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3.1 导数的概念及运算
一、导数的概念
知识点1 平均速度
1．平均速度：我们把位移s 看成关于时间t 的函数s＝s(t)，则物体在时间段[t1，t2]上的平均速度v＝
s(t2)−s(t1)
t2−t1
．
2．物体在某一时段内的平均速度的大小反映了物体运动的快慢．
知识点2 瞬时速度
1．瞬时速度：物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．
2．瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0 时，平均速度v就无限
趋近于t＝t0时的瞬时速度．
3 ．设物体运动的时间与位移的函数关系为s ＝s(t) ，则物体在t0 时刻的瞬时速度为v ＝
lim
Δt →0
s(t0+ Δt)−s(t0)
Δt
．
【注意】(1)“Δt→0”读作“Δt 无限趋近于0”，是指时间间隔越来越短，能越过任意小的时间间隔，
即|Δt|要多小就有多小，其含义是可以小于任何预先给定的正数，但Δt 始终不能为零．
(2)当Δt→0，比值s(t0+ Δt)−s(t0)
Δt
趋近于一个确定的常数时，此常数才称为物体在t＝t0时的瞬时速
度．
(3)“lim”意为极限，lim
Δt →0
s(t0+ Δt)−s(t0)
Δt
＝l 表示当Δt→0 时，s(t0+ Δt)−s(t0)
Δt
以常数l 为极限．
知识点3 求曲线在某点处切线的斜率或方程
1．切线的斜率：当点P 无限趋近于点P0时，割线P0P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置
的直线P0T 称为曲线y ＝f (x) 在点P0(x0 ，f (x0)) 处的切线，则切线P0T 的斜率k0 ＝
lim
Δ x→0
f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
．
2．切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点P 无限趋
近于点P0，于是割线P0P 无限趋近于点P0处的切线P0T，这时，割线P0P 的斜率k 无限趋近于点P0
处的切线P0T 的斜率k0．
【注意】(1)不管点P 在点P0左侧附近，还是右侧附近，割线P0P 的斜率k 的表达式是一样的．
(2)极限的几何意义：曲线y＝f (x)在x＝x0处的切线斜率．
知识点4 导数的概念
1．平均变化率
对于函数y＝f (x)，设自变量x 从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y 就从f (x0)变化到f (x0＋Δx)．
这时，x 的变化量为Δx，y 的变化量为Δy＝f (x0＋Δx)－f (x0)．我们把比值Δ y
Δ x ，即Δ y
Δ x ＝
f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
叫做函数y＝f (x)从x0到x0＋Δx 的平均变化率．
2．导数
如果当Δx→0 时，平均变化率Δ y
Δ x 无限趋近于一个确定的值，即Δ y
Δ x 有极限，则称y＝f (x)在x＝x0处
可导，并把这个确定的值叫做y＝f (x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f ′(x0)或y ' |x＝x0，
即f ′(x0)＝lim
Δ x→0
Δ y
Δ x ＝lim
Δ x→0
f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
．
【注意】(1)平均变化率Δ y
Δ x ＝f (x0+ Δ x)−f (x0)
Δ x
的几何意义就是函数y＝f (x)图象上的两点(x0，f (x0))
与(x0＋Δx，f (x0＋Δx))所在直线的斜率．
(2)在导数定义中增量Δx 的形式是多种多样的，但不论Δx 选择哪一种形式，相应的Δy 也必须选择
对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式．
知识点5 导数的几何意义
函数y＝f (x)在x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率．也就是
说，曲线y＝f (x)在点P(x0，f (x0))处的切线的斜率是f ′(x0)．相应地，切线方程为y－f (x0)＝f ′(x0)(x
－x0)．
【注意】切线的斜率k 只与横坐标x0有关，与Δx 无关．
利用导数的几何意义判断函数的变化
若f ′(x0)＝0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＝0；
若f ′(x0)＞0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＞0，则函数在x＝x0附近单调递增，且f ′(x0)越大，
说明函数图象变化得越快；
若f ′(x0)＜0，则函数的图象在x＝x0处切线斜率k＜0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f ′(x0)|越大，
说明函数图象变化得越快．
【注意】f ′(x0)的正负决定增减，|f ′(x0)|的大小决定快慢．
知识点6 导函数(导数)
对于函数y＝f (x)，当x＝x0时，f ′(x0)是一个唯一确定的数，当x 变化时，y＝f ′(x)就是x 的函数，我
们称它为y ＝f (x) 的导函数( 简称导数) ．y ＝f (x) 的导函数有时也记作y′ ，即f ′(x) ＝y′ ＝
lim
Δ x→0
f (x + Δ x)−f (x)
Δ x
．
【注意】(1)f ′(x0)是具体的值，是数值．
(2)f ′(x)是函数f (x)在某区间I 上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数．
二、导数运算
知识点1 基本初等函数的求导公式
1．几个常用函数的导数
原函数
导数
f (x)＝c(c 为常数)
f ′(x)＝0
f (x)＝x
f ′(x)＝1
f (x)＝x2
f ′(x)＝2x
f (x)＝x3
f ′(x)＝3x2
f (x)＝1
x
f ′(x)＝－1
x
2
f (x)＝❑√x
f ′(x)＝1
2❑√x
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f (x)＝c(c 为常数)
f ′(x)＝0
f (x)＝xα(α∈R，且α≠0)
f ′(x)＝αxα-1
f (x)＝sin x
f ′(x)＝cos x
f (x)＝cos x
f ′(x)＝－sin x
f (x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f ′(x)＝ax ln a
f (x)＝ex
f ′(x)＝ex
f (x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f ′(x)＝
1
x ln a
f (x)＝ln x
f ′(x)＝1
x
【注意】(1)对于根式f (x)＝
n√x
m，要先转化为f (x)＝x
m
n，所以f ′(x)＝m
n x
m
n −1
．
(2)三角函数的导数公式中，一要注意名称的改变，二要注意符号的改变．可用口诀记忆：正弦求导
数，弦变符不变；余弦求导数，弦变符也变．
知识点2 导数的四则运算法则
f (x)±g(x)的导数
两个函数f (x)和g(x)的和(或差)的导数：[f (x)±g(x)]′＝f ′(x)±g′(x)．
【注意】推广式：[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]′＝f ′1(x)±f ′2(x)±…±f ′n(x)．
f (x)g(x)和f (x)
g(x) 的导数
1．[f (x)g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特别地，[cf (x)]′＝cf ′(x)．
2．[
f (x)
g(x)]
'
＝f
' (x)g(x)−f (x)g
' (x)
［g(x)］
2
(g(x)≠0)．
【注意】积的导数公式，中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；商的导数公式，分母平方，
分子用“减号”．
知识点3 复合函数的概念
一般地，对于两个函数y＝f (u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y 可以表示成x 的函数，那么称这
个函数为函数y＝f (u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f (g(x))．
复合函数的导数
一般地，对于由函数y＝f (u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f (g(x))，它的导数与函数y＝f (u)，u＝
g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x．即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
【注意】(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构；求导由外向内，并保持对外层函数求导时，
内层不变的原则．
(2)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导．
(3)该公式可以推广至多层复合函数．
考点一 导数的概念与运算
考点二 在某点的切线问题
考点三 过某点的切线问题
考点四 已知切线（斜率)求参数
考点五 公切线的问题
考点六 切线条数与距离问题
考点一 导数的概念与运算
1．（25-26 高三上·江西上饶·期中）定义在
上的函数
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．4
【答案】A
【分析】根据导数的定义求解.
【详解】
lim
Δ x→0 f (1−2 Δ x)−f (1)
Δ x
=−2
lim
Δ x→0 f (1−2 Δ x)−f (1)
−2 Δ x
=−2
lim
−2 Δ x→0 f (1−2 Δ x)−f (1)
−2 Δ x
=−2f
′(1)=−2× 1
2 =−1
2．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）已知函数
在
处可导，且
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】D
【详解】因为
，
所以
.
3．（25-26 高三上·广东汕头·期中）（多选）下列求导不正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ABC
【详解】对于A，
，A 错误；
对于B，
，B 错误；
对于C，
，C 错误；
对于D，
，D 正确.
4．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
(3)
(4)
；
(5)
；
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据求导公式、四则运算法则及复合函数求导的方法，逐一求解，即可得答案.
【详解】（1）由
，得
.
（2）由
为常数，得
.
（3）由
，得
.
（4）由
，得
.
（5）由
，得
.
（6）由
，令
，得
，
则
.
5．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·期中）求下列函数导数
(1)
；
(2)
；
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为
，
所以
；
（2）函数
可以看作函数
和
的复合函数，
由复合函数的求导法则可得：
。
所以
.
6．（25-26 高三上·天津·阶段检测）求下列函数的导数：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】直接利用求导公式求解即可.
【详解】（1）因为
，
所以
.
（2）因为
，
所以
.
（3）因为
，
所以
.
（4）因为
，
所以
.
考点二 在某点的切线问题
7．（25-26 高三上·广东东莞·期中）已知函数
在
处的切线方程为
，则
的值为
（ ）
A．
B．3
C．4
D．5
【答案】A
【详解】
，
，
又
函数
在
处的切线方程为
，
，解得
，则
，
，
将点
代入切线方程得
，即
，
．
8．（江苏盐城市2026 届高三数学考前指导卷）在平面直角坐标系
中，点
在曲线
：
上且在第
三象限内．若曲线
在点
处的切线为
，则实数
________．
【答案】
【分析】先设切点
，然后对
求导，根据切线的斜率求出切点的横坐标
，代入曲线方
程求出切点的纵坐标
，即可得出切点
，最后将切点坐标代入切线方程即可求出
．
【详解】设
，
，
，
因为曲线
在点
处的切线为
，
所以
，解得
，
又因为点
在第三象限内，
所以
，
，
因为
在切线
上，
所以
，解得
．
9．（2026·河北张家口·二模）已知曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
________．
【答案】1
【分析】根据导数的几何意义先求得
的切线方程，再设出该切线与
的切点，再利用公切线
的斜率相等，且切点也在公切线上，代入计算即可求解．
【详解】由
，则
，
所以曲线
在点
处的斜率为
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
．
设直线
与曲线
相切的切点为
，且
，
则
，解得
．
10．（25-26 高三上·天津静海·期中）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
和
，单调递减区间为
【详解】（1）∵
，函数定义域为
，
∴
，即切点坐标为
.
，
∴ 切线斜率
.
由点斜式得切线方程为
，整理得
或
.
（2）由(1)得
，
∵ 对任意
，
恒成立，
∴
的符号由二次函数
的符号决定.
令
，即
，解得
，
.
∵ 二次函数
开口向上，
∴ 当
或
时，
，即
，
单调递增；
当
时，
，即
，
单调递减.
故
的单调递增区间为
和
，单调递减区间为
.
11．（2026·安徽·模拟预测）函数
的图象在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用导数求出切线斜率，再结合直线的点斜式方程可得切线方程.
【详解】
，则
，
，所以切线方程为
，化简可得
，
即函数
的图象在点
处的切线方程为
.
12．（25-26 高三上·北京·期中）函数
在
处的切线方程为______．
【答案】
【分析】根据题意，求得
，得到
，且
，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】由函数
，
可得
，且
，
即切线的斜率为
，切点坐标为
，
所以切线方程为
，即
.
考点三 过某点的切线问题
13．（25-26 高三上·江西上饶·期中）已知曲线
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求曲线
过原点
的切线方程．
【答案】(1)
(2)
和
．
【分析】（1）利用导数的几何意义，先求曲线的导函数，验证点
在曲线上，再计算该点处的导数值得到切
线斜率，最后用点斜式写出切线方程.
（2）设出切点坐标，结合导数的几何意义表示切线斜率，再利用两点间斜率公式表示过原点的切线斜率，联立方
程求解切点，进而得到过原点的切线方程.
【详解】（1）已知曲线
，先求导：
,
验证点在曲线上：
，点
在曲线上．
求该点的切线斜率：
,
由点斜式得：
,
整理得切线方程：
.
（2）设切点为
，即
，
切点处的斜率：
,
所以切线方程为
，
切线过原点，即
，
整理得
，解得
或
．
当
时，切点为
，斜率
，切线方程为：
当
时，切点为
，斜率
，
切线方程为：
因此，过原点的切线方程为
和
．
14．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数
图象关于点
对称．
(1)求a，b；
(2)若过点
存在三条直线与曲线
相切，求实数m 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
代入函数解析式，对比系数即可求解；
（2）将问题转化为
与
有三个交点，利用导数研究
的单调性，极值和图像即可求
解.
【详解】（1）因为函数
图象关于
对称，
所以
，故
，
化简可得
，
所以
，解得
．
（2）由（1）可知，函数
，所以
，
设切点坐标为
，
所以切线方程为
，因为切线过点
，
所以
，即
，
令
，则
，
令
，解得
，或
．
当x 变化时，
，
的变化情况如下表所示，
x
1
0
0
单调递减
单调递增
0
单调递减
因此，当
时，
有极小值
；
当
时，
有极大值
．
过点
存在3 条直线与曲线
相切，等价于
关于x 的方程
有三个不同的根，则
，
所以实数m 的取值范围是
．
15．（25-26 高三上·辽宁抚顺·期中）已知
是函数
的导函数，且
．
(1)求
的解析式；
(2)若曲线
存在过点
的切线，求实数的取值范围．
【答案】(1)f (x)= 2−x
e
x
(2)
【分析】（1）先对已知函数式令
，推出
简化原式，再对
求导，代入
利用
解出
，进而求出
的解析式.
（2）先求出函数导数，设出切点写出切线方程，把定点(t，0)代入切线方程整理出关于切点横坐标的表达式，转
变成一元二次不等式问题得到实数的取值范围.
【详解】（1）已知
，令
，得
.
即
，解得
.
因此
.
对
求导：
.
令
，结合
，得
，即
，解得
.
代入得
的解析式：
.
（2）由（1）得
，
.
设切点为
，切线斜率为
，切线方程
.
因为切线过点
，代入得
.
约去
并整理得一元二次方程
.
曲线存在这样的切线等价于关于
的一元二次方程有实数解.
故判别式
，化简得
。
解不等式得
或
，所以实数的取值范围是
.
16．（2026·河北雄安·三模）过点
可向曲线
作三条切线，则实数
的取值范围为________．
【答案】
【分析】设切点坐标为
，借助导数的几何意义计算可得切线方程为
，将点
代入，可得
，构造相应函数
，则可得该函数的图象与直线
有三个不同交点，借助导数研究单调性后计算即可得解.
【详解】设曲线
的切点坐标为
，
，
则切线方程为
，
点
在该直线上，有
，
整理得
，
由题意可得函数
的图象与直线
有三个不同交点，
，
则当
时，
，当
时，
，
故
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
，
，
又当
时，
，
时，
，
故当
时，函数
的图象与直线
有三个不同交点，
即实数
的取值范围为
.
17．（25-26 高三上·河北邢台·期中）已知函数
，曲线
在点
处的切线方程是
．
(1)求
，
的值；
(2)求曲线
过点
的切线方程．
【答案】(1)
，
(2)
或9 x + 4 y −21=0
【分析】（1）结合切点既在曲线上又在切线上的条件，列方程组即可求解；
（2）通过设切点，利用切线方程过已知点的条件，即可求解.
【详解】（1）因为
，所以
，
则
，
解得
，
．
（2）由（1）可知f ( x)= x
3+2 x
2−3 x +3，则f
′( x)=3 x
2+ 4 x −3．
当切点是
时，所求切线斜率
，
则所求切线方程为
，即
．
当切点不是
时，设与曲线
相切的切点为
，
由导数的几何意义可得3 x0
2+ 4 x0−3= x0
3+2 x0
2−3 x0+3−3
x0−1
，
整理得2 x0
3−x0
2−4 x0+3=0，即
，
解得
（
舍去），
则所求切线斜率
，
故所求切线方程为y −3=−9
4 ( x−1)，即9 x + 4 y −21=0．
综上，所求切线方程为
或9 x + 4 y −21=0．
18．（25-26 高三上·广东惠州·期中）过点
作函数
图像的切线，则切线方程为__________.
【答案】
【分析】设切点坐标，根据导数值等于两点连线斜率求出切点坐标，得到切线方程.
【详解】设切点坐标为
，因为
，
所以
，解得
，
所以切线斜率
，
所以切线方程为
，即
.
考点四 已知切线（斜率)求参数
19．（25-26 高三上·天津静海·期中）已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】
，又
在点
处的切线与直线
垂直，
，解得
．
20．（重庆市巴蜀教育集团2025-2026 学年高三上学期5 月期中考试数学试题）函数
在
处的
切线与
轴平行，则实数
（ ）
A．
B．
C．0
D．1
【答案】A
【详解】函数
的定义域为
，
.
由题意知，
，即
，解得
.
21．（2026·广东深圳·二模）若直线
是曲线
的一条切线，则
___________．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解.
【详解】设切点为
，
由于
，则
，解得
，
于是切点为
，则
，解得
．
22．（2026 高三·全国·专题练习）若曲线
在
处的切线方程为
，则实数
的值
为（ ）
A．
B．1
C．
D．2
【答案】A
【详解】设
，则
，
由题意得
，解得
.
23．（25-26 高三上·辽宁鞍山·期中）已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】因为
，
，
设切线斜率为
，则
，
又因为切线与直线
垂直，
所以
，即
，解得
.
24．（25-26 高三上·广东东莞·期中）如图，函数
的图象在点P 处的切线方程是
，则
（ ）
A．
B．2
C．0
D．3
【答案】B
【详解】根据图像得，点
，切线斜率为
，
，则
.
考点五 公切线的问题
25．（25-26 高三上·湖北·期中）若直线既是曲线
在
处的切线，也是曲线
的切线，则实数
_________．
【答案】2
【分析】根据题意先求出曲线
在
处的切线方程，设与曲线
的切点
，利用导
数的几何意义推得关于
的方程组，求解即得.
【详解】由
求导得
，则曲线
在
处的切线方程为
，即
，
设曲线
的切线的切点为
，由
求导得
，
依题意可得
，解得
.
26．（25-26 高三上·甘肃·期中）已知两函数
，
的图象有公共点，且在公共点处的切线重合，则
（ ）
A．0
B．1
C．0 或
D．0 或1
【答案】D
【分析】根据切线重合列方程，求得切点的横坐标，进而求得
的值.
【详解】设两函数
，
的图象公共点的坐标为
，则有
①.
分别对两函数求导可得y ' =12 x
2及
，
由两函数在公共点处的切线重合，可得两函数在
处的斜率相等，
即
，即
，解得
或
.
将
代入①可得
；将
代入①可得
，解得
，
所以
的值为0 或1.
27．（25-26 高三上·广东韶关·期中）若曲线
在点
处的切线与曲线
相切，则正数
（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】C
【详解】设f ( x)= x
3+3ax−9，则
，则
.
所以曲线
在点
处的切线方程为y −(−9)=3ax，即y =3ax−9．
由{
y =3ax−9,
y = x
2, )得x
2−3ax +9=0，则Δ=9a
2−36=0，解得
（舍去）或
．
28．（25-26 高三上·湖南长沙·期中）若曲线
在点
处的切线也与曲线
相切，则
________．
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求出曲线
在点
处的切线，结合公切线的性质进一步求解即可.
【详解】由
，得
，
，故曲线
在
处的切线方程为
；
由
，得
，
设切线与曲线
相切的切点为(x0,ln(x0−1)−m+1)，
由两曲线有公切线得
，解得
，则切点为(
3
2 ,ln 1
2 −m+1)，
故切线方程为y −(ln 1
2 −m+1)=2(x−3
2)，即y =2 x +ln 1
2 −m−2，
因两切线重合，则ln 1
2 −m−2=1，解得m=−3−ln2．
29．（2026·河北·二模）若函数
的图象在点
处的切线恰好与函数
的图
象切于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先设切点，求出导函数进而得出切线斜率得出切线方程，再应用切线相同列式计算求解，即可得出切线
方程.
【详解】因切线与
的切点为
， 由
可得
，
切线方程为：
，即
①
依题意，切线与
的切点为
，因
，
则切线的方程为：
，即
②
因①，②都是的方程，则有
，
联立两式消去
并整理得
，即
，解得
.
30．（2026·湖南湘西·三模）若直线
与函数
和
的图象均相切，则实数
的最大值
为___________．
【答案】1
【分析】分别设直线与
的图象相切于点
，与y = ❑√x + 3
4 的图象相切于点
，由公切线
得到
，令t = ❑√x2+ 3
4 ，得到
，进而构造函数
，通
过求导，确定零点，进而可求解.
【详解】设直线与
的图象相切于点
，直线与y = ❑√x + 3
4 的图象相切于点
，
则
，得
得b=e
x1−x1e
x1= ❑√x2+ 3
4 −
x2
2❑√x2+ 3
4
，令
，
则
，
得
，
所以
，整理可得
．
设
，显然
为
的一个零点，h
′ (t )= 1
t −2t，
当
时，h
′ (t )> 0,h(t )单调递增，
当t ∈(
❑√2
2 ,+ ∞)时，
单调递减，故h(t )max=h(
❑√2
2 )= 1
2 ln2−1
4 >0，
而h(
❑√3
2 )=ln ❑√3−1
2 >0,h(
e
2)= 5
4 −e
2
4 <0,h(
1
2e)=−3
4 −1
4e
2 <0，
所以ln(2t )−t
2+ 1
4 =0的两根位于
两侧，
已知一根为
，当
时，b= 1
4 + 3
4 =1，
所以另一根位于区间(
❑√3
2 ,e
2)内，由对勾函数单调性可知b= t
2 + 3
8t 在(
❑√3
2 ,e
2)单调递增，
此时b= t
2 + 3
8t <e
4 + 3
4e <1，
所以当
时，
取得最大值，该值为1．
考点六 切线条数与距离问题
31．（25-26 高三上·黑龙江·月考）曲线
上的点到直线
距离的最小值为___________．
【答案】
【分析】求出曲线
的斜率为
的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】
的定义域为
，
求导得
，令
得
，即
，解得
或
（舍去），
当
时，
，此时切点为
，
所以曲线
到直线
的距离的最小值即为切点
到直线
的距离，
即为
，
故答案为：
32．（2025·河北·模拟预测）已知点 P 在函数
的图象上，则P 点到直线
的距离的最小
值为______.
【答案】
【分析】首先利用导数分析函数
的图象，再利用数形结合，结合导数的几何意义，即可求解.
【详解】
，
，得
，
当
，
，
单调递增，
，
，
单调递减，
所以当
时，
取得最大值
，
如图，当与直线
平行的直线与
的图象相切时，此时切点
到直线
的距离最小，
，得
，即切点
，
点
到直线
的距离为
.
故答案为：
33．（25-26 高三上·甘肃酒泉·期末）若点P 是曲线
上任意一点，则点P 到直线
的
距离的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】首先求平行于直线与曲线
相切的切点坐标，再代入点到直线的距离公式，即可求解.
【详解】由函数
，可得
，
，令
，解得
、或
（舍去），
单调递增
单调递减
设
，
，所以图象向上凹，
如图画出函数
的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线，
则
，
即平行于直线
的直线与曲线
相切的切点坐标为
，
，所以切点
在直线的左侧，
曲线
上任意一点到直线距离的最小值为点
到直线的距离，
由点到直线的距离公式，可得点P 到直线l 的距离为
．
故选：A
34．（2026 高二·全国·专题练习）已知函数
，
的导函数为
．判断经过点
的曲线
的切线有多少条.
【答案】2 条
【分析】利用导数的几何意义求函数图象上任意一点的切线方程，把
代入整理，将问题化为判断
有几个根，即可得.
【详解】因为
，所以曲线
在点
处的切线方程为
．
将
代入，整理得
，
因为
，所以
，又
，
所以方程
有两个不同的根，即方程
共有2 个不同的根，
所以经过点
的曲线
的切线有2 条．
35．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）过坐标原点
可作曲线
的切线条数为（ ）
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．无数条
【答案】C
【分析】先求出切线方程，再将
代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代
入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，
确定切线条数.
【详解】由题意
，
设切点为
，
所以切线方程为
，
再将
代入切线方程，
所以
，
当
时，满足条件，
当
时，
，
解得
，
最后将切点代入
，求出切线斜率
当
时，
，所以切线为
，
当
，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论，
当
，
，此时切线为
，
当
，
，此时切线为
，
所以切线条数为条.
36．（24-25 高三上·安徽·月考）已知函数
，则函数
与函数
的公切线有
___________条．
【答案】2
【分析】分别设出切点坐标，求出两切点处的切线方程联立方程组并得出关系式，构造函数
，利用导数求得其单调性得出零点个数即可求得切弦条数.
【详解】设在函数函数
与函数
处的切点分别为
，
则
，因此
，可得切线方程为
，即
；
由
，则
，
因此切线方程为
，即
；
令
，因此可得
，
设
，则
，
令
，解得
，即
在
上单调递增，
令
，解得
，即
在
上单调递减；
当
，
，又
，
；
因此函数
在
上有两个零点，即公切线有2 条.
故答案为：2
【点睛】方法点睛：求解公切线条数问题首先设出切点坐标，求出切线方程并得出切点间的关系式，再构造函数
转化为求解方程根的个数（或函数零点个数）即可.
1．（25-26 高三·全国·一轮复习）已知
，则
与
的公切线有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【分析】函数已知，可设切点表达切线方程，公切线满足两函数的切线斜率和截距分别相等，则公切线的数量可
转化为满足条件的方程组的解的个数或者符合条件的切点个数的求解即可.
【详解】根据题意，设直线l 与
相切于点
，与
相切于点
，
对于
，有
，则直线l 的斜率
，
则直线l 的方程为
，即
，
对于
，有
，则直线l 的斜率
，则直线l 的方程为
，即
，
则
可得
，即
或
，
则切线方程为
或
，故
与
的公切线有2 条．
故选：C.
2．（上海市虹口区2025-2026 学年第二学期期末学生学习能力诊断测试高三数学试题）已知函数
是定义
在
上的奇函数，且
，则函数
的表达式可以是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】因为
，所以
，再结合
是定义在
上的奇函数进行
求解.
【详解】因为
，所以
，
对于A：
但是
不是奇函数，所以A 错误；
对于B：
，且
，定义域为
，
所以
是奇函数，所以B 正确；
对于C：
，
是偶函数，所以C 错误；
对于D：
,
是奇函数，所以D 错误；
3．（25-26 高三上·甘肃兰州·期中）已知定义域为R 的函数
的导函数为
，则
＝
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用导数的定义求解.
【详解】
.
4．（25-26 高三上·天津静海·期中）若函数
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，结合导数的运算法则，即可求解.
【详解】由函数
可得
.
5．（24-25 高三上·北京·期中）函数
的导函数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】因为
，
，
所以函数
的导函数
.
6．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）已知函数
为奇函数，当
时，f (x)= ln (−x)+2 x，则曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据奇函数定义，推导出
时
的表达式，通过导数求解切线斜率，再结合点斜式求切线方程.
【详解】设
，则
，则
因为
是奇函数，满足
，
所以
当
时
，即切点为
对
求导得
，切线斜率
由点斜式得切线方程
，整理得
.
7．（25-26 高三上·山东淄博·期中）已知函数
，则曲线在点
处的切线在y 轴上的截距为
（ ）
A．1－ln2
B．ln2－1
C．ln2
D．－ln2
【答案】D
【详解】因为
，故可得
，
，
故
在点
处的切线方程为：
，
令
，解得
．
故切线在y 轴上的截距为
．
8．（2026·辽宁辽阳·二模）函数
在
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先求出导数得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程.
【详解】因为函数
，所以
，则在
处的切线斜率是
，
函数
过
，
在
处的切线方程是
，即得
.
9．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
的值等于（ ）
A．2
B．1
C．
D．0
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，求得
的值，根据点在切线上，求得
的值，进而求得
的值．
【详解】点
在切线
上，所以
，
根据导数的几何意义，所以
，所以
.
10．（25-26 高三上·广东佛山·期中）若曲线
在点
处的切线与直线
平行，则实数
的值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】 对
求导：
，
将切点横坐标
代入，得切线斜率
.
直线
整理为
，斜率为
，
由于两直线平行，则斜率相等，因此
.
11．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）曲线
与曲线
的公切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先分别求出两条曲线的导数，再设出切点，写出切线方程，最后根据公切线的条件求解.
【详解】
的定义域为
，则
.
的定义域为
，则
.
设与
相切的切点为
，切线方程为
，即
.
设与
相切的切点为
，切线方程为
，
即
.
由题意知，
，由
，得
，
代入另一个方程解得
，则
.
代入
中，得
，即
.
12．（25-26 高三上·江西·期中）（多选）已知函数
的公切线为
，则
的值可能是（ ）
A．2
B．
C．3
D．
【答案】CD
【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到
，
，联立求出
或
，从而得到切线方程，求得答案.
【详解】设
与
相切于点
，
，故切线斜率
，
在点
处的切线方程为
，
即
，故
，
设
与
相切于点
，
，则
，所以
，解得
，
在
处的切线方程为
，
即
，故
，
所以
，
将
代入上式得
，
整理得
，解得
或
，
当
时，切线方程为
，此时
，所以
；
当
时，切线方程为
，故
，
，所以
；
综上所述：
或3.
13．（25-26 高三下·重庆渝中·月考）（多选）已知
是定义在
上的奇函数，函数
在
处的切线与曲
线
相切于点
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．曲线
在
处的切线方程为
【答案】ACD
【分析】根据曲线
过点
可得
即可判断A；分析可知函数
在
处的切线方程为
，可得
，即可判断C；对
求导代入
可得
，即可判断BD.
【详解】因为曲线
过点
，则
，即
，故A 正确；
因为函数
是定义在
上的奇函数，则
，
又因为
在
处的切线与曲线
相切于点
，
由题意可知：函数
在
处的切线方程为
，
则
，即
，即函数
在
处的切线方程为
，
所以
，故C 正确；
对
求导可得
，
代入
可得
，
即
，可得
，故B 错误；
所以曲线
在
处的切线方程为
，故D 正确.
14．（25-26 高三上·山东济南·期中）（多选）已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．函数
的值域是
.
B．曲线
在
处的切线方程为
C．若过点
至少可以作曲线
的三条切线，则
D．若点
是曲线
上的动点，则点
到直线
距离的最小值为
【答案】ABD
【分析】对函数求导得出单调性可求得其值域，利用导函数几何意义可求得在
处的切线方程，设出切点坐标
并根据切线条数构造函数，结合函数图象交点个数可求得
，将距离最小值转化为平行直线与曲线相切问
题即可.
【详解】由函数
可得
，
令
可得
，当
时，
，当
时，
，
因此可知
在
上单调递增，在
上单调递减；
所以
在
处取得极大值，也是最大值，又
，
因此函数
的值域是
，即A 正确；
易知
，又
，所以切线方程为
，即
，因此B 正确；
设过点
作切线的切点为
，
则斜率为
，切线方程为
，
代入点
坐标整理可得
，
令
，则
，
由
可得
或
，
当
时，
，
单调递减，当
时，
，
单调递增，当
时，
，
单调递减，
因此
在
处取得极小值
，在
处取得极大值
，
且
时，
，
时，
，
因为过点
至少可以作曲线
的三条切线，所以
与函数
的图象有三个交点，因此
，
即C 错误；
设与直线
平行的切线的切点为
，
因为直线斜率为1，所以
，
即
，又因为函数
在
上单调递增，可得
，即切点为
，
因此点
到直线
距离的最小值即为
到该直线距离，
即
，所以D 正确.
15．（25-26 高三上·广东江门·期中）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．若
，则
B．已知函数
，若
，则
C．若
，则
D．曲线
的一条切线的倾斜角
的取值范围是
【答案】BC
【详解】选项A：
是常数，常函数的导数为0，故A 错误。
选项B：由复合函数求导法则得
，令
，即
，故B 正确。
选项C：对
求导得
，故C 正确。
选项D：求导得
，即切线斜率
，结合倾斜角
，
得
，故D 错误。
16．（2026 高三·全国·专题练习）曲线
上任意一点
到直线
的距离的最小值是________．
【答案】
【详解】如图，所求最小值即曲线上斜率为
的切线与
两平行线间的距离，
也即切点到直线
的距离．
由
，则
，得
，
，
即与直线
平行的曲线
的切线，切点坐标是
，
所以
上任意一点
到直线
的距离的最小值为
．
17．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，则
______．
【答案】
【详解】解析：
．
18．（25-26 高三上·江苏无锡·期中）已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范围是
__________．
【答案】
【分析】设两切点分别为
，
，由导数求得斜率相等，从而得
，构造函数
，根据
与
有两个交点，利用导数求解即可.
【详解】因为
求导得
由
求导得
，
设与
相切的切点为
，与曲线
相切的切点为
，
则有公共切线的斜率
（*），
又因为
，
，代入（*），得
，
即
，则
，
又因为
，所以
，
因为存在两条公切线，该方程在
上有两解，
令
，则
，
所以当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
所以函数在
处取极大值，也是最大值，
，
当
时，
,当
时，
，
因为存在两条公切线，即
与
有两个交点，则
，
所以实数
的取值范围为
.
19．（25-26 高三上·北京顺义·阶段检测）如图，函数
的图象在点
处的切线方程是
，则
+
=______．
【答案】
【详解】点
处的切线方程是
，则
，
切线
斜率为
，则
，
．
20．（2026·陕西渭南·模拟预测）已知
为正实数，且直线
与曲线
相切，则
的最大值为
__________.
【答案】
/0.5
【分析】利用函数导数与函数在某点处的切线方程，以及基本不等式求解即可.
【详解】由直线
与曲线
相切，
设切点为
，由
，且切线的斜率为，
所以
，
代入曲线方程中得：
，
所以切点为
，代入直线方程中得：
，
因为
，所以
.
当
时取等号，所以
的最大值为
.则
的最大值为
.
21．（2026·河北沧州·二模）已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
，则
_________.
【答案】
【详解】由题可知
，由题意得
，
，
则
，且1
3+a×1
2+b×1−1=3×1−2，化简得
，
解得
，
，即
.
22．（2026·安徽·模拟预测）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
________．
【答案】2
【分析】先求出曲线
在点
处的切线方程，再设出曲线
的切点为
，利用公切线
的斜率相等及切点也在公切线上，进而建立方程组求解即可．
【详解】由
，则
，则
在点
处的切线的斜率为
，
所以切线方程为
，即
，
设切线与曲线
的切点为
，
又
，得
，
则切点处的斜率必为1，且切点在切线
上，
则
，解得
，
所以
．
