即练即清全册详细答案
专题一 集合、常用逻辑用语与不等式
1.1 集合
1.（1）√ 集合中的元素具有无序性.
（2） × 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
（3） × 集合 为数集，集合 为点集，不是同一集合.
（4）√ 因为 ，故若 ，则 .
2.A 因为 ， ，所以 .故选A.
3. 答案： ； 或x≥1}
解析:因为集合 ， ，
所以 或x>2}，所以 或x≥1}.
故答案为 ； 或x≥1}.
4.答案：
解析:本题易忽视空集. ， ,
∴当 时， ；
当 时，由 得 或2.
综上，得 .1.2 常用逻辑用语
1.（1）√ 根据充分条件、必要条件的概念，可知是正确的.
（2）× “ ”是“ ”的必要条件，故错误.
（3）√ 由存在量词命题的否定是全称量词命题判断．
2.【答案】存在量词命题； ，
【解析】命题p含有存在量词 ，是存在量词命题．其否定为 ， ．
故答案为存在量词命题； ， ．
3. 【答案】（－∞，2]
【解析】根据集合间的包含关系求解.
1.3 不等式的性质与解法
1.（1）× 由不等式的性质，当 时， 不成立，故错误.
（2）√ 符合不等式的可乘方性，故正确.
（3）× 只有当 且 时，一元二次不等式 的解集为 ，
错误.
（4）√ 不等式 或 的解集为空集，可得对应的
函数 （a≠0）的图象与 轴没有公共点，所以函数 无零点，
正确.
a 3
（5）× 取a=-3,b=-2,则 = ＞1，错误.
b 2
2【答案】B 原不等式可化为 ，而 ，原不等式
无解，解集为 ．故选B．
3．【答案】B
【解析】(待定系数法)设 ，
所以 ，解得 ，所以 ，又 ，所以 ，故选B.
4．【答案】 因为 ，且a， ，
所以 ．故答案为 .
1.4 基本不等式
1.（1）×，不等式 成立的条件是 ；不等式 成立的条件是
，错误；
（2）√，是基本不等式的变形，正确；
（3）×，当 时， 是负数，错误；
（4）×，理由一：显然， 恒成立,2不可能是其最小值.
理由二：若利用基本不等式 ，则等号成立的条件是当且仅当
，即 ，无解.故取不到等号.故错误.
2．【答案】D
【详解】因为 ， ， ，所以 ，当且仅当 时取等
号，故选D.
3．【答案】
4 √ 4
2+ ≥ +2 3x· 4√3
【详解】 x+x x=2+ ，当且仅当 时取等号 ，故最小值为
3 2
.
专题二 函数及其性质
2.1 函数的概念及表示
1.(1)× 值域是函数值组成的集合，值域是集合B的子集.
(2)× 两个函数的定义域和值域分别相同，对应法则不一定相同，如y=x与y=2x不是同一函数.
(3)√ 根据函数的概念判断即可.
2.答案1
1
解析 由f(-2)=0得：1+ =0，解得：a=1.
−2+a
3.答案(-∞,1)
解析 依题意得：1-x>0，解得：x<1.
4. 答案-1
解析 f(−3)=log 4=2,所以f( f (−3))= f(2)=2-3=-1.
2
2.2 函数的单调性和最值
1
1.(1)× 函数y= 的单调递减区间是(-∞,0)，(0,+∞),不能用“∪”，因此结论错误.
x
(2)× 对R上任意的x<x，都有f(x)<f(x )，才能判定函数是增函数，因此结论错误.
1 2 1 2
(3)√ 由函数的最大值与函数图象最高点的关系可知，结论正确.
2.答案[-1，1)
{−2≤a+1≤2,
解析 依题意得： −2≤2a≤2, 解得：-1≤a<1，因此答案为[-1，1).
a+1>2a.
3
3.答案3 ；
7
3
解析 易知 f(x)在[1,4]上单调递减，所以最大值为 f(1)= =3，最小值为 f(4)=
2×1-1
3 3
= .
2×4-1 7
3. 答案(0，9]
a
解析 由函数f(x)=x+ (a>0)在[√a，+∞)上单调递增得：√a≤3，又a>0，因此0<a≤9.
x
2.3 函数的奇偶性、周期性和对称性
1.(1)× [解析]对于f(x)=x(-1<x≤1),存在x=0.5使f(-x )=-f(x),但f(x)的定义域不关于原点对
0 0 0
称,所以它不是奇函数,故结论错误.
(2)× [解析]偶函数的图象不一定过原点正确，但若奇函数在x=0处无定义时，其图象不过
原点，只有当x=0时函数有意义，其图象才过原点，因此结论错误.
(3)√ [解析]因为T是函数f(x)的一个周期，所以f(x+2T)=f(x+T)=f(x)，因此2T也是函数
f(x)的周期，进而可以得到对任意非零整数n，nT都是函数f(x)的周期，故结论正确.
(4)√ [解析]由知识拓展中的结论知结论正确,{ 1
1 {a−1+2a=0, a= , 1
2.答案 [解析]依题意得： 解得： 3 因此a+b= .
3 b=0. 3
b=0.
3.答案-2 [解析] f(1)=1+1=2,因为f(x)是定义域为R的奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2,故选C.
4.答案-1 [解析]由f(x+2)=-f(x)得：f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，因此f(x)是以4为周期的周期函数，
所以，f(2025)=f(1)=-f(-1)=-1.
2.4 二次函数与幂函数
1.(1)× 幂函数的图象不经过第四象限，所以结论错误.
(2)× 当α=-1时，y=x-1在(-∞,0)和(0,+∞)上均单调递减，但不是减函数，所以结论错误.
(3)√ 结合幂函数的图象知结论正确.
(4)× 对于函数f(x)=ax2+bx+c(x R,a≠0)，当b=0时，函数f(x)是偶函数.所以结论不正确.
3 m-4
2.[答案]4；2或14； [解析]二∈次函数y=x2-(m-4)x+2m-3图象的对称轴为x= ,所以当
2 2
m-4
对称轴为 x=0,即 =0,即 m=4 时,函数图象的顶点在 y 轴上.因为二次函数 y=x2-
2
(m-4 -m2+16m-28) -m2+16m-28
(m-4)x+2m-3图象的顶点坐标为 , ,所以当 =0,即-
2 4 4
m2+16m-28=0,即 m=2 或 m=14 时,函数图象的顶点在 x 轴上.当 x=0 时,y=2m-3,所以当
3
2m-3=0,即m= 时,函数图象经过原点.
2
{ k=1, {k=1,
3 3
3.[答案] [解析]依题意得： 1 α √2 解得： 1 因此k+α= .
2 ( ) = . α= . 2
2 2 2
4.[答案](−∞，−3] [解析]函数f(x)图象的对称轴为x=1-a，由函数f(x)在(−∞，4]上
是减函数得，1-a≥4，解得：a≤-3，故实数a的取值范围是(−∞，−3].
2.5 指数与指数函数
1.(1)× 当n为奇数时,√n an=(√n a) n=a，当n为偶数时,√n an=|a|，(√n a) n=a(a>0).
(2)√ 由指数函数的图象知结论正确.
(3)√ ∵ax>0(a>0且a≠1)恒成立,∴指数函数的图象一定在x轴上方,故正确.
2.√2 令a2-1=1得：a2=2，解得：a=±√2，又a>0，因此a=√2.
[易错警示]指数函数不仅要求系数为1，还要求底数为正且不为1.
1 1
3.2或 由题意得a=2或a−1=2,所以a=2或 .
2 2
4.(-1，0) 令x+1=0得：x=-1，f(-1)=1-1=0，故函数图象恒过点的坐标为（-1,0）.
2.6 对数与对数函数
1.(1)× 当M<0，N<0时等号右边无意义，结论不成立.
(2)× log x2=2log |x|，因此结论错误.
3 3(3)√ 由对数运算法则知结论成立.
(4)× 对数函数的图象都过定点(1,0)，因此结论错误.
2.[答案]8 [解析]依题意得log (log x)=1=log 3，因此log x=3=log 8，故x=8.
3 2 3 2 2
3.[答案]a<c<b [解析] 因为a=log 3<0,b=20.3>20=1,0<c=0.30.2<0.30=1,所以a<c<b.
0.2
1 1 1
4.[答案] [解析]由alog 9=3,可得log 9a=3,所以9a=23=8,所以3-2a=9-a= = .
8 2 2 9a 8
2.7 函数的图象
1.(1) √ 将函数f(x)的图象先向右平移1个单位长度，可以得到函数f(x-1)的图象，再向上
平移1个单位长度，可以得到函数f(x-1)+1的图象，结论正确.
(2)× 若函数 f(x)具有奇偶性，则函数 y=|f(x)|为偶函数，否则结论不一定正确，如取
f(x)=x+1，则函数y=|f(x)|是非奇非偶函数.
(3)× 函数f(x+1)的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的.因为函数y=f(x)
的图象经过点(1,2)，所以函数y=f(x+1)的图象经过点(0,2).故错误.
1
(4)× 把函数y=log (x-1)图象上任一点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变，得到函数
3 2
y=log(2x−1)的图象；
3
1
再 把 所 得 图 象 向 右 平 移 个 单 位 长 度 ， 所 得 图 象 对 应 的 函 数 解 析 式 是
2
[ ( 1) ]
y=log 2 x− −1 =log (2x−2).
3 2 3
故结论错误.
2.[答案]D
[解析]由|x|-1>0,解得x<-1或x>1,所以f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(1,+∞),故A,B错误.当x>1时,
f(x)=-log (|x|-1)=-log (x-1)单调递减,故C错误,D正确.故选D.
2 2
[易错警示]已知解析式选择函数图象，要从定义域、奇偶性、单调性、特殊值等角度分析
选取，解题时防止遗漏导致解题错误.
3.[答案]C
[解析]出发时距学校最远,排除A;中途因交通堵塞停留,距离不变,排除D;堵塞停留后比原来
骑得快,排除B.故选C.
4.[答案]左，3；下，1（或下；1；左；3）
[解析]将把函数y=lg x的图象向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，可以
x+3
得到函数y=lg(x+3)-1=lg 的图象.（也可以先向下平移1个单位长度，再向左平移3
10
个单位长度）
2.8 函数的零点与方程的根
1.(1)× 函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标.
(2)× 因为方程x2+x+1=0的判别式Δ=1-4=-3<0,所以函数f(x)没有零点,故错误.
(3)× 二分法只能求变号零点的近似值.
(4)√ 由函数零点存在定理可知正确.2.[答案]e
[解析]因为f(x)=ln x-1在(0,+∞)上单调递增,且f(e)=ln e-1=0,所以函数f(x)=ln x-1的零点为
e.
[易错警示]函数的零点是数，不是点.
3.[答案]-2
[解析]因为f(-2)=-3<0,f(-1)=4>0,且f(x)在定义域R上单调递增,所以可以取的初始区间是(-2,-
1).故n=-2.
4.[答案](0，3)
[解析]由题意得f(1)f(2)＜0，即(2−2−a)∙(4−1−a)<0，因此0<a<3，
因此实数a的取值范围是(0，3).
2.9 函数的模型及应用
1.(1)× 对于一个实际问题，可以选择不同的函数模型，但是模拟效果有区别，结论错误.
(2× 当x=3时，23=8<32=9，结论不成立.当x无限增大时，函数y=2x的增长速度比y= x2快.
(3) × 因为100×1.1×0.9=99<100，因此亏本，结论错误.
2. D 指数函数模型.
3.[答案]506
( 25) 2 625
[解析]设日销售金额为y元,则y=(-t+35)(t+10)=- t- +350+ ,又0<t≤30,t∈N,所以当
2 4
t=12或13时,y取得最大值506,故这种商品的日销售金额最高为506元.
[易错点]由于t∈N，因此t=12或13时,y取得最大值506.
4.[答案]200
[解析]当x=1时，100=alog 3,所以a=100,所以x=7时，y=100log 9=200.
3 3
5.[答案]y={0.5x,0≤x≤100,
0.4x+10,x>100.
[解析]当0≤x≤100时，y=0.5x；当x>100时，y=0.5×100+0.4×(x−100)=0.4x+10，
因此y={0.5x,0≤x≤100,
0.4x+10,x>100.
专题三 导数及其应用
3.1 导数的概念及运算1.（1）× 由导数定义式知
，所以
仍成立，所以 ，所以
.
（2）×
.
2.答案 B
解析 因为f(x)＝aln x＋x2，所以f′(x)＝＋2x，所以f′(1)＝a＋2＝3，解得a＝1，则f(x)＝
ln x＋x2，所以f(1)＝1，将点(1，1)代入切线方程得3－1＋b＝0，解得b＝－2，故a＋b＝
－1.故选B.
3.答案 3x2ex+x3ex
解析 f′(x)=(x3) ＇ ex+x3(ex) ＇=3x2ex+x3ex.
4.答案27
解析g＇（x）=3x2,所以g＇（3）=27.
3.2 导数与函数的单调性、极值和最值
1
1. （1）× 可能是 f′(x)≥0 （2）× 如函数y=- （3） √
x
2. C
[解析]在区间(4,5)上, f '(x)＞0恒成立,所以f (x)在区间(4,5)上单调递增.
( √3 √3)
3. − ,
3 3
[ 解 析 ] 由 f (x)=x3−x+2,可 得 f '(x)=3x2−1,令 f '(x)=3x2−1＜0,得
√3 √3 ( √3 √3)
− ＜x＜ ,所以f (x)的单调递减区间为 − , .
3 3 3 3
4.(−∞,1)
1 1−x 1−x
[ 解 析 ] 由 题 意 得 f '(x)=1− = .令 f '(x)＞0,即 ＞ 0, 解 得
2−x 2−x 2−x
x＜1或x>2,又x＜2，所以x＜1，所以f (x)的单调递增区间为(−∞,1).
易错分析 求单调区间时易忽略定义域而致误.专题四 三角函数与解三角形
4.1 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式
1.(1) ×
终边相同的角有无数个，它们的关系可能相等，也可能不等.例如−30o
角 和
330o
角
终边相同，但是两个角不相等.
(2) × 例如
100o
角 是第二象限角，
370o
角 是第一象限角，但
100o <370o
.
（3）× 例如
α=−240o
，则
sinα>0
且
tanα<0
，但α 不是钝角.
−4
2. −4√3 由 三 角 函 数 定 义 知 ：
cos600°=
，
√a2+(−4) 2
1 −4
cos600°=cos(600°−720°)=cos(−120°)=cos120°=−cos60°=−
，所以 =
2 √a2+(−4) 2
1
− ，因为600°角的终边在第三象限，所以a<0,所以a=−4√3.
2
3. 6 ；27 设扇形所在圆的半径为 ，则 ，解得 ，该扇形的面积
．
2 2cosα−sinα 2cosα−sinα 2−tanα
− =
4. 5 ； 5 由 sinα+cosα 分子、分母同除以cosα得， sinα+cosα 1+tanα
1 sinαcosα tanα
tanα=− sinαcosα= =
代 入
2
， 得 原 式 =5 ， 因 为
sin2α+cos2α 1+tan2α
代 入
1 2
tanα=− =−
2 5
得原式
.
1−√3
5.
tan3000 sin450 tan(360 60)sin(36090) tan(60)sin901 3.
.4.2 三角恒等变换
1. （1）√
（2）× 当α=β=45°时，就不成立.
（ 3 ） × ， 所 以
，而 ，所以 的最小值为
.
1 1
2. cos15°cos45°−sin15°sin45°=cos60°= .
2 2
√30
3. 6 ，所以 ，而 ，
所以 ，即 ，所以 .
4.3 三角函数的图象与性质
1.（1）× 由 ，得 ，所以函数 在 上是增函数.
（2）× 函数 的初相为 .
（3）√ 将函数 的图象向左平移 个单位长度可得x∈[0,2π]的图象，即 .
（4）× 令 ， ，则 ，由对勾函数模型得 .
2. 因为 ，所以 ， ，
解得 ， ，故答案为： .
3. 因为函数 为奇函数，所以 ，又因为 ，
所以 或 . 故答案为 .
4.4 解三角形
1.（1）× 在△ABC中， ，由三角形内角和为180°知 ， ，
，
∴由正弦定理得 .
（2）× 在△ABC中，若 ，只能说明 ，A是锐角，其他
两角是不是锐角不确定.
（3） √ 由余弦定理 ，当 时，则有 ，可知正确.
（4） × 由正弦定理可得 ，因此三角形可能无解，可能有唯一解，有可
能有两解.
2. 由题意知， ，所以 ，又因为在锐角三角形
中， ，所以 .3. 若 ，则 ，可得 ，
由余弦定理得 .
4. 5(√3+1) 如图所示，依题意可知 ，
在 中，
解得 .
专题五 平面向量与复数
5.1 平面向量的概念及线性运算、基本定理及坐标表示
1.(1)× 0与任意向量平行.
→ →
(2)× 与 所在的直线还可以平行.
AB CD
(3)× 基底向量中一定不可以含有零向量,故错误.
x y
1 1
(4)× 当a=(1,0)、b=(2,0)时，满足a与b共线，但不满足 = ，因此结论错误.
x y
2 2
2.[答案]-2 [解析]因为向量 a=(2,t),b=(1,-1),所以 a-b=(1,t+1),因为(a-b)∥b,所以
(t+1)×1=1×(-1),解得t=-2.
7
3.[答案](2， ) [解析]设D(x，y)，则⃗BC=(4，3)，⃗AD=(x，y−2)，
2
{x=2,
{ 2x=4, 7
由⃗BC=2⃗AD得： 解得： 7 .即D(2， ).
2y−4=3. y= 2
2
5 2 1
3. [答案] [解析]由题可知⃗AE= (⃗AB+⃗AD),∵F 是线段 BE 的中点,∴⃗AF= ⃗AB+
6 3 2
1
⃗AE,
2
∴⃗AF=
(2
×
1
+
1)⃗AB+ 2
×
1
⃗AD,∴⃗AF=
5
⃗AB+
1
⃗AD,∴x=
5
.
3 2 2 3 2 6 3 65.2 平面向量的数量积
1.(1)[答案]× [解析]两向量的夹角的取值范围是[0，π].
(2)[答案]× [解析]当a⃗·⃗b=0时， a⃗与⃗b可能均为非零向量且a⃗⊥⃗b，故错误.
(3)[答案]× [解析]因为(a⃗·⃗b)c⃗表示的是与c⃗共线的向量, a⃗(⃗b·c⃗)表示的是与a⃗共线的向量,所
以(a⃗·⃗b)·c⃗=a⃗·(⃗b·c⃗)不一定成立,故错误.
(4)[答案]× [解析]当a⃗=0⃗时, ⃗b=c⃗不一定成立,故错误.
(4 8)
2.[答案] ,
5 5
[解析]由题意可得a⃗·⃗b=2×1+1×2=4,|⃗b|=√12+22=√5,所以c⃗=
a⃗·⃗b
·⃗b=
4
⃗b=
(4
,
8)
.
|⃗b|2 5 5 5
[易错警示]解决投影向量应注意概念与计算公式： a⃗在⃗b上投影向量的定义：⃗OM =|a⃗|
1
cosθe⃗.
a⃗·⃗b ⃗b
(e⃗为与⃗b方向相同的单位向量). a⃗在⃗b上投影向量的计算公式为：⃗OM =|a⃗|× ×
1 |⃗a||⃗b| |⃗b|
=
a⃗·⃗b
⃗b.解题时防止记错公式导致解题错误.
|⃗b|2
( √2)
3.[答案]-6√2 [解析]a⃗·⃗b=|a⃗|·|⃗b|cos 135°=3×4× - =-6√2.
2
4.[答案]150° [解析]∵a⃗=(-√3,-1),⃗b=(1,√3),∴|a⃗|=2,|⃗b|=2, a⃗·⃗b=-√3×1-1×√3=-2√3,
a⃗·⃗b -2√3 √3
∴cos θ= = =- ,又0°≤θ≤180°,∴θ=150°.
|a⃗||⃗b| 2×2 2
5.3 复数
1.(1)× a+bi的虚部是b，故错误.
(2)× 当a=0且b≠0时，z是纯虚数，故错误.
(3)× 复数不可以比较大小，如i与0不能比较大小：若i>0，则i2>0×i，即-1>0；若i<0，
则i2>0×i，即-1>0，均不成立.
(4) × 若z=i,则z2=-1∈R,但z R,故错误.
2.[答案]-3
∉
{ m−2≠0,
[解析]因为(m2+m-6)+(m+2)i是纯虚数,所以 解得m=-3.
m2+m−6=0,
3.[答案]2-3i
[解析]依题意得⃗OA=(1,1),⃗OB=(-1,4),所以⃗BA=⃗OA-⃗OB=(2,-3),故向量⃗BA对应的复数为2-
3i.4.[答案]3π
[解析]由复数的几何意义可知,复数z在复平面内对应的点在如图所示的圆环内(包括边界),
小圆的半径r=1,大圆的半径R=2,所以圆环的面积S=π(R2-r2)=3π,即所求面积为3π.
专题六 数列
6.1 数列的概念及表示
1. （1）×（2） ×
（3）√（4）√
2. D
(−1) 2 (−1) 3 1 (−1) 4 (−1) 5 2
[解析]a =1+ =2,a =1+ = ,a =1+ =3,a =1+ = .
2 a 3 a 2 4 a 5 a 3
1 2 3 4
{3(n=1),
3. a =
n 2n(n≥2).
[解析]因为S =2n+1−1,所以当n≥2时,a =S −S =(2n+1−1)−(2n−1)=2n,
n n n n−1
{3(n=1),
当n=1时,a =S =3不满足上式,故a =
1 1 n 2n(n≥2).
易错分析 易忽视对n=1的验证而致误.
6.2 等差数列
即练即清
1.（1）×（2） √（3） ×
（4）×
2. A
{a +3d+a +7d=10， 1
[解析]由题意得 1 1 解得d= ,故选A.
a +9d=6， 4
1
3. 5
5(a +a )
[解析]a +a +a =3a =3⇒a =1,S = 1 5 =5a =5.
1 3 5 3 3 5 2 34.2n−5;n2−4n
[ 解 析 ] 设 等 差 数 列 {a }的 公 差 为
n
d.a +a =2a =10,∴a =5,∴d=a −a =2,∴a =5+(n−5)×2=2n−5,∴a =−3,
3 7 5 5 6 5 n 1
(−3+2n−5)×n
∴S = =n2−4n.
n 2
( 7)
5. −1，−
8
{a ＞0, {7+7d＞0, 7
[解析]由题意知d＜0且 8 即 解得−1＜d＜− .
a ＜0, 7+8d＜0, 8
9
易错分析 易忽视题干中的“当且仅当”而致误.
6.3 等比数列
1. (1)× 在等比数列中，q≠0.
(2)× 若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列.
(3)× 当a＝1时，S＝n.
n
(4)× 若a＝1，q＝－1，则S＝0，S－S＝0，S －S＝0，不成等比数列.
1 4 8 4 12 8
2.答案
解析 由a＝27，a＝，可得27×q8＝，
1 9
即q8＝，又由q＜0，得q＝－，
a (1−q8)
所以S＝ 1 =.
8
1−q
3.答案 3·2n－1或2·3n－1
解析 设数列{a}的公比为q，
n
由题意得
解得或
故a＝3·2n－1或a＝2·3n－1.
n n
4.【答案】
【解析】等比数列 中，所有偶数项符号相同, ,
， ，则 .
所以 .
易错分析 ， ，忽视题中的所有偶数项符号相同而致误.专题七 立体几何与空间向量
7.1 空间几何体的结构特征、表面积和体积
1. （1）×，根据棱柱的定义可知错误.
（2） ×， 根据棱锥的定义可知错误.
（3） × ， 这时侧棱的延长线不一定交于一点.
(4) √，设长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为a、b、c，则有 ， ， ，
所以 ．则长方体的体积 ．故正确.
(5) ×，正方形的直观图是平行四边形，所以错误.
2.【答案】D
【详解】正方体内切球的直径是正方体的棱长，所以 ，即 ，
4 4
则球的体积V = πR3= π，故选D．
3 3
【易错点】容易混淆正方体的内切球与外接球的区别.
3.【答案】 【详解】设图(1)中正三棱柱的底面积为 ，水面的高度为 ，则水的体积
.因为E，F， ， 分别为所在棱的中点，所以 ， ，所以图
(2)中水的体积 .又 ，所以 .
故答案为 .
7.2 空间点、线、面的位置关系
1.(1)×,举出反例：当两平面平行时，这两个平面把空间分成了3个部分，故错误.
(2)√,因为过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面，所以如果两个平面有三个不共
线的公共点，那么这两个平面重合.故正确.
(3)×,若两两相交的三条直线交于一点，则其可不在同一个平面．π]
(4) ×,异面直线所成角的范围是(0， ，故错误.
2
2． （1）异面 （2）平行 （3）相交 （4）异面
【详解】由于 与 相交，而 ,所以 与 异面，
取 中点 ，连接 ,由于 ,而 ，故 ，
由于 ，且 ，所以四边形 为平行四边形，故 与 相交，由于
相交，而 ,所以 与 异面.
故答案为：（1）异面，（2）平行，（3）相交，（4）异面.
7.3 直线、平面平行的判定与性质
1．
（1）√，直线与平面上任意一条直线不相交，说明直线与平面没有公共点，所以直线与平
面平行，故正确，
（2）×,两条直线可能平行、相交或异面，故错误；
（3）× ,l与m 可以平行或异面，故错误；
（4）√,夹在两平行平面之间的平行线段相等，故正确.
2.【答案】D
【详解】A选项，如图1，满足 ， ，但 不平行，A错误；B错误，如图2，满足 ， ， ，但 不平行，B错误；
C选项，如图3，满足 ， ， ，但 不平行，C错误；
D选项，若 ，由线面平行的判定定理可得 ，D正确.
故选D.
【易错警示】容易混淆空间中的线面位置关系。
3.【答案】平行 解析：连接BD，设BD∩AC＝O，连接EO(图略)．在△BDD
1
中，O 为 BD 的中点，E 为 DD 的中点，所以 EO 为△BDD 的中位线，则
1 1
BD ∥EO，而BD 平面ACE，EO⊂平面ACE，所以BD ∥平面ACE.
1 1 1
7.4 直线、平面垂直的判定与性质
1.(1)×,若一条直线与平面内无数条互相平行的直线都垂直，那么这条直线可能在平面内，
故错误；
(2)√, 已知两个平面互相垂直，那么一个平面内的直线必垂直于另一个平面内与交线垂直
的直线，这样的直线有无数条，故正确．
（3）√, 根据二面角的定义，故正确；
（4）×，若 ， ，则 或 与 相交，故错误；
2.【答案】 (1)外 (2)垂
解析：(1)因为PO⊥平面ABC，连接OA，OB，OC．在Rt△POA中，OA2＝
PA2－PO2，同理OB2＝PB2－PO2，OC2＝PC2－PO2. 又PA＝PB＝PC，故OA
＝OB＝OC，所以O是△ABC的外心．
(2)由PA⊥PB，PA⊥PC可知PA⊥平面PBC，所以PA⊥BC．又PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，所以AO⊥BC，同理BO⊥AC，CO⊥AB.故O是△ABC的
垂心．
7.5 空间角与空间距离、空间向量及应用
1.（1）√ ． 的一个方向向量为 ， 的
共线向量 也为 的方向向量.
（2）×．当 时， 可能等于 ,不是钝角.
（3）×．两平面的夹角与两个平面的法向量的夹角相等或互补.
（4）×．直线与平面平行，或直线在平面内．
2.【答案】B 【详解】对于A，设 ，则 ，所以
共面，不能构成空间的一个基底，故A错误；
对于B，设 ，则 ， 无解，则 不共面，能构成空间的
一个基底，故B正确；
对于C，设 ，则 ，则 共面，不
能构成空间的一个基底，故C错误；
对于D，设 ，则 ，则 共面，不能构
成空间的一个基底，故D错误.故选B.
3.【答案】B 【详解】根据题意，设 ，则 ， ， ，
则 ， ，设平面 的法向量为 ，则有 ，令 ，可得 ，则 .故选B．
专题八 平面解析几何
8.1 直线和圆
1.（1） × 当两直线倾斜角均为 时，斜率均不存在，不能相等.
（2）× 当 时，斜率不存在.
（3） × 垂直 轴或垂直 轴不能使用 表示.
（4）√ 方程 表示圆，所以 ，解得 .
（5） √ 圆 的圆心 刚好在直线 上，所以直线 与圆
的位置关系是相交且过圆心.
（6） × 两圆有且只有一个公共点，则两圆不一定外切，还有可能内切.
2.答案 ， 圆心 ，因为 ，所以 在圆上，
则直线 与切线垂直， , 所以切线的斜率为 ，
由点斜式得切线方程为 ，整理得 .
3. 答案2, 由题意得，圆心为(0，,1)，半径为√3，圆心到直线 x+y-1=0的距离为
|−1−1|
=√2，所以弦长为2 √(√3) 2 −(√2) 2 =2.
√2
4. 答案4, 由 ，所以该圆的圆心坐标为 ，半径为
2，
， 所以该圆的圆心坐标为 ，半径为1，
所以该两圆圆心距为4，两圆半径和为3，因为 ，所以两圆的位置关系是外离，
故两圆的公切线共有4条.
8.2 椭圆1.（1） × 因为 ，所以点 的轨迹是线段 .
（2） √ 当 时，方程表示圆.
2. 由题意可得 ，解得： ，故椭圆方程为：
.
3. 14 因为 ， ，所以 ，故 的周长为 .
4.【答案】
【解析】∵ ， 为椭圆 的两个焦点，∴ ， ，
的周长为 ，即
，
若 最小，则 最大．又当 轴时， 最小，此时 ，
故 ，解得 ．
8.3 双曲线
1.（1）× 双曲线的定义中要求“常数小于两定点的距离”，而 ，不满足定义要求.实际上，平面内到点 ， 的距离之差的绝对值等于 的点的轨迹是两条射
线.
（2） × 当m<0,n<0时，焦点在y轴上.
（3） × 两双曲线的渐近线不一定相同，焦点在 轴上的渐近线方程为 ，焦点
在y轴上的渐近线方程为 .
2. 答案 , 可设双曲线方程为 ，将 代入方程得
，故双曲线的方程为 ，标准方程为 .
3.答案 , 根据题意，双曲线的方程为 ，则其标准方程为:
，
其右焦点坐标为 ，即 ，则有 ，解可得 ，故双曲线的方程为
，其渐近线方程为 .
4. 答案 , 圆的圆心为 ,半径为 .因为圆与渐近线相切,则圆心到渐近线的距离等于半
径.设渐近线方程为 ,化为一般形式为 ,则
, 由离心率公式得
.
8.4 抛物线
1.
（1） √ 点P到点 的距离比到直线 的距离小1，即点P到点 的距离
和到直线 的距离相等，所以点P的轨迹是抛物线.
（2） ×当直线平行于抛物线的对称轴时，直线和抛物线有一个交点，此时直线和抛物线
相交.
（3） √ 抛物线方程中p的几何意义是焦点到准线的距离.2. 答案 , 依题意可得抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
又点 在 上，则 ，解得 ，则抛物线 的方程为 ，所以
，解得 .
专题九 计数原理
9.1 计数原理、排列与组合
1. （1）× 两类不同方案中的方法不可以相同.（2）×组合中的元素不讲究顺序.
（3）√两名同学可以担任正、副班长.（4）×n也可以等于6.（5）×所有步骤都完成事情才
完成.
2.答案 56
[解析]从8个位置中选出3个位置给3个红球,剩下的5个位置给5个白球,共有C3种不
8
同的排法.
3.答案 240
[解析]解法一:先从5本书中任意取出2本书捆绑看作一本,再将“4本书”分给4个学
生,有C2 ·A4=240种不同的分法.
5 4
C1C1C1
解法二:将5本书分成4组,有C2 ⋅ 3 2 1 种方法;将4组书分给4个学生,有A4种方法,
5 A3 4
3
C1C1C1
故共有(C2
⋅
3 2 1 )⋅A4=240种不同的分法.
5 A3 4
3
易错分析 易重复计算而出错.
4.答案 6
[解析]C2A2
=6.
3 2
9.2 二项式定理
1．(1) × 是展开式的第k+1项.
(2) √
二项式系数是Ck，与a,b无关.
n
(3) √ a,b的顺序不能调换.
(4) × 展开式系数与二项式系数是不同的概念.
2．【答案】【解析】令 ，得 ，
令 ，得 ，
则 ，
且 ，
故 .
3．【答案】60
【解析】 ，
令 ，得 ，故展开式中的常数项为 ．
专题十 概率
10.1 随机事件、古典概型与条件概率
1.【答案】 （1） × 这是个必然事件.
（2）√ 随机事件A的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值.
（3） × 区间内的点有无限多个，不满足有限性.
（4）√根据相互独立事件的定义可知事件A，B相互独立，则 ，反之成
立.
（5）√ 相当于事件 发生的条件下，事件 发生的概率，这时 也发生了，故
正确.
2.【答案】A 分别抛掷两面均匀的硬币，设事件 “第一枚正面朝上”， “第二枚反
面朝上”，则 , ,所以 ，所以事件
与 相互独立.故选A.1
3.【答案】 抛掷一枚质地均匀的骰子两次,统计两次的点数构成的总的样本点有36
4
个，而事件 “两次的点数都是偶数”包含的样本点有
,共9个，故由古典概型概率公式可得：
.
10.2 离散型随机变量及其分布列、均值、方差
1.【答案】（1）√ 随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个，正确.
（2）× 甲进行3次射击，甲击中目标的概率为 ，记甲击中目标的次数为 ，则 的可
能取值为0，1，2，3.
（3）× 离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平.
（4）√ 离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值与其均值的偏离程度，故正确.
5
2.【答案】 根据题意，.可得. .∴ ，则
6
.
3.【答案】405
由题得 .∴ ，
.∴ .
10.3 二项分布、超几何分布及正态分布
1.（1）× 超几何分布对应不放回抽取.
（2）√ 由二项分布的定义知正确．（3）√ 在 重伯努利试验中，各次试验的结果相互之间没有影响，各次试验中事件发生
的概率相同，故正确.
（4）× 正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积为1，错误.
2.【答案】B .
故选B.
3.【答案】 由题意可得重复进行 次该试验，则恰好有 次试验未成功3次
成功的概率为 .
4.【答案】 ；
【详解】由题设可得 ， .
故答案为 ； .
专题十一 统计
11.1 用样本估计总体
1.(1)× 每个个体被抽到的概率相等，与分层无关.
(2)× 平均数指的是这组数据的平均水平，受极端值影响；中位数指的是这组数据的
中间水平，不受极端值影响，它们之间没有必然联系，所以错误.
(3)√ 频率分布直方图中小矩形的面积就是数据落在该区间的频率.
(4)× 一组数据的众数一定是原数据的数,所以该说法错误.
2.[答案]①分层随机抽样 ②简单随机抽样
[解析]①中某社区这500户家庭的收入有明显差异,所以选择样本时宜采用分层随机抽样;②
中个体间差异不大,所以宜采用简单随机抽样.
[易错警示]分层随机抽样与简单随机抽样的区别在于总体中的个体是否存在明显的区别，
有区别时选择分层随机抽样.
3.[答案]23
[解析]∵8×0.7=5.6，∴第70百分位数是第6个数，即23.
4.[答案]258×210+12×200
[解析]依题意得,总样本平均数x= =204，
20
1
∴总样本方差s2= ×{8×[1+(210-204)2]+12×[1+(200-204)2]}=25.
20
11.2 成对数据的统计分析
1.(1)√ 散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法.
(2)× 残差平方和越大，模型的拟合效果越差.
(3)× 样本点的中心必在回归直线上.
(4)× 分类变量X、Y的关系越密切，由观测数据计算得到的χ2的观测值越大.
2.[答案]6.1
25.4+a 25.4+a
[解析]由表格数据知x=4,设被污损的数据为a,则y= ,∴ =1.03×4+1.13,解
6 6
得a=6.1,即被污损的数据为6.1.
