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专题28 一元一次不等式及解法
（题型突破·举一反三）
▌题型01 判断是否为一元一次不等式
【典例1】B．
【变式1-1】A．
【变式1-2】D．
【变式1-3】①④⑤．
▌题型02 根据一元一次不等式的定义求参数
【典例1】B．
【变式1-1】A．
【变式1-2】﹣3．
【变式1-3】2．
▌题型03 不等式的解
【典例1】D．
【变式1-1】A．
【变式1-2】A．
【变式1-3】C．
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▌题型04 数轴上表示不等式的解集
【典例1】D．
【变式1-1】D．
【变式1-2】C．
【变式1-3】C．
▌题型05 解一元一次不等式
【典例1】
【解答】解：去分母，得2x﹣3（x﹣1）≥6，
去括号，得2x﹣3x+3≥6，
移项、合并同类项，得﹣x≥3，
解得x≤﹣3，
在数轴上表示为：
【变式1-1】
【解答】解：去分母，得2（1﹣x）﹣6≤3（2+x），
去括号，得2﹣2x﹣6≤6+3x，
移项，得﹣2x﹣3x≤6+6﹣2，
合并同类项，得﹣5x≤10，
系数化为1，得x≥﹣2，
解集在数轴上表示为：
【变式1-2】
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【解答】解：
1+2𝑥
5
＞
3+𝑥
2
−1，
去分母得，2（1+2x）＞5（3+x）﹣10，
去括号得，2+4x＞15+5x﹣10，
移项得，4x﹣5x＞15﹣10﹣2，
合并同类项得，﹣x＞3，
x 的系数化为1 得，x＜﹣3，
不等式的解集在数轴上表示如图：
．
【变式1-3】
【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣（9x+2）≤6，
去括号，得：4x﹣2﹣9x﹣2≤6，
移项，得：4x﹣9x≤6+2+2，
合并同类项，得：﹣5x≤10，
系数化为1，得：x≥﹣2，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
▌题型06 求一元一次不等式的整数解
【典例1】B．
【变式1-1】C．
【变式1-2】B．
【变式1-3】3．
▌题型07 根据一元一次不等式的解集求参数
【典例1】C．
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【变式1-1】A．
【变式1-2】A．
【变式1-3】B．
▌题型08 解不等式时过程出错
【典例1】
【解答】解：任务一：以上解题过程中，第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：不等号的方向没有
改变，
故答案为：五，不等号的方向没有改变；
任务二：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，
去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，
移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，
合并得：﹣5x＞﹣10，
系数化为1 得：x＜2，
故答案为：x＜2；
任务三：∵
𝑥−2
5
−
𝑥+1
2
＞1，
∴2（x﹣2）﹣5（x+1）＞10，
2x﹣4﹣5x﹣5＞10，
2x﹣5x＞10+4+5，
﹣3x＞19，
则x＜−19
3 ．
【变式1-1】
【解答】解：（1）从第五步开始出现错误，错误的原因是：不等式两边除以﹣7，不等号的方向没有改变．
故答案为：五；不等式两边都除以﹣7，不等号的方向没有改变；
（2）该不等式的正确解集是：x≥1；
不等式的解集在数轴上表示如图：
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【变式1-2】
【解答】解：（1）小明的解法是从第三步开始出错的，第四步的依据是不等式的基本性质3（或不等式
的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变），
故答案为：三，不等式的基本性质3（或不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变）；
（2）
𝑥+2
6
≥
2𝑥−3
4
，，
去分母得：2（x+2）≥3（2x﹣3），
去括号得：2x+4≥6x﹣9，
移项、合并同类项得：﹣4x≥﹣13，
两边同时除以﹣4 得：𝑥≤13
4 ．
【变式1-3】
【解答】解：（1）第一步的依据是不等式的性质2，不等式的两边同时乘或除同一个不为0 的数，不等
号的方向不变；第三步再移项时4x 与3 的符号没改变．
故答案为：不等式的性质2；三；
（2）
1+𝑥
2
＜
1+2𝑥
3
+ 1，
去分母，得3（1+x）＜2（1+2x）+6，
去括号，得3+3x＜2+4x+6，
移项，得3x﹣4x＜2+6﹣3，
合并同类项，得﹣x＜5，
系数化为1，得x＞﹣5．
▌题型09 一元一次不等式与二元一次方程组
【典例1】
【解答】解：（1）两个方程相加得：2x+2y＝8+2m，
则x+y＝4+m，
∵x+y＝2，
∴4+m＝2，
解得：m＝﹣2；
（2）用第一个方程减去第二个方程得：4y＝6﹣4m，
则y＝1.5﹣m，
∵y 为负数，
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∴1.5﹣m＜0，
解得：m＞1.5
【变式1-1】
拓展：先求出𝑥= 1 + 2
3 𝑚，𝑦= −5
3 𝑚+ 1
2，根据x+y≥2 列不等式求解即可．
【解答】教材呈现：解：3k﹣5x＝﹣9，
解得：𝑥= 9+3𝑘
5
，
∵方程3k﹣5x＝﹣9 的解是非负数，
∴
9+3𝑘
5
≥0，
解得：k≥﹣3；
拓展：解：{5𝑥+ 2𝑦= 6①
𝑥−2𝑦= 4𝑚②，
①+②得6x＝6+4m，𝑥= 1 + 2
3 𝑚，
把𝑥= 1 + 2
3 𝑚代入②得，
−2𝑦= 4𝑚−1 −2
3 𝑚，
解得：𝑦= −5
3 𝑚+ 1
2，
∵x+y≥2，
∴1 + 2
3 𝑚−5
3 𝑚+ 1
2 ≥2，
解得：𝑚≤−1
2
∴m 的最大整数解为﹣1．
【变式1-2】
【解答】解：（1）{𝑥−2𝑦= 4𝑎−6①
𝑥+ 2𝑦= 2𝑎+ 8②，
①+②得：2x＝6a+2，
∴x＝3a+1，
②﹣①得：4y＝﹣2a+14，
∴𝑦= −1
2 𝑎+ 7
2，
∵x≥2y 且y≥0，
∴{
3𝑎+ 1 ≥−𝑎+ 7
−1
2 𝑎+ 7
2 ≥0
，
解得1.5≤a≤7；
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（2）由条件可知：（a﹣3）x＞a﹣3．
∵x＜1，
∴a﹣3＜0．
∴a＜3．
由（1）可知1.5≤a≤7，
∴1.5≤a＜3 且a 为整数．
∴a＝2．
【变式1-3】
【解答】解：（1）∵方程组{4𝑥+ 𝑦= 3𝑎−2
𝑥−2𝑦= 7
与方程2x﹣y＝8 的解相同，
∴x，y 满足方程组{𝑥−2𝑦= 7
2𝑥−𝑦= 8，
解得{ 𝑥= 3
𝑦= −2，
代入4x+y＝3a﹣2 得，
得12﹣2＝3a﹣2，
解得a＝4；
（2）{4𝑥+ 𝑦= 3𝑎−2
①
𝑥−2𝑦= 7
②，
①﹣②，得3x+3y＝3a﹣9，即x+y＝a﹣3，
∵x+y＜5，
∴a﹣3＜5，
解得a＜8．
▌题型10 整数解（含参）问题
【典例1】D．
【变式1-1】C．
【变式1-2】A．
【变式1-3】A．
▌题型11 新定义问题
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【典例1】A．
【变式1-1】B．
【变式1-2】
【解答】解：（1）解不等式①：5（x﹣1）＞2x﹣5，
5x﹣5＞2x﹣5，
3x＞0，
x＞0，
解不等式②：
2𝑥+1
4
−
𝑥
2 ≤
2𝑥+1
6
，
两边同乘6：
2（2x+1）﹣3x≤2x+a，
4x+2﹣3x≤2x+1，
x+2≤2x+1，
x≥1，
不等式①解集x＞0，不等式②解集x≥1，
①解集内有些数不在②的解集范围内，所以①不是②的“真子不等式”；
（2）解
3𝑥−𝑎
2
＞𝑎得x＞a，
解2x+a＞1 得𝑥＞1−𝑎
2 ，
由题可知
1−𝑎
2
≤𝑎，
∴解得𝑎≥1
3．
【变式1-3】
【解答】解：（1）解不等式A：x+2＞1，得x＞﹣1，
∵不等式B 的解集为x＞3，
∴满足x＞3 的数都满足x＞﹣1，
即B 的所有解都是A 的解，
∴A 与B 存在“雅含”关系，B 是A 的子式．
（2）关于x 的不等式C：
𝑥−1
2
＜
𝑎+1
3 ，D：2x﹣（3﹣x）＜3，
解不等式C 得𝑥＜2𝑎+5
3
，
解不等式D 得x＜2，
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∵C 与D 存在“雅含”关系，且C 是D 的“子式”，
∴
2𝑎+5
3
≤2，
解得𝑎≤1
2．
▌题型12 程序问题
【典例1】x＜7．
【变式1-1】
【解答】解：（1）根据运算程序列出方程，﹣4x﹣2＝10，
解得：x＝﹣3
乙的计算结果为：(−3 + 2) ÷ 4 = −1
4；
（2）−4𝑥−2＞𝑥+2
4 ，
整理得：﹣16x﹣8＞x+2，
∴﹣17x＞10，
解得：x＜−10
17．
【变式1-2】
【解答】解：（1）若输入x 的值为2，
则﹣2×（﹣22）﹣4
＝﹣2×（﹣4）﹣4
＝8﹣4
＝4，
即输出y 的值为4；
（2）由题意得﹣x×（﹣22）﹣4≤﹣5，
整理得：4x﹣4≤﹣5，
解得：x≤﹣0.25，
则x 的最大整数解为﹣1．
【变式1-3】
【解答】解：（1）当“■”内的数字为﹣4 时，101×（﹣4）+1＝﹣403＜500，
∴﹣403×（﹣4）+1＝1613＞500，
∴最后输出的结果为1613；
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（2）设“■”内的数字为x，
根据题意，得100x+1＞500，
解得x＞4.99，
∵x 为正整数，
∴x 最小为5，
∴“■”内的数字的最小值为5．
▌题型13 一元一次方程与不等式问题
【典例1】m＜3．
【变式1-1】D．
【变式1-2】
【解答】解：解关于x 的一元一次方程
𝑥−𝑚
2
=
1
3 +x 得x= −3𝑚−2
3
，
则
−3𝑚−2
3
＞1，
解得m＜−5
3．
故m 的取值范围是m＜−5
3．
【变式1-3】
【解答】解：（1）解方程2x﹣4＝0 得x＝2，
当x＝2 时，5x﹣2＝7＞3，
即x＝2 不是不等式5x﹣2＜3 的解，
所以组合{2𝑥−4 = 0
5𝑥−2＜3 是无缘解；
故答案为：无缘解；
（2）解方程3x﹣6＝0 得x＝2，
解不等式
𝑥−𝑎
2
＞a 得x＞3a，
∵关于x 的组合是“梦想解”，
∴3a＜2，
解得a＜2
3，
即a 的取值范围为a＜2
3；
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（3）解方程2﹣x＝x﹣2m 得x＝m+1，
解不等式
𝑥−𝑚
3
+1＜x+m 得x＞3−4𝑚
2
，
∵关于x 的组合是“无缘解”，
∴
3−4𝑚
2
≥m+1，
解得m≤1
6．
故答案为：m≤1
6．
▌题型14 解|x|＜a 型不等式
【典例1】
【解答】解：（1）根据绝对值的定义得：x﹣3＞2 或x﹣3＜﹣2，
解得x＞5 或x＜1；
（2）∵|2x﹣1|＜a，
∴﹣a＜2x﹣1＜a，
解得
1−𝑎
2
＜x＜𝑎+1
2 ，
∵解集为b＜x＜3，
∴{
1−𝑎
2
= 𝑏
𝑎+1
2
= 3
，
解得{𝑎= 5
𝑏= −2，
则a﹣2b＝5+4＝9；
（3）两个方程相加，得：3x+3y＝﹣3m﹣3，
∴x+y＝﹣m﹣1，
∵|x+y|≤2，
∴﹣2≤x+y≤2，
∴﹣2≤﹣m﹣1≤2，
解得﹣3≤m≤1，
又m 是负整数，
∴m＝﹣3 或m＝﹣2 或m＝﹣1．
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【变式1-1】
【解答】解：（1）①不等式|x|＜3 的解集是﹣3＜x＜3；
故答案为：﹣3＜x＜3；
②不等式|x|＞5 的解集是x＜﹣5 或x＞5；
故答案为：
（2）①绝对值不等式|x﹣2|＜a（a＞0），
∴﹣a＜x﹣2＜a，解得2﹣a＜x＜2+a，
∴{2 −𝑎= −3
2 + 𝑎= 𝑏，
解得{𝑎= 5
𝑏= 7；
故答案为：5；7；
②|x﹣2|+3≥4，则|x﹣2|≥1，
∴x﹣2≤﹣1 或x﹣2≥1，
解得x≤1 或x≥3．
【变式1-2】
【解答】解：（1）|x|＜3，从数轴上可以看出只有大于﹣3 且小于3 的数的绝对值小于3，所以|x|＜3 的解
集为﹣3＜x＜3，如图1，
故答案为：﹣3＜x＜3；
（2）∵|2x﹣3|＞1，
∴2x﹣3＞1 或2x﹣3＜﹣1，
解得x＞2 或x＜1，如图2，
∴|2x﹣3|＞1 的解集为x＞2 或x＜1．
【变式1-3】
【解答】解：（1）根据绝对值的意义可知点B 到点C 的距离为|﹣2﹣1|＝3；
点A 到点B 的距离与点A 到点C 的距离之和可表示为|x﹣（﹣2）|+|x﹣1|＝|x+2|+|x﹣1|；
故答案为：3，|x+2|+|x﹣1|；
（2）|x﹣3|+|x﹣2|表示数轴上x 与3 和x 与2 的距离之和，
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故当2≤x≤3 时，|x﹣3|+|x﹣2|取最小值，且最小值为3﹣2＝1；
故答案为：2≤x≤3，1；
（3）①|x|≥4 的解集为x≥4 或x≤﹣4；
故答案为：x≥4 或x≤﹣4；
②当x＜﹣1 时，|x+1|+|x﹣3|＝﹣x﹣1﹣x+3＝﹣2x+2＞8，
∴x＜﹣3；
当﹣1≤x≤3 时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1﹣x+3＝4＜8，
∴x 无解；
当x＞3 时，|x+1|+|x﹣3|＝x+1+x﹣3＝2x﹣2＞8，
∴x＞5；
综上所述：x＜﹣3 或x＞5．
故答案为：x＜﹣3 或x＞5．
