文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1 / 11
2026-2027 学年九年级上学期数学周周测04
25.3 实际问题与一元二次方程
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．一辆汽车的行驶距离s关于行驶时间t 的函数关系式是
2
1
81
9
2
2
s
t
．若汽车行驶440 m ，则行驶时
间是（
）
A．20 s
B．21 s
C．22 s
D．23 s
【答案】C
【详解】解：将
440
s
代入
2
1
81
(
9)
2
2
s
t
，得
2
1
81
(
9)
440
2
2
t
，
两边同时乘以2 ，得
2
(
9)
81
880
t
，
移项，得
2
(
9)
961
t
，
开平方，得
9
31
t
，
∵
0
t
，
∴
9
31
t
，解得
22
t
．
2．为了让大家都能用上实惠药，医保局与药商多次谈判，将一种原价每盒100 元的药品，经过两次降价后
每盒64 元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（
）
A．20%
B．22%
C．25%
D．80%
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，在解答时根据降价率建立等量关系建立方程是方程．设每次降
价的百分率为x，则第二次降价后的价格为
2
100 1
x
，根据题意建立方程求出其解即可．
【详解】解：设每次降价的百分率为x，则第二次降价后的价格为
2
100 1
x
，由题意，得
2
100 1
64
x
，
解得：
1
1.8
x
（舍去），
2
0.2
20%
x
，
故选A．
3．根据小明与DeepSeek 的对话，DeepSeek 在深度思考后，给出的答案是（
）
有没有这样的数，先算这个数的平方，再减去这个数的3 倍，最后加上4，运算结果是这
个数的2 倍？
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2 / 11
A．1
B．4
C．1
D．1 或4
【答案】D
【分析】设出这个数，再由题目的已知条件建立等式列方程求解即可．
【详解】解：设这个数为x ，
则
2
3
4
2
x
x
x
，移项可得
2
5
4
0
x
x
，
因式分解可得
1
4
0
x
x
，解得
1
1
x ，
2
4
x
．
故有这样的数，为1 或4．
4．我国古代数学著作《九章算术》“勾股”章有一题：“今有同所立，甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行
十步而斜东北与乙会．问甲、乙各行几何．”题目大意：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为
7，乙的速度为3．乙一直向东走，甲先向南走10 步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇
时，甲、乙各走了多远？若设甲乙两人相遇时所用时间为x ，根据题意可列方程为（
）
A．
2
2
2
3
10
7
x
x
B．
2
2
2
7
10
3
10
x
x
C．
2
2
2
3
7
10
x
x
D．
2
2
2
3
10
7
10
x
x
【答案】D
【分析】先根据速度和时间表示出各段路程，再抽象出直角三角形，利用勾股定理列方程即可．
【详解】解：如图，
由题意可得，
3
AB
x
，
10
AC
，
7
10
BC
x
，
∴由勾股定理得，
2
2
2
3
10
7
10
x
x
．
5．如图是一个简单的数值运算程序．当输出结果为48
时，输入x 的值为（
）
A．3 或3
B．6 或2
C．1 或3
D．48
【答案】B
【分析】此题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
根据题意列出方程，即可解答．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3 / 11
【详解】解：当输出结果为48
时，
2
3
2
48
x
解得：
6
x
或2
，
故选：B．
6．有一人患了流感，经过两轮传染后，共有81 人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x 个人，下列结
论：①1 轮后有
1
x
个人患了流感；②第2 轮又增加
2
1
x
个人患流感；③依题意可得方程
2
1
81
x
；
④不考虑其他因素经过三轮一共会有648 人感染．所以正确的结论为（
）
A．①③
B．①②③
C．①③④
D．①②③④
【答案】A
【分析】第一轮的传染源是1 个人，他传染了x 人，则第一轮后共有
1
x
人患了流感；第二轮传染中，这
些人中的每个人又传染了x 人，则第二轮后共有
1
1
x
x x
人患了流感，而此时患流感人数为81，根
据这个等量关系列出方程，再进行一一判断即可．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x 人．
则第一轮后共有
1
x
人患了流感，故①正确；
第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了x 人，
则第2 轮又增加
1
x x
个人患流感，故②错误；
依题意，得
1
1
81
x
x x
，即
2
1
81
x
，故③正确；
解方程
2
1
81
x
，得
1
8
x
，
2
10
x
（舍去）．
每轮传染中平均每人传染了8 人．
经过三轮一共会有81 81 8
729
人感染，故④错误；
综上可知，正确的结论有①③，
故选A．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系列出一元二次方程．
7．九年四班"自然之美"研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，这个植有1 个主干，主干上长
出x 个枝干，每个枝干又长出2x 个小分支，且这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，则x 的值是
（
）
A．4
B．5
C．6
D．7
【答案】B
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
4 / 11
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
由枝干数及每个枝干又长出2x 个小分支，可得出x 个枝干上共长出
2
2x 个小分支，结合一个主干上有主干、
枝干、小分支数量之和为56，即可列出关于x 的一元二次方程，求解即可．
【详解】解：
植物的1 个主干上长出x 个枝干，每个枝干又长出2x 个小分支，
x
个枝干上共长出
2
2x 个小分支．
∵这个植物的主干、枝干、小分支数量之和为56，
∴
2
1
2
56
x
x
，
解得：
5
x
或
11
2
x
（舍去）．
故选：B．
8．春节将至，某花店购进一批鲜花，进价为每束50 元．根据市场调研：当售价为每束80元时，每天可售
出30束．为了提高销量，店主决定降价销售，已知每束鲜花每降价1元，每天就能多售出2 束．店主希望每
天的利润达到1000元，又能尽量减少库存，则每束鲜花售价多少元？嘉嘉和淇淇根据题意分别列出如下方
程：
嘉嘉：
80
50
30
2
1000
x
x
淇淇：
50
30
2 80
1000
y
y
下面对两人所列方程描述正确的是（
）
A．嘉嘉设每束鲜花售价x 元
B．淇淇设每束鲜花降价y 元
C．嘉嘉和淇淇所列方程中代数式“30
2x
”和“
30
2 80
y
”都表示降价后的销售量
D．每束鲜花售价75元时，既可以达到店主预期利润，也可以尽量减少库存
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由嘉嘉方程：
80
50
30
2
1000
x
x
，其中x 为降价金额，
30
2x
表示降价后销售量；由淇淇方程：
50
30
2 80
1000
y
y
，其中y 为售价，80
y
为降价金
额，
30
2 80
y
表示降价后销售量；解嘉嘉方程得
5
x
或10，对应售价75元或70 元，销量40 束或50 束，
尽量减少库存应选销量大的售价70 元，由此逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：由嘉嘉方程：
80
50
30
2
1000
x
x
，其中x 为降价金额，30
2x
表示降价后销售量；
由淇淇方程：
50
30
2 80
1000
y
y
，其中y 为售价，80
y
为降价金额，
30
2 80
y
表示降价后
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5 / 11
销售量；
A 、由题意得x 为降价金额，所以该选项描述不正确，不符合题意；
B 、由题意得y 为售价，所以该选项描述不正确，不符合题意；
C 、由题意得30
2x
表示降价后销售量，
30
2 80
y
表示降价后销售量，所以该选项描述正确，符合题
意；
D 、解嘉嘉方程得
5
x
或10，对应售价75元或70 元，销量40 束或50 束，尽量减少库存应选销量大的售价
70 元，所以该选项描述不正确，不符合题意；
故选：C ．
9．如图是由三个边长分别是2，3 和x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则
x 的值是（
）
A．1 或4
B．2 或3
C．3 或4
D．1 或2
【答案】D
【分析】补全图形，然后根据面积相等列方程，解方程即可得到结论．
【详解】解：如图，补全图形，
∵直线AB 将它分成面积相等的两部分，
∴
1
2 （2+3+x）×3﹣x（3﹣x）＝
1
2 ×（2+3+x）×3﹣2×1，
解得x＝1 或x＝2，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，补全图形，利用割补法表示出两部分的面积是解题的关键．
10．如图，在正方形ABCD中，
5 cm
AB
，动点P 以
2 cm / s的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同
时动点Q 以1cm / s 的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动．设P ，Q 两点移动的时间为
s 0
5
t
t
．在P ，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6 / 11
Q 两点移动的过程中，当PQ 的长度为10 cm 时，t 的值为（
）
A．2
B．4
C．2 或4
D．3 或4
【答案】C
【分析】此题考查了正方形的性质、勾股定理、一元二次方程等知识，根据勾股定理列方程是关键．
在
ABCD
正方形
中求出对角线AC 的长度，过点P 作PH
BC
于点H ，用含t 的代数式表示出HQ 、PH 的
长度，然后在Rt
PHQ
△
中利用勾股定理得出
2
2
2
PH
HQ
PQ
，根据PQ 的长度等于10cm列方程求解．
【详解】解：在正方形ABCD中，
5cm,
90
AB
BC
ABC
，
2
2
5 2cm
AC
AB
BC
．
由题意，得
2 cm
AP
t
，
cm
CQ
t
，
5 2
2
cm
PC
t
，
5
cm
BQ
t
．
如图，过点P 作PH
BC
于点H ，
则由勾股定理可得，
2
2
2
PH
HC
PC
，
2
5
cm
2
PH
HC
PC
t
，
5
2 cm
HQ
HC
CQ
t
．
在Rt
PHQ
△
中，
90
PHQ
，
2
2
2
PH
HQ
PQ
，
即
2
2
2
5
5
2
10
t
t
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
7 / 11
解得1
2
t
，2
4
t
．
故在P ，Q 两点移动的过程中，当PQ 的长度为10 cm 时，
t 的值为2 或4．
故选：C ．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．如图，根据物理学规律，如果把一个物体从地面以12m / s 的速度竖直上抛，那么物体经过s
x 离地面的高
度（单位：m ）为
2
12
4.9
x
x
．根据物理学规律，物体经过______s 落回地面．（结果保留小数后两位）
【答案】2.45
【分析】本题考查了一元二次方程的实际运用，根据物体回落到地面，即
2
12
4.9
0
x
x
，然后解方程求解
即可，列出一元二次方程并求解是解题的关键．
【详解】解：根据物体落回地面，可得
2
12
4.9
0
x
x
，
解得：
1
0
x
（舍去），
2
120
2.45
49
x
，
因此物体经过2.45s落回地面，
故答案为：2.45 ．
12．用一条长为40cm 的铁丝围成一个斜边长为17cm 的直角三角形，则这个直角三角形的面积为____
2
cm ．
【答案】60
【分析】设一条直角边长为cm
x
，则另一条直角边长为
40 17
cm
x
，根据勾股定理可列出关于x 的等式，
解出x 的值，再根据直角三角形的面积公式求解即可．
【详解】解：设一条直角边长为cm
x
，则另一条直角边长为
40 17
cm
x
，
根据勾股定理得：
2
2
2
40 17
17
x
x
，
解得：
1
15
x
，
2
8
x
，
两直角边长分别为15cm 和8cm ，
直角三角形的面积为
2
1 15 8
60cm
2
．
故答案为：60 ．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
8 / 11
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，勾股定理．根据勾股定理列出一元二次方程是解题关键．
13．某校办工厂生产的某种产品，今年产量为200 件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年
增长一个相同的百分数，使得第三年的产量达到800 件．若设这个百分数为x，则可列方程_______________．
【答案】
2
200 1
800
x
【详解】解：∵今年产量为200 件，计划通过改革技术，使今后两年的产量都比前一年增长一个相同的百
分数，
∴明年产量为
200 1
x
件，
∴第三年年产量为
2
200 1
1
200 1
x
x
x
件，
∵第三年的产量达到800 件，
∴
2
200 1
800
x
．
14．某商场销售某种冰箱，每台进货价为2500 元．调查发现，当销售价为2900 元时，平均每天能售出8
台；而当销售价每降低50 元时，________．商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000 元，每台
冰箱的定价应为多少元？根据下面的解题过程，上面横线处空缺的条件应是________________．
解：设每台冰箱降价x 元，根据题意，得：
2900
2500
8
4
5000
50
x
x
．
【答案】平均每天就能多售出4 台
【分析】本题考查了根据实际问题抽象出一元二次方程的知识．根据利润销售量单位利润，设每台冰箱
的定价x 元时，这种冰箱的销售利润平均每天达到5000 元，再根据“当销售价每降低50 元时，平均每天就
能多售出4 台”列方程即可．
【详解】解：设每台冰箱定价x 元，
由题意得：
2900
2500
8
4
5000
50
x
x
，
故答案为：平均每天就能多售出4 台．
15．如图，有一张长30cm，宽20cm 的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为cm
x
的正方形，然后将
四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体纸盒，要使制成纸盒的底面积是原来矩形纸板面积的1
3 ，则x
的值为________．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
9 / 11
【答案】5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意，根据面积公式得出
1
30
2
20
2
30
20
3
x
x
，再
运用因式分解法解出
1
2
5
20
x
x
，
（不合题意，舍去），即可作答．
【详解】解：由题意可知，无盖纸盒的长为
30
2
cm
x
，宽为
20
2
cm
x
，
∴
1
30
2
20
2
30
20
3
x
x
，
整理得
2
25
100
0
x
x
，
解得
1
2
5
20
x
x
，
（不合题意，舍去），
故x 的值为5．
故答案为：5
16．如图，在矩形ABCD中，
10cm
8cm
AB
AD
，
．点P 从点A 出发沿AB 以2cm/s的速度向点B 运动，
同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm/s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P
Q
，
两点同时停止运动．第
________秒时，PQ 的长为5cm ．
【答案】3或5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设第t 秒时，PQ 的长为5cm ，则
2 cm,
(10
2 )cm,
cm
AP
t
BP
t
BQ
t
，在Rt
PBQ
△
中利用勾股定理，即可
得出关于t 的一元二次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设第t 秒时，PQ 的长为5cm ．
由题意，得
2 cm,
(10
2 )cm,
cm
AP
t
BP
t
BQ
t
．
在Rt
PBQ
△
中，由勾股定理，得
2
2
2
BP
BQ
PQ
，
即
2
2
2
(10
2 )
5
t
t
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10 / 11
解得1
2
3,
5
t
t
．
故答案为：3或5．
三、解答题：本题共2 小题,第17 题10 分，第18 题12 分，共22 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．把一个足球垂直地面向上踢，t （秒）后该足球的高度h （米）适用公式
2
20
5
h
t
t
．
(1)经过多少秒时球的高度为15米？
(2)试问球在上升过程中，球的高度能否达到21米，若能请求出对应的时间，若不能请说明理由．
【答案】(1)1秒或3秒
(2)不能，理由如下：
∵据题意得
2
20
5
21
t
t
，整理得
2
5
20
21
0
t
t
，
∴
2
20
4 5 21
20
0
，
∴一元二次方程
2
20
5
21
t
t
无解，
∴球的高度不能达到21米．
【分析】（1）将
15
h
代入即可求解；
（2）将
21
h
代入
2
20
5
h
t
t
，求出判别式即可求解．
【详解】（1）当
15
h
时，
2
20
5
15
t
t
，
整理得：
2
4
3
0
t
t
，
解得：1
1
t ，2
3
t
；
∴经1秒或3秒时球的高度为15米；
（2）略
18．在“精准扶贫”工作中，某单位建议贫困户借助家里长25m 的墙AB 建造面积为
2
450m 的矩形区域来养鹌
鹑，该单位准备修建长为65m 的篱笆，并提供以下两种方案：
(1)如图1，若选取墙AB 的一部分作矩形的边，其他三边用篱笆围成，则在墙AB 上借用的CF 的长度为多
少?
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
11 / 11
(2)如图2，若全部借用AB 的长度，并在AB 的延长线上拓展BF ，构成矩形ADEF ，篱笆由BF 、EF 、DE
和AD 构成，求BF 的长．
【答案】(1) 20m
(2)5m
【分析】（1）设CF 的长为m
x
，则
65
m
2
x
CD
，由矩形CDEF ，得
65
450
2
x
x
，解方程即可；
（2）设BF 长为m
y
，则
25
m
AF
AB
BF
y
，由矩形ADEF ，得
25
m
DE
AF
y
，
65
25
20
m
2
y
y
AD
y
,由题意，得
25
20
450
y
y
，解方程即可；
【详解】（1）解：设CF 的长为m
x
，则
65
m
2
x
CD
，
由矩形CDEF ，得
65
450
2
x
x
，
整理，得
2
65
900
0
x
x
，
解得
1
2
20
45
x
x
，
，
25m
AB
Q
，
2
45
x
舍去；
20
x
，
20 m
CF
．
（2）解：设BF 长为m
y
，则
25
m
AF
AB
BF
y
，
由矩形ADEF ，得
25
m
DE
AF
y
，
65
25
20
m
2
y
y
AD
y
由题意，得
25
20
450
y
y
，
整理，得
2
5
50
0
y
y
，
解得
1
2
5,
10
y
y
，
由长度不能为负数，
故
2
10
y
舍去，
故
5
y
，
故BF 的长为5m ．
