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5.1 平面向量的概念及线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的长度(或称模)．
(2)零向量：长度为0 的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1 个单位长度的向量．
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量．规定：零向量与任意向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算
法则(或几何意义)
运算律
加法
三角形法则
平行四边形法则
交换律：
a＋b＝b＋a；
结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
几何意义
a－b＝a＋(－b)
数乘
|λ a|＝|λ||a|；
当λ>0 时，λa 的方向与a 的
方向相同；
当λ<0 时，λa 的方向与a 的
方向相反；
当λ＝0 时，λa＝0
λ(μ a)＝(λμ)a；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
【注意】λ，μ 为实数．
3．向量共线定理
向量a(a≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b ＝
λ a .
【注意】当a≠0 时，定理中的实数λ 才唯一．
[常用结论]
1．P 为线段AB 的中点，O 为平面内任意一点⇔OP＝( OA
＋
OB
) .
2．若OP＝vOA＋μOB(μ，v 为常数)，O 不在直线AB 上，则P，A，B 三点共线的充要条件是μ ＋
v ＝
1 .
3．若G 为△ABC 的重心，则有
(1)GA＋GB＋GC＝0；(2)AG＝( AB
＋
AC
) .
4．对于任意两个向量a，b，都有
||a|
－
|b||
≤|a±b|≤|a|
＋
|b|
(向量三角不等式)
考点一 平面向量的概念
考点二 向量的线性运算
考点三 根据向量的线性运算求参数
考点四 向量共线定理的应用
考点一 平面向量的概念
1．（25-26 高三上·黑龙江齐齐哈尔·期中）（多选）关于平面向量，下列说法正确的是（ ）
A．零向量的长度是0
B．向量是有向线段
C．若
，则
D．若
是共线的单位向量，则
2．（25-26 高三上·上海·期中）下列说法：
①加速度是向量；
②若向量
且
，则
；
③若向量
，则直线
与直线
平行；
④若向量
，
满足
，且
与
同向，则
；
⑤若两个非零向量
，
满足
，则
，
为相反向量；
⑥若两个向量相等，则表示它们的有向线段的起点相同，终点也相同；
其中错误的有（ ）个.
A．1
B．2
C．3
D．4
3．（25-26 高三上·广东广州·期中）（多选）给出下列命题，不正确的有（ ）
A．两个相等向量，若它们的起点相同，则终点相同
B．若
，
，则
C．若
为非零向量，则
与
同向
D．已知
，
为实数，若
，则
与
共线
4．（25-26 高三上·广东河源·阶段检测）下列关于平面向量的说法中，正确的是（ ）
A．长度相等的两个向量一定是相等向量B．方向相同或相反的两个向量叫做共线向量
C．零向量没有方向
D．平行向量的方向一定相同
5．（25-26 高三上·广东深圳·期中）（多选）下列命题中，不正确的有（ ）
A．有相同起点的两个非零向量不共线
B．“
”的充要条件是
且
C．若
与
共线，
与
共线，则
与
共线
D．向量
与
不共线，则
与
都是非零向量
6．（25-26 高三上·甘肃白银·阶段检测）（多选）下列关于平面向量的说法正确的是（ ）
A．零向量没有方向
B．平行向量一定是共线向量
C．两个单位向量的和一定不是单位向量
D．若
，
是不共线向量，则向量
，
都是非零向量
考点二 向量的线性运算
7．（26-27 高三·全国·一轮复习）（多选）已知等边三角形
内接于
，
为线段
的中点，
为线段
的中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·广西河池·期中）如图所示，D，E 分别为AB，CD 的中点，若向量
，
用
表示向
量
．
9．（25-26 高三上·四川成都·期中）如图，在梯形
中，
，
，
．
(1)用
，
表示
；
(2)若
与
交于点
，用
，
表示
．
10．（25-26 高三上·广东汕尾·期中）在
中，点
在线段
上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（25-26 高三上·江苏·期中）在
中，
，设
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 高三上·浙江绍兴·阶段检测）如图，在梯形
中，
，
，
分别为
，
的中点，
为线段
的四等分点（靠近点
），记
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 根据向量的线性运算求参数
13．（2026 高一·全国·专题练习）在平行四边形
中，
分别是
的中点，若
，
则
______，
______．
14．（25-26 高三上·天津南开·阶段检测）如图，在
中，
，
分别在线段
，
上，且
，
，
，
交于点
，若
，则
_______.
15．（25-26 高三上·天津红桥·阶段检测）如图，在
中，
是
的中点，点N 在边
上，且
，
与
相交于点
，设
，则
_________；
_________.（注：用
和
来表示）
16．（25-26 高三上·四川雅安·阶段检测）在
中，
是
边上靠近
的一个三等分点，若
与
平行，则实数
__________．
17．（25-26 高三上·广东中山·期中）（多选）如图， 在
中，
为
的中点，
，
与
交于
点
，若
，则下面对于
的描述正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（25-26 高三上·云南·阶段检测）在平行四边形
中，
，则
______．
考点四 向量共线定理的应用
19．（2026·湖南长沙·三模）已知
是不共线的向量，且
，则（ ）
A．
三点共线
B．
三点共线
C．
三点共线
D．
三点共线
20．（25-26 高三上·安徽蚌埠·阶段检测）在
中，
边上的中线为
的中点为
，过点
的一条直线
与
分别交于点
．若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
21．（25-26 高三上·安徽宿州·阶段检测）在
中，点
是
的中点，过点
的直线分别交射线
，
于
不同的两点
，
．设
，
（
，
），则
的最小值（ ）
A．2
B．4
C．
D．8
22．（2026·浙江·二模）已知
，
是两个不共线的向量，且
，
，
，则四边形
的形状是（ ）
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．无法构成四边形
23．（25-26 高三上·广西梧州·期中）已知
中，
，
，M 为AB 的中点，N 为BD 上靠近B 的三
等分点．
(1)
，
表示向量
，
；
(2)判断M，N，C 三点的位置关系，并证明．
24．（25-26 高三上·河北沧州·期中）（1）设
，
是不共线的两个向量，如果
，
，
，求证：
三点共线；
（2）若
与
不共线，且
与
共线，求实数
的值.
25．（25-26 高三下·安徽六安·阶段检测）已知
、
、
三点共线（该直线不过原点
），且
，则
的最小值为______.
26．（25-26 高三上·四川南充·期中）记直线与
的边
交于
两点，且
．
(1)若
与
交于点
，
（i）请用向量
表示
；
（ii）若
，求
的值；
(2)若直线
恒过
的重心
，试求
的最小值．
1．（25-26 高三上·广东广州·期中）已知
，
为非零向量，则“
”是“存在实数
，使
”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（25-26 高三上·江西上饶·阶段检测）下列说法不正确的是（ ）
A．单位向量的模一定相等
B．若
，则
C．在等边三角形
中，
与
的夹角为
D．若
，
则平面四边形
一定是平行四边形
3．（25-26 高三上·上海·期中）如图，在正方形
中，
为
的中点，
为
的中点，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·河北·期中）在
中，
，
，
，
为
中点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·安徽亳州·期中）在
中，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·河南·阶段检测）在
中，
为
边上的中线，
为
上一点，且
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·浙江·阶段检测）在
中，
是边
的中点，
是边
上靠近点
的三等分点，设
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高三上·重庆·阶段检测）如图，在
中，点O 是线段BC 上靠近点B 的三等分点，过点O 的直线分
别交直线AB、AC 于点M、N．设
，
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．3
9．（25-26 高三上·重庆·期中）已知点
在线段
上（不含端点），
是直线
外一点，且
，
则
的最小值是（ ）
A．4
B．
C．
D．2
10．（25-26 高三上·江苏南京·阶段检测）（多选）在
中，点
在
上，且
，过点
的直线分别
交直线
于不同的两点
，若
，
，
，
，则（ ）
A．
B．
的最小值为9
C．
的最小值为
D．
的最小值为
11．（25-26 高三上·黑龙江·期中）（多选）已知向量
不共线，
，若
三
点共线，则
的可能的取值为（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（25-26 高三上·四川成都·期中）（多选）下列说法错误的是（ ）
A．
B．若向量
与
共线，则存在唯一的实数
使
C．若非零向量
与
相等，则
，
重合
D．若
，则
13．（2026 高一·全国·专题练习）对于任意三个向量
，下列命题中正确的序号是______.
①若
则
②
③
④若
满足
，且
与
反向，则
14．（25-26 高三上·河南南阳·阶段检测）在
中，
为
上一点且满足
．若P 为线段
上一点，
且
为正实数），则
的最小值为_______．
15．（2026 高三·全国·专题练习）设D 是
的边AB 上的点，若
，
，则
______．
16．（25-26 高三上·山东·期中）在
中，点
满足
，过点
的直线分别交直线
，
于不同的
两点
，
，设
，
，则
______________．
17．（2026 高三·全国·专题练习）设向量
和
不共线．若
，
，
，且A，
C，F 三点共线，则实数k 的值为______．
18．（25-26 高三上·海南省直辖县级单位·期中）在
中，
是
的中点，
与
交
于点
，若
，则
___________．
