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3.6 导数与其他知识相结合的问题
5 大考点汇总
考点01 导数与三角函数结合的相关问题
考点02 导数与数列结合的相关问题
考点03 导数与统计概率结合的相关问题
考点04 导数与立体几何结合的相关问题
考点05 导数与解析几何结合的相关问题
题型专练
考点01 导数与三角函数结合的相关问题
1．设函数
，
．
(1)求
的图象在点
处的切线方程；
(2)证明：
；
(3)设
，
，数列
的前
项和为
，证明：
．
2．若
、
，且
，则下列各式一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)当
时，证明：对任意
，都有
；
(3)证明：
．
4．（多选）函数
，则（ ）
A．
B．
C．
存在对称轴
D．
存在对称中心
5．已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，证明：
，
；
(3)已知
，证明：
．
6．已知函数
，其中
，曲线
在点
处的切线方程为
．
(1)求a 的值；
(2)证明：当
时，
；
(3)设
，若
对任意
恒成立，求m 的最大值．
考点02 导数与数列结合的相关问题
7．已知有穷数列
满足
， 其中
，且最后一项
(1)当
，且
时，求
的取值范围；
(2)当
时，如果
足够大，
（i）证明：数列
为单调递减数列；
（ii）探究数列
中是否存在连续三项成等差数列.若存在，说明有多少个；若不存在，请说明理由.
8．已知函数
（
），
．
(1)若
，求
的单调区间；
(2)若
恒成立，求
的值；
(3)已知数列
，满足
，记
，若对任意的正整数
，不等式
成立，其中
为整
数，求
最小值．
9．已知函数
.
(1)若
，求证：
；
(2)设数列
的通项公式
，
是其前
项和，求证：
；
(3)设等差数列
的公差
，
是其前
项和，且
，求
.
10．已知函数
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若
时，
恒成立，求实数
的最大值；
(3)设
，
为数列
的前
项积，求证：
．
11．已知函数
．
(1)求函数
的极值；
(2)当
时，数列
，且
，
；
①求数列
的前
项和
；
②证明：
．
12．已知函数
，正项数列
满足
．
(1)求函数
的最值与零点；
(2)判断数列
的单调性并说明理由；
(3)设数列
的前n 项和为
，求证：
．
考点03 导数与统计概率结合的相关问题
13．已知甲口袋有
（
，
）个红球和2 个白球，乙口袋有
（
，
）个红球和2 个白球，
小明从甲口袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2 次，每次摸出
一个球．
(1)当
，
时，
①求小明4 次摸球中，至少摸出1 个白球的概率；
②设小明4 次摸球中，摸出白球的个数为
，求
的数学期望；
(2)当
时，设小明4 次摸球中，恰有3 次摸出红球的概率为
，求
的最大值.
14．已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)证明：当
时，
；
(3)从编号1 到100 的100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20 次，设抽到的20
个号码互不相同的概率为
，证明：
．
15．为促进销售，某生产商联合商超对定价为100 元的产品推出“摸奖+闯关”优惠活动，规则如下：进商
超的消费者首先获得一次摸奖机会，可获得一张10 元或20 元的“基础优惠券”（摸到10 元“基础优惠
券”的概率为0.6，摸到20 元“基础优惠券”的概率为0.4）；然后进行答题闯关游戏，闯关成功可再获得
一张能叠加使用的20 元“进阶优惠券”.记消费者答题闯关成功的概率为
.已知摸奖与闯关优惠
活动的结果相互独立.
(1)记消费者购买一件该产品的实际支付金额为
（单位：元），求
的分布列和
；
(2)已知本次活动中优惠券的成本将由生产商承担“基础优惠券”面额的30%，“进阶优惠券”面额的50%.
记生产商销售一件该产品的期望利润为
（单位：元），消费者购买该产品的概率为
.已知
，商品成本为41 元.试求
的最大值及取得最大值时
的值.（结果保留1 位小
数）
注：期望利润=消费者购买概率×（支付金额的期望－商品成本－优惠券成本的期望）
16．某企业生产的芯片独立出厂，每件芯片出现故障的概率为
，正常的概率为
.现对一批
芯片开展批量抽样检测，连续抽取
件芯片，记其中故障芯片的件数为随机变量
.
(1)连续抽取4 件芯片，在至少出现2 件故障芯片的条件下，求恰好出现3 件故障芯片的概率；
(2)当
时，记恰好出现2 件故障芯片的概率为
.若对任意
，恒有
，
求实数
的最小整数值；
(3)若始终满足
，求证：对任意正整数
，都有
.
17．蝗虫能对农作物造成严重伤害，每只蝗虫的平均产卵数
（单位：个）和平均温度
（单位：℃）有关．
现收集到一只蝗虫的产卵数
（个）和温度
的8 组观测数据，制成图1 所示的散点图．现用两种模型
①
，②
分别进行拟合．
根据收集到的数据，计算得到如下值：
24
2.9
646
179
422688
62.65
70308
表中
；
(1)根据散点图，比较模型①、②的拟合效果，模型___________比较合适？（无需说明理由）
根据所选择的模型，利用上表中的参考数据，求出
关于
的回归方程．
(2)根据以往统计，该地每年平均温度达到
以上时蝗虫会对农作物造成严重伤害，需要人工防治，其他
情况均不需要人工防治．设该地每年平均温度达到
以上的概率为
，该地今后
年恰好需要2 次人工防治的概率为
．
①求
取得最大值时对应的概率
；
②当
取最大值时，设该地今后5 年需要人工防治的次数为
，求
的均值和方差．
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
18．在平面直角坐标系中，一质点M 从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位长度，且向
四个方向移动的概率均为
．例如在1 秒末，点M 会等可能地出现在
，
，
，
四点处．
(1)已知点M 在第2 秒末没有回到原点，求此时点M 位于坐标轴上的概率；
(2)记第n 秒末点M 回到原点的概率为
．
①求
，
，并利用公式
，求
；
②令
，记
为数列
的前n 项和，若对任意实数
，存在
，使得
，则称点M 是常返
的．利用公式：
，证明：点M 是常返的．
考点04 导数与立体几何结合的相关问题
19．如图，在四面体
中，点
在平面
内的射影
恰在棱
上，
为
的中点，
，
，
和
的面积均为．
(1)若
，且
与
均为锐角，证明：
平面
；
(2)若将
，
，
三点在空间中的位置固定，试分析
点的轨迹是什么曲线；
(3)求
的最小值．
20．已知点
为空间一定点，圆锥
（
为底面的中心 ）表面上的所有点到点
的距离均不超过3，则当
该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
21．在三棱锥
中，等边三角形
的边长为
，
，
，点
为
的中点．
(1)证明：
；
(2)设点
在底面
上的投影为
，求三棱锥
体积的最大值．
22．在三棱锥
中，
，直线
与平面
所成的角为
，则三棱锥
体积的最大值为__________.
23．已知一个实心圆锥几何体的体积为V₁，从中挖去一个体积为V₂ 的半球，且球心在圆锥底面上，则
的
最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
24．已知圆锥SO 的底面为单位圆，其体积为
是底面圆O 的直径，圆O 内有一条动弦MN 垂直于AB，
过MN 作平面
与母线SA 交于点
，当
时，
面积的最大值为______________．
考点05 导数与解析几何结合的相关问题
25．已知直线
与抛物线
交于
两点，过
分别作抛物线
的两条切线，两条切
线交于点
；过点
作直线
的垂线，与椭圆
交于
两点（点
在点
上方）．
(1)证明：点
在一条定直线上；
(2)记
的面积分别为
，求
的最小值．
26．已知椭圆
的离心率为
，且
经过点
．
(1)求
的方程．
(2)已知
是
的左、右顶点，
是
的短轴上的动点（与短轴端点和原点
均不重合），点
满足
，直线
与
的另一个交点为
，直线
与
的另一个交点为
（与
不重合）．
（i）证明：直线
与
轴相交于定点；
（ii）当
的面积最大时，求
的值．
27．已知椭圆
与双曲线
有相同的左、右焦点
，若
点
是
与
在第一象限内的交点，且
，设
与
的离心率分别为
，则
的取值范围
是（ ）
A．
B．
C．
D．
28．如果一条双曲线的实轴与虚轴分别为另一条双曲线的虚轴与实轴，则这两条双曲线互为共轭双曲线，已
知
，
互为共轭双曲线，且
，
的离心率分别为
，
，则
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．
D．
29．已知抛物线
上的点
到焦点
距离的最小值为
．
(1)求
的方程；
(2)若点
，
在
上，且线段
的中点在直线
上，点
，求
面积的最大值．
30．对于抛物线
过原点
作斜率为
的直线，交抛物线
于另一点
.作
关于
轴
的对称点
过点
作的平行直线
，交抛物线C 于另一点
.作
关于
轴对称点
以此类推构造点
记
的坐标为
(1)若
，求点
的坐标；
(2)证明：数列
是等差数列；
(3)求
的面积的最大值.
