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第 6 章 机械能守恒定律
第 1 节 功和功率
五年高考
1.★★(2024浙江6月,5,3分)一个音乐喷泉喷头出水口的横截面积为2×10-4 m2,喷水
速度约为10 m/s,水的密度为1×103 kg/m3,则该喷头喷水的功率约为 ( )
A.10 W B.20 W C.100 W D.200 W
答案 C
2.★★(2023北京,11,3分)如图所示,一物体在力F作用下沿水平桌面做匀加速直线
运动。已知物体质量为m,加速度大小为a,物体和桌面之间的动摩擦因数为μ,重
力加速度为g。在物体移动距离为x的过程中( )
A.摩擦力做功大小与F方向无关
B.合力做功大小与F方向有关
C.F为水平方向时,F做功为μmgx
D.F做功的最小值为max
答案 D
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3.★★(2021浙江6月,11,3分)中国制造的某一型号泵车如图所示,表中列出了其部分
技术参数。已知混凝土密度为2.4×103 kg/m3,假设泵车的泵送系统以150 m3/h的
输送量给30 m高处输送混凝土,g取10 m/s2,则每小时泵送系统对混凝土做的功
至少为 ( )
发动机最大输出功率(kW) 332 最大输送高度(m) 63
整车满载质量(kg) 5.4×104 最大输送量(m3/h) 180
A.1.08×107 J B.5.04×107 J
C.1.08×108 J D.2.72×108 J
答案 C
4.★★(2023辽宁,3,4分)如图(a),从高处M点到地面N点有Ⅰ、Ⅱ两条光滑轨道。
两相同小物块甲、乙同时从M点由静止释放,沿不同轨道滑到N点,其速率v与时
间t的关系如图(b)所示。由图可知,两物块在离开M点后、到达N点前的下滑过
程中 ( )
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A.甲沿Ⅰ下滑且同一时刻甲的动能比乙的大
B.甲沿Ⅱ下滑且同一时刻甲的动能比乙的小
C.乙沿Ⅰ下滑且乙的重力功率一直不变
D.乙沿Ⅱ下滑且乙的重力功率一直增大
答案 B
5.★★★(2021重庆,10,5分)(多选)额定功率相同的甲、乙两车在同一水平路面上从
静止启动,其发动机的牵引力随时间的变化曲线如图所示。两车分别从t 和t 时
1 3
刻开始以额定功率行驶,从t 和t 时刻开始牵引力均视为不变。若两车行驶时所
2 4
受的阻力大小与重力成正比,且比例系数相同,则( )
A.甲车的总重比乙车的大
B.甲车比乙车先开始运动
C.甲车在t 时刻和乙车在t 时刻的速率相同
1 3
D.甲车在t 时刻和乙车在t 时刻的速率相同
2 4
答案 ABC
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三年模拟
1.★★(2024届A9协作体期中联考)如图甲所示,光滑水平面上的小物块,在水平拉力
F的作用下从坐标原点O开始沿x轴正方向运动,F随物块所在位置坐标x的变
化关系如图乙所示,图线为半圆(F 与x 在数值上相等),则小物块从坐标原点O运
m 0
动到2x 处过程中拉力做的功为 ( )
0
1
A.0 B. πF x
4 m 0
1
C. πF x D.πF x
2 m 0 m 0
答案 C
2.★★(2025届江浙皖高中发展共同体联考)东海大桥连接了上海浦东与洋山镇,东海
大桥海上风电场是我国第一座大型海上风电场。其使用的风力发电机叶片长度
约100 m,风力发电机可将通过风扇截面的空气动能的50%转化为电能,已知空气
密度为1.29 kg/m3,当海上风速达到6 m/s时,其发电功率约为 ( )
A.1 000 kW B.2 000 kW
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C.5 000 kW D.10 000 kW
答案 B
3.★★(2024届温州期末)如图所示,三个完全相同的小球a、b、c处于同一高度,将
小球a从固定的光滑斜面上静止释放,小球b、c以相同的速率分别竖直向上、水
平向右抛出,不计空气阻力。关于小球从开始运动到触地过程,下列说法正确的是
( )
A.三个小球运动时间相等
B.重力对小球b做的功最多
C.重力对小球c做功的平均功率最大
D.三个小球触地前瞬间,重力做功的瞬时功率相等
答案 C
4.★★(2025届嘉兴月考)某品牌电动汽车电动机最大输出功率为120 kW,最高车速
可达180 km/h,车载电池最大输出电能为75 kW·h。已知该车以90 km/h的速度
在平直公路上匀速行驶时,电能转化为机械能的总转化率为90%。若汽车行驶过
程中受到阻力f与车速v的关系满足f=kv2(k未知且为常数),则该电动汽车以90
km/h行驶的最大里程约为 ( )
A.350 km B.405 km
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C.450 km D.500 km
答案 B
5.★★★(2025届绍兴一模)《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻
田里引水的场景。引水过程简化如下:两个半径均为R的水轮,以角速度ω匀速转
动。水筒在筒车上均匀排布,与水轮间无相对滑动,单位长度上有n个水筒。每个
水筒离开水面时装有质量为m的水,其中的75%被输送到高出水面H处灌入稻
田。当地的重力加速度为g,则( )
3nmgωRH
A.筒车对灌入稻田的水做功的功率为
4
3nmgω2RH
B.筒车对灌入稻田的水做功的功率为
4
3nπmgω2RH
C.筒车消耗的功率等于
4
D.筒车消耗的功率小于nmgωRH
答案 A
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第 2 节 动能定理及其应用
五年高考
1.★★(2024安徽,2,4分)某同学参加户外拓展活动,遵照安全规范,坐在滑板上,从高
为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑,至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为
m,可视为质点。重力加速度大小为g,不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服
摩擦力做的功为 ( )
1
A.mgh B. mv2
2
1 1
C.mgh+ mv2 D.mgh- mv2
2 2
答案 D
2.★★(2021山东,3,3分)如图所示,粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻
质细杆,一端可绕竖直光滑轴O转动,另一端与质量为m的小木块相连。木块以
水平初速度v 出发,恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中,木块所受摩
0
擦力的大小为( )
mv2 mv2 mv2 mv2
A. 0 B. 0 C. 0 D. 0
2πL 4πL 8πL 16πL
答案 B
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3.★★★(2022江苏,8,4分)某滑雪赛道如图所示,滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑,
经圆弧滑道起跳,将运动员视为质点,不计摩擦力及空气阻力。此过程中,运动员
的动能E 与水平位移x的关系图像正确的是( )
k
答案 A
4.★★★(2023广东,8,6分)(多选)人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示,可看
1
作质点的货物在 圆弧滑道顶端P点由静止释放,沿滑道运动到圆弧末端Q点时
4
速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg,滑道高度h为4 m,且过Q点的切线水
平,重力加速度取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程,下列说法正确的
有 ( )
A.重力做的功为360 J
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B.克服阻力做的功为440 J
C.经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2
D.经过Q点时对轨道的压力大小为380 N
答案 BCD
5.★★★(2024重庆,4,4分)活检针可用于活体组织取样,如图所示。取样时,活检针的
针芯和针鞘被瞬间弹出后仅受阻力。质量为m的针鞘在软组织中运动距离d 后
1
进入目标组织,继续运动d 后停下来。若两段运动中针鞘整体受到阻力均视为恒
2
力,大小分别为F 、F ,则针鞘 ( )
1 2
√2(F d +F d )
A.被弹出时速度大小为 1 1 2 2
m
B.到达目标组织表面时的动能为F d
1 1
C.运动d 过程中,阻力做功为(F +F )d
2 1 2 2
D.运动d 的过程中动量变化量大小为√mF d
2 2 2
答案 A
三年模拟
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1.★★(2024届七彩阳光联盟开学考)歼-20是先进隐形战斗机,假设某次训练中,歼-20
从静止开始沿跑道直线加速起飞,这个过程可看作两个阶段,第一阶段以恒定功率
P从静止开始运动,加速至速度达到120√3 km/h,第二阶段以恒定功率2P运动到
起飞,起飞速度为360 km/h,两个阶段时间相等,运动过程阻力恒定,则歼-20起飞过
程第一阶段和第二阶段位移大小之比为 ( )
A.2∶1 B.1∶2 C.1∶3 D.3∶1
答案 B
2.★★★(2025届浙南联盟月考)如图是运动员斜向上抛出铅球时的情景,用h表示铅
球飞行过程中的离地高度,以地面为零势能面,E 、E 、E分别表示铅球的重力势
p k
能、动能、机械能,P表示铅球重力的瞬时功率大小,不计空气阻力。已知铅球刚
离手时高度为h ,运动到最高点时高度为h 。则铅球在空中飞行过程中,下列图像
0 1
可能正确的是 ( )
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答案 A
3.★★★(2024杭州二模)如图,有一质量为m的小球,用细线挂在天花板上,线长为l,
将其拉至水平位置由静止释放。忽略空气阻力,小球可看成质点,重力加速度为g,
则下列说法正确的是( )
A.在小球摆动过程中重力总是做正功
B.重力功率最大值为mg√2gl
√ l
C.小球动能变化周期是π
g
D.在小球下摆过程中,动能随时间的变化率先变大后变小
答案 D
4.★★★(2024届丽水期末)有一段粗糙轨道AB长为s,第一次物块以初速度v 由A
0
出发,向右运动到达B时速度为v ,第二次物块以初速度v 由B出发向左运动。以
1 0
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A为坐标原点,沿AB方向建立x轴,物块与地面间的摩擦力f随x的变化情况如图,
已知物块质量为m,下列说法正确的是 ( )
A.物块在第一次运动中做匀减速直线运动
m
B.f-x图线的斜率为 (v2-v2 )
2s2 0 1
C.第二次能到达A点,且所用时间较第一次长
1
D.两次运动中,在距离A点 s处摩擦力功率大小相等
2
答案 C
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微专题 9 动能定理在多过程运动中的应用
1.★★(2024届湖州六校联考月考)(多选)跳台滑雪的示意图如图所示,质量为m的运
动员从长直倾斜的助滑道AB的A处由静止滑下,为了改变运动员的速度方向,在
助滑道AB与起跳台D之间用一段弯曲滑道衔接,其中最低点C处附近是一段以
O为圆心的圆弧,圆弧轨道半径为R。A与C的高度差为H,弯曲滑道末端即起跳
台D与滑道最低点C的高度差为h,重力加速度为g。不计空气阻力及摩擦,则运
动员 ( )
A.到达C点时的动能为mgH
2mgH
B.到达C点对轨道的压力大小为
R
C.到起跳台D点的速度大小为√2g(H−ℎ)
D.从C点到D点重力势能增加了mg(H-h)
答案 AC
2.★★★(2022广东,9,6分)(多选)如图所示,载有防疫物资的无人驾驶小车,在水平MN
段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶,在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速
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度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg,MN=PQ=20 m,PQ段的倾角为30°,
重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。下列说法正确的有( )
A.从M到N,小车牵引力大小为40 N
B.从M到N,小车克服摩擦力做功800 J
C.从P到Q,小车重力势能增加1×104 J
D.从P到Q,小车克服摩擦力做功700 J
答案 ABD
3.★★★(2025届七彩阳光联盟联考)距水平地面h 处的A点,一质量m的小球以初速
1
度大小v(未知)竖直落下,落到水平地面上被弹回,回跳到h 处的B点时速度为
2
零。若小球与地面碰撞时机械能损失20%,重力加速度为g,不计空气阻力,则从A
到B过程中( )
A.重力做功为mg(h -h )
2 1
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B.合力对小球做功为mg(h -h )
1 2
√5
C.初速度大小v= g(ℎ −ℎ )
2 2 1
1
D.地面对小球做的功为- mgh
4 2
答案 D
4.★★★(2021全国甲,20,6分)(多选)一质量为m的物体自倾角为α的固定斜面底端
沿斜面向上滑动。该物体开始滑动时的动能为E ,向上滑动一段距离后速度减小
k
E
为零,此后物体向下滑动,到达斜面底端时动能为 k。已知sin α=0.6,重力加速度
5
大小为g。则 ( )
E
A.物体向上滑动的距离为 k
2mg
g
B.物体向下滑动时的加速度大小为
5
C.物体与斜面间的动摩擦因数等于0.5
D.物体向上滑动所用的时间比向下滑动的时间长
答案 BC
5.★★★(2021辽宁,10,6分)(多选)冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之
一。某冰滑梯的示意图如图所示,螺旋滑道的摩擦可忽略;倾斜滑道和水平滑道与
同一滑板间的动摩擦因数μ相同,因滑板不同μ满足μ ≤μ≤1.2μ 。在设计滑梯时,
0 0
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要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑,且滑行结束时停在水平滑道上,以下
L 、L 的组合符合设计要求的是( )
1 2
ℎ 3ℎ 4ℎ ℎ 4ℎ 2ℎ
A.L = ,L = B.L = ,L = C.L = ,L =
1 2μ 2 2μ 1 3μ 2 3μ 1 3μ 2 3μ
0 0 0 0 0 0
3ℎ ℎ
D.L = ,L =
1 2μ 2 μ
0 0
答案 CD
6.★★★(2025届强基联盟联考)某被固定的游戏装置的竖直截面如图所示,由弧形轨
道AB、竖直圆轨道BCD、水平直轨道DE平滑连接而成,圆形轨道底端略微错
开,在轨道末端E的右侧粗糙水平面FG上紧靠着一质量为M=0.2 kg的长木板,长
木板上表面与轨道末端E所在的水平面平齐。现将一质量m=0.1 kg的小物块从
弧形轨道上高度为h处静止释放。已知圆轨道半径R=0.5 m,长木板的长度l=2 m,
小物块与长木板间的动摩擦因数μ =0.5,木板与水平面FG间的动摩擦因数
1
μ =0.1,小物块可视为质点,不计其他阻力,g=10 m/s2。
2
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(1)若h=1 m,求物块第一次经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力N;
(2)若物块沿轨道运动恰好过C点,求静止释放点的高度h;
(3)若小物块恰好能通过圆轨道最高点并从E点滑上长木板,请判定小物块能否滑
离长木板;若不能,求小物块在长木板上滑行的最大距离;若能,求小物块在长木板
上滑行的时间。
2
答案 (1)5 N 方向竖直向下 (2)1.25 m (3)能 s
3
7.★★★★(2024浙江1月,18,11分)某固定装置的竖直截面如图所示,由倾角θ=37°的
直轨道AB,半径R=1 m的圆弧轨道BCD,长度L=1.25 m、倾角为θ的直轨道DE,
半径为R、圆心角为θ的圆弧管道EF组成,轨道间平滑连接。在轨道末端F的右
侧光滑水平面上紧靠着质量m=0.5 kg的滑块b,其上表面与轨道末端F所在的水
平面平齐。质量m=0.5 kg的小物块a从轨道AB上高度为h处静止释放,经圆弧
轨道BCD滑上轨道DE,轨道DE由特殊材料制成,小物块a向上运动时动摩擦因
数μ =0.25,向下运动时动摩擦因数μ =0.5,且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小
1 2
物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为μ ,小物块a运动到滑块右侧的竖直挡
1
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板能发生弹性碰撞。(其他轨道均光滑,小物块视为质点,不计空气阻力,sin
37°=0.6,cos 37°=0.8,g取10 m/s2)
(1)若h=0.8 m,求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小;
②在DE上经过的总路程;
③在DE上向上运动时间t 和向下运动时间t 之比。
上 下
(2)若h=1.6 m,滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
答案 见解析
1
解析 (1)①mgh= mv2
2 C
v2
a = C=16 m/s2
C
R
②由题可知F高度h =R(1-cos θ)+L sin θ+R(1-cos θ)=1.15 m,则h<h ,故小物块a
F F
到不了F点,在DE轨道上有mg sin θ>μ mg cos θ,故小物块不会锁定在DE轨道
2
上,小物块多次经过D点,则最终小物块a在BD间往复运动,则小物块a在DE上
向上运动的路程等于向下运动的路程,则有mgh-mgR(1-cos θ)=(μ +μ )mgs cos θ
1 2
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解得s=1 m,s =2s=2 m
总
③向上运动时有mg sin θ+μ mg cos θ=ma
1 1
a =8 m/s2
1
向下运动时有mg sin θ-μ mg cos θ=ma
2 2
a =2 m/s2
2
1 t √a 1
由s= at2可得 上= 2=
2 t a 2
下 1
1
(2)由A到F,由动能定理得mgh-mgh -μ mgL cos θ= mv2
F 1 2 F
设滑块长为L 时,小物块恰好不脱离滑块,此时二者达到共同速度v
b
由动量守恒有mv =2mv
F
1 1
由能量守恒有μ mg·s'= mv2- (2m)v2
1 2 F 2
s'为a在b上运动的路程;b长度最短时,a运动到b的最右端与竖直挡板发生弹性
s'
碰撞,a、b速度互换,a运动到b的最左端二者共速,所以L =
b
2
解得v =2 m/s,L =0.2 m
F b
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第 3 节 机械能守恒定律及其应用
五年高考
1.★★(2024浙江1月,3,3分)如图所示,质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出
后落在位置3,在空中达到最高点2的高度为h,重力加速度为g,则足球( )
A.从1到2动能减少mgh
B.从1到2重力势能增加mgh
C.从2到3动能增加mgh
D.从2到3机械能不变
答案 B
2.★★★(2023湖南,8,5分)(多选)如图,固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB
和圆弧段BC组成,两段相切于B点,AB段与水平面夹角为θ,BC段圆心为O,最高
点为C,A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度v 冲上轨
0
道,能沿轨道运动恰好到达C点,下列说法正确的是(重力加速度为g) ( )
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A.小球从B到C的过程中,对轨道的压力逐渐增大
B.小球从A到C的过程中,重力的功率始终保持不变
C.小球的初速度v =√2gR
0
D.若小球初速度v 增大,小球有可能从B点脱离轨道
0
答案 AD
3.★★★(2021浙江1月,20,12分)如图所示,竖直平面内由倾角α=60°的斜面轨道
1
AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和 圆周细圆管轨道EFG构成一游
6
戏装置固定于地面,B、E两处轨道平滑连接,轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨
道出口处G和圆心O 的连线,以及O 、E、O 和B四点连成的直线与水平线间的
2 2 1
夹角均为θ=30°,G点与竖直墙面的距离d=√3R。现将质量为m的小球从斜面的
某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞,不计小球
大小和所受阻力,重力加速度为g。
(1)若释放处高度h=h ,当小球第一次运动到圆管最低点C时,求速度大小v 及在
0 C
此过程中所受合力的冲量I的大小和方向;
(2)求小球在圆管内与圆心O 点等高的D点所受弹力F 与h的关系式;
1 N
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点,高度h应该满足什么条件?
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答案 见解析
解析 (1)由机械能守恒定律得
1
mgh = mv2
0 2 C
v
C
=√2gℎ
0
由动量定理得
I=mv
C
=m√2gℎ
0
方向水平向左
1
(2)由动能定理得mg(h-R)= mv2
2 D
mv2
由牛顿第二定律得F = D
N
R
ℎ
解得F =2mg( -1)
N
R
满足的条件h≥R
5
(3)第1种情况:小球不滑离轨道原路返回,由几何关系得,G点高度为 R,故条件是
2
5
h≤ R
2
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v
第2种情况:小球与墙面垂直碰撞后原路返回,在进入G之前做平抛运动v t=v y
x x
g
=d,其中v =v sin θ,v =v cos θ
x G y G
v cosθ
则v sin θ G =d
G
g
解得v =2√gR
G
5 1
由动能定理得mg(h- R)= mv2
2 2 G
9
h满足的条件为h= R
2
三年模拟
1.★★(2024届北斗星盟月考)如图所示为一款玩具“弹簧公仔”,该玩具由头部、轻
弹簧及底座组成,底座黏在桌面上。已知公仔头部质量为m,弹簧劲度系数为k(弹
1
簧的弹性势能表达式为 kx2)。轻压公仔头部至弹簧弹力为2mg时,由静止释放公
2
仔头部,公仔头部在竖直向上运动过程中,弹簧始终在弹性限度内。已知重力加速
度为g,则公仔头部在向上运动的过程中,以下说法中正确的是( )
A.释放公仔头部瞬间,头部的加速度大小为2g
B.弹簧恢复原长时,公仔头部的速度最大
3m2g2
C.公仔头部的最大动能为
2k
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3m2g2
D.公仔头部从最低点运动到动能最大时,弹性势能减少了
2k
答案 D
2.★★★(2025届江浙皖发展共同体联考)如图所示,两根原长相同的轻质弹簧,下端固
定在光滑斜面的底部。质量分别为m 、m 的物块1、2静止在两弹簧上端时,两
1 2
物块处于同一高度,以此处为零重力势能面,已知m >m 。分别用外力将两物块缓
1 2
慢沿斜面向下压相同的距离后,撤去外力。从撤去外力到物块离开弹簧后上升到
最高点的过程中 ( )
A.最大速度v =v
1 2
B.最大加速度a <a
1 2
C.经历的时间t >t
1 2
D.最大重力势能E =E
p1 p2
答案 A
3.★★★(2024届金华第一中学月考)如图所示,AOB是游乐场中的滑道模型,位于竖直
1
平面内,由两个半径为R的 圆周连接而成,它们的圆心O 、O 与点O在同一竖
1 2
4
直线上,B点右侧为无穷大水面,O B沿水平面方向,水面上有一系列沿O B方向的
2 2
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漂浮的木板,木板的长度为2l,其质量足够大且始终水平。一质量为m的小孩(可
视为质点)可由弧AO上的任意点从静止开始下滑,不计一切阻力,重力加速度为
g。
(1)若小孩恰能在O点脱离滑道,求小孩静止下滑处距O点的高度;
(2)凡能在O点脱离滑道的小孩,求其落水点到O 的距离s的范围;
2
(3)若小孩从O点静止下滑,求脱离轨道时的位置和O 的连线与竖直方向夹角的
2
余弦值。
(4)某小孩从O点脱离滑道后,恰好落在某木板的中央,经过一段时间振荡和调节
后,该木板和小孩处于静止状态,小孩接下来开始在木板上表演水上漂。如果小孩
能一次跳离木板,求小孩做功的最小值。
R 2 1
答案 (1) (2)√2R≤s≤2R (3) (4) mgl
2 3 2
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第 4 节 功能关系 能量守恒
五年高考
1.★★(2021浙江1月,11,3分)一辆汽车在水平高速公路上以80 km/h的速度匀速行
驶,其1 s内能量分配情况如图所示。则汽车( )
A.发动机的输出功率为70 kW
B.每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是5.7×104 J
C.每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是6.9×104 J
D.每1 s消耗的燃料最终转化成的内能是7.0×104 J
答案 C
2.★★★(2022浙江6月,12,3分)风力发电已成为我国实现“双碳”目标的重要途径
之一。如图所示,风力发电机是一种将风能转化为电能的装置。某风力发电机在
风速为9 m/s时,输出电功率为405 kW,风速在5~10 m/s范围内,转化效率可视为
不变。该风机叶片旋转一周扫过的面积为A,空气密度为ρ,风场风速为v,并保持
风正面吹向叶片。下列说法正确的是 ( )
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A.该风力发电机的输出电功率与风速成正比
1
B.单位时间流过面积A的流动空气动能为 ρAv2
2
C.若每天平均有1.0×108 kW的风能资源,则每天发电量为2.4×109 kW·h
D.若风场每年有5 000 h风速在6~10 m/s范围内,则该发电机年发电量至少为
6.0×105 kW·h
答案 D
3.★★★(2024山东,7,3分)如图所示,质量均为m的甲、乙两同学,分别坐在水平放置
的轻木板上,木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接,连接点等高且间距为
d(d<l)。两木板与地面间动摩擦因数均为μ,弹性绳劲度系数为k,被拉伸时弹性势
1
能E= kx2(x为绳的伸长量)。现用水平力F缓慢拉动乙所坐木板,直至甲所坐木
2
板刚要离开原位置,此过程中两人与所坐木板保持相对静止,k保持不变,最大静摩
擦力等于滑动摩擦力,重力加速度大小为g,则F所做的功等于( )
(μmg) 2
A. +μmg(l-d)
2k
3(μmg) 2
B. +μmg(l-d)
2k
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3(μmg) 2
C. +2μmg(l-d)
2k
(μmg) 2
D. +2μmg(l-d)
2k
答案 B
解题导引 “轻木板”“轻质弹性绳”,表示它们的质量忽略不计;“缓慢”拉动表
示乙与所坐木板处于动态平衡状态。
三年模拟
1.★★(2025届宁波余姚中学质检)如图所示,轻弹簧一端连在倾角为θ=30°的光滑斜
面底端,质量为m=0.2 kg的小球从斜面上离轻弹簧一定距离的某处静止释放,同
时受到一个沿斜面向上的恒定风力的作用。以小球开始运动的位置为坐标原点,
沿斜面向下为x轴正方向,取地面为重力零势能面。图线①为小球向下运动过程
中重力势能随位移的变化关系,图线②为此过程中弹簧弹性势能随位移变化的关
系,弹簧始终在弹性限度范围内,重力加速度g=10 m/s2,则下列说法中正确的是 (
)
A.小球释放时离斜面底端的距离为0.2 m
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B.弹簧原长为0.3 m
C.向下运动过程中,小球和弹簧组成的系统机械能减少量为0.2 J
D.风力为0.5 N
答案 D
2.★★(2025届温州一模)在缓震材料上方高度H 为0.6 m处,将质量为0.6 kg的钢球
1
以一定初速度v 竖直向下抛出,钢球刚接触缓震材料时速度大小为4 m/s,与缓震
0
材料的接触时间为0.1 s,钢球反弹的最大高度H 为0.45 m。假设钢球始终在竖直
2
方向运动,不计空气阻力,重力加速度g=10 m/s2。钢球从抛出到反弹至最高点过
程中,下列说法正确的是 ( )
A.钢球的机械能损失0.9 J
B.钢球的平均速度大小为0.25 m/s
C.重力对钢球做的功等于钢球动能的变化量
D.合外力对钢球做的功等于钢球机械能的变化量
答案 B
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3.★★★(2024届宁波期末)(多选)如图所示,轻质弹簧一端固定,另一端与质量为m=1
kg的圆环相连,圆环套在倾斜的粗糙固定杆上,杆与水平面之间的夹角为α=37°,圆
环在A处时弹簧竖直且处于原长。将圆环从A处静止释放,到达C处时速度为
零。若圆环在C处获得沿杆向上的速度v=2 m/s,恰好能回到A。已知L =1 m,B
AC
是AC的中点,弹簧始终在弹性限度之内,重力加速度g=10 m/s2,则( )
A.下滑过程中,环的加速度不断减小
B.下滑过程中,环与杆摩擦产生的热量为0.5 J
C.从C到A的过程,弹簧对环做功为5 J
D.环经过B时,上滑时的速度大于下滑时的速度
答案 CD
4.★★★(2024届浙南名校联盟期中联考)如图所示,有一个可视为质点、质量为m=1
kg的小物块,初速度为零,经由水平顺时针转动的传送带从最左端A传送到最右
端B,滑过水平光滑的BC面后,滑上紧靠BC面末端C点的质量为M=2 kg的静止
长木板。已知传送带速度恒为v =4 m/s,传送带AB间长度L=3 m,长木板上表面与
0
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BC面相平,长木板下表面光滑,小物块与传送带、长木板间的动摩擦因数均为0.4,
不计空气阻力,g取10 m/s2。求:
(1)小物块到达C点的速度大小;
(2)传送带将小物块从A端送到B端过程因摩擦产生的热量;
(3)若长木板长度s=2 m,小物块能否滑出长木板。若能,求滑出瞬间物块的速度大
小;若不能,求小物块与长木板的最终共同速度大小。
4
答案 (1)4 m/s (2)8 J (3)不能 m/s
3
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微专题 10 动力学和能量观点相结合的两类典型模型
1.★★(2024届绍兴诸暨中学月考)如图所示,质量为M、长为L的小车静止在光滑的
水平面上。质量为m的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒
力F作用在小物块上,使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之
间的摩擦力大小为F,小物块滑到小车的最右端时,小车运动的距离为x,在这个过
f
程中,以下结论错误的是 ( )
A.小物块到达小车最右端时具有的动能为F(L+x)
B.小物块到达小车最右端时,小车具有的动能为Fx
f
C.摩擦力对小物块所做的功为-F(L+x)
f
D.小物块在小车上滑行过程中,系统产生的内能为FL
f
答案 A
2.★★★(2024届杭州学军中学期中)(多选)如图甲所示,绷紧的水平传送带始终以恒定
速率v 运行,一质量为m=1 kg、初速度大小为v 的小物块,从与传送带等高的光
1 2
滑水平地面上的A处滑上传送带;若从小物块滑上传送带开始计时,小物块在传送
带上运动的v-t图像(以地面为参考系)如图乙所示。重力加速度g=10 m/s2,则(
)
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A.小物块向左运动的过程中离A处的最大距离为2 m
B.0~3 s时间内,摩擦力对小物块做功为-6 J
C.0~4 s时间内,传送带克服摩擦力做功为10 J
D.小物块与传送带之间由摩擦产生的热量为18 J
答案 BD
3.★★★(2023全国乙,21,6分)(多选)如图,一质量为M、长为l的木板静止在光滑水
平桌面上,另一质量为m的小物块(可视为质点)从木板上的左端以速度v 开始运
0
动。已知物块与木板间的滑动摩擦力大小为f,当物块从木板右端离开时 ( )
A.木板的动能一定等于fl
B.木板的动能一定小于fl
1
C.物块的动能一定大于 mv2-fl
2 0
1
D.物块的动能一定小于 mv2-fl
2 0
答案 BD
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4.★★★(2024届强基联盟期中)(多选)如图甲为传送机简化模型图,传送带倾角θ=37°,
顺时针匀速转动,在传送带下端A点无初速度地放上货物。货物从下端A点运动
到上端B点的过程中,其机械能E与位移s的关系图像(以A位置所在水平面为零
势能面)如图乙所示。货物视为质点,质量m=10 kg,重力加速度g=10 m/s2, sin
37°=0.6, cos 37°=0.8。下列说法正确的是 ( )
A.货物与传送带间的动摩擦因数为0.875
B.传送带A、B两端点间的距离为8 m
C.货物从下端A点运动到上端B点的时间为8 s
D.传送带因运送该货物而多消耗的能量为550 J
答案 AD
5.★★★(2024届台金七校期中)如图所示,水平轨道AB的左端有一压缩的弹簧,其储
存的弹性势能E =4.5 J。弹簧左端固定,右端放一质量为m=1 kg的物块(可视为质
p
点),物块与弹簧不粘连,弹簧恢复原长时,物块仍未到B点。传送带BC的长为
L =0.7 m,CD'为水平轨道,DE、FG是竖直放置的两个半径分别为R=0.3 m和
1
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r=0.15 m的半圆轨道,HI为固定的光滑长直轨道,其上放置一长为L =0.5 m,质量
2
为M=1 kg的木板,木板上表面与G点相平,AB、BC、CD'、DE、FG均平滑连
接,HI轨道足够长,且与DE轨道相互错开,不影响物块的运动。已知物块与传送
带间以及物块与长木板间的动摩擦因数均为μ=0.5,其余轨道均光滑,重力加速度
g=10 m/s2。
(1)当传送带静止时,物块到达传送带右端C点时的速度大小;
(2)若传送带沿顺时针方向匀速转动,物块恰好不脱离轨道运动至G点,求传送带
的速度大小;
(3)若物块能滑上木板且不滑离木板,求传送带的速度大小范围。
答案 (1)√2 m/s (2)√15 m/s (3)v ≥√15 m/s
传
6.★★★★(2022浙江6月,20,12分)如图所示,在竖直面内,一质量m的物块a静置于
悬点O正下方的A点,以速度v逆时针转动的传送带MN 与直轨道AB、CD、FG
处于同一水平面上,AB、MN、CD的长度均为l。圆弧形细管道DE半径为R,EF
在竖直直径上,E点高度为H。开始时,与物块a相同的物块b悬挂于O点,并向左
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拉开一定的高度h由静止下摆,细线始终张紧,摆到最低点时恰好与a发生弹性正
碰。已知m=2 g,l=1 m,R=0.4 m,H=0.2 m,v=2 m/s,物块与MN、CD 之间的动摩擦
因数μ=0.5,轨道AB和管道DE均光滑,物块a落到FG时不反弹且静止。忽略
M、B和N、C之间的空隙,CD 与DE平滑连接,物块可视为质点,重力加速度
g=10 m/s2。
(1)若h=1.25 m,求a、b碰撞后瞬时物块a的速度v 的大小;
0
(2)物块a在DE最高点时,求管道对物块的作用力F 与h间满足的关系;
N
(3)若物块b释放高度0.9 m<h<1.65 m,求物块a最终静止的位置x值的范围(以A
点为坐标原点,水平向右为正,建立x轴)。
答案 (1)5 m/s (2)F =0.1h-0.14(h≥1.2 m)(SI)
N
(3)见解析
1
解析 (1)设物块b摆到最低点时的速度为v ,由mgh= mv2 得v =5 m/s
b 2 b b
a、b发生弹性正碰且a、b质量相等,则二者交换速度,v =v =5 m/s
0 b
(2)设物块b从h 释放时,物块a运动到E点时的速度恰好为零。此为物块a能通
1
过DE最高点的临界条件
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对物块a、b组成的系统,由能量守恒得mgh =2μmgl+mgH
1
解得h =1.2 m
1
v2
以竖直向下为正方向,对物块a在DE最高点,由牛顿第二定律得F +mg=m E
N
R
对物块a、b组成的系统由能量守恒得
1
mgh=2μmgl+mgH+ mv2
2 E
代入数据联立得F =0.1h-0.14(h≥1.2 m)(SI)
N
(3)当1.2 m≤h<1.65 m时,物块a最终静止的位置在E点或E点右侧水平面FG上,
根据能量守恒得
1
mgh=2μmgl+mgH+ mv2
2 E
1
从E点飞出后,物块a做平抛运动,则H= gt2
2
s =v t
1 E
√3
根据几何关系可得x
DF
=√R2−(R−H) 2= m
5
即物块a的位置x=3l+x +s
DF 1
( √3) ( √3)
代入数据解得 3+ m≤x< 3.6+ m
5 5
设物块b释放的高度为h 时,物块a恰好到达D点,由能量守恒得mgh =μmg·2l,解
0 0
得h =1 m
0
此时物块a静止的位置x =3l=3 m
1
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则当0.9 m<h<1.2 m时,从h =0.9 m释放物块b,物块a不能到达D点,设此过程中
2
物块a受滑动摩擦力作用的位移为s ,
2
由mgh=μmgs 得s =1.8 m
2 2
即物块a静止的位置x =s +l=2.8 m
2 2
若物块a到达E点时速度恰好为零且向左运动返回到水平面上,由mgH=μmgs 可
3
得s =0.4 m
3
即物块a静止的位置x =3l-s =2.6 m
3 3
( √3)
综上可知当0.9 m<h<1.2 m时,2.6 m<x≤3 m;1.2 m≤h<1.65 m时, 3+ m≤x<
5
( √3)
3.6+ m
5
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实验 7 验证机械能守恒定律
1.(2024浙江6月,16-Ⅰ)在“验证机械能守恒定律”的实验中,
(1)下列操作正确的是 。
(2)实验获得一条纸带,截取点迹清晰的一段并测得数据如图所示。
已知打点的频率为50 Hz,则打点“13”时,重锤下落的速度大小为 m/s(保
留三位有效数字)。
(3)某同学用纸带的数据求出重力加速度g=9.77 m/s2,并用此g值计算得出打点
“1”到“13”过程重锤的重力势能减小值为5.09m,另计算得动能增加值为
5.08m(m为重锤质量),则该结果 (选填“能”或“不能”)验证机械能守
恒,理由是 。
A.在误差允许范围内
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B.没有用当地的重力加速度g
答案 (1)A (2)3.34 (3)不能 B
2.[2023天津,9(1)]某同学利用图示的气垫导轨实验装置验证机械能守恒定律,主要
实验步骤如下:
A.将桌面上的气垫导轨调至水平;
B.测出遮光条的宽度d;
C.将滑块移至图示位置,测出遮光条到光电门的距离l;
D.由静止释放滑块,读出遮光条通过光电门的遮光时间Δt;
E.称出托盘和砝码总质量m 、滑块(含遮光条)的质量m 。
1 2
已知当地重力加速度为g,回答以下问题(用题中所给的字母表示):
①遮光条经过光电门时的速度大小为 ;
②遮光条由静止运动至光电门的过程,系统重力势能减少了 ;遮光条经过
光电门时,滑块、托盘和砝码的总动能为 ;
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( d ) 2
③通过改变滑块的释放位置,测出多组l、Δt数据,利用实验数据绘制出 -l图
Δt
像如图。若图中直线的斜率近似等于 ,可认为该系统机械能守恒。
答案 ① d ②m gl 1 (m +m ) ( d ) 2 ③ 2m 1 g
Δt 1 2 1 2 Δt m +m
1 2
图1
3.(2022河北,11,6分)某实验小组利用铁架台、弹簧、钩码、打点计时器、刻度尺
等器材验证系统机械能守恒定律,实验装置如图1所示。弹簧的劲度系数为k,原
1
长为L ,钩码的质量为m。已知弹簧的弹性势能表达式为E= kx2,其中k为弹簧的
0
2
劲度系数,x为弹簧的形变量,当地的重力加速度大小为g。
(1)在弹性限度内将钩码缓慢下拉至某一位置,测得此时弹簧的长度为L。接通打
点计时器电源。从静止释放钩码,弹簧收缩,得到了一条点迹清晰的纸带。钩码加
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速上升阶段的部分纸带如图2所示,纸带上相邻两点之间的时间间隔均为T(在误
差允许范围内,认为释放钩码的同时打出A点)。从打出A点到打出F点时间内,
弹簧的弹性势能减少量为 ,钩码的动能增加量为 ,钩码的重力势能
增加量为 。
(2)利用计算机软件对实验数据进行处理,得到弹簧弹性势能减少量、钩码的机械
能增加量分别与钩码上升高度h的关系,如图3所示。
由图3可知,随着h增加,两条曲线在纵向的间隔逐渐变大,主要原因是
。
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1 1 1 (ℎ −ℎ ) 2
答案 (1) k(L-L )2- k(L-L -h )2 m 6 4 mgh (2)空气阻力、纸带与打
2 0 2 0 5 2 2T 5
点计时器间的摩擦力变得不可忽略
4.(2022湖北,12,7分)某同学设计了一个用拉力传感器验证机械能守恒定律的实
验。一根轻绳一端连接固定的拉力传感器,另一端连接小钢球,如图甲所示。拉起
小钢球至某一位置由静止释放,使小钢球在竖直平面内摆动,记录钢球摆动过程中
拉力传感器示数的最大值T 和最小值T 。改变小钢球的初始释放位置,重复
max min
上述过程。根据测量数据在直角坐标系中绘制的T -T 图像是一条直线,如图
max min
乙所示。
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(1)若小钢球摆动过程中机械能守恒,则图乙中直线斜率的理论值为 。
(2)由图乙得:直线的斜率为 ,小钢球的重力为 N。(结果均保留2
位有效数字)
(3)该实验系统误差的主要来源是 (单选,填正确答案标号)。
A.小钢球摆动角度偏大
B.小钢球初始释放位置不同
C.小钢球摆动过程中有空气阻力
答案 (1)-2 (2)-2.1 0.59 (3)C
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