2020新沪教版高中数学高一上册_初高中资料库_高中资料库（转存避免链接过期失效）_高中数学

（教育部
审定标志）
普通高中教科书
数学
必修
第一册
上海教育出版社
目　录
１　
第１章　集合与逻辑
１．１　集合初步
２
１．２　常用逻辑概念
１５
　
本章内容提要
２３
本章复习题
２４
第２章　等式与不等式
２．１　等式与不等式的性质
２８
２．２　不等式的求解
３７
２．３　基本不等式及其应用
５０
　
本章内容提要
５８
本章复习题
５９
第３章　幂、指数与对数
３．１　幂与指数
６２
３．２　对数
６８
　
本章内容提要
７８
本章复习题
７９
　目录
２　
第４章　幂函数、指数函数与对数函数
４．１　幂函数
８２
４．２　指数函数
８８
４．３　对数函数
９６
　
本章内容提要
１０６
本章复习题
１０７
第５章　函数的概念、性质及应用
５．１　函数
１１２
５．２　函数的基本性质
１２１
５．３　函数的应用
１３４
５．４　反函数
１４４
　
本章内容提要
１５０
本章复习题
１５１
第１章
集合与逻辑
　　数学语言和自然语言的重要区别在于数学
语言更加精确，不容易产生歧义．集合是现代数
学语言的重要组成部分．使用集合的语言，可以
准确、简洁地表示所要研究的对象，更好地描述
所研究的对象之间的关系．
数学作为其他学科的基础和工具，其内涵
及语言都是按照逻辑的方式来组织的．根据正确
的前提，按照逻辑的推理，总是能够得到正确的
结论．在数学语言及其组织方式方面，有一些公
认的特殊约定，努力学习并遵循这些约定，能够
更好地在数学领域里和他人开展交流，对进一
步的学习和研究都非常有益．
１
集合与逻辑
２　
１．１　集合初步
１集合的意义
我们经常需要把满足一定要求或具有一定特征的对象放在一
起或归为一类，使之成为一个集合．例如：
（１）春申中学高一（１）班的全体师生组成一个集合；
（２）所有不大于１００的自然数组成一个集合；
（３）直线犾上的所有点组成一个集合；
（４）不等式２狓＋１≤０的所有解组成一个集合．
概括地说，把一些确定的对象的全体叫做集合（ｓｅｔ），简称集．
集合通常用大写字母犃、犅、犆、…来表示．
集合所含的各个对象叫做该集合的元素（ｅｌｅｍｅｎｔ）．元素通常
用小写字母犪、犫、犮、…来表示．
如果犪是集合犃的元素，就记作犪∈犃，读作“犪属于犃”．如果
犪不是集合犃的元素，就记作犪犃，读作“犪不属于犃”．例如，若
犃是由数１、３、５、７、９组成的集合，则１∈犃，２犃．
需要强调，集合的元素是确定的．也就是说，给定一个集合，一
个对象在不在这个集合中就确定了．例如，“我国的直辖市”组成一
个集合，北京、上海、天津、重庆在这个集合中，而杭州、南京、深圳
等城市不在这个集合中．
反之，一些不确定的对象不能组成集合．例如，“春申中学高一
（１）班中身材较高的学生”不能组成集合．因为“身材较高”的标准
不够明确、具体，所以“身材较高的学生”是不确定的．
一个给定集合中的各个元素是互不相同的，即一个元素在同
一个集合中是不能重复出现的．
如果组成两个集合犃与犅的元素完全相同，就称这两个集合
相等，记作犃＝犅．
元素个数为有限的集合称为有限集，否则就称为无限集．
康托（Ｇ．Ｃａｎｔｏｒ，１８４５—
１９１８），德国数学家，集合
论创始人．
１．１　　　集合初步
３　
例１　判断下列集合是有限集还是无限集，并说明理由：
（１）６的正倍数的全体组成的集合；
（２）６００的正约数的全体组成的集合；
（３）２０世纪在上海出生的所有人组成的集合；
（４）一条长度为１的线段上的所有点组成的集合．
解　（１）６的正倍数可表示为６狀，其中狀是正整数．因为正整
数有无限个，所以６的正倍数组成的集合是无限集．
（２）６００的正约数一定是小于或等于６００的正数，其个数不
超过６００．所以６００的正约数组成的集合是有限集．
（３）虽然２０世纪出生在上海的人比较多，但总数还是有限
的．所以２０世纪在上海出生的人组成的集合是有限集．
（４）在长度为１的线段犃犅上，存在与犃的距离为１狀的点，这
里狀可以是任意正整数．因为正整数有无限个，所以一条长度为１
的线段上的所有点组成的集合是无限集．
数学上，常常需要用到数的集合．数的集合简称数集．常用的数
集可用以下特定的符号来表示，见表１１．
表１１　常用数集的符号
数集
符号
自然数集
犖
整数集
犣
有理数集
犙
实数集
犚
例２　用符号“∈”或“”填空：
（１）０　　　　犖；　　　　　（２）１　　　　犣；
（３）槡２　　　　犙；　　　　（４）－槡π　　　　犚．
解　（１）０∈犖；　（２）１∈犣；　（３）槡２犙；　（４）－槡π∈犚．
不含有任何元素的集合称为空集，记作．引进空集是有好处
的．如方程狓２＋１＝０没有实数解，我们就说它的解组成的集合是
空集．又如当两条直线平行时，它们没有公共点，就可说这两条直
线的公共点组成的集合是空集．所有空集都是相等的．在以后学习
交集时，我们还会体会到引入空集的必要性．
１
集合与逻辑
４　
练习１．１（１）
　　１．判断下列各组对象能否组成集合．若能组成集合，指出是有限集还是无限集；
若不能构成集合，请说明理由．
（１）上海市各区的名称；
（２）末位是３的自然数；
（３）比较大的苹果．
２．用符号“∈”或“”填空：
　　（１）１２　　　　犖；
（２）１　　　　犣；
（３）－２　　　　犙；
（４）π　　　　犚．
２集合的表示方法
除了用自然的语言描述集合，我们还有一些其他方法用来表
示集合．
将集合中的元素不重复地一一列举出来并写在一对大括号
内，这种表示集合的方法叫做列举法．例如，方程狓２－３狓＋２＝０的
解组成的集合可以表示为｛１，２｝，也可以表示为｛２，１｝，这是因为在
讨论集合时，不考虑其元素的顺序．又如，方程组
狓＋狔＝３，
狓－狔＝－１
烅烄
烆
的解组成的集合可以表示为｛（１，２）｝．
例３　用列举法表示下列集合：
（１）所有不大于１０的正整数组成的集合；
（２）方程（狓－１）（狓－２）（狓－３）（狓－４）＝０的解组成的集合；
（３）集合｛１，２，３，４｝中任意两个不同元素之和组成的集合．
解　（１）｛１，２，３，４，５，６，７，８，９，１０｝；
（２）｛１，２，３，４｝；
（３）｛３，４，５，６，７｝．
能用列举法表示的集合一般是有限集．对于一些有规律的无
限集，在不会引起歧义的前提下，也可用列举法表示，例如全体正
偶数组成的集合可以表示为｛２，４，６，…，２狀，…｝．
集合还有另外一种表示方法．
在一对大括号内先写出这个集合中元素的一个记号，再画一
　　请将集合｛（１，２）｝
与集合｛１，２｝作比较．
１．１　　　集合初步
５　
条竖线，并在竖线的右边写上集合中元素所具有的特征，即
犃＝｛狓｜狓满足性质狆｝．
这种表示集合的方法叫做描述法．例如，方程狓２－３狓＋２＝０的解
组成的集合可以表示为｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝．又如，因为平面上经
过点（０，０）与（１，１）的直线的方程为狔＝狓，所以这条直线上的点的
集合可以表示为｛（狓，狔）｜狔＝狓｝．
例４　选择一种方法表示下列集合：
（１）大于０且小于１０的全体偶数组成的集合犃；
（２）被３除余２的所有自然数组成的集合犅；
（３）直角坐标平面内由第二象限与第四象限中的点组成的集
合犆．解　（１）用列举法：犃＝｛２，４，６，８｝；
（２）用描述法：犅＝｛狀｜狀＝３犽＋２，犽∈犖｝；
（３）因为第二象限中的点（狓，狔）的特征是狓＜０且狔＞０，而
第四象限中的点的特征是狓＞０且狔＜０，所以第二象限与第四象
限中的点的特征可统一地写为狓狔＜０，于是可用描述法表示该
集合：
犆＝｛（狓，狔）｜狓狔＜０｝．
在数学上，常常需要表示满足一些不等式的全部实数所组成
的集合．为了方便起见，我们引入区间（ｉｎｔｅｒｖａｌ）的概念．
当犪、犫∈犚且犪＜犫时，规定：
（１）满足不等式犪≤狓≤犫的全部实数狓所组成的集合称为
闭区间，记为［犪，犫］；
（２）满足不等式犪＜狓＜犫的全部实数狓所组成的集合称为
开区间，记为（犪，犫）；
［犪，犫］
　　
（犪，犫）
图１１１　闭区间与开区间在数轴上的表示
（３）满足不等式犪≤狓＜犫或犪＜狓≤犫的全部实数狓所组成
的集合称为半开半闭区间，分别记为［犪，犫）与（犪，犫］．
［犪，犫）
　　
（犪，犫］
图１１２　半开半闭区间在数轴上的表示
这里的实数犪、犫统称为这些区间的端点．
１
集合与逻辑
６　
此外，满足不等式狓≥犪，狓＞犪，狓≤犫或狓＜犫的全部实数狓
所组成的集合可分别用区间符号表示为［犪，＋∞），（犪，＋∞），
（－∞，犫］与（－∞，犫）．
实数集犚可用区间表示为（－∞，＋∞）．
例５　用区间表示下列集合：
（１）｛狓｜１≤狓＜２｝；
（２）不等式２狓≤６的解组成的集合．
解　（１）［１，２）；
（２）因为不等式２狓≤６的解是狓≤３，所以它的解组成的集合是
（－∞，３］．
练习１．１（２）
　　１．用列举法表示下列集合：
（１）能整除１０的所有正整数组成的集合；
（２）绝对值小于４的所有整数组成的集合．
２．用描述法表示下列集合：
　　（１）全体偶数组成的集合；
（２）在平面直角坐标系中，狓轴上的点所组成的集合．
３．用区间表示下列集合：
（１）｛狓｜－１＜狓≤５｝；　　　　　　　　（２）不等式－２狓＞６的解组成的集合．
３集合之间的关系
考察以下四组集合：
（１）犆是春申中学高一（１）班的全体学生组成的集合，犇是春
申中学全体学生组成的集合；
（２）犆是一平面上所有矩形组成的集合，犇是该平面上所有
平行四边形组成的集合；
（３）犆＝｛２，３｝，犇＝｛狓｜狓２－５狓＋６＝０｝；
（４）犆＝｛狓｜狓＝２犽＋１，犽∈犣｝，犇＝｛狓｜狓是奇数｝．
容易发现，在上述每组集合中，集合犆中的每个元素都属于
集合犇．两个集合之间的这种关系是十分常见的．
　　定义　对于两个集合犃与犅，如果集合犃的每个元素都
是集合犅的元素，那么集合犃叫做集合犅的子集（ｓｕｂｓｅｔ），
记作犃犅（或犅犃），读作“犃包含于犅”（或“犅包含犃”）．
　　符号“∞”读作“无
穷”，它只是一个记号．
１．１　　　集合初步
７　
我们常用文氏图来直观表示集合以及集合之间的关系．基本
想法就是用一个简单的、通常以圆、椭圆或矩形等为边界的平面图
形来表示一个集合．图１１３是犃犅的文氏图．
图１１３
上述四组集合中的每组都成立犆犇．但是第（１）（２）组与第
（３）（４）组是有区别的．在第（１）（２）组中，集合犇中有些元素不属于
集合犆，即犇不是犆的子集．而在第（３）（４）组中，集合犇中的每个
元素都属于集合犆，即成立犇犆．
对于两个集合犃与犅，如果犃犅且犅犃，即犃的每个元
素都是犅的元素，犅的每个元素也是犃的元素，那么犃与犅的元
素是完全相同的．所以犃＝犅．
由此，对第（３）（４）组集合，成立犆＝犇．而对第（１）（２）组集合，
就不成立犆＝犇．为此，我们引入真子集的概念．
　　定义　对于两个集合犃与犅，如果犃犅，且犅中至少
有一个元素不属于犃（即犅不是犃的子集），那么称集合犃
是犅的真子集，记作犃犅（或犅犃），读作“犃真包含于
犅”（或“犅真包含犃”）．
对第（１）（２）组集合，成立犆犇．
对于常用的数集，我们有如下的包含关系：
犖犣犙犚．
对于集合之间的包含关系，我们有下列结论：
（１）犃犃；
（２）传递性：若犃犅且犅犆，则犃犆；
（３）若犃犅，则犃犅或犃＝犅．
并且总是规定
犃．
例６　确定整数狓、狔，使得｛２狓，狓＋狔｝＝｛４，８｝．
解　由集合相等的定义，可知
　　韦恩（Ｊ．Ｖｅｎｎ，
１８３４—１９２３），英国逻
辑学家、哲学家，以首
创文氏图用以形象化
地表示集合闻名．文氏
图除了在集合论中被
使用之外，还在如逻
辑、概率统计、计算机
科学中被使用．
　　在有些资料中，
集合犃是犅的真子
集也被记作犃犅
（或犅犃）．
１
集合与逻辑
８　
２狓＝４，
狓＋狔＝８，
烅烄
烆
或２狓＝８，
狓＋狔＝４．
烅烄
烆
分别解得狓＝２，狔＝６或狓＝４，狔＝０．
因此整数狓、狔分别为２、６或４、０．
例７　确定下列每组中两个集合之间的关系：
（１）犃＝｛狀｜狀是１２的正约数｝，犅＝｛１，２，３，６｝；
（２）犆＝｛狀｜狀＝３犽＋１，犽∈犖｝，犇＝｛狀｜狀＝３犿－２，犿∈犖｝．
解　（１）因为犃＝｛１，２，３，４，６，１２｝，所以犅犃．
（２）因为当犽∈犖时，犆中的元素狀＝３犽＋１＝３（犽＋１）－２必
定属于犇，所以犆犇．又因为－２∈犇，而－２犆，所以犆犇．
例８　写出集合｛犪，犫，犮｝的所有子集，并指出哪些是真
子集．解　可以按照子集的元素个数分类：
空集１个：；
含１个元素的子集共３个：｛犪｝，｛犫｝，｛犮｝；
含２个元素的子集共３个：｛犪，犫｝，｛犪，犮｝，｛犫，犮｝；
含３个元素的子集共１个：｛犪，犫，犮｝．
除集合｛犪，犫，犮｝本身外，其余７个都是真子集．
练习１．１（３）
　　１．判断下列说法是否正确，并简要说明理由：
（１）若犪∈犃且犃犅，则犪∈犅；
（２）若犃犅且犃犆，则犅＝犆；
（３）若犃犅且犅犆，则犃犆．
２．用符号“”“＝”或“”填空：
（１）｛犪｝　　　　｛犪，犫，犮｝；
（２）｛犪，犫，犮｝　　　　｛犪，犮｝；
（３）｛１，２，３｝　　　　｛狓｜狓２－３狓＋２＝０｝．
３．写出所有满足｛犪｝犕｛犪，犫，犮，犱｝的集合犕．
４集合的运算
先看一个校园生活的例子．春申中学高一年级的同学报名参
加数学建模社（团）与理学社．这样，除该高一年级的全体同学组成
的集合犝外，还有参加数学建模社的同学组成的集合犃，参加理
１．１　　　集合初步
９　
学社的同学组成的集合犅，两个社都参加的同学组成的集合犆，两
个社中至少参加一个的同学组成的集合犇，此外，还有未参加数学
建模社的同学组成的集合犈，等等．
可以看到，集合犃、犅、犆、犇、犈等都是集合犝的子集，集合犆
是由集合犃与犅的公共元素组成的，集合犇是由集合犃与犅的
所有元素组成的，集合犈是集合犝中去掉犆中的元素后剩下的元
素组成的．
在数学上，集合犝称为全集，犆称为犃与犅的交集，犇称为犃
与犅的并集，犈称为犃在全集犝中的补集．
本节我们要从已知的集合出发，通过“交、并、补”的运算得到
新的集合．
首先，我们可以对任意两个集合取公共元素，从而得到一个新
的集合．
　　定义　由既属于集合犃又属于集合犅的所有元素组成
的集合，叫做集合犃与犅的交集（ｉｎｔｅｒｓｅｃｔｉｏｎ），记作犃∩犅
（读作“犃交犅”），即
犃∩犅＝｛狓｜狓∈犃且狓∈犅｝．
可以用文氏图直观地反映犃∩犅的三种不同情况，如图１１４
所示．
（１）
（２）
（３）
图１１４
图１１４（１）表示集合犃与犅既有公共元素又都有非公共
元素的情况，此时阴影部分犃∩犅既是犃的真子集又是犅的
真子集．图１１４（２）表示集合犃是犅的子集的情况，此时
犃∩犅＝犃；图１１４（３）表示集合犃与犅没有公共元素的情况，
此时犃∩犅＝．
例９　已知集合
犃＝｛（狓，狔）｜２狓＋狔＝５｝，犅＝｛（狓，狔）｜３狓＋２狔＝８｝．
求犃∩犅．
　　当集合犝、犃、犅
确定时，如何确定集合
犆、犇、犈呢？
　　对照图１１４
的三种情况，请各举一
实例．
１
集合与逻辑
１０　
解　由题意，（狓，狔）∈犃∩犅表示（狓，狔）既属于犃又属于犅，
即（狓，狔）是方程组
２狓＋狔＝５，
３狓＋２狔＝８
烅烄
烆
的解，所以（狓，狔）＝（２，１）．于是犃∩犅＝｛（２，１）｝．
另外，我们可以把两个已知集合的所有元素放在一起组成一
个新的集合．
　　定义　由所有属于集合犃或属于集合犅的元素所组成
的集合，叫做集合犃与犅的并集（ｕｎｉｏｎ），记作犃∪犅（读作
“犃并犅”），即
犃∪犅＝｛狓｜狓∈犃或狓∈犅｝．
可以用文氏图直观地反映犃∪犅的三种不同情况，如图
１１５所示，其中阴影部分表示犃∪犅．
（１）
（２）
（３）
图１１５
图１１５（１）表示集合犃与犅既有公共元素，又都有非公共
元素，此时犃和犅都是犃∪犅的真子集；图１１５（２）表示集合
犃是犅的子集，此时犃∪犅＝犅；图１１５（３）表示集合犃与犅
没有公共元素，此时和（１）类似，犃和犅都是犃∪犅的真子集．
例１０　已知集合
犃＝（－２，２），犅＝（－３，－１）∪（１，＋∞）．
求犃∩犅及犃∪犅．
解　在数轴上标出集合犃与犅，如图１１６所示．
图１１６
图中橘色线圈出部分表示集合犃，蓝色线圈出部分表示集合
犅．两种色线圈出的公共部分表示两个集合的交集（黄色区域），
　　例９中，犃∩犅
表示二元一次方程组
的解组成的集合．它
可以理解为两个一次
函数狔＝－２狓＋５与
狔＝－３２狓＋４的图像
的交点坐标的集合．
　　对照图１１５
的三种情况，请各举一
实例．
１．１　　　集合初步
１１　
于是犃∩犅＝（－２，－１）∪（１，２）；图上涂有颜色的部分表示两个
集合的并集，于是犃∪犅＝（－３，＋∞）．
例１１　已知集合犃＝｛１，２｝，求所有满足条件犃∪犅＝
｛１，２，３，４｝的集合犅．
解　因为犅犃∪犅＝｛１，２，３，４｝，所以犅的元素只能在１、２、
３、４中取．为了使得犃∪犅中有３，３必须是犅的一个元素．同理，４
也必须是犅的一个元素．至于１、２是否为犅的元素不会影响
犃∪犅的结果．
因此满足条件的集合犅一共有４个：｛３，４｝，｛１，３，４｝，
｛２，３，４｝，｛１，２，３，４｝．
最后，我们介绍全集与补集．
在数学研究中，所研究的对象往往是某个确定集合的一个子
集或元素．如求方程的实数解时，解组成的集合一定是实数集犚的
一个子集；求三角形的内角的大小时，如果以度（°）为单位，那么角
的度数一定是开区间（０，１８０）中的一个元素，等等．
这个确定的集合称为全集（ｕｎｉｖｅｒｓａｌｓｅｔ），常用符号犝表
示．它含有我们所要研究问题的全部可能的元素．
　　定义　设犝为全集，犃是犝的子集．由犝中所有不属于
犃的元素组成的集合称为集合犃在全集犝中的补集
（ｃｏｍｐｌｅｍｅｎｔａｒｙｓｅｔ），记作珡犃（读作“犃补”），即
珡犃＝｛狓｜狓∈犝，狓犃｝．
例如，当全集为实数集犚时，有理数集犙的补集珚犙就是全体
无理数组成的集合．
可以用文氏图直观地反映珡犃．如图１１７，通常用一个矩形
来表示全集犝，矩形内的一个圆表示犝的子集犃．于是，在矩形内、
但在圆外的阴影部分表示犃的补集珡犃．
图１１７
例１２　设全集犝＝｛犪，犫，犮，犱，犲｝，集合犃＝｛犪，犫，犮｝，集合
犅＝｛犮，犱｝．求：犃∪犅，犃∩犅，犃∩犅，犃∪犅．
　　在有些资料中，也
用符号瓓犝犃表示集合犃
在全集犝中的补集．
１
集合与逻辑
１２　
解　由条件可得
犃∪犅＝｛犪，犫，犮，犱｝，犃∩犅＝｛犮｝；
犃＝｛犱，犲｝，犅＝｛犪，犫，犲｝．
所以
犃∪犅＝｛犲｝，犃∩犅＝｛犲｝；
犃∩犅＝｛犪，犫，犱，犲｝，犃∪犅＝｛犪，犫，犱，犲｝．
练习１．１（４）
　　１．设犃为全集犝的任一子集．则
（１）珢犃＝　　　　；
（２）犃∩珡犃＝　　　　；
（３）犃∪珡犃＝　　　　．
２．已知全集为犚，集合犃＝｛狓｜－２＜狓≤１｝，求珡犃．
　　珢犃表示犃的补集
珡犃的补集．
３．已知集合犃＝｛１，２，３，４，５｝，犅＝｛２，４，６，８｝，犆＝｛３，４，５，６｝，求：
（１）（犃∩犅）∪犆，（犃∪犆）∩（犅∪犆）；
（２）（犃∪犅）∩犆，（犃∩犆）∪（犅∩犆）．
１．１　　　集合初步
１３　
习题１．１　
　
　犃组
１．用列举法表示下列集合：
　　（１）１０以内的素数组成的集合；
（２）｛狔｜狔＝狓－１，０≤狓≤３，狓∈犣｝．
２．用描述法表示下列集合：
（１）被３除余１的所有自然数组成的集合；
（２）比１大又比１０小的实数组成的集合；
（３）平面直角坐标系中坐标轴上的点的坐标所组成的集合．
３．下面写法中正确的是
（　　）
Ａ．０∈｛（０，１）｝
Ｂ．１∈｛（０，１）｝
Ｃ．（０，１）∈｛（０，１）｝Ｄ．（０，１）∈｛０，１｝
４．集合｛（狓，狔）｜狓狔≥０，狓∈犚，狔∈犚｝是指
（　　）
Ａ．第一象限内的所有点
Ｂ．第三象限内的所有点
Ｃ．第一象限和第三象限内的所有点
Ｄ．不在第二象限，也不在第四象限内的所有点
５．指出下列每组集合之间的包含关系：
（１）犃＝｛狓｜狓２－２狓＋１＝０｝，犅＝｛狓｜狓２－１＝０｝；
（２）犃＝｛１，２，４，８｝，犅＝｛狓｜狓是８的正约数｝．
６．已知集合犃＝｛１｝，集合犅＝｛狓｜狓２－３狓＋犪＝０｝，是否存在实数犪，使得犃犅？若
存在，求出所有这样的犪；若不存在，说明理由．
７．已知集合犃＝｛狓，狔｝，集合犅＝｛２狓，２狓２｝，且犃＝犅，求集合犃．
８．已知所有菱形组成的集合为犃，所有矩形组成的集合为犅，则犃∩犅是所有
　　　　组成的集合．
９．已知集合犃＝｛狓｜狓≤７｝，集合犅＝｛狓｜狓＜２｝，集合犆＝｛狓｜狓＞５｝，求犃∩犅，犃∩犆，
犃∩（犅∩犆）．
１０．已知集合犃＝｛（狓，狔）｜狔＝－狓＋１｝，集合犅＝｛（狓，狔）｜狔＝狓２－１｝，求犃∩犅．
１１．设全集犝＝犚，集合犃＝｛狓｜４－狓＞２狓＋１｝，求珡犃．
　犅组
１．选择一种方法表示下列集合：
（１）方程狓２－２＝０的实数解组成的集合；
（２）两直线狔＝２狓＋１和狔＝狓－２的交点组成的集合．
１
集合与逻辑
１４　
２．已知集合犃＝｛２，（犪＋１）２，犪２＋３犪＋３｝，且１∈犃，求实数犪的值．
３．已知集合犃＝｛狓｜狓＝２狀＋１，狀∈犣｝，犅＝｛狓｜狓＝４狀－１，狀∈犣｝，判断集合犃与犅
的包含关系，并证明你的结论．
４．已知集合犛＝｛１，２｝，犜＝｛狓｜犪狓２－３狓＋２＝０｝，且犛＝犜，求实数犪的值．
５．已知所有锐角三角形组成的集合为犃，所有钝角三角形组成的集合为犅．若取所有三
角形组成的集合犝为全集，则犃∩犅＝　　　　，犃∪犅是所有
　组成的集合．
６．已知集合犃＝｛狓｜狓≤１｝，集合犅＝｛狓｜狓≥犪｝，且犃∪犅＝犚．求犪的取值范围．
７．已知集合犃＝｛狓｜狓２＋狆狓＋１５＝０｝，犅＝｛狓｜狓２－５狓＋狇＝０｝，且犃∩犅＝｛３｝，
求狆、狇的值，并求犃∪犅．
８．设犪是实数，集合犕＝｛狓｜狓２＋狓－６＝０｝，犖＝｛狔｜犪狔＋２＝０｝．是否存在犪，使得
犖犕？若存在，求所有这些犪的值；若不存在，说明理由．
９．已知集合犃＝｛１，４，狓｝，犅＝｛１，狓２｝，且犃∪犅＝犃，求狓的值及集合犃、犅．
１．２　　　常用逻辑概念
１５　
１．２　常用逻辑概念
１命题
在初中时已经知道，把用语言、符号或式子表达，且可以判断
其真假的语句叫做命题（ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ）．命题通常用陈述句表述．
其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做
假命题．例如，“４能被２整除”是真命题，“３能被２整除”是假命题．
例１　下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？为
什么？
（１）个位数字是５的自然数能被５整除．
（２）凡直角三角形都相似．
（３）请起立．
（４）若两个角互为补角，则这两个角不相等．
（５）若两个三角形的三组对应边相等，则这两个三角形全等．
（６）你是高一学生吗？
（７）狓＞３．
解　（３）（６）（７）不是命题；（１）（２）（４）（５）是命题，其中（１）
（５）是真命题，（２）（４）是假命题．
（１）这是一个真命题．因为个位数字是５的自然数可写成
１０犽＋５的形式（犽∈犖），而１０犽＋５＝５（２犽＋１），它总能被５整除，
所以个位数字是５的自然数能被５整除．
（２）三个角分别为９０°、４５°、４５°的直角三角形与三个角分别
为９０°、６０°、３０°的直角三角形是不相似的，所以“凡直角三角形都
相似”是一个假命题．
（３）“请起立”无法判定真假，它不是一个命题．
（４）取一个角为９０°，另一个角也为９０°，它们是互补的，同时
它们也是相等的．所以“若两个角互为补角，则这两个角不相等”是
一个假命题．
（５）这是一个真命题，它是两个三角形全等的一个判定定理，
在初中时已经学过其证明．
１
集合与逻辑
１６　
（６）因为“你是高一学生吗？”不是陈述句，无法判断其真假，
所以它不是命题．
（７）虽然“狓＞３”是陈述句，但是它包含一个可变的对象狓，无
法判断其真假，因此它不是命题．当狓被赋予不同的数时，它就成
为不同的命题．例如当狓＝４时，“狓＞３”是真命题；当狓＝１时，
“狓＞３”是假命题．
例１中的命题（４）与（５）具有“若α，则β”的形式．在保持含义
不变的前提下，例１中的命题（１）与（２）也可改写为这种形式：
若一个自然数的个位数字是５，则这个自然数能被５整除；
若两个三角形都是直角三角形，则它们相似．
在形如
“若α，则β”
的命题中，陈述句α称为命题的条件，β称为命题的结论．
命题“若α，则β”是真命题，是指对所有的满足条件α的对象
都满足结论β．用集合的语言描述即是
｛狓｜狓满足α｝｛狓｜狓满足β｝．
所以，要确定这类命题是真命题，就必须给出其证明，如例１
中的（１）与（５）．
命题“若α，则β”是假命题，是指存在满足条件α的对象，它不
满足结论β．所以，要确定这类命题是假命题，可用处理例１中
（２）与（４）的方法，举一个满足条件α而不满足结论β的例子就可
以了．
　　定义　如果命题“若α，则β”是真命题，那么我们就称
α推出β，记作αβ（或βα）．
因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：
若αβ且βγ，则αγ．
它是证明和逻辑推理的基础．
例２　将下列命题改写成“若α，则β”的形式，并判断“α
β”是否成立？
（１）等腰三角形的两底角相等；
（２）凡是素数都是奇数；
（３）对顶角相等．
　　“若α，则β”形式
的命题也可写为“如果
α，那么β”的形式．
　　这种方法在数学
上称为举反例．
１．２　　　常用逻辑概念
１７　
解　（１）若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相
等．这是一个真命题，在初中时已学过其证明．所以“αβ”成立．
（２）若狀是素数，则狀是奇数．这是一个假命题，因为２是素
数，但它是偶数．所以“αβ”不成立．
（３）若两个角是对顶角，则这两个角相等．这是一个真命题，
在初中时已学过其证明．所以“αβ”成立．
练习１．２（１）
　　１．举几个生活中的命题的例子，并判断其真假．
２．判断下列命题的真假，并说明理由：
（１）所有偶数都不是素数；
（２）｛１｝是｛０，１，２｝的真子集；
（３）０是｛０，１，２｝的真子集；
（４）如果集合犃与犅满足犃∩犅＝犃，那么犃犅；
（５）如果犃是犅的子集，那么犅不是犃的子集．
３．用“”表示下列陈述句α与β之间的推出关系：
（１）α：△犃犅犆是等边三角形，β：△犃犅犆是轴对称图形；
（２）α：狓２＝４，β：狓＝２．
２充分条件与必要条件
我们先看一个校园生活的例子．“三好学生”是指德智体全面
发展的学生．所以一个“三好学生”的学习成绩一定很出色；但学习
成绩好的学生不一定是个“三好学生”，因为可能他的思想品德或
身体素质等不是很好．也就是说，“成绩好”对于称为“三好学生”是
不可缺少的，但只有“成绩好”还不够．
　　定义　对于两个陈述句α与β，如果αβ，就称α是β
的充分条件（ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔｃｏｎｄｉｔｉｏｎ），或称β是α的必要条件
（ｎｅｃｅｓｓａｒｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ）．
由例２知道，“一个三角形是等腰三角形”是“一个三角形
有两个角相等”的充分条件，“两个角是对顶角”是“两个角相
等”的充分条件，而“一个数是素数”不是“一个数是奇数”的充
　　“充分”二字说明
“为了使得β成立，有
α就已足够”的意思，
而“必要”二字说明“为
了使得α成立，β不可
或缺”的意思．
１
集合与逻辑
１８　
分条件．
例３　判断下列两组中的α分别是β的什么条件，并说明
理由．
（１）α：四边形犃犅犆犇是正方形，β：四边形犃犅犆犇的四个内
角都是直角；
（２）α：狓２是有理数，β：狓是有理数．
解　（１）因为正方形的四个内角都是直角，所以命题“若α，
则β”是真命题，α是β的充分条件．
反之，因为四个内角都是直角的四边形也可以是长宽不等的
矩形，所以命题“若β，则α”是假命题，α不是β的必要条件．
（２）因为有理数狉狊（狉、狊∈犣）的平方狉２
狊２必是一个有理数，所以
“若β，则α”是真命题，α是β的必要条件．
反之，因为（槡２）２＝２是有理数，但槡２是无理数，所以“若α，则
β”是假命题，α不是β的充分条件．
对于两个陈述句α与β，如果既有αβ，又有βα，我们就称
α是β的充分必要条件，简称充要条件，记作αβ，读作“α与β等
价”或“α成立当且仅当β成立”．
例如，“三角形的两个内角相等”是“三角形的两条边相等”
的充要条件；“实数狓、狔满足｜狓｜＝｜狔｜”是“实数狓、狔满足
（狓＋狔）（狓－狔）＝０”的充要条件．
例４　求证：当犮、犱均为非零实数时，犪犱＝犫犮是犪犮＝犫犱的
充要条件．
证明　先证充分性（即证犪犱＝犫犮犪犮＝犫犱）．因为犮、犱均为非
零实数，所以犮犱≠０．在等式犪犱＝犫犮两端除以犮犱，得犪犱犮犱＝犫犮犮犱，即
犪犮＝犫犱．
再证必要性（即证犪犮＝犫犱犪犱＝犫犮）．由于犮犱≠０，在等式
犪犮＝犫犱两端乘以犮犱，得犪犮·犮犱＝犫犱·犮犱，即犪犱＝犫犮．
综上所述，犪犱＝犫犮是犪犮＝犫犱的充要条件．
　　本节最后会有“槡２
是无理数”的证明．
１．２　　　常用逻辑概念
１９　
练习１．２（２）
　　１．用“充分非必要”“必要非充分”“充要”或“既不充分又不必要”填空：
（１）“四边形犃犅犆犇的两组对边分别平行”是“四边形犃犅犆犇为矩形”的
　　　　条件；
（２）“四边形犃犅犆犇为矩形”是“四边形犃犅犆犇的两组对边分别相等”的
　　　　条件；
（３）“四边形犃犅犆犇的两组对边分别平行”是“四边形犃犅犆犇的两组对边分别相
等”的　　　　条件．
２．证明：“狓１＞０且狓２＞０”是“狓１＋狓２＞０且狓１狓２＞０”的充要条件．
３．设α：１≤狓＜４，β：狓＜犿，α是β的充分条件，求实数犿的取值范围．
３反证法
数学家哈代曾经说过：“反证法是数学家最好的武器之一”．在
这小节我们学习如何用反证法证明一些命题．
在前面已经提到，要判断命题“若α，则β”是假命题，只要存在
一个满足条件α但不满足结论β的对象就行了．
但是要判断命题“若α，则β”是真命题，就需要证明所有满足
条件α的对象都满足结论β．但有时直接验证这一点并不是一件容
易的事．
例５　设狀∈犣．证明：若狀２是偶数，则狀也是偶数．
证明　假设结论“狀是偶数”不成立，即假设狀是奇数．由狀是
奇数，可设狀＝２犽＋１，犽∈犣．
因为
狀２＝（２犽＋１）２＝４犽２＋４犽＋１＝４（犽２＋犽）＋１，
这说明狀２是奇数，与已知条件狀２是偶数矛盾．
所以一开始的假设不成立，即狀是偶数．
上例的证明方法与以前的证明方法不同．它首先假设结论β
不成立（β为假），然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件或（已
学）定理等相矛盾的结论，从而说明“β为假”是不可能发生的，即
结论β是正确的．这样的证明方法叫反证法．
应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即
否定命题的结论．这一步是十分关键的．只有这步表述得对了，接下
来的逻辑推理才有意义．
　　数学命题中的“所
有”也可称为“对任意
给定的一个”或“对每
一个”．
１
集合与逻辑
２０　
数学上一些常用的否定形式见表１２．
表１２　一些常用的否定形式
陈述句β
β的否定形式
狓＞５或狓＜１
狓≤５且狓≥１
至少有２个
最多有１个
所有的犪∈犃满足性质α
至少存在一个犪∈犃不满足性质α
所有的犪∈犃不满足性质α
至少存在一个犪∈犃满足性质α
例６　已知狓、狔∈犚．证明：若狓＋狔＞２，则狓＞１或狔＞１．
分析　用反证法证明．假设结论“狓＞１或狔＞１”不成立，即“狓
与狔中至少有一个大于１”不成立，也就是“狓与狔两个数都小于
或等于１”．于是我们可假设狓≤１且狔≤１．
证明　用反证法证明．
假设狓≤１且狔≤１，则狓＋狔≤２，这与已知条件狓＋狔＞２
矛盾．所以假设不成立，即狓＞１或狔＞１．
上述两个例子证明的都是“若α，则β”的命题．对一些其他形
式的命题，也可用反证法证明．
例７　证明：槡２是无理数．
证明　用反证法证明．
假设槡２是有理数．则可设
槡２＝犿狀，其中犿与狀是互素的正整数，
于是犿＝槡２狀．两边平方，得犿２＝２狀２．所以犿２是偶数．由例５知
犿也是偶数．于是可设犿＝２犽，犽∈犖．将其代入犿２＝２狀２，得
２狀２＝４犽２，即狀２＝２犽２，故狀２是偶数．再根据例５知狀也是偶数．于
是犿、狀有公因子２，这与犿、狀互素的假设矛盾．
所以假设不成立，即槡２是无理数．
练习１．２（３）
　　１．设狀∈犣．证明：若狀３是奇数，则狀是奇数．
２．证明：对于三个实数犪、犫、犮，若犪≠犮，则犪≠犫或犫≠犮．
３．证明：槡２＋槡３是无理数．
　　这个证明（例７）是
历史上最著名的一个
反证法证明．
　　一个实数是有理
数当且仅当它可以表
示成两个整数的商
犿狀．如果犿与狀有公
因子，总可以把公因子
除掉．所以不妨设犿与
狀是互素的．
１．２　　　常用逻辑概念
２１　
习题１．２　
　
　犃组
１．判断下列语句是否为命题：
（１）有的正方形是三角形；
（２）任意一个三角形的内角和都为１８０°；
（３）０是自然数或不是自然数；
（４）交集和并集；
（５）３＞π；
（６）２∈（０，５），且２∈犣．
２．判断下列命题的真假：
（１）如果犪、犫都是奇数，那么犪＋犫是偶数；
（２）一组对边平行且两对角线相等的四边形是平行四边形；
（３）如果｜犪｜＜２，那么犪＜２；
（４）如果犃∩犅＝犃，那么犃∪犅＝犅．
３．如果犪、犫、犮为实数，设α：犪＝犫＝犮＝０；β：犪、犫、犮中至少有一个为０；γ：犪２＋槡犫＋｜犮｜
＝０．那么α　　　　β；α　　　　γ；β　　　　γ（用符号“”“”或“”填空）．
４．下列各组中，α是β的什么条件？
（１）α：四边形犃犅犆犇的四条边相等；β：四边形犃犅犆犇是正方形．
（２）α：△犃犅犆与△犇犈犉全等；β：△犃犅犆与△犇犈犉的周长相等．
（３）α：狓是２的倍数；β：狓是６的倍数．
（４）α：集合犃犅，犅犆，犆犃；β：集合犃＝犅＝犆．
（５）α：犃∩犅＝犃∩犆；β：犅＝犆．
（６）α：（狓－２）（狓－３）＝０；β：狓－２
狓－３＝０．
（７）α：二次函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０）的图像经过原点；β：犮＝０．
５．若狓、狔、狕都是实数，则
（１）“狓狔＝０”是“狓＝０”的　　　　　　条件；
（２）“狓狔＝狔狕”是“狓＝狕”的　　　　　　条件；
（３）“｜狓｜＞｜狔｜”是“狓＞狔＞０”的　　　　　　条件；
（４）“狓狔＝狔狕”是“狓狕＝狔２”的　　　　　　条件．
６．试判断α：“在△犃犅犆中，犅犆２＝犃犆２＋犃犅２”与β：“△犃犅犆是直角三角形”是否等价，
并说明理由．
１
集合与逻辑
２２　
７．已知犾、犿都是自然数，试判断α：“犾＋犿是偶数”与β：“犾、犿都是偶数”是否等价，并
说明理由．
８．写出“实数犪、犫一正一负”的一个充要条件，并证明．
９．证明：对角线不互相平分的四边形不是平行四边形．
　犅组
１．判断下列命题的真假：
（１）若犃∩犅＝，犆犅，则犃∩犆＝；
（２）对所有犪、犫∈犚，关于狓的方程（犪＋１）狓＋犫＝０的解为狓＝－犫
犪＋１．
２．已知α为实数，写出关于狓的方程犪狓２＋２狓＋１＝０至少有一个实数根的一个充要条
件，一个充分非必要条件和一个必要非充分条件．
３．若α：｛２｝犅｛２，３，４｝，β：犅＝｛２，４｝，则α是β的
（　　）
　　Ａ．充分非必要条件
Ｂ．必要非充分条件
Ｃ．充要条件
Ｄ．既不充分又不必要条件
４．已知条件α：２≤狓＜４，条件β：３犿－１≤狓≤－犿．
（１）若α是β的充分条件，求实数犿的取值范围；
（２）若α是β的必要条件，求实数犿的取值范围．
５．证明：“犪≤０或犫≤０”是“犪＋犫≤０或犪犫≤０”的充要条件．
本章内容提要
２３　
本章内容提要　
　
１．集合的概念与表示：
（１）集合是一些确定对象的全体．集合中的元素具有确定、无序、不重复的特征．常用数
集有犖、犣、犙、犚等．
（２）空集是不含任何元素的集合．
（３）当犪＜犫时，满足犪＜狓＜犫的所有实数组成的集合记作开区间（犪，犫），满足
犪≤狓≤犫的所有实数组成的集合记作闭区间［犪，犫］等．
２．集合的关系与运算：
（１）子集关系可分为两类：真子集与相等的集合．
（２）集合犃与犅的交集是这两个集合的所有公共元素所组成的集合，记作犃∩犅；集合
犃与犅的并集是这两个集合的所有元素所组成的集合，记作犃∪犅．
（３）相对于全集犝，其任一子集犃均有补集．一个集合犃的补集是指在全集犝中而不
在犃中的全体元素所组成的集合，记作珚犃．
３．命题：
（１）命题是指能判断其真假的语句．
（２）命题有真、假两类．
４．充分条件与必要条件：
（１）当αβ 时，α 是β 的充分条件，β 是α 的必要条件．
（２）当αβ 时，α 是β 的充要条件．此时，在推理过程中α 与β 能互相替换．
５．反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明结论成立的证明方法．
１
集合与逻辑
２４　
本章复习题　
　
　犃组
１．用列举法表示下列集合：
（１）十二生肖所组成的集合；
（２）中国国旗上所有颜色所组成的集合．
２．用描述法表示下列集合：
（１）平面直角坐标系上第一象限的角平分线上的所有点组成的集合；
（２）３的所有倍数组成的集合．
３．下列命题正确的是
（　　）
Ａ．自然数集犖中最小的数是１
Ｂ．空集是任何集合的真子集
Ｃ．如果犃犅，且犃≠犅，那么犃犅
Ｄ．｛狔｜狔＝狓＋３，狓∈犖｝中的最小元素是４
４．（１）若α：狓２－５狓＋６＝０，β：狓＝２，则α是β的　　　　条件．
（２）已知α：四边形犃犅犆犇是正方形，β：四边形犃犅犆犇的两条对角线互相垂直平分，则
α是β的　　　　条件．
５．已知方程狓２＋狆狓＋４＝０的解组成的集合为犃，方程狓２＋狓＋狇＝０的解组成的集合为
犅，且犃∩犅＝｛４｝，求集合犃∪犅的所有子集．
６．已知集合犃＝（－２，１），犅＝（－∞，－２）∪［１，＋∞），求犃∪犅，犃∩犅．
７．已知全集犝＝（－∞，１）∪［２，＋∞），犃＝（－１，１）∪［３，＋∞），求珡犃．
８．已知集合犃＝｛狓｜狓２＋狆狓＋狇＝０｝，集合犅＝｛狓｜狓２－狓＋狉＝０｝，且犃∩犅＝｛－１｝，
犃∪犅＝｛－１，２｝，求狆、狇、狉的值．
　犅组
１．若集合犕＝｛犪｜犪＝狓＋槡２狔，狓、狔∈犙｝，则下列结论正确的是
（　　）
Ａ．犕犙
Ｂ．犕＝犙
Ｃ．犕犙
Ｄ．犕犙
２．若α是β的必要非充分条件，β是γ的充要条件，γ是δ的必要非充分条件，则δ是α
的　　　　　　条件，γ是α的　　　　　　条件．
３．已知全集犝＝｛狓｜狓为不大于２０的素数｝．若犃∩犅＝｛３，５｝，犃∩犅＝｛７，１９｝，
犃∪犅＝｛２，１７｝，则犃＝　　　　，犅＝　　　　．
４．已知集合犘＝｛狓｜－２≤狓≤５｝，集合犙＝｛狓｜犽＋１≤狓≤２犽－１｝，且犙犘，求实数犽
的取值范围．
５．已知全集犝＝犚，集合犃＝｛狓｜狓≤犪－１｝，集合犅＝｛狓｜狓＞犪＋２｝，集合犆＝｛狓｜狓＜０
本章复习题
２５　
或狓≥４｝．若犃∪犅犆，求实数犪的取值范围．
６．已知集合犃＝｛狓｜（犪－１）狓２＋３狓－２＝０｝，是否存在这样的实数犪，使得集合犃有且
仅有两个子集？若存在，求出实数犪的值及对应的两个子集；若不存在，说明理由．
拓展与思考
１．设犪、犫是正整数．证明：若犪犫－１是３的倍数，则犪与犫被３除的余数相同．
２．已知非空集合犛满足：对任意给定的狓、狔∈犛（狓、狔可以相同），有狓＋狔∈犛且
狓－狔∈犛．
（１）哪个数一定是犛中的元素？说明理由．
（２）若犛中最小的正数为５，求犛．
（３）若犛是有限集，求犛．
３．已知犪、犫是实数，设狊＝犪＋犫，狆＝犪犫．写出用狊、狆表示的“犪＞１且犫＞１”的一个充要
条件，并证明．
第２章
等式
与不等式
　　数量关系是数学重要的研究对象，相等关
系与不等关系是最基本的数量关系，而等式和
不等式则是表示相应数量关系的基本工具．等式
与不等式的知识，在日常生活中也有着广泛的
应用．我们将通过类比方法，学习有关等式与不
等式的性质，并借助集合和逻辑的语言，求解和
证明一些基本的不等式．在学习过程中，要注意
等式与不等式之间的共性和差异，掌握等价变
形的方法，并特别注意不等式取到等号的条件．
２
等式
与不等式
２８　
２．１　等式与不等式的性质
１等式的性质与方程的解集
数量关系是数学中重要的研究对象，相等关系与不等关系是最
基本的数量关系．自然界中存在着大量的相等和不等关系，例如圆的
周长犆与其直径犱的比值等于一个常数π，直角三角形的斜边长大
于直角边长等．
最常见的相等关系是数量之间的相等，例如ｓｉｎ３０°与１２相等，
并可表示为ｓｉｎ３０°＝１２．用等号“＝”把两个表达式连接起来，所得
的式子称为等式．
对于实数而言，等式明显具有以下性质：
（１）传递性　设犪、犫、犮均为实数，
如果犪＝犫，且犫＝犮，那么犪＝犮．
（２）加法性质　设犪、犫、犮均为实数，
如果犪＝犫，那么犪＋犮＝犫＋犮．
（３）乘法性质　设犪、犫、犮均为实数，
如果犪＝犫，那么犪犮＝犫犮．
当一个等式成立时，由上面的性质，在等式两边减去同一个
数，或除以同一个不等于零的数，该等式仍然成立．
例１　设犪、犫、犮、犱是实数，判断下列命题的真假：
（１）如果犪＝犫，且犮＝犱，那么犪＋犮＝犫＋犱；
（２）如果犪＝犫，且犮＝犱，那么犪犮＝犫犱；
（３）如果犪＝犫≠０，那么１犪＝１犫；
（４）如果犪＝犫，那么犪狀＝犫狀，其中狀是正整数；
（５）如果犪犮＝犫犮，那么犪＝犫；
（６）如果（犪－犫）２＋（犫－犮）２＝０，那么犪＝犫＝犮．
解　（１）（２）（３）（４）（６）都正确．
（５）错误．因为当犮＝０时，即使犪≠犫，仍有犪犮＝犫犮＝０．
２．１　　　等式与不等式的性质
２９　
含有未知数的等式称为方程．使得方程两端相等的未知数的
值，称为方程的解或者方程的根．
以方程的解为元素所构成的集合称为方程的解集．借助解集
来表示方程和方程组的解是一个常用的方法．
方程的解和未知数的取值范围有关．同一方程在未知数不同
取值范围内求解，其解集不一定相同．例如，方程
（狓－１２）（狓－１）（狓－槡２）＝０
在自然数集犖中的解集为１｛｝，在有理数集犙中的解集为１，１２
烅烄烆
烍烌烎，
而在实数集犚中的解集为１，１２，槡２
烅烄烆
烍烌烎．
在本章中，都是在实数集犚中求解方程．
例２　设犪、犫∈犚，求关于狓的方程犪狓＝犫的解集．
解　当犪≠０时，解集为犫犪烅烄烆烍烌烎；
当犪＝０，犫＝０时，解集为犚；
当犪＝０，犫≠０时，解集为空集．
例３　设犽∈犚，求方程组狔＝２狓＋１，
狔＝犽狓＋３
烅烄
烆
的解集．
解　两式相减，得到（２－犽）狓＝２．
当犽≠２时，狓＝２
２－犽，代入方程组中的第一式，得到狔＝６－犽
２－犽．
此时，原方程组的解集为（２
２－犽，６－犽
２－犽）
烅烄烆
烍烌烎．
当犽＝２时，方程（２－犽）狓＝２无解，从而原方程组无解，其解
集为空集．
练习２．１（１）
　　１．设犪、犫、犮、犱是实数，判断下列命题的真假：
（１）若犪犫＝犮犱，则犪犮＝犱犫；
（２）若犪（犮２＋１）＝犫（犮２＋１），则犪＝犫；
（３）若犪犫＝０，则犪＝０或犫＝０；
（４）若犪犮＝犫犱，且犮＋犱≠０，则犪＋犫
犮＋犱＝犪犮．
２．设犪∈犚，求关于狓的方程犪狓＝犪２＋狓－１的解集．
３．设犽∈犚，求方程组狔＝犽狓＋１，
狔＝２犽狓＋３
烅烄
烆
的解集．
２
等式
与不等式
３０　
２一元二次方程的解集及根
与系数的关系
在初中已经学过如何求一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０
（犪≠０）的根．现在，让我们来表示出相应的解集．
例４　求一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的解集．
解　由配方法，可将原方程改写为
犪狓２＋犫狓＋犮＝犪（狓＋犫２犪）
２＋４犪犮－犫２
４犪＝０．
因此，原方程解的情况由其判别式Δ＝犫２－４犪犮的符号决定：
当Δ＞０时，解集为－犫＋犫２－４
槡
犪犮
２犪
，－犫－犫２－４
槡
犪犮
２犪
烅烄
烆
烍烌
烎，简
记为－犫± 犫２－４
槡
犪犮
２犪
烅烄
烆
烍烌
烎．
当Δ＝０时，解集为－犫２犪
烅烄烆
烍烌烎．
当Δ＜０时，解集为空集．
例５　求证：犪１＝犪２，犫１＝犫２，犮１＝犮２是等式
犪１狓２＋犫１狓＋犮１＝犪２狓２＋犫２狓＋犮２
恒成立的充要条件．
证明　先证充分性．若犪１＝犪２，犫１＝犫２，犮１＝犮２，等式
犪１狓２＋犫１狓＋犮１＝犪２狓２＋犫２狓＋犮２
自然恒成立．
再证必要性．利用等式的性质，
犪１狓２＋犫１狓＋犮１＝犪２狓２＋犫２狓＋犮２
恒成立，等价于
（犪１－犪２）狓２＋（犫１－犫２）狓＋犮１－犮２＝０
对所有实数狓都成立．这表明该方程有无数个实数根．但次数不超
过２的一元整式方程至多有两个实数根，因此上述等式左边的各
项系数均应为零，即成立犪１－犪２＝犫１－犫２＝犮１－犮２＝０，从而
犪１＝犪２，犫１＝犫２，犮１＝犮２．
例４告诉我们，给定了一个一元二次方程的系数，就可以确定
方程的根和解集．反之，如果已知一个一元二次方程的两个根，能
否反过来确定此方程的系数呢？答案是肯定的，这就是著名的描
述一元二次方程根与系数关系的韦达定理．
　　等式犪１狓２＋犫１狓
＋犮１＝犪２狓２＋犫２狓＋犮２
恒成立，即该等式对所
有实数狓都成立．
弗朗索瓦·韦达（Ｆｒａｎｏｉｓ
Ｖｉèｔｅ，１５４０—１６０３），法国
数学家
２．１　　　等式与不等式的性质
３１　
　　韦达定理　若一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的
两个根为狓１、狓２，则狓１＋狓２＝－犫犪，狓１狓２＝犮犪．
证明　因为一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０的两个根为狓１、
狓２，所以二次三项式犪狓２＋犫狓＋犮可以因式分解为
犪狓２＋犫狓＋犮＝犪（狓－狓１）（狓－狓２）．
由于犪（狓－狓１）（狓－狓２）＝犪狓２－犪（狓１＋狓２）狓＋犪狓１狓２，
从而等式犪狓２＋犫狓＋犮＝犪狓２－犪（狓１＋狓２）狓＋犪狓１狓２恒成立．由例
５知，该等式两边的对应项系数应相等．因此
狓１＋狓２＝－犫犪，狓１狓２＝犮犪．
例６　已知方程狓２＋狓－３＝０的两个根为狓１、狓２，求下列
各式的值：
（１）狓２１狓２＋狓２２狓１；　　　　　　　（２）｜狓１－狓２｜．
解　由韦达定理，狓１＋狓２＝－１，狓１狓２＝－３．于是
（１）狓２１狓２＋狓２２狓１＝狓１狓２（狓１＋狓２）＝－３×（－１）＝３．
（２）｜狓１－狓２｜＝（狓１－狓２）
槡
２＝（狓１＋狓２）２－４狓１狓
槡
２
＝（－１）２－４×（－３
槡
）＝槡１３．
练习２．１（２）
　　１．求一元二次方程犪狓２－４狓＋２＝０（犪≠０）的解集．
２．已知方程２狓２＋４狓－３＝０的两个根为狓１、狓２，求下列各式的值：
　　（１）狓２１狓２＋狓２２狓１；
（２）１狓１＋１狓２；
（３）狓２１＋狓２２；
（４）狓３１＋狓３２．
３不等式的性质
两个实数之间不仅可以有相等关系，还可以有大小关系．
对于两个实数犪、犫，如果犫－犪是正数，就称犫大于犪，记为
犫＞犪；如果犫－犪是负数，就称犫小于犪，记为犫＜犪；如果犫－犪是
零，就称犫等于犪，记为犫＝犪．这就是说，我们总做如下规定：
犫＞犪犫－犪＞０；
犫＝犪犫－犪＝０；
犫＜犪犫－犪＜０．
２
等式
与不等式
３２　
这是研究一切不等式的基础．
显然，对于任意给定的两个实数犪、犫，总成立：
犫＞犪犪＜犫．
根据实数的大小关系，对任何两个给定的实数犪、犫，或者
犪＞犫，或者犪＜犫，或者犪＝犫，三者中有且只有一种情况成立．
此外，若犫＞犪或犫＝犪，就称犫大于等于犪，记为犫≥犪；相应
地，若犫＜犪或犫＝犪，就称犫小于等于犪，记为犫≤犪．
大于号＞，小于号＜，大于等于号≥，小于等于号≤都称为不
等号．用不等号将两个表达式连接起来，就得到一个不等式．
根据实数间的大小关系，类比于等式性质，我们可以得到不等
式的基本性质．
（１）传递性　设犪、犫、犮均为实数，
如果犪＞犫，且犫＞犮，那么犪＞犮．
证明　因为犪＞犫，所以犪－犫＞０．
同理，由犫＞犮，有犫－犮＞０．
由于两个正数的和是正数，于是
犪－犮＝（犪－犫）＋（犫－犮）＞０，
即犪＞犮．
（２）加法性质　设犪、犫、犮均为实数，
如果犪＞犫，那么犪＋犮＞犫＋犮．
证明　因为犪＞犫，所以犪－犫＞０．
于是有
（犪＋犮）－（犫＋犮）＝犪－犫＞０，
即犪＋犮＞犫＋犮．
（３）乘法性质　设犪、犫、犮均为实数，
如果犪＞犫，且犮＞０，那么犪犮＞犫犮．
如果犪＞犫，且犮＜０，那么犪犮＜犫犮．
证明　显然有犪犮－犫犮＝（犪－犫）犮．
已知犪＞犫，所以犪－犫＞０．
当犮＞０时，（犪－犫）犮＞０，所以犪犮＞犫犮；
当犮＜０时，（犪－犫）犮＜０，所以犪犮＜犫犮．
例７　求证：如果犪＋犫＞犮，那么犪＞犮－犫；反之亦然．
证明　若犪＋犫＞犮，利用不等式的加法性质，在不等式两边同
加－犫，即得犪＞犮－犫．
反过来，若犪＞犮－犫，仍利用不等式的加法性质，在不等式两
边同加犫，即得犪＋犫＞犮．
例７表明，将不等式中的任一项改变符号后，从不等式的一边
移到不等式的另一边，所得的不等式与原不等式等价．利用不等式
的这一性质，在研究及求解不等式时移项是常用的方法．
　　不等式加法性质
表明：在不等式的两边
加上（或减去）同一个
实数，不等号的方向不
变．
　　不等式乘法性质
表明：在不等式的两边
乘以（或除以）同一个
正数，不等号的方向不
变．但若乘以（或除
以）同一个负数，不等
号的方向要改变．
　　等式与不等式的
性质有什么相同点和
不同点？
２．１　　　等式与不等式的性质
３３　
例８　已知犪＞犫，犮＞犱，求证：犪＋犮＞犫＋犱．
证明　因为犪＞犫，犮＞犱，所以犪－犫＞０，犮－犱＞０．
于是（犪＋犮）－（犫＋犱）＝（犪－犫）＋（犮－犱）＞０，
即犪＋犮＞犫＋犱．
例９　已知犪＞犫，犮＞犱，求证：犪－犱＞犫－犮．
证明　因为犪＞犫，犮＞犱，所以犪－犫＞０，犮－犱＞０．
于是犪－犱－（犫－犮）＝（犪－犫）＋（犮－犱）＞０，
即犪－犱＞犫－犮．
例１０　（１）已知犪＞犫＞０，求证：１犫＞１犪＞０；
（２）已知犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，求证：犪犱＞犫犮．
证明　（１）因为犪＞犫＞０，所以犪犫＞０．
由不等式的乘法性质，在不等式犪＞犫的两端同时乘以１犪犫，得
犪犪犫＞犫犪犫，即１犫＞１犪＞０．
（２）因为犮＞犱＞０，利用（１）的结论，有１犱＞１犮＞０．
又因为犪＞犫＞０，由不等式的乘法性质，有犪犱＞犪犮＞０及
犪犮＞犫犮＞０，从而由不等式的传递性得到犪犱＞犫犮．
练习２．１（３）
　　１．设犪、犫、犮、犱为实数，判断下列命题的真假，并说明理由：
（１）如果犪＞犫，犮＞犱，那么犪＋犱＞犫＋犮；
（２）如果犪犫＞犪犮，那么犫＞犮；
（３）如果犪≥犫且犪≤犫，那么犪＝犫；
（４）如果犪＞犫，１犮＞１犱，那么犪犮＞犫犱；
（５）如果犫犪＞犱犮，那么犫犮＞犪犱．
２．求证：如果犪犫＞０，那么犪＞犫的充要条件是１犪＜１犫．
　　例１１　（１）已知犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，求证：犪犮＞犫犱；
（２）已知犪＞犫＞０，求证：犪狀＞犫狀，其中狀是正整数．
证明　（１）因为犪＞犫，犮＞０，所以犪犮＞犫犮．又因为犮＞犱，犫＞０，
　　例８表明由犪＞
犫，犮＞犱可推出犪＋犮＞
犫＋犱．这称为不等式的
同向可加性．
２
等式
与不等式
３４　
所以犫犮＞犫犱，由不等式的传递性，得犪犮＞犫犱．
（２）将（１）中的犮换成犪，犱换成犫，就得到犪２＞犫２＞０．结合
犪＞犫＞０，再次利用（１）的结论，可得犪３＞犫３＞０，依次类推，经过
狀－１次乘法运算，最终就得到犪狀＞犫狀．
例１２　已知犪、犫为正数，狀为正整数，求证：如果犪狀＞犫狀＞
０，那么犪＞犫．
证明　利用反证法．首先根据实数的性质可知，在犪＞犫，犪＜犫
及犪＝犫三者中有且仅有一个成立．假定结论犪＞犫不成立，那么或
者成立犪＜犫，或者成立犪＝犫．
如果犪＜犫，由于犪、犫都是正数，利用例１１（２）的结论，两边狀
次乘方，得犪狀＜犫狀，与假设犪狀＞犫狀矛盾；
如果犪＝犫，两边狀次方得犪狀＝犫狀，同样与假设犪狀＞犫狀矛盾．
综上所述，不可能成立犪≤犫，因此犪＞犫．
为比较两个实数的大小，常用的方法是判定这两个数的差的
符号．要比较两个解析式的大小，同样可以采用类似的方法．因此，
可以利用不等式去比较大小．如要证明犃＞犅，只需证明
犃－犅＞０；同样地，要证明犃＜犅，只需证明犃－犅＜０．
　　定理　对任意的实数犪和犫，总有犪２＋犫２≥２犪犫，且等号
当且仅当犪＝犫时成立．
证明　为证明犪２＋犫２≥２犪犫，只需证明犪２＋犫２－２犪犫≥０．因为
任何实数的平方都是非负数，就得到
犪２＋犫２－２犪犫＝（犪－犫）２≥０，
而且等号当且仅当犪－犫＝０，即犪＝犫时成立．
例１３　比较（犪＋１）２与犪２－犪＋１的值的大小．
解　因为
（犪＋１）２－（犪２－犪＋１）＝犪２＋２犪＋１－犪２＋犪－１＝３犪．
所以，当犪＞０时，（犪＋１）２＞犪２－犪＋１；
当犪＝０时，（犪＋１）２＝犪２－犪＋１；
当犪＜０时，（犪＋１）２＜犪２－犪＋１．
练习２．１（４）
　　１．设犪、犫、犮是实数，判断下列命题的真假，并说明理由．
　　（１）如果犪犮２＞犫犮２，那么犪＞犫；
（２）如果犪犫＞犮，那么犪＞犮犫；
（３）如果犪＞犫≥０，那么槡犪＞槡犫．
２．设狓是实数，比较狓２＋４与４狓的值的大小．
２．１　　　等式与不等式的性质
３５　
习题２．１　
　
　犃组
１．设犪∈犚，求关于狓的方程犪狓＝２的解集．
２．设犽∈犚，求方程组狔＝－２狓＋１，
狔＝犽狓－３
烅烄
烆
的解集．
３．求一元二次方程狓２－２犪狓＋犪２－４＝０的解集．
４．已知等式２狓２＋３狓＋５＝犪（２狓＋１）（狓＋１）＋犮恒成立，求常数犪、犮的值．
５．已知一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）的两实根为狓１、狓２，证明
狓２－狓１＝犫２－４
槡
犪犮
犪
．
６．已知二次方程狓２＋３狓－３＝０的两实根为狓１、狓２，求作二次项系数是１，且分别以下
列数值为根的二次方程：
　　（１）－狓１，－狓２；
（２）２狓１＋１，２狓２＋１；
（３）１狓１，１狓２；
（４）狓２１，狓２２．
７．设犪、犫为实数，判断下列命题的真假：
（１）若犪＞犫≥０，则犪２＞犫２．
（２）若槡犪＞槡犫，则犪＞犫．
（３）若犪＞犫＞０，犮＞犱＞０，则犪犮＞犫犱．
（４）若犫犪＞０，则犪犫＞０．
（５）若犪＞犫＞０，则犪２＞犪犫＞犫２．
（６）若槡犪＞犫，则犪＞犫２．
８．选择题：
（１）如果犪２＞犫２，那么下列不等式中正确的是
（　　）
Ａ．犪＞０＞犫
Ｂ．犪＞犫＞０
Ｃ．｜犪｜＞｜犫｜
Ｄ．犪＞｜犫｜
（２）如果犪＜犫＜０，那么下列不等式中正确的是
（　　）
Ａ．犪犫＜１
Ｂ．犪２＞犪犫
Ｃ．１犫２＜１犪２
Ｄ．１犪＜１犫
（３）如果犪＜０＜犫，那么下列不等式中正确的是
（　　）
Ａ．－
槡犪＜槡犫
Ｂ．犪２＜犫２
Ｃ．犪３＜犫３
Ｄ．犪犫＞犫２
９．已知狓是实数，试比较（狓＋１）（狓２－狓＋１）与（狓－１）（狓２＋狓＋１）的值的大小．
２
等式
与不等式
３６　
１０．不用计算器，试比较大小：
（１）３＋槡３与２＋槡５；
（２）槡３＋槡５与槡２＋槡６．
１１．设犪、犫为实数，比较犪２＋犫２与２犪－２犫－２的值的大小．
１２．已知犪＞犫，犮＞犱，求证：犪犮＋犫犱＞犪犱＋犫犮．
１３．已知犪≥－１，求证：犪３＋１≥犪２＋犪．
１４．对于任意给定的正数犪、犫，求证：犪３＋犫３≥犪犫２＋犫犪２，并指出等号成立的条件．
　犅组
１．设犪为实数，求关于狓的方程２狓＋犪２＝犪狓＋４的解集．
２．设犿为实数，求关于狓的方程（犿＋１）狓２＋６犿狓＋９犿＝１的解集．
３．已知等式２狓２－３狓－１＝犪（狓－１）２＋犫（狓－１）＋犮恒成立，其中犪、犫、犮为常数，求
犪－犫＋犮的值．
４．证明：犪犮＜０是一元二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）有两个异号实根的充要条件．
５．已知二次方程２狓２＋狓－３＝０的两实根为狓１、狓２，求作二次项系数是１，且分别以下
列数值为根的二次方程．
（１）狓１＋狓２，狓１狓２；
（２）２狓２１＋１，２狓２２＋１；
（３）狓２狓１，狓１狓２；
（４）狓４１，狓４２．
６．已知二次方程狓２－２犿狓＋犿－１＝０的两实根为狓１、狓２，且狓２１＋狓２２＝４，求实数犿
的值．７．已知１≤狓≤３，１≤狔≤３．
（１）如果狓＜狔，证明：－２≤狓－狔＜０；
（２）证明：２≤狓２＋狔２≤１８．
８．已知实数犪、犫、犮满足犪＋犫＋犮＝０，且犪＞犫＞犮，证明：犪＞０且犮＜０．
９．已知一次函数狔＝犽狓＋犫．设犿、狀为给定的实数，犿＜狀，且当狓＝犿时，函数值
犽犿＋犫＞０，而当狓＝狀时，函数值犽狀＋犫＞０．求证：对于任意给定的狓∈［犿，狀］，对应的函数
值狔都大于零．
１０．原有酒精溶液犪克，其中含有酒精犫克，其酒精浓度为犫犪．为增加酒精浓度，在原溶
液中加入酒精狓克，新溶液的浓度变为犫＋狓
犪＋狓．根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命
题：若犪＞犫＞０，狓＞０，则犫犪＜犫＋狓
犪＋狓＜１，试加以证明．
２．２　　　不等式的求解
３７　
２．２　不等式的求解
在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的
值称为该不等式的解．一个不等式的解的全体所组成的集合称为
此不等式的解集．求不等式解集的过程称为不等式的求解，或
解不等式．将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到
不等式组．解不等式组就是求解不等式组中的所有不等式的解集
的交集．
解方程时，往往要先将原先比较复杂的方程变形化为较简单
的方程，再通过解这个比较简单的方程来求出原方程的解．同理，
解不等式时，常常要通过等价变形，将原不等式化为较简单的不等
式或不等式组，从而求得原不等式的解集．
１一元一次不等式及一元一次
不等式组的求解
例１　设犪为实数，求一元一次不等式犪狓＜１的解集．
解　由不等式的性质，当犪＞０时，解集为（－∞，１犪）；
当犪＝０时，解集为犚；
当犪＜０时，解集为（１犪，＋∞）．
例２　设犪为实数，解一元一次不等式组２狓＋犪＞０，
３狓－６犪＜０．
烅烄
烆
解　根据不等式的性质，原不等式组等价于
２狓＞－犪，
３狓＜６犪，
烅烄
烆
整理得
狓＞－犪２，
狓＜２犪．
烅
烄
烆
因此，当犪＞０时，解集为（－犪２，犪）；当犪≤０时，解集为空
集．
２
等式
与不等式
３８　
２一元二次不等式的求解
在交通事故中，交通管理部门往往通过测量肇事汽车的刹车
距离，来推断该车辆实施刹车前的行驶速度，并作为断定司机在肇
事前是否有超速违章行为的重要参考依据．
假设在某次交通事故中，测得肇事汽车的刹车距离大于２０
米，试推断该汽车在刹车前的车速是否超过该水泥道路上机动车
的限速规定３０千米／时．在一般情况下，我们可以采用如下数学模
型来描述该种型号的汽车在常规水泥路面上的刹车距离犱（米）与
刹车前的车速狏（千米／时）之间的关系①：
犱＝０．２０８５狏＋０．００６４狏２．
因此，我们需要通过求解不等式０．２０８５狏＋０．００６４狏２＞２０，来
判断狏是否大于３０．这就是一个一元二次不等式的求解问题．
　　定义　设犪、犫、犮为实数，且犪≠０，形如犪狓２＋犫狓＋犮＞０
（＜０，≥０或≤０）的不等式统称为一元二次不等式．
让我们先来看两个例子．
例３　解不等式（狓－３）（狓＋１）＞０．
解　利用不等式的性质，原不等式等价于两个一次式狓－３和
狓＋１同号，即等价于不等式组狓＋１＞０，
狓－３＞０，
烅烄
烆
或狓＋１＜０，
狓－３＜０．
烅烄
烆
由此得狓＞－１，
狓＞３，
烅烄
烆
或狓＜－１，
狓＜３．
烅烄
烆
因此，原不等式的解集为这两个不等式组解集的并集
（－∞，－１）∪（３，＋∞）．
例４　解不等式（狓－１）（狓＋４）＜０．
解　利用不等式的性质，原不等式等价于
狓－１＜０，
狓＋４＞０，
烅烄
烆
或狓－１＞０，
狓＋４＜０．
烅烄
烆
由第一组不等式，得狓＜１，
狓＞－４，
烅烄
烆
其解集为－４，１
（
）；而由第二组
不等式，得狓＞１
狓＜－４
烅烄
烆
，其解集为空集．
①ＦｒａｎｋＲ．Ｇｉｏｒｄａｎｏ，ＭａｕｒｉｃｅＤ．Ｗｅｉｒ，ＷｉｌｌｉａｍＰ．Ｆｏｘ数学建模：第３版［Ｍ］．叶其孝，姜启源等译．北京：机械工业出
版社，２００５：５７５８．　为便于中国读者理解，原始模型中的距离单位英里、英尺换算为千米、米，参数值也做了相应调整．
２．２　　　不等式的求解
３９　
因此，原不等式的解集为（－４，１）．
下面，我们来讨论如何求解一般的一元二次不等式犪狓２＋犫狓
＋犮＞０与犪狓２＋犫狓＋犮＜０．不失一般性，我们总假设二次项系数
犪＞０．因为当犪＜０时，只要在原不等式两边同乘以－１，并改变不
等号的方向，就可以转化为犪＞０的情形．
通过例３和例４，我们可以发现：一元二次不等式的求解与相
应的一元二次方程的求解密切相关．
事实上，当Δ＝犫２－４犪犮＞０时，二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有
两个不同的实根，记为狓１、狓２，其中狓１＜狓２．利用因式分解，不等式
犪狓２＋犫狓＋犮＞０等价于犪（狓－狓１）（狓－狓２）＞０，且由于犪＞０，进一
步地，等价于（狓－狓１）（狓－狓２）＞０．类似于例３，易知其解集为
（－∞，狓１）∪（狓２，＋∞）．相应地，不等式犪狓２＋犫狓＋犮＜０等价于
（狓－狓１）（狓－狓２）＜０．类似于例４，易知犪狓２＋犫狓＋犮＜０的解集为
（狓１，狓２）．
同理可知，当犪＞０时，不等式犪狓２＋犫狓＋犮≥０等价于
（狓－狓１）（狓－狓２）≥０，其解集为－∞，狓１
（
］∪狓２，＋∞
［
）；而不等
式犪狓２＋犫狓＋犮≤０等价于（狓－狓１）（狓－狓２）≤０，其解集
为狓１，狓２
［
］．
设方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪＞０）的判别式Δ＝犫２－４犪犮＞０，其
两根记为狓１、狓２，且狓１＜狓２，则可将上述不等式的求解结果总结
为下表：
表２１
Δ＞０
犪狓２＋犫狓＋犮＞０
解集为（－∞，狓１）∪（狓２，＋∞）
犪狓２＋犫狓＋犮＜０
解集为（狓１，狓２）
犪狓２＋犫狓＋犮≥０
解集为（－∞，狓１］∪［狓２，＋∞）
犪狓２＋犫狓＋犮≤０
解集为［狓１，狓２］
例５　解不等式－２狓２＋３狓－１２≥０．
解　将不等式两端乘以－１，原不等式就化为２狓２－３狓＋１２≤０．
相应的一元二次方程２狓２－３狓＋１２＝０的两根为３±槡５
４．
对照表２１，可知原不等式的解集为３－槡５
４，３＋槡５
４
熿
燀
燄
燅．
对本节开头提到的判别超速问题，只要求出相应的一元二次
不等式０．２０８５狏＋０．００６４狏２＞２０的解集即可．利用前面的方法，容
易解得狏＜－０．２０８５－０．２０８５２－４×０．００６４×（－２０
槡
）
２×０．００６４
≈－５９．７
２
等式
与不等式
４０　
或狏＞－０．２０８５＋０．２０８５２－４×０．００６４×（－２０
槡
）
２×０．００６４
≈４１．９．
根据题意，可推断出该肇事汽车在刹车前的车速大于４１．９千
米／时，超过该道路上机动车的限速规定３０千米／时．这个推断将
成为交管部门认定事故责任的重要依据之一．
练习２．２（１）
　　１．设犪≠１，解关于狓的不等式：犪狓＜犪２＋狓－１．
　　２．填空：
（１）（狓－２）（狓＋３）＜０的解集是　　　　　　　　；
（２）（２－狓）（狓＋３）＜０的解集是　　　　　　　　；
（３）（狓－２）（狓＋３）≥０的解集是　　　　　　　　．
３．求下列不等式的解集：
（１）－８狓≤３狓２＋４；
（２）－狓２＜２狓－４．
　　我们已经知道，一元二次不等式的求解与相应的一元二次方
程的求解紧密相关，且当二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有两个不同的
实根，即当Δ＝犫２－４犪犮＞０时，如何求解不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０
（＜０，≥０或≤０）．那么当Δ＝犫２－４犪犮≤０时，情况又如何呢？
不失一般性，我们仍然只讨论犪＞０的情形．
先看两个简单的例子：狓２＞０的解集为－∞，０
（
）∪０，＋∞
（
），
而（狓－１）２＋１＜０的解集为空集．
再看一般的情况，首先讨论Δ＝犫２－４犪犮＝０的情形．这时，二
次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０有重根狓１＝狓２＝－犫２犪．由因式分解，不等
式犪狓２＋犫狓＋犮＞０等价于犪（狓－狓１）２＞０．又由于犪＞０，原不等式
等价于（狓－狓１）２＞０，其解集为（－∞，狓１）∪（狓１，＋∞）．相应地，
不等式犪狓２＋犫狓＋犮＜０等价于（狓－狓１）２＜０，其解集为空集．类
似地，不等式犪狓２＋犫狓＋犮≥０等价于（狓－狓１）２≥０，其解集为犚；
而不等式犪狓２＋犫狓＋犮≤０等价于（狓－狓１）２≤０，其解集为狓１
｛｝．
当Δ＝犫２－４犪犮＜０时，二次方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０没有实
根．犪狓２＋犫狓＋犮无法在实数范围内因式分解．由配方法，不等式
犪狓２＋犫狓＋犮＞０等价于犪（狓＋犫２犪）
２＋４犪犮－犫２
４犪＞０，移项并在不等
式两边同时除以犪，可得（狓＋犫２犪）
２＞犫２－４犪犮
４犪２．因为Δ＜０，犫２－４犪犮
４犪２＜０，
因此上述不等式的解集为全体实数集犚．类似地，犪狓２＋犫狓＋犮＜０
２．２　　　不等式的求解
４１　
等价于（狓＋犫２犪）
２＜犫２－４犪犮
４犪２，其解集为空集．相应地，不等式
犪狓２＋犫狓＋犮≥０等价于（狓＋犫２犪）
２≥犫２－４犪犮
４犪２，其解集为犚；而不等
式犪狓２＋犫狓＋犮≤０等价于（狓＋犫２犪）
２≤犫２－４犪犮
４犪２，其解集为空集．
上述结果可总结为下表：
表２２
Δ＝０
Δ＜０
犪狓２＋犫狓＋犮＞０解集为（－∞，狓１）∪
（狓１，＋∞）
犪狓２＋犫狓＋犮＞０解集为犚
犪狓２＋犫狓＋犮＜０解集为
犪狓２＋犫狓＋犮＜０解集为
犪狓２＋犫狓＋犮≥０解集为犚
犪狓２＋犫狓＋犮≥０解集为犚
犪狓２＋犫狓＋犮≤０解集为｛狓１｝
犪狓２＋犫狓＋犮≤０解集为
例６　解不等式狓２≤４狓－４．
解　将原不等式移项，得狓２－４狓＋４≤０，即（狓－２）２≤０．此
时，相应的判别式Δ＝犫２－４犪犮＝０，原不等式的解集为２｛｝．
例７　解不等式狓（狓＋１）≥７狓－９．
解　将原不等式移项并整理，得狓２－６狓＋９≥０．
其判别式Δ＝犫２－４犪犮＝０，原不等式解集为全体实数集犚．
例８　解不等式４狓２－４狓＋３＞０．
解　相应的判别式Δ＝犫２－４犪犮＝－３２＜０，故由表２２知，
原不等式的解集为全体实数集犚．
例９　解不等式狓２≤狓－２．
解　将原不等式移项，得狓２－狓＋２≤０，相应的判别式
Δ＝犫２－４犪犮＝－７＜０，故由表２２知，原不等式的解集为空集．
练习２．２（２）
　　１．解下列不等式：
　　（１）狓＋２＞－狓２；
（２）－狓２＋３狓－４＞０；
（３）９狓２－６狓＋１＞０；
（４）４狓－狓２＞４；
（５）２狓２＋１≥狓；
（６）狓２＋１９≥２３狓．
２．写出一个一元二次不等式，使它的解集分别为：
（１）（３－槡２，３＋槡２）；
（２）（－∞，３－槡２］∪［３＋槡２，＋∞）；
（３）全体实数集犚；
（４）空集．
２
等式
与不等式
４２　
　　例１０　解不等式组狓－３＞０，
狓２－３狓－４＞０．
烅烄
烆
解　原不等式组等价于狓－３＞０，
（狓－４）（狓＋１）＞０，
烅烄
烆
即
狓＞３，
狓＞４或狓＜－１，
烅烄
烆
其解集为狓＞４．
因此，原不等式组的解集为（４，＋∞）．
例１１　当常数犽取何值时，关于狓的不等式
狓２＋（犽－１）狓＋４＞０
的解集为全体实数集犚．
解　因为不等式狓２＋（犽－１）狓＋４＞０的解集为犚，由表２１
及表２２可知，方程狓２＋（犽－１）狓＋４＝０的判别式
Δ＝（犽－１）２－１６＜０，
即（犽＋３）（犽－５）＜０，其解为－３＜犽＜５．
所以当犽∈－３，５
（
）时，不等式狓２＋（犽－１）狓＋４＞０的解集为犚．
例１２　已知一元二次不等式狓２＋犫狓＋犮＜０的解集为
１，２
（），求常数犫、犮的值以及不等式犫狓２－５狓＋犮≤０的解集．
解　由题意，并对照表２１及表２２，可知：一元二次方程
狓２＋犫狓＋犮＝０的两个根是１和２．利用根与系数的关系，得
犫＝－（１＋２）＝－３，犮＝１×２＝２．
将犫、犮的值代入不等式犫狓２－５狓＋犮≤０，得－３狓２－５狓＋２≤０，
即３狓２＋５狓－２≥０，也就是（３狓－１）（狓＋２）≥０，其解集为
－∞，－２
（
］∪［１３，＋∞）．
练习２．２（３）
　　１．求下列不等式组的解集：
　　（１）狓２－２狓－３＞０，
狓－１＞０；
烅烄
烆
（２）狓２－２狓－１５≥０，
狓２－４狓－１２＜０．
烅烄
烆
２．求实数犿为何值时，不等式狓２－狓＋犿＜０的解集为空集．
３．已知一元二次不等式狓２－犪狓－犫＜０的解集为（２，３），求常数犪、犫的值及不等式
犫狓２－犪狓－１＞０的解集．
２．２　　　不等式的求解
４３　
３分式不等式的求解
下面，我们将利用一元一次不等式（组）和一元二次不等式
（组）的解法，来求解一些简单的含有分式的不等式．
例如，求解分式不等式犪狓＋犫
犮狓＋犱＞０．这等价于要求分子分母
同号，即犪狓＋犫＞０，
犮狓＋犱＞０，
烅烄
烆
或者犪狓＋犫＜０，
犮狓＋犱＜０．
烅烄
烆
这样，就可将分式不等
式化为不等式组求解．另一方面，分子分母同号也等价于
（犪狓＋犫）（犮狓＋犱）＞０．这就也能将分式不等式化为整式不等式求解．
例１３　解不等式狓＋３
４－狓＞０．
解　原不等式等价于狓＋３与４－狓同号，也就是
（狓＋３）（４－狓）＞０，
即
（狓＋３）（狓－４）＜０．
所以，原不等式的解集为（－３，４）．
例１４　解不等式５狓＋３
狓－１≤３．
解　移项并整理，可将原不等式化为２狓＋６
狓－１≤０．
另外，要使原不等式左端的分式有意义，要求狓－１≠０．
于是，原不等式可等价地转化为
（２狓＋６）（狓－１）≤０，
狓－１≠０，
烅烄
烆
即
－３≤狓≤１，
狓≠１．
烅烄
烆
因此原不等式的解集为－３，１
［
）．
例１５　解不等式狓＋５
狓２＋２狓＋３≤１．
解　由于对所有实数狓，都有狓２＋２狓＋３＝（狓＋１）２＋２＞０．在
原不等式两边同时乘狓２＋２狓＋３，可将原不等式等价地转化
为狓＋５≤狓２＋２狓＋３．
移项整理得狓２＋狓－２≥０，即（狓－１）（狓＋２）≥０．
２
等式
与不等式
４４　
所以，原不等式的解集为－∞，－２
（
］∪１，＋∞
［
）．
例１６　某服装公司生产的衬衫，每件定价８０元，在某城市
年销售８万件．现该公司计划在该市招收代理商来销售衬衫，以降
低管理和营销成本．已知，代理商要收取的代理费为总销售金额的
狉％（即每１００元销售额收取狉元）．为确保单件衬衫的利润保持不
变，服装公司将每件衬衫价格提高到８０
１－狉％元，但提价后每年的销
量会减少０．６２狉万件．试求狉的取值范围，以确保代理商每年收取
的代理费不少于１６万元．
解　代理商每年可销售（８－０．６２狉）万件衬衫，每件衬衫的价
格为８０
１－狉％元，因此年销售额为８０
１－狉％（８－０．６２狉）万元，而代理
商收取的年代理费为８０
１－狉％（８－０．６２狉）狉％万元．
依题意，得
８０
１－狉％（８－０．６２狉）狉％≥１６，
且
０＜１－狉％＜１，
８－０．６２狉＞０．
烅烄
烆
经整理得３１狉２－４１０狉＋１０００≤０，即（狉－１０）（３１狉－１００）≤０，
且０＜狉＜４００
３１，解得
１００
３１≤狉≤１０．
因此所求狉的取值范围是１００
３１，１０
熿燀
燄燅．
练习２．２（４）
　　１．解下列不等式：
　　（１）３－２狓
狓－１＜０；
（２）２狓－１
狓＋２≤０；
（３）２狓－１
狓－１＞２；
（４）４＋狓
２＋狓≥２；
（５）狓－１
狓２－４狓＋５＞１；
（６）４－狓
狓２＋狓＋１≤－１．
２．２　　　不等式的求解
４５　
４含绝对值不等式的求解
我们知道，狓表示实数狓在数轴上所对应的点到坐标原点
的距离．根据绝对值的几何意义，可以求解一些基本的含绝对值的
不等式．
例如，当犪＞０时，不等式狓＜犪－犪＜狓＜犪，从而狓＜犪
的解集为（－犪，犪）．另一方面，狓＞犪狓＞犪或狓＜－犪，从而
狓＞犪的解集为（－∞，－犪）∪（犪，＋∞）（图２２１）．
　　　
图２２１
例１７　解不等式狓－１＜２．
解　原不等式等价于－２＜狓－１＜２．
将上述不等式中的各项同加１，得－１＜狓＜３．
因此，原不等式的解集为－１，３
（
）．
例１８　解不等式２狓＋１≥３．
解　原不等式等价于２狓＋１≥３或２狓＋１≤－３．
解这两个不等式得狓≥１或狓≤－２，所以原不等式的解集为
－∞，－２
（
］∪１，＋∞
［
）．
例１９　解不等式２狓－１＞狓．
分析　为去掉不等式中的绝对值符号，先求出方程２狓－１＝０
的根，再用这个根将实数轴划分为两个区间，进行分段讨论．
解　当狓≥１２时，原不等式化为２狓－１＞狓，即狓＞１．此时，不
等式的解集为狓＞１；
当狓＜１２时，原不等式化为１－２狓＞狓，即狓＜１３．此时，不等式
的解集为狓＜１３．
综上所述，原不等式的解集为（－∞，１３）∪１，＋∞
（
）．
２
等式
与不等式
４６　
例２０　解不等式｜狓－３｜＋｜狓－５｜＜４．
分析　为去掉不等式中的两个绝对值符号，可先分别求出方
程狓－３＝０及狓－５＝０的根，再用这两个根狓＝３及狓＝５将
实数轴划分为三个区间，进行分段讨论．
解　当狓≥５时，原不等式化为狓－３＋狓－５＜４，可解得
狓＜６．此时，不等式的解集为５≤狓＜６；
当３≤狓＜５时，原不等式化为狓－３＋５－狓＜４，即２＜４，它始
终成立．此时，不等式的解集为３≤狓＜５；
当狓＜３时，原不等式化为３－狓＋５－狓＜４，可解得狓＞２．此
时，不等式的解集为２＜狓＜３．
综上所述，原不等式的解集为［５，６）∪［３，５）∪（２，３）＝（２，６）．
练习２．２（５）
　　１．解下列不等式：
　　（１）｜１－２狓｜＞３；
（２）２＜狓＋１≤３；
（３）狓－１＞２狓＋３；
（４）狓＋１＋狓－４＞７．
２．２　　　不等式的求解
４７　
习题２．２　
　
　犃组
１．解下列不等式（组）：
　　（１）２（狓＋１）－３（狓－２）＞８；
（２）３狓－２（５－３狓）＞８，
２狓≤２（２狓＋３）．
烅烄
烆
２．解下列关于狓的不等式：
（１）犪狓＋４＜２狓＋犪２，其中犪＞２；
（２）犿狓＋１＞狓＋犿３，其中犿＜１；
（３）（狆－狇）狓＜狆２－狇２，其中狆≠狇．
３．解下列不等式：
（１）（狓－２）（３－狓）≤０；
（２）狓（狓＋２）≤３（狓＋２）；
（３）（１－狓）（２－狓）＜０；
（４）２（狓＋１）（狓＋３）＞（狓＋３）（狓＋４）．
４．设全集为犚，集合犃＝狓｜狓２－２狓－３≥０
｛
｝，犅＝狓｜狓２＋狓－２＜０
｛
｝，求
（１）犃∪犅；
（２）犃∩犅；
（３）犃∩犅；
（４）犃∪犅．
５．已知下列关于狓的方程有两个不同实根，求常数犽的取值范围：
（１）狓２＋（犽＋３）狓＋犽２＝０；
（２）３狓２＋２犽狓＋犽＝０．
６．若下列关于狓的方程有实数解，求常数犽的取值范围：
（１）狓２＋犽狓－犽＋３＝０；
（２）狓２＋２槡２狓＋犽（犽－１）＝０．
７．解下列不等式：
（１）１３狓２≤２狓－３；
（２）４狓２≥１２狓－９；
（３）狓２－狓＋１４＜０；
（４）狓２＋４９＞２３狓．
８．解下列不等式：
（１）狓２＋狓＋１＞０；
（２）３－２槡２狓≥－狓２；
（３）２狓２＋３狓＋４＜０；
（４）狓２≤３狓－４．
９．已知关于狓的二次方程２狓２＋犪狓＋１＝０无实数解，求实数犪的取值范围．
１０．已知不等式狓２＋犪狓＋犫＜０的解集为（－３，－１），求实数犪及犫的值．
１１．解下列不等式组：
（１）６－狓－狓２≤０，
狓２＋３狓－４＜０；
烅烄
烆
（２）４狓２－２７狓＋１８＞０，
狓２－６狓＋４＜０；
烅烄
烆
（３）３狓２＋狓－２≥０，
４狓２－１５狓＋９＞０．
烅烄
烆
２
等式
与不等式
４８　
１２．解下列不等式：
（１）狓＋１
狓－２＞０；
（２）１狓＜１；
（３）２
３－４狓≥１；
（４）５
狓＋２≤２；
（５）４狓＋３
狓－１＞５；
（６）１
狓－４≤１－狓
４－狓．
１３．解下列不等式：
（１）３狓２＋２狓＋１
狓２＋狓＋２≤１；
（２）
１＋２狓
（狓２＋１）（狓－３）≥０．
１４．求当犽为何值时，关于狓的方程４犽－３狓＝２（犽＋２）狓的解是
（１）正数；
（２）负数．
１５．解下列不等式：
（１）１－４狓＜５；
（２）３＜狓－２＜６；
（３）狓－４＜２狓；
（４）３狓－４≥狓＋２；
（５）狓＋２－狓－３＜４；
（６）狓＋２＋３－狓＜６．
１６．某船从甲码头顺流航行７５千米到达乙码头，停留３０分钟后再逆流航行１２６千米到
达丙码头．如果水流速度为４千米／时，该船要在５小时内（包含５小时）完成整个航行任务，
那么船的速度至少要达到多少千米／时？
　犅组
１．设犪、犫∈犚，求解关于狓的不等式犪狓＞犫．
２．设犪∈犚，解下列关于狓的不等式：
（１）（狓－犪）（狓＋３）≥０；
（２）（狓－犪）（狓－２犪）＞０；
（３）狓（狓－犪）≥（犪＋１）（狓－犪）．
３．已知关于狓的不等式狓２＋犫狓＋犮＞０的解集是（－∞，１２）∪２，＋∞
（
），求关于狓的不
等式狓２－犫狓＋犮≤０的解集．
４．解下列不等式：
（１）狓４－５狓２－６≤０；
（２）（狓２＋狓）２－９（狓２＋狓）－３６≤０．
５．解下列不等式：
（１）２＜１
３狓－１≤３；
（２）１狓＞狓；
（３）２狓＜２
狓－３．
６．解下列不等式：
（１）狓－１
狓２－６狓＋９≤１；
（２）狓－１
狓２－４狓＋４≥０．
２．２　　　不等式的求解
４９　
７．解下列不等式：
（１）１＜１－２狓≤７；
（２）狓＋１＜２－狓；
（３）２狓＋３
狓－２＞１；
（４）狓
狓＋１＞狓
狓＋１；
（５）狓２－３＜２．
　（第８题）
８．已知某码头东偏南３０°方向有一个台风中心，台风中心距
该码头的初始距离为４００千米．台风以１３０千米／时的速度向正
北方向移动，且距台风中心３５０千米以内的范围都受到台风影
响．问：从初始时刻起多少小时后，该码头将受到台风影响？码头
受台风影响的时间将持续多久？
９．若关于狓的不等式组（２狓－３）（３狓＋２）≤０，
狓－犪＞０
烅烄
烆
没有实数解，
求实数犪的取值范围．
１０．求常数犽取何值时，关于狓的不等式２犽狓２＋犽狓＋１８＞０对于一切实数狓都成立．
２
等式
与不等式
５０　
２．３　基本不等式及其应用
在前两节中，我们学习了一些不等式的性质求解和证明．在不
等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等
式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式．
１平均值不等式及其应用
对于正数犪、犫，称犪＋犫
２是犪，犫的算术平均值，并称槡犪犫是犪、
犫的几何平均值．当犪、犫分别表示对同一个量进行两次测量所得
的数值时，其算术平均值犪＋犫
２可以理解为这两次测量值的平
均．当犪、犫分别表示一个矩形的两边边长时，其几何平均值槡犪犫可
以理解为与此矩形面积相同的正方形的边长．
下面的不等式是经典的平均值不等式：
　　定理（平均值不等式）　两个正数的算术平均值大于等
于它们的几何平均值，即对于任意的正数犪、犫，有
犪＋犫
２≥槡犪犫，
且等号当且仅当犪＝犫时成立．
证明　对于正数犪、犫，要证明定理所述之平均值不等式，只要
证明
犪＋犫≥２槡犪犫，
即
犪＋犫－２槡犪犫≥０．
由
犪＋犫－２槡犪犫＝槡犪－槡犫
（
）２，
上式显然成立，且只有当犪＝犫时，原不等式两边才相等．
　　在犪及犫有可能
为零时，平均值不等式
也显然成立．因此，对
于任意的非负实数犪、
犫，平均值不等式都成
立．
２．３　　　基本不等式及其应用
５１　
例１　设狓＞０，证明狓＋１狓≥２，并指出等号成立条件．
证明　因为狓＞０，由平均值不等式，得
狓＋１狓≥２狓·１狓
槡
＝２，
且等号只有当狓＝１狓，即狓２＝１时才成立．由于狓＞０，所以狓＝１．
因此，当且仅当狓＝１时，狓＋１狓＝２．
例２　设犪犫＞０，证明犫犪＋犪犫≥２，并指出等号成立的条件．
证明　因为犪犫＞０，所以犪、犫同号，因而犫犪＞０，犪犫＞０．
由平均值不等式，得
犫犪＋犪犫≥２犫犪·犪犫
槡
＝２，
且等号当且仅当犫犪＝犪犫，即犪＝犫时才成立．
除了平均值不等式，还有一些常用的不等式．
　　定理　对于任意的实数犪、犫，有
（犪＋犫
２）
２≥犪犫，
且等号当且仅当犪＝犫时成立．
证明　对任意的实数犪、犫，成立犪２＋犫２≥２犪犫，且等号当且仅
当犪＝犫时成立．于是
犪２＋犫２＋２犪犫≥４犪犫，
从而
（犪＋犫）２≥４犪犫，
即
（犪＋犫
２）
２≥犪犫．
从而原不等式成立，且等号当且仅当犪＝犫时成立．
包括平均值不等式在内的上述一些不等式常常可被应用于对
一些量做估计，特别是可用于求解一些最大值或最小值问题．
例３　设狓∈犚，求函数狔＝狓（４－狓）的最大值．
解　由不等式（犪＋犫
２）
２≥犪犫，推得
２
等式
与不等式
５２　
狓（４－狓）≤（狓＋４－狓
２）
２＝４．
于是，当狓＝４－狓，即狓＝２时，狔取得最大值４．
练习２．３（１）
　　１．设犪是正数，求证犪＋１≥２槡犪．
２．证明：若狓＜０，则狓＋１狓≤－２，并指出等号成立的条件．
　　例４　设犪、犫为正数，且犪＋２犫＝１，比较犪犫与１８的值的
大小．解　因为
犪犫＝１２（犪·２犫）≤１２（犪＋２犫
２）
２＝１８，
所以犪犫≤１８，并且仅当犪＝２犫且犪＋２犫＝１，即犪＝１２且犫＝１４时，
才成立犪犫＝１８；而在其他情形，均有犪犫＜１８．
例５　证明：
（１）周长为常数的所有矩形中正方形的面积最大．
（２）面积相同的所有矩形中正方形的周长最小．
证明　（１）设矩形的周长为常数犾＞０，而其长、宽分别为
狓、狔＞０，就有２狓＋２狔＝犾．此矩形的面积为犛＝狓狔．由平均值不等
式，有
犛＝狓狔≤（狓＋狔
２）
２＝（犾４）
２，
当且仅当狓＝狔＝犾２，即矩形为正方形时，面积犛取得最大值犾２
１６．
（２）设矩形的面积为常数犛＞０，而其长、宽仍分别设为
狓、狔＞０，就有狓狔＝犛．此矩形的周长为犾＝２（狓＋狔）．由平均值不等
式，有
狓＋狔
２≥狓槡狔＝槡犛，
所以犾＝２（狓＋狔）≥４槡犛，且当且仅当狓＝狔＝槡犛，即矩形为正方
形时，周长犾取最小值４槡犛．
由本例知，利用平均值不等式狓槡狔≤狓＋狔
２（狓＞０，狔＞０）求最
２．３　　　基本不等式及其应用
５３　
值，当乘积狓狔为定值时，和狓＋狔有最小值；而当和狓＋狔为定值
时，乘积狓狔有最大值．此外，当且仅当狓＝狔时，才取得最值．
例６　某新建居民小区欲建一面积为７００平方米的矩形绿
地，并在绿地四周铺设人行道．设计要求绿地长边外人行道宽３
米，短边外人行道宽４米，如图２３１所示（图中单位：米）．问：绿
地的长与宽分别为多少时，才能使人行道的占地面积最小（结果精
确到０．１米）？
解　设矩形绿地的长为狓米，则宽为７００狓米，人行道的占地面
积为
犛＝（狓＋８）（７００狓＋６）－７００，
即
犛＝６狓＋５６００
狓＋４８．
利用平均值不等式，有
６狓＋５６００
狓≥２６狓·５６００
狓
槡
＝２槡３３６００＝８０槡２１，
且当且仅当６狓＝５６００
狓，即狓＝２０７３槡≈３０．６时，犛达到最小值
８０槡２１≈３６６．６，此时７００狓≈２２．９．
所以，当设计绿地的长和宽分别约为３０．６米与２２．９米时，人
行道的占地面积最小，约为３６６．３平方米．
练习２．３（２）
　　１．用一根长为犾的铁丝制成一个矩形框架．当长和宽分别为多少时，该框架的面
积最大？
２．在面积为π的圆中作一个内接矩形，使它的面积最大．求此矩形面积的最大值
及此时矩形的各边长．
２三角不等式
众所周知，三角形犃犅犆的两边之和不小于第三边，即
犃犅≤犃犆＋犆犅，
其中犃犅、犃犆、犆犅分别表示两点犃与犅、犃与犆、犆与犅之
间的距离．这个事实是下述不等式称为三角不等式的来源．在后续
图２３１
图２３２
２
等式
与不等式
５４　
向量、复数等内容的学习中，三角不等式的几何意义将十分明显．
　　定理　对任意的实数犪、犫，有
犪＋犫≤犪＋犫，
且等号当且仅当犪犫≥０时成立．
证明　为证明犪＋犫≤犪＋犫，只需证明
犪＋犫２≤犪＋犫
（
）２，
即犪２＋２犪犫＋犫２≤犪２＋２犪犫＋犫２，也即２犪犫≤２｜犪犫｜．这是显然的，且
等号当且仅当犪、犫同号，即犪犫≥０时成立．
例７　设犪、犫为实数，求证：犪＋犫＋犪－犫≥２犪．
证明　因为２犪＝（犪＋犫）＋（犪－犫），由三角不等式可得
２犪＝（犪＋犫）＋（犪－犫）
≤犪＋犫＋犪－犫，
即
犪＋犫＋犪－犫≥２犪．
例８　设犪、犫为实数，求证犪－犫≤犪－犫，并指出等
号成立的条件．
证明　因为犪＝（犪－犫）＋犫，由三角不等式，有
犪＝犪－犫＋犫≤犪－犫＋犫．
因此
犪－犫≤犪－犫，
且等号当且仅当（犪－犫）犫≥０，即犪犫≥犫２时成立．
例９　证明：｜狓－３｜＋狓－５≥２对所有实数狓恒成立，并
求等号成立时狓的范围．
证明　因为｜狓－５｜＝｜５－狓｜，利用三角不等式，有
｜狓－３｜＋｜狓－５｜＝｜狓－３｜＋｜５－狓｜≥｜狓－３＋５－狓｜＝２，
且等号当且仅当（狓－３）（５－狓）≥０，即（狓－３）（狓－５）≤０时成立．
因此，当且仅当狓∈３，５
［］时，等号成立．
练习２．３（３）
　　１．设犪、犫∈犚，证明：犪＋犫＋犪－犫≥２犫．
　　２．已知实数犪、犫满足犪＜１２，犫＜１２，求证：
（１）犪＋犫＜１；
（２）犪－犫＜１．
２．３　　　基本不等式及其应用
５５　
习题２．３　
　
　犃组
１．如果实数犪、犫同号，那么下列命题中正确的是
（　　）
　　Ａ．犪２＋犫２＞２犪犫
Ｂ．犪＋犫≥２槡犪犫
Ｃ．１犪＋１犫＞２槡犪犫
Ｄ．犫犪＋犪犫≥２
２．设犪＞犫＞０，试将四个正数犪，犫，槡犪犫，犪＋犫
２按从小到大的顺序排列，并说明理由．
３．证明：对于任意的正数犪、犫，成立２
１犪＋１犫
≤槡犪犫，并指出等号的成立条件．
４．证明：如果犪、犫是实数，那么犪２＋犫２＋２≥２（犪＋犫）．
５．已知犪、犫是互不相等的正数，求证（犪２＋１）（犫２＋１）＞４犪犫．
６．设狓∈犚，求函数狔＝（狓－１）（５－狓）的最大值．
７．已知直角三角形斜边长等于１０厘米，求直角三角形面积的最大值．
８．设犪、犫、犮为实数，证明犪－犫≤犪－犮＋犮－犫．
９．证明：对于正数犺，如果狓－犪＜犺２，狔－犪＜犺２，那么狓－狔＜犺．
１０．设狔＝狓＋２－狓－１（狓∈犚），证明狔≥－３，并求出当狔＝－３时狓的取值范围．
　犅组
１．设０＜犪＜犫，且犪＋犫＝１，请将犪，犫，１２，２犪犫，犪２＋犫２从小到大排列，并说明理由．
２．已知犪为正数，比较犪２＋２犪＋１
犪
与４的值的大小．
３．设犪、犫为正数，求证：（犪＋犫）（１犪＋１犫）≥４．
４．设犪、犫为实数，求证：犪＋犫
１＋犪＋犫≤犪＋犫
１＋犪＋犫．
５．设狓＞０，狔＞０，求证：槡狓＋槡狔
狓＋
槡狔≤槡２．
６．已知直角坐标平面内的三点犃（狓１，狔１），犅（狓２，狔２），犆（狓３，狔３），记
犱（犃，犅）＝狓２－狓１＋狔２－狔１，
犱（犅，犆）＝狓２－狓３＋狔２－狔３，
２
等式
与不等式
５６　
犱（犆，犃）＝狓３－狓１＋狔３－狔１．
证明犱（犃，犅）≤犱（犅，犆）＋犱（犃，犆）．
７．设犪、犫、犮是实数，求证犪＋犫＋犮≤犪＋犫＋犮．
８．设狔＝狓＋２＋狓－１＋５－２狓，证明：无论狓取什么实数值，总有狔≥６．并求出
狔＝６时，狓的取值范围．
课后阅读　
　
调和平均值与算术平均值不等式
　　船速一定的汽船，在静水中和有流速河中往返航行同样的距离，所需的时间是否一样？
有人认为二者所需的时间是一样的，他们的理由是：当河水有流速时，汽船逆流上行虽然速
度要减慢，但回来时顺流下行的速度要加快，二者互相补偿，航行时间就应和在静水中往返
一次所需的时间一样．
上面的说法貌似有理，但事实却并非如此．为说明这一点，只需做一下简单的计算就可
以了．设汽船在静水中航行的速度为狏静，河水的流速为狏水，汽船在河流中航行的单程距离
为犔．那么汽船逆流上行的实际速度是狏上＝狏静－狏水，而顺流下行的实际速度是狏下＝狏静＋
狏水．这样汽船往返一次所需的总时间是
犔狏上＋犔狏下＝犔
狏静－狏水＋犔
狏静＋狏水＝２犔狏静
狏２静－狏２水＝
２犔
狏静（１－狏２水狏２静）
，
它总是大于汽船在静水中往返一次的时间２犔狏静，且河水流速愈大，二者的差距愈大．
由上式，我们可以看到，汽船在有流速的河中行驶的平均速度是
２犔
犔狏上＋犔狏下
＝２
１狏上＋１狏下
，
它也是汽船上下航行速度狏上、狏下的某种平均值，称为调和平均值．而汽船上下航行速度
狏上、狏下的算术平均值
狏上＋狏下
２＝狏静
正是汽船在静水中航行的速度．注意到
２
１狏上＋１狏下
＝狏静（１－狏２水狏２静）≤狏静＝狏上＋狏下
２，
就说明调和平均值总小于等于算术平均值．
事实上，对此有一个一般性的结论：对两个正数犪、犫，定义２
１犪＋１犫
为其调和平均值，就有
２．３　　　基本不等式及其应用
５７　
调和平均值必小于等于算术平均值的结论，即有
　　定理　两个正数的调和平均值总小于等于它们的算术平均值，即对于任意给定
的正数犪、犫，有
２
１犪＋１犫
≤犪＋犫
２，
且等号当且仅当犪＝犫时成立．
历史上著名的迈克耳孙莫雷实验（１８８７年）正是利用上述原理而设计的．过去人们认为
光既然是一种波，而波的传播是需要媒介的，如声波的传播需要空气做媒介，水波的传播需
要水做媒介等等，因此光的传播也需要有媒介．但光是能够在真空中传播的，因此人们想象
整个宇宙空间（包括真空）中充满了一种作为光传播媒介的神秘物质———以太．当地球以３０
千米／秒的速度绕太阳运动时，必定会有强烈的“以太风”迎面吹来．这样，和上面的例子一
样，光线迎“风”传播一定距离再反射回来所花费的时间，和光线垂直于以太风方向传播同样
的距离再反射回来所花费的时间，就应该是不相等的．迈克耳孙和莫雷依此原理设计了一个
实验，证明了两束光所花费的时间并无不同，从而说明地球相对以太是静止的，或者以太根
本就不存在．随着爱因斯坦相对论的建立，以太学说逐渐被学界所抛弃．
１９０７年，迈克耳孙因“发明光学干涉仪并使用其进行光谱学和基本度量学研究”，获得
了诺贝尔物理学奖。作为迈克耳孙光学干涉仪的一个最著名的应用，迈克耳孙莫雷实验解
决了当年普遍困惑物理学界的问题，而其基本思想竟是平均值不等式这一初等数学的知识！
２
等式
与不等式
５８　
本章内容提要　
　
１．实数大小的比较：犪＞犫犪－犫＞０；犪＝犫犪－犫＝０；犪＜犫犪－犫＜０．
２．等式的基本性质
传递性　如果犪＝犫，且犫＝犮，那么犪＝犮．
加法性质　如果犪＝犫，犮∈犚，那么犪＋犮＝犫＋犮．
乘法性质　如果犪＝犫，犮∈犚，那么犪犮＝犫犮．
３．不等式的基本性质
传递性　如果犪＞犫，且犫＞犮，那么犪＞犮．
加法性质　如果犪＞犫，犮∈犚，那么犪＋犮＞犫＋犮．
乘法性质　如果犪＞犫，犮＞０，那么犪犮＞犫犮；如果犪＞犫，犮＜０，那么犪犮＜犫犮．
４．一元二次方程的根与系数关系：
设犪狓２＋犫狓＋犮＝０（犪≠０）两根为狓１、狓２，则狓１＋狓２＝－犫犪，狓１狓２＝犮犪．
５．一元二次不等式的求解（下表中均假设犪＞０，而Δ＝犫２－４犪犮）
Δ＞０
Δ＝０
Δ＜０
犪狓２＋犫狓＋犮＝０
有两不同实根狓１＜狓２
有两相同实根狓１＝狓２
无实根
犪狓２＋犫狓＋犮＞０
解集为－∞，狓１
（
）∪
狓２，＋∞
（
）
解集为－∞，狓１
（
）∪
狓１，＋∞
（
）
解集为全体实数集犚
犪狓２＋犫狓＋犮≥０
解集为－∞，狓１
（
］∪
狓２，＋∞
［
）
解集为全体实数集犚
解集为全体实数集犚
犪狓２＋犫狓＋犮＜０
解集为狓１，狓２
（
）
解集为空集
解集为空集
犪狓２＋犫狓＋犮≤０
解集为狓１，狓２
［
］
解集为狓１
｛｝
解集为空集
６．基本不等式
平均值不等式　犪＋犫
２≥槡犪犫（犪＞０，犫＞０），当且仅当犪＝犫时等号成立．
常用不等式　犪２＋犫２≥２犪犫，当且仅当犪＝犫时等号成立．
（犪＋犫
２）
２≥犪犫，当且仅当犪＝犫时等号成立．
三角不等式　犪＋犫≤犪＋犫，当且仅当犪犫≥０时等号成立．
本章复习题
５９　
本章复习题　
　
　犃组
１．设二次方程２狓２－６狓－３＝０的两个实数根为狓１、狓２，求下列各式的值：
　　（１）（狓１＋１）（狓２＋１）；
（２）（狓２１－１）（狓２２－１）．
２．设犪＞犫＞０，比较犫＋２犪
犪＋２犫与犪犫的值的大小．
３．已知狓＞狔，求证狓３－狔３＞狓２狔－狓狔２．
４．若关于狓的不等式（犪＋１）狓－犪＜０的解集为（２，＋∞），求不等式（犪－１）狓＋３－犪＞
０的解集．
５．解下列不等式：
（１）－狓２＋１１＜－２狓－４；
（２）３狓２＜１３狓＋１０；
（３）６狓＋２≥５狓２；
（４）狓２≤８（１－狓）；
（５）－狓２≥９（９－２狓）；
（６）３（狓－３）≤狓２．
６．试写出一个二次项系数为１的一元二次不等式，使它的解集分别为：
（１）－∞，槡２
（
）∪槡２，＋∞
（
）；
（２）２－槡３，２＋槡３
［
］．
７．求不等式５≤狓２－２狓＋２＜２６的所有正整数解．
８．解下列分式不等式：
（１）２狓＋１
狓＋７＞－３；
（２）－２＜１
２狓＋１≤３；
（３）３狓
狓２＋２≥１．
９．已知集合犃＝狓｜３狓２＋狓－２≥０，狓∈犚｝
｛
，集合犅＝狓４狓－３
狓－３＞０，狓∈犚
烅烄烆
烍烌烎，求犃∩犅
及犃∪犅．
１０．解下列含绝对值的不等式：
（１）２狓－１≤狓；
（２）２狓＋１＋狓－２＜８；
（３）３－２狓≥狓＋１．
１１．已知犪、犫是正数，求证（１＋犪）（１＋犫
槡
）≥１＋槡犪犫．
１２．设犪、犫是实数，
（１）证明犪２＋犪犫＋犫２≥０，并指出等号成立条件；
（２）证明：如果犪＞犫，那么犪３＞犫３．
　犅组
１．设关于狓的方程狓２＋狆狓＋狆＝０的两个实根分别为α、β，且α２＋β２＝３，求实数狆的值．
２
等式
与不等式
６０　
２．已知二次方程２狓２－４狓＋犿＋３＝０有两个同号实根，求实数犿的取值范围．
３．若关于狓的不等式（犪＋犫）狓＋（犫－２犪）＜０的解集为（１，＋∞），求不等式（犪－犫）狓＋
３犫－犪＞０的解集．
４．设关于狓的不等式犪１狓２＋犫１狓＋犮１＞０与犪２狓２＋犫２狓＋犮２＞０的解集分别为犃、犅，试
用集合运算表示下列不等式组的解集：
（１）犪１狓２＋犫１狓＋犮１＞０，
犪２狓２＋犫２狓＋犮２＞０；
烅烄
烆
　（２）犪１狓２＋犫１狓＋犮１≤０，
犪２狓２＋犫２狓＋犮２＞０；
烅烄
烆
　（３）犪１狓２＋犫１狓＋犮１≤０，
犪２狓２＋犫２狓＋犮２≤０．
烅烄
烆
５．已知集合犃＝狓｜狓２－２狓－３＞０
｛
｝，集合犅＝狓｜狓２＋狆狓＋狇≤０
｛
｝，若犃∪犅＝犚，且
犃∩犅＝－２，－１
［
），求关于狓的不等式狓２＋狆狓＋狇＞０的解集．
６．已知集合犃＝狓｜狓－犪＜２
｛
｝，集合犅＝狓２狓－１
狓＋２＜１
烅烄烆
烍烌烎，且犃犅，求实数犪的取值
范围．７．已知关于狓的不等式犪狓＋１≤犫的解集为－１，３
［
］，求实数犪、犫的值．
８．证明：若狓＞－１，则狓＋１
狓＋１≥１，并指出等号成立的条件．
９．设犪、犫为正数，且犪＋犫＝２，求１犪＋１犫的最小值．
１０．设犪、犫、犮都是正数，求证犫＋犮
犪＋犮＋犪
犫＋犪＋犫
犮≥６．
１１．设实数狓、狔满足狓＋狔＝１，求狓狔的最大值．
１２．设犪、犫为实数，证明犪＋犫≤犪＋犫＋犪－犫，并指出等号成立的条件．
拓展与思考
１．已知全集为犚，设集合犃＝狓｜狓２＋狆狓＋１２＝０
｛
｝及集合犅＝狓｜狓２－５狓＋狇＝０
｛
｝满足
犃∩犅＝２｛｝，求实数狆与狇的值．
２．已知关于狓的二次方程（犿－１）狓２＋（２犿－４）狓＋犿＝０有两个不相等的正实根，求
实数犿的取值范围．
３．解不等式｜狓－１｜－１＞１２狓．
４．设实数０＜犪＜犫，证明犪＜２犪犫
犪＋犫＜槡犪犫＜犪＋犫
２＜犪２＋犫２
２
槡
＜犫．
５．方程（狓－１）（狓－２）（狓－３）＝０的三个根１、２、３将数轴划分为四个区间，即
－∞，１
（
）、１，２
（）、２，３
（）、３，＋∞
（
）．试在这四个区间上分别考察（狓－１）（狓－２）（狓－３）的符
号，从而得出不等式（狓－１）（狓－２）（狓－３）＞０与（狓－１）（狓－２）（狓－３）＜０的解集．
一般地，对狓１、狓２、狓３∈犚，且狓１≤狓２≤狓３，试分别求不等式
（狓－狓１）（狓－狓２）（狓－狓３）＞０与（狓－狓１）（狓－狓２）（狓－狓３）＜０
的解集．（提示：狓１，狓２，狓３相互之间可能相等，需要分情况讨论）．
第３章
幂、指数
与对数
　　关于幂我们并不陌生，在初中时已经学过
正整数指数幂及其基本的运算性质，并经历了
将正整数指数幂推广到整数指数幂的过程．本章
将通过定义分数指数幂，将指数从整数拓展到
有理数，再引入无理数指数幂，最终将指数从有
理数拓展到实数，为下一章用幂函数描述变量
之间的相应关系作好准备．
本章还将学习对数这一个新的概念，它是
指数运算的逆运算．１６世纪末，随着当时天文、
航海及工程实践的迅速发展，大量多位数乘除
及开方的计算困扰着那时的科学家和工程师．在
简化计算的迫切需求下，对数这个概念得以诞
生，并在实际计算中得到广泛的应用．现在，功能
强大的现代计算器使多位数的乘除及开方计算
变得非常方便，对数用于简化计算的功能虽已
经完成了其历史任务，但对数这个概念及对数
函数的种种性质在现代数学和其他科学领域中
的作用却有增无减，一直占据着重要的位置．
３
幂、指数
与对数
６２　
３．１　幂与指数
１指数幂的拓展（１）
在初中我们已经学过正整数指数幂的定义和运算性质．
如果犪是一个实数，狀是一个正整数，那么称
犪狀＝犪×犪×…×犪
烐
烏
烑
狀个
为犪的狀次幂．正整数指数幂满足如下的运算性质：
对任意给定的实数犪，犫及正整数狊，狋，成立
犪狊犪狋＝犪狊＋狋，
（１）
（犪狊）狋＝犪狊狋，
（２）
（犪犫）狋＝犪狋犫狋．
（３）
为了定义整数指数幂，而且保证上述幂的运算性质仍然成立，
我们做如下的分析．
假设性质（１）对所有的整数狊，狋均成立，特别在其中取狊＝１，
狋＝０，以及狊＝狀，狋＝－狀（狀为正整数），就得到
犪＝犪１＋０＝犪·犪０，　犪０＝犪狀＋（－狀）＝犪狀·犪－狀．
因此，当犪≠０时，由此就得到
犪０＝１，　犪－狀＝１犪狀．
这样，若定义
犪０＝１，
犪－狀＝１犪狀，
烅
烄
烆
就可以在犪≠０的情况下，对所有给定的整数狀定义犪的狀次幂，
而且可以证明对任意给定的非零实数犪，犫及整数狊，狋，上述运算性
质（１）到（３）仍然成立．
在定义了整数指数幂后，就会问：能否定义有理数指数幂呢？
答案是肯定的．为此先引进根式的概念．
　　一般地，如果狀为大于１的整数，且狓狀＝犪，那么狓叫
做犪的狀次方根．
　　犪的狀次方叫做犪
的狀次幂，记为犪狀．称
犪为幂的底数（简称为
底），狀为幂的指数．
　　同底数的幂相乘，
底数不变，指数相加．
　　犪０＝１（犪≠０）．
３．１　　　幂与指数
６３　
当狀是奇数时，由于正数的狀次方根是一个正数，负数的狀次
方根是一个负数，这时，犪的狀次方根是唯一存在的，且可用狀槡犪表
示．例如，因为２５＝３２，所以５槡３２＝２；因为（－２）５＝－３２，所以
５槡－３２＝－２．
但当狀是偶数时，正数的狀次方根有两个，它们互为相反
数．这时，正数犪的正的狀次方根用狀槡犪表示，而负的狀次方根用
－狀槡犪表示，它们可以合并简写成±狀槡犪（犪＞０）．例如，１６的４次方根
可以表示为４槡１６＝２及－４槡１６＝－２，简记为±４槡１６＝±２．而负数没
有偶次方根．
０的任何次方根都是０，记作狀槡０＝０．
　　式子狀槡犪叫做根式（狉犪犱犻犮犪犾），这里狀叫做根指数（狉犪犱犻犮犪犾
犲狓狆狅狀犲狀狋），犪叫做被开方数（狉犪犱犻犮犪狀犱）．
例１　（１）求－１３２的５次方根；
（２）求８１的４次方根．
解　（１）因为（－１２）
５＝－１３２，所以
５－１３２
槡＝－１２．
（２）因为任何正数的偶次方根有两个，所以８１的４次方根为
±４槡８１＝±３．
例２　计算：
（１）５（－２）
槡
５；
（２）６（－８）
槡
２．
解　（１）５（－２）
槡
５＝－２．
（２）６（－８）
槡
２＝６８槡２＝６２槡６＝２．
练习３．１（１）
　　１．求－３２
２４３的５次方根．
２．求９的４次方根．
３．计算：
（１）５（－４）
槡
５；
（２）６（犪－犫）
槡
６（犪＜犫）．
　　当狀为奇数时，
狀犪槡狀＝犪，
当狀为偶数时，
狀犪槡狀＝｜犪｜．
３
幂、指数
与对数
６４　
２指数幂的拓展（２）
为了定义有理数指数幂，且保证前述幂的运算性质（１）到
（３）仍然成立，我们考虑分数指数幂犪
犿狀的定义，其中狀是正整数，
犿是整数．由于对所有非零实数犪，可以定义犪
犿狀为（犪
１狀）
犿，所以只
要考虑犪
１狀的定义就可以了．此外，由于当狀＝１时，犪
１狀＝犪，情况比
较简单而特殊，可以不必着重考虑．
一般地说，设狀是大于１的整数，当犪＞０时，称满足狓狀＝犪
的唯一正数狓为犪的１狀次幂，记为狓＝犪
１狀．这样在条件犪＞０时，
犪
１狀就是犪的狀次方根狀槡犪．
例如，由（槡２）２＝２，可以定义２
１２＝槡２，即２
１２为２的一个平方
根；再如，由（３槡２）３＝２，可以定义２
１３＝３槡２，即２
１３为２的立方根．
可以看出，当狀是正整数时，只要犪＞０，犪
１狀都是有定义的．这
样，在犪＞０的情况下，我们可以对所有分数指数犿狀定义犪的犿狀次
幂，称之为底为犪的有理数指数幂．并且成立：若犿狀＝犿′狀′，则
犪
犿狀＝犪
犿′狀′．
在犪＞０，狀为正整数及犿为整数条件下，因为
（犪
１狀）
犿
［
］
狀＝（犪
１狀）
狀
［
］
犿＝犪犿，
根据１狀次幂的定义，就得到
（犪犿）１狀＝（犪
１狀）
犿，
即（狀槡犪）犿＝狀犪槡犿．
可以证明，有理数指数幂的运算同样满足前三条基本性质：对
任意给定的正实数犪，犫及有理数狊，狋，成立
犪狊犪狋＝犪狊＋狋，
（犪狊）狋＝犪狊狋，
（犪犫）狋＝犪狋犫狋．
　　犪
１狀＝狀槡犪（犪＞０，狀
为大于１的整数）．
　　当犪＜０且狀是正
奇数时，存在唯一的实
数狓，使得
狓狀＝犪＜０，
此时犪
１狀能被定义．
当犪＜０且狀是正
偶数时，因为不存在实
数狓，使得
狓狀＝犪＜０，
故不能定义犪
１狀．
当犪＝０时，也可
定义０
１狀＝０．
　　一般地，在狀为正
整数，且犿∈犣时，对
所有使得狀犪槡犿有意义
的实数犪，都可定义
犪
犿狀＝狀犪槡犿．
３．１　　　幂与指数
６５　
例３　计算：
（１）４
３２；
（２）（８１
６２５）
－３４．
解　反复利用有理数指数幂的运算性质，可得
（１）４
３２＝（２２）３２＝２３＝８．
（２）（８１
６２５）
－３４＝（６２５
８１）
３４＝（６２５
８１）
１４
熿燀
燄燅
３＝（５３）
３＝１２５
２７．
例４　用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中犪＞０）：
（１）３犪槡２；
（２）犪３·４犪槡３；
（３）犪槡
槡犪．
解　由有理数指数幂定义和运算性质，可得
（１）３犪槡２＝犪
２３．
（２）犪３·４犪槡３＝犪３·犪
３４＝犪３＋３４＝犪
１５４．
（３）犪槡
槡犪＝（犪·犪
１２）１２＝（犪
３２）１２＝犪
３４．
我们已经将指数狊的范围从整数拓展到有理数，说明了此时
犪狊（犪＞０）有完全确定的意义，且满足前述的性质（１）到（３）．当指数
狊是无理数时，可以证明犪狊（犪＞０）也是一个确定的实数，从而对任
何给定的实数狊，犪狊（犪＞０）仍可以被定义，且对任意给定的正实数
犪，犫及实数狊，狋，前述的指数幂的三个运算性质仍然成立，即有
　　对任意给定的正实数犪，犫及实数狊，狋，成立
犪狊犪狋＝犪狊＋狋，
（犪狊）狋＝犪狊狋，
（犪犫）狋＝犪狋犫狋．
例５　化简：
（１）（狓
槡３２）
槡３·槡狓（其中狓＞０）；
（２）（犪
２３犫
１２）（－３犪
１２犫
１３）
１３犪
１６犫
５６
（其中犪＞０，犫＞０）．
３
幂、指数
与对数
６６　
解　（１）反复应用上述运算性质，可得
（狓
槡３２）槡３·狓
１２＝狓
槡３２·槡３·狓
１２＝狓
３２·狓
１２＝狓
３２＋１２＝狓２．
（２）由有理数指数幂的运算性质，可得
（犪
２３犫
１２）（－３犪
１２犫
１３）
１３犪
１６犫
５６
＝（－３×３）犪
２３＋１２－１６犫
１２＋１３－５６＝－９犪犫０＝－９犪．
下面我们不加证明地给出
　　定理　当犪＞１，狊＞０时，恒成立犪狊＞１．
此定理有时也称为幂的基本不等式．
练习３．１（２）
　　１．计算：
（１）１００
１２；
（２）８－２３．
２．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中犪＞０）：
（１）犪
１０３·５犪槡３；
（２）３犪３槡
槡犪．
３．化简：
（１）（犪３＋槡３）３－槡３（其中犪＞０）；
（２）
４犪
２３犫２
（犪
１６犫
５６）（－２３犪
１２犫）
（其中犪＞０，犫＞０）．
４．已知０＜犪＜１，狊＞０，求证：０＜犪狊＜１．
３．１　　　幂与指数
６７　
习题３．１　
　
　犃组
　　１．（１）求－６４的立方根；
（２）求２５６的４次方根．
２．计算：
（１）
５２４３
３２槡；
（２）－３０．
槡１２５；
（３）７（－２）
槡
７；
（４）６（－２７）
槡
２．
３．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中狓＞０，狔＞０）：
（１）３狓槡５；
（２）（５槡狓）３；
（３）７狓３狔
槡
４；
（４）
７狓３
狔４槡．
４．用根式的形式表示下列各式（其中犪＞０）：
（１）犪
２３；
（２）犪
３４；
（３）犪－２５；
（４）犪－５２．
５．求下列各式中狓的值（其中狓＞０）：
（１）狓３＝２７；
（２）狓４＝１２１；
（３）狓
３２＝１０００；
（４）狓－４３＝１６
６２５．
６．用有理数指数幂的形式表示下列各式（其中犪＞０，犫＞０）：
（１）犪
１３犪
１４；
（２）３犪槡
槡犪；
（３）（犪
１４犫－３８）８；
（４）（犪－３犫４
槡犫）
－１３．
７．化简下列各式（其中犪＞０，犫＞０）：
（１）（２犪
２３犫
１２）（－６犪
１２犫
１３）÷（３犪
１６犫
５６）；
（２）（犪２－槡３犫）２＋槡３·犫２－槡３．
　犅组
１．当狓＜０时，求｜狓｜＋６狓槡６＋２３狓槡３的值．
２．设犪２狓＝２，且犪＞０，犪≠１，求犪３狓＋犪－３狓
犪狓＋犪－狓的值．
３．设犪＞犫＞０，求证：犪犪犫犫＞（犪犫）犪＋犫
２．
３
幂、指数
与对数
６８　
３．２　对数
１对数的定义
想象这样一个场景，某人在银行存入１万元，若年利率为
５％，且按年计复利，经过多少年１万元存款才能连本带利超过５
万元呢？
年利率是５％的意思是一年之后１万元变成１×（１＋５％）＝
１．０５万元．按年计复利的意思是每过一年自动将连本带利作为本
金再次存入银行生息．这样，经过狀年后，存款连本带利的总数应
达到１．０５狀万元．根据题意，我们要回答，当狀是多少时，
１．０５狀＞５？
实际上，如果能够找到一个数狓，使得１．０５狓＝５，那么狀就是
刚刚超过狓的那个整数．
抽象一下上面的问题：设犪＞０，犖＞０，要找狓，使得
犪狓＝犖．
（１）
首先要问有没有这样的狓存在．
要回答这个问题，首先要假设犪＞０，以保证对所有的狓，犪狓都
有定义．还要假设犪≠１，因为如果犪＝１，１狓就恒等于１，犖＞１时，
方程（１）无解；犖＝１时，方程（１）有解但不唯一．
在犪＞０，且犪≠１时，只要犖＞０，方程犪狓＝犖总有唯一的解．
　　定义　在犪＞０，犪≠１，且犖＞０的条件下，唯一满足
犪狓＝犖的数狓，称为犖以犪为底的对数（ｌｏｇａｒｉｔｈｍ），并用符
号犾狅犵犪犖表示，而犖称为真数．
这样，在讨论对数的时候，我们总是假设底是不等于１的正
数，而真数是正数．另外，由定义，对数ｌｏｇ犪犖这个记号，表示满足
方程犪狓＝犖的唯一确定的数狓．因此由这个定义就有
犪ｌｏｇ犪犖＝犖，
（２）
称为对数恒等式．这个式子看起来很玄妙，但不过是对数定义的另
一个表达方式而已．
对数的发明者———纳皮尔
　　对数的底是不等
于１的正数．
　　“ｌｏｇ”是拉丁文
ｌｏｇａｒｉｔｈｍｕｓ的缩写．
３．２　　　对数
６９　
由此恒等式可以推出，若两个正数犕、犖的对数ｌｏｇ犪犕与
ｌｏｇ犪犖相等，则犕＝犖，即若同一个底的两个对数相等，则其真数
必相等．这是因为
犕＝犪ｌｏｇ犪犕＝犪ｌｏｇ犪犖＝犖．
此外，因为犪０＝１，犪１＝犪，易见
ｌｏｇ犪１＝０．
ｌｏｇ犪犪＝１．
在一些特殊的情况下，可以写出对数的具体数值，而在一般的
情况下，估算对数的精确值极为困难，需要查阅有关的对数表或利
用计算尺来得到对数的近似值．
例１　计算：
（１）ｌｏｇ２８；
（２）ｌｏｇ２槡２；
（３）ｌｏｇ１００．００００１．
解　（１）因为２３＝８，即３是方程２狓＝８的唯一解，所以由定
义得ｌｏｇ２８＝３．
（２）因为２
１２＝槡２，所以ｌｏｇ２槡２＝１２．
（３）因为１０－５＝０．００００１，所以ｌｏｇ１００．００００１＝－５．
对数的底犪（犪＞０，犪≠１）原则上可以任意选取，数学上常用两
个特殊的底构成的对数．
一个是以１０为底的对数，称为常用对数（ｃｏｍｍｏｎ
ｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ），即ｌｏｇ１０犖，通常记为犾犵犖．在中学阶段，我们主要采用
常用对数，因为在日常生活中用的数字是十进制表示的．
另外一个是以无理数ｅ（ｅ的值约为２．７１８２８…）为底的对数，
称为自然对数（ｎａｔｕｒａｌｌｏｇａｒｉｔｈｍｓ），即ｌｏｇｅ犖，通常记为犾狀犖．虽然
自然对数在日常生活中不常使用，但在高等数学和其他科学领域
中却十分有用，大家将来学到高等数学时，会很容易地看到这
一点．
例２　求下列各式中狓的值：
（１）ｌｏｇ２狓＝－１；
（２）ｌｏｇ１２狓＝３；
（３）ｌｎ狓＝－１．
３
幂、指数
与对数
７０　
解　（１）由ｌｏｇ２狓＝－１，得狓＝２－１＝１２．
（２）由ｌｏｇ１２狓＝３，得狓＝（１２）
３＝１２３＝１８．
（３）由ｌｎ狓＝－１，得狓＝ｅ－１＝１ｅ．
练习３．２（１）
　　１．以下对数式中与指数式５狓＝６等价的是
（　　）
　　Ａ．ｌｏｇ５６＝狓
Ｂ．ｌｏｇ５狓＝６
Ｃ．ｌｏｇ６狓＝５
Ｄ．ｌｏｇ狓６＝５
２．计算：
（１）ｌｏｇ５２５；
（２）ｌｏｇ１３２７；
（３）ｌｏｇ４槡２；
（４）２ｌｏｇ２３．
３．求下列各式中狓的值：
（１）ｌｏｇ４狓＝２；
（２）ｌｏｇ狓４＝２．
２对数的运算规则
引进对数的初衷是为了处理多位数的乘除及开方．在本节中
可以看到，对数可以把乘除运算转变为加减运算，并把乘方开方运
算转化为乘除运算．这为简化多位数的乘除及开方运算提供了一
个简便的途径．
我们知道指数的运算规则
犪狊＋狋＝犪狊犪狋，
通俗地说，指数可以把加减转化为乘除．这个规则在对数中怎么体
现呢？在本节中，我们总假设犪＞０且犪≠１．
设犕＞０，犖＞０，令犫＝ｌｏｇ犪犕，犮＝ｌｏｇ犪犖，就有犪犫＝犕，
犪犮＝犖，因此
犕犖＝犪犫犪犮＝犪犫＋犮，
从而由对数的定义，有
ｌｏｇ犪（犕犖）＝犫＋犮＝ｌｏｇ犪犕＋ｌｏｇ犪犖．
由此可得下述对数运算的基本性质．
　　对数性质１　当犕＞０，犖＞０时，成立
ｌｏｇ犪（犕犖）＝ｌｏｇ犪犕＋ｌｏｇ犪犖．
３．２　　　对数
７１　
由性质１可以推出
ｌｏｇ犪犕＝ｌｏｇ犪（犕犖·犖）＝ｌｏｇ犪犕犖＋ｌｏｇ犪犖，
从而得到
　　对数性质２　当犕＞０，犖＞０时，成立
ｌｏｇ犪犕犖＝ｌｏｇ犪犕－ｌｏｇ犪犖．
对数性质１与２可以通俗地解释为：对数把乘除运算转化为
加减运算．
设犖＞０，令犫＝ｌｏｇ犪犖．则犖＝犪犫．由（犪犫）犮＝犪犫犮，得犪犫犮＝犖犮，
从而由对数的定义，犫犮＝ｌｏｇ犪犖犮，所以，我们有
　　对数性质３　当犖＞０时，对任何给定的实数犮，成立
ｌｏｇ犪犖犮＝犮ｌｏｇ犪犖．
特别地，当犮为大于１的正整数狀时，乘方转化为乘；当犮＝１狀
时，开方转化为除．这说明：对数把乘方及开方分别转化为乘与除．
例３　计算：
（１）ｌｏｇ３（９４×３２）；
（２）ｌｏｇ３５槡９；
（３）２ｌｏｇ５１０＋ｌｏｇ５３－ｌｏｇ５１２．
解　反复应用上述对数性质，可得
（１）ｌｏｇ３（９４×３２）＝ｌｏｇ３９４＋ｌｏｇ３３２
＝４ｌｏｇ３９＋２ｌｏｇ３３
＝４ｌｏｇ３３２＋２
＝４×２ｌｏｇ３３＋２
＝４×２＋２
＝１０．
（２）ｌｏｇ３５槡９＝ｌｏｇ３３
２５＝２５ｌｏｇ３３＝２５．
（３）２ｌｏｇ５１０＋ｌｏｇ５３－ｌｏｇ５１２
＝ｌｏｇ５１０２×３
１２
＝ｌｏｇ５２５＝２．
例４　设ｌｏｇ５２＝犪，５犫＝３，用犪、犫表示ｌｏｇ５１２．
解　因为５犫＝３，所以ｌｏｇ５３＝犫．因此
ｌｏｇ５１２＝ｌｏｇ５（２２×３）＝２ｌｏｇ５２＋ｌｏｇ５３＝２犪＋犫．
　　对数化乘为加、化
除为减．
　　对数把乘方及开
方分别转化为乘与除．
３
幂、指数
与对数
７２　
例５　在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指
标．其值狔（单位：分贝（ｄＢ））定义为
狔＝１０ｌｇ犐犐０，
其中，犐为声场中某点的声强度（单位：Ｗ／ｍ２），犐０为基准值：犐０＝
１０－１２Ｗ／ｍ２．
（１）如果犐＝１０Ｗ／ｍ２，求相应的声强级；
（２）声强级为６０ｄＢ时的声强度犐６０是声强级为５０ｄＢ时的声
强度犐５０的多少倍？
解　（１）当犐＝１０Ｗ／ｍ２时，
狔＝１０ｌｇ犐犐０＝１０ｌｇ１０
１０－１２＝１０ｌｇ１０１３＝１３０，
因此，当犐＝１０Ｗ／ｍ２时，相应的声强级为１３０ｄＢ．这超过飞机起
飞时的声音，属于非常强的噪音．
（２）由题意得
６０＝１０ｌｇ犐６０犐０，
５０＝１０ｌｇ犐５０犐０．
烅
烄
烆
两式相减，得
１０＝１０（ｌｇ犐６０犐０－ｌｇ犐５０犐０）＝１０ｌｇ犐６０犐５０，
即ｌｇ犐６０犐５０＝１，所以犐６０犐５０＝１０，因此，声强级为６０ｄＢ时的声强度犐６０是
声强级为５０ｄＢ时的声强度犐５０的１０倍．
练习３．２（２）
　　１．用犃＝ｌｏｇ犪狓，犅＝ｌｏｇ犪狔（犪＞０，犪≠１）表示下列各式：
（１）ｌｏｇ犪狓狔；
（２）ｌｏｇ犪狓２
槡狔．
２．计算：
（１）ｌｏｇ１５３＋ｌｏｇ１５５；
（２）ｌｏｇ２３槡４；
（３）ｌｏｇ５槡１０－１２ｌｏｇ５２５０．
３．已知ｌｏｇ７３＝犪，７犫＝２，试用犪、犫表示ｌｏｇ７７２．
一般地，正常交谈
的声音是６０ｄＢ，闹市
区的声音是８０ｄＢ，飞
机起飞时的声音大约
是１２０ｄＢ．
３．２　　　对数
７３　
３对数的换底
下面将介绍对数换底公式．不同底的对数可以很方便地互相
转换．如前所述，对数的底犪总是不等于１的正数．
设犫＞０，犫≠１为另一个底，且犖＞０．令犮＝ｌｏｇ犫犖，即
犫犮＝犖．由对数性质３，得
ｌｏｇ犪犖＝ｌｏｇ犪犫犮＝犮ｌｏｇ犪犫＝ｌｏｇ犫犖·ｌｏｇ犪犫，
因此得到
　　对数换底公式　当犖＞０时，
ｌｏｇ犫犖＝ｌｏｇ犪犖
ｌｏｇ犪犫．
它把以犫为底的对数换成两个以犪为底的对数的商，其中ｌｏｇ犪犫只
与两个底的值有关，而与真数犖无关．
比如估算ｌｏｇ２３，可先应用换底公式，得
ｌｏｇ２３＝ｌｇ３
ｌｇ２．
再利用计算器上的常用对数功能键，得ｌｇ２≈０．３０１０，ｌｇ３≈０．４７７１，
因此
ｌｏｇ２３≈０．４７７１
０．３０１０≈１．５８５０．
例６　计算：
（１）ｌｏｇ２２５·ｌｏｇ３４·ｌｏｇ５９；
（２）５１－ｌｏｇ０．２３；
（３）１
ｌｏｇ２３＋ｌｇ１３．５
ｌｇ３．
解　（１）把所有的对数换成同一个底，例如同换成以２为底，
得到
　　ｌｏｇ２２５·ｌｏｇ３４·ｌｏｇ５９＝ｌｏｇ２５２·ｌｏｇ３２２·ｌｏｇ５３２
＝ｌｏｇ２５２·ｌｏｇ２２２
ｌｏｇ２３·ｌｏｇ２３２
ｌｏｇ２５
＝２ｌｏｇ２５·２ｌｏｇ２２
ｌｏｇ２３·２ｌｏｇ２３
ｌｏｇ２５
＝２·２·２＝８．
　　对数运算中，用换
底公式将不同的底换
成同一个底是一种常
用的方法．
３
幂、指数
与对数
７４　
（２）因该指数的底是５，把式中的对数也换成以５为底，有
ｌｏｇ０．２３＝ｌｏｇ５３
ｌｏｇ５１５
＝－ｌｏｇ５３，
这是因为由对数性质２，ｌｏｇ５１５＝ｌｏｇ５１－ｌｏｇ５５＝－１，这样就得到
５１－ｌｏｇ０．２３＝５１＋ｌｏｇ５３＝５×５ｌｏｇ５３＝５×３＝１５．
（３）统一换成常用对数，因ｌｏｇ２３＝ｌｇ３
ｌｇ２，有
１
ｌｏｇ２３＋ｌｇ１３．５
ｌｇ３＝ｌｇ２
ｌｇ３＋ｌｇ１３．５
ｌｇ３＝ｌｇ２７
ｌｇ３＝ｌｇ３３
ｌｇ３＝３．
例７　设犪、犫是两个不等于１的正数．求证：
ｌｏｇ犫犪＝１
ｌｏｇ犪犫．
（３）
证明　在换底公式中取犖＝犪，并注意到ｌｏｇ犪犪＝１，即得（３）．
例８　设犖＞０．求证：
（１）ｌｏｇ犪－１犖＝－ｌｏｇ犪犖．
（２）若犿≠０，则
ｌｏｇ犪犿犖狀＝狀犿ｌｏｇ犪犖．
证明　（１）用换底公式，并注意到ｌｏｇ犪犪－１＝－１，得
ｌｏｇ犪－１犖＝ｌｏｇ犪犖
ｌｏｇ犪犪－１＝－ｌｏｇ犪犖．
（２）应用换底公式将底换成犪，并利用ｌｏｇ犪犪＝１，得
ｌｏｇ犪犿犖狀＝ｌｏｇ犪犖狀
ｌｏｇ犪犪犿＝狀ｌｏｇ犪犖
犿．
练习３．２（３）
　　１．计算：
（１）ｌｏｇ８１４；
（２）ｌｏｇ犪犫·ｌｏｇ犫犮·ｌｏｇ犮犪；
（３）３２＋ｌｏｇ９４；
（４）ｌｏｇ５２·ｌｏｇ７９
ｌｏｇ５１３·ｌｏｇ７２．
２．已知ｌｏｇ３２＝犪，用犪表示ｌｏｇ２９６．
３．２　　　对数
７５　
习题３．２　
　
　犃组
１．把下列指数式写成对数式：
　　（１）３４＝８１；
（２）５－１２＝狓．
２．将下列对数式写成指数式：
（１）ｌｏｇ１３２７＝－３；
（２）ｌｏｇ２１８＝－３．
３．计算：
（１）ｌｏｇ３２７；
（２）ｌｏｇ１２８；
（３）ｌｎ１ｅ＋ｌｇ槡１０．
４．求下列各式中狓的值：
（１）ｌｏｇ２狓＝５；
（２）ｌｏｇ槡５１１２５＝狓；
（３）ｌｏｇ狓４＝１２．
５．计算：
（１）ｌｏｇ２（２·３槡２）；
（２）ｌｏｇ２１３＋ｌｏｇ２１７；
（３）ｌｏｇ５槡６－１２ｌｏｇ５１５０；
（４）３ｌｏｇ３１＋ｌｏｇ２４８－ｌｏｇ２３；
（５）３ｌｏｇ３３２－ｌｏｇ３７４＋１２ｌｏｇ３４＋ｌｏｇ３７．
６．用犃＝ｌｏｇ犪狓，犅＝ｌｏｇ犪狔，犆＝ｌｏｇ犪狕（犪＞０，犪≠１）表示下列各式：
（１）ｌｏｇ犪狓狔２；
（２）ｌｏｇ犪狓狔槡狕；
（３）ｌｏｇ犪狓２狔２＋ｌｏｇ犪狔槡狓．
７．计算：
（１）ｌｏｇ４２槡２；
（２）ｌｏｇ２３·ｌｏｇ９２；
（３）３
ｌｏｇ２６＋３
ｌｏｇ３６；
（４）（ｌｏｇ４３＋ｌｏｇ８３）（ｌｏｇ３２＋ｌｏｇ９２）＋ｌｏｇ１２
４槡３２．
８．已知犪＝ｌｇ５，试用犪表示ｌｇ２和ｌｇ２０．
　犅组
１．求下列各式中狓的取值范围：
（１）ｌｏｇ２（１－３狓）；
（２）ｌｏｇ犪（狓２＋狓）．
３
幂、指数
与对数
７６　
２．计算：
（１）ｌｏｇ４８－ｌｏｇ１９３－ｌｏｇ槡２４；
（２）２ｌｏｇ６５×３ｌｏｇ６５；
（３）ｌｇ２５０＋ｌｇ２ｌｇ５０２＋ｌｇ２２．
３．科学家以里氏震级来度量地震的强度，若设犐为地震时所散发出来的相对能量程度，
则里氏震级度量狉可定义为狉＝２３ｌｇ犐＋２，试比较６．９级地震和７．８级地震的相对能量比值
（精确到个位）．
４．已知ｌｇ２＝犪，ｌｇ３＝犫，试用含有犪、犫的式子表示ｌｏｇ２３及ｌｏｇ１２２５．
５．已知５．４狓＝３，０．６狔＝３，求１狓－１狔的值．
６．设犪、犫、犮、犱均为正数，且犪、犮均不为１，求证：
（ｌｏｇ犪犫）（ｌｏｇ犮犱）＝（ｌｏｇ犪犱）（ｌｏｇ犮犫）．
课后阅读　
　
让我们用一个例子来说明怎么应用对数来简化计算．
假设我们要计算两个九位数的乘积
８６７４３２６９１×３４５７２３９０１．
直接计算费时费力，怎样利用对数来简化计算呢？
先求此乘积以１０为底的对数
ｌｇ（８６７４３２６９１×３４５７２３９０１）．
由对数性质１，它等于ｌｇ８６７４３２６９１＋ｌｇ３４５７２３９０１．
要直接计算这些对数自然十分困难，但是如果已编制了一个常用对数表，可以查真数在
１到１０之间的常用对数（实用中的对数表正是如此！），就可以得知
ｌｇ８６７４３２６９１≈ｌｇ（８．６７４３×１０８）＝８＋ｌｇ８．６７４３≈８．９３８２，
其中ｌｇ８．６７４３≈０．９３８２是查表得到的．类似地，可得ｌｇ３４５７２３９０１≈８．５３８７．这样所求乘积
之对数为
ｌｇ８６７４３２６９１＋ｌｇ３４５７２３９０１≈８．９３８２＋８．５３８７＝１７．４７６９＝１７＋０．４７６９．
为了最终求得所需要的乘积８６７４３２６９１×３４５７２３９０１，还需要查一个反对数表（实际上是一
个以１０为底，而指数在０到１之间的指数表），就得到０．４７６９＝ｌｇ２．９９８５，即１００．４７６９≈２．９９８５，从而
１７＋０．４７６９＝１７＋ｌｇ２．９９８５＝ｌｇ（２．９９８５×１０１７），
即原乘积的常用对数约等于ｌｇ（２．９９８５×１０１７）．由于同底的两个对数相等，其真数必相等，就得到
８６７４３２６９１×３４５７２３９０１≈２．９９８５×１０１７．
（现在，用普通的计算器可以得到更精确的值
８６７４３２６９１×３４５７２３９０１≈２．９９８９２２１３７８×１０１７．）
由上所述，利用一个常用对数表及一个反对数表，就可以通过转化为对数大大简化任何
３．２　　　对数
７７　
两个大数（多位数）的乘除及开方运算．这正如恩格斯（见《自然辩证法》第２１７页）所指出的：
“这种从一个形态到另一个相反形态之转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学最有力
的模杆之一，如果没有它，今天就没法去进行一个较为复杂的计算．”
然而，制作一个有实际用处的对数表是一项浩大的工程，假如按步长０．００１从１变化到
１０，就有１万个对数要计算．而要算一个数的对数使得精度达到四位小数也决不是一件容易
的事．然而，如果制成了对数表，就可以一劳永逸地为其他人所用，意义是十分重大的．
对数简史　对数是纳皮尔（ＪｏｈｎＮａｐｉｅｒ，１５５０—１６１７）发明的，其出现事先似乎毫无征兆，
但它绝不是一个从天上掉下来的怪念头，而是源自当时在天文、航海及工程实践中迫切需要简
化大量繁杂计算的实际需要．纳皮尔从１５９４年到１６１４年花了二十年的时间造出了第一个对
数表，他说过：“要实际应用数学，我看最大的障碍就是处理很大数字的相乘、相除，或是求取二
次或三次方根，……因此我开始思考，有没有什么方法可以去除这些障碍．”由于对数不仅能将
乘除运算化为加减运算，而且能将乘方、开方运算化为乘除运算，一下子将人们从繁复的计算
中解放出来，无异于成倍地延长了科学家与工程技术人员的寿命．德国天文学家开普勒
（１５７１—１６３０）是最早使用对数的人之一，他成功地在行星轨道的计算中运用了对数．法国数学
家、天文学家拉普拉斯（１７４９—１８２７）曾说过：“对数的发明让天文学家的寿命都延长了，因为少
做了很多苦工．”恩格斯曾经将解析几何、对数及微积分并列为最重要的数学方法．
由于西洋传教士的作用，在清代初年（１７世纪中叶）对数传到了中国，１６５３年薛凤柞
（１６００—１６８０）与波兰传教士穆尼阁（ＪｅａｎＮｉｃｏｌａｓＳｍｏｇｏｌｅｈｓｈｉ，１６１１—１６５６）共同编译出版
了《比例对数表》一书，正式将对数介绍到中国，薛凤柞还将对数应用到历法计算中．后来，康
熙皇帝组织编撰《数理精蕴》一书，在其下篇·卷三十八“对数比例”一节中，一开始就说：“对
数比例乃西士若往·纳白尔（ＪｏｈｎＮａｐｉｅｒ）所作，以假数与真数对列成表，故名对数表．”这儿
的假数，我们现在叫“对数”，而若往·纳白尔就是我们现在所述的纳皮尔．
在科学发展的历史中，极少有哪个抽象的数学概念，能像对数一样，一开始就很快获得
了整个科学界的热烈欢迎．对数的发明，无疑是人类认识史上一个极大的飞跃与革命，在人
类文明的进程中起了划时代的作用．自纳皮尔１６１４年发明对数以来，一直到袖珍计算器的
出现，对数以及根据对数的原理所设计的一些计算仪器，一直是进行复杂计算的有效方
法．根据对数的原理设计的计算仪器，最著名的就是后来为
科学家和工程师广泛使用的计算尺，它在长达３５０年的时间
中，一直是科学家与工程师的忠实伴侣和有力工具．自２０世
纪７０年代初期袖珍计算器上市以后，计算尺才失去市场，并
随着计算机的飞速发展而彻底退出了历史舞台，对数在计算
中无可替代的地位也一去而不复返了．但是，对数的概念及
对数函数的种种性质在众多数学分支及科学领域中至今一直发挥着重要的作用，并且有增
无减．对数从计算的有力工具向科学的重要方法的转化，在数学的发展史上留下了浓墨重彩
的篇章，记录着人类不断走向文明进步的光辉历程．
３
幂、指数
与对数
７８　
本章内容提要　
　
１．指数幂的拓展：正整数指数幂、整数指数幂、有理数指数幂、实数指数幂．
２．幂的运算性质：对任意给定的正实数犪、犫及实数狊、狋，成立
（１）犪狊犪狋＝犪狊＋狋；
（２）（犪狊）狋＝犪狊狋；
（３）（犪·犫）狋＝犪狋·犫狋．
３．对数的定义：当犪是不等于１的正数，犖＞０时，犖以犪为底的对数犾狅犵犪犖是满足
犪狓＝犖
的唯一的数狓．
４．对数的基本性质：设犪是不等于１的正数，犕、犖是任意给定的正数，犮是任意给定的
实数，成立
（１）犾狅犵犪１＝０；
（２）犾狅犵犪犪＝１；
（３）犾狅犵犪（犕犖）＝犾狅犵犪犕＋犾狅犵犪犖；
（４）犾狅犵犪犕犖＝犾狅犵犪犕－犾狅犵犪犖；
（５）犾狅犵犪犖犮＝犮犾狅犵犪犖；
（６）（换底公式）如果犫也是一个不等于１的正数，那么犾狅犵犫犖＝犾狅犵犪犖
犾狅犵犪犫．
本章复习题
７９　
本章复习题　
　
　犃组
１．填空：
（１）若狓３＝５，则狓＝　　　　；若３狓＝５，则狓＝　　　　．
（２）将４犪３槡
槡犪（犪＞０）化成有理数指数幂的形式为　　　　．
（３）若ｌｏｇ８狓＝－２３，则狓＝　　　　．
（４）若ｌｏｇ犪犫·ｌｏｇ５犪＝３，则犫＝　　　　．
２．选择题：
（１）若ｌｇ犪与ｌｇ犫互为相反数，则有
（　　）
Ａ．犪＋犫＝０
Ｂ．犪犫＝１
Ｃ．犪犫＝１
Ｄ．以上答案均不对
（２）设犪＞０，下列计算中正确的是
（　　）
Ａ．犪
２３·犪
３２＝犪
Ｂ．犪
２３÷犪
３２＝犪
Ｃ．犪－４·犪４＝０
Ｄ．（犪
２３）３２＝犪
３．已知１０α＝３，１０β＝４，求１０α＋β及１０α－β２的值．
４．计算：
（１）１
４狓＋１＋１
４－狓＋１；
（２）４槡２＋１·２３－２槡２·８－２３．
５．已知ｌｇ犪＜１，化简ｌｇ２犪－ｌｇ犪２
１０
槡
．
６．已知犿＝ｌｏｇ２１０，求２犿－犿ｌｇ２－４的值．
７．已知犪＞１，犫＞０，求证：对任意给定的实数犽，犪２犫＋犽－犪犫＋犽＞犪犫＋犽－犪犽．
　犅组
１．填空：
（１）若４狓＝２－１２，４狔＝３槡３２，则２狓－３狔＝　　　　．
（２）若ｌｏｇ３（ｌｏｇ４狓）＝１，则狓＝　　　　．
（３）若３犪＝７犫＝６３，则２犪＋１犫的值为　　　　．
３
幂、指数
与对数
８０　
２．已知ｌｏｇ１８９＝犪，１８犫＝５，则ｌｏｇ３６４５等于
（　　）
Ａ．犪＋犫
２＋犪
Ｂ．犪＋犫
２－犪
Ｃ．犪＋犫
２犪
Ｄ．犪＋犫
犪２
３．若狓＋狓－１＝７，求狓
１２－狓－１２及狓
３２－狓－３２．
４．设ｌｏｇ０．２犪＞０，ｌｏｇ０．２犫＞０，且ｌｏｇ０．２犪·ｌｏｇ０．２犫＝１，求ｌｏｇ０．２犪犫的最小值．
５．化简（１＋２狓）（１＋２２狓）（１＋２４狓）（１＋２８狓）（１＋２１６狓）
（１－２３２狓）
（其中狓≠０）．
６．已知犪、犫、犮为互不相等的正数，求证：犪２犪犫２犫犮２犮＞犪犫＋犮犫犮＋犪犮犪＋犫．
拓展与思考
１．甲、乙两人同时解关于狓的方程：ｌｏｇ２狓＋犫＋犮ｌｏｇ狓２＝０，甲写错了常数犫，得两根１４及
１８；乙写错了常数犮，得两根１２及６４，求这个方程的真正根．
２．已知犪，犫，犮是不为１的正数，且ｌｇ犪＋ｌｇ犫＋ｌｇ犮＝０，求证：
犪
１ｌｇ犫＋１ｌｇ犮·犫
１ｌｇ犮＋１ｌｇ犪·犮
１ｌｇ犪＋１ｌｇ犫＝１
１０００．
第４章
幂函数、
指数函数
与对数函数
　　初中已经学过一些基本的初等函数，如正
比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，
函数是描述客观世界中变量之间相互关系和变
化规律的重要语言和工具．例如一次函数可描述
匀速运动，二次函数可描述匀加速运动等．
本章我们将在上一章的基础上，通过固定
等式犪犫＝犮中的三个量犪、犫、犮中的一个量，研
究另两个量的相互关系和变化规律，定义三种
基本而应用广泛的函数———幂函数、指数函数
和对数函数．要学会用函数图像和代数运算的方
法研究这些函数的性质，了解它们各自蕴含的
规律．同时，要通过建立数学模型，解决一些简单
的实际问题，并体会这些函数在解决有关实际
问题中的作用．这些都将为下一章“函数的概念
与性质”的学习奠定基础．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
８２　
４．１　幂函数
１幂函数的图像与性质（１）
在初中阶段我们已经学过正比例函数如狔＝狓，反比例函数如
狔＝１狓即狔＝狓－１，以及二次函数如狔＝狓２等函数的图像与性质．
这三个函数的共同特征都是将幂的指数犪固定，底数取为变
量狓，而研究幂狓犪随狓的变化而变化的规律．用
狔＝狓犪
来描述狔与狓之间的关系就得到了幂函数．
　　定义　当指数犪固定，等式
狔＝狓犪
确定了变量狔随变量狓变化的规律，称为指数为犪的幂函
数（ｐｏｗｅｒｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
使得狓犪有意义的狓的取值范围，称为此幂函数的定义域．随
着指数犪值的不同，幂函数的定义域可以是不相同的．
例１　求下列函数的定义域：
（１）狔＝狓３；
（２）狔＝狓
１２；
（３）狔＝狓－２３．
解　（１）对一切实数狓该函数都有意义，所以其定义域是犚．
（２）狔＝狓
１２＝槡狓，当狓≥０时，该函数才有意义，所以其定义
域是［０，＋∞）．
（３）狔＝狓－２３＝１
３狓槡２，当狓≠０时，该函数才有意义，所以其定
义域是（－∞，０）∪（０，＋∞）．
函数图像是直观理解变量间关系的一个重要手段．下面我们
考察幂函数狔＝狓犪的图像及性质．
　　幂函数的指数
犪∈犚．
４．１　　　幂函数
８３　
在平面直角坐标系中把满足狔＝狓犪的一切点（狓，狔）描绘出
来，就构成幂函数狔＝狓犪的图像．需要注意，幂函数的图像依赖于
指数犪的值，可以有不同的形状．
例２　分别描绘幂函数狔＝狓
１２及狔＝狓３的大致图像．
解　幂函数狔＝狓
１２的定义域为所有非负实数，我们在其图像
上设法取一些特殊的点．由
０
１２＝０，（１４）
１２＝１２，１
１２＝１，４
１２＝２，９
１２＝３，
就得到幂函数狔＝狓
１２的图像过下面的点：
（０，０），（１４，１２），（１，１），（４，２），（９，３）．
再使用计算器多采集一些点，可以粗略地绘出其图像，见图
４１１中左边的图．
幂函数狔＝狓３的定义域为所有实数．由
（－３）３＝－２７，（－２）３＝－８，（－１）３＝－１，（－１２）
３＝－１８，
０３＝０，（１２）
３＝１８，１３＝１，２３＝８，３３＝２７，
就得到幂函数狔＝狓３的图像过下面的点：
（－３，－２７），（－２，－８），（－１，－１），（－１２，－１８），
（０，０），（１２，１８），（１，１），（２，８），（３，２７）．
再使用计算器多采集一些点，可以粗略地绘出其图像，见图
４１１中右边的图．
图４１１
因为幂函数狔＝狓３的定义域为一切实数，若点（珚狓，珔狔）在幂函
数狔＝狓３的图像上，就有珔狔＝珚狓３．而点（珚狓，珔狔）关于原点的对称点易
知是（－珚狓，－珔狔），见图４１２．由珔狔＝珚狓３，得－珔狔＝（－珚狓）３，因此点
（－珚狓，－珔狔）亦落在幂函数狔＝狓３的图像上．这说明幂函数狔＝狓３
的图像关于原点成中心对称．
　　描绘函数的大致
图像的一般步骤是：列
表—描点—连线．
狓
狔＝狓
１２
０
０
０．２５
０．５
０．５
０．７０７１
１
１
２
１．４１４２
４
２
６
２．４４９５
９
３
图４１２
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
８４　
例３　描绘幂函数狔＝狓－２３的大致图像．
解　因为（－１）－２３＝
３（－１１）
槡
２＝１，（－槡２４）
－２３＝
３（－４槡２）
槡
２＝３槡８＝２，
（槡２４）
－２３＝
３（４槡２）
槡
２＝３槡８＝２，１－２３＝
３（１１）
槡
２＝１，所以幂函数
狔＝狓－２３的图像必过下面的点：
（－１，１），（－槡２４，２），（槡２４，２），（１，１）．
再使用计算器多采集一些点，可以粗略绘出此幂函数的图像，见图
４１３．
图４１３
由例１可知幂函数狔＝狓－２３的定义域为不等于０的一切实
数．若点（珚狓，珔狔）在幂函数狔＝狓－２３的图像上，则有珔狔＝珚狓－２３．而点
（珔狓，珔狔）关于狔轴的对称点易知是（－珔狓，珔狔），见图４１４．由珔狔＝珔狓－２３，
且（－珚狓）－２３＝［（－珚狓）２］－１３＝（珚狓）－２３，易知同时有珔狔＝（－珚狓）－２３，从
而点（－珚狓，珔狔）亦落在幂函数狔＝狓－２３的图像上．这说明幂函数
狔＝狓－２３的图像关于狔轴成轴对称．
练习４．１（１）
　　１．若幂函数狔＝狓犪的图像经过点（３，槡３），求此幂函数的解析式．
２．求下列函数的定义域，并作出它们的大致图像：
（１）狔＝狓
１３；
（２）狔＝狓－１２；
（３）狔＝狓
４３．
３．若幂函数狔＝狓－犿２＋２犿＋３（犿为整数）的定义域为所有实数，求犿的值．
图４１４
４．１　　　幂函数
８５　
２幂函数的图像与性质（２）
由前述，不管指数犪取何值，当狓＞０时，幂函数狔＝狓犪总是
有定义的，且其函数值狔＞０．这说明，幂函数狔＝狓犪在第一象限总
有图像，其图像随指数犪取值的不同，可分为两种情况．
（１）犪＞０的情况：此时观察幂函数狔＝狓犪在第一象限的图
像，不难发现，当指数０＜犪＜１时，相应的图像类似于图４１１
中狔＝狓
１２的图像；当指数犪＞１时，相应的图像类似图４１１中
狔＝狓３的图像；而当犪＝１时，幂函数狔＝狓的图像是一条经过原
点的直线．
观察图４１１所示的幂函数狔＝狓犪（犪＞０）在第一象限的图
像，可发现图像由左至右是上升的，也就是说，随着自变量狓的不
断增大，函数值狔也不断增大．这是因为当犪＞０时，若狓２＞狓１＞０，
则狓２狓１＞１，从而由幂的基本不等式得
（狓２狓１）
犪＞１，
即狓犪２＞狓犪１．这说明幂函数狔＝狓犪（犪＞０）在区间（０，＋∞）上随着狓
的（严格）增加而（严格）增加．此时称幂函数狔＝狓犪（犪＞０）在区间
（０，＋∞）上严格递增．
（２）犪＜０的情况：此时幂函数狔＝狓犪在第一象限的图像类似
图４１３中狔＝狓－２３的图像．该图像由左至右是下降的，也就是
说，幂函数狔＝狓犪（犪＜０）在区间（０，＋∞）上随着狓的（严格）增加
而（严格）减少．此时称幂函数狔＝狓犪（犪＜０）在区间（０，＋∞）上严
格递减．
例４　比较下列各题中两数的大小：
（１）２．５－２与１．８－２；
（２）１．３２
４５与（－槡２）４５．
解　（１）考虑幂函数狔＝狓－２．由于指数小于０的幂函数在
（０，＋∞）上是严格递减的，所以２．５－２＜１．８－２．
（２）考虑幂函数狔＝狓
４５．由于
（－槡２）４５＝５（－槡２）
槡
４＝５（槡２）
槡
４＝槡２
４５，
而指数大于０的幂函数在（０，＋∞）内是严格递增的，因此
１．３２
４５＜槡２
４５，
故
１．３２
４５＜（－槡２）４５．
　　当犪＝０时，幂函
数狔＝狓０＝１（狓≠０）的
图像是平行于狓轴、并
在狓轴上方一个单位
的一条直线（除去点
（０，１））．
当犪＝１时，幂函
数狔＝狓的图像是经
过原点的一条直线．
　　当犪＞０时，幂函
数狔＝狓犪在区间
（０，＋∞）上严格递增；
当犪＜０时，幂函
数狔＝狓犪在区间
（０，＋∞）上严格递减．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
８６　
下面我们研究一些函数图像之间的关系．
例５　已知函数狔＝１狓和狔＝１
狓－２，说明这两个函数图像
之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像．
解　在幂函数狔＝１狓的图像上任取一点犘（犪，１犪），易得点
犘′（犪＋２，１犪）一定在函数狔＝１
狓－２的图像上，而将点犘向右平移
两个单位就与点犘′重合．因此，将函数狔＝１狓的图像向右平移两个
单位就得到函数狔＝１
狓－２的图像．反之，将函数狔＝１
狓－２的图像向
左平移两个单位就得到函数狔＝１狓的图像，见图４１５．
例６　已知函数狔＝１
狓－２和狔＝狓－１
狓－２，说明这两个函数图
像之间的关系，并在同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像．
解　将狔＝狓－１
狓－２整理变形，得狔＝１＋１
狓－２．若点犙（犪，１
犪－２）
在函数狔＝１
狓－２的图像上，则点犙′（犪，１＋１
犪－２）就一定在函数
狔＝１＋１
狓－２的图像上，即将点犙向上平移１个单位就与点犙′重
合．因此，将函数狔＝１
狓－２的图像向上平移１个单位就得到函数
狔＝狓－１
狓－２的图像．反之，将函数狔＝狓－１
狓－２的图像向下平移一个单位
就得到函数狔＝１
狓－２的图像，见图４１６．
练习４．１（２）
　　１．（１）已知函数狔＝狓
２３和狔＝（狓－１）２３，说明这两个函数图像之间的关系，并在
同一平面直角坐标系中作出它们的大致图像．
（２）已知函数狔＝狓
２３和狔＝狓
２３＋１，说明这两个函数图像之间的关系，并在同一
平面直角坐标系中作出它们的大致图像．
２．比较下列各题中两数的大小：
（１）２．５－３与３．１－３；
（２）１．７
３２与１．６
３２．
３．作函数狔＝－狓－１
狓＋２的大致图像．
图４１５
图４１６
４．１　　　幂函数
８７　
习题４．１　
　
　犃组
１．幂函数狔＝狓犪的图像经过点（４槡３，３），求此幂函数的解析式．
２．求下列函数的定义域，并作出它们的大致图像：
　　（１）狔＝狓
１５；
（２）狔＝狓－２；
（３）狔＝狓－３４．
３．在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率狏（单位：
ｃｍ３／ｓ）与管道半径狉（单位：ｃｍ）的四次方成正比．若在半径为３ｃｍ的管道中，某气体速率为
４００ｃｍ３／ｓ，求该气体通过管道半径为５ｃｍ时的速率（精确到１ｃｍ３／ｓ）．
４．比较下列各题中的两个数的大小：
（１）３．１－１２与３．２－１２；
（２）（犪＋２）１３与犪
１３．
５．下列幂函数在区间（０，＋∞）内严格递增，且图像关于原点成中心对称的是　　　　
（请填入全部正确的序号）．
（１）狔＝狓
１２；
（２）狔＝狓
１３；
（３）狔＝狓
２３；
（４）狔＝狓－１３．
６．作函数狔＝狓－１
狓＋２的大致图像．
　犅组
１．填空：
（１）幂函数狔＝狓狀（狀＋１）（狀为正整数）的图像一定经过　　　　象限．
（２）若幂函数狔＝狓狊在０＜狓＜１时的图像位于直线狔＝狓的上方，则狊的取值范
围是　　　　．
２．下列命题中正确的是
（　　）
Ａ．当狀＝０时，函数狔＝狓狀的图像是一条直线
Ｂ．幂函数狔＝狓犪的图像都经过（０，０）和（１，１）两个点
Ｃ．若函数狔＝狓狀的图像关于原点成中心对称，则狔＝狓狀在定义域上严格递增
Ｄ．幂函数的图像不可能在第四象限
３．写出一个图像经过第一、第二象限但不经过原点的幂函数的解析式．
４．已知函数狔＝犪狓＋１
狓＋２，犪∈犣．问：是否存在整数犪，使该函数在狓∈［－１，＋∞）上严格
递减，并且函数值不恒为负？若存在，找出一个满足此条件的犪；若不存在，请说明理由．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
８８　
４．２　指数函数
１指数函数的图像与性质（１）
研究这样一个问题：一张纸对折一次，由１层变为２层，再对
折一次由２层变为４层，……对折狓次后，层数狔与折叠次数狓
的函数关系为狔＝２狓．
将幂的底数犪固定，指数用变量狓代替，研究幂犪狓随狓变化
而变化的规律，即用
狔＝犪狓
来描述狔与狓之间的关系，就得到指数函数．
这里首先要假设犪＞０，以保证对所有的实数狓，犪狓都有意
义．还要假设犪≠１，因为如果犪＝１，犪狓就恒等于１，这种极为特殊
的情况不必专门研究．
　　定义　当底数犪固定，且犪＞０，犪≠１时，等式
狔＝犪狓
确定了变量狔随变量狓变化的规律，称为底为犪的指数函
数（ｅｘｐｏｎｅｎｔｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
因为对所有实数狓，犪狓都是有意义的，所以指数函数的定义
域是全体实数．
例１　若指数函数狔＝犪狓（犪＞０，犪≠１）的图像经过
点（２，９），求该指数函数的解析式．
解　因为指数函数狔＝犪狓（犪＞０，犪≠１）的图像经过点（２，９），
所以９＝犪２（犪＞０，犪≠１），解得犪＝３，因此该指数函数的解析式为
狔＝３狓．
例２　分别描绘指数函数狔＝２狓及狔＝３狓的大致图像．
解　先在相应的图像上取一些特殊的点．
由２－２＝１４，２－１＝１２，２０＝１，２１＝２，２２＝４，可知指数函数
　　规定指数函数底
犪＞０，犪≠１．
４．２　　　指数函数
８９　
狔＝２狓的图像必过下面的点：
（－２，１４），（－１，１２），（０，１），（１，２），（２，４）．
再使用计算器多采集一些点，可以粗略地绘出其图像．
由３－２＝１９，３－１＝１３，３０＝１，３１＝３，３２＝９，可知指数函数
狔＝３狓的图像必经过下面的点：
（－２，１９），（－１，１３），（０，１），（１，３），（２，９）．
再使用计算器多采集一些点，可以粗略地绘出其图像．
我们把这两个图像放在同一个平面直角坐标系中以便观察比
较，见图４２１．
图４２１
例３　描绘指数函数狔＝（１２）
狓的大致图像．
解　由（１２）
－２＝４，（１２）
－１＝２，（１２）
０＝１，（１２）
１＝１２，
（１２）
２＝１４，可知指数函数狔＝（１２）
狓的图像必经过下面的点：
（－２，４），（－１，２），（０，１），（１，１２），（２，１４）．
类似地，可以粗略绘出其相应的图像，见图４２２．
图４２２
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
９０　
练习４．２（１）
　　１．判断下列函数哪些是指数函数，哪些是幂函数：
（１）狔＝狓；（２）狔＝狓３；（３）狔＝ｅ狓；（４）狔＝３槡狓；（５）狔＝２－狓；（６）狔＝２狓．
２．求下列函数的定义域：
　　（１）狔＝３狓；
（２）狔＝３
１
狓－２．
３．在同一平面直角坐标系中分别作出下列函数的大致图像：
（１）狔＝４狓；
（２）狔＝（１４）
狓．
２指数函数的图像与性质（２）
由前述两种指数函数的图像可见，它们的图像均在狓轴的
上方．这是因为当犪＞０时，对一切实数狓，犪狓均大于０．因此，我
们有
　　指数函数狔＝犪狓（犪＞０，犪≠１）的函数值恒大于０．
因为犪０＝１，所以指数函数狔＝犪狓的图像均经过点（０，１）．因
此，我们有
　　指数函数狔＝犪狓（犪＞０，犪≠１）的图像都经过定点（０，１）．
由例２和例３可见，指数函数狔＝犪狓的图像可分为两种情况．
（１）犪＞１的情况．此时指数函数狔＝犪狓的图像类似图
４２１中狔＝２狓的图像，当狓＞０时，函数值大于１，其图像在直
线狔＝１上方；而当狓＜０时，函数值小于１且大于０，其图像在直
线狔＝１的下方．
（２）０＜犪＜１的情况．此时指数函数狔＝犪狓的图像类似图
４２２中狔＝（１２）
狓的图像，当狓＞０时，函数值小于１且大于０，
其图像在直线狔＝１的下方；而当狓＜０时，函数值大于１，其图像
在直线狔＝１上方．
这两种情况在同一平面直角坐标系中的图像如图４２３所
示．易见这两个指数函数狔＝２狓与狔＝（１２）
狓的图像关于狔轴
图４２３
４．２　　　指数函数
９１　
对称．一般地说，由指数幂的运算性质
（犪－１）狓＝犪－狓，
容易看到：若（珚狓，珔狔）为指数函数狔＝犪狓图像上的一点，则
（－珚狓，珔狔）必为指数函数狔＝（犪－１）狓图像上的点，反之亦然．由于
（珚狓，珔狔）及（－珚狓，珔狔）两点关于狔轴对称，因此，指数函数狔＝犪狓及
狔＝（犪－１）狓的图像必关于狔轴对称．
观察图４２１中两个指数函数的图像，它们的底都大于１，
图像由左至右是上升的，也就是说，随着自变量狓的不断增大，函
数值狔也不断增大，这点也可以严格证明如下：
当犪＞１时，若狓２＞狓１，则狓２－狓１＞０，由幂的基本不等式有
犪狓２－狓１＞１，
即犪狓２＞犪狓１．此时，称指数函数狔＝犪狓（犪＞１）在犚上是严格递增
的，即随着狓的（严格）增加而（严格）增加．
同理可证：当０＜犪＜１时，指数函数狔＝犪狓在犚上是严格递
减的．因此，我们有
　　当犪＞１时，指数函数狔＝犪狓在犚上严格递增；
当０＜犪＜１时，指数函数狔＝犪狓在犚上严格递减．
指数函数的图像与性质可总结见下表４１：
表４１
狔＝犪狓
犪＞１
０＜犪＜１
图像
图像特征
　（１）图像都在狓轴上方，无限趋近于狓轴，但永不相交．
　（２）过点（０，１）．
　（３）自左至右图像上升．　（３）自左至右图像下降．
函数性质
　（１）定义域为犚，函数值恒正．
　（２）当狓＝０时，狔＝１．
　（３）在犚上严格递增．
　（３）在犚上严格递减．
　　指数函数狔＝犪狓
的图像与指数函数
狔＝（犪－１）狓的图像关于
狔轴对称．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
９２　
例４　利用指数函数的性质，比较下列各题中两个数的
大小．（１）１．７２．５与１．７３；
（２）（３４）
１６与（４３）
－１５；
（３）犪
１２与犪
１３（犪＞０，犪≠１）．
解　（１）由于底犪大于１的指数函数狔＝犪狓在犚上严格递
增，故１．７２．５＜１．７３．
（２）由于（４３）
－１５＝（３４）
１５，且底犪小于１大于０的指数函数
狔＝犪狓在犚上严格递减，故
（３４）
１６＞（４３）
－１５．
（３）当０＜犪＜１时，指数函数狔＝犪狓在犚上严格递减，故
犪
１２＜犪
１３．
当犪＞１时，指数函数狔＝犪狓在犚上严格递增，故犪
１２＞犪
１３．
例５　求下列不等式的解集：
（１）３狓＞１２７；
（２）犪狓２－２狓＋３＞犪６（０＜犪＜１）．
解　（１）将１２７写成３－３，因为指数函数狔＝３狓在犚上严格递
增，所以狓＞－３．故此不等式的解集为（－３，＋∞）．
（２）当０＜犪＜１时，指数函数狔＝犪狓在犚上严格递减，因此，
有狓２－２狓＋３＜６，整理得狓２－２狓－３＜０，解得－１＜狓＜３．故此不
等式的解集为（－１，３）．
练习４．２（２）
　　１．比较下列各题中两个数的大小：
　　（１）１．４０．３与１．４０．４；
（２）０．３１．４与０．３１．５；
（３）犪－３．１４与（１犪）
π，其中犪＞０，犪≠１．
２．已知犿＞狀，且犪犿＜犪狀，求实数犪的取值范围．
３．求下列不等式的解集：
（１）３狓＞３０．５；
（２）０．２狓＜２５．
４．２　　　指数函数
９３　
３指数函数的图像与性质（３）
例６　已知指数函数狔＝犪狓（犪＞１）在区间［１，２］上的最大
值比最小值大犪３，求实数犪的值．
解　当犪＞１时，指数函数狔＝犪狓在区间［１，２］上严格递增．所
以，当狓＝２时，该指数函数取到最大值犪２；当狓＝１时，该指数函
数取到最小值犪．由题意得犪２－犪＝犪３，解得犪＝４３．
指数函数在生产实际和科学研究中有很多应用．银行存款和
贷款、ＧＤＰ的增长、人口增长等都可能涉及指数函数．我们用以下
的例子来体会“指数增长”．
例７　统计资料显示：某物种现有种群数量为犽，若有理想
的外部环境条件，该物种的年平均增长率约为２０％．试建立该物种
的种群数量增长模型，并预测３０年后该物种的种群数量是现有种
群数量的多少倍（精确到个位）．
解　设经过１年后，该种群数量为
　　　　　　　狔１＝犽＋犽·２０％＝犽（１＋２０％）；
经过２年后的种群数量为
　　　　　　　狔２＝犽（１＋２０％）＋犽（１＋２０％）·２０％
＝犽（１＋２０％）２；
　　　　　　　……
以此类推，经过狀年后该种群的数量为狔＝犽（１＋２０％）狀．
当狓＝３０时，该种群数量为狔＝犽（１＋２０％）３０≈２３７犽．
因此，若不加控制，该种群的数量在３０年之后差不多是现在
的２３７倍，从而可能极大地破坏当地生态系统的稳定，这说明指数
函数可以用于预测种群数量，便于及早进行干预．
练习４．２（３）
　　１．已知指数函数狔＝犪狓（０＜犪＜１）在区间［１，２］上的最大值比最小值大犪３，求实
数犪的值．
２．某服装店对原价分别为１７５元和２００元的甲乙两种服装搞促销活动，规定甲
服装每天降价５％，直到其售完为止．乙服装每天降价７％，直到其售完为止．假设两种
服装在１０天内均没有售完，几天后甲服装的售价将高于乙服装的售价？
　　当犪＞１，不仅犪狓
随着狓的增长而增长，
且因为犪狓＋１－犪狓＝
犪狓（犪－１），随着狓的
增长，犪狓增长得越来
越快．这就是所谓的
“指数增长”．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
９４　
习题４．２　
　
　犃组
　　１．下列函数是指数函数的序号为　　　　（请填入全部正确的序号）．
（１）狔＝（－４）狓；　（２）狔＝（１４）
狓；　（３）狔＝４狓；　（４）狔＝狓－４；　（５）狔＝（槡４）狓．
２．求下列函数的定义域：
（１）狔＝２３－
槡狓；
（２）狔＝０．１
１狓．
３．在同一直角坐标系中作出下列函数的大致图像，并指出这些图像间的关系：
（１）狔＝（３２）
狓；　（２）狔＝（２３）
狓；　（３）狔＝（２３）
狓－１；　（４）狔＝（２３）
狓－１．
４．已知指数函数狔＝（犿－２）狓在犚上严格递减，求实数犿的取值范围．
５．已知犪＞０，犪≠１．假设无论犪取何值，函数狔＝犪２－狓的图像恒经过一个定点，求此定
点的坐标．
６．比较下列各题中两个数的大小：
（１）１．２２．６和１．２２．６１；
（２）０．８－０．２１和０．８－０．２；
（３）（槡３）－１３和（槡３３）
１２；
（４）９１００和３３００．
７．若狓＞０时，指数函数狔＝（犪２－１）狓的值总大于１，求实数犪的取值范围．
８．求下列不等式的解集：
（１）３狓２－２狓＋３＜３２狓；
（２）（１３）
槡狓≤１８１．
９．若指数函数狔＝犪狓（１≤狓≤２）的最大值与最小值之和等于６，求实数犪的值．
１０．某公司去年购置平板电脑５０台，并计划从今年起，新购置的平板电脑数将按每年
５％的比例增长．求从今年起的第１０年新购置的平板电脑数（精确到１台）．
　犅组
１．函数狔＝犪狓（犪＞０，犪≠１）和狔＝犪（狓＋１）的图像关系只可能是
（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（第１题）
４．２　　　指数函数
９５　
　（第２题）
２．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积狔（平方米）与时
间狋（月）的关系：狔＝犪狋（犪＞０，犪≠１）．以下叙述：
（１）这个指数函数的底数是２；
（２）第５个月时，浮萍的面积就会超过３０平方米；
（３）浮萍面积从４平方米到１２平方米需要经过１．５个月；
（４）浮萍每个月增加的面积都相等．
其中，正确命题的序号是
（　　）
Ａ．（１）（２）（３）
Ｂ．（１）（２）（３）（４）
Ｃ．（２）（３）（４）
Ｄ．（１）（２）
３．已知函数狔＝５狓＋１＋犿的图像不经过第二象限，求实数犿的取值范围．
４．若－１＜狓＜０，比较３狓，３－狓及３２狓的大小．
５．已知狔１＝犪狓２＋２狓＋１，狔２＝犪２狓２－３狓＋１（犪＞０，犪≠１），讨论：当狓为何值时，狔１＜狔２？
６．若关于狓的方程２犪＝｜２狓－１｜有且仅有２个解，求实数犪的取值范围．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
９６　
４．３　对数函数
１对数函数的图像与性质（１）
我们已经学过幂函数及指数函数．本节我们将利用对数来引
入对数函数．
前面我们已经知道什么是正数犖以犪为底的对数ｌｏｇ犪犖，其
中犪＞０，犪≠１．
现在，将对数的底犪固定，而将真数犖用变量狓代替，以研究
对数的值ｌｏｇ犪狓随狓变化而变化的规律．用
狔＝ｌｏｇ犪狓
来描述狔与狓的关系就是对数函数．
　　定义　当犪固定，且犪＞０，犪≠１时，狓以犪为底的对数
狔＝ｌｏｇ犪狓
确定了变量狔随变量狓变化的规律，称为底为犪的对数函
数（ｌｏｇａｒｉｔｈｍｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
因为只有当狓＞０时ｌｏｇ犪狓才有意义，所以对数函数的定义域
是正实数的全体．
例１　求下列函数的定义域．
（１）狔＝ｌｏｇ２（狓－１）；
（２）狔＝ｌｏｇ犪（狓２－４狓－５）（犪＞０，犪≠１）．
解　（１）当狓－１＞０，即狓＞１时，该函数才有意义，所以该函
数的定义域是（１，＋∞）．
（２）当狓２－４狓－５＞０时，该函数才有意义，而
狓２－４狓－５＝（狓＋１）（狓－５），
不等式狓２－４狓－５＞０的解是狓＜－１或狓＞５，因此该函数的定
义域是
（－∞，－１）∪（５，＋∞）．
前面已经看到，函数图像是直观理解变量间关系的一个重要
手段．下面我们来考察对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图像及其性质，这里
　　规定对数函数的
底犪＞０，犪≠１．
４．３　　　对数函数
９７　
总假设犪＞０，犪≠１．
在平面直角坐标系中把满足狔＝ｌｏｇ犪狓的一切点（狓，狔）描绘
出来就构成对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图像．像以前学习过的其他函数
一样，对数函数的图像也是一条曲线．
例２　分别描绘对数函数狔＝ｌｏｇ２狓及狔＝ｌｏｇ３狓的大致图像．
解　先取此图像上的一些特别的点，由ｌｏｇ２１＝０，ｌｏｇ２２＝１，
ｌｏｇ２１２＝－１，ｌｏｇ２４＝２，ｌｏｇ２１４＝－２，所以对数函数狔＝ｌｏｇ２狓
的图像必经过下面的点：
（１４，－２），（１２，－１），（１，０），（２，１），（４，２）．
再使用计算器多采集一些点，就可以粗略地绘出其图像．
因为ｌｏｇ３１９＝－２，ｌｏｇ３１３＝－１，ｌｏｇ３１＝０，ｌｏｇ３３＝１，
ｌｏｇ３９＝２，所以对数函数狔＝ｌｏｇ３狓的图像必经过点：
（１９，－２），（１３，－１），（１，０），（３，１），（９，２）．
再多采集一些点，就可以粗略地绘出其图像．
我们把这两个图像放在同一个图上以便观察比较，见图４３１．
图４３１
例３　描绘狔＝ｌｏｇ１２狓的大致图像．
解　因为ｌｏｇ１２１４＝２，ｌｏｇ１２１２＝１，ｌｏｇ１２１＝０，ｌｏｇ１２２＝－１，
ｌｏｇ１２４＝－２，所以该函数的图像经过下面的点：
（１４，２），（１２，１），（１，０），（２，－１），（４，－２）．
类似地，可以粗略地描出其相应的图像，见图４３２．
图４３２
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
９８　
练习４．３（１）
　　１．若对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，犪≠１）的图像经过点（４，２），求此对数函数的解
析式．２．求下列函数的定义域：
（１）狔＝ｌｏｇ２２＋狓
１－狓；
（２）狔＝ｌｏｇ犪（４－狓２）（犪＞０，犪≠１）．
３．在同一平面直角坐标系中作出狔＝ｌｇ狓，狔＝ｌｏｇ０．１狓，狔＝ｌｇ（狓＋１）的大致图像．
２对数函数的图像与性质（２）
由上述，对数函数的图像可分为两种情况：
（１）犪＞１的情况．此时，对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图像类似图
４３１中狔＝ｌｏｇ２狓的图像．当狓＞１时，函数值大于零，其图像在
狓轴上方；而当０＜狓＜１时，函数值小于零，其图像在狓轴下方．
（２）０＜犪＜１的情况．此时，对数函数图像类似图４３２中
狔＝ｌｏｇ１２狓的图像．当狓＞１时，函数值小于零，其图像在狓轴下方；
当０＜狓＜１时，函数值大于零，其图像在狓轴上方．
这两种情况下的图像可见图４３３中两个对数函数
狔＝ｌｏｇ２狓与狔＝ｌｏｇ１２狓的图像．它们看上去关于狓轴对称，实际上
也的确如此．事实上，由换底公式
ｌｏｇ犪狓＝－ｌｏｇ犪－１狓
可得，在０＜犪＜１时，底犪小于１的对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓与底犪－１
大于１的对数函数狔＝ｌｏｇ犪－１狓恰相差一个符号，它们的图像关于
狓轴对称．
图４３３
因为犪０＝１或者ｌｏｇ犪１＝０，所有指数函数狔＝犪狓的图像均经
过点（０，１），而所有对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图像均经过点（１，０）．因
　　函数狔＝ｌｏｇ犪狓的
图像与狔＝ｌｏｇ犪－１狓的
图像关于狓轴对称．
４．３　　　对数函数
９９　
此，我们有
　　对数函数的图像总是经过点（１，０）．
因为狔＝ｌｏｇ犪狓是犪狔＝狓的解，所以说对数运算是指数运算的
一种逆运算．作为函数，称对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓是指数函数狔＝犪狓
的反函数．
指数函数狔＝犪狓的图像与其反函数即对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的
图像之间有什么关系呢？它们的关系是：对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图
像与指数函数狔＝犪狓的图像关于直线狔＝狓是对称的．这就是说，
对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图像关于直线狔＝狓反射后得到的图像就是
指数函数狔＝犪狓的图像．事实上，若点（珚狓，珔狔）在对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓
的图像上，就有珔狔＝ｌｏｇ犪珚狓，即珚狓＝犪珔狔．而点（珚狓，珔狔）关于直线狔＝狓的
对称点就是（珔狔，珚狓），由于珚狓＝犪珔狔，（珔狔，珚狓）必落在指数函数狔＝犪狓的
图像上．反之亦然．参见图４３４．
　　
图４３４
观察图４３１中的两个对数函数图像，它们的底都大于１，
且都是递增的，即在自变量狓增加时，函数值狔也增加．这点在理
论上也可以证明．为此，先证明下面的定理．
　　定理　当犪＞１，犖＞１时，成立ｌｏｇ犪犖＞０．
证明　用反证法，如果狓＝ｌｏｇ犪犖≤０，由指数的性质，就可得
犖＝犪狓≤１，与犖＞１矛盾．
　　对数函数单调性　当犪＞１时，对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓在
（０，＋∞）上严格递增；当０＜犪＜１时，对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓在
（０，＋∞）上严格递减．
　　指数函数狔＝犪狓
的图像与其反函数对
数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图
像关于直线狔＝狓对
称．
　　此定理又称为对
数的基本不等式．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
１００　
证明　当犪＞１时，如果狓２＞狓１＞０，那么狓２狓１＞１，由上面的定
理可得
ｌｏｇ犪狓２狓１＞０，
即ｌｏｇ犪狓２＞ｌｏｇ犪狓１．这说明对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓严格递增，即狔随着
狓的（严格）增加而（严格）增加．
当０＜犪＜１时的结论，其证明留作课后练习．
关于对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图像与性质的总结见表４３．
表４３
狔＝ｌｏｇ犪狓
犪＞１
０＜犪＜１
图像
图像特征
　（１）图像都在狔轴右侧，无限趋近于狔轴，但永不相交．
　（２）过点（１，０）．
　（３）自左至右图像上升．　（３）自左至右图像下降．
函数性质
　（１）定义域为（０，＋∞）．
　（２）当狓＝１时，狔＝０．
　（３）在（０，＋∞）上严格递增．　（３）在（０，＋∞）上严格递减．
例４　利用对数函数的单调性，比较下列各题中两个值的
大小．
（１）ｌｏｇ２５与ｌｏｇ２６；
（２）ｌｏｇ犪０．１与ｌｏｇ犪０．２；
（３）ｌｏｇ５７与ｌｏｇ６７．
解　（１）由于犪＞１的对数函数是严格递增的，所以
ｌｏｇ２５＜ｌｏｇ２６．
（２）当０＜犪＜１时，对数函数严格递减，故ｌｏｇ犪０．１＞ｌｏｇ犪０．２；
而当犪＞１时，对数函数严格递增，故ｌｏｇ犪０．１＜ｌｏｇ犪０．２．
（３）需要换成同底的对数之后才易于进行比较．由换底公
４．３　　　对数函数
１０１
　
式，得
ｌｏｇ５７＝１
ｌｏｇ７５，ｌｏｇ６７＝１
ｌｏｇ７６，
由ｌｏｇ７６＞ｌｏｇ７５＞０，故ｌｏｇ５７＞ｌｏｇ６７．
例５　比较８９９９与９９８９的大小．
解　取以１０为底的对数，由对数函数单调性，只需要比较两
个对数ｌｇ８９９９＝９９ｌｇ８９与ｌｇ９９８９＝８９ｌｇ９９的大小就足够了．由计算
器得９９ｌｇ８９≈１９２．９９，８９ｌｇ９９≈１７７．６１，因为
１９２．９９＞１７７．６１，
所以
８９９９＞９９８９．
练习４．３（２）
　　１．已知犪＞０，犪≠１，假设无论犪取何值，函数狔＝ｌｏｇ犪（狓－１）的图像必经过一个
定点，求此点的坐标．
２．利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
（１）ｌｏｇ０．２３和ｌｏｇ０．２６；
（２）ｌｏｇ０．２３和ｌｏｇ０．３３．
３．设０＜犪＜１，证明：当狓＞０时，对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓在（０，＋∞）内严格递减．
３对数函数的图像与性质（３）
例６　试利用对数函数单调性来估算对数ｌｏｇ２３的第一位
小数的值．
解　因为２１＝２＜３＜４＝２２，由对数函数单调性，所以
１＜ｌｏｇ２３＜２．
又因为９＞８，即３＞２槡２＝２１．５，再次由对数函数单调性，得
ｌｏｇ２３＞１．５．
现在比较ｌｏｇ２３与１．６．这等价于比较３与２１．６＝２
８５，即比较３５与
２８．由于３５＝２４３＜２５６＝２８，所以３＜２１．６，再由对数函数单调性得
ｌｏｇ２３＜１．６．
最后我们得到
１．５＜ｌｏｇ２３＜１．６．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
１０２　
因此ｌｏｇ２３的第一位小数是５．
从这个例子可以看出估算对数的更多位精确小数的困难
程度．
例７　如果不考虑空气阻力，火箭的最大速度狏（ｋｍ／ｓ）和
燃料的质量犕（ｋｇ）、火箭（除燃料外）的质量犿（ｋｇ）之间的关系是
狏＝２ｌｎ（１＋犕犿），
这里ｌｎ表示以ｅ为底的自然对数．问当燃料质量是火箭质量的多
少倍时，火箭的最大速度能达到８ｋｍ／ｓ．（精确到０．１倍）
解　根据题意，得
２ｌｎ（１＋犕狀）＝８，
ｌｎ（１＋犕狀）＝４，
１＋犕狀＝ｅ４，
犕狀＝ｅ４－１≈５４．６－１＝５３．６（倍）．
因此，当燃料质量是火箭质量的５３．６倍时，火箭的最大速度
能达到８ｋｍ／ｓ．
例８　现在我们可以回答３．２节一开始提出的问题：在年
利率为５％，且按年计复利的条件下，１万元钱存多少年会超过
５万元？
解　问题是要找到一个最小的整数狀，使得
（１＋０．０５）狀＞５．
这等价于狀＞ｌｏｇ１．０５５．用计算器求精确到五位小数的常用对数值，
可得ｌｇ５≈０．６９８９７，ｌｇ１．０５≈０．０２１１９，因此，由换底公式可得
ｌｏｇ１．０５５＝ｌｇ５
ｌｇ１．０５≈０．６９８９７
０．０２１１９≈３２．９８５８４，
因此存３３年会超过５万元．
最后，对数的换底公式从函数的角度看，说的是两个具有不同
底的对数函数实际上只相差一个常数倍．事实上，设犪、犫都是不等
于１的正数，那么以犪为底的对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓和以犫为底的对
数函数狔＝ｌｏｇ犫狓仅相差一个常数倍，即
ｌｏｇ犫狓＝１
ｌｏｇ犪犫ｌｏｇ犪狓，狓＞０．
　　对数符号中含有
未知数的方程叫做对
数方程．
４．３　　　对数函数
１０３
　
其中，因为ｌｏｇ犪犫不包含自变量狓，在自变量狓的变化过程中是不
变的，称为常量．例如，
ｌｇ狓＝１
ｌｏｇ２１０ｌｏｇ２狓，
它们的图像比较可参见图４３５．
图４３５
练习４．３（３）
　　１．动物死亡后，体内１４Ｃ的含量每年衰减０．０１２％，设在动物死亡的时刻狋＝０
时，１４Ｃ的含量为１００％．
（１）写出１４Ｃ的含量狔随时间狋变化的函数解析式；
（２）问经过多少年，１４Ｃ的含量是原来的９０％．
２．试利用对数函数的单调性来估算对数ｌｏｇ２５的第一位小数的值．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
１０４　
习题４．３　
　
　犃组
　　１．求下列函数的定义域：
（１）狔＝ｌｏｇ犪（狓＋１２）（犪＞０，犪≠１）；
（２）狔＝ｌｏｇ１３３－２狓－狓
槡
２；
（３）狔＝ｌｏｇ２
１
狓２－２狓＋５．
２．已知对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，犪≠１）的图像经过点（３，２）．若点犘（犫，４）为此函数图
像上的点，求犫的值．
３．在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图像，并指出这些图像之间的关系．
（１）狔＝ｌｏｇ３狓；
（２）狔＝ｌｏｇ１３狓；
（３）狔＝（１３）
狓；
（４）狔＝ｌｏｇ１３狓＋１．
４．已知犪＞０，犪≠１，且无论犪取何值，函数狔＝ｌｏｇ犪狓－１的图像必经过一个定点，求此
点的坐标．
５．根据下列不等式，确定底数犪的取值范围：
（１）ｌｏｇ犪０．２＜ｌｏｇ犪０．１；
（２）ｌｏｇ犪π＞ｌｏｇ犪ｅ；
（３）ｌｏｇ犪３＜０．
６．已知下列不等式，比较正数犿、狀的大小：
（１）ｌｏｇ３犿＜ｌｏｇ３狀；
（２）ｌｏｇ犪犿＜ｌｏｇ犪狀（犪＞０，犪≠１）；
（３）ｌｏｇ犿犖＜ｌｏｇ狀犖（０＜犿＜１，０＜狀＜１，０＜犖＜１）．
７．已知狔＝ｌｏｇ犪２－１狓在（０，＋∞）内是严格递减，求实数犪的取值范围．
８．若狓＞１时，对数函数狔＝ｌｏｇ２犪＋１狓的值总大于０，求实数犪的取值范围．
９．已知对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞１）在区间［１，２］上的最大值比最小值大１，求犪的值．
１０．某种放射物质不断衰变，每经过一年所剩留的物质是原来的４５．设现有该放射物质
的含量为犪，问经过多少年其剩留量是原来的一半．
１１．对数视力表是根据视角的原理设计的．所谓视角就是由物体边缘上的两点在眼结点
处所形成的夹角，用α表示，其单位为分．视力表是以１′视角为单位设计的．我国视力的记录
采用“５分记录”，就是以５减去视角的常用对数值来表达视力犔，即满足犔＝５－ｌｇα．
（１）如果规定能分辨１′视角的视力为正常标准视力，那么采用“５分记录”，其视力记录
值为多少？
（２）在标准距离处，若远视力表最大视标（Ｅ）的视角为１０′，最小视标（Ｅ）的视角为
０．５０１′，求其直接可测的视力范围．（精确到０．１）
４．３　　　对数函数
１０５
　
　犅组
１．若犪＞犫＞犮＞１，则下列不等式中错误的是　　　　（填写所有错误的不等式的序号）．
（１）ｌｏｇ犪犫＞ｌｏｇ犪犮；　（２）ｌｏｇ犪１犫＞ｌｏｇ犪１犮；　（３）ｌｏｇ１犪犫＞ｌｏｇ１犪犮；　（４）ｌｏｇ１犪１犫＞ｌｏｇ１犪１犮．
２．求函数狔＝ｌｏｇ犪（犪－犪狓）（犪＞０，犪≠１）的定义域．
３．比较ｌｇ２狓，ｌｇ狓２及ｌｇ（ｌｇ狓）的大小，其中１＜狓＜１０．
４．设０＜犪＜１，已知对数函数狔１＝ｌｏｇ犪（４狓２－１）及狔２＝ｌｏｇ犪（－２狓２＋狓＋１），若
狔１＜狔２，求实数狓的取值范围．
５．比较２２２３与２３２２的大小．
６．已知关于狓的方程犫２（ｌｏｇ２狓）２＝１０ｌｏｇ２狓有两个不同的整数解，求出其整数解，并写
出实数犫的最大值．
７．如果２３７Ｕ在不断的裂变中，每天所剩留质量与前一天剩留质量相比，按同一比例减
少，且经过７天裂变，剩余的质量是原来的５０％．计算要经过多少天裂变，其剩留质量才小于
原来的１０％．
探究与实践　
　
我们已经知道，如果指数函数的底犪大于１，当自变量狓增加时，指数函数狔＝犪狓增长
得非常快，称为指数增长．类似地，可以分析底犪大于１的对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓的增长速度．
（１）计算函数狔＝０．０１狓和狔＝ｌｇ狓当狓＝１０２，１０４，１０６，１０８，１０１０时的值，并由此比较两
个函数的增长速度．
（２）计算函数狔＝狓０．１和狔＝ｌｇ狓当狓＝１０１０，１０２０，１０５０，１０１００，１０２００时的值，并由此比较
两个函数的增长速度．
通过上述比较，你对对数函数的增长速度有何体会？
课后阅读　
　
航天之父、俄罗斯科学家齐奥科夫斯基（Ｋ．Ｅ．Ｔｓｉｏｌｋｏｖｓｋｙ）于１９０３年给出火箭速度的
计算公式
狏＝犞ｌｎ犿０＋犕
犿０，
其中犞是燃料相对于火箭的喷射速度，犕是燃料的质量，犿０是火箭（除去燃料）的质量，狏
是火箭将燃料喷射完之后达到的速度．可以看出狏与犕是对数函数的关系，由于对数函数
增长速度很慢，通过大量增加燃料（即增加犕犿０）难以达到航天器绕地球运行所需要的第一宇
宙速度，据此他又提出了采用多级火箭发射航天器的设想．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
１０６　
本章内容提要　
　
１．幂函数狔＝狓犪的定义域由指数犪决定．随着指数犪的不同，幂函数的定义域是不同
的．特别地，当指数犪取有理数犿狀时（狀为正整数，犿为整数），幂函数狔＝狓犪的定义域是使得
根式狀狓槡犿有意义的狓的全体．
２．幂函数狔＝狓犪有单调性：当犪＞０时，它在（０，＋∞）上严格递增；而当犪＜０时，它在
（０，＋∞）上严格递减．
３．指数函数狔＝犪狓（犪＞０，犪≠１）的定义域是全体实数．
４．指数函数狔＝犪狓（犪＞０，犪≠１）有单调性；当犪＞１时，它在犚上严格递增；而当
０＜犪＜１时，它在犚上严格递减．
５．对数函数狔＝犾狅犵犪狓的定义域是正数全体．
６．对数函数狔＝犾狅犵犪狓有单调性：当犪＞１时，它在（０，＋∞）上严格递增；而当０＜犪＜１
时，它在（０，＋∞）上严格递减．
本章复习题
１０７
　
本章复习题　
　
　犃组
１．填空：
（１）设点（２，槡２）在幂函数狔＝狓犪的图像上，则该幂函数的解析式为　　　　　　　；
设点（２，槡２）在指数函数狔＝犪狓（犪＞０，犪≠１）的图像上，则该指数函数的解析式为
　　　　　　　；设点（槡２，２）在对数函数狔＝ｌｏｇ犪狓（犪＞０，犪≠１）的图像上，则该对数函数的
解析式为　　　　　　　．
（２）若幂函数狔＝狓犽在区间（０，＋∞）内严格递减，则实数犽的取值范围为　　　　．
（３）已知犪＞０，犪≠１，且无论犪为何值，函数狔＝犪狓－２＋１的图像均经过一个定点，则这
个点的坐标为　　　　．
２．选择题：
（１）若指数函数狔＝犪狓在犚上严格递减，则下列不等式中，一定能成立的是
（　　）
Ａ．犪＞１
Ｂ．犪＜０
Ｃ．犪（犪－１）＜０
Ｄ．犪（犪－１）＞０
（２）在同一平面直角坐标系中，函数狔＝狓＋犪与狔＝ｌｏｇ犪狓的图像关系可能是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（第２（２）题）
３．求下列函数的的定义域．
（１）狔＝（狓－１）５２；
（２）狔＝３狓槡－１；
（３）狔＝ｌｇ１＋狓
１－狓；
（４）狔＝１－６狓２＋狓
槡
－２．
４．比较下列各题中两个值的大小：
（１）０．１０．７与０．２０．７；
（２）０．７０．１与０．７０．２；
（３）ｌｏｇ０．７０．１与ｌｏｇ０．７０．２；
（４）３犪与犪３（０＜犪＜１）．
５．设点（槡２，２）在幂函数狔１＝狓犪的图像上，点（－２，１４）在幂函数狔２＝狓犫的图像上，问
当狓取何值时，狔１＝狔２？
６．设犪＝（２３）
狓，犫＝狓
３２及犮＝ｌｏｇ２３狓，当狓＞１时，试比较犪、犫及犮之间的大小关系．
４
幂函数、
指数函数
与对数函数
１０８　
７．在同一平面直角坐标系中，作出函数狔＝（１２）
狓及狔＝狓
１２的大致图像，并求方程
（１２）
狓＝狓
１２的解的个数．
８．已知函数狔＝ｌｏｇ０．１（狓＋犿）的图像不经过第三象限，求实数犿的取值范围．
９．对函数狔＝ｌｏｇ犪（狓＋１）（犪＞０，犪≠１），已知当狓∈［０，１］时，恰有狔∈［０，１］，求实数犪
的值．１０．如果光线每通过一块玻璃其强度要减少１０％，那么至少需要将多少块这样的玻璃
重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的１３？
　犅组
１．填空：
（１）已知犿∈犣，设函数狔＝狓犿２－４犿的图像关于原点成中心对称，且与狓轴及狔轴均无
交点，则犿的值为　　　　．
（２）若０＜犪＜１，犫＜－１，则函数狔＝犪狓＋犫的图像必定不经过第　　　　象限．
２．选择题：
（１）若犿＞狀＞１，狓∈（０，１），则下列不等式正确的是
（　　）
Ａ．犿狓＜狀狓；
Ｂ．狓犿＜狓狀；
Ｃ．ｌｏｇ狓犿＞ｌｏｇ狓狀；
Ｄ．ｌｏｇ犿狓＜ｌｏｇ狀狓．
（２）二次函数狔＝犪狓２＋犫狓与指数函数狔＝（犫犪）
狓在同一坐标系中的图像的大致关
系为
（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（第２（２）题）
３．若指数函数狔＝（ｌｏｇ犪３５）
狓（０＜犪＜１）在犚上严格递增，求实数犪的取值范围．
４．求满足等式狓＋ｌｇ狓＝２的实数狓的个数，并说明理由．
５．设集合犃＝狓（１２）
狓２－狓－６＞１
烅烄烆
烍烌烎，集合犅＝｛狓｜ｌｏｇ３（狓－１）＜２｝，求犃∪犅．
６．已知集合犃＝狔｜狔＝（１２）
狓，狓∈［－２，０）
烅烄烆
烍烌烎，试用列举法表示集合犅＝｛狔｜狔＝ｌｏｇ３狓，
狓∈犃且狔∈犣｝．
本章复习题
１０９
　
７．某地空气受污染，每立方米空气中首要污染物含量为犿０毫克．经采取措施后，预计每
天每立方米空气中首要污染物含量为前一天的８０％．问
（１）经过２天治理，每立方米空气中首要污染物含量为多少？
（２）经过多少天治理，才能使每立方米空气中首要污染物含量低于原来的一半？
拓展与思考
１．ｌｏｇ２３是有理数吗？请证明你的结论．
２．试仅使用计算器上的四则运算功能，来确定对数ｌｏｇ２３第二位小数的值．
３．古生物的年代常用碳的放射性同位素１４Ｃ的半衰期来测定：在动物体内都含有１４Ｃ，假
设活的动物体内的１４Ｃ含量都是一个常数．动物死亡后，停止了新陈代谢，１４Ｃ不再产生，且
５７３０年后１４Ｃ的含量只有原来的一半，这个时间称为１４Ｃ的半衰期．从这个事实出发，在高等
数学中可以证明：若１４Ｃ的原始含量为犪，则经过狓年后其残余量犫为犫＝犪ｅ－犽狓，其中ｅ为自
然对数之底，而犽为一个正常数．
现测得某地甲骨中１４Ｃ的残余量约占原始含量的６３．８９％，试推算该甲骨距今多少年（精
确到１００年）．
第５章
函数的概念、
性质及应用
　　在初中和上一章中，已学习了一次函数、二
次函数、反比例函数、幂函数、指数函数及对数
函数，这些函数都是用一些事先规定好的运算
法则来刻画的．它们的共同点是有两个变量，当
其中的一个变量在某个范围内变化时，另一个
变量就按照相应的运算法则随之变化．这种一个
变量随着另一个变量的变化而变化的法则，在
数学上就称为函数．在对二次函数、幂函数、指数
函数与对数函数的研究中，已经可以看到不同
的函数间有一些共同的性质，本章将概括有关
函数的一些比较重要的性质，并用严格的数学
语言加以描述．
函数是刻画世间万物之间联系的有力工
具，借助于函数，可以更好地掌握事物的发展规
律，从而深化人们的认识．在这个过程中，数学本
身也经历了从常量到变量、从有限到无限的发
展，从而逐步由初等数学走向高等数学．学好函
数，对进一步地学习之后的一些数学知识，如三
角、微积分等，都是非常必要的．
５
函数的概念、
性质及应用
１１２　
５．１　函数
１函数
在用数学工具解决实际问题的过程中，往往需要同时考察好
几个状态的变化过程，而不仅仅是考察某一个状态．以此为背景，
我们学习了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函
数、指数函数及对数函数，等等．
在这些例子中，都出现了两个处于变化之中的量，其中一个量
之值随另一个量之值的确定而按一定的对应法则唯一确定，从而
随着另一个量在一定范围内的变化而相应地发生变化．由此，我们
可抽象出函数的概念．
　　定义　设犇是一个非空的实数集，且对犇中任意给定
的实数狓，按照某种对应法则，都有唯一确定的实数值狔与
之对应，则这种对应关系称为集合犇上的一个函数
（ｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作
狔＝犳（狓），狓∈犇．
其中狓叫做自变量（ｉｎｄｅｐｅｎｄｅｎｔｖａｒｉａｂｌｅ），其取值范围（数
集犇）称为该函数的定义域（ｄｏｍａｉｎ）．
对于自变量狓０，由法则犳所确定的狓０所对应的值狔０，称为函
数在狓０处的函数值，记作狔０＝犳（狓０）．
所有函数值组成的集合｛狔｜狔＝犳（狓），狓∈犇｝称为这个函数
的值域．
例如定义域为犚的正比例函数狔＝２狓，其对应法则犳是将一
个实数对应到它的２倍，即犳（狓）＝２狓．当自变量为１时，函数值为
犳（１）＝２×１＝２；当自变量为－３时，函数值为犳（－３）＝２×（－３）
＝－６；当自变量取遍定义域犚时，函数值将取遍实数集犚，因此，
该函数的值域为犚．
又如：定义域为犚的幂函数狔＝狓３，其对应法则犳是将一个
实数对应到它的立方．由第四章中的知识，可知该函数的值域为
　　对应法则常用小
写字母，如犳、犵、犺等
表示．
５．１　　　函数
１１３
　
犚．此外，定义域为犚的指数函数狔＝２狓，其值域为（０，＋∞）；而定
义域为（０，＋∞）的对数函数狔＝ｌｏｇ２狓，其值域为犚．
根据函数的定义，在定义域和对应法则确定的时候，这个函数
就完全被确定了，从而值域也可以随之被确定．因此，定义域和对
应法则被称为函数的两个要素．
在之前学习具体的函数，如幂函数、指数函数及对数函数的时
候，我们往往只注明函数的对应法则，如狔＝狓
１２，狔＝２狓，狔＝ｌｏｇ３狓
等等，而不明显地注明其定义域．此时，函数狔＝犳（狓）的定义域由
使得其解析式犳（狓）有意义的全体实数组成．
例１　求下列函数的定义域：
（１）狔＝１
狓２－１；
（２）狔＝ｌｏｇ２（狓＋１）；
（３）狔＝狓槡＋３
狓－１．
解　（１）定义域犇＝｛狓｜狓２－１≠０｝＝｛狓｜狓≠±１｝；
（２）定义域犇＝｛狓｜狓＋１＞０｝＝（－１，＋∞）；
（３）定义域犇＝｛狓｜狓＋３≥０，狓－１≠０｝＝［－３，１）∪（１，＋∞）．
在实际问题中，有关函数的定义域应该受到问题实际意义的
制约．例如某物体作自由落体运动时，其位移狊关于时间狋的函数
可表示为狊＝１２ｇ狋２，其中的自变量狋就受到０≤狋≤犜的限制（ｇ是
重力加速度，而犜表示下落的总时间）．
除定义域外，函数的另一要素是对应法则．
如果两个函数的定义域和对应法则都完全一致，就称这两个
函数是相同的．
在这个意义下，狔＝狓２（不注明定义域，意味着其定义域为犚）与
狔＝狓２，狓∈［－１，１］就应看成是两个不同的函数，而不应混淆．
需要注意的是，同一个对应法则可能有不同的表述形式．例如
狔＝狓与狔＝（３槡狓）３实际上是相同的．
例２　判断下列函数与函数狔＝狓是否相同，并说明理由：
（１）狔＝（槡狓）２；
（２）狔＝ｌｎｅ狓；
（３）狔＝狓２
狓；
（４）狔＝４狓槡４．
５
函数的概念、
性质及应用
１１４　
解　（１）负数不属于狔＝（槡狓）２的定义域，因此此函数的定
义域与狔＝狓的定义域不同，它与狔＝狓不是相同的函数．
（２）狔＝ｌｎｅ狓＝狓ｌｎｅ＝狓的定义域为犚，并且其对应法则将任
一给定的实数狓０对应到狓０，与狔＝狓的对应法则一致，因此该函
数与狔＝狓是相同的函数．
（３）０不在狔＝狓２
狓的定义域中，因此该函数的定义域与狔＝狓
的定义域不同，从而与狔＝狓不是相同的函数．
（４）狔＝４狓槡４的对应法则将－１对应到了１，而不是－１，它与
狔＝狓的对应法则不同，因此该函数与狔＝狓不是相同的函数．
在上面的例子中，只有狔＝ｌｎｅ狓的对应法则与定义域和狔＝狓
的相同，它们是相同的函数．
根据已经学过的一些简单函数的值域，可以求得稍复杂函数
的值域．
例３　求函数狔＝１
２狓＋１的值域．
解　该函数的定义域为犚．根据指数函数的性质，当狓取遍所
有实数时，２狓的取值范围为（０，＋∞），因而２狓＋１的取值范围为
（１，＋∞）．
又根据反比例函数的性质，当狋＝２狓＋１取遍（１，＋∞）中所有
数时，１狋的取值范围为（０，１）．
因此函数狔＝１
２狓＋１的值域为（０，１）．
练习５．１（１）
　　１．求下列函数的定义域：
　　（１）狔＝（狓－２）（狓＋３
槡
）；
（２）狔＝
１
１－狓槡－１．
２．已知函数狔＝犳（狓）的对应法则是犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪≠０），求犳（－犫２犪）．
３．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是
（　　）
Ａ．狔＝｜狓｜与狔＝（槡狓）２
Ｂ．狔＝狓与狔＝ｅｌｎ狓
Ｃ．狔＝狓与狔＝５狓槡５
Ｄ．狔＝狓与狔＝（１狓）
－１
４．求下列函数的值域：
（１）狔＝（ｌｇ狓）２＋１，狓∈（０，＋∞）；
（２）狔＝３狓２－４狓＋１，狓∈［０，１］．
　　在求函数的值域
时，需要注意两点：一
是要求每个函数值都
在值域中，二是要求值
域中的任何一个值都
是函数值．在实际操作
中，往往容易重视第一
点而忽视第二点，会使
真实的值域并不是所
求的值域，而只是它的
一个真子集，这是不可
取的．
５．１　　　函数
１１５
　
２函数的表示方法
用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表
示函数的方法称为解析法．
例如，狔＝３狓＋２，狔＝狓２＋２狓＋１，狔＝狓２
槡＋１（狓∈［０，１］），
狔＝ｌｏｇ２（２狓－１）等等都是用解析法表示的函数．自由落体运动的
位移狊与时间狋满足狊＝１２ｇ狋２，狋∈［０，犜］（ｇ是重力加速度），这也
是用解析法来表示的函数．
列表法就是通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来
表达函数关系的方法，列表法通常用在定义域为有限集的情况．
例如，表５１列出了２０００年至２０１６年中国的国内生产总
值（ＧＤＰ）．
表５１　２０００年至２０１６年中国ＧＤＰ变化表
年份
ＧＤＰ（亿元）
年份
ＧＤＰ（亿元）
２０００
１００２８０
２００９
３４９０８１
２００１
１１０８６３
２０１０
４１３０３０
２００２
１２１７１７
２０１１
４８９３０１
２００３
１３７４２２
２０１２
５４０３６７
２００４
１６１８４０
２０１３
５９５２４４
２００５
１８７３１９
２０１４
６４３９７４
２００６
２１９４３９
２０１５
６８９０５２
２００７
２７０２３２
２０１６
７４３５８６
２００８
３１９５１６
从上表中可以看出，当自变量年份（２０００至２０１６中的整
数）确定时，可按照表中所给出的对应法则，查到该年度我国的
ＧＤＰ值作为函数值．该函数的定义域为｛２０００，２００１，２００２，…，
２０１６｝，是一个有限集．
我们知道，对于函数狔＝犳（狓），狓∈犇，其定义域犇中每一个
狓的值都有唯一的一个狔值与之对应．把这两个对应的数构成的
有序实数对（狓，狔）作为点犘的坐标，记作犘（狓，狔）．所有这些点组
成的集合犌叫做函数狔＝犳（狓）的图像（ｇｒａｐｈ），即
犌＝｛（狓，狔）｜狔＝犳（狓），狓∈犇｝．
５
函数的概念、
性质及应用
１１６　
可以看出，如果对定义域犇中的实数狓０，有犳（狓０）＝狔０，那么
点犘（狓０，狔０）一定在该函数的图像上；反之，如果点犘（狓０，狔０）在
该函数的图像上，那么必有狓０∈犇，且狔０＝犳（狓０）．
常见的一次函数、二次函数、幂函数、指数函数及对数函数的
图像，已经在初中和上一章中学过了．
图像法就是利用函数的图像来表示函数的方法．
例４　以下各图形中，哪些是函数的图像，哪些不是？
（１）
　　
（２）
（３）
　　
（４）
图５１１
解　（１）这是函数的图像．该函数的定义域是由有限个数构
成的集合，定义域中每个自变量的值对应的函数值唯一确定．
（２）这是函数的图像．该函数的定义域是一个区间［０，狓０］，定
义域中的每个自变量的值所对应的函数值唯一确定．
（３）这不是函数的图像．如图５１２，狓０对应了狔１和狔２．
图５１２
　　需要注意的是，绘
制在纸上的或计算机
屏幕上的函数图像，终
究只是大致图像，它们
无法精确地表示一个
函数．但大致的图像能
够帮助我们直观地了
解函数的性质，从而能
更好地发现和研究有
关函数的性质．“数形
结合”的方法是研究函
数的重要方法之一．
５．１　　　函数
１１７
　
（４）这是函数的图像．该函数的定义域是一个区间［０，狓０］，定
义域中的每个自变量的值所对应的函数值唯一确定．
前文中２０００年至２０１６年中国国内生产总值（ＧＤＰ）关于年份
的函数，也可以用图像法表示如图５１３所示．
图５１３
函数图像上所有点的横坐标的集合就是该函数的定义域，而
纵坐标的集合就是该函数的值域．
在用解析法表示函数时，有一些函数在不同的区间上可以有
不同的表达式，例如函数狔＝｜狓｜就是通过狔＝狓，狓≥０，
－狓，狓＜０
烅烄
烆
来定
义的，这样表示函数的方法叫做分段表示法，它也是一种解析法．
例５　某车辆装配车间每２小时装配完成一辆车．按照计
划，该车间今天生产８小时．试用解析法和图像法分别表示从开始
生产的时刻起所经过的时间狓（时）与装配完成的车辆数狔（辆）之
间的函数狔＝犳（狓）．
解　由题意，当狓∈［０，２）时，狔＝０；当狓∈［２，４）时，狔＝１；当
狓∈［４，６）时，狔＝２；当狓∈［６，８）时，狔＝３，最终当狓＝８时，狔＝４．
可以用如下的分段表示法表示狔与狓之间的函数关系：
狔＝
０，０≤狓＜２，
１，２≤狓＜４，
２，４≤狓＜６，
３，６≤狓＜８，
４，狓＝８．
烅
烄
烆
数学上，常用［狓］表示不大于狓的最大整数．注意到当
２犽≤狓＜２犽＋２（犽∈犣）时，犽≤狓２＜犽＋１，从而狓２
熿燀燄燅＝犽．使用此符
号，上述函数可以简洁地表示为狔＝狓２
熿燀燄燅，狓∈［０，８］．
　　在检验平面直角
坐标系中的一个图形
是否为函数的图像时，
需要注意该图形反映
的对应关系是否符合
函数的定义，即定义域
中的每一个狓的值是
否对应到一个狔的值．
　　用分段表示法表
示一个函数时，其定义
域就是每一部分中狓
的取值范围的并集．
　　不大于狓的最大
整数，称为实数狓的整
数部分．
５
函数的概念、
性质及应用
１１８　
该函数的大致图像如下：
图５１４
练习５．１（２）
　　１．作下列函数的大致图像：
　　（１）狔＝－｜狓｜；
（２）狔＝狓槡＋２；
（３）狔＝１
狓２＋１；
（４）狔＝２狓－１
狓－１．
２．根据图中的函数图像，用解析法表示狔关于狓的函数关系．
（第２题）
５．１　　　函数
１１９
　
习题５．１　
　
　犃组
１．求下列函数的定义域：
　　（１）狔＝
１
狓２＋２狓－３；
（２）狔＝４－３狓－狓
槡
２；
（３）狔＝狓槡－２＋狓槡＋３；
（４）狔＝１
ｌｇ（狓＋２）＋１５－
槡狓
２．设狆、狇是常数，若函数狔＝犳（狓）的表达式为犳（狓）＝狓２＋狆狓＋狇，且犳（１）＝犳（２）＝０，
求犳（－１）的值．
３．下列各组函数中，表示相同函数的是
（　　）
Ａ．狔＝狓２－１
狓＋１与狔＝狓－１
Ｂ．狔＝｜狓｜与狔＝狓，狓≥０，
－狓，狓＜０
烅烄
烆
Ｃ．狔＝狓０与狔＝１
Ｄ．狔＝（槡狓）２与狔＝狓槡２
４．观察下列函数的图像，并写出它们的值域：
（１）
　
（２）
　
（３）
（第４题）
５．下列各图形中，哪些是函数的图像，哪些不是函数的图像？为什么？
（１）
　　　　
（２）
（３）
　　　　
（４）
（第５题）
５
函数的概念、
性质及应用
１２０　
　犅组
１．设犪是常数，求下列函数的定义域：
（１）狔＝１
｜狓｜－犪；
（２）狔＝狓（狓－犪
槡
）．
２．设犪是实数，已知函数狔＝犳（狓）的表达式为犳（狓）＝｜狓－犪｜，且犳（１）＝０．
（１）求犪的值；
（２）比较犳（２）与犳（－３）的大小．
３．已知函数狔＝犳（狓）的表达式为犳（狓）＝２狓（３＋狓），狓≥０，
２狓（３－狓），狓＜０，
烅烄
烆
求犳（２），犳（－４）及
犳（－犪）的值．
５．２　　　函数的基本性质
１２１
　
５．２　函数的基本性质
函数的性质是多种多样的，且不同的函数有不同的性质．
关于一次函数、二次函数、幂函数、指数函数和对数函数，我们
已经接触过很多研究其性质的方法，且已经知道了不少结论．本节
将以此为出发点，概括函数的一些常见的性质．
１函数的奇偶性
在生活中，我们经常遇到对称的图形．拱桥的桥面形成的弧，
就可以视为是轴对称的．如果把桥面抽象成一条曲线，以曲线的最
高点为原点，过原点作一水平直线为狓轴，再过原点作一竖直直线
为狔轴，那么这条由拱桥桥面抽象出的曲线就成为一个函数的图
像，并且该图像的一个特点是关于狔轴成轴对称，见图５２１．
图５２１
在学习二次函数和幂函数时，我们知道，形如狔＝犪狓２＋犮
（犪≠０）的二次函数和幂函数狔＝狓－２３的图像都是关于狔轴成轴对
称的，见图５２２．
狔＝狓２－１
　　　
狔＝狓－２３
图５２２
一个图形关于某条直线犾成轴对称，是指该图形上的任意一
点关于直线犾的对称点也在此图形上．
现在，我们来探究“函数的图像关于狔轴成轴对称”这一条件
的等价表达形式．
　　一个图形关于狔
轴成轴对称时，该图形
上的任一点与其对称
点的坐标有怎样的关
系？
５
函数的概念、
性质及应用
１２２　
在函数狔＝犳（狓），狓∈犇的图像犌上任取一点犘（狓，狔），就有
狓∈犇，并且狔＝犳（狓）．
点犘（狓，狔）关于狔轴的对称点为犘′（－狓，狔）（图５２３）．
如果函数狔＝犳（狓），狓∈犇的图像关于狔轴成轴对称，那么
犘′（－狓，狔）也在图像犌上，即成立
－狓∈犇，并且狔＝犳（－狓）．
这说明，如果函数狔＝犳（狓），狓∈犇的图像关于狔轴成轴对
称，那么对于任意给定的狓∈犇，均成立
－狓∈犇，并且犳（狓）＝犳（－狓）．
反之，如果对于任意给定的狓∈犇，均有－狓∈犇，并且犳（狓）＝
犳（－狓）．那么，函数狔＝犳（狓），狓∈犇的图像上的任一点
犙（狓０，狔０），这里狓０∈犇，它关于狔轴的对称点犙′（－狓０，狔０），由于
满足－狓０∈犇，并且狔０＝犳（－狓０），也必在此函数的图像上，因此
该函数的图像是关于狔轴成轴对称的图形．
总结一下，就得到下述关于偶函数的定义：
　　定义　对于函数狔＝犳（狓），如果对于其定义域犇中
任意给定的实数狓，都有犳（－狓）＝犳（狓），就称函数
狔＝犳（狓）为偶函数（ｅｖｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
根据上述推导及定义，从图形的角度来看，偶函数就是其图像
关于狔轴成轴对称的函数．
根据上述性质，如果要得到偶函数狔＝犳（狓）的图像，只需要
获得其在定义域中狓≥０（或狓≤０）部分的图像就可以了．同理，为
了研究偶函数的性质，也只要研究其在定义域中狓≥０（或狓≤０）部
分的性质就可以了．
例１　求证：函数犳（狓）＝２狓４－３狓２是一个偶函数．
证明　函数犳（狓）＝２狓４－３狓２的定义域为犚．
在犚中任取一个实数狓，都有－狓∈犚，并且
犳（－狓）＝２（－狓）４－３（－狓）２＝２狓４－３狓２＝犳（狓）．
因此犳（狓）＝２狓４－３狓２是一个偶函数．
除了轴对称外，中心对称也是平面上非常重要的一类对称关
系．一个图形关于某个点犘成中心对称，是指该图形上的任意一点
关于点犘的对称点也在此图形上．
函数狔＝狓３的图像就关于原点成中心对称．相应地，类似于偶
函数，我们把满足以下条件的函数称为奇函数．
　　定义　对于函数狔＝犳（狓），如果对于其定义域犇中的
任意给定的实数狓，都有犳（－狓）＝－犳（狓），就称这个函数
狔＝犳（狓）为奇函数（ｏｄｄｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
图５２３
　　等式犳（－狓）＝
犳（狓）蕴涵了－狓也属
于定义域犇，“对定义
域犇中任意给定的实
数狓，都有－狓∈犇”这
一条件，也可称为“定
义域犇关于原点对
称”．
　　与偶函数的定义
类似，等式犳（－狓）
＝－犳（狓）蕴涵了－狓
属于定义域犇．
５．２　　　函数的基本性质
１２３
　
类似于偶函数图像性质的推导，可以知道，奇函数就是图像关
于原点中心对称的函数．并且，已知奇函数在其定义域中狓≥０（或
狓≤０）部分的图像（或性质），可以推导出其另一部分的图像（或性
质）．
例２　求证：犳（狓）＝狓３－１狓是一个奇函数．
证明　函数犳（狓）＝狓３－１狓的定义域为犇＝｛狓｜狓≠０｝．
在犇中任取一个实数狓，都有－狓≠０，因此－狓∈犇，并且
犳（－狓）＝（－狓）３－１－狓＝－（狓３－１狓）＝－犳（狓）．
因此犳（狓）＝狓３－１狓是一个奇函数．
例３　是否存在定义在犚上的，且既是奇函数又是偶函数
的函数？若存在，求出所有满足此条件的函数；若不存在，说明
理由．解　这样的函数是存在的，函数狔＝０，狓∈犚就是一个满足这
些条件的函数．
事实上，设满足这些条件的函数为狔＝犳（狓），对任一给定的
实数狓０，因该函数是奇函数，故犳（－狓０）＝－犳（狓０）；另一方面，
因该函数是偶函数，故犳（－狓０）＝犳（狓０）．因此犳（狓０）＝－犳（狓０），
即犳（狓０）＝０．所以这样的函数只有一个，即狔＝０，狓∈犚．
练习５．２（１）
　　１．奇函数的图像是不是一定通过原点？偶函数的图像是不是一定与狔轴相交？
举例说明．
２．如图，已知偶函数狔＝犳（狓）在狔轴及其一侧的部分图像，试作出狔＝犳（狓）的
大致图像．
（１）
（２）
（第２题）
３．求证下列函数是奇函数：
　　（１）狔＝２狓－２－狓；
（２）狔＝ｌｏｇ２（１＋狓）－ｌｏｇ２（１－狓）．
　　根据奇函数的图
像特征，你能从已学的
函数（如一次函数、幂
函数）中，列举出几个
奇函数吗？
５
函数的概念、
性质及应用
１２４　
　　在判断一个比较复杂的函数的奇偶性的时候，往往采取“先猜
后证”的方法．
例４　判断下列函数的奇偶性：
（１）犳（狓）＝（狓－１）２，狓∈犚；
（２）犵（狓）＝狓（狓＋１），狓＞０，
狓（１－狓），狓＜０．
烅烄
烆
解　（１）因犳（１）＝０，而犳（－１）＝４，两者不相等，故狔＝
犳（狓）不是偶函数；又因为犳（１）≠－犳（－１），故狔＝犳（狓）亦不是
奇函数．
综上所述，函数犳（狓）＝（狓－１）２既不是奇函数，又不是偶函数．
（２）经试验，发现
犵（１）＝２＝－犵（－１），犵（１０）＝１１０＝－犵（－１０），
等等，猜测
獉獉狔＝犵（狓）可能是奇函数．
该函数的定义域为｛狓｜狓≠０｝．
对任一给定的狓＞０，犵（狓）＝狓（狓＋１）．因－狓＜０，故
犵（－狓）＝（－狓）［１－（－狓）］＝－狓（１＋狓）＝－犵（狓）．
而对任一给定的狓＜０，犵（狓）＝狓（１－狓）．因－狓＞０，故
犵（－狓）＝（－狓）（１＋（－狓））＝－狓（１－狓）＝－犵（狓）．
综上所述，狔＝犵（狓）确实是奇函数．
例５　是否存在正实数犪，使函数犳（狓）＝犪狓＋１
２狓是偶函数？
解　由犳（１）＝１＋犪
２，犳（－１）＝２犪＋２，若狔＝犳（狓）是偶函
数，就应有１＋犪
２＝２犪＋２．解这个方程，得犪＝－１（舍）或犪＝４．
因此狔＝犳（狓）是偶函数的一个必要条件
獉獉獉獉是犪＝４．
另一方面，当犪＝４时，犳（狓）＝４狓＋１
２狓＝２狓＋２－狓，其定义域为
犚．对任一给定的狓∈犚，都有－狓∈犚，并且
犳（－狓）＝２－狓＋２－（－狓）＝２－狓＋２狓＝犳（狓）．
因此当犪＝４时，狔＝犳（狓）是偶函数．
综上所述，满足条件的正实数犪存在．
例６　已知函数狔＝犳（狓），狓∈犚，且当狓≥０时，
犳（狓）＝２狓３＋２狓－１．
（１）若函数狔＝犳（狓）是偶函数，求犳（－２）．
（２）狔＝犳（狓）是否可能是奇函数？若可能，求犳（狓）；若不可
能，说明理由．
　　也可以将狔＝犵（狓）
表示为狔＝狓（１＋｜狓｜），
狓≠０．以此证明该函数
是奇函数．
５．２　　　函数的基本性质
１２５
　
解　（１）若狔＝犳（狓）是偶函数，应有犳（－２）＝犳（２）．而由于
２≥０，犳（２）＝２×２３＋２２－１＝１９，因此犳（－２）＝１９．
（２）若狔＝犳（狓）是奇函数，当狓＜０时，应有
犳（狓）＝－犳（－狓）＝－［２（－狓）３＋２－狓－１］＝２狓３－２－狓＋１．
此外，当狓＝０时，显然有犳（狓）＝０＝－犳（－狓）．
因此，狔＝犳（狓）可能是奇函数，此时
犳（狓）＝２狓３＋２狓－１，狓≥０，
２狓３－２－狓＋１，狓＜０．
烅烄
烆
练习５．２（２）
　　１．判断下列函数的奇偶性：
　　（１）犳（狓）＝｜狓｜；
（２）犵（狓）＝１
１＋狓－１
１－狓；
（３）犺（狓）＝狓２－狓，狓∈［－３，３）；
（４）狕（狓）＝０，狓∈［－１，１］．
２．已知定义在犚上的函数狔＝犳（狓）的表达式为犳（狓）＝｜狓－犪｜．
（１）是否存在实数犪，使得狔＝犳（狓）是奇函数？说明理由．
（２）是否存在实数犪，使得狔＝犳（狓）是偶函数？说明理由．
２函数的单调性
在现实生活中，有不少在一定范围内随着时间的增加而增加
（或减少）的量．如自由落体运动的位移狊＝１２ｇ狋２，狋∈［０，犜］就是如
此．将位移狊关于时间狋的图像作出，如图５２４所示．
从图像上看，随着时间的增大，位移的确随之增大．这就是一
种单调现象．
在学习指数函数及对数函数时，我们已经了解到如下的事实：
当犪＞１时，函数狔＝犪狓与函数狔＝ｌｏｇ犪狓的图像都表现出
“狔随狓的增大而增大”的趋势；而当０＜犪＜１时，函数狔＝犪狓与函
数狔＝ｌｏｇ犪狓的图像却都表现出“狔随狓的增大而减小”的趋势．
图像上这样的趋势在函数性质的研究中被称为单调性，它是
函数重要的性质之一．借助于单调性，就能够更好地掌握函数值的
变化规律．
借助指数和对数运算的性质，第四章中已经证明了，当犪＞１
时，若狓１＞狓２，则成立犪狓１＞犪狓２及ｌｏｇ犪狓１＞ｌｏｇ犪狓２；而在０＜犪＜１
　　在解答中我们并
没有验证“当狓＞０时，
犳（狓）＝－犳（－狓）”．事
实上这是由“当狓＜０
时，犳（－狓）＝－犳（狓）”
所蕴涵的．
图５２４
５
函数的概念、
性质及应用
１２６　
时有犪狓１＜犪狓２及ｌｏｇ犪狓１＜ｌｏｇ犪狓２．这样，我们就解释了为何这些函
数的图像会表现出相应的单调性趋势．概括起来，可对一般函数给
出其单调性的定义．
　　定义　对于定义在犇上的函数狔＝犳（狓），设区间犐是
犇的一个子集．对于区间犐上的任意给定的两个自变量的值
狓１、狓２，当狓１＜狓２时，如果总成立犳（狓１）＜犳（狓２），就称函数
狔＝犳（狓）在区间犐上是严格增函数（ｓｔｒｉｃｔｌｙｉｎｃｒｅａｓｉｎｇ
ｆｕｎｃｔｉｏｎ）；而如果总成立犳（狓１）＞犳（狓２），就称函数狔＝犳（狓）在
区间犐上是严格减函数（ｓｔｒｉｃｔｌｙｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
此外，如果总成立犳（狓１）≤犳（狓２），就称函数狔＝犳（狓）在
区间犐上是增函数（ｉｎｃｒｅａｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ）；而如果总成立
犳（狓１）≥犳（狓２），就称函数狔＝犳（狓）在区间犐上是减函数
（ｄｅｃｒｅａｓｉｎｇｆｕｎｃｔｉｏｎ）．
“严格增”“严格减”“增”及“减”统称为函数的单调性．
例如，狔＝２狓在（－∞，＋∞）上是严格增函数；狔＝狓２在区间
（－∞，０］上是严格减函数，在区间［０，＋∞）上是严格增函数；
狔＝ｌｏｇ２狓在区间（０，＋∞）上是严格增函数；等等．
例７　证明：函数犳（狓）＝狓
３２在区间（０，＋∞）上是严格增
函数．证明　设狓１、狓２是区间［０，＋∞）上的任意给定的两个实数，
且狓１＜狓２，我们有犳（狓１）＝狓
３２１，犳（狓２）＝狓
３２２．
因０＜狓１＜狓２，根据不等式的基本性质，有
狓
３２１＜狓
３２２，
即犳（狓１）＜犳（狓２）．
因此，函数犳（狓）＝狓
３２在区间（０，＋∞）上是严格增函数．
类似地，根据实数幂的性质，对于幂函数狔＝狓狉，当狉＞０时，
该函数在区间（０，＋∞）上是严格增函数；而当狉＜０时，该函数在
区间（０，＋∞）上是严格减函数．
例８　证明：函数犳（狓）＝狓２－２狓在区间（－∞，１］上是严
格减函数．
证明　设狓１、狓２是区间（－∞，１］上任意给定的两个实数，且
狓１＜狓２，我们有
５．２　　　函数的基本性质
１２７
　
犳（狓１）＝狓２１－２狓１，犳（狓２）＝狓２２－２狓２．
由于
　　　犳（狓１）－犳（狓２）＝（狓２１－２狓１）－（狓２２－２狓２）
＝（狓２１－狓２２）－２（狓１－狓２）
＝（狓１－狓２）（狓１＋狓２－２），
又狓１－狓２＜０，且狓１＋狓２－２＜１＋１－２＝０，故
犳（狓１）－犳（狓２）＞０，
即犳（狓１）＞犳（狓２）．
因此，函数犳（狓）＝狓２－２狓在区间（－∞，１］上是严格减函数．
对于一般的二次函数狔＝犳（狓），其中犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮
（犪≠０），在第二章中，通过配方法，已得到
犳（狓）＝犪（狓＋犫２犪）
２＋４犪犮－犫２
４犪．
因此，点（－犫２犪，４犪犮－犫２
４犪）被称为该二次函数的图像的顶点，它是
相应抛物线的最高点或最低点．
先考察犪＞０的情形．设狓１、狓２是任意给定的两个实数，且
狓１＜狓２，我们有犳（狓１）－犳（狓２）＝犪（狓１－狓２）［（狓１＋狓２）＋犫犪］．
当狓１＜狓２≤－犫２犪时，由狓１－狓２＜０以及狓１＋狓２＋犫犪＜０，可得
犳（狓１）＞犳（狓２）；而当－犫２犪≤狓１＜狓２时，由狓１－狓２＜０以及
狓１＋狓２＋犫犪＞０，可得犳（狓１）＜犳（狓２）．
因此，当犪＞０时，函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮在区间（－∞，－犫２犪］
上是严格减函数，在区间［－犫２犪，＋∞）上是严格增函数．
类似地，当犪＜０时，函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮在区间
（－∞，－犫２犪］上是严格增函数，在区间［－犫２犪，＋∞）上是严格减
函数．上述单调性的结论在函数的图像上，反映为二次函数的上升
与下降的趋势恰好以它对应的抛物线的顶点为分界点．
５
函数的概念、
性质及应用
１２８　
例９　判断函数犳（狓）＝ｌｏｇ２（３狓＋２）在其定义域上的单调
性，并说明理由．
解　设狓１、狓２是定义域犇＝｛狓｜３狓＋２＞０｝上任意给定的两
个实数，且狓１＜狓２，易知０＜３狓１＋２＜３狓２＋２．再使用对数的不等
关系，并注意到２＞１，就有ｌｏｇ２（３狓１＋２）＜ｌｏｇ２（３狓２＋２），即
犳（狓１）＜犳（狓２）．
因此，犳（狓）＝ｌｏｇ２（３狓＋２）在其定义域上是严格增函数．
练习５．２（３）
　　１．小明说：“如果当狓＞０时，总成立犳（狓）＞犳（０），那么犳（狓）在区间［０，＋∞）上
是严格增函数．”他的说法是否正确？说明理由．
２．证明：函数犳（狓）＝２狓３在区间（－∞，０）上是严格减函数．
３．构造一个二次函数，使得它在区间［－１，１］上是严格减函数，并说明理由．
　　需要注意的是，函数的单调性是针对包含于定义域中的某个
区间而言的．有些函数虽然在整个定义域上不是单调函数，但是在
包含于定义域中的某些区间上却可以是单调的．
　　定义　如果函数狔＝犳（狓）在某个区间犐上是增（减）函
数，那么就称函数狔＝犳（狓）在区间犐上是单调函数
（ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎ），并称区间犐是函数狔＝犳（狓）的一个
单调区间（ｍｏｎｏｔｏｎｉｃｉｎｔｅｒｖａｌ）．
例１０　判断函数犳（狓）＝狓２－２狓在区间［－２，２］上的单
调性，并求出它的单调区间．
解　犳（０）＝犳（２）＝０，而犳（１）＝－１，因此犳（狓）在区间
［－２，２］上既不是严格增函数，也不是严格减函数．
对区间犐上任意给定的两个实数狓１、狓２，总有
犳（狓１）－犳（狓２）＝（狓１－狓２）（狓１＋狓２－２）．
当狓１＜狓２，且狓１、狓２∈［－２，１］时，总有狓１＋狓２－２＜０及
狓１－狓２＜０，故犳（狓１）－犳（狓２）＞０，从而［－２，１］是犳（狓）＝狓２＋
２狓的单调减区间．
类似地，当狓１＜狓２，且狓１、狓２∈［１，２］时，总有狓１＋狓２－２＞０
及狓１－狓２＜０，故犳（狓１）－犳（狓２）＜０，从而［１，２］是犳（狓）＝狓２＋
２狓的单调增区间．
　　一般来说，所讨论
的单调区间总是指满
足这一要求的“最大”
的单调区间．
５．２　　　函数的基本性质
１２９
　
例１１　设狔＝犳（狓）是偶函数，它在区间［－２，－１］上是严
格减函数，判断它在区间［１，２］上的单调性，并说明理由．
解　设狓１、狓２是区间［１，２］上任意给定的两个实数，且
狓１＜狓２，则－狓１、－狓２∈［－２，－１］，且－狓２＜－狓１．
因为函数狔＝犳（狓）在区间［－２，－１］上是严格减函数，所以
犳（－狓２）＞犳（－狓１）．又因为狔＝犳（狓）是偶函数，所以
犳（狓２）＝犳（－狓２）＞犳（－狓１）＝犳（狓１）．
因此狔＝犳（狓）在区间［１，２］上是严格增函数．
上例展示了如何利用函数的奇偶性来研究函数的其他性质．
练习５．２（４）
　　１．根据下列函数狔＝犳（狓）的图像（包括端点），分别指出这两个函数的单调区间，
以及在每一个单调区间上函数的单调性．
（１）
（２）
（第１题）
２．判断函数犳（狓）＝｜狓＋１｜，狓∈［－２，２］的单调性，并求出其单调区间．
３．设狔＝犳（狓）是奇函数，且它在区间（－３，０］上是严格增函数．
（１）证明：它在区间［０，３）上是严格增函数．
（２）问：狔＝犳（狓）是否在区间（－３，３）上是严格增函数？说明理由．
３函数的最值
在第二章中，我们已经利用不等式的性质及基本不等式求解
了一些代数式的最大值和最小值．对于只有一个未知数的代数式，
例如狓＋１狓，狓２－２狓等，当狓改变时，相应代数式的值也随之改
变，从而都可以将它们看成是自变量狓的函数．函数值的大小变化
趋势是函数的单调性研究所关心的内容．而在生产和生活中，除了
５
函数的概念、
性质及应用
１３０　
函数值的大小变化趋势之外，往往也关心函数何时取到最大值（最
小值），以及最大值（最小值）为多少等问题．
　　定义　函数狔＝犳（狓）在狓０处的函数值是犳（狓０），如果
对于定义域内任意给定的狓，都成立不等式犳（狓）≥犳（狓０），
那么犳（狓０）就叫做函数狔＝犳（狓）的最小值（ｍｉｎｉｍｕｍ）；相
反，如果都成立不等式犳（狓）≤犳（狓０），那么犳（狓０）就叫做函
数狔＝犳（狓）的最大值（ｍａｘｉｍｕｍ）．
例１２　求下列函数的最大值或最小值：
（１）狔＝２狓２－３狓＋１，狓∈犚；
（２）狔＝２狓２－３狓＋１，狓∈［－２，２］．
解　（１）由于狔＝２狓２－３狓＋１＝２（狓－３４）
２－１８≥－１８，且当
狓＝３４时上述不等式中的等号可以取到，因此该函数的最小值
为－１８．
由二次函数的单调性可知，该函数无最大值．
（２）由（１）中的推导，狔＝２（狓－３４）
２－１８≥－１８．因
３４∈［－２，２］，故该函数的最小值仍为－１８．
此外，当狓∈３４，２
熿燀
燄燅时，狓－３４≤２－３４≤－２－３４；而
当狓∈［－２，３４］时，狓－３４≤－２－３４＝１１４．这样就有
狔≤２×（１１４）
２－１８＝１５；而当狓＝－２时，上述不等式中的等号可
以取到．这说明该函数的最大值为１５．
对于定义在闭区间［犪，犫］上的单调函数狔＝犳（狓），它的最大
值和最小值一定能在区间的端点犪和犫处取到．因此，对于具有单
调性的函数，可以借助其单调性来求得其最值．
例１３　求函数狔＝２狓，狓∈［１，２］的最大值与最小值．
解　函数狔＝２狓在区间［１，２］上是严格减函数，因此其最大值
在左端点狓＝１处取到，其值为２１＝２，而最小值在右端点狓＝２处
　　由二次函数的单调
性，当狓０≥３４时，总有
犳（狓０＋１）＞犳（狓０），而
当狓０≤３４时，总有
犳（狓０－１）＞犳（狓０）．因
此函数狔＝２狓２－３狓＋１，
狓∈犚无最大值．
５．２　　　函数的基本性质
１３１
　
取到，其值为２２＝１．
借助例１３的方法，对于例１２，还可借助于单调性来求解．以
第（２）小题为例，可以证明：函数狔＝２狓２－３狓＋１在区间（－∞，３４］
上是严格减函数，而在区间［３４，＋∞）上是严格增函数．记
犳（狓）＝２狓２－３狓＋１，根据二次函数的单调性，当－２＜狓＜３４时，有
犳（－２）＞犳（狓）＞犳（３４）；而当３４＜狓＜２时，有犳（３４）＜犳（狓）＜
犳（２）．因此，函数狔＝２狓２－３狓＋１，狓∈［－２，２］的最小值为犳（３４）＝
－１８，而其最大值为犳（－２）与犳（２）中的较大者，即犳（－２）＝１５．
例１４　已知犪＜２，求函数狔＝｜狓－１｜，狓∈［犪，２］的最
大值．解　对于函数狔＝｜狓－１｜，当狓≥１时，狔＝狓－１；而当狓≤１
时，狔＝－狓＋１．因此狔＝｜狓－１｜在区间［１，＋∞）上是严格增函
数，在区间（－∞，１］上是严格减函数．
情形一：当１≤犪＜２时，狔＝｜狓－１｜在区间［犪，２］上是严格增
函数，此时函数的最大值为１．
情形二：当犪＜１时，狔＝｜狓－１｜在区间［犪，１］上是严格减函
数，而在区间［１，２］上是严格增函数．从而此时函数的最大值为
｜２－１｜与｜犪－１｜中的较大者．因此，当犪＜０时，该函数的最大值为
｜犪－１｜＝１－犪；而当０≤犪＜１时，该函数的最大值为１．
综上所述，当犪＜０时，该函数的最大值为１－犪；当０≤犪＜２
时，该函数的最大值为１．
练习５．２（５）
　　１．求函数狔＝（１２）
狓，狓∈［１，３］的最大值与最小值．
２．求下列函数的最大值或最小值：
　　（１）狔＝１－狓２；
（２）狔＝１－狓２，狓∈［－１，２］；
（３）狔＝２狓２－８狓；
（４）狔＝２狓２－８狓，狓∈［０，１］．
３．已知犪＞－２，求函数犳（狓）＝狓２＋１，狓∈［－２，犪］的最大值．
５
函数的概念、
性质及应用
１３２　
习题５．２　
　
　犃组
１．若函数狔＝犳（狓）的定义域为犚，则狔＝犳（狓）为奇函数的充要条件为
（　　）
　　Ａ．犳（０）＝０
Ｂ．对任意狓∈犚，犳（狓）＝０都成立
Ｃ．存在某个狓０∈犚，使得犳（狓０）＋犳（－狓０）＝０
Ｄ．对任意给定的狓∈犚，犳（狓）＋犳（－狓）＝０都成立
２．证明下列函数为偶函数：
（１）犳（狓）＝狓２＋狓－２；
（２）犳（狓）＝狓·（２狓－１）
２狓＋１．
３．证明下列函数为奇函数：
（１）犳（狓）＝狓－３；
（２）犳（狓）＝ｅ狓－ｅ－狓
２．
４．判断下列函数的奇偶性：
（１）犳（狓）＝２狓＋３槡狓；
（２）犳（狓）＝２狓４－狓２；
（３）犳（狓）＝狓２－狓；
（４）犳（狓）＝１－狓
１＋狓；
（５）犳（狓）＝ｌｇ１－狓
１＋狓．
５．证明：函数犳（狓）＝狓－１狓，狓∈（－∞，０）是严格减函数．
６．证明：函数犳（狓）＝ｌｇ（１－狓）在其定义域上是严格减函数．
７．求下列函数的最大值或最小值，并写出取最值时相应自变量的值：
（１）犳（狓）＝狓２－４狓－２；
（２）犳（狓）＝６狓－３狓２；
（３）犳（狓）＝－狓２－４狓－３，狓∈［－３，１］；
（４）犳（狓）＝狓２－２狓－３，狓∈［－２，０］．
８．已知狆、狇分别是函数犳（狓）＝－２狓＋３，狓∈［－２，２］的最大值和最小值，求函数
犵（狓）＝２狓２－狆狓＋狇，狓∈［－２，２］的最大值和最小值．
９．求函数狔＝２
狓－１，狓∈［２，６］的最大值与最小值．
５．２　　　函数的基本性质
１３３
　
　犅组
１．已知函数犳（狓）＝狓２＋犪狓＋１，狓∈［犫，２］是偶函数，求实数犪、犫的值．
２．判断并证明下列函数的奇偶性：
（１）犳（狓）＝１０狓－１０－狓
１０狓＋１０－狓；
（２）犳（狓）＝狓（１
２狓－１＋１２）．
３．当解析式犳（狓）＝　　　　　　　　时，函数狔＝犳（狓）同时满足以下条件：
（１）不是偶函数；
（２）在区间（－∞，－１）上是严格减函数；
（３）在区间（０，１）上是严格增函数．
４．已知犪≠０，试讨论函数犳（狓）＝犪
１－狓２在区间（０，１）上的单调性．
５．画出函数狔＝狓２－２｜狓｜的大致图像，并分别写出它的定义域、奇偶性、单调区间及最
小值．
６．分别研究函数犳（狓）＝１
１＋狓２的定义域、奇偶性、单调性及最大值．
７．分别研究函数犳（狓）＝狓＋犪狓的定义域、奇偶性及单调性．
８．判断函数犳（狓）＝２狓＋２狓，狓∈１２，３
熿燀燄燅的单调性，并求出它的单调区间．
９．如果函数狔＝狓２－２犿狓＋１在区间（－∞，２］上是严格减函数，那么实数犿的取值范
围为　　　　．
１０．已知α、β是方程４狓２－４犿狓＋犿＋２＝０的两个实数根．问当犿为何值时，α２＋β２取
到最小值，并求出该最小值．
１１．求函数狔＝狓２－４狓＋１，狓∈［狋，４］的最小值，其中狋＜４．
１２．已知集合犃＝［１，４］，狔＝犳（狓）＝狓２＋狆狓＋狇和狔＝犵（狓）＝狓＋４狓都是定义在犃上
的函数，且在狓０处同时取到相同的最小值，求狔＝犳（狓）的最大值．
５
函数的概念、
性质及应用
１３４　
５．３　函数的应用
１函数关系的建立
在研究某些数学问题时，待研究的变量往往依赖于另一个变
量，此时就需要建立这两个变量之间的函数关系．
例１　如图５３１，一个边长为犪、犫（犪＜犫）的长方形被分
别平行于长与宽的两条直线所分割，试用解析式将图中阴影部分
的面积犛表示为狓的函数．
图５３１
解　因为左上角阴影部分的面积犛１＝狓２，而右下角阴影部分
的面积犛２＝（犪－狓）（犫－狓），所以阴影部分的总面积
犛＝犛１＋犛２＝狓２＋（犪－狓）（犫－狓）．
因此，所求函数为犛＝２狓２－（犪＋犫）狓＋犪犫，狓∈（０，犪）．
例２　如图５３２，犗犃犅犆是平面直角坐标系中边长为１
的正方形，一直线狔＝－狓＋狋（狋∈（０，２））与正方形犗犃犅犆相交，
将正方形分为两个部分，其中包含原点犗的部分的面积记为犛．试
将犛表示为狋的函数．
图５３２
５．３　　　函数的应用
１３５
　
解　狋是直线犾：狔＝－狓＋狋在狔轴上的截距．
情形一：当０＜狋≤１时，该直线与线段犗犆交于点犈，并与线段
犗犃交于点犇，如图５３３．
图５３３
此时，包含犗的部分是直角三角形犗犇犈．由于犗犇＝犗犈＝狋，
因此
犛＝１２犗犇·犗犈＝１２狋２．
情形二：当１＜狋＜２时，该直线与线段犅犆交于点犈，并与线段
犃犅交于点犇，如图５３４．
图５３４
此时，包含犗的部分是五边形犗犃犇犈犆，它可以看成是正方形
犗犃犅犆除去直角三角形犅犇犈所得的部分，由于犅犇＝犅犈＝２－狋，
因此
犛＝１－１２犅犇·犅犈＝１－１２（２－狋）２＝－１２狋２＋２狋－１．
综上所述，可以分段表示犛关于狋的函数如下：
犛＝
１２狋２，
０＜狋≤１，
－１２狋２＋２狋－１，１＜狋＜２．
烅
烄
烆
当我们用数学方法解决实际问题时，首先要把问题中的有关
变量及其关系用数学的形式表示出来，这显示了建立变量之间的
函数关系的重要性．
　　本例中自变量
狋＝１也可以放在函数
的分段表示的下一部
分，甚至可以上、下两
部分都包含狋＝１．这是
因为当狋＝１时，分别
用上、下两个表达式所
求得的函数值相等．
５
函数的概念、
性质及应用
１３６　
例３　动物园要建造一面靠墙、且面积相同的２间相邻的
长方形熊猫居室，如图５３５．如果已有材料可建成的围墙总长
度为３０米，问当宽狓为多少米时才能使所建造的熊猫居室面积最
大？熊猫居室的最大面积是多少平方米？
解　设每间熊猫居室的宽为狓米，熊猫居室的总面积为狔平
方米．由题意，应有０＜狓＜１０．
如果把建筑材料全部用完，那么此２间熊猫居室的总长应为
（３０－３狓）米．
这样，就有
狔＝狓（３０－３狓）＝－３（狓－５）２＋７５．
所以当熊猫居室的宽为５米时，其面积最大，且最大面积为
７５平方米．
例４　某小区要建造一个直径为１６米的圆形喷水池，并在
池的周边靠近水面的位置安装一圈喷水头，使喷出的水柱在离池
中心３米的地方达到最高高度４米．为了在池中心的上方设计一
个装饰物，使各方向喷来的水柱在此汇合，问这个装饰物的高度应
如何设计．
解　过水池的中心任取一个截面，如图５３６．根据力学的
原理，喷出的水珠轨迹应为一条抛物线，此抛物线上任何一个点距
池中心的水平距离与其所处的高度之间是对应的．为了建立水平
距离狓与距水面的高度狔之间的函数关系狔＝犳（狓），建立如图
５３６所示的直角坐标系．
图５３６
设图中右半部分的曲线所对应的函数为
狔＝－犪（狓－犫）２＋犮，０≤狓≤８．
其中点（犫，犮）是此抛物线的顶点．由题意，可得犫＝３，犮＝４．又由
犳（８）＝０，解得犪＝０．１６．
这样，装饰物距水面的高度应为
犺＝犳（０）＝－０．１６×（０－３）２＋４＝２．５６（米）．
图５３５
５．３　　　函数的应用
１３７
　
（第２题）
练习５．３（１）
　　１．已知一等腰三角形的周长为１２厘米，试将该三角形的面积狔（平方厘米）表示
为底边长狓（厘米）的函数．
２．如图，在直角坐标系的第一象限内，△犗犃犅是边长为２的等边三角形，用直线
犾：狓＝狋（０＜狋＜２）截这个三角形，记截得的靠近狔轴的部分面积为犛，试将犛表示为狋
的函数．
３．某商场对顾客实行购物优惠活动：规定一次购物总额不超过５００元的不予优
惠；一次购物总额超过５００元但不超过１０００元的，按标价给予９折优惠；一次购物总
额超过１０００元的，其中的１０００元按上述标准给予优惠，而超过１０００元的部分给予
７折优惠．
设一次购物总额为狓元，而优惠后实际付款额为狔元，试写出狔关于狓的函数关系．
２用函数来求解方程与不等式
在求解含有一个未知数的方程时，经过适当的化简，总可以化
为在一定的范围犇内求解形如犳（狓）＝０的方程．
在学习了函数及其性质之后，我们可用函数的观点来考察方
程犳（狓）＝０的求解．
　　定义　对于函数狔＝犳（狓），狓∈犇，如果存在实数
犮∈犇，当狓＝犮时，犳（犮）＝０，就把狓＝犮叫做函数狔＝犳（狓），
狓∈犇的零点（ｚｅｒｏ）．
函数狔＝犳（狓），狓∈犇的零点，就是方程犳（狓）＝０在集合
犇中的解，也是该函数狔＝犳（狓）的图像与狓轴的交点的横坐
标．这就将方程犳（狓）＝０的求解与求函数狔＝犳（狓）的零点联
系起来．
５
函数的概念、
性质及应用
１３８　
例５　方程狓３＋２狓＋１＝１００是否有整数解？说明理由．
解　记函数狔＝狓３＋２狓－９９为狔＝犳（狓）．
对任意给定的狓１、狓２∈犚，当狓１＜狓２时，根据不等式的性质，
可得狓３１＜狓３２，并且２狓１＜２狓２，因此犳（狓１）＜犳（狓２），故该函数在其
定义域上是一个严格增函数．
经计算得
犳（４）＝－２７＜０，犳（５）＝３６＞０．
由单调性可知，当狀∈犣，且狀≤４时，犳（狀）≤犳（４）＜０；而当
狀∈犣，且狀≥５时，犳（狀）≥犳（５）＞０．
因此，任一整数一定不是函数犳（狓）＝狓３＋２狓－９９的零点，从
而方程狓３＋２狓＋１＝１００没有整数解．
从上述解答的过程中可以看到，原先在解方程时，我们的观点
是静态的，而一旦引入函数的观点，就可以利用函数的性质尝试用
动态的观点审视方程的求解了．
在第二章中，我们已经学过解一元二次不等式．现在我们同样
可以用函数的观点来审视一元二次不等式的求解．
我们在第二章中已经知道，对于一元二次不等式
犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０），
可先考察它对应的方程犪狓２＋犫狓＋犮＝０，而该方程的解集可能有
两个元素，可能只有一个元素，也可能为空集．
记Δ＝犫２－４犪犮．当Δ＞０时，解集为｛狓１，狓２｝，其中狓１＜狓２．此
时函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮的大致图像如图５３７所示．
这个图像可以帮助我们回忆二次函数的单调性．根据５．２节
中关于二次函数单调性的结论，函数狔＝犪狓２＋犫狓＋犮
在（－∞，－犫２犪］上是严格减函数，而在［－犫２犪，＋∞）上是严格增函数．
此外，狓１及狓２是该函数的两个零点；在图像上，狓１及狓２是
相应抛物线与狓轴的交点的横坐标，且成立狓１＋狓２
２＝－犫２犪．
这样，求解不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０），就是要求函数
狔＝犪狓２＋犫狓＋犮（犪＞０）的图像上位于狔＞０部分的所有点的横坐
标狓．因此，根据单调性及零点的位置，参照函数的图像，可以很容
易地得到不等式犪狓２＋犫狓＋犮＞０（犪＞０）的解集为（－∞，狓１）∪
（狓２，＋∞）．由此可见，借助于构造一个与不等式有关的函数，如果
这个函数的单调性与零点比较容易得到，就可以较便捷地求解相
应的不等式．
这样，可将首项系数为正的一元二次不等式的解集总结如下．
图５３７
５．３　　　函数的应用
１３９
　
表５２　首项系数犪＞０时，二次不等式与相应二次函数的联系
犳（狓）＝犪狓２＋犫狓＋犮
犫２－４犪犮＞０
犫２－４犪犮＝０
犫２－４犪犮＜０
零点
狓１、狓２（狓１＜狓２）
狓０
不存在
大致图像
犳（狓）＞０的解集（－∞，狓１）∪（狓２，＋∞）｛狓｜狓≠狓０｝
犚
犳（狓）＜０的解集
（狓１，狓２）


例６　（１）证明：函数狔＝狓＋１狓在区间（０，１］上是严格减
函数，在区间［１，＋∞）上是严格增函数；
（２）用函数的观点解不等式狓＋１狓＞５２．
解　（１）记犳（狓）＝狓＋１狓．
对任意给定的狓１、狓２∈（０，＋∞），有
　　　犳（狓１）－犳（狓２）＝（狓１＋１狓１）－（狓２＋１狓２）
＝（狓１－狓２）＋（１狓１－１狓２）
＝狓１－狓２
狓１狓２（狓１狓２－１）．
当０＜狓１＜狓２≤１时，有狓１－狓２＜０，狓１狓２＞０及狓１狓２－１＜０，
由此得到犳（狓１）＞犳（狓２），故该函数在区间（０，１］上是严格减函数；
而当１≤狓１＜狓２时，有狓１－狓２＜０，狓１狓２＞０及狓１狓２－１＞０，
由此得到犳（狓１）＜犳（狓２），故该函数在区间［１，＋∞）上是严格增
函数．
（２）仍记犳（狓）＝狓＋１狓．
先解相应的方程狓＋１狓＝５２，得其解为狓１＝１２和狓２＝２．
令犵（狓）＝犳（狓）－５２，则函数狔＝犵（狓）的零点为狓１＝１２和狓２＝２．
此外，由于犵（狓１）－犵（狓２）＝犳（狓１）－犳（狓２），故狔＝犵（狓）的
单调性与狔＝犳（狓）的单调性一致．
５
函数的概念、
性质及应用
１４０　
因此，函数狔＝犵（狓）在区间（０，１］上是严格减函数，而在区间
［１，＋∞）上是严格增函数；
当狓＜０时，狓＋１狓＜０；当狓＝０时，狓＋１狓无意义．它们都不是
不等式狓＋１狓＞５２的解．
而当狓＞０时，由函数狔＝犵（狓）的零点及单调性可知，当且仅
当狓∈（０，１２）∪（２，＋∞）时，犵（狓）＞０，如图５３８所示．
图５３８
因此，不等式狓＋１狓＞５２的解集为（０，１２）∪（２，＋∞）．
练习５．３（２）
　　１．利用函数与不等式的关系，在犪＜０时，求解一元二次不等式犪狓２＋犫狓＋犮≤０．
２．判断函数狔＝狓＋４狓在区间（－∞，－２］和［－２，０）上的单调性，并据此求解不
等式狓＋４狓＞－５．
３求函数零点的二分法
在建立了函数关系后，常常会遇到一些解方程的问题．如果相
应的函数是一次函数或者二次函数，就可以用已经学习过的求根
公式来求解．但是碰到一些更复杂的函数，相应的方程如何求解
呢？此时，一定要求得问题的精确解答，通常是做不到的，而基于
实际问题的需要，往往只要求得具有足够精度的近似解就可以
了．本课我们将利用上一节课的思想，将求方程的近似解的问题转
化为求函数的近似零点的问题，再利用函数的性质来求得方程的
近似解．
５．３　　　函数的应用
１４１
　
例７　有一块边长为１３厘米的正方形金属薄片．如果先在
它的四个角上都剪去一个边长为狓厘米的小正方形，就能做成一
个容积是１４０立方厘米的无盖长方体盒子，如图５３９所示．
问：狓是多少（精确到０．１）？
图５３９
解　根据题意，得狓（１３－２狓）２＝１４０，要求该方程在区间
（０，１３２）上的实数根．
令犳（狓）＝狓（１３－２狓）２－１４０，０＜狓＜１３２．上述方程的实数根
就是函数狔＝犳（狓）的零点，先用描点法作出该函数的大致图像
如下：
图５３１０
从图像上可以看出，函数狔＝犳（狓）在区间（１，２）和区间
（３，４）上各有一个零点．
事实上，对于区间［犪，犫］上的图像是一段连续曲线的函数
狔＝犳（狓），如果犳（犪）·犳（犫）＜０，那么狔＝犳（狓）在区间（犪，犫）上一
定有零点．
下面用二分法寻求该函数在区间（３，４）上的零点的近似值．
二分法的思想非常直接和简单：在确定了区间（犪，犫）上一定
有零点的前提下，将区间一分为二，这两部分中总有一个含有零
点，而含有零点的区间的长度变为原先的一半．反复执行这种“一
分为二”的操作，就能将零点限制在一个足够小的区间中，从而容
　　我们学过的一次
函数、二次函数、反比
例函数、幂函数、指数
函数、对数函数以及
第７章要学习的三角
函数等等，在包含于定
义域的任一区间上，图
像都是连续的曲线．
５
函数的概念、
性质及应用
１４２　
易求得其近似值了．
因为犳（３）＝７＞０，犳（４）＝－４０＜０，因此在区间（３，４）上，此
函数狔＝犳（狓）至少有一个有零点．
取（３，４）的中点狓１＝３＋４
２＝３．５，计算可得犳（３．５）＝－１４＜０．因
犳（３）·犳（３．５）＜０，故狔＝犳（狓）在区间（３，３．５）上必有零点．
将这一步骤重复若干次，见表５３：
表５３　用二分法求函数零点的一个例子
步骤犔（左端点）犚（右端点）犕（中点）犳（犔）犳（犚）犳（犕）
１
３
４
３．５
＋
－
－
２
３
３．５
３．２５
＋
－
－
３
３
３．２５
３．１２５
＋
－
＋
４
３．１２５
３．２５
３．１８７５
＋
－
－
５
３．１２５
３．１８７５３．１５６２５
＋
－
＋
注意到区间（３．１５６２５，３．１８７５）中的所有数精确到０．１的近似
值都是３．２，所以狔＝犳（狓）在区间（３，４）上零点的近似值是３．２．
同理，可以求得狔＝犳（狓）在区间（１，２）上的零点近似值是１．３．
综上所述，上述问题中所剪去的小正方形的边长约是１．３厘
米或３．２厘米．
可以看到，在二分法的实际操作中，从第二步起，每一步只需
要计算一个函数值，并判断它的符号，同时，所考虑的区间长度
减半．二分法的这些步骤中，每一步都是明确的．尽管每一步的计算
可能不一定简单，而且可能需要重复较多的步骤才能得到具有足
够精度的零点近似值，但根据这一算法不断重复同一类计算的特
点，可利用计算机强大的计算功能，通过编制计算机程序，很高效
地求出零点的近似值．
练习５．３（３）
　　１．对于图像在区间［犪，犫］上是一段连续不断曲线的函数狔＝犳（狓），如果犳（犪）·
犳（犫）＞０，是否该函数在区间（犪，犫）上一定无零点？说明理由．
２．已知函数犳（狓）＝２狓３－３狓２－１８狓＋２８在区间（１，２）内有且仅有一个零点，试
用二分法求出该零点的近似值（精确到０．１）．
　　有兴趣的同学可
以设计一个二分法求
零点的程序．
５．３　　　函数的应用
１４３
　
习题５．３　
　
　犃组
狓（季度）
１２３４
狔（万台）１０１２１４１６
　　１．某企业去年四个季度生产某种型号机器的数量
狔（万台）与季度狓的函数关系是：
试写出该函数的定义域，并作出其大致图像．
２．某地区住宅电话费收取标准为：接通后３分钟内（含３分钟）收费０．２０元，以后每分
钟（不足一分钟按一分钟计）收费０．１０元．如果一次通话狋分钟，写出通话费狔（元）关于通话
和时间狋（分）的函数关系．
３．求函数狔＝２狓
槡＋１－狓＋１的零点．
４．解不等式：ｌｇ（２狓＋１）＞２．
５．已知函数犳（狓）＝狓３＋狓２＋狓－１在区间（０，１）上有且仅有一个零点，用二分法求该
零点的近似值（精确到０．１）
　犅组
１．已知某气垫船的最大船速是４８海里／时，船每小时使用的燃料费用和船速的平方成
正比．当船速为３０海里／时时，船每小时的燃料费用为６００元，而其余费用（不论船速为多
少）都是每小时８６４元．船从甲地行驶到乙地，甲乙两地相距１００海里．
（１）试把船每小时使用的燃料费用犘（元）表示成船速狏（海里／时）的函数；
（２）试把船从甲地到乙地所需的总费用狔（元）表示成船速狏（海里／时）的函数；
（３）当船速为多少时，船从甲地到乙地所需的总费用最少？
２．为分流短途乘客，减缓轨道交通高峰压力，某地地铁实行新的计费标准，其分段计程
规则如下：０至６千米（含６千米）３元；６至１６千米（含１６千米）４元；１６千米以上每６千米
递增１元，但总票价不超过８元．
（１）试作出票价狔（元）关于路程狓（千米）的函数的大致图像；
（２）某人买了５元的车票，他乘车的路程不能超过多少千米？
３．某物流公司在上海及杭州分别有库存的某机器１２台和６台，现决定销售给犃市１０
台、犅市８台．已知上海调运一台机器到犃、犅市的运费分别为４００元和８００元；杭州调运一
台机器到犃、犅市的运费分别为３００元和５００元．设从上海调运狓台机器往犃市，求总运费
狔（元）关于狓的函数关系．
４．已知不等式狓２＋犪狓＋犫＜０的解集为（１，３），解不等式：犫狓２－犪狓＋１≤０．
５．证明：方程ｌｇ狓＋２狓－１＝１５没有整数解．
６．解不等式：４狓２≥６狓－２．
７．求方程狓２＋２＋１狓＝０的近似解（精确到０．１）．
５
函数的概念、
性质及应用
１４４　
　
５．４　反函数
１反函数的概念
在进行两种温度度量制摄氏度（℃）和华氏度（）相互转化时
会发现，有时选用相同的数据如下表（表５４），但所建立的函数关
系和作出的图像不同，如图５４１所示．
表５４　华氏度与摄氏度的转换
℃
０
２０
３５
１００
１１５

３２
６８
９５
２１２
２３９
（１）
（２）
图５４１
这是为什么呢？原来这两个函数所选取的自变量和函数值恰
好相反．看似完全不同的两个函数关系式和图像都正确反映了两
种温度度量制之间的转换关系，前者将摄氏度转换为华氏度，而后
者恰好相反．
从函数解析式来看，在函数狔＝１．８狓＋３２中，狓是自变量，狔
是狓的函数．但如果把狔看成自变量，从狔＝１．８狓＋３２这个关系式
中解出狓，就得到了狓＝狔－３２
１．８．这样，根据这一转换关系，对于在
某一个范围内的每一个狔值，同样有唯一的狓与之对应．也就是
说，可以把狔反过来看成自变量，狓作为狔的函数．这时，我们就说
函数狓＝狔－３２
１．８是函数狔＝１．８狓＋３２的反函数．
５．４　　　反函数
１４５
　
习惯上，函数的自变量用狓来表示，在图像上作为横坐标，而
函数值用狔来表示，在图像上作为纵坐标．因此狔＝１．８狓＋３２的反
函数通常写成狔＝狓－３２
１．８．
　　定义　对于函数狔＝犳（狓），狓∈犇，记其值域为
犳（犇）．如果对犳（犇）中的任意一个值狔，在犇中总有唯一确
定的狓值与它对应，且满足狔＝犳（狓），那么得到的狓关于狔
的函数叫做狔＝犳（狓）的反函数（ｉｎｖｅｒｓｅｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作
狓＝犳－１（狔），狔∈犳（犇）．由于习惯上，自变量常用狓表示，
而函数值常用狔表示，因此把该函数改写为
狔＝犳－１（狓），狓∈犳（犇）．
例如，函数狔＝２狓的反函数为狔＝狓２．函数狔＝３狓＋１的反函
数为狔＝狓－１
３．
一个定义域为犇的函数狔＝犳（狓）有反函数，当且仅当对于其
值域犳（犇）中的每一个值狔０，在定义域犇中仅存在一个狓０，满足
犳（狓０）＝狔０．也就是说，如果函数狔＝犳（狓）在定义域犇上不同的狓
处所取到的函数值也不相同，那么狔＝犳（狓）就有反函数．因此，在
定义域上严格单调的函数存在反函数．
从反函数的定义可知：如果函数狔＝犳（狓），狓∈犇有反函数
狔＝犳－１（狓），狓∈犳（犇），那么函数狔＝犳－１（狓），狓∈犳（犇）的反函数
就是狔＝犳（狓），狓∈犇．也就是说，狔＝犳（狓）及狔＝犳－１（狓）是互为
反函数的．
函数狔＝犳－１（狓）的定义域就是狔＝犳（狓）的值域，函数狔＝
犳－１（狓）的值域就是函数狔＝犳（狓）的定义域．
例１　若函数犳（狓）＝ｌｏｇ３狓，并设狔＝犳－１（狓）是其反函
数，求犳－１（２），犳－１（犪）．
解　设犳－１（２）＝狋，根据反函数的定义，可得犳（狋）＝２，即
ｌｏｇ３狋＝２，因此狋＝９，即犳－１（２）＝９．
类似地，设犳－１（犪）＝犫，可得犳（犫）＝ｌｏｇ３犫＝犪，因此
犳－１（犪）＝３犪．
一般来说，当犪＞０，犪≠１时，解关于狓的方程狔＝ｌｏｇ犪狓，得
狓＝犪狔．因此，当犪＞０，犪≠１时，狔＝犪狓与狔＝ｌｏｇ犪狓互为反函数．
５
函数的概念、
性质及应用
１４６　
例２　求下列函数的反函数：
（１）狔＝４狓＋２；
（２）狔＝狓２＋１，狓∈［１，３］；
（３）狔＝３狓＋１
４狓＋２．
解　（１）该函数的值域为犚．解关于狓的方程狔＝４狓＋２，得
狓＝狔－２
４．因此相应的反函数为狔＝狓－２
４．
（２）该函数的值域为［２，１０］．
在狓∈［１，３］，狔∈［２，１０］的前提下，解关于狓的方程狔＝狓２＋１，
得狓＝狔槡－１．因此相应的反函数为狔＝狓槡－１，狓∈［２，１０］．
（３）由狔＝３狓＋１
４狓＋２＝３４－１
８狓＋４，该函数的值域为狔狔≠３４烍烌烎
烅烄烆
．
在狓≠－１２，狔≠３４的前提下，解关于狓的方程狔＝３狓＋１
４狓＋２，
得４狓狔＋２狔＝３狓＋１，故狓＝１－２狔
４狔－３．
因此，相应的反函数为狔＝１－２狓
４狓－３．
练习５．４（１）
　　１．求函数狔＝狓２＋２狓，狓≥０的反函数的定义域．
　　２．求下列函数的反函数：
（１）狔＝３狓＋２；
（２）狔＝－３狓；
（３）狔＝狓２，狓≤０；
（４）狔＝槡狓＋１．
３．判断函数狔＝狓，－１≤狓≤０，
１－狓，０＜狓＜１
烅烄
烆
是否有反函数．若有反函数，求出它的反函
数；若无反函数，说明理由．
２反函数的图像
为了研究函数与其反函数的图像的特征，我们需要一个如下
的命题：
　　命题　在平面直角坐标系中，点犘（犪，犫）与点犘′（犫，犪）关
于直线狔＝狓对称．
　　在例２（１）中，使
得解析式狔＝狓－２
４有
意义的狓的范围已经
是狔＝４狓＋２的值域犚
了，因此此处反函数的
定义域不必明显地
写出．例２（３）不注明反
函数的定义域的理由
类似．
５．４　　　反函数
１４７
　
证明　当犪＝犫时，点犘与犘′重合，且在直线狔＝狓上，结论
成立．当犪≠犫时，点犘与犘′是不重合的两点，要证明它们关于
狔＝狓对称，即证狔＝狓是线段犘犘′的垂直平分线．
线段犘犘′的垂直平分线即点集｛犙（狓，狔）｜｜犙犘｜＝｜犙犘′｜｝．
该集合也可以表示为
｛犙（狓，狔）｜（狓－犪）２＋（狔－犫）
槡
２＝（狓－犫）２＋（狔－犪）
槡
２｝，
即
｛犙（狓，狔）｜犪狓＋犫狔＝犫狓＋犪狔｝．
因犪≠犫，故该集合即｛犙（狓，狔）｜狓＝狔｝．
所以线段犘犘′的垂直平分线是直线狔＝狓，因而点犘（犪，犫）与
点犘′（犫，犪）关于直线狔＝狓对称．
作为指数函数和对数函数的图像关系在一般函数中的推广，
我们有
　　性质　互为反函数的两函数的图像关于直线狔＝狓对称．
证明　设函数狔＝犳（狓），狓∈犇的反函数为狔＝犳－１（狓），
狓∈犳（犇）．
若犘（犪，犫）为函数狔＝犳（狓）图像上任取的一点，则必有
犪∈犇，且犫＝犳（犪）．这样，犫＝犳（犪）∈犳（犇），且根据反函数的定
义，犪＝犳－１（犫），因此犘（犪，犫）关于狔＝狓的对称点犘′（犫，犪）在函数
狔＝犳－１（狓）的图像上．
另一方面，因为狔＝犳－１（狓）的反函数是狔＝犳（狓），由上述，
狔＝犳－１（狓）图像上任一点犙关于直线狔＝狓的对称点犙′在函数
狔＝犳（狓）的图像上．
综上所述，互为反函数的两函数的图像关于直线狔＝狓对称．
在求一个函数狔＝犳（狓）的反函数时，一般来说要经历下述三
个步骤：求出反函数的定义域（即原来函数的值域）；解方程
狔＝犳（狓），求出狓关于狔的函数式；再交换狓与狔．正是将狓和狔
对换，即将点的横纵两个坐标作了对换，才导致了函数与其反函数
的图像关于直线狔＝狓对称．
例３　求函数狔＝狓３的反函数，并在同一坐标系中作出原
来的函数和它的反函数的图像．
解　狔＝狓３的值域是犚，解关于狓的方程狔＝狓３，得狓＝３槡狔，
因此其反函数为狔＝３槡狓．
５
函数的概念、
性质及应用
１４８　
同一坐标系中，狔＝狓３的图像与狔＝３槡狓的图像如图５４２
所示，它们关于直线狔＝狓对称．
例４　设函数狔＝犳（狓），狓∈犚的反函数是狔＝犳－１（狓），
狓∈犳（犚）．
（１）如果狔＝犳（狓）是奇函数，那么狔＝犳－１（狓）的奇偶性如何？
（２）如果狔＝犳（狓）在定义域上是严格增函数，那么狔＝犳－１（狓）
的单调性如何？
解　（１）在函数狔＝犳－１（狓）的定义域犳（犚）中任取一个数狓，
因狔＝犳－１（狓）的定义域是狔＝犳（狓）的值域，故存在狔＝犳（狓）的
定义域犚中的一个数狋，使得狓＝犳（狋）．
因狔＝犳（狓）是奇函数，故犳（－狋）＝－犳（狋）＝－狓∈犳（犚），因
此－狓也在狔＝犳－１（狓）的定义域中．
由于犳－１（狓）＝狋，且犳－１（－狓）＝－狋，它们互为相反数，因此
狔＝犳－１（狓）是奇函数．
（２）对于犳（犚）中的任意两个实数狓１、狓２，设狋１＝犳－１（狓１），
狋２＝犳－１（狓２），即犳（狋１）＝狓１，犳（狋２）＝狓２．狓１＜狓２也就是
犳（狋１）＜犳（狋２）．
如果狋１≥狋２，根据犳的单调性得犳（狋１）≥犳（狋２），与犳（狋１）＜
犳（狋２）矛盾，因此必有狋１＜狋２，即犳－１（狓１）＜犳－１（狓２）．这说明
狔＝犳－１（狓）是一个定义域犳（犚）上的严格增函数．
练习５．４（２）
　　１．定义在犚上的偶函数有反函数吗？说明理由．
２．下列各图中，具有反函数的函数狔＝犳（狓）的图像只可能是
（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
（第２题）
３．已知函数狔＝犳（狓），狓∈犇具有反函数狔＝犳－１（狓），狓∈犳（犇）．函数
犵（狓）＝犳（狓＋１）与犺（狓）＝犳－１（狓＋１）是否一定互为反函数？说明理由．
图５４２
５．４　　　反函数
１４９
　
习题５．４　
　
　犃组
１．已知函数犳（狓）＝狓２－４狓－５，狓∈［１，３］，判断其是否存在反函数．若存在，求出反函
数；若不存在，说明理由．
　　２．求下列函数的反函数：
（１）狔＝－狓３；　　　　　（２）狔＝狓
狓＋２；　　　　　（３）狔＝狓２＋１，狓∈（－∞，０）．
３．求下列函数的反函数：
（１）狔＝１０狓＋１；　　　（２）狔＝ｌｏｇ２（狓＋１）；　　　（３）狔＝ｌｏｇ２（２狓）．
４．已知犳（狓）＝１－ｌｏｇ２狓，求犳－１（－３）的值．
５．已知函数狔＝犪
狓＋１的反函数的图像经过点（１２，１），求实数犪的值．
６．已知函数狔＝犪狓＋犫的图像经过点（１，７），而其反函数的图像经过点（４，０），求犪、犫．
５
函数的概念、
性质及应用
１５０　
本章内容提要　
　
１．函数的概念：
（１）设集合犇是一个非空的实数集，对犇内的任意给定的实数狓，按照某种法则犳，都
有唯一确定的实数值狔与之对应，这种对应关系称为集合犇上的一个函数．
（２）定义域和对应法则是函数的两个重要要素．函数的值域由其定义域和对应法则决
定．两个函数的定义域和对应法则都相同（未必形式相同）时，两个函数是相同的．
（３）函数的图像是表示函数性质的直观有力的工具．
２．函数的性质：
（１）如果对定义域犇中的任一给定的狓，均成立犳（狓）＝犳（－狓），则称狔＝犳（狓），狓∈犇
是一个偶函数；如果对定义域犇中的任一给定的狓，均成立犳（狓）＝－犳（－狓），则称
狔＝犳（狓），狓∈犇是一个奇函数．奇性及偶性分别刻画了函数图像关于原点及狔轴的对称性．
（２）对于定义在犇上的函数狔＝犳（狓），设区间犐是犇的子集．对于区间犐上的任意给
定的两个自变量的值狓１、狓２，当狓１＜狓２时，如果总成立犳（狓１）＜犳（狓２），就称函数
狔＝犳（狓）在区间犐上是严格增函数；如果总成立犳（狓１）＞犳（狓２），就称函数狔＝犳（狓）在区间
犐上是严格减函数．这种单调性刻画了函数图像上升或下降的趋势．
（３）设函数狔＝犳（狓）在狓０处的函数值是犳（狓０）．如果对于定义域内任意给定的狓，都成
立不等式犳（狓）≥犳（狓０），那么犳（狓０）叫做函数狔＝犳（狓）的最小值；如果对于定义域内任意
给定的狓，都成立不等式犳（狓）≤犳（狓０），那么犳（狓０）叫做函数狔＝犳（狓）的最大值．最大值与
最小值分别为函数图像的最高点与最低点的纵坐标．
３．函数的应用：
（１）在建立函数关系时，需要注意其定义域．
（２）零点是指函数图像与狓轴交点的横坐标，对于图像是连续曲线的函数，二分法是求
近似零点的有效手段．
（３）依靠函数狔＝犳（狓），可以用动态的观点来考察方程犳（狓）＝０的求解，以及不等式
犳（狓）＞０的求解．
４．反函数：
（１）反函数来源于解关于狓的方程犳（狓）＝狔所得到的对应关系．
（２）如果函数狔＝犳（狓）在定义域犇上不同的狓处所取到的函数值也不相同，那么
狔＝犳（狓）就有反函数．在定义域上严格单调的函数必存在反函数．
（３）函数狔＝犳（狓）的图像与其反函数狔＝犳－１（狓）的图像关于直线狔＝狓轴对称．
本章复习题
１５１
　
本章复习题　
　
　犃组
１．求函数狔＝１
２－狓＋狓２
槡－１的定义域．
２．判断下列函数的奇偶性：
（１）犳（狓）＝１２狓－３＋１２狓＋３；
（２）犳（狓）＝狓３＋２狓；
（３）犳（狓）＝狓２，狓∈（犽，２）．
３．已知函数狔＝（犿－１）狓２＋３狓＋（２－狀）为奇函数，求犿、狀的值．
４．求函数狔＝狓＋４狓的单调区间．
５．分别作出下列函数的大致图像，并指出它们的单调区间：
（１）狔＝｜狓２－４狓｜；
（２）狔＝２｜狓｜－３．
６．已知二次函数狔＝犳（狓），其中犳（狓）＝犪狓２－２犪狓＋３－犪（犪＞０），试比较犳（－１）和
犳（２）的大小．
７．设α、β是二次方程狓２－２犽狓＋犽＋２０＝０的两个实数根．当犽为何值时，（α＋１）２＋
（β＋１）２取到最小值？
８．邮局规定：当邮件的质量不超过１００克时，每２０克收邮费０．８元，且不足２０克时按
２０克计算；超过１００克时，将超过１００克的部分的邮费按每１００克２元计算，且不足１００克
按１００克计算，同时规定每个邮件的质量不得超过２０００克．请写出邮费关于邮件质量的函
数解析式，并计算５０克和５００克重的邮件分别收多少邮费？
９．设函数狔＝（犪２＋４犪－５）狓２－４（犪－１）狓＋３的图像都在狓轴上方，求实数犪的取值
范围．
　犅组
１．已知狔＝犳（狓）是奇函数，其定义域为犚；而狔＝犵（狓）是偶函数，其定义域为犇．判断
函数狔＝犳（狓）犵（狓）的奇偶性，并说明理由．
２．设函数狔＝狓２＋１０狓－犪＋３，当狓∈［－２，＋∞）时，其函数值恒大于等于零，求实数犪
的取值范围．
３．已知函数狔＝－狓２＋２犪狓＋１－犪在区间［０，１］上有最大值２，求实数犪的值．
４．设犳（狓）＝狓２＋犪狓＋１．若对任意给定的实数狓，恒成立犳（２＋狓）＝犳（２－狓），求实数
犪的值．
５．已知狔＝犳（狓）是定义在（－１，１）上的奇函数，并在区间［０，１）上是严格减函数，且
５
函数的概念、
性质及应用
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犳（１－犪）＋犳（１－犪２）＜０，求实数犪的取值范围．
６．设犳（狓）＝２－狓２及犵（狓）＝狓．定义犉（狓）如下：当犳（狓）≥犵（狓）时，犉（狓）＝犵（狓）；当
犳（狓）＜犵（狓）时，犉（狓）＝犳（狓）．求函数狔＝犉（狓）的最大值．
拓展与思考
１．试讨论函数犳（狓）＝狓
１－狓２的单调性．
２．画出函数狔＝（狓２－１）２－１的大致图像，猜测它的单调区间，并证明你的结论．
３．已知函数狔＝犳（狓）为偶函数，狔＝犵（狓）为奇函数，且犳（狓）＋犵（狓）＝狓２＋２｜狓－１｜＋３，
求狔＝犳（狓）及狔＝犵（狓）的解析式．