文档文本内容
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1 / 10
2026-2027 学年九年级上学期数学周周测02
25.2.2-25.2.3 公式法与因式分解法
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．一元二次方程
2
2
5
0
x
x
根的情况为（
）
A．没有实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定
【答案】C
【详解】解：∵在一元二次方程
2
2
5
0
x
x
中，
1
a ，
2
b ，
5
c ，
∴这个方程根的判别式
2
2
4
2
4 1
5
24
0
b
ac
，
∴这个方程有两个不相等的实数根．
2．关于x 的一元二次方程
2
3
4
2
0
x
x
中，根的判别式
2
4
b
ac
的值为（
）
A．8
B．12
C．8
D．12
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根的判别式公式计算即可得出结果．
【详解】解：在方程
2
3
4
2
0
x
x
中，
3
a
，
4
b ，
2
c
，
故
2
2
4
4
4 3 2
16
24
8
b
ac
．
3．已知
2
x 是方程
2
2
6
0
mx
m x
的解，则m 的值是（
）
A．
3
m
B．
1
m
C．
1
m 或3
D．
3
m
或1
【答案】C
【分析】把方程的解代入得到关于m 的一元二次方程，解关于m 的一元二次方程即可．
【详解】解：将
2
x 代入
2
2
6
0
mx
m x
得
2
4
2
6
0
m
m
．
整理得
2
2
3
0
m
m
．
因式分解得
3
1
0
m
m
．
∴
3
0
m
或
1
0
m
，
∴
3
m
或
1
m ．
4．已知直角三角形有两条边长分别是方程
2
14
48
0
x
x
的两个根，则该直角三角形的斜边长是（
）
A．10
B．2 7
C．10 或8
D．10 或2 7
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
2 / 10
【答案】C
【分析】先解一元二次方程，题目未说明给出的两条边都是直角边，需要分情况讨论，结合斜边是直角三
角形最长边的性质计算即可．
【详解】解：
2
14
48
0
x
x
，
因式分解得
6
8
0
x
x
，
解得
1
2
6,
8
x
x
，
即直角三角形的两条边长为6 和8，
∵直角三角形中斜边是最长边，
∴分两种情况讨论：
①当6 和8 均为直角边时，斜边长为
2
2
6
8
36
64
100
10
；
②当8 为斜边，6 为直角边时，斜边长即为8；
综上，该直角三角形的斜边长为10 或8．
5．若关于x 的一元二次方程
2
9
3
0
4
kx
x
有实数根，则实数k 的取值范围是（
）
A．
0
k
B．
1
k 且
0
k
C．
1
k
D．
1
k 且
0
k
【答案】B
【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0 的隐含条件，结合根的判别式求解k 的取值范围．
【详解】解：∵该方程是一元二次方程，
∴
0
k
，
∵方程有实数根，
∴
2
9
Δ
( 3)
4
0
4
k
，即9
9
0
k
，
解得
1
k ；
综上，
1
k 且
0
k
．
6．已知
2
x
是一元二次方程
2
2
2
4
0
a
x
x
a
的一个根，则a 的值为（
）
A．0 或4
B．－4
C．4
D．0
【答案】A
【分析】利用方程的根的定义，将
2
x
代入原方程得到关于a 的方程，求解后结合一元二次方程二次项系
数不为0 的要求，确定a 的取值．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3 / 10
【详解】解：∵
2
x
是一元二次方程
2
2
2
4
0
a
x
x
a
的一个根，
∴将
2
x
代入原方程得：
2
2
2
2
4 2
0
a
a
，
整理化简得
2
4
0
a
a
，
解得
0
a
或
4
a
．
∵原方程是一元二次方程，
∴二次项系数
2
0
a
，即
2
a
∵
0
a
和
4
a
都满足条件，
∴a 的值为0 或4 ．
7．对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，根据求根公式为
2
4
2
b
b
ac
x
a
（其中
2
4
0
b
ac
），可以
推导两根之差的绝对值
1
2
S
x
x
的表达式．若
2
2
2
1
1
0
x
m
x
m
有两个实数根
1x ，
2x ．则能够满足
2
S
的m 的值为（
）
A．
1
2
B．1
C．3
2
D．2
【答案】A
【分析】先推导一元二次方程两根之差的绝对值公式，再结合题目条件列出关于m 的方程，同时根据方程
有两个实数根确定判别式的取值范围，求解后得到符合条件的m 的值．
【详解】解：对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，由求根公式
2
2
4
4
0
2
b
b
ac
x
b
ac
a
，得
2
2
2
2
1
2
4
4
2
4
4
2
2
2
b
b
ac
b
b
ac
b
ac
b
ac
x
x
a
a
a
a
，
∵方程
2
2
2
1
1
0
x
m
x
m
有两个实数根
1x ，
2x ．
2
Δ
4
b
ac
2
2
2
1
4 1
1
m
m
2
2
4
2
1
4
4
m
m
m
8
0
m
0
m
．
1
2
Δ
8
2 2
x
x
m
m
a
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
4 / 10
由
1
2
2
x
x
，得2 2
2
m
解得
1
2
m
，
1
0
2
m
，符合条件．
8．若关于x 的一元二次方程
0
x
m
x
n
的解也是
2
(
3)
a x
b
（
0
a
）的解，则m 与n 满足的数量关
系为（
）
A．
3
m
n
B．
6
m
n
C．
6
m
n
a
D．
6
m
n
b
【答案】B
【分析】先分别求解两个一元二次方程，利用两个方程解相同的条件，计算m 与n 的和，得到二者的数量
关系．
【详解】解：对于方程
0
x
m
x
n
，
1
2
,
x
m x
n
，
对于方程
2
(
3)
0
a x
b a
，
变形得
2
(
3)
b
x
a
，
直接开方得
3
b
x
a
，
整理得
1
2
3
,
3
b
b
x
x
a
a
，
两个方程的解相同，
3
3
6
b
b
m
n
a
a
，
即
6
m
n
．
9．关于x 的方程
2
2
2
1
0
x
mx
m
的两个根
1x ，
2x 满足
1
2
2
x
x
，且
1
2
x
x
，则m 的值为（
）
A．2
B．3
±
C．3
D．3
【答案】C
【分析】先对原一元二次方程变形因式分解，得到方程的两个根，再结合题目给出的根的大小关系和倍数
关系列方程，求解得到m 的值．
【详解】解：∵原方程
2
2
2
1
0
x
mx
m
可变形为
2
21
0
x
m
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5 / 10
由平方差公式因式分解得
1
1
0
x
m
x
m
，
∴方程的两个根为
1
x
m
和
1
x
m
，
∵
1
2
x
x
，
1
2
2
x
x
，
∴
1
1
x
m
，
2
1
x
m
，代入关系式得
1
2
1
m
m
，
展开整理得
3
m
，
因此m 的值为3．
10．对于一元二次方程
2
0
0
ax
bx
c
a
，给出下列说法：
①若方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，则方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实根；
②若c 是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则一定有
1
0
ac
b
成立；
③若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，则
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
；
④存在实数
m
n m
n
，
，使得
2
2
am
bm
c
an
bn
c
．
其中正确的是（
）
A．只有①③
B．只有①②
C．只有①③④
D．①②③④
【答案】C
【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系、根的定义及代数变形逐一判断各命题．
【详解】解：①
方程
2
0
ax
c
有两个不相等的实根，
Δ
0
4
0
ac
，
4
0
ac
，
则方程
2
0
ax
bx
c
的判别式
2
Δ
4
0
b
ac
，
方程
2
0
ax
bx
c
必有两个不相等的实根，故①正确；
②c 是方程
2
0
ax
bx
c
的一个根，则
2
0
ac
bc
c
，
1
0
c ac
b
，
若
0
c
，等式仍然成立，但
1
0
ac
b
不一定成立，故②不正确；
③若
0x 是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的根，
则由求根公式得
2
0
4
2
b
b
ac
x
a
或
2
0
4
2
b
b
ac
x
a
，
2
0
2
4
ax
b
b
ac
或
2
0
2
4
ax
b
b
ac
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
6 / 10
2
2
0
4
2
b
ac
ax
b
，故③正确；
④存在实数
m
n m
n
、
，使得
2
2
am
bm
c
an
bn
c
，
整理得
2
2
0
a m
n
b m
n
，即
0
m
n
a m
n
b
，
因为m
n
，只需取
b
m
n
a
即可满足，
例如取
0
m
，
0
b
n
a
a
，就有
2
2
am
bm
c
an
bn
c
，故④正确．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．不解方程，判断一元二次方程
2
2
5
7
x
x
的根的情况是________．
【答案】有两个不相等的实数根
【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可．
【详解】解：∵一元二次方程
2
2
5
7
x
x
∴
2
2
7
5
0
x
x
∴
2
7
4
2 5
9
0
∴方程有两个不相等的实数根．
12．若关于x 的一元二次方程
2
2
3
0
x
x
m
有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．
【答案】
1
3
m
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列不等式求解即可得到m 的取
值范围．
【详解】解：∵方程
2
2
3
0
x
x
m
有两个不相等的实数根，
∴根的判别式Δ
0
，即
2
2
4 1 3
0
m
，
解得
1
3
m
．
13．解方程
2
2
2
1
3
1
4
x
x
x
x
，如果设
2
1
x
y
x
，那么得到关于y 的整式方程是______．
【答案】
2
8
12
1
0
y
y
【分析】将
2
1
x
y
x
代入原方程，把原方程转化为含y 的分式方程，再去分母整理即可得到关于y 的整式方
程．
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
7 / 10
【详解】解：设
2
1
x
y
x
，则
2
2
2
2
2
1
1
x
x
y
x
x
，
2
2
1
1
1
4
4
4
1
x
x
x
y
x
，
原方程可化为
1
2
3
4
y
y
，
两边同时乘以4y 得
2
8
1
12
y
y
，
整理得
2
8
12
1
0
y
y
，
得到关于y 的整式方程是
2
8
12
1
0
y
y
．
14．方程
2
2
1
0
x
x
的正根介于正整数m 与
1
m 之间，则m ________．
【答案】2
【分析】先求解方程得到正根，再估算正根的范围，即可得到整数m 的值．
【详解】解：
2
2
1
0
x
x
，
∴
2
2
(
2)
4 1 ( 1)
2
8
1
2
2 1
2
x
，
∴方程的正根为1
2
，
1
2
4
，
1
2
2
，
2
1
2
3
，则
2
m
．
15．对于实数
,
m n ，现定义一种运算“”如下：
2
2
m
m
n m
n
m
n
n
m
n m
n
若
2
10
x
，则实数x 的
值为___________．
【答案】3
【分析】根据新定义的分段运算规则，分
2
x 和
2
x 两种情况列方程求解，舍去不符合分类条件的根即
可得到结果．
【详解】解：根据新定义，分两种情况讨论：当
2
x 时，
2
2
2
x
x
x
，
令
2
2
10
x
x
，
整理得
2
12
0
x
x
，
因式分解得
4
3
0
x
x
，
解得
1
4
x ，
2
3
x
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
8 / 10
∵本情况要求
2
x ，
∴
4
x 舍去，保留
3
x
；
当
2
x 时，
2
2
( 2)
2
x
x
，
令4
2
10
x
，
整理得
2
10
x
，
解得
8
x
，
∵本情况要求
2
x ，
∴
8
x
舍去
综上，实数x 的值为3．
16．定义：
2
0
cx
bx
a
是一元二次方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程．则下列四个结论：
①如果
2
x
是
2
2
0
x
x
c
的倒方程的解，则
5
4
c
；
②如果
0
ac
，那么这两个方程都有两个不相等的实数根；
③如果一元二次方程
2
2
0
ax
x
c
无解，则它的倒方程也无解；
④如果一元二次方程
2
0
ax
bx
c
有两个不相等的实数根，则它的倒方程也有两个不相等的实数根．其中
正确的有_____（填正确的序号）．
【答案】
①②③
【分析】本题考查新定义和一元二次方程，根据倒方程的定义，分别验证每个结论的正确性：
①通过代入求解；
②利用判别式即可；
③通过判别式得到
1
ac ，代入倒方程判别式可得；
④举反例说明不成立．
【详解】解：结论①，原方程
2
2
0
x
x
c
的倒方程为
2
2
1
0
cx
x
，
将
2
x
代入得4
4 1
0
c
，
解得
5
4
c
，
故①正确；
结论②，当
0
ac
时，
判别式
2
4
0
b
ac
，
两个方程均有两个不相等的实数根，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
9 / 10
故②正确；
结论③，
原方程无解，
4
4
0
ac
，
即
1
ac ，
倒方程判别式4
4
0
ac
，
倒方程无解，
故③正确；
结论④，
举反例说明，当
0
c
时，原方程为
2
0
ax
bx
，
若要其有两个不相等的实数根，则其判别式：
2
0
b
，
即
0
b
，
原方程
2
0
ax
bx
c
的倒方程为
2
0
cx
bx
a
，
0
c
，
0
b
，
倒方程为
0
bx
a
，是一元一次方程，
只有一个根，
故④错误．
故答案为①②③．
三、解答题：本题共2 小题,第17 题10 分，第18 题12 分，共22 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．解方程
(1)
2
8
9
0
x
x
；（配方法）
(2)
2
3
4
2
x
x
；（公式法）
【答案】(1)
1
1
x ，
2
9
x
(2)
1
1
13
3
x
，
2
1
13
3
x
【分析】（1）把方程化为：
2
8
9
x
x
，可得
2
8
16
9 16
x
x
，再进一步解方程即可；
（2）先求解
2
Δ
4
52
0
b
ac
，再利用公式法解方程即可．
【详解】（1）解：
2
8
9
0
x
x
，
移项得：
2
8
9
x
x
，
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
10 / 10
配方得：
2
8
16
9 16
x
x
，即
2
4
25
x
，
开方得：
4
5
x
，
∴
1
1
x ，
2
9
x ；
（2）解：
2
3
4
2
x
x
，即
2
3
2
4
0
x
x
，
∴
3
a ，
2
b
，
4
c ，
∴
2
2
Δ
4
2
4 3
4
52
0
b
ac
，
∴
2
52
2
2 13
1
13
2 3
6
3
x
，
即
1
1
13
3
x
，
2
1
13
3
x
．
18．已知关于x 的一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
，其中a 为实数．
(1)求证：一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
有实数根；
(2)设一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
的一个实数根为
1x ．若
1
2
1
x
，求a 的取值范围．
【答案】(1)证明：∵
2
2
2
2
2
4 1
2
1
4
8
4
4
2
1
4
1
0
a
a
a
a
a
a
a
，
∴一元二次方程
2
2
2
1
0
x
ax
a
有实数根．
(2)
1
0
2
a
【分析】（1）计算出
0
即可证明；
（2）求出方程的解
1
2
1
x
a
，代入
1
2
1
x
即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：∵
2
2
2
1
0
x
ax
a
，
∴
2
1
1
0
x
a
x
，
∴
1
2
1
x
a
，
2
1
x ，
∴2
2
1
1
a
，
解得
1
0
2
a
．
