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4.1 任意角、弧度制和三角函数的概念
1．角的概念
(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角.
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(3)相反角：我们把射线OA 绕端点O 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α
的相反角记为－α.
(4)终边相同的角：所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，
k∈Z}，即任一与角α 终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1 弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作
弧度．
(2)公式
角α 的弧度数公式
|α|＝(l 表示弧长，r 表示半径)
角度与弧度的换算
1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式
弧长l＝αR(R 是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角)
扇形面积公式
S＝lR＝αR2(R 是圆半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，l 是扇形弧长，S 是扇
形面积)
提醒：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．
3．任意角的三角函数
(1)定义
前提
如图，设α 是一个任意角，α∈R，它的终边OP 与单位圆交于点P(x，
y)
定义
正弦
y 叫做α 的正弦函数，记作sin α
余弦
x 叫做α 的余弦函数，记作cos α
正切
叫做α 的正切函数，记作tan α
(2)定义的推广
设P(x，y)是角α 终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan
α＝(x≠0)．
[常用结论]
1．三角函数值在各象限的符号规律
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
2．象限角
3．轴线角
4．若α∈，则tan α>α>sin α.
考点一 任意角的相关问题
考点二 扇形的弧长及面积公式
考点三 三角函数的定义求值
考点四 利用三角函数的定义求参数
考点五 各象限角三角函数值的符号
考点一 任意角的相关问题
1．（25-26 高三上·江西上饶·阶段检测）下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角都比第二象限角小
B．小于
的角是锐角
C．终边相同的角一定相等
D．终边在
轴非负半轴上的角的集合是
2．（2026 高三·全国·专题练习）已知角
的终边落在阴影所表示的范围内（包括边界），则角
的集合为______.
3．（2026 高三·全国·专题练习）设
是第三象限角，且
，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
4．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）678°是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
考点二 扇形的弧长及面积公式
5．（25-26 高三上·江西上饶·阶段检测）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．打开一
把折扇，测得其周长为
，面积为
，则其圆心角弧度数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．1 或4
6．（2026·贵州贵阳·模拟预测）如图是由一个扇形和三角形组成的平面区域，
，
，扇形圆
心角
，
，则扇形区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·广东江门·期中）如下图，已知
是圆心角为
的扇形，
是扇形弧上的点，四边形
是扇形的内接矩形，其中
，
，则扇形
的面积为______．
8．（25-26 高三上·上海·阶段检测）已知扇形的圆心角为2 弧度，扇形的弧长为8，则扇形的面积为__________．
9．（25-26 高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知扇形的周长为10cm，面积为
，求扇形圆心角的弧度数．
（2）一个扇形的周长为10cm，当扇形的圆心角
等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求出这个扇形的最
大面积．
10．（25-26 高三上·河南南阳·期中）已知扇形
的圆心角的弧度为
，面积为4．
(1)若该扇形的弧长为4，求
的值．
(2)当
多大时，扇形的周长取最小值？并求出该最小值．
考点三 三角函数的定义求值
11．（25-26 高三上·四川泸州·期中）已知角
的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
12．（25-26 高三上·贵州·期中）若点
为角
终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
13．（25-26 高三下·辽宁葫芦岛·期中）在平面直角坐标系中，角
的终边经过点
，则
______．
14．（25-26 高三上·广西南宁·期中）已知
是角
终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．3
15．（25-26 高三上·北京西城·期中）在平面直角坐标系
中，已知点
，若点
绕原点逆时针旋转
到
点
，则点
的横坐标为______．
16．（25-26 高三上·上海·阶段检测）已知角
，
的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，
、
，
角
的终边与单位圆交点的横坐标为
，角
的终边与单位圆交点的纵坐标是
，求：
(1)
的值；
(2)
的值．
考点四 利用三角函数的定义求参数
17．（25-26 高三上·河南驻马店·期中）已知角
的终边经过点
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
18．（安徽省示范高中培优联盟2025-2026 学年高三上学期5 月春季联赛数学试题）已知角
的终边经过点
，且
，则m 的值为（ ）
A．4
B．3
C．
D．
19．（25-26 高三上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系
中，已知
是第二象限角，其终边上有一点
.
(1)若
，求
的值；
(2)在（1）的条件下，将
绕坐标原点顺时针旋转
至
，求点
的坐标.
20．（25-26 高三上·上海·期中）已知角
终边上一点
，若
，则实数
的值为______
21．（25-26 高三上·福建泉州·阶段检测）已知
是第二象限角，点
为其终边上一点，且
，则
等于（ ）
A．
B．2
C．
D．3
22．（25-26 高三上·辽宁朝阳·阶段检测）（1）已知角
的终边过
，求
的值．
（2）角
终边经过点
，且
．求
的值．
考点五 各象限角三角函数值的符号
23．（25-26 高三上·辽宁·期中）若
，则
是（ ）
A．第二或第四象限角
B．第三象限角
C．第二象限角
D．第一或第三象限角
24．（25-26 高三上·江西抚州·期中）若角
的终边不在坐标轴上，且满足
，则角
为（ ）
A．第一象限角或第二象限角
B．第二象限角或第三象限角
C．第三象限角或第四象限角
D．第二象限角或第四象限角
25．（25-26 高三下·广西桂林·阶段检测）若
，则
为（ ）
A．第一或第二象限角
B．第二或第三象限角C．第二或第四象限角D．第三或第四象限角
26．（2026 高三·全国·专题练习）点
在第三象限，则角
终边在第二象限.( )
1．（25-26 高三上·陕西榆林·阶段检测）半径为2 的圆上长度为1 的圆弧所对的圆心角的弧度数为（ ）
A．4
B．2
C．1
D．
2．（25-26 高三上·辽宁抚顺·期中）下列各角中，与
终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2026·天津·模拟预测）“角
与
终边相同”是“角
是第三象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（25-26 高三上·辽宁·期中）已知扇形的周长为
，圆心角为
，则该扇形的半径为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·上海·期中）已知角
的终边经过点A，将OA 绕坐标原点
逆时针旋转
至OB，若点B 的坐标
为
，则点
的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2026·甘肃白银·三模）已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·上海·期中）已知
，则角
的终边所在的象限为第（ ）象限．
A．一
B．二
C．三
D．四
8．（25-26 高三上·江西宜春·阶段检测）下列式子中：①
；②
；③
；④
，值为正
的是（ ）
A．①②
B．②③
C．①④
D．②④
9．（25-26 高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知平面直角坐标系中点
位于第三象限，则角
为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
10．（25-26 高三上·河南驻马店·期中）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．1 弧度的角与1°的角一样大
B．锐角一定是第一象限角
C．若圆心角为
的扇形的面积为
，则扇形的弧长为
D．终边落在直线
上的角的集合是
11．（25-26 高三上·辽宁大连·期中）（多选）下列结论正确的有（ ）
A．
是第三象限角
B．若扇形的圆心角为
，半径为3，则弧长为6，面积为9
C．若
，
为第二象限角，且
，则
D．
与
值域相同.
12．（25-26 高三上·四川宜宾·期末）（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．如果
是第一象限的角，则角
是第四象限的角
B．函数
在
上的值域是
C．已知角
的终边上的点
的坐标为
，则
D．已知
为第二象限的角，化简
13．（25-26 高三上·上海青浦·期中）已知角
的顶点是坐标原点，始边与
轴的正半轴重合，它的终边过点
，则
________.
14．（2026·湖北·三模）平面直角坐标系中，若角
的终边经过点
，角
的终边经过点
，则
_________．
15．（25-26 高三上·陕西汉中·期中）已知扇形的圆心角是
，
，则该扇形的弧长
______
.
16．（25-26 高三上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是
，半径为R，弧长为l.
(1)若
，
，求扇形的弧长l；
(2)若
，
，求扇形的面积；
(3)若扇形的周长是
，当扇形的圆心角
为多少弧度时，这个扇形的面积最大？
