣am＝a（3﹣m），
由a＞0 和2＜m＜3 可得3a+c＝a（3﹣m）＞0，故②结论错误；
③
当
x =-1+m
2
时
，
抛
物
线
有
最
小
值
，
y最小值=a( x +1)( x -m)=a(-1+m
2
+1)(-1+m
2
-m)=- 1
4 a(m+1)
2，
∵2＜m＜3，- 1
4 a＜0，
∴当2＜m＜3 时，y最小值=- 1
4 a(m+1)
2随m 增大而减小，
当m＝2 时，y最小值=- 9
4 a；
当m＝3 时，y 最小值＝﹣4a；
∴- 4 a＜y最小值＜- 9a
4 ，故③正确；
30
④∵方程a x
2+bx +c + 1
2 =0有实数根，
∴Δ=b
2- 4 a(c + 1
2 )≥0，即b2﹣4ac﹣2a≥0，
∴b2﹣4ac≥2a，
∵a＞0，
∴2a＞a，
∴b2﹣4ac＞a，故④正确．
综上所述，正确的结论是①③④．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
31
考点卡片
1．根的判别式
利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac 有如下关系：
①当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△＝0 时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0 时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立．
2．根与系数的关系
（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0 的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过
来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系
数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，
x1+x2=- b
a，x1x2= c
a，反过来也成立，即b
a =-（x1+x2），c
a =x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未
知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x1
2+x2
2等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥
由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同
时还要考虑a≠0，△≥0 这两个前提条件．
3．一次函数的性质
一次函数的性质：
k＞0，y 随x 的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y 随x 的增大而减小，函数从左到右下降．
由于y＝kx+b 与y 轴交于（0，b），当b＞0 时，（0，b）在y 轴的正半轴上，直线与y 轴交于正半轴；当
b＜0 时，（0，b）在y 轴的负半轴，直线与y 轴交于负半轴．
4．正比例函数的性质
单调性
当k＞0 时，图像经过第一、三象限，从左往右上升，y 随x 的增大而增大（单调递增），为增函数；[1]
当k＜0 时，图像经过第二、四象限，从左往右下降，y 随x 的增大而减小（单调递减），为减函数．
对称性
对称点：关于原点成中心对称．[1]
对称轴：自身所在直线；自身所在直线的平分线．
5．一次函数图象上点的坐标特征
一次函数y＝kx+b，（k≠0，且k，b 为常数）的图象是一条直线．它与x 轴的交点坐标是（- b
k ，0）；与
32
y 轴的交点坐标是（0，b）．
直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．
6．二次函数的图象
（1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法：
①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x 值，求出函数值，列表．
②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．
③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．
④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各
取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．
画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对
称性画另一侧．
（2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移| b
2a|个单位，再向上
或向下平移|4 ac -b
2
4 a
|个单位得到的．
7．二次函数的性质
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（- b
2a，4 ac -b
2
4 a
），对称轴直线x=- b
2a，二次函数y＝
ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：
①当a＞0 时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜- b
2a时，y 随x 的增大而减小；x＞- b
2a时，
y 随x 的增大而增大；x=- b
2a时，y 取得最小值4 ac -b
2
4 a
，即顶点是抛物线的最低点．
②当a＜0 时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜- b
2a时，y 随x 的增大而增大；x＞- b
2a时，
y 随x 的增大而减小；x=- b
2a时，y 取得最大值4 ac -b
2
4 a
，即顶点是抛物线的最高点．
③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|- b
2a|个单位，再向上或
向下平移|4 ac -b
2
4 a
|个单位得到的．
8．二次函数图象与系数的关系
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）
①二次项系数a 决定抛物线的开口方向和大小．
当a＞0 时，抛物线向上开口；当a＜0 时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．
33
②一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置．
当a 与b 同号时（即ab＞0），对称轴在y 轴左侧；当a 与b 异号时（即ab＜0），对称轴在y 轴右侧．
（简称：左同右异）
③常数项c 决定抛物线与y 轴交点．抛物线与y 轴交于（0，c）．
④抛物线与x 轴交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；△＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；△＝b2﹣
4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
9．二次函数图象上点的坐标特征
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（- b
2a，4 ac -b
2
4 a
）．
①抛物线是关于对称轴x=- b
2a成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系
式．顶点是抛物线的最高点或最低点．
②抛物线与y 轴交点的纵坐标是函数解析式中的c 值．
③抛物线与x 轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x
= x1+ x2
2
．
10．二次函数图象与几何变换
由于抛物线平移后的形状不变，故a 不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求
出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即
可求出解析式．
11．二次函数的最值
（1）当a＞0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而减少；在对称轴右侧，y 随x 的增大而增大，因为
图象有最低点，所以函数有最小值，当x=- b
2a时，y= 4 ac -b
2
4 a
．
（2）当a＜0 时，抛物线在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随x 的增大而减少，因为
图象有最高点，所以函数有最大值，当x=- b
2a时，y= 4 ac -b
2
4 a
．
（3）确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶
点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，
从而获得最值．
12．抛物线与x 轴的交点
求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于
x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．
（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0 根之间的关系．
34
△＝b2﹣4ac 决定抛物线与x 轴的交点个数．
△＝b2﹣4ac＞0 时，抛物线与x 轴有2 个交点；
△＝b2﹣4ac＝0 时，抛物线与x 轴有1 个交点；
△＝b2﹣4ac＜0 时，抛物线与x 轴没有交点．
（2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c 是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x 轴
的交点坐标（x1，0），（x2，0）．
13．图象法求一元二次方程的近似根
利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：
（1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数；
（2）由图象与y＝h 的交点位置确定交点横坐标的范围；
（3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）．
14．二次函数的应用
（1）利用二次函数解决利润问题
在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二
次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x 的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函
数的最值时，一定要注意自变量x 的取值范围．
（2）几何图形中的最值问题
几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值
的讨论．
（3）构建二次函数模型解决实际问题
利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实
到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问
题．
15．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等
角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、
分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用
定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质
和判定去解决问题．
16．矩形的性质
（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质
35
①平行四边形的性质矩形都具有；
②角：矩形的四个角都是直角；
③边：邻边垂直；
④对角线：矩形的对角线相等；
⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2 条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；
对称中心是两条对角线的交点．
（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
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