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2026-2027 学年八年级上学期数学周周测02
1.3 勾股定理的实际应用
时间：45 分钟
分值：60 分
一、选择题（本题共10 小题，每小题2 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．公园内有两棵树，相距
，一棵树高为
，另一棵树高为
，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一
棵树的顶端，小鸟至少要飞（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】本题考查了勾股定理的应用，两点之间线段最短，解题的关键是从实际问题中抽象出几何图形．画
出图形，
表示高
的树，
表示高
的树，两棵树间距离
，根据两点间线段最短可知，
小鸟至少要飞的距离等于
的长，过
作
于点
，利用勾股定理即可求解．
【详解】解：根据题意画图如下：其中
，
，
，
两点间线段最短，
题目所求即为
的长，
过
作
于点
，
则
，
由勾股定理得：
，
故选：C．
2．如图，在由边长为1 的小正方形组成的网格中，线段
的两个端点都在小正方形的顶点上，则
的
结果可能是（
）
A．3
B．6
C．7
D．10
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【答案】D
【分析】根据勾股定理计算即可．
【详解】解：线段在正方形网格的边上时，
可能是
，
线段不在正方形网格的边上时，
可能是
，
所以符合题意的为D 选项．
3．“折竹抵地”问题源自《九章算术》，即今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？意思是一
根竹子，原高1 丈（1 丈=10 尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4 尺远，则折
断处离地面的高度为（
）
A．5.8 尺
B．4.2 尺
C．3 尺
D．7 尺
【答案】B
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（10−x）尺，利用勾股
定理解题即可．
【详解】设竹子折断处离地面的高度为
尺，则斜边长为
尺．
根据勾股定理，得
，
解得
，
∴折断处离地面的高度为4.2 尺．故选B．
【点睛】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．
4．如图是台阶的示意图，已知每个台阶的宽度都是
，每个台阶的高度是
，则
两点之间的
距离是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，难度不大．作出直
角三角形后分别求得直角三角形的两直角边的长后即可利用勾股定理求得斜边
的长．
【详解】解：如图，
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由题意得：
，
故
，
故选：B．
5．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为
，梯子
顶端到地面的距离
为
，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距
离
为
，则小巷的宽为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出
的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果.
【详解】解：由题意和勾股定理，得
，
，
∴
，即小巷的宽为
.
6．如图是某超市购物车的侧面简化示意图，测得支架
，
，两轮中心的距离
，
则点
到
的距离为（
）
．
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【分析】先根据勾股定理的逆定理说明
是直角三角形，再设点C 到
的距离是h，根据
可得答案．
【详解】解：∵
，
∴
，
∴
是直角三角形，且
．
设点C 到
的距离是h，
根据题意，得
，
即
，
解得
，
所以点C 到
的距离是
．
7．我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭
赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方（即正方形），池中间生有一颗类
似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？
其中一丈为十尺，设水深为x 尺，则水深为（
）尺．
A．5
B．10
C．12
D．13
【答案】C
【分析】设水深为x 尺，则植物长
尺，再利用勾股定理列方程求解即可．
【详解】解：设水深为x 尺，则植物长
尺，
由题意可得：
，解得
，
所以水深12 尺．
8．今年，第十五号台风登陆江苏．如图，A 市接到台风警报时，台风中心位于A 市正南方向
的B 处，
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正以
的速度沿
方向移动．已知A 市到
的距离
，如果在距台风中心
的圆形区
域内都将受到台风影响，那么A 市经过（
）个小时开始受到台风影响．
A．
B．
C．6
D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设台风中心移动到点E 时，A 市开始受到台风影响，分别在
和
中，利用勾股定理求出
，即可求解．
【详解】解：如图，设台风中心移动到点E 时，A 市开始受到台风影响，此时
，
在
中，
，
，
∴
，
在
中，
，
，
∴
，
∴
，
时，
即A 市经过
个小时开始受到台风影响．
故选：D
9．如图，圆柱形玻璃杯高为
，底面周长为
，在杯内壁离杯底
的点
处有一滴蜂蜜，此时一
只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿
与蜂蜜相对的点
处，则蚂蚁从外壁
处到内壁
处的爬行最短路线
长为（杯壁厚度不计）（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将该圆柱的侧面展开，作
关于
的对称点
，可得
即为最短距离，在直角
中，根据
勾股定理求解即可．
【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作
关于
的对称点
，
则
，
连接
，则
即为最短距离，
在直角
中，由勾股定理得：
．
10．如图，
中，
，
，
，
，
分别是边
，
上的两个动点．将
沿直线
折叠，使得点
的对应点
落在边
的三等分点处，则线段
的长为（
）
A．3
B．
C．3 或
D．3 或
【答案】C
【分析】根据题意，分点D 在
上且靠近点B 的三等分点时和点D 在
上且靠近点C 的三等分点时两
种情形，设，在
中，勾股定理建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：①当点D 在
上且靠近点B 的三等分点时，
∴
，
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设
，则
，
∴在
中，
，
∴
，
解得
，
②当点D 在
上且靠近点C 的三等分点时，
∴
，
设
，则
，
∴在
中，
，
∴
，
解得
，
综上所述，
或
．
二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。
11．如图，船工欲将一艘船横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点G 偏离欲到达点F
，结果他
在水中实际划了
，则该河流的宽度
______m．
【答案】300
【分析】本题考查了勾股定理的应用．从实际问题中找出直角三角形，利用勾股定理解答．
【详解】解：
．
故答案为：300．
12．一架云梯长
分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙
分米，如果梯子的顶端下滑了
分米，
那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米．
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【答案】
【分析】由题意知
分米，
分米，
分米，由勾股定理求得
分米，
分米，然后通过线段的和与差即可求解．
【详解】解：如图，由题意知
分米，
分米，
分米，
在
中，
（分米），
∴
（分米），
在
中，
（分米），
∴
（分米），
∴梯子的底端在水平方向滑动了分米．
13．如图，
的顶点
，，在边长为的正方形网格的格点上，
于点
，则
的长为________．
【答案】
【分析】根据勾股定理，得
，边
上的高为4，利用三角形面积相同，计算即可；
【详解】解：根据题意，得
，边
上的高为4，
，
故
，
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故
；
14．如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度
米，斜边长
米，楼梯的宽度为3 米．现
需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯
至少需要___________平方米的地毯．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理的应用．根据勾股定理求出
的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度，进而求
出所铺地毯的面积即可．
【详解】解：在
中，
，
米，
米，
由勾股定理得，
米，
在楼梯上铺地毯需要的长度为
米，
需要铺地毯的面积为
平方米，
故答案为：
．
15．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA 可前往观
景点A．因景区改造，需要关闭通道
，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路
（点D 在
上）．经
测量：
，
，
．则
是否为从A 到河边的最近道路______（请从“是”
“否”“不确定”中选择一个填空）．
【答案】是
【分析】可证明
，则可得到
，再由垂线段最短可得答案．
【详解】解：∵
，
，
，
∴
，
，
∴
，
∴
是直角三角形，且
，
∴
，
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由垂线段最短可知
是从A 到河边的最近道路．
16．为保护河流旁的村落，做好防汛工作，某水利部门准备在河流旁设置防汛监控器．如左图所示，监控
布设线距离河流300
，最大旋转角度
；村落位于河流南侧，与河流邻接长度5000
；任意两个监控
器布设点之间的距离相等．小张设计了如右图所示的方案，
为监控器
监测范围，
为监控器
监
测范围，
，
，此时
；若按此方案进行布设，该水利部门至少需
要布设___________个监控器．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理，等量代换，熟练掌握勾股定理是解题的关键．过点
作
于点N，
根据题意，求得
，后计算
即可．
【详解】解：过点
作
于点N，根据题意，得
，
又
，
故
，
设
，
∴
，
∴
，
∴
，
故
，
故答案为：8．
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三、解答题：本题共2 小题,第17 题10 分，第18 题12 分，共22 分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．如图所示，一棵
米高的大杉树在一次台风中被刮断，折断处
到树根
的距离是米，树顶
落在
离树根
点
米处，科研人员要查看断痕
处的情况，在离树根
有
米的
处竖起一个梯子
，点
，
，
在一条直线上．请问这个梯子有多长？
【答案】这个梯子有
米长．
【分析】此题考查了勾股定理逆定理的应用，首先利用勾股定理逆定理求得
的长，然
后再利用勾股定理求得斜边
的长即可，解题的关键是能够从实际问题中抽象出直角三角形．
【详解】解：由已知可得：
米，
米，
米，
米，
，
∴
米，
∴
，
∴
，
∴
，
∵
米，
由勾股定理得：
，
∴
（米），即这个梯子
的长应是
米，
答：这个梯子有
米长．
18．如图，某日两艘渔船
和渔船
与灯塔
的位置如图所示，其中渔船
在灯塔
的北偏西
方向上，
与灯塔
的距离是400 海里，渔船
在灯塔
的南偏西
方向上，与灯塔
的距离是300 海里．
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(1)求渔船
与渔船
之间的距离
；
(2)若灯塔
发射的信号有效覆盖半径为300 海里，已知渔船
沿
所在直线向渔船
靠拢的过程中，
段可以接收到信号，
段无法接收到信号，请你求出渔船B 在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段
的长）是多少？
【答案】(1)500 海里
(2)360 海里
【分析】（1）根据题意可求出
，再利用勾股定理求解即可；
（2）过点C 作
于点E，利用等面积法求出
的长，再利用勾股定理求出
的长即可得到
答案．
【详解】（1）解：由题意得，
，
海里，
海里，
∴由勾股定理得
海里，
答：渔船
与渔船
之间的距离
为500 海里；
（2）解：如图所示，过点C 作
于点E，
则
，
∵
，
∴
，
∴
海里，
在
中，由勾股定理得
海里，
在
中，由勾股定理得
海里，
∴
海里
答：渔船B 在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段
的长）是360 海里．
