文档文本内容
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数（章节验收
卷）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】交集的概念及运算
【分析】根据集合概念以及交集运算即可得结果.
【详解】易知
，
又
，可得
.
故选：B
2．命题“
，
”的否定为 （ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【知识点】全称命题的否定及其真假判断
【分析】根据含全称量词的命题的否定规则即得.
【详解】根据含全称量词的命题的否定规则，改变量词，否定结论即得：命题“
，
”的否定为“
，
”.
故选：C.
3．设全集
，集合
，
，则图中阴影部分表示的集合
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】交并补混合运算
【分析】根据
图可得阴影部分表示的集合为
，利用补集运算求出
，
由交集运算求出
．
【详解】由
图知所求阴影部分的集合为
，
，
，
又
，
．
故选：D．
4．设甲：
；乙：
，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既
不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断指数函数的单调性
【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性化简甲乙两个命题，即可结合充分和
必要条件的定义求解.
【详解】由
可得
，由
可得
，
所以由
推不出
，即充分性不成立；
由
也推不出
，即必要性不成立.
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选:D.
5．已知
，则
可能的取值的个数为
（ ）
A．5 个
B．6 个
C．7 个
D．8 个
【答案】D
【知识点】列举法求集合中元素的个数、子集的概念
【分析】根据题意，分
，
和
，三种情况讨论，结合
，得到
得情况，即可得到答案.
【详解】当
时，由
，可得
，所以
为
或
；当
时，由
，可得
，
所以
为
或
或
；
当
时，由
知，
，
所以
为
或
；
当
，则
，所以
为
综上，共有8 种取值．
故选：D．
6．若复数z 满足
，那么
的最大值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】B
【知识点】实轴、虚轴上点对应的复数、求复数的模、与复数模相关的轨迹（图形）
问题
【分析】利用复数模的几何意义转化复数z 满足的限制条件，进而求得
的最大
值.
【详解】设复数、
在复平面内对应的点分别为
，
复数
在复平面对应的点为：
，
由
可知：复数z 在复平面内对应的点到两点
的距离之和为2，
而
，所以点
在线段
上，故
，
则
，
当
时，
的最大值为
.
故选：B.
7．设集合
，集合
，若
中恰有一
个整数，则实数a 的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据交集结果求集合或参数
【分析】先求出集合
， 再根据
中恰有一个整数，列出不等式求解.
【详解】由已知可得集合
或
,
由
解得，
，
所以
，
因为
，所以
，则
，且小于0，
由
中恰有一个整数，所以
，
即
，也即
，解得
，
故选：B．
8．如果对于正整数集
，将集合
拆分成16 个三元
子集（子集有三个元素），且拆分的16 个集合两两交集为空集，则称集合
是“三元可拆
集”.若存在一种拆分法，使得集合
是“三元可拆集”，且每个三元子集中都有一个数等
于其他两数之和，则
的最大值为（ ）
A．12
B．9
C．7
D．6
【答案】C
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求等差数列前n 项和、集合新定义
【分析】根据集合新定义结合、等差数列求和公式计算求解即可.
【详解】因为
有48 个元素，可以拆成16 个三元子集，
将这16 个三元子集中最大的数依次记为
，
则
.
又
中所有元素和为
，
所以由题意
，
所以
，解得
，又
所以
.
当
时，
，
可拆为
，
，
，
，所以
的最大值是7，
故选：C.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．已知复数
，为虚数单位，其共轭复数为
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
的虚部为
C．
对应的点位于复平面的第三象限D．
【答案】CD
【知识点】求复数的实部与虚部、求复数的模、共轭复数的概念及计算、根据复数的
坐标写出对应的复数
【分析】利用复数的模长公式可判断A 选项；利用复数的概念可判断B 选项；利用复
数的几何意义可判断C 选项；利用复数的减法可判断D 选项.
【详解】因为
，则
.
对于A 选项，
，A 错；
对于B 选项，
的虚部为
，B 错；
对于C 选项，
对应的点的坐标为
，位于第三象限，C 对；
对于D 选项，
，D 对.
故选：CD.
10．已知集合
，
，下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
可以取3
【答案】AC
【知识点】根据集合的包含关系求参数
【分析】把
代入，求解判断AB；利用集合的包含关系求解判断CD.
【详解】对于AB，若
，则任意实数
均满足
，因此
，A 正确，B
错误；
对于CD，由
，得
，解得
，C 正确，D 错误.
故选：AC.
11．已知命题
，
的否定是真命题，则命题
成立的一个充分条
件可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【知识点】一元二次不等式在某区间上有解问题、全称命题的否定及其真假判断、充
分条件的判定及性质
【分析】根据全称命题的否定，结合二次函数的性质，利用分类讨论，求得参数范
围，再根据充分条件的定义，可得答案.
【详解】由题意，命题
的否定为命题
：
，
，
当
时，则
，解得
，此时命题
为真；
当
时，函数
为开口向下的二次函数，显然命题
为真；
当
时，函数
为开口向上的二次函数，
令
，解得
，根据二次函数的性质，此时命题
为真.
综上可知，当
时，命题
为真.
根据题意，结合充分条件的定义，知命题
成立的一个充分条件应为
的子集，
而ABD 三个选项中的范围是
的子集.
故选：ABD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．已知
为纯虚数，则实数
．
【答案】3
【知识点】已知复数的类型求参数
【分析】根据给定条件，利用纯虚数的定义列式求解.
【详解】由
为纯虚数，得
，所以
.
故答案为：3
13．1881 年英国数学家约翰•维恩发明了Venn 图，用来直观表示集合之间的关系．全
集
，集合
，
的关系如图所示，其中区域
Ⅰ，Ⅱ构成M，区域Ⅱ，Ⅲ构成N．若区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，则实数a
的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式、利用Venn
图求集合
【详解】因为区域，Ⅱ，Ⅲ表示的集合均不是空集，所以
或
，解得
．
14．已知函数
，
，若对任意的
，存在
，使
得
，则整数m 的取值集合真子集的个数为
【答案】3
【知识点】求指数函数在区间内的值域、根据集合的包含关系求参数、判断集合的子
集（真子集）的个数
【分析】由
的值域是
的值域的子集确定
的值，然后由子集定义得出结论．
【详解】
时，
，
时，
，
由题意
，所以
，解得
，
其中整数
和
，即整数m 的取值集合为
，真子集有3 个．
故答案为：3.
四、解答题：本题共5 小题，其中第15 题13 分，第16,17 题15 分，第18,19 题17 分，共
77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知复数
．
(1)若复数z 在复平面上对应点落在第四象限，求m 的取值范围；
(2)已知
，若
是关于x 的方程
的一个根，求
的
值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】复数的相等、共轭复数的概念及计算、根据复数对应坐标的特点求参数
【分析】（1）求出对应点的坐标，根据第四象限点的特征列不等式组求解即可.
（2）由复数相等求出
，利用方程根的意义，结合复数相等求出
，即可得解.
【详解】（1）复数
在复平面上对应点
落在第四象限，
则
，解得
，
所以实数m 的范围是
.
（2）由
，得
，
由
，得
，解得
，
则
，
，依题意，
是关于x 的实系数方程
的一个
根，
则
，即
，
于是
，解得
，
，所以
.
16．已知集合
．
(1)当
时，求
；
(2)若
，且“
”是“
”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【知识点】根据集合的包含关系求参数、交并补混合运算、根据充分不必要条件求参
数
【分析】（1）解一元二次不等式求出
，根据集合的并集定义，即可求得答案；
（2）由题意可判断出A 为
的真子集，列出相应不等式，即可得答案.
【详解】（1）当
时，
或
，
则
，故
；
（2）
，且“
”是“
”的充分不必要条件，
故A 为
的真子集，
，
故
，结合
，解得
，
即实数a 的取值范围
.
17．设命题
：“对任意
，
恒成立”．且命题
为真命
题．
(1)求实数
的取值集合
；
(2)在（1）的条件下，设非空集合
，若“
”是“
”
的充分条件，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
或
【知识点】基本（均值）不等式的应用、根据全称命题的真假求参数、充分条件的判
定及性质
【分析】（1）根据不等式恒成立可得
对任意
恒成立，将
变
形并结合基本不等式，即可求得答案；
（2）由题意推出
，由此可得不等式，即可求得答案.
【详解】（1）对任意
，
恒成立，即
，
即
对任意
恒成立，
而
，即
，故
，
当且仅当
，即
时取等号，
故
，则实数
的取值集合
.
（2）解
，即
，得
或
，
由于“
”是“
”的充分条件，故
,
故
，即
，
所以实数
的取值范围为
或
.
18．设集合
，
．
(1)若
，求实数
的值；
(2)若集合
中有两个元素
，求实数
的取值范围，并用含
的代数式表示
；
(3)若
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
或
(2)
，
(3)
【知识点】根据交集结果求集合或参数、根据集合中元素的个数求参数
【分析】（1）由已知
，代入后解方程并检验是否满足题意；
（2）根据根与系数关系和完全差的平方公式化简求值即可；
（3）由条件可得
，结合集合
确定集合
，再根据集合
情况分类求解即可．
【详解】（1）由题意得
，因为
，所以
，
，
所以
即
，
化简得
，即
，解得
或
，
检验：当
时，
，满足
，
当
时，
，满足
，
所以
或
．
（2）因为
集合中有两个元素
，所以方程
有两个根，
所以
且
，
，
所以
，
．
（3）因为
，所以
，又
，
所以
或
或
或
，
当
时，
，解得
，符合题意；
当
时，则
，无解；
当
时，则
，所以
；
当
时，则
，无解，
综上，
的范围为
．
19．对于含有有限个元素的非空数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小
到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地减，加后继的数，例如
的“交替和”
是
的“交替和”是5.
(1)求集合
的所有非空子集的交替和的总和；
(2)已知集合
，求集合
所有非空子集的元素和的总和；
(3)已知集合
，其中
求集合
所有非空子集的
交替和的总和.
【答案】(1)12；
(2)672；
(3)
.
【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、求集合的子集（真子集）、集合新定
义
【分析】（1）先求出集合
的所有非空子集，根据“交替和”的定义分别求和
后可得所有的“交替和”的和；
（2）根据题意计算每个元素出现的次数求所有非空子集的元素和的总和；
（3）将集合
的所有非空子集分类，并将含有3 的多元素子集与不含有3 的非空子
集配对求出每对集合的“交替和”的和，再加上单元素集
的“交替和”即可.
【详解】（1）集合
的非空子集有
，
根据题意，集合
的交替和分别为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
集合
的交替和为
，
所以，集合
的所有非空子集的交替和的总和为
.
（2）集合
的所有非空子集中，考虑数字1 在子集中出现的情况，
相当于从剩下的5 个元素中选取若干个元素与1 组成子集，那么1 出现的次数为
次.
同理，每个元素出现的次数为
次，
所以，集合
所有非空子集的元素和的总和为
.
（3）集合
，其非空子集有
个，
将这些非空子集分为3 类：第一类，含元素3 的单元素集
，有1 个，其“交替和”
为3；
第二类，含元素3 的多元素集合（至少两个元素），有
个；
第三类，不含元素3 的非空集合，有
个，
将第二类中的集合
与第三类中的集合
（集合
中的元素去掉元素3 构成的新集
合）配对，
则集合
与集合
的“交替和”的和始终为3，
如取
，则
，集合
与集合
的“交替和”的和为
，
这样的配对共有
组，因此集合
的所有非空子集的“交替和”的总和为
.
