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拓展提升02 巧用割补法与等积法求体积
题型01 割补法
解题锦囊
立体几何中的割补法的运用一般是通过将复杂的、不规则的、不易认识的几何体，通过“分割”或者
“补形”转化为简单的、规则的、易于认识的几何体，从而解决问题的一种解题方法.
通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系，提高空间想象能力.割补法的运用蕴
含了一种构造的思想方法，反映了对立、统一的辩证思想.
【典例1】（24-25 高三下·北京·阶段练习）如图，三棱锥P-ABC 的体积为V，E，F 分别是棱PB，PC 上靠
近点P 的三等分点，G 是棱AB 上靠近点B 的三等分点，H 是棱AC 上靠近点C 的三等分点，则多面体
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【典例2】（2025 高三下·全国·专题练习）一个五面体
．已知
，且两两之间距离
为．
，
，
，则该五面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025 高三·全国·专题练习）如图，一个底面半径为3 的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最
短和最长母线长分别为4 和10，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·安徽宣城·期末）如图，某几何体是由正方体截去八个一样的四面体得到的．若
被截正方体的棱长为60cm，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高三上·河北唐山·期末）如图，在三棱柱
中，
平面
，
，
，则三棱柱
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（23-24 高一下·天津·开学考试）如图，在多面体
中，已知四边形
是边长为3 的
正方形，
，
，
上任意一点到平面
的距离均为
，则该多面体的体积为（ ）
A．
B．
C．12
D．
【变式5】（23-24 高三上·天津·期末）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由相同
的两个正交的正四面体组合而成（如图1），也可由正方体切割而成（如图2）．在“蒺藜形多面体”中，
若正四面体的棱长为2，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【变式6】（24-25 高二上·上海闵行·期末）如图所示的几何体
，底面
是矩形，
，
，
，
，直线
到底面
的距离
，则该几何体
的体积是（ ）
A．5
B．10
C．15
D．
【变式7】（2025·重庆·一模）已知平行六面体
的体积为1，若将其截去三棱锥
，
则剩余部分几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 等积法
解题锦囊
等积法(又称等积变换法)
（1）利用三棱锥的“等积性”,即体积计算时可以任一个面作为三棱雉的底面. (1)求体 积时,可选
择“容易计算”的方式来计算; (2)利用“等积法”可求“点到面的吟离”,关键是在 面中选取 3 个点,
与已知点构成三棱锥.
(2) 等积变换法充分体现了转化的数学思想,在运用过程中要充分注意距离之间的等 价转换.
【典例3】（2025·山东聊城·模拟预测）三棱锥
中，
，则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（23-24 高一下·山西大同·期末）在正四棱锥
中，
，
，点
是棱
的
中点，则三棱锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】如下图，四棱锥P−ABCD 中，PD ⊥¿ ¿平面ABCD ，PD =DC =BC =1,AB =2,
AB //DC ,∠BCD =90° ，则点A 到平面PBC 的距离为 .
【变式3】（23-24 高一下·浙江金华·阶段练习）棱长为2 的正方体
中，
分别为棱
的中点，求三棱锥
的体积
【变式4】（24-25 高一下·陕西商洛·阶段练习）已知正方体
的棱长为3，E 为CD 的中点，
则点
到平面
的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【变式5】（2024 高一·全国·专题练习）在多面体
中，四边形
为矩形，O，M 分别为
，
BC 的中点，
，
，
，
，
．
(1)求多面体
的体积；
(2)求三棱锥
的体积．
