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3.2 导数与函数的单调性
函数的单调性与其导数的关系
定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)：
f ′(x)的正负
f (x)的单调性
f ′(x)＞0
单调递增
f ′(x)＜0
单调递减
【注意】(1)f ′(x)＞0(f ′(x)＜0)是函数在(a，b)上单调递增(递减)的充分条件．
(2)f ′(x)＝0 在某个区间内恒成立时，该区间内f (x)为常函数．
利用导数求函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数y＝f (x)的定义域．
(2)求出导数f ′(x)的零点．
(3)用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，进而求出
单调区间．
导数的符号与函数单调性的关系
(1)在某区间D 上，若f ′(x)＞0⇒函数f (x)在D 上单调递增；在某区间D 上，若f ′(x)＜0⇒函数f (x)
在D 上单调递减．
(2)若函数f (x)在D 上单调递增⇒f ′(x)≥0；若函数f (x)在D 上单调递减⇒f ′(x)≤0．需要检验f ′(x)
＝0 不能恒成立．
(3)若函数f (x)在D 上存在单调递增区间⇒f ′(x)＞0 有解．
若函数f (x)在D 上存在单调递减区间⇒f ′(x)＜0 有解．
【注意】(1)单调区间可以写成闭区间，我们习惯上写成开区间．
(2)注意以下区别：若单调递增，则f ′(x)≥0 恒成立；若存在单调递增区间，则f ′(x)＞0 能成立．
利用函数的单调性求参数，常用方法如下：
1
函数f (x)在区间D 上单调递增⇒f ′(x)≥0 在区间D 上恒成立
2
函数f (x)在区间D 上单调递减⇒f ′(x)≤0 在区间D 上恒成立
3
函数f (x)在区间D 上不单调⇒f ′(x)在区间D 上存在变号零点
4
函数f (x)在区间D 上存在单调递增区间⇒∃x0∈D，使得f ′(x0)>0 成立
5
函数f (x)在区间D 上存在单调递减区间⇒∃x0∈D，使得f ′(x0)<0 成立
6
若已知f (x)在区间D 上的单调性，区间D 上含有参数时，可先求出f (x)的单调区间，令D
是其单调区间的非空子集，从而求出参数的取值范围
考点一 函数与导函数图象的关系
考点二 利用导数求函数的单调区间（不含参)
考点三 利用函数在区间上单调求参数
考点四 利用函数在区间上存在单调求参数
考点五 利用函数在区间上不单调求参数
考点六 讨论含参函数的单调性（因式分解型）
考点七 讨论含参函数的单调性（不可分解型）
考点一 函数与导函数图象的关系
1．（25-26 高三上·广东汕头·期中）已知函数
定义域为
，部分对应值如表，
的导函数
的图
象如图所示.下列关于函数
的结论正确的有__________.（请填写所有正确的序号）
0
2
4
5
1
2
0
2
1
①函数
的极大值点有2 个；
②函数
在区间
上单调递减；
③若
时，
的最大值是2，则的最大值为5；
④若函数
有4 个零点，则
.
2．（25-26 高三上·上海长宁·期中）已知定义在
上的函数
图象如图所示，设
的导函数为
，则
的解集为_____．
3．（25-26 高三上·陕西榆林·期中）函数
的导函数
的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）
A．
有两段单调递减区间
B．
有两段单调递增区间
C．
有两个极值点
D．
有两个零点
4．（25-26 高三上·重庆渝北·期中）已知函数
的大致图象如图所示，则（ ）
A．
，
，
，
B．
，
，
，
C．
，
，
，
D．
，
，
，
5．（25-26 高三上·云南德宏·期中）（多选）函数
的导函数
的图象如图所示，则下列结论正确的是
（ ）
A．
是
的极值点
B．
是
的极大值点
C．
的单调递减区间是
D．
6．（25-26 高三上·河南·期中）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 利用导数求函数的单调区间（不含参)
7．（25-26 高三上·天津静海·期中）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间．
8．（25-26 高三上·广东东莞·期中）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．是函数
定义域内的极小值点.
B．
的单调减区间是
.
C．
在定义域内无最小值，无最大值.D．
.
9．（2026·安徽·模拟预测）已知函数
，
．
(1)求函数
的单调区间和极值；
10．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
．
(1)求
在
处的切线方程；
(2)判断
的单调性；
11．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，
．
(1)当
时，求
的单调区间；
12．（2026 高三·全国·专题练习）函数
的单调递增区间为________．
考点三 利用函数在区间上单调求参数
13．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数
，则“
在
上单调递减”的充要
条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
14．（25-26 高三上·吉林·期中）函数
，若
在
上单调递增，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
15．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
16．（24-25 高三上·北京·期中）函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是_____.
17．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）设函数
，且
在
上满足
，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．[0,1]
B．[－1,1]
C．
D．
18．（25-26 高三上·黑龙江·期中）已知函数
在
上单调递增，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
考点四 利用函数在区间上存在单调求参数
19．（25-26 高三上·广东中山·阶段检测）（多选）若函数
在
上存在单调递减区间，
则
的取值可以是（ ）
A．1
B．0
C．
D．－1
20．（25-26 高二上·福建莆田·期末）若函数
在区间
上存在单调递增区间，则实数a 的取值范围
是____________.
21．（25-26 高二·全国·课后作业）已知函数
．
(1)若函数
存在单调递减区间，求a 的取值范围；
(2)若函数
在
上单调递减，求a 的取值范围．
22．（25-26 高三上·江苏南京·期中）若函数
在区间
上存在单调递减区间，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
23．（25-26 高三上·江苏无锡·期中）已知函数
存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
24．（25-26 高三上·河南洛阳·阶段检测）函数
在
上存在单调递增区间，则实数
的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 利用函数在区间上不单调求参数
25．（25-26 高三上·北京丰台·期中）已知函数
在区间
上不单调，则
的一个取值为___．
26．（25-26 高三上·福建龙岩·期中）已知函数
在区间
上不单调，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
27．（2026 高三下·全国·专题练习）若函数
在
上不单调，求
满足的条件为_____.
28．（25-26 高三上·重庆·期中）若函数
不单调，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
29．（25-26 高三上·湖南·期中）已知函数
，
，若
在
上不单调，则a 的取值范
围为（ ）
A．
B．
C．
D．
30．（25-26 高三上·江苏无锡·期中）已知函数
和函数
.
(1)若函数
在区间
上不单调，求
的取值范围；
(2)若函数
的图象与函数
的图象在公共点处有相同的切线，求该公切线方程.
考点六 讨论含参函数的单调性（因式分解型）
31．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
32．（25-26 高三上·山西长治·期中）已知函数
，其中
.
(1)当
时，求
在
处的切线；
(2)讨论函数
的单调性；
33．（2026 高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)若函数
的导函数是奇函数，求
的值；
(2)求函数
的单调区间.
34．（25-26 高三上·贵州毕节·期中）已知函数
．
(1)当
时，求
的极值；
(2)讨论函数
的单调性．
35．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性；
36．（25-26 高三上·山东青岛·期中）已知函数
，
.
(1)讨论
的单调性；
37．（25-26 高三上·广东东莞·阶段检测）已知函数
，
．
(1)若
，求
的极值；
(2)讨论
的单调性；
38．（25-26 高三上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数
(1)讨论函数
的单调性；
考点七 讨论含参函数的单调性（不可分解型）
39．（2026·山东泰安·模拟预测）已知正项数列
中，
，
．
(1)证明：
；
(2)已知
．
（i）讨论函数
的单调性；
40．（2026·天津和平·三模）已知函数
．
(1)若
，求曲线
在
处的切线方程：
(2)讨论函数
的单调性；
41．（2026·云南曲靖·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，求函数
的单调增区间；
42．（2026·上海·模拟预测）已知函数
（
）.
(1)当
时，求函数
的单调区间和极值；
43．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数
，其中
.
(1)讨论
的单调性；
44．（25-26 高三上·山东济南·期中）函数
.
(1)求
的单调区间；
1（25-26 高三上·福建宁德·期中）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则函数
的图象
大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·河南洛阳·期中）函数
的单调增区间为（ ）
A．
B．
和
C．
和
D．
和
3．（25-26 高三上·北京·期中）函数
在区间
上是减函数，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）已知
，函数
在区间
上不单调，则
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（25-26 高三上·广东肇庆·期中）已知函数
在
上单调递增，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（25-26 高三上·广东深圳·期中）（多选）函数
的导函数
的图象如图所示，以下命题正确的
是（ ）
A．
是函数
的极值点
B．
是函数
的极值点
C．
在区间
上单调递增
D．
是函数
的极值点
7．（25-26 高三上·宁夏·期中）（多选）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数
的取值可以为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（25-26 高一下·湖南娄底·开学考试）（多选）若函数
在区间
上单调递增，则实数a 的可
能的取值有（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
9．（25-26 高三上·全国·课后作业）（多选）若函数
在区间
上不单调，则实数
的可
能取值是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（25-26 高三上·甘肃天水·阶段检测）已知函数
是
上的增函数，则
的值为
______．
11．（24-25 高二上·云南昆明·期中）设
，若函数
在区间
上单调，则
的取值范
围是__________.
12．（25-26 高三上·天津南开·期中）若函数
在区间
内存在单调递增区间，则实数a 的取
值范围是______.
13．（25-26 高三上·北京·期中）已知函数
，则满足函数
在
上存在递增区间
的
的一个值为___________.
14．（25-26 高三上·天津东丽·期中）已知函
，
(1)讨论
的单调性；
15．（2026·河北保定·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
的单调性；
16．（2026·河北张家口·三模）已知函数
，
，
．
(1)讨论
的单调性；
