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专题03 配方法的应用
常考题型·精准突破
题型1 利用配方法求代数式的最值问题（高频）
题型2 利用配方法比较代数式的大小问题（重）
题型3 利用配方法求几何动点的的最值问题（重）
题型4 利用配方法求新定义型的综合问题（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 利用配方法求代数式的最值问题
1．（25-26 八年级下·全国·课后作业）阅读下面的例题：
求代数式
2
6
10
x
x
+
+
的最小值．
解：
2
2
2
6
10
6
9 1
(
3)
1
+
+
=
+
+ + =
+
+
x
x
x
x
x
．
2
(
3)
0
x +
，
2
(
3)
1 1
+
+
x
，
2
6
10
x
x
+
+
的最小值是1．
请利用以上方法，解答下列问题：
(1)求代数式
2
10
27
+
+
y
y
的最小值．
(2)判断代数式
2
8
4
−
+
m
m 有最大值还是有最小值，并求出该最值．
【答案】(1)2
(2)
2
8
4
−
+
m
m 有最大值，最大值为12
【分析】本题考查了配方法的应用，偶次方的非负性，熟练掌握配方法是解题的关键．
（1）利用例题的解题思路，通过配方进行计算即可解答；
（2）先提取负号，然后按照例题的解题思路将其配方，得到(
)
2
2
12
m
−
−
+
，再利用非负数的性质即可求出
最大值．
【详解】（1）解：
2
2
2
10
27
10
25
2
(
5)
2
y
y
y
y
y
+
+
=
+
+
+
+
+
=
．
2
(
5)
0
y +
，
2
(
5)
2
2
y
+
+
，
2
10
27
y
y
+
+
的最小值是2．
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（2）
(
)
(
)
2
2
2
2
8
4
4
8
4
4
4
8
(
2)
12
m
m
m
m
m
m
m
−
+
= −
−
+
= −
−
+
+
+
= −
−
+
．
2
(
2)
0
m
−
−
，
2
(
2)
12
12
m
−
−
+
，
2
8
4
m
m
−
+
有最大值，最大值为12．
2．（25-26 九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有关的
问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式
2
6
18
x
x
+
+
的最小值的过程如下：
解：
2
2
2
6
18
6
9
9
(
3)
9
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+ +
=
+
+
．
2
(
3)
0
x +
，
2
(
3)
9
9
x
+
+
，
2
6
18
x
x
+
+
的最小值是9．
请根据以上材料，完成下列问题：
(1)代数式
2
2
2
4
6
2(
1)
8
x
x
x
−
+
+
= −
−
+ ，当x =_______时，代数式
2
2
4
6
x
x
−
+
+
有最_______值（填“大”或“小”），
这个值是_______；
(2)比较代数式
2
3
1
x
x
−
+ 与
2
2
3
6
x
x
+
−
的大小，并说明理由．
【答案】(1)1；大；8
(2)
2
2
3
1
2
3
6
x
x
x
x
−
+
+
−
，理由见解析
【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性．
（1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值；
（2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系．
【详解】（1）解：∵
2
2
2
4
6
2(
1)
8
x
x
x
−
+
+
= −
−
+ ，∴当x =1 时，代数式
2
2
4
6
x
x
−
+
+
有最大值，这个值是8；
故答案为：1，大，8．
（2）解：
2
2
3
1
2
3
6
x
x
x
x
−
+
+
−
，
理由如下：
(
)
2
2
2
2
3
1
2
3
6
4
4
3
(
2)
3
0
x
x
x
x
x
x
x
−
+ −
+
−
=
−
+
+
=
−
+
，
2
2
3
1
2
3
6
x
x
x
x
−
+
+
−．
3．（25-26 八年级上·山东德州·阶段检测）阅读与思考：请阅读下列材料，并完成相应的任务．
著名数学家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是
数学解题的一个重要原则．”
配方法是指将一个二次多项式通过配凑的方式配出完全平方式，将其化为一个多项式的平方与一个常数的
和的形式．配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，在因式分解、解方程、求最值等问题中都有广泛
应用．
一、配方法在因式分解中的应用
二、配方法在求最值问题中的应用
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例1 因式分解：
2
4
5
x
x
+
−．
解：原式
2
4
4
4
5
x
x
=
+
+
−
−第一步
(
)
2
2
9
x
=
+
−第二步
(
)(
)
2
3
2
3
x
x
=
+
+
+
−
第三步
(
)(
)
5
1
x
x
=
+
−
第四步
例2 求
2
2
4
1
x
x
−
+ 的最小值．
解：原式
(
)
2
2
2
1
x
x
=
−
+
(
)
2
2
2
1
1
1
x
x
=
−
+
−
+
(
)
2
2
1
1
1
x
=
−
−
+
(
)
2
2
1
2 1
x
=
−
−
+
(
)
2
2
1
1
x
=
−
−．
(
)
2
1
0
x −
，
∴当(
)
2
1
0
x −
=
，即
1
x = 时，
2
2
4
1
x
x
−
+ 的
值最小，最小值为2 0 1
1
−= −．
任务：
(1)例1 因式分解过程中第二步、第三步依据的公式分别是____________，___________．（用等式表示）
(2)用配方法将
2
6
8
x
x
−
+
因式分解．
(3)用配方法求：当x 为何值时，代数式
2
2
8
5
x
x
+
−的值最小，最小值是多少．
(4)当x =___________时，代数式
2
2
3
x
x
−
+
−有最___________值，是___________．
【答案】(1)
(
)
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
+
+
+
=
；
(
)(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
−
=
+
−
(2)(
)(
)
2
4
x
x
−
−
(3)当
2
x = −时，
2
2
8
5
x
x
+
−有最小值，最小值为13
−
(4)1；大；2
−
【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式，平方差公式，配方法，非负数是解题的关键．
（1）根据题意即可求解；
（2）模仿例1 使用配方法进行因式分解；
（3）模仿例2 使用配方法求代数式的最值；
（4）模仿例2 使用配方法求代数式的最值．
【详解】（1）解：例1 中第二步将
2
4
4
x
x
+
+ 写成(
)
2
2
x +
，依据完全平方公式
(
)
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
+
+
+
=
；
第三步将(
)
2
2
9
x +
−写成(
)(
)
2
3
2
3
x
x
+
+
+
−
，依据平方差公式
(
)(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
−
=
+
−
，
故答案为：
(
)
2
2
2
2
a
ab
b
a
b
+
+
+
=
，
(
)(
)
2
2
a
b
a
b
a
b
−
=
+
−
；
（2）解：
2
6
8
x
x
−
+
2
6
9
9
8
x
x
=
−
+
−+
(
)
2
3
1
x
=
−
−
(
)(
)
3 1
3 1
x
x
=
-
+
-
-
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(
)(
)
2
4
x
x
=
−
−
；
（3）解：
2
2
8
5
x
x
+
−
(
)
2
2
4
4
4
5
x
x
=
+
+
−
−
(
)
2
2
2
4
5
x
=
+
−
−
(
)
2
2
2
13
x
=
+
−
(
)
2
2
0
x +
，
(
)
2
2
2
13
13
x
+
−
−
∴当
2
x = −时，
2
2
8
5
x
x
+
−有最小值，最小值为13
−
；
（4）解：
2
2
3
x
x
−
+
−
(
)
2
2
3
x
x
= −
−
−
(
)
2
2
1 1
3
x
x
= −
−
+ −
−
(
)
2
1
2
x
= −
−
−
，
∵(
)
2
1
0
x −
，
∴(
)
2
1
2
2
x
−
−
−
−，
∴当
1
x = 时，
2
2
3
x
x
−
+
−有最大值，最大值为2
−，
故答案为：1，大，2
−．
◆题型2 利用配方法比较代数式的大小问题
4．（2025 九年级上·全国·专题练习）我们知道：对于任何实数x ，
①
2
2
8
9
0
x
x
−
+
，
2
2(
2)
1
0
x
−
+
；②
2
(
2)
0
x −
，
2
2(
2)
0
x
−
．
请模仿上述方法解答：
(1)求证：对于任何实数x ，都有
2
2(
2)
1
0
x −
+
；
(2)不论x 为何实数，请通过运算，比较多项式
2
3
5
1
x
x
−
−与
2
3
10
x
x
+
−
的值的大小．
【答案】(1)见解析
(2)
2
2
3
5
1
3
10
x
x
x
x
−
−
+
−
【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系．
（1）根据非负数的性质解答；
（2）利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）证明：
2
(
2)
0
x −
，
2
2(
2)
1
0
x
−
+
；
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（2）解：
2
2
2
2
2
2
(3
5
1)
(
3
10)
3
5
1
3
10
2
8
9
2(
2)
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
+
−
=
−
−−
−
+
=
−
+
=
−
+ ，
2
(
2)
0
x −
，
2
2(
2)
0
x
−
，
2
2(
2)
1
0
x −
+
．
2
2
3
5
1
3
10
x
x
x
x
−
−
+
−
．
5．（2025 九年级上·全国·专题练习）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要
应用，例如：试求二次三项式
2
4
5
x
x
+
+ 最小值．
解：
(
)
2
2
2
4
5
4
4 1
2
1
x
x
x
x
x
+
+
=
+
+
+ =
+
+ ，
(
)
(
)
2
2
2
0,
2
1 1
x
x
+
+
+ ，
∴
2
4
5
1
x
x
+
+
，即
2
4
5
x
x
+
+ 的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知
2
6
12
y
x
x
=
−
+
，求y 的最小值．
(2)比较代数式
2
3
2
x
x
−
+
与
2
2
3
6
x
x
+
−
的大小，并说明理由．
【答案】(1)3
(2)
2
2
3
2
2
3
6
x
x
x
x
−
+
+
−
，理由见解析
【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方法．
（1）根据题目给的方法将原式配方成
(
)
2
3
3
y
x
=
−
+ ，即可判断；
（2）利用作差法结合配方法解答即可．
【详解】（1）解：
(
)
2
2
2
6
12
6
9
3
3
3
y
x
x
x
x
x
=
−
+
=
−
+ +
=
−
+ ，
∵(
)
2
3
0
x −
，
∴
2
6
9
x
x
−
+
的最小值是3，即y 的最小值是3；
（2）解：∵
(
)
2
2
3
2
2
3
6
x
x
x
x
−
+
−
+
−
2
2
3
2
2
3
6
x
x
x
x
=
−
+
−
−
+
2
4
8
x
x
=
−
+
2
4
4
4
x
x
=
−
+
+
(
)
2
2
4
x
=
−
+
，
(
)
2
2
4
0
x −
+
，
∴
(
)
2
2
3
2
2
3
6
0
x
x
x
x
−
+
−
+
−
∴
2
2
3
2
2
3
6
x
x
x
x
−
+
+
−
．
6．
（2025 九年级上·全国·专题练习）利用完全平方公式，可以将多项式
2x
bx
c
+
+ 变形为(
)
2
x
m
n
+
+
的形式．例
如：
(
)
2
2
2
2
2
8
17
2
4
4
4
17
4
1
x
x
x
x
x
−
+
=
−+
−
+
=
−
+ ．
根据上述过程，解答下列问题：
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(1)将多项式
2
2
3
x
x
−
+ 变形为(
)
2
x
m
n
+
+
的形式，并判断
2
2
3
x
x
−
+ 与0 的大小关系．
(2)图①中矩形的长和宽分别是3
2
a + ，2
5
a + ，面积为
1S ；图②中矩形的长和宽分别是5a ，
5
a + ，面积为
2
S ．请比较
1S 与
2
S 的大小，并说明理由．
【答案】(1)
2
2
3
0
x
x
−
+
(2)
1
2
S
S
．理由见解析
【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据题干的解题过程进行模仿，得
(
)
2
2
2
3
1
2
x
x
x
−
+
=
−
+
，再分析(
)
2
1
0
x −
，得出
2
2
3
0
x
x
−
+
，
即可作答．
（2）先整理得
2
1
6
19
10
S
a
a
=
+
+
，
2
2
5
25
S
a
a
=
+
，故
(
)
(
)
2
2
2
1
2
6
19
10
5
25
3
1
S
S
a
a
a
a
a
−
=
+
+
−
+
=
−
+ ，再分
析(
)
2
3
0
a −
，则
1
2
0
S
S
−
，即可作答．
【详解】（1）解：
2
2
3
x
x
−
+
2
2
2
2
1
1
3
x
x
=
−
+
−
+
(
)
2
1
2
x
=
−
+
，
(
)
2
1
0
x −
，
∴(
)
2
1
2
0
x −
+
，
则
2
2
3
0
x
x
−
+
；
（2）解：
1
2
S
S
，理由如下：
由题意，得
(
)(
)
2
1
3
2
2
5
6
19
10
S
a
a
a
a
=
+
+
=
+
+
，
则
(
)
2
2
5
5
5
25
S
a a
a
a
=
+
=
+
，
(
)
(
)
2
2
2
2
1
2
6
19
10
5
25
6
10
3
1
S
S
a
a
a
a
a
a
a
−
=
+
+
−
+
=
−
+
=
−
+ ，
∵(
)
2
3
0
a −
，
(
)
2
3
1
0
a
−
+
，
即
1
2
0
S
S
−
，
则
1
2
S
S
．
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◆题型3 利用配方法求几何动点的的最值问题
7．（25-26 九年级上·黑龙江大庆·开学考试）（1）若
(
)
2
2
2
4
x
x
x
a
b
+
−
=
−
+ ．a = _______，b = _______．
（2）当x =_______时，代数式
2
2
4
x
x
−
−有最小值，最小值是_______．
（3）如图，ABC
中，
90 ,
4cm,
8cm
C
AC
BC
=
=
=
，点M,N 分别是线段AC 和BC 上的动点，点M 从A
点出发以1cm/s 的速度向C 点运动；同时点N 从C 点出发以2cm/s的速度向B 点运动，当其中一点到达终点
时，两点同时停止运动．设运动的时间为t，则当t 的值为多少时，
MCN
△
的面积最大，最大值为多少？
【答案】（1）1, 5
−−；（2）1, 5
−；（3）当t 的值为2 时，
MCN
△
的面积最大，最大值为
2
4cm
【分析】本题考查配方法的应用：
（1）利用配方法求解；
（2）利用配方法得出
(
)
2
2
2
4
1
5
x
x
x
−
−
=
−
−，即可求解；
（3）用含t 的式子表示出
MCN
△
的面积，再利用配方法求解．
【详解】解：（1）
(
)
2
2
2
2
4
2
1 5
5
1
x
x
x
x
x
+
−
=
+
+ −
+
−
=
，
1
a = −，
5
b = −；
故答案为：1, 5
−−；
（2）
(
)
2
2
2
4
1
5
x
x
x
−
−
=
−
−，
当
1
x = 时，代数式
2
2
4
x
x
−
−有最小值，最小值是5
−；
故答案为：1, 5
−；
（3）解：由题意得：
cm,
2 cm
AM
t
CN
t
=
=
，则
(
)
4
cm
CM
t
=
−
，
∴
(
)
(
)
2
2
1
2
4
2
4
2
4
MCN
S
t
t
t
t
t
=
−
= −
+
= −
−
+
,
∵(
)
2
2
0
t −
,
∴(
)
2
2
0
t
−
−
,
∴(
)
2
4
4
2
t −
+
−
,
∴当
2
t =
时，(
)
2
2
4
t
−
−
+
有最大值，最大值为4．
即：当t 的值为2 时，
MCN
△
的面积最大，最大值为
2
4cm ．
8．（24-25 八年级下·浙江宁波·阶段检测）如图，在ABC
中，
90
B
=
，
12cm
AB =
，
24cm
BC =
，动点P
从点A 开始沿边AB 向点B 以2cm / s的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/ s 的速度移动，
如果P，Q 两点分别从A，B 两点同时出发，设运动时间为xs．
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(1)用含x 的式子表示：BP =______cm，
PBQ
S
=
△
______
2
cm ，
APQC
S
=
四边形
______
2
cm ；
(2)当PBQ
的面积为
2
32cm 时，求运动时间；
(3)四边形APQC 的面积能否等于
2
172cm ？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．
(4)①阅读材料：求代数式
2
4
6
y
y
+
+
的最小值．解：
(
)
2
2
2
4
6
4
4
6
4
2
2
y
y
y
y
y
+
+
=
+
+
+
−
=
+
+
．因为
(
)
2
2
0
y +
，所以(
)
2
2
2
2
y +
+
，所以
2
4
6
y
y
+
+
的最小值是2．
②解决问题：运动时间x 为何值时，四边形APQC 的面积最小？
【答案】(1)(
)
12
2x
−
；
2
4
24
x
x
−
+
；
2
4
24
144
x
x
−
+
(2)
2s
x =
或
4s
x =
(3)四边形APQC 的面积不能等于
2
172cm ，理由见解析
(4)运动时间
3
x = 时，四边形APQC 的面积最小
【分析】（1）根据P 从点A开始沿边AB 向点B 以2cm / s的速度移动，则
2 cm
AP
x
=
，根据
12cm
AB =
，则
(
)
12
2
cm
BP
x
=
−
；根据动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/ s 的速度移动，则
4 cm
BQ
x
=
；再根据
90
B
=
，得
1
2
PBQ
PB BQ
S
=
，
ABC
PBQ
APQC
S
S
S
=
−
四边形
，即可；
（2）根据
1
32
2
PBQ
S
PB BQ
=
=
，求出x ，即可；
（3）根据
172
APQC
S
=
四边形
，求出x ；再根据0
6
x
，即可；
（4）将四边形面积变形得
(
)
2
2
4
24
144
4
3
108
APQC
S
x
x
x
=
−
+
=
−
+
四边形
，根据(
)
2
4
3
0
x −
即可求解．
【详解】（1）解：∵P 从点A开始沿边AB 向点B 以2cm / s的速度移动，
∴
2 cm
AP
x
=
，
∵
12cm
AB =
，
∴
(
)
12
2
cm
BP
x
=
−
，
∵动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以4cm/ s 的速度移动，
∴
4 cm
BQ
x
=
，
∵
90
B
=
，
∴
(
)
2
1
1
12
2
4
4
24
2
2
PBQ
S
x
PB BQ
x
x
x
=
=
−
= −
+
．
∵
ABC
PBQ
APQC
S
S
S
=
−
四边形
，
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∴
(
)
2
2
1 12 24
4
24
4
24
144
2
APQC
S
x
x
x
x
=
−−
+
=
−
+
四边形
；
（2）解：由（1）得，
2
4
24
PBQ
x
S
x
= −
+
∴当PBQ
的面积为
2
32cm 时，
∴
2
4
24
32
PBQ
x
x
S
= −
+
=
，
∴
1
2
x =
，
2
4
x =
，
∴当PBQ
的面积为
2
32cm 时，求运动时间为：
2s
x =
或
4s
x =
．
（3）解：由（1）得，
2
4
24
144
APQC
S
x
x
=
−
+
四边形
，
当四边形APQC 的面积等于
2
172cm ，
2
4
24
144
172
x
x
−
+
=
，
∴
1
7
x =
，
2
1
x = −（舍），
∵12 2
6
=
，24
4
6
=
∴0
6
x
，
∴四边形APQC 的面积不能等于
2
172cm ；
（4）解：②
(
)
2
2
4
24
144
4
3
108
APQC
S
x
x
x
=
−
+
=
−
+
四边形
，
∵(
)
2
4
3
0
x −
，
∴(
)
2
4
3
108
108
x −
+
，
∴运动时间
3
x = 时，四边形APQC 的面积最小．
9．（25-26 九年级上·安徽芜湖·期中）综合与实践
[规律探究]
（1）教材第54 页《数学活动》活动一中部分问题如下：
观察下列两个两位数（两个乘数的十位上的数都是9，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，如：
91 99
，92 98
，…，98 92
，99 91
．你能用二次函数的知识证明你的猜想正确吗？
证明如下：
由已知可得，这两个两位数的和为①，设其中一个两位数为x，则另一个两位数为②．
设这两个两位数的积为y，则有y =③，
将此函数化为顶点式为④，
根据函数图象和性质，当x =⑤，y 有最大值．
因此我们可以猜想：若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大．（证明略）通过证明，
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可以得出这个猜想是真命题．
[实践运用]
（2）如图，四边形ABCD的对角线
,
AC BD 互相垂直，且
20
AC
BD
+
=
，求四边形ABCD的面积的最大值．
【答案】（1）①190；②190
x
−
；③(
)
190
x
x
−
；④
(
)
2
95
9025
y
x
= −
−
+
；⑤95；（2）四边形ABCD 的面
积最大值为50
【分析】本题核心考查二次函数的图象与性质，配方法，数字类规律探索，三角形的面积，掌握知识点是
解题的关键．
（1）根据题意，逐步分析计算，即可解答；
（2）先求出四边形ABCD的面积为
1
2
S
AC BD
=
，继而推导出当
10
AC
BD
=
=
时，AC BD
取得最大值
10 10 100
=
，即可解答．
【详解】解：（1）①91 99
190
+
=
．
②设其中一个两位数为x，则另一个两位数为190
x
−
．
③设这两个两位数的积为y，则
(
)
190
y
x
x
=
−
．
④将
(
)
190
y
x
x
=
−
化为顶点式，
(
)
2
2
190
95
9025
y
x
x
x
= −
+
= −
−
+
．
⑤∵二次函数
(
)
2
2
190
95
9025
y
x
x
x
= −
+
= −
−
+
的二次项系数为负数，
∴当
95
x =
时，y 有最大值．
故答案为：①190；②190
x
−
；③(
)
190
x
x
−
；④
(
)
2
95
9025
y
x
= −
−
+
；⑤95
（2）∵四边形ABCD的对角线
,
AC BD 互相垂直，
∴四边形ABCD的面积
1
2
S
AC BD
=
．
∵
20
AC
BD
+
=
，根据“若两个正数和为定值，当两个正数相等时，这两个正数的积最大”，
∴当
10
AC
BD
=
=
时，AC BD
取得最大值10 10 100
=
，
∴四边形ABCD面积的最大值
1 100
50
2
S =
=
．
答：四边形ABCD面积的最大值为50．
◆题型4 利用配方法求新定义型的综合问题
10．（2025 九年级上·全国·专题练习）小明在学习配方法时，将关于x 的多项式
2
2
5
x
x
−
+ 配方成
2
(
1)
4
x −
+
，
发现当
1
x−的值为任意一对互为相反数的数时，多项式
2
2
5
x
x
−
+ 的值是相等的．例如：当
1
1
x−= ，即
2
x =
或0 时，
2
2
5
x
x
−
+ 的值均为5；当
1
2
x−= ，即
3
x = 或-1 时，
2
2
5
x
x
−
+ 的值均为8．于是小明给出一个
定义：对于关于x 的多项式，若当x
m
−
的值为任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多
项式关于x
m
=
镜像，例如
2
2
5
x
x
−
+ 关于x =1 镜像．
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请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：
(1)多项式
2
8
10
x
x
−
+
关于________镜像；
(2)若式子(
)(
)
2
2
6
9
2
1
x
x
x
x
+
+
−
+
关于x
m
=
镜像，求出方程
2
2
3
0
x
mx
+
−
=
的解．
【答案】(1)
4
x =
(2)
1
2
3,
1
x
x
=
= −
【分析】（1）将多项式配方得(
)
2
4
6
x −
−，再根据新定义判定即可；
（2）结合完全平方公式对多项式进行配方，再根据新定义判定即可得到m 的值，将求出的m 代入方程
2
2
3
0
x
mx
+
−
=
，利用配方法求出方程的解即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
2
2
8
10
4
6
x
x
x
−
+
=
−
−
，
∴当
4
x −取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，
∴多项式
2
8
10
x
x
−
+
关于
4
x =
镜像，
故答案为：
4
x = ．
（2）原式
2
2
(
3) (
1)
x
x
=
+
−
，
当
3
x
−
=
或1 时，原式
0
=
，
3 1
1
2
m
−+
=
= −，
关于x 的方程
2
2
3
0
x
mx
+
−
=
可化为
2
2
3
0
x
x
−
−
=
，
即
2
(
1)
4
0
x−
−
=
，
2
(
1)
4
x −
=
，
1
2
3,
1
x
x
=
= −．
故方程
2
2
3
0
x
mx
+
−
=
的解为
1
2
3,
1
x
x
=
= −．
11．（25-26 九年级上·广东深圳·阶段检测）[项目学习]配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个
式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变
形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．
例如，把二次三项式
2
2
3
x
x
−
+ 进行配方．
解：
(
)
(
)
2
2
2
2
2
3
2
1
2
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
x
−
+
=
−
+ +
=
−
+
+
=
−
+
．
我们定义：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a ，b 是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅
美数”例如，5 是“雅美数”．理由：因为
2
2
5
2
1
=
+
．再如，
(
)
2
2
2
2
2
2
M
x
xy
y
x
y
y
=
+
+
=
+
+
（x ，y 是整数），
所以M 也是“雅美数”．
(1)[问题解决]6，7，8，10 四个数中的“雅美数”是 ．
(2)若二次三项式
2
6
13
x
x
−
+
（x 是整数）是“雅美数”，可配方成(
)
2
2
x
m
n
−
+
（m ，n 为常数），则mn 的值
为 ；
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(3)[问题探究]已知
2
2
4
8
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
−
+ （x ，y 是整数，k 是常数且
4
x −，
3
2
y
），要使S 为“雅美数”，
试求出符合条件的k 值．
(4)[问题拓展]已知实数M ，N 是“雅美数”，求证：
M N 是“雅美数”．
【答案】(1)8，10
(2)6
(3)
2
k =
(4)
解：设
2
2
M
a
b
=
+
，
2
2
N
c
d
=
+
（a、b、c、d 为整数），
∴
(
)(
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
M N
a
b
c
d
a c
a d
b c
b d
=
+
+
=
+
+
+
，
(
) (
)
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
a c
b d
abcd
a d
b c
abcd
=
+
+
+
+
−
(
)
(
)
2
2
ac
bd
bc
ad
=
+
+
−
．
又∵a、b、c、d 为整数，
∴ac
bd
+
，bc
ad
−
均为整数，
∴
M N 是“雅美数”．
【分析】本题主要考查了配方法的应用、完全平方公式、偶次方的非负性等知识点，掌握完全平方公式、
偶次方的非负性是解题关键．
（1）根据“雅美数”的定义判断即可；
（2）利用配方法进行转化，然后比较，即可求得对应系数的值；
（3）配方后根据非负数的性质可得x、y 的值，再根据“雅美数”的定义列式计算即可；
（4）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论即可．
【详解】（1）解：8 是“雅美数”，理由：因为
2
2
8
2
2
=
+
；
10 是“雅美数”，理由：因为
2
2
10
3
1
=
+
．
故答案为：8，10．
（2）解：∵
(
)
2
2
2
2
6
13
6
9
4
3
2
x
x
x
x
x
−
+
=
−
+ +
=
−
+
，
(
)
2
2
2
6
13
x
x
x
m
n
−
+
=
−
+
，
∴
3
m =
，
2
n =
，
∴
6
mn =
．
故答案为：6．
（3）解：
(
)
(
)
2
2
2
2
4
8
12
4
2
3
25
S
x
y
x
y
k
x
y
k
=
+
+
−
+
=
+
+
−
+
−
，
又∵
4
x −，
3
2
y
，
∴(
)
(
)
2
2
4
0, 2
3
0
x
y
+
−
∴
25
0
k −
=
，
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∴
25
k =
．
（4）略
12．（25-26 九年级上·山东德州·阶段检测）配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数
有关或求代数式的最大值、最小值等问题．
【材料一】我们定义：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
(a，b 是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5
是“完美数”，理由：因为
2
2
5
2
1
=
+
，再如，
(
)
2
2
2
2
2
2
M
x
xy
y
x
y
y
=
+
+
=
+
+
，(x，y 是整数)，所以M 也是“完
美数”．
【材料二】例如，把二次三项式
2
2
3
x
x
−
+ 进行配方，可求其最值．
解：
2
2
2
2
2
3
2
1 2
(
2
1)
2
(
1)
2
x
x
x
x
x
x
x
−
+ =
−
+ +
=
−
+
+
=
−
+
；
当
1
x = 时，
2
2
3
x
x
−
+ 的最小值为2．
请通过阅读以上材料，解决以下问题∶
【解决问题】
(1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)；
①11； ②34； ③60 ．
【探究问题】
(2)若
2
6
13
x
x
−
+
可配方成
2
2
(
)
(
x
m
n m
−
+
，n 为正整数），则
n
m 的值为 ；
(3)已知
2
2
4
5
8
(
S
a
ab
b
b
k a
=
+
+
−
+
，b 是整数，k 是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k 值，
并说明理由；
【拓展应用】
(4)已知实数x ，y 均满足
2
1
x
y
−
= ，求代数式
2
2
2
4
2028
x
y
x
+
−
+
的最小值．
【答案】（1）②；（2）9；（3）16，理由见解析；（4）2025
【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握
相关知识是解题的关键．
（1）依据“完美数”的定义求解即可；
（2）将
2
6
13
y
x
x
=
−
+
配方成
2
2
(
)
y
x
m
n
=
−
+
的形式，即可得解；
（3）
2
2
2
2
2
2
2
4
5
8
(
4
4
)
(
8
)
(
2 )
(
8
)
S
a
ab
b
b
k
a
ab
b
b
b
k
a
b
b
b
k
=
+
+
−
+
=
+
+
+
−
+
=
+
+
−
+
，要使S为“完美数”，
则
2
8
b
b
k
−
+
需为完全平方式，故
2
8
16
2
k
= −
=
，据此求解即可；
（4）
2
2
2
2
4
2028
(
1)
2025
2025
x
y
x
x
+
−
+
=
−
+
，据此求解即可．
【详解】解：（1）由于②
2
2
34
5
3
=
+
，所以②是完美数，
11 1 10
4
7
9
2
= +
=
+
= +
；60
1 59
4 56
9 51 16
44
25 35
36
24
49 11
= +
=
+
= +
=
+
=
+
=
+
=
+
所以11,60 不能表示成
2
2
a
b
+
(a，b 是整数)的形式，不是完美数
故答案为：②；
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（2）由
(
)
(
)
2
2
2
2
6
13
3
4
3
2
y
x
x
x
x
=
−
+
=
−
+
=
−
+
，
2
6
13
y
x
x
=
−
+
可配方成
2
2
(
)
y
x
m
n
=
−
+
，
3
m
= ，
2
n =
，
23
9
n
m
=
=
，
故答案为：9；
（3）
16
k =
，理由如下：
2
2
2
2
2
2
2
4
5
8
(
4
4
)
(
8
)
(
2 )
(
8
)
S
a
ab
b
b
k
a
ab
b
b
b
k
a
b
b
b
k
=
+
+
−
+
=
+
+
+
−
+
=
+
+
−
+
，
要使S为“完美数”，
则
2
8
b
b
k
−
+
需为完全平方式，
故
2
8
16
2
k
= −
=
，
此时
2
2
(
2 )
(
4)
S
a
b
b
=
+
+
−
，符合“完美数”定义，
16
k
=
；
（4）
2
1
x
y
−
=
，
2
1
0
x
y
−=
，
1
x
，
2
2
2
4
2028
x
y
x
+
−
+
2
2(
1)
4
2028
x
x
x
=
+
−
−
+
2
2
2026
x
x
=
−
+
2
2
1
2025
x
x
=
−
+ +
2
(
1)
2025
2025
x
=
−
+
，
当
1
x = 时，
2
2
2
4
2028
x
y
x
+
−
+
的最小值为2025．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．（25-26 九年级上·广东佛山·期末）多项式
2
2
4
2
8
x
y
x
y
+
+
−
+ 的最小值为（ ）
A．2
−
B．1
C．3
D．2
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【答案】C
【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即
可．
【详解】解：∵
2
2
4
2
8
x
y
x
y
+
+
−
+
(
) (
)
2
2
4
2
8
x
x
y
y
=
+
+
−
+
(
)
(
)
2
2
2
4
1
1 8
x
y
=
+
−
+
−
−+
(
)
(
)
2
2
2
1
3
x
y
=
+
+
−
+ ，
又∵(
)
2
2
0
x +
，(
)
2
1
0
y −
，
∴当
2
x = −,
1
y = 时，多项式取最小值 3，
故选C．
2．（25-26 九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）不论a 为何实数，多项式
2
4
6
−
+
a
a
的值一定是（）
A．正数
B．负数
C．0
D．不能确定
【答案】A
【分析】本题考查配方法的应用，掌握知识点是解题的关键．
利用配方法将多项式转化为完全平方加常数的形式，根据平方的非负性判断其值恒为正数即可．
【详解】解：∵
2
4
6
−
+
a
a
2
4
4
2
a
a
=
−
+
+
(
)
2
2
2
a
=
−
+
∵对于所有实数a ，都有(
)
2
2
0
a−
，
∴(
)
2
2
2
2
0
a −
+
因此，多项式的值总是正数．
故选：A．
3．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）定义：关于x 的一元二次方程
(
)
2
1
0
a
x
h
k
−
+
=
与
(
)
2
2
0
a
x
h
k
−
+
=
称为
“同形二次方程”（
1
2
0
a a
）．现有关于x 的方程(
)
2
3
2
5
0
x +
−
=
与方程(
)
(
)
2
2
1
4
3
0
a
x
b
x
+
+
+
+
=
是“同形
二次方程”．则代数式
2
2
2026
ax
bx
−
+
−
的最大值是（ ）
A．2022
−
B．2024
−
C．2026
−
D．2028
−
【答案】A
【分析】先由“同形二次方程”对(
)
(
)
2
2
1
4
3
0
a
x
b
x
+
+
+
+
=
变形，从而确定
2
2
4
8
4
4
2
1
2
1
b
x
x
x
x
a
a
+
+
+
=
+
+
+
+
，
得出关于a
b
、的等式求解出a
b
、的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案．
【详解】解：关于x 的方程(
)
2
3
2
5
0
x +
−
=
与方程(
)
(
)
2
2
1
4
3
0
a
x
b
x
+
+
+
+
=
是“同形二次方程”，
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则将方程(
)
(
)
2
2
1
4
3
0
a
x
b
x
+
+
+
+
=
变形为(
)
(
)
2
2
1
4
8
5
0
a
x
b
x
+
+
+
+
−
=
，
由“同形二次方程”定义可知(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
1
4
8
2
1
2
a
x
b
x
a
x
+
+
+
+
=
+
+
，
“同形二次方程”定义中
1
2
0
a a
，
2
1
0
a
+
，
则(
)
(
)
(
)(
)
2
2
2
1
4
8
2
1
2
a
x
b
x
a
x
+
+
+
+
=
+
+
两边同时除以2
1
a+ 得
2
2
4
8
4
4
2
1
2
1
b
x
x
x
x
a
a
+
+
+
=
+
+
+
+
，
4
8
4
,
4
2
1
2
1
b
a
a
+
=
=
+
+
①
②，
由②得
1
2
a =
，
将
1
2
a =
代入①得
4
b =
，
∴代数式
(
)
2
2
2
2
2026
4
2026
2
2022
2022
ax
bx
x
x
x
−
+
−
= −
+
−
= −
−
−
−
．
二、填空题
4．（25-26 九年级上·江苏泰州·期中）已知，
12
33
M
m
=
−
，
2
2
4
N
m
m
−
=
，则M________N ．（填 “＞”，“”
或“ = ”）
【答案】
【分析】本题考查了配方法的应用及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
通过计算M 与N 的差值，得到
(
)
2
2
4
1
0
m
−
−
−
，从而判断M 恒小于N．
【详解】解：
(
) (
)
2
12
33
2
4
M
N
m
m
m
−
=
−
−
−
2
12
33
2
4
m
m
m
=
−
−
+
2
2
16
33
m
m
= −
+
−
(
)
2
2
4
1
m
= −
−
−，
∵(
)
2
4
0
m −
,
∴
(
)
2
2
4
1
0
m
−
−
−
∴M
N
．
故答案为：．
5．（25-26 九年级上·全国·课后作业）当x =__时，多项式
2
2
4
3
x
x
−
−
+ 有最大值？求出这个最大值是 __ ．
【答案】
1
− 5
【分析】本题考查了配方法的应用，先整理得
(
)
2
2
2
4
3
2
1
5
x
x
x
−
−
+
= −
+
+
，再分析：因为(
)
2
1
0
x +
，所以
(
)
2
2
1
5
5
x
−
+
+
，即当
1
x = −时，多项式
2
2
4
3
x
x
−
−
+ 有最大值，且这个最大值为5，进行作答．
【详解】解：
2
2
4
3
x
x
−
−
+
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(
)
2
2
2
3
x
x
= −
+
+
(
)
2
2
2
1 1
3
x
x
= −
+
+ −
+
(
)
2
2
2
1
5
x
x
= −
+
+
+
(
)
2
2
1
5
x
= −
+
+ ，
∵(
)
2
1
0
x +
，
∴
(
)
2
2
1
0
x
−
+
，
则
(
)
2
2
1
5
5
x
−
+
+
，
即当
1
x = −时，多项式
2
2
4
3
x
x
−
−
+ 有最大值，且这个最大值为5，
故答案为：1
−，5．
6．（25-26 九年级上·黑龙江大庆·阶段检测）新定义：关于x 的一元二次方程
2
1(
)
0
a x
c
k
−
+
=
与
2
2(
)
0
a x
c
k
−
+
=
称为“同族二次方程”．例如：
2
5(
6)
7
0
x −
+
=
与
2
6(
6)
7
0
x −
+
=
是“同族二次方程”．现有关于
x 的一元二次方程
2 2
(
2)(
3
)
5
0
m
x
m
n
+
+ −
+
+
=
与
2
2(
1)
1
0
x −
+ = 是“同族二次方程”，则代数式
2
2029
mx
nx
+
+
的最小值是_____．
【答案】2027
【分析】本题考查了新定义，配方法的应用，根据同族二次方程的定义，两个方程必须具有相同的c 和k，
由第二个方程确定
1
c = ，
1
k = ，令第一个方程中的c 相等，解出
2
m = （舍去
2
m = −），再令k 相等，解出
4
n = −，
代入代数式
2
2029
mx
nx
+
+
，结合配方法求最小值，即可作答．
【详解】解：∵关于x 的一元二次方程
2 2
(
2)(
3
)
5
0
m
x
m
n
+
+ −
+
+
=
与
2
2(
1)
1
0
x −
+ = 是“同族二次方程”，
∴
2
0
m+
，
2
3
1
m
−
= −，
5 1
n+ = ，
解得
2
m =
，
4
n = −，
则
2
2029
mx
nx
+
+
2
2
4
2029
x
x
=
−
+
(
)
2
2
2
2029
x
x
=
−
+
(
)
2
2
2
1
2
2029
x
x
=
−
+
−
+
(
)
2
2
1
2027
x
=
−
+
，
当
1
x = 时，则(
)
2
2
1
2027
2 0
2027
2027
x −
+
=
+
=
，
∴(
)
2
2
1
2027
2027
x −
+
，
即代数式
2
2029
mx
nx
+
+
的最小值是2027，
故答案为：2027．
三、解答题
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7．（25-26 九年级上·河南洛阳·期中）已知代数式
2
4
5
x
x
+
+ ，
(1)用配方法说明，不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；
(2)求当x 取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【答案】(1)见解析
(2)当
2
x = −时，代数式的值最小，最小值为1
【分析】本题主要考查了在代数式中配方法的运用，抛物线的最值等知识，熟练掌握配方法的运用是解题
关键．
（1）首先将原式变形为(
)
2
2
1
x +
+ ，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数；
（2）设代数式的值为y，根据二次函数的图像与性质可求出最值．
【详解】（1）解：
2
4
5
x
x
+
+
2
4
4
4
5
x
x
=
+
+
−
+
(
)
2
2
1
x
=
+
+ ，
∵(
)
2
2
0
x +
，
∴(
)
2
2
1 1
x +
+ ，
∴不论x 取何值，这个代数式的值总是正数；
（2）解：令
2
4
5
y
x
x
=
+
+
，
∴
(
)
2
2
1
y
x
=
+
+ ，
∵
1
0
a =
，
∴函数开口向上，有最小值，
∴当
2
x = −时，最小值为1．
8．（25-26 八年级上·吉林长春·期中）我们定义：一个整数能表示成
2
2
a
b
+
（a 、b 是整数）的形式，则称这
个数为“完美数”．例如，5 是“完美数”．理由：因为
2
2
5
2
1
=
+
，所以5 是“完美数”．
【解决问题】
（1）已知25 是“完美数”，请将它写成
2
2
a
b
+
（a 、b 是整数）的形式________；
（2）若
2
4
1
x
x
−
−可配方成(
)
2
x
m
n
−
+
（m 、n 为常数），则mn =________；
【探究问题】
（3）已知
2
2
4
6
13
0
x
y
x
y
+
-
+
+
= ，则x
y
+
= ________；
（4）已知
2
2
4
2
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
−
+
（x 、y 是整数，k 是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一
个k 值，并说明理由；
【答案】（1）
2
2
25
3
4
=
+
（2）10
-
（3）-1
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（4）
10
k =
，理由见详解
【分析】本题考查了配方法，非负数的性质以及对新定义“完美数”的理解与应用．理解新定义“完美数”的定
义是解题的关键．
（1）根据“完美数”的定义找到两个整数的平方和为25 即可；
（2）对二次三项式用配方法，凑出完全平方形式(
)
2
x
m
n
−
+
，对比得出m 和n 的值进行计算即可；
（3）将原始拆分为两个完全平方的和，利用非负数的性质求出x ，y 的值，再计算x
y
+
即可；
（4）先对S进行配方，整理为两个整数平方和的形式，结合“完美数”的定义，确定常数k 的值，使剩余项
抵消即可．
【详解】解：（1）
2
2=9+16=25
3
4
+
，符合“完美数”的定义．
故答案为
2
2
3
4
+
（答案不唯一）；
（2）对
2
4
1
x
x
−
−配方，
得到
(
)
2
2
4
1=
4 +4
4 1
x
x
x
x
−
−
−
−
−
(
)
2
=
2
5
x −
−，
2,
5
m
n
=
= −，
(
)
2
5
10
mn
=
−
= −
．
故答案为10
−
；
（3）对式子进行配方
(
) (
)
2
2
2
2
4
6
13
4
4
6
9
x
y
x
y
x
x
y
y
+
−
+
+
=
−
+
+
+
+
(
)
(
)
2
2
2
3
x
y
=
−
+
+
，
(
)
(
)
2
2
2
3
0
x
y
−
+
+
=
，
(
)
2
2
0
x −
=
且(
)
2
3
0
y +
=
，
2,
3
x
y
=
= −，
2
3
1
x
y
+
=
−
= −．
故答案为1
−；
（4）先对S配方，
得到
2
2
4
2
12
S
x
y
x
y
k
=
+
+
−
+
(
) (
)
2
2
2
1
4
12
9
1 9
x
x
y
y
k
=
+
+
+
−
+
+
−−
(
)
(
)
2
2
1
2
3
10
x
y
k
=
+
+
−
+
−
，
要让S为完美数，可令
10
0
−
=
k
，
即
10
k =
，
(
)
(
)
2
2
1
2
3
S
x
y
=
+
+
−
又x 、y 是整数，
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1
x + 和2
3
y −
也是整数，符合“完美数”的定义，
符合条件的一个k 值为10．（答案不唯一）
9．（2025·福建龙岩·一模）我们规定：当
0
a
，
0
b
时，由
2
(
)
2
0
a
b
a
ab
b
−
=
−
+
，得
2
a
b
ab
+
当
且仅当a
b
=
时，取到等号．已知
0
x
，求式子
4
x
x
+
的最小值．解：令a
x
=
，
4
b
x
=
，则由
2
a
b
ab
+
，
得
4
4
2
4
x
x
x
x
+
=
，当且仅当
4
x
x
=
时，即正数
2
x =
时，式子有最小值，最小值为4，根据材料，思考下
列问题：
(1)2
3
+ ______2 2 3
（用“ = ”“”“”填空）
(2)当
0
x
，式子
9
x
x
+
的最小值为______．
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC 、BD相交于点O，AOB
、COD
△
的面积分别是8 和14，求四边形ABCD
面积的最小值．
【答案】(1)
(2)6
(3)22
8 7
+
【分析】本题考查了配方法在最值问题中的应用，同时本题还考查了等高三角形的在面积计算中的应用．
（1）根据题意可知2
3
2 2 3
+
，
（2）令
0
a
x
=
，
9
0
b
x
=
，则由
2
a
b
ab
+
，即可得出答案．
（3）设
BOC
S
x
=
△
，根据题意可得出
112
AOD
S
x
=
△
，即可得出当且仅当
112
x
x
=
，即
4 7
x
时，，四边形ABCD
面积
112
112
8 14
22
2
22
8 7
x
x
x
x
= +
+
+
+
=
+
．
【详解】（1）解：∵2
0
，3
0
，
∴2
3
2 2 3
+
，
故答案为：
（2）解：令
0
a
x
=
，
9
0
b
x
=
，则由
2
a
b
ab
+
，
得
9
9
2
.
6
x
x
x
x
+
=
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当且仅当
9
x
x
=
时，即正数
3
x = 时，式子有最小值，最小值为6，
故答案为：6；
（3）解：设
BOC
S
x
=
△
，已知
8
AOB
S
=
△
，
14
COD
S
=
△
，
则由等高三角形可知：
:
:
:
BOC
COD
AOB
AOD
S
S
BO OD
S
S
=
=
，
:14
8:
AOD
x
S
=
，
112
AOD
S
x
=
，
四边形ABCD的面积
112
112
8 14
22
2
22
8 7
x
x
x
x
= +
+
+
+
=
+
当且仅当
112
x
x
=
，即
4 7
x
时，取等号，
四边形ABCD面积的最小值为22
8 7
+
．
10．（24-25 八年级下·安徽蚌埠·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代
数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例：求代数式
2
4
8
y
y
+
+
的最小值．
解：
2
2
2
4
8
4
4
4
(
2)
4
y
y
y
y
y
+
+ =
+
+ +
=
+
+
，
2
(
2)
0
y +
，
2
(
2)
4
4
y
+
+
，
当
2
y = −时，
2
4
8
y
y
+
+
的最小值是4．
(1)【类比探究】求代数式
2
6
12
x
x
−
+
的最小值；
(2)【举一反三】若代数式
2
2
y
x
x
= −
−
：当x =__________时，y 有最__________值（填“大”或“小”），这
个值是__________；
(3)【拓展应用】如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠
墙（墙的长度为15m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形ABEF 与长方
形EFCD 面积比为1:2，栅栏的总长度为24m ．当BF 为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多
少？
【答案】(1)3
(2) 1
−，大，1
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(3)当
4m
BF =
时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为
2
48m
【分析】本题考查了配方法求代数式最大值中的应用，不等式的性质，实际应用题中几何关系的建模．正
确的配方是解题的关键．
（1）将原式配方
(
)
2
2
6
12
3
3
x
x
x
−
+
=
−
+ ，根据(
)
2
3
0
x −
，再根据不等式的性质求解即可；
（2）对代数式
2
2
x
x
−
−
进行配方，
(
)
2
2
2
1
1
x
x
x
−
−
= −
+
+ ，结合(
)
2
1
0
x
−
+
，再根据不等式的性质求解即
可；
（3）设BF
x
=
，由长方形ABEF 与长方形EFCD 面积比为1:2，得到
2
CF
x
=
，再根据栅栏总长度表示出AB
的长度，由面积公式建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值，注意x 的取值范围．
【详解】（1）解：
(
)
2
2
2
6
12
6
9
3
3
3
x
x
x
x
x
−
+
=
−
+ +
=
−
+
(
)
2
3
0
x −
，
(
)
2
3
3
3
x
−
+ ，
3
x
=
时，
2
6
12
x
x
−
+
取最小值，且最小值为3；
（2）解：
(
)
(
)
(
)
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
y
x
x
x
x
x
x
x
= −
−
= −
+
= −
+
+
+ = −
+
+
(
)
2
1
0
x
−
+
，
(
)
2
1
1 1
x
−
+
+ ，
1
x
= −时，
2
2
y
x
x
= −
−
取最大值，且最大值为1，
故答案为：1
−，大，1；
（3）解：设BF
x
=
，
∵长方形ABEF 与长方形EFCD 面积比为1:2，
∴
2
2
CF
BF
x
=
=
，
∴
3
BC
BF
CF
x
=
+
=
，
∴
24
3
3
x
AB
−
=
，
∴长方形ABCD的面积
AB BC
=
24 3
3
3
x
x
−
=
2
3
24
x
x
= −
+
(
)
2
3
4
48
x
= −
−
+
，
∵(
)
2
4
0
x −
，
∴
(
)
2
3
4
48
48
x
−
−
+
，
∵
3
15
AD
BC
x
=
=
，
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∴0
5
x
，
∴当
4
x = 时，长方形ABCD的面积最大，最大值为48，
即当
4m
BF =
时，长方形养殖场的总面积最大，最大值为
2
48m ．
11．（25-26 八年级下·山东烟台·期末）综合与实践
【项目主题】配方法的应用．
【项目准备】
(1)利用完全平方公式将多项式
(
)
2
0
ax
bx
c a
+
+
变形为(
)
2
a x
m
n
+
+ 的形式，我们把这样的变形方法叫做多
项式
(
)
2
0
ax
bx
c a
+
+
的配方法．配方法是一种重要的数学方法，常用于求代数式的最值．例如：求代数式
2
4
1
x
x
+
−的最小值，
(
)
2
2
2
4
1
4
4
4 1
2
5
x
x
x
x
x
+
−=
+
+
−
−=
+
−可知，当
2
x = −时，
2
4
1
x
x
+
−有最小值，最
小值是____________ ．配方法也可以对一些多项式进行因式分解，例如：分解因式
2
2
3
x
x
+
−，原式
2
2
1 1 3
x
x
=
+
+ −−
=____________ = _____________ ．
(2)【项目解决】当a，b，c 分别为ABC
的三边长，且满足
2
2
4
6
13
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
时，直接写出c 的取值范
围．
(3)如图，在四边形ABCD中，AC
BD
⊥
．若
8
AC
BD
+
= ，求四边形ABCD面积的最大值 ．
【答案】(1) 5
−；(
)
2
1
4
x +
−；(
)(
)
3
1
x
x
+
−
(2)1
5
c
(3)8
【分析】（1）根据配方法进行配方，利用因式分解即可；
（2）把
2
2
4
6
13
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
化为
2
2
4
4
6
9
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
= ，再利用三角形三边关系进一步求解即可；
（3）由
1
2
ABCD
S
AC BD
=
四边形
，结合
8
AC
BD
+
= ，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：∵
(
)
2
2
2
4
1
4
4
4
1
2
5
x
x
x
x
x
+
−=
+
+
−
−=
+
−
，(
)
2
2
0
x +
，
∴当
2
x = −时，
2
4
1
x
x
+
−有最小值，最小值是5
−．
分解因式
2
2
3
x
x
+
−，原式
(
)
(
)(
)
2
2
2
1 1 3
1
4
3
1
x
x
x
x
x
=
+
+ −−
=
+
−
=
+
−
．
（2）解：
2
2
4
6
13
0
a
b
a
b
+
−
−
+
=
，
2
2
4
4
6
9
0
a
a
b
b
−
+
+
−
+
=
，
2
2
(
2)
(
3)
0
a
b
−
+
−
=
，
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2
0
a
−
=
，
3
0
b −= ，
2
a
=
，
3
b =
，
∵b
a
c
b
a
−
+
，
∴1
5
c
．
（3）解：∵在四边形ABCD中，AC
BD
⊥
，
∴
1
2
ABCD
S
AC BD
=
四边形
，
∵
8
AC
BD
+
= ，
∴
(
)
1
8
2
ABCD
S
AC
AC
=
−
四边形
2
1
4
2 AC
AC
= −
+
(
)
2
1
8
16 16
2 AC
AC
= −
−
+
−
(
)
2
1
4
8
2 AC
= −
−
+ ，
∵
(
)
2
1
4
0
2 AC
−
−
，
∴
(
)
2
1
4
8
8
2 AC
−
−
+ ，
∴四边形ABCD面积的最大值为8．
12．（25-26 九年级上·四川内江·阶段检测）先阅读，再解答：由阅读材料：利用公式法，可以将一些形如
(
)
2
0
ax
bx
c a
+
+
的多项式变形为(
)
2
a x
m
n
+
+ 的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式
(
)
2
0
ax
bx
c a
+
+
的配方法，运用多项式的配方法可以解决一些数学问题．比如运用多项式的配方法及平方
差公式能对一些多项式进行因式分解．
例：
2
2
2
2
4
4
4
5
4
5
2
2
x
x
x
x
+
−
=
+
+
−
−
(
)
(
)(
)
2
2
4
4
9
2
9
1
5
x
x
x
x
x
=
+
+
−
=
+
−
=
−
+
根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题：
（1）分解因式：
2
2
3
x
x
+
−；
（2）求多项式
2
2
6
7
x
x
+
−
的最小值；
（3）已知a，b，c 是ABC
的三边长，且满足
2
2
2
6
8
10
50
0
a
b
c
a
b
c
+
+
−
−
−
+
=
，求ABC
的周长．
【拓展应用】
（4）如图，这是加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中a，b，c 是Rt ABC
和Rt DEF
的三边长．根据
勾股定理，可得
2
2
2
AE
c
c
c
=
+
=
，我们把关于x 的一元二次方程
2
2
0
ax
cx
b
+
+
=
，称为“勾系一元二次
方程”，已知代数式
2
14
48
p
p
−
+
的最小值是“勾系一元二次方程”
2
2
0
ax
cx
b
+
+
=
的一个根．四边形ACDE
的周长为8 2 ，试求四边形ACDE 的面积．
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【答案】（1）(
)(
)
3
1
x
x
+
−
（2）
23
2
−
（3）12 （4）64
9
【分析】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、一元二次方程的根，理解题意，熟练掌握因式分解
的方法是解本题的关键．
（1）根据阅读材料中的方法分解即可；
（2）根据阅读材料中的方法将多项式变形，求出最小值即可；
（3）原式配方后，利用非负数的性质求出a 、b 、c 的值，即可得出答案．
（4）先求出代数式
2
14
48
p
p
−
+
的最小值，然后代入方程，得到a 、b 、c 的关系，再通过周长即可求出c 与
a
b
+
的值，进而可求出面积．
【详解】（1）解：∵
(
)
(
)(
)
2
2
2
2
3
2
1 4
1
4
3
1
x
x
x
x
x
x
x
+
−
=
+
+ −
=
+
−
=
+
−
，
（2）解：
2
2
2
9
9
3
23
2
6
7
2
3
7
2
4
4
2
2
x
x
x
x
x
+
−
=
+
+
−
−
=
+
−
∵
2
3
2
0
2
x
+
∴
2
3
23
23
2
2
2
2
x
+
−
−
故当
3
2
x = −
时，多项式
2
2
6
7
x
x
+
−
的最小值为
23
2
−
．
（3）解：∵
2
2
2
6
8
10
50
0
a
b
c
a
b
c
+
+
−
−
−
+
=
∴
2
2
2
6
9
8
16
10
25
0
a
a
b
b
c
c
+
+
+
+
+
−
−
=
−
∴(
)
(
)
(
)
2
2
2
3
4
5
0
a
b
c
−
+
−
+
−
=
∴
3
0
a −=
，
4
0
b−
=
，∴
5
0
c −=
∴
3
a = ，
4
b =
，
5
c =
则ABC
的周长为12
（4）解：由题意，得
(
)
2
2
14
48
7
1
p
p
p
−
+
=
−
−
当
7
p =
时，
2
14
48
p
p
−
+
取得最小值，最小值为1
−
∵
2
14
48
p
p
−
+
的最小值是“勾系一元二次方程”
2
2
0
ax
cx
b
+
+
=
的一个根
∴
1
x = −是方程
2
2
0
ax
cx
b
+
+
=
的一个根
∴
2
0
a
c
b
−
+
=
，
∴
2
a
b
c
+
=
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∵四边形ACDE 的周长为8 2
∴2
2
2
8 2
a
b
c
+
+
=
∴2 2
2
8 2
c
c
+
=
∴
8
3
c =
∴
8
2
3
a
b
+
=
，
∴
(
)
2
2
8
2
64
3
2
2
9
ACDE
a
b
S
+
=
=
=
四边形
