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专题30 一元一次不等式组
（题型突破·举一反三）
▌题型01 一元一次不等式组的定义
【典例1】C．
【变式1-1】C．
【变式1-2】C．
【变式1-3】③④⑤．
▌题型02 利用数轴表示不等式组的解集
【典例1】A．
【变式1-1】B．
【变式1-2】A．
【变式1-3】A．
▌题型03 解一元一次不等式组
【典例1】
【解答】解：解不等式4（x﹣2）＜3x﹣4 得：x＜4，
解不等式
𝑥+4
3
≤𝑥+ 2得：x≥﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜4，
数轴表示如下：
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【变式1-1】
【解答】解：{
3(𝑥−1) ≤4 + 2𝑥①
𝑥−9
5 ＜2𝑥②
，
解不等式3（x﹣1）≤4+2x，得x≤7，
解不等式
𝑥−9
5
＜2x，得x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤7．
【变式1-2】
【解答】解：{
2(𝑥+ 1)＞𝑥−2
①
𝑥+3
2
≥2𝑥
②
解不等式①，得：x＞﹣4，
解不等式②，得：x≤1，
∴原不等式组的解集为﹣4＜x≤1，
其解集在数轴上表示如下，
．
【变式1-3】
【解答】解：（1）{
4(𝑥−1) ≥𝑥+ 2①
2𝑥+1
3
＞𝑥−1②．
解不等式①，得x≥2，
解不等式②，得x＜4，
∴不等式组的解集为：2≤x＜4；
（2）{ 2𝑥−5𝑦= 7①
3𝑥+ 2𝑦= 12②．
①×2+②×5 得19x＝74，
解得x= 74
19，
将x= 74
19代入①得2× 74
19 −5y＝7，
解得y= 3
19，
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∴方程组的解为：{
𝑥= 74
19
𝑦= 3
19
．
▌题型04 一元一次不等式组的整数解
【典例1】
【解答】解：{
5𝑥−1＞3(𝑥+ 3)
2𝑥−1
3
−𝑥
2 ≤1
，
解不等式5x﹣1＞3（x+3）得：x＞5，
解不等式
2𝑥−1
3
−
𝑥
2 ≤1得：x≤8，
∴不等式组解集：5＜x≤8，
∴原不等式组的所有整数解：6，7，8．
【变式1-1】
【解答】解：解不等式1−𝑥−2
3
≥1
6 𝑥得：𝑥≤10
3 ，
解不等式
1−𝑥
2
＜𝑥得：𝑥＞1
3，
∴原不等式组的解集为：
1
3 ＜𝑥≤
10
3 ，
则原不等式组的正整数解为1，2，3．
【变式1-2】
【解答】解：解不等式2x+1≤3x+3 得：x≥﹣2，
解不等式
𝑥+1
2
＜
𝑥
6 + 1得：𝑥＜3
2，
∴不等式组的解集为−2 ≤𝑥＜3
2，
数轴表示如下：
∴不等式组的整数解有﹣2、﹣1、0、1，和为﹣2﹣1+0+1＝﹣2．
【变式1-3】
【解答】解：（1）3x﹣6＜5x﹣1，
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移项可得：3x﹣5x＜﹣1+6，
合并同类项得：﹣2x＜5，
系数化为1 得：𝑥＞−5
2；
解集在数轴上表示：
（2）−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥，
移项可得：−1
3 𝑥+ 𝑥≤2
3，
合并同类项得：
2
3 𝑥≤
2
3，
系数化为1 得：x≤1．
解集在数轴上表示：
（3）不等式组{
3𝑥−6＜5𝑥−1
−1
3 𝑥≤2
3 −𝑥
的解集为：−5
2 ＜𝑥≤1．
故答案为：−5
2 ＜𝑥≤1．
（4）由解集可得，不等式组的最小负整数解为：﹣2．
故答案为：﹣2．
▌题型05 错解复原问题
【典例1】
【解答】解：（1）观察解答过程知，该同学的解答过程中第四步出现了错误，错误原因是不等式两边同
时除以负数，不等号的方向没有改变，不等式①的正确解集是x≤﹣1；
故答案为：四；不等式两边同时除以负数，不等号的方向没有改变；x≤﹣1；
（2）去分母得：2（x﹣3）﹣10＜5（x+1），
去括号得：2x﹣6﹣10＜5x+5，
移项得：2x﹣5x＜5+6+10，
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合并同类项得：﹣3x＜21，
两边同时除以﹣3 得：x＞﹣7，
∴不等式②的解集为x＞﹣7；
∴不等式组的解集为﹣7＜x≤﹣1．
【变式1-1】
【解答】解：（1）由题目中的解答过程可知，
第一步开始出现错误，理由是等号右边的1 没有乘6，
故答案为：一；
（2）解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤2，
在同一数轴上表示不等式①和②的解集，如图所示；
所以原不等式组的解集为﹣2＜x≤2．
故答案为：x＞﹣2；x≤2；﹣2＜x≤2．
【变式1-2】
【解答】解：（1）解：乐乐解不等式①，第 二步两边同时除以负数，不等号方向未改变，
∴从第二步开始出现错误；
解不等式②，第三步去分母，1 漏乘了6，
∴从第三步开始出现错误．
故答案为：二；三；
（2）解不等式①，得x＞﹣2，
解不等式②，得x≤2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
在数轴上表示不等式组解集为：
．
【变式1-3】
【解答】解：任务一：
第四步错误，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变；
故答案为：四，不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变，
故答案为：四；不等式两边都除以﹣4，不等号的方向应该改变；
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任务二：
{5 −1
2 𝑥≥3𝑥−6
2
①
3 + 𝑥＞4②
，
解不等式①：x≤4，
解不等式②：得x＞1，
∴不等式组的解集为1＜x≤4，
不等式组的解集在数轴上的表示如图所示：
．
▌题型06 新定义问题
【典例1】
【解答】解：（1）由题意，①∵x−1
2 ＞3
2，
∴x＞1，故①不合题意；
②2（x+3）＜4，
∴2x＜﹣2，
∴x＜﹣1，故②不合题意；
③∵
𝑥−1
2
＜3，
∴x﹣1＜6，
∴x＜7，故③符合题意．
故答案为：③；
（2）由题意，解方程组得{𝑥= −𝑚−12
𝑦= −3𝑚−19，
∵二元一次方程组和不等式组{𝑥＞𝑦−5
𝑥−𝑦＜1
有“梦想解”，
∴{𝑥= −𝑚−12
𝑦= −3𝑚−19是不等式组的解，
∴{−𝑚−12＞−3𝑚−19 −5
−𝑚−12 −(−3𝑚−19)＜1
，
∴﹣6＜m＜﹣3，
∵m 为整数，
∴m＝﹣5 或﹣4
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【变式1-1】
【解答】解：（1）不是，理由：
解方程4x+5＝x﹣1 得：x＝﹣2，
解不等式
𝑥−2
4
＞0得：x＞2，
∴x＝﹣2 不在x＞2 范围内，
∴方程4x+5＝x﹣1 的解不是不等式
𝑥−2
4
＞0的“内含解”；
（2）{ 𝑥+ 1＞0①
3𝑥−8 ≤𝑚②
，
由①可得：x＞﹣1，
由②可得：𝑥≤8+𝑚
3 ，
∴不等式组的解集为−1＜𝑥≤8+𝑚
3 ，
∵该不等式组恰好有3 个整数解，且该3 个整数解分别为0，1，2，
∴2 ≤8+𝑚
3
＜3，
解得：﹣2≤m＜1，
由方程x﹣m＝0 可得x＝m，且方程x﹣m＝0 的解是不等式组{ 𝑥+ 1＞0
3𝑥−8 ≤𝑚
的“内含解”，
∴−1＜𝑚≤8+𝑚
3 ，
解得：﹣1＜m≤4，
综上所述：m 的取值范围为﹣1＜m＜1．
【变式1-2】
【解答】解：（1）①∵θ（x，y）＝2ax﹣by+1，
∴{−2𝑎−𝑏+ 1 = −2
6𝑎+ 𝑏+ 1 = 12
，
解得{𝑎= 2
𝑏= −1；
②∵a＝2，b＝﹣1，
∴θ（x，y）＝4x+y+1，
∴{
4(2 −𝑚) + 𝑚+ 1 + 1 ≤1
4 × 𝑚
4 + 1−𝑚
2
+ 1＜𝑝
，
解得3≤m＜2p﹣3，
∵不等式组恰好有2026 个整数解，
∴2028＜2p﹣3≤2029，
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解得
2031
2
＜p≤1016；
（2）θ（n﹣m，3m+2）＝2a（n﹣m）﹣b（3m+2）+1＝（2a+1）n﹣（2a+3b）m﹣2b+1，
∵不论m，n 取何值时，θ（n﹣m，3m+2）+n 的值都是一个定值，
∴2a+1＝0，2a+3b＝0，
解得a= −1
2，b= 1
3，
∴定值为
1
3．
【变式1-3】
【解答】解：（1）直接根据新定义可得：
[1.9]＝2，[π]＝3；
故答案为：2，3；
（2）根据新定义，列出不等式组可得：
5﹣0.5≤x+2＜5+0.5，
∴4.5≤x+2＜5.5，
∴2.5≤x＜3.5．
（3）{𝑥+ 2𝑦= 𝑚+ 1①
2𝑥+ 𝑦= 3②
，
①﹣②得y﹣x＝m﹣2，
∵
3
2 ≤𝑦−𝑥＜
5
2，
∴
3
2 ≤𝑚−2＜
5
2，
∴
7
2 ≤𝑚＜
9
2，
∴[m]＝4；
（4）根据新定义，逐一进行判断如下：
①当a＝1.6 时，
∵[2a]＝[3.2]＝3，[a]＝2，
∴2[a]＝4，
∴[2a]≠2[a]，故①错误；
②当a＝3.6，b＝3.7 时，
∵[a+b]＝[7.3]＝7，[a]+[b]＝4+4＝8，
∴[a+b]≠[a]+[b]，故②错误；
③令[2026a]＝n，则有n﹣0.5≤2026a＜n+0.5，
∴n﹣0.5+1≤2026a+1＜n+0.5+1，
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∴（n+1）﹣0.5≤2026a+1＜（n+1）+0.5，
∴[2026a+1]＝n+1，
即[2026a+1]＝[2026a]+1，故③正确．
故答案为：③．
▌题型07 由不等式组的解集求参数
【典例1】A．
【变式1-1】D．
【变式1-2】C．
【变式1-3】D．
▌题型08 由不等式组的整数解求参数
【典例1】B．
【变式1-1】B．
【变式1-2】C．
【变式1-3】D．
▌题型09 程序问题
【典例1】C．
【变式1-1】4≤x＜8．
【变式1-2】
【解答】解：（1）∵一次“操作”就输出结果，
∴3x﹣2≥55，
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解得：x≥19，
则x 的最小值为19；
（2）若x＝5，
则3×5﹣2＝13＜55，返回继续运算，
3×13﹣2＝37＜55，返回继续运算，
3×37﹣2＝109＞55，输出结果，
故答案为：109；
（3）∵三次“操作”才输出结果，
∴{
3𝑥−2＜55
3(3𝑥−2) −2＜55
3[3(3𝑥−2) −2] −2 ≥55
，
解得：3≤x＜7．
【变式1-3】
【解答】解：（1）由题意得，2x﹣3＞19，
解得x＞11；
（2）若该程序只运行了2 次就停止了，
由题意得，{2𝑥−3 ≤19①
2(2𝑥−3) −3＞19②，
解不等式①得x≤11，
解不等式②得x＞7，
∴原不等式组的解集为7＜x≤11，
∴x 的取值范围为7＜x≤11．
▌题型10 不等式有解、无解问题
【典例1】A．
【变式1-1】A．
【变式1-2】A．
【变式1-3】
【解答】解：（1）由﹣x+6＞0，解得x＜6，
若该不等式组无解，则a+2≥6，
解得a≥4，
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即a 的最小值是4；
故答案为：4；
（2）由（1）知a+2≤x＜6，
若该不等式组所有整数解的和是9，
则其整数解为5，4 或5，4，3，2，1，0，﹣1，﹣2，﹣3，
得3＜a+2≤4 或﹣4＜a+2≤﹣3，
解得：1＜a≤2 或﹣6＜a≤﹣5．
故答案为：1＜a≤2 或﹣6＜a≤﹣5．
▌题型11 不等式组与方程组结合问题
【典例1】
【解答】解：（1）由{𝑥+ 𝑦= 2𝑚+ 7
𝑥−𝑦= 4𝑚−3得，
{𝑥= 3𝑚+ 2
𝑦= −𝑚+ 5．
因为该方程组的解为正数，
所以{3𝑚+ 2＞0
−𝑚+ 5＞0
，
解得−2
3 ＜𝑚＜5；
（2）因为−2
3 ＜𝑚＜5，
则3m+2＞0，m﹣5＜0，
所以|3m+2|﹣|m﹣5|﹣2（2m﹣4）＝3m+2﹣（﹣m+5）﹣2（2m﹣4）＝3m+2+m﹣5﹣4m+8＝5．
【变式1-1】
【解答】解：（1）解方程组得{𝑥= 𝑎−3
𝑦= −2𝑎−4，
∵x≤0，y＜0，
∴{𝑎−3 ≤0①
−2𝑎−4＜0②，
解不等式①，得a≤3，
解不等式②，得a＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜a≤3，即a 的取值范围为﹣2＜a≤3；
故答案为：﹣2＜a≤3；
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（2）由（1）可知，﹣2＜a≤3，
∴a+2＞0，3﹣a≥0，
∴原式＝a+2+3﹣a＝5；
（3）原不等式变形可得（2a+1）x＞2a+1．
∵不等式的解集为x＜1，
∴2a+1＜0，
解得𝑎＜−1
2，
又∵﹣2＜a≤3，
∴−2＜𝑎＜−1
2，
∵a 为整数，
∴a＝﹣1．
∴当a＝﹣1 时，不等式2ax+x＞2a+1 的解集为x＜1．
【变式1-2】
【解答】解：（1）{𝑥+ 𝑦= −7 −𝑚①
𝑥−𝑦= 1 + 3𝑚②，
①+②得，2x＝﹣6+2m，
解得，x＝﹣3+m，
将x＝﹣3+m 代入①得，﹣3+m+y＝﹣7﹣m，
解得，y＝﹣4﹣2m，
∴{𝑥= −3 + 𝑚
𝑦= −4 −2𝑚，
∵x 为非正数，y 为负数，
∴{−3 + 𝑚≤0③
−4 −2𝑚＜0④，
解③得，m≤3；
解④得，m＞﹣2；
∴m 的取值范围为﹣2＜m≤3；
（2）∵（2m+1）x﹣2m＜1，
∴（2m+1）x＜2m+1，
∵不等式的解为x＞1，
∴2m+1＜0，即𝑚＜−1
2，
∴m 的取值为−2＜𝑚＜−1
2．
∵m 为整数，
∴m＝﹣1．
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【变式1-3】
【解答】解：（1）解方程组{𝑥+ 𝑦= 5 −𝑚
𝑥−𝑦= −1 + 3𝑚得：{𝑥= 2 + 𝑚
𝑦= 3 −2𝑚，
∵x 的值为非负数，y 的值为正数，
∴{2 + 𝑚≥0
3 −2𝑚＞0，
解得：﹣2≤m＜3
2，
即m 的取值范围是：﹣2≤m＜3
2；
（2）mx+x＜m+1，
（m+1）x＜m+1，
∵不等式mx+x＜m+1 的解为x＞1，
∴m+1＜0，
∴m＜﹣1，
∵﹣2≤m＜3
2，
∴﹣2≤m＜﹣1，
∵m 为负整数，
∴m＝﹣2．
