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专题31 一元一次不等式组实际应用
（题型突破·举一反三）
题型01 盈不足问题
题型02 行程问题
题型03 工程问题
题型04 方案设计问题
题型05 最值问题
题型06 阶梯收费问题
题型07 销售问题
▌题型01 盈不足问题
1. 题型特征
经典分配题型：把物品分给若干人，出现分多了剩余（盈）、分少了不够分（不足），给出两组分配
方案，利用物品总数不变，列不等式组求解人数、物品数量。
关键词：剩余、多出、不够、还差、不足、最少、最多。
2. 设人数为x，物品总数固定
（1）按第一种分配：总数量=每人分得数量× 𝑥+盈余数量
（2）按第二种分配：总数量=每人分得数量× 𝑥−不足数量
结合实际：第二种分配时，每人分这么多，总数不够分，即物品数＜单人数量×人数；同时第一种分
配分完还有剩，物品数＞单人数量×人数，列出不等式组。
3. 解题步骤
（1） 设未知数：优先设分配的人数/组数为𝑥（整数）
（2）用含𝑥代数式表示出物品总数量
（3）根据“有余、不足”列出不等式组：
①多分则不够：总数<分配量× 𝑥
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②少分则有剩：总数>分配量× 𝑥
（4）解不等式组，算出取值范围
（5）人数、物件必须是正整数，取整数解，回代算出物品数量。
【典例1】文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给
他们．如果每人送4 本，则还余9 本；如果每人送5 本，则最后一人能得到课外读物但不足2 本．设初
二年级有x 名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）
A．{4𝑥+ 9 −5(𝑥−1)＞0
4𝑥+ 9 −5(𝑥−1)＜2
B．{4𝑥−9 −5(𝑥−1)＞0
4𝑥−9 −5(𝑥−1)＜2
C．{4𝑥+ 9 −5(𝑥−1)＞0
4𝑥+ 9 −5(𝑥−1) ≤2
D．{4𝑥−9 −5(𝑥−1)＞0
4𝑥−9 −5(𝑥−1) ≤2
【分析】根据每人送4 本，则还余9 本，即本数比学生数的4 倍多9，如果每人送5 本，则最后一人得到
的课外读物不足2 本，即最后一人的本书大于等于0 且小于2，据此即可得到结论．
【解答】解：根据题意，得{4𝑥+ 9 −5(𝑥−1)＞0
4𝑥+ 9 −5(𝑥−1)＜2
，
故选：A．
【变式1-1】（2026 春•滨城区期末）若干个苹果分给x 个小孩，如果每人分3 个，那么余7 个；如果每人
分5 个，那么最后一人分到的苹果不足5 个，则x 满足的不等式组为（ ）
A．0≤（3x+7）﹣5x＜5
B．0＜（3x+7）﹣5x＜5
C．0≤（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5
D．0＜（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5
【分析】先根据题意求出苹果总数，再表示出最后一人分得的苹果数，根据苹果数非负且最后一人分到的
苹果不足5 个，列出不等式组即可．
【解答】解：根据题意可得：0≤（3x+7）﹣5（x﹣1）＜5．
故选：C．
【变式1-2】（2026 春•红河州期末）绿植进教室，书香伴成长．为了美化学习环境，某班级购进了一批多肉
盆栽，班主任准备分发给几名同学养护，如果每人分3 盆，剩余8 盆；如果前面每名同学分5 盆，最后
一人分到盆栽，但不足3 盆，则分发给（ ）名同学养护
A．6
B．7
C．8
D．9
【分析】设同学人数为x，表示出多肉总数和最后一名同学分得的多肉数量，根据题干条件列出不等式组，
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求解后取正整数解即可得到结果．
【解答】解：设分发给x 名同学养护，由题意可得：
{3𝑥+ 8 −5(𝑥−1)＞0①
3𝑥+ 8 −5(𝑥−1)＜3②
，
由①得x＜6.5，
由②得x＞5，
因此不等式组解集为 5＜x＜6.5，
∴x＝6，
故选：A．
【变式1-3】（2026 春•徐汇区校级期中）位育初级中学七年级某社团计划将全部同学分成若干小组，开展
探究活动，如果每个小组8 人，则还余3 人，如果每个小组9 人，则有一个小组的人数不足7 人，但多
于4 人，则该社团的人数是 51 或59 ．
【分析】根据题意和题目中的数据，可以列出相应的不等式组，然后根据组数为整数，即可计算出该社团
人数．
【解答】解：设该社团有分了x 组，
∵每个小组8 人，则还余3 人，如果每个小组9 人，则有一个小组的人数不足7 人，但多于4 人，
∴4＜（8x+3）﹣9（x﹣1）＜7，
解得5＜x＜8，
∵x 为整数，
∴x＝6 或7，
当x＝6 时，该社团人数为8×6+3＝51；当x＝7 时，该社团人数为8×7+3＝59；
故答案为：51 或59．
▌题型02 行程问题
1. 题型特征
结合路程、速度、时间三者关系：路程=速度×时间，题干出现提前到达、迟到、限定时长、快慢追赶、往
返行程，给出多个约束条件，列不等式组求解速度、时间的取值范围。
常见关键词：不少于、至多、不早于、不能超过、提前多久、迟到多久。
2. 两类常见题型
题型1：规定时间内赶路
固定总路程，限定：
（1）速度太小，会迟到（用时＞规定时间）
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（2）速度足够大，会提前抵达（用时＜规定时间）
联立不等式组求合理速度范围。
题型2：追及、相遇行程约束
两人同向/相向行走，结合距离限制、先后到达条件列不等式组。
3. 通用解题五步
（1）设未知数：设行驶速度𝑥 km/h或行驶时间h；
（2）利用路程公式写出对应用时；
（3）根据「迟到/提前/距离限制」列出不等式组；
（4） 求解不等式组，算出取值区间；
（5）结合实际：速度、时间大于0，取舍不合理解集，作答。
【典例1】绿波路段是城市交通管理的一项重要措施，它能够有效地解决交通拥堵问题，提高交通效率，为
城市的可持续发展做出贡献，如图是绿波路段的一部分，该路段限速60 千米/小时，AB 间的距离为1000
米，在路口B 处绿灯时间为30 秒，小车过路口A 后，以36 千米/小时的速度匀速行驶1 分钟后，B 路口
小车通行方向变绿灯，若小车要在这个绿灯能顺利通过B 路口，求小车行驶速度v 的取值范围为 48km/h
≤v≤60km/h ．
【分析】利用路程＝速度×时间，结合AB 间的距离及该路段的限速，可列出关于v 的一元一次不等式
组，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：{36 × 1
60 +
30
60×60 𝑣≥1
𝑣≤60
，
解得：48≤v≤60，
∴小车行驶速度v 的取值范围为48km/h≤v≤60km/h．
故答案为：48km/h≤v≤60km/h．
【变式1-1】一辆匀速行驶的汽车在11：20 距离A 地50km，要在12：00 之前驶过A 地，道路最高限速
100km/h，该车速度v 应满足的条件是 75km/h＜v≤100km/h ．
【分析】根据题意得出行驶的时间，利用总路程÷总时间＝平均速度进而得出答案．
【解答】解：由题意可得：11：20 到12：00 点是
2
3小时，
则{
2
3 𝑣＞50
𝑣≤100
，
解得75km/h＜v≤100km/h．
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故答案为：75km/h＜v≤100km/h．
【变式1-2】小华在公园的环形跑道（周长大于1km）练习半程马拉松，从起点出发按逆时针方向跑步，并
用跑步软件记录运动轨迹，每跑1km 软件会在运动轨迹上标注相应的路程，前4km 的记录如图所示．小
华一共跑了21km 且恰好回到起点，那么他一共跑的圈数是 15 ．
【分析】可假设一圈的周长为lkm，根据四次记录的位置，得出关于l 的不等式组，进而得出l 的取值范
围，再假设跑21km 时，一共跑了x 圈，根据x，l 的等量关系可得出x 的取值范围，最后根据x 为正整数
即可解决问题．
【解答】解：设环形跑道的周长为lkm，
则根据四次记录的位置可知，
{
1＜𝑙＜2
2𝑙＜3
3𝑙＞4
，
解得
4
3 ＜𝑙＜
3
2，
所以
2
3 ＜
1
𝑙＜
3
4．
假设小华跑21km 时，一共跑了x 圈，
则xl＝21，
所以x= 21
𝑙，
则14＜𝑥＜63
4 ，
因为x 为正整数，
所以x＝15，
即小华一共跑了15 圈．
故答案为：15．
【变式1-3】（2026 春•安远县校级期末）如图（1），A，B 两地间的公路长360km，其中有一段长10km 的
施工道路MN，M 距离A 地200km．甲、乙两辆轿车分别从A，B 两地出发，沿该公路相向而行，乙车比
甲车晚出发20min．在非施工道路（其限速情况如图（2）所示），甲车始终以100km/h 的速度行驶，乙
车始终以Vkm/h 的速度行驶；在施工道路，两车均以40km/h 的速度行驶．
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（1）若V＝90．
①甲车出发2h 时，甲车行至M 处，乙车行至N 处；（填“M”“N”或“MN 的中点”）
②甲车行至MN 的中点时，乙车行驶的时间为
43
24 h．
（2）已知两车在P 处相遇．
①若P 与N 重合，求V 的值；
②若P 在非施工道路上（P 不与M，N 重合），直接写出V 的取值范围．
【分析】（1）①根据题意，分别得到MA＝200km，MN＝10km，NB＝150km，根据甲乙两车的速度，即
可得到两车行驶的距离，即可得到结果；
②根据甲车在AM 段和MN 段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发20min，得到乙
车所用时间；
（2）①两车在P 处相遇（P 与N 重合），分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度；
②分类讨论相遇点在AM，NB 上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为360km，得到等式，表示
出速度，同时结合限速的要求，得到结果．
【解答】解：（1）①∵依题意，MA＝200km，MN＝10km，AB＝360km，
∴NB＝150km，
∵甲车从A 地出发，始终以100km/h 的速度行驶，
∴甲车2 小时共行驶了2×100＝200（km），
∴甲车出发2 小时，行至M 处，
∵乙车从B 地出发，比甲车晚出发20min= 1
3小时，以90km/h 的速度行驶，
∴乙车共行驶了90×（2−1
3）＝150（km），
∴乙车行至N 处，
故答案为：M，N；
②甲车行至MN 的中点时，所用时间为：
200
100 +
5
40 =
17
8 （h），
此时乙车行驶所用时间：
17
8 −
1
3 =
43
24（h），
故答案为：
43
24；
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（2）①两车在P 处相遇，P 与N 重合，
甲车所用时间为
200
100 +
10
40 =
9
4（h），
此时乙车所用时间为
9
4 −
1
3 =
23
12（h），
∴乙车的速度为V＝150÷ 23
12 = 1800
23 （km/h）；
②P 在非施工道路上（P 不与M，N 重合），
若P 在AM 上，设甲的行驶时间为t，则0＜t＜2，
此时甲行驶路程为100t，乙行驶的路程为150+10+V（t−1
3 −150
𝑉−10
40），
∴100t+150+10+V（t−1
3 −150
𝑉−10
40）＝360，
∴t=
350+ 7
12𝑉
100+𝑉，
∴0＜
350+ 7
12𝑉
100+𝑉＜2，
解得V＞1800
17 ，
∵限速为60≤V≤120，
∴
1800
17 ＜V≤120，
若P 在NB 上，设甲的行驶时间为t，则
9
4 ＜t＜15
4 ，
此时甲行驶路程为200+10+100（t−200
100 −10
40），乙行驶的路程为V（t−1
3），
∴200+10+100（t−200
100 −10
40）+V（t−1
3）＝360，
∴t=
375+1
3𝑉
100+𝑉，
∴
9
4 ＜
375+1
3𝑉
100+𝑉＜
15
4 ，
解得0＜V＜1800
23 ，
∵限速为60≤V≤120，
∴60≤V＜1800
23 ，
综上所述60≤V＜1800
23 或
1800
17 ＜V≤120．
▌题型03 工程问题
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1. 题型特征
核心公式：工作总量=工作效率×工作时间，常设总工程量为单位1；
题干关键词：按期完工、提前做完、工期延后、工程量至少/至多、多人分工、分段施工，依靠工期约束列不
等式组求效率、人数、施工天数范围。
2. 解题五步
（1） 设未知数：设人数𝑥、每日工作量𝑥、施工天数𝑥；
（2）表示单日效率，写出分段完成的总工程量 ；
（3）根据题意列不等式组
- 要按期完工：总工程量≥任务总量
- 工期不能超时：总耗时≤规定天数
（4）求解不等式组 ；
（5）人数、天数为正整数，筛选整数解作答。
【典例1】实施乡村振兴战略，打造乡村美丽家园．为解决某镇乡村灌溉问题，县政府部门招标一工程队，
负责完成在某村山脚下修建一座水库的土方施工任务．该工程队有A，B 两种型号的挖掘机，已知4 台A
型和2 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土150 立方米；3 台A 型和7 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土
195 立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费用为300 元，每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180 元．
（1）分别求每台A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A 型和B 型挖掘机共12 台同时施工4 小时，至少完成1080 立方米的挖土量，且总费
用不超过12960 元，问施工时有哪几种调配方案？
【分析】（1）设每台A 型挖掘机一小时挖土x 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土y 立方米，根据“4
台A 型和2 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土150 立方米；3 台A 型和7 台B 型挖掘机同时施工一小时
挖土195 立方米”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设调配m 台A 型挖掘机，则调配（12﹣m）台B 型挖掘机，根据“12 台挖掘机同时施工4 小时，至
少完成1080 立方米的挖土量，且总费用不超过12960 元”，即可得出关于m 的一元一次不等式组，解之
即可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数，即可得出各调配方案．
【解答】解：（1）设每台A 型挖掘机一小时挖土x 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土y 立方米，
依题意得：{4𝑥+ 2𝑦= 150
3𝑥+ 7𝑦= 195，
解得：{𝑥= 30
𝑦= 15．
答：每台A 型挖掘机一小时挖土30 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土15 立方米．
（2）设调配m 台A 型挖掘机，则调配（12﹣m）台B 型挖掘机，
依题意得：{4 × 30𝑚+ 4 × 15(12 −𝑚) ≥1080
4 × 300𝑚+ 4 × 180(12 −𝑚) ≤12960，
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解得：6≤m≤9．
又∵m 为正整数，
∴m 可以为6，7，8，9，
∴施工时共有4 种调配方案，
方案1：调配6 台A 型挖掘机，6 台B 型挖掘机；
方案2：调配7 台A 型挖掘机，5 台B 型挖掘机；
方案3：调配8 台A 型挖掘机，4 台B 型挖掘机；
方案4：调配9 台A 型挖掘机，3 台B 型挖掘机．
【变式1-1】某工程队有A，B 两种型号的挖掘机；已知3 台A 型和5 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165
立方米；4 台A 型和7 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土225 立方米．每台A 型挖掘机一小时的施工费
用为300 元，每台B 型挖掘机一小时的施工费用为180 元．
（1）分别求每台A 型，B 型挖掘机一小时挖土多少立方米？
（2）若不同数量的A 型和B 型挖据机共12 台同时施工4 小时，至少完成1080 立方米的挖土量，且总费
用不超过12960 元，问施工时有哪几种调配方案？
【分析】（1）设每台A 型挖掘机一小时挖土x 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土y 立方米，根据“3
台A 型和5 台B 型挖掘机同时施工一小时挖土165 立方米；4 台A 型和7 台B 型挖掘机同时施工一小时
挖土225 立方米”，可列出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设调配m 台A 型挖掘机，则调配（12﹣m）台B 型挖掘机，根据“不同数量的A 型和B 型挖据机共
12 台同时施工4 小时，至少完成1080 立方米的挖土量，且总费用不超过12960 元”，可列出关于m 的
一元一次不等式组，解之可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数，即可得出各调配方案．
【解答】解：（1）设每台A 型挖掘机一小时挖土x 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土y 立方米，
根据题意得：{3𝑥+ 5𝑦= 165
4𝑥+ 7𝑦= 225，
解得：{𝑥= 30
𝑦= 15．
答：每台A 型挖掘机一小时挖土30 立方米，每台B 型挖掘机一小时挖土15 立方米；
（2）设调配m 台A 型挖掘机，则调配（12﹣m）台B 型挖掘机，
根据题意得：{4[30𝑚+ 15(12 −𝑚)] ≥1080
4[300𝑚+ 180(12 −𝑚)] ≤12960，
解得：6≤m≤9，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为6，7，8，9，
∴施工时有4 种调配方案，
方案1：调配6 台A 型挖掘机，6 台B 型挖掘机；
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方案2：调配7 台A 型挖掘机，5 台B 型挖掘机；
方案3：调配8 台A 型挖掘机，4 台B 型挖掘机；
方案4：调配9 台A 型挖掘机，3 台B 型挖掘机．
【变式1-2】（2025 春•都昌县期中）为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B 两个工程队共同建设某区域的
绿化带；已知A 工程队每人每天能完成80 米绿化带的建设，A 工程队的5 人与B 工程队的6 人合作每天
能完成700 米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同）
（1）求B 工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设；
（2）该公司决定派A，B 两个工程队共20 人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510
米，且B 工程队至少派出1 人，则该公司有哪几种安排方案？
【分析】（1）用两工程队合作工作总量减去A 工程队工作总量，再除以B 工程队人数即可解答；
（2）设A 工程队派出x 人，则B 工程队派出（20﹣x）人，根据“每天完成绿化带建设的总量不少于1510
米，且B 工程队至少派出1 人”列出不等式组，即可解答．
【解答】解：（1）根据题意可得：
（700﹣5×80）÷6＝50（米），
答：B 工程队每人每天能完成50 米绿化带的建设．
（2）设A 工程队派出x 人，则B 工程队派出（20﹣x）人，
{80𝑥+ 50(20 −𝑥) ≥1510
20 −𝑥≥1
，
解得：17≤x≤19，
∵x 为整数，
∴x＝17，18，19，
∴该公司有3 种方案：
方案1：A 工程队17 人，B 工程队3 人；
方案2：A 工程队18 人，B 工程队2 人；
方案3：A 工程队19 人，B 工程队1 人．
【变式1-3】为全力助推句容建设，大力发展句容旅游，某公司拟派A、B 两个工程队共同建设某区域的绿
化带．已知A 工程队2 人与B 工程队3 人每天共完成310 米绿化带，A 工程队的5 人与B 工程队的6 人
每天共完成700 米绿化带．
（1）求A 队每人每天和B 队每人每天各完成多少米绿化带；
（2）该公司决定派A、B 工程队共20 人参与建设绿化带，若每天完成绿化带总量不少于1480 米，且B
工程至少派出2 人，则有哪几种人事安排方案？
【分析】（1）设A 队平均每天完成x 米绿化带，B 队平均每天完成y 米绿化带，则依据等量关系：A 工
程队2 人与B 工程队3 人每天共完成310 米绿化带，A 工程队的5 人与B 工程队的6 人每天共完成700
米绿化带，列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可以列出相应的不等关系式，从而可以求得有几种方案．
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【解答】解：（1）设A 队平均每天完成x 米绿化带，B 队平均每天完成y 米绿化带，依题意有
{2𝑥+ 3𝑦= 310
5𝑥+ 6𝑦= 700，
解得{𝑥= 80
𝑦= 50．
故A 队平均每天完成80 米绿化带，B 队平均每天完成50 米绿化带；
（2）设该公司决定派A 工程队共a 人参与建设绿化带，依题意有
{80𝑎+ 50(20 −𝑎) ≥1480
20 −𝑎≥2
，
解得16≤a≤18，
故人事安排方案为：A：16，B：4 或A：17，B：3 或A：18，B：2．
▌题型04 方案设计问题
1. 解题思路
（1）找出两个约束条件：总量上限、总量下限；总预算最多花多少、最少需要多少
（2）设其中一种物品数量为𝑥，用总数量表示出另一种物品数量
（3）根据限制条件列出一元一次不等式组
（4）解出取值范围，𝑥为正整数，筛选出全部整数解，对应一套就是一种方案。
2. 解题流程
（1）审题，锁定两个不等约束
（2）设未知数：设𝐴类数量𝑥，𝐵类用含𝑥式子表达
（3）列不等式组（数量约束+金额约束）
（4） 求解不等式组，得到自变量取值区间
（5）取区间内所有正整数，逐条列举全部可行方案。
【典例1】（2026 春•抚宁区期末）滨海小城计划建设一些共享单车租赁点．已知建设一个小型租赁点的成
本是5000 元，建设一个大型租赁点的成本是8000 元，若小城计划投入资金不超过50000 元，建设大、
小两种租赁点一共8 个（两种租赁点都至少有一个），则有多少种建设方案？
【分析】设建设x 个大型租赁点，则建设（8﹣x）个小型租赁点，根据题意列不等式求出x 范围，找出其
中的正整数解即可求解．
【解答】解：设建设x 个大型租赁点，则建设（8﹣x）个小型租赁点．
根据题意，得{
8000𝑥+ 5000(8 −𝑥) ≤50000
𝑥≥1
8 −𝑥≥1
，
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解得1 ≤𝑥≤10
3 ，
又因为x 为正整数，所以x 可以取1，2，3．
因此，共有3 种建设方案：
①建设1 个大型租赁点，7 个小型租赁点；
②建设2 个大型租赁点，6 个小型租赁点；
③建设3 个大型租赁点，5 个小型租赁点．
【变式1-1】（2026 春•福州校级期末）家委会计划用班费购买A，B 两种相册共45 本作为学生的毕业礼品，
已知购买2 本A 种相册，3 本B 种相册需要110 元，购买4 本A 种相册，5 本B 种相册需要200 元．
（1）求A，B 两种相册的售价分别是多少元？
（2）若要求购买的A 种相册的数量要不少于B 种相册数量的
1
2，且购买总金额不超过1000 元，则家委会
有多少种不同的购买方案？
【分析】（1）设A 种相册的售价是x 元，B 种相册的售价是y 元，购买2 本A 种相册，3 本B 种相册需
要110 元，购买4 本A 种相册，5 本B 种相册需要200 元．据此列出方程组并解方程组即可；
（2）设购买的A 种相册的数量为m 本，则购买的B 种相册的数量为（45﹣m）本，要求购买的A 种相册
的数量要不少于B 种相册数量的
1
2，且购买总金额不超过1000 元，据此列出不等式组并解不等式组即可．
【解答】解：（1）设A 种相册的售价是x 元，B 种相册的售价是y 元，购买2 本A 种相册，3 本B 种相
册需要110 元，购买4 本A 种相册，5 本B 种相册需要200 元．
则{2𝑥+ 3𝑦= 110
4𝑥+ 5𝑦= 200，
解得{𝑥= 25
𝑦= 20，
答：A 种相册的售价是25 元，B 种相册的售价是20 元；
（2）设购买的A 种相册的数量为m 本，
{
25𝑚+ 20(45 −𝑚) ≤1000
𝑚≥1
2 (45 −𝑚)
解得15≤m≤20
∵m 为正整数，
∴m 可取15，16，17，18，19，20，
∴家委会共有6 种不同的购买方案，具体如下：
方案1：购买A 种相册15 本，B 种相册30 本；
方案2：购买A 种相册16 本，B 种相册29 本；
方案3：购买A 种相册17 本，B 种相册28 本；
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方案4：购买A 种相册18 本，B 种相册27 本；
方案5：购买A 种相册19 本，B 种相册26 本；
方案6：购买A 种相册20 本，B 种相册25 本．
【变式1-2】（2026 春•黄山期末）随着“绿色重庆，低碳出行”理念的推广，新能源汽车在重庆越来越受到
市民的喜爱，某新能源汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，2 辆A 型新能源汽车和
3 辆B 型新能源汽车的进价共计84 万元；3 辆A 型新能源汽车和2 辆B 型新能源汽车的进价共计96 万
元．
（1）求A、B 两种型号的新能源汽车每辆的进价各是多少万元？
（2）该销售公司计划购进这两种型号的新能源汽车共20 辆，用于在重庆主城各区开展推广活动．公司
投入的购车资金不超过340 万元．假设每辆A 型汽车的售价为32 万元，每辆B 型汽车的售价为15 万
元．若要使销售完这批汽车后获得的利润不少于90 万元，该经销商共有哪几种购车方案？
【分析】（1）设每辆A 型新能源汽车的进价是x 万元，每辆B 型新能源汽车的进价是y 万元，根据“2
辆A 型新能源汽车和3 辆B 型新能源汽车的进价共计84 万元；3 辆A 型新能源汽车和2 辆B 型新能源汽
车的进价共计96 万元”，可列出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m 辆A 型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B 型新能源汽车，根据“公司投入的购车资金不
超过340 万元，且销售完这批汽车后获得的利润不少于90 万元”，可列出关于m 的一元一次不等式组，
解之可得出m 的取值范围，再结合m 为正整数，即可得出各购车方案．
【解答】解：（1）设每辆A 型新能源汽车的进价是x 万元，每辆B 型新能源汽车的进价是y 万元，
根据题意得：{2𝑥+ 3𝑦= 84
3𝑥+ 2𝑦= 96，
解得：{𝑥= 24
𝑦= 12．
答：每辆A 型新能源汽车的进价是24 万元，每辆B 型新能源汽车的进价是12 万元；
（2）设购进m 辆A 型新能源汽车，则购进（20﹣m）辆B 型新能源汽车，
根据题意得：{24𝑚+ 12(20 −𝑚) ≤340
(32 −24)𝑚+ (15 −12)(20 −𝑚) ≥90，
解得：6≤m≤25
3 ，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为6，7，8，
∴该经销商共有3 种购车方案，
方案1：购进6 辆A 型新能源汽车，14 辆B 型新能源汽车；
方案2：购进7 辆A 型新能源汽车，13 辆B 型新能源汽车；
方案3：购进8 辆A 型新能源汽车，12 辆B 型新能源汽车．
【变式1-3】（2026 春•红谷滩区校级期末）根据以下素材，探索完成任务．
设计烟花采购方案
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五一假期即将到来，为了吸引更多的游客，某乡镇决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放
时长．
素材1
已知一箱A 型烟花比一箱B 型烟花少100 元，购买20 箱
A 型和10 箱B 型烟花需要5500 元．
素材2
某烟花厂提供产品信息如下：
（1）A 型烟花每箱12 发，B 型烟花每箱20 发．
（2）本厂生产的所有型号烟花每发间隔5 秒，且一发燃放
完后另一发立即开始燃放．
（3）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假
设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱
烟花之间的引燃时间．
（1）求A、B 型烟花每箱多少元？
（2）若该乡镇决定采购这两种型号的烟花共50 箱，且购入的资金不少于8500 元又不多于8800，则该乡
镇共有几种购买方案？
（3）若该乡镇准备支出9000 元（全部用完）购买这两种型号的烟花，可以燃放多少秒？
【分析】（1）设A 型烟花每箱x 元，则B 型烟花每箱（x+100）元，根据“购买20 箱A 型和10 箱B 型
烟花需要5500 元”列出一元一次方程即可解决；
（2）设采购A 型烟花m 箱，则采购B 型烟花（50﹣m）箱，根据“资金不少于8500 元又不多于8800”
列出一元一次不等式组即可解决；
（3）设分别购买A，B 型烟花a，b 箱，根据“支出9000 元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，
对方程整理化简，再用a，b 表示出烟花的燃放时间，整体代入即可求出燃放时间．
【解答】解：（1）设A 型烟花每箱x 元，则B 型烟花每箱（x+100）元，
依题意得20x+10（x+100）＝5500，
解得x＝150，
则x+100＝250，
答：A 型烟花每箱150 元，则B 型烟花每箱250 元；
（2）设采购A 型烟花m 箱，则采购B 型烟花（50﹣m）箱，
依题意得{150𝑚+ 250(50 −𝑚) ≤8800
150𝑚+ 250(50 −𝑚) ≥8500，
解得37≤m≤40，
∴m＝37 或38 或39 或40，
答：该乡镇共有四种购买方案；
（3）解：设分别购买A，B 型烟花a，b 箱，
∴150a+250b＝9000，
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整理得，3a+5b＝180，
∴燃放时长：（12a+20b）×5＝（3a+5b）×4×5＝3600 秒．
答：若仅购买A，B 型烟花，可以燃放3600 秒．
▌题型05 最值问题
1. 解题思路
（1）找出两个约束条件：总量上限、总量下限；总预算最多花多少、最少需要多少
（2）设其中一种物品数量为𝑥，用总数量表示出另一种物品数量
（3）根据限制条件列出一元一次不等式组
（4）解出取值范围，𝑥为正整数，筛选出全部整数解，对应一套就是一种方案
（5）分别核算每种方案成本或利润，对比选出最优方案。
2. 解题流程
（1）审题，锁定两个不等约束
（2）设未知数：设𝐴类数量𝑥，𝐵类用含𝑥式子表达
（3）列不等式组（数量约束+金额约束）
（4） 求解不等式组，得到自变量取值区间
（5）取区间内所有正整数，逐条列举全部可行方案
（6）列式计算各方案总费用，比较大小确定最优方案。
【典例1】（2026 春•武安市期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，某中学开设了“足球大
课间活动”，该校从商店购买了A 种品牌的足球50 个，B 种品牌的足球25 个，共花费4500 元，已知B
种品牌足球的单价比A 种品牌足球的单价高30 元．
（1）求 A、B 两种品牌足球的单价各多少元？
（2）根据需要，学校决定再次购进 A、B 两种品牌的足球50 个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，
A 种品牌的足球单价优惠4 元，B 种品牌的足球单价打8 折．如果此次学校购买 A、B 两种品牌足球的总
费用不超过2750 元，且购买B 种品牌的足球不少于23 个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应
选择哪种方案？该方案的购进费用为多少元？
【分析】（1）设A 种品牌足球的单价是x 元，B 种品牌足球的单价是y 元，根据“购买A 种品牌的足球
50 个，B 种品牌的足球25 个，共需4500 元，B 种品牌足球的单价比A 种品牌足球的单价高30 元”，可
得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买m 个B 种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A 种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B 两
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种品牌足球的总费用不超过2750 元，且购买B 种品牌的足球不少于23 个”，可得出关于m 的一元一次
不等式组，解之即可得出m 的取值范围，结合m 为正整数，可得出共有3 种购买方案，再分别求出各方
案所需总费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设A 种品牌足球的单价是x 元，B 种品牌足球的单价是y 元，
根据题意得：{50𝑥+ 25𝑦= 4500
𝑦−𝑥= 30
，
解得：{𝑥= 50
𝑦= 80，
答：A 种品牌足球的单价是50 元，B 种品牌足球的单价是80 元；
（2）设购买m 个B 种品牌的足球，
{(50 −4)(50 −𝑚) + 80 × 0.8𝑚≤2750
𝑚≥23
，
∴23≤m≤25，
又∵m 为正整数，
∴m 可以为23，24，25，
∴共有3 种购买方案，
方案1：购买25 个A 种品牌的足球，25 个B 种品牌的足球，（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）．
方案2：购买26 个A 种品牌的足球，24 个B 种品牌的足球，（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）；
方案3：购买27 个A 种品牌的足球，23 个B 种品牌的足球，（50﹣4）×27+80×0.8×23＝2714（元）；
∵2714＜2732＜2750，
∴为了节约资金，学校应选择购买方案1，总费用为2714 元．
【变式1-1】（2026 春•玉泉区期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下
雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况：
销售时间
釉色A 销售数量
釉色B 销售数量
总售价
第1 个月
7 套
6 套
6530 元
第2 个月
9 套
5 套
6550 元
（1）求釉色A，B 两款瓷器每套的售价分别为多少元？
（2）若釉色A 瓷器的进价为300 元，釉色B 瓷器的进价为600 元，现专卖店计划用不超过8500 元购进
釉色A，B 两款瓷器一共20 套，且釉色B 瓷器的数量不少于釉色A 瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪
几种进货方案？（瓷器数量为整数）
（3）在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润．
【分析】（1）设釉色A 瓷器每套的售价为a 元，釉色B 瓷器每套的售价为b 元，根据瓷器专卖店近两个
月两款瓷器的销售情况，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设购进釉色A 瓷器为m 套，则釉色B 瓷器为（20﹣m）套，根据釉色A 瓷器的进价为300 元，釉色
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B 瓷器的进价为600 元，现专卖店计划用不超过8500 元购进釉色A，B 两款瓷器一共20 套，且釉色B 瓷
器的数量不少于釉色A 瓷器数量的一半，列出一元一次不等式组，解不等式组即可；
（3）分别计算出每种进货方案的利润，进行比较即可．
【解答】解：（1）设釉色A 款瓷器每套的售价为a 元，釉色B 款瓷器每套的售价为b 元，
由题意得：{7𝑎+ 6𝑏= 6530
9𝑎+ 5𝑏= 6550，
解得：{𝑎= 350
𝑏= 680，
答：釉色A 款瓷器每套的售价为350 元，釉色B 款瓷器每套的售价为680 元；
（2）设购进釉色A 款瓷器为m 套，则釉色B 款瓷器为（20﹣m）套，
由题意得：{
300𝑚+ 600(20 −𝑚) ≤8500
20 −𝑚≥𝑚
2
，
解得：11
2
3 ≤m≤13
1
3，
∵m 为整数，
∴m 的值为12 或13，
∴有两种进货方案：
①购进釉色A 瓷器12 套，釉色B 瓷器8 套；
②购进釉色A 瓷器13 套，釉色B 瓷器7 套；
（3）按方案①进货时，其利润为：（350﹣300）×12+（680﹣600）×8＝1240（元），
按方案②进货时，其利润为：（350﹣300）×13+（680﹣600）×7＝1210（元），
∵1210＜1240，
∴该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240 元．
【变式1-2】（2026 春•广元期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜
爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2 辆A 型汽车、3 辆B 型
汽车的进价共计80 万元；3 辆A 型汽车、2 辆B 型汽车的进价共计95 万元．
（1）求A，B 两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）该汽车销售公司计划购进这两种型号的汽车共20 辆，用于拓展市场业务．该销售公司投入的购车
资金不超过380 万元，且为了保证销售时有足够的车型选择，规定购进的B 型汽车数量不少于A 型汽车
数量的3 倍．假设每辆A 型汽车的售价为30 万元，每辆B 型汽车的售价为14 万元，若要使销售完这两
种汽车后的利润不少于83 万元．该经销商共有几种购车方案？哪种方案的利润最高？
【分析】（1）设A 型汽车每辆的进价为x 万元，B 型汽车每辆的进价为y 万元，根据2 辆A 型汽车、3
辆B 型汽车的进价共计80 万元；3 辆A 型汽车、2 辆B 型汽车的进价共计95 万元建立方程组求解即可；
（2）设购进A 型汽车m 辆，则购进B 型汽车（20﹣m）辆，根据购车资金不超过380 万元，购进的B 型
汽车数量不少于A 型汽车数量的3 倍且销售完这两种汽车后的利润不少于83 万元建立不等式组求解即
可．
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【解答】解：（1）设A 型汽车每辆的进价为x 万元，B 型汽车每辆的进价为y 万元，
根据题意列二元一次方程组得：{2𝑥+ 3𝑦= 80
3𝑥+ 2𝑦= 95，
解得{𝑥= 25
𝑦= 10，
答：A 型汽车每辆的进价为25 万元，B 型汽车每辆的进价为10 万元；
（2）设购进A 型汽车m 辆，则购进B 型汽车（20﹣m）辆．
根据题意列一元一次不等式组得，{
25𝑚+ 10(20 −𝑚) ≤380
20 −𝑚≥3𝑚
(30 −25)𝑚+ (14 −10)(20 −𝑚) ≥83
，
解得3≤m≤5，
∵m 为整数，
∴m 的值为3 或4 或5；
∴共有三种购买方案，利润为（30﹣25）m+（14﹣10）（20﹣m）＝（80+m）万元，
当m＝3 时，利润为80+m＝80+3＝83（万元）；
当m＝4 时，利润为80+m＝80+4＝84（万元）；
当m＝5 时，利润为80+m＝80+5＝85（万元）；
答：共有3 种购车方案，购进5 辆A 型、15 辆B 型时利润最高．
【变式1-3】（2025 春•平凉校级期末）崆峒旅游节期间，为了抓住旅游节带来的商机，某商店决定定制甲、
乙两种旅游节纪念品．若定制甲种纪念品7 件，乙种纪念品4 件，需要900 元；若定制甲种纪念品3 件，
乙种纪念品8 件，需要700 元．
（1）求定制甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定定制这两种纪念品共50 件，考虑市场需求和资金周转，用于定制这50 件纪念品的资
金不少于3700 元，但不超过3800 元，那么该商店共有几种定制方案？
（3）若销售每件甲种纪念品可获利润10 元，每件乙种纪念品可获利润20 元，在第（2）问的各种定制方
案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）设甲种纪念品每件需x 元，乙种纪念品每件需y 元，根据题意找到等量关系列出二元一次
方程组求解即可；
（2）设定制甲种纪念品m 件，则乙种纪念品为（50﹣m）件，根据题意定制资金不少于3700 元，但不超
过3800 元，列出一元一次不等式组求解，再根据m 只能是整数得出方案数即可；
（3）分别求出（2）中三种方案的费用，然后比较，即可求解．
【解答】解：（1）设甲种纪念品每件需x 元，乙种纪念品每件需y 元，
{7𝑥+ 4𝑦= 900
3𝑥+ 8𝑦= 700，
解得：{𝑥= 100
𝑦= 50 ，
故：甲种纪念品每件需100 元，乙种纪念品每件需50 元；
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（2）设定制甲种纪念品m 件，
3700≤100m+50（50﹣m）≤3800，
24≤m≤26，
∵m 为整数，
∴m＝24，25，26，
故有3 种方案；
（3）由（2）知：三种方案的费用分别为：
当m＝25 时，费用为10×25+20×（50﹣25）＝750 元；
当m＝24 时，费用为10×24+20×（50﹣24）＝760 元；
当m＝26 时，费用为10×26+20×（50﹣26）＝740 元，
∵760＞750＞740，
∴在第（2）问的各种定制方案中，定制甲24 件，乙26 件时获利最大，最大利润为760 元．
▌题型06 阶梯收费问题
1. 题型特征
水费、电费、燃气费、打车费、话费、快递运费，分段定价，用量不同单价不一样；给出总费用范围，列
不等式组求使用量区间。
关键词：分段计价、第几阶梯、超出部分另算、总费用不少于/不超过。
核心逻辑：总价=每一档基础费用+超出档位部分×高阶单价。
2. 解题核心思路
（1）划分收费区间，熟记每一档用量界限、对应单价；
（2）设总使用量为𝑥，先判断𝑥落在第几阶梯；
（3）分情况列出对应计价代数式；
（4）结合总费用的上下限制，列出一元一次不等式组；
（5）求解解集，结合分段区间取舍，得出最终取值范围。
3. 解题步骤
（1）审题划出各阶梯用量、对应单价；
（2）设用水量/里程/用气数量为未知数𝑥；
（3）分段写出不同区间的收费计算公式；
（4）根据总费用范围列不等式组；
（5）联立区间范围，取公共解集作答。
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【典例1】（2025 秋•天台县期末）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一
级为月用水量17m3 以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3 但不超过30m3；第三级为月用水量
超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025 年7 月份的生活用水消费明细（不完整）．
居民生活用水消费明细
计费日期2025﹣7﹣1 至2025﹣7﹣31
自来水费
污水处理费
用水量/m3
单价/（元
/m3）
金额/元
用水量/m3
单价/（元
/m3）
金额/元
阶段一：17
2
34
阶段一：17
1
17
阶段二：▲
2.5
▲
阶段二：▲
1
▲
本期实付金额（大写）
▲
（注：居民生活用水水费＝自来水费+污水处理费）
已知该居民6 月份和7 月份的用水量总和为42m3，且7 月份的用水量超过6 月份，但不超过6 月份的2
倍．
（1）设该居民7 月份的用水量为xm3，求x 的取值范围；
（2）该居民7 月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元；
（3）若该居民7 月份的生活用水水费比6 月份多41 元，求该居民7 月份的用水量．
【分析】（1）设该居民7 月份的用水量为xm3，则该居民6 月份的用水量为（42﹣x）m3，根据“7 月份
的用水量超过6 月份，但不超过6 月份的2 倍”，可列出关于x 的一元一次不等式组，解之可得出x 的
取值范围；
（2）求出当7 月份用水量是28m3 时的水费即可；
（3）根据该居民7 月份的生活用水水费比6 月份多41 元，可列出关于x 的一元一次方程，解之取其符
合题意的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）设该居民7 月份的用水量为xm3，则该居民6 月份的用水量为（42﹣x）m3，
根据题意得：{𝑥＞42 −𝑥
𝑥≤2(42 −𝑥)，
解得：21＜x≤28．
答：x 的取值范围为21＜x≤28；
（2）根据题意得：2×17+2.5×（28﹣17）+1×28
＝2×17+2.5×11+1×28
＝34+27.5+28
＝89.5（元）．
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答：该居民7 月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5 元；
（3）当21＜x＜25 时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2×17+2.5（42﹣x﹣17）+（42﹣x）]＝130≠41，不符
合题意，舍去；
当25≤x≤28 时，[2×17+2.5（x﹣17）+x]﹣[2（42﹣x）+（42﹣x）]＝41，
解得：x＝27．
答：该居民7 月份的用水量为27m3．
【变式1-1】小丽星期天晚上打电话向老师请教数学问题，本地固定电话的收费标准是前3min0.2 元（不足
3min 按3min 计算），以后0.1 元/min（不足1min 按1min 计算）．通过查询费用得知，本次通话产生话
费为1.5 元，则本次通话时间可能是（ ）
A．15min
B．15
3
11min
C．16
5
59min
D．13min
【分析】由于1.5 元＞0.2 元，可知本次通过时间超过3min，通话产生的话费＝3min 以内的费用+超出3min
部分的费用，设本次通话时间为xmin，根据通话xmin 的费用大于（1.5﹣0.1）元且不大于1.5 元列不等式
组求解．
【解答】解：设本次通话时间为xmin．
由题意，得{
0.2 + 0.1(𝑥−3) ≤1.5
0.2 + 0.1(𝑥−3)＞1.5 −0.1，
解不等式组，得15＜x≤16．
分析各选项，只有选项B 符合题意．
故选：B．
【变式1-2】（2026 春•杨浦区校级月考）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8 元（即行驶距离不超过3 千
米都需付8 元车费），超过3 千米以后，每增加1 千米，加收2 元（不足1 千米的部分按1 千米计）．某
人乘出租车从甲地到乙地共付车费18 元，那么甲地到乙地路程x 满足（ ）
A．x＝8.5
B．7≤x＜8
C．7≤x≤8
D．7＜x≤8
【分析】根据某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18 元，结合计费标准，可列出关于x 的一元一次不等
式组，解之即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：{
8 + 2(𝑥−3) ≤18
8 + 2(𝑥−3)＞16 ，
解得：7＜x≤8，
∴甲地到乙地路程x 满足7＜x≤8．
故选：D．
【变式1-3】某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示：
月用水量
不超过12 吨的部分 超过12 吨不超过18
超过18 吨的部分
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吨的部分
收费标准（元/吨）
2.00
2.50
3.00
（1）某户5 月份交水费45 元，则该用户5 月份的用水量是多少？
（2）要使月所缴水费控制在20 元至30 元之间，则该户的月用水量应该控制在什么范围内？
【分析】（1）易得用水量超过了12 吨，那么等量关系为：12 吨的水费+超过12 吨的水费＝45，把相关
数值代入计算即可；
（2）若水费为20 元，则用水吨数为10 吨，易得所用水的吨数在12 吨﹣18 吨之间，进而让12 吨的水费
+超过12 吨的水费≤30 可得能用水吨数的最大值．
【解答】（1）设该用户5 月份的用水量为x 吨，根据题意得：
12×2+6×2.5+3（x﹣18）＝45，
解得x＝20，
答：该用户5 月份的用水量为20 吨．
（2）设该用户月用水量为x 吨，
若x＞18 时，12×2+2.5×6＝39＞30（元），所以只能x＜18．
若x＜12，则由2x＝20，得x＝10；
若12＜x＜18，则由24+2.5（x﹣12）＜30，得x＜14.4，
所以10＜x＜14.4，
答：该户的月用水量应该控制在10 吨到14.4 吨之间．
▌题型7 销售问题
（1）设价列式：设进价、售价或数量为未知数，根据销售额、利润、利润率等公式建立不等式（组）。
（2）双量关系：常见两个等量关系，如“总进价=进价×数量”与“总利润=（售价-进价）×数量”组合。
（3）理清公式：熟记利润=售价-进价、利润率=利润/进价×100%等基本关系。
（4）单位统一：涉及折扣时，先将折扣价表示为原价的十分之几（如六折=0.6倍）。
【典例1】（2026•科尔沁区校级模拟）为推广内蒙古特色美食，某食品店推出传统奶豆腐和即食奶片两种包
装产品．已知购进4 盒传统奶豆腐与购进7 盒即食奶片的费用相同，每盒传统奶豆腐的进价比每盒即食
奶片的进价高6 元．
（1）求每盒传统奶豆腐和每盒即食奶片的进价各是多少元？
（2）为迎接“草原旅游节”，该店计划用不超过3000 元的资金购进这两种产品共240 盒．若传统奶豆腐
每盒售价为20 元，即食奶片每盒售价为12 元，且全部售出后利润不低于1280 元，则最多可购进传统奶
豆腐多少盒？
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【分析】（1）设每盒即食奶片的进价为x 元，则每盒传统奶豆腐的进价为（x+6）元，根据“购进4 盒传
统奶豆腐与购进7 盒即食奶片的费用相同”列方程求解即可；
（2）设购进传统奶豆腐m 盒，则购进即食奶片（240﹣m）盒，根据题意列不等式组求解即可．
【解答】解：（1）设每盒即食奶片的进价为x 元，
由题意，得4（x+6）＝7x，
解得x＝8，
传统奶豆腐的进价为8+6＝14（元），
答：每盒传统奶豆腐进价为14 元，每盒即食奶片进价为8 元．
（2）设购进传统奶豆腐m 盒，
由题意，得{14𝑚+ 8(240 −𝑚) ≤3000
(20 −14)𝑚+ (12 −8)(240 −𝑚) ≥1280，
解得160≤m≤180．
答：最多可购进传统奶豆腐180 盒．
【变式1-1】（2026 春•合肥校级期中）新情景：（地方特色）利用以下素材解决问题．
素材1
“中国第一水乡”周庄，不仅有小桥流水的古韵，更藏着许
多手工制作、传承百年的江南特色小吃，如袜底酥、青团、
万三蹄等特色小吃，其中，万三蹄因明代富商沈万三而得
名．
素材2
周庄古镇内某商店销售万三蹄，成本价是15 元/个，分为线
上，线下两种方式，都是整个出售，其中，线上1 个和线下
2 个的售价共100 元，线上2 个和线下1 个的售价共95 元，
五一小长假即将到来，预计今年5 月1 号到5 号这五天的线
上销售个数不多于1002 个，两种方式的总销售个数达到
4000 个，总销售金额不多于135000 元．
（1）求万三蹄线上，线下的售价分别是每个多少元．
（2）预计今年五一小长假万三蹄的线上销售个数可能有多少个？
（3）若万三蹄线上售价上涨m 元/个，线下售价不变，则预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，
请直接写出m 的值．
【分析】（1）设线上售价x 元/个，线下售价y 元/个，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设线上销售a 个，线下销售（4000﹣a）个，根据题意列出不等式组即可求解；
（3）根据题意列出代数式，然后化简即可．
【解答】解：（1）设线上售价x 元/个，线下售价y 元/个
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根据题意列二元一次方程组得：{𝑥+ 2𝑦= 100
2𝑥+ 𝑦= 95 ，
解得{𝑥= 30
𝑦= 35，
答：线上30 元/个，线下35 元/个；
（2）设线上销售a 个，
根据题意列一元一次不等式组得：{
𝑎≤1002
30𝑎+ 35(4000 −𝑎) ≤135000，
解得1000≤a≤1002，
∵a 为整数，
∴a＝1000、1001、1002，
∴线上销售个数可能有1000 个或1001 个或1002 个；
（3）根据题意列式得：利润＝（30+m﹣15）a+（35﹣15）（4000﹣a）＝80000+（m﹣5）a，
∵预计今年五一小长假这五天销售总利润是定值，
∴m﹣5＝0，
解得m＝5．
【变式1-2】（2026 春•江北区校级月考）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产
成本和售价如表：
款式
成本（元/件）
售价（元/件）
甲
700
1000
乙
800
1200
根据以上信息，解答下列问题：
（1）若该厂投入230000 元来生产甲、乙两款服装共300 件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙
两款服装各多少件？
（2）工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500 件，
要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2 倍．假设能全部售完利润不低于166500 元，请通过计算设计该
工厂所有可能的生产方案．
【分析】（1）设甲款服装x 件，则乙款服装（300﹣x）件，然后根据题意可得方程700x+800（300﹣x）
＝230000，进而求解即可；
（2 ）设甲款服装
m
件，则乙款服装（500 ﹣m ）件，由题意可列出不等式组
{𝑚≥2(500 −𝑚)
(1000 −700)𝑚+ (1200 −800)(500 −𝑚) ≥166500，进而求解即可．
【解答】解：（1）设甲款服装x 件，则乙款服装（300﹣x）件，
由题意列一元一次方程得：700x+800（300﹣x）＝230000，
整理得，100x＝10000，
解得x＝100，
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∴300﹣x＝300﹣100＝200；
答：可以生产甲款服装100 件，乙款服装200 件；
（2）设甲款服装m 件，
根据题意列一元一次不等式组得：
{𝑚≥2(500 −𝑚)
(1000 −700)𝑚+ (1200 −800)(500 −𝑚) ≥166500，
解得333 1
3 ≤𝑚≤335，
∵m 是正整数，
∴m 的取值为334 或335；
答：共有2 种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334 件，乙款服装166 件；方案二：生产甲款服装
335 件，乙款服装165 件．
【变式1-3】（2026•渠县校级模拟）在北京进行的2022 年冬季奥运会和冬季残奥会备受世界人士关注．吉
祥物“冰墩墩”、“雪容融”玩具随之大卖，购买8 个“冰墩墩”和4 个“雪容融”玩具共需960 元，购
买6 个“冰墩墩”和8 个“雪容融”玩具共需1020 元．
（1）分别求出“冰墩墩”和“雪容融”玩具的销售单价．
（2）若每个“冰墩墩”玩具制作成本为60 元，每个“雪容融”玩具成本为40 元，准备制作两种吉祥物
玩具共100 个，总成本不超过5000 元，且销售完该批次吉祥物玩具，利润不低于2480 元，请问有哪几
种制作方案？
【分析】（1）设“冰墩墩”的销售单价为x 元，“雪容融”的销售单价为y 元，由题意：购买8 个“冰
墩墩”和4 个“雪容融”共需960 元，购买6 个“冰墩墩”和8 个“雪容融”共需1020 元．列出二元一
次方程组，解方程组即可；
（2）设制作m 个“冰墩墩”，则制作（100﹣m）个“雪容融”，由题意：总成本不超过5000 元，且销
售完该批次吉祥物，利润不低于2480 元，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：（1）设“冰墩墩”的销售单价为x 元，“雪容融”的销售单价为y 元，
依题意得：{8𝑥+ 4𝑦= 960
6𝑥+ 8𝑦= 1020，
解得：{𝑥= 90
𝑦= 60，
答：“冰墩墩”的销售单价为90 元，“雪容融”的销售单价为60 元．
（2）设制作m 个“冰墩墩”，则制作（100﹣m）个“雪容融”，
依题意得：{60𝑚+ 40(100 −𝑚) ≤5000
(90 −60)𝑚+ (60 −40)(100 −𝑚) ≥2480，
解得：48≤m≤50，
∵m 为正整数，
∴m 的值为48、49、50，
∴有3 种制作方案：
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①制作48 个“冰墩墩”，52 个“雪容融”；
②制作49 个“冰墩墩”，51 个“雪容融”；
③制作50 个“冰墩墩”，50 个“雪容融”．
