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第 2 节 导数与函数的单调性
考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，
会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.利用导数研究函数的单调
性，并会解决与之有关的方程(不等式)问题.
1.函数的单调性与导数的关系
函数y＝f(x)在某个区间内可导，则：
(1)若f′(x)>0，则f(x)在这个区间内单调递增；
(2)若f′(x)<0，则f(x)在这个区间内单调递减；
(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数.
2.利用导数求函数单调区间的基本步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数f′(x)；
(3)由f′(x)>0(或<0)解出相应的x的取值范围.
当f′(x)>0时，f(x)在相应的区间内是单调递增函数；
当f′(x)<0时，f(x)在相应的区间内是单调递减函数.
3.单调性的应用
若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调，则y＝f′(x)在该区间上不变号.
若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则 f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是
“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性.( )(3)函数在(a，b)内单调递减与函数的单调递减区间为(a，b)是不同的.( )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数.( )
答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√
解析 (1)f(x)在(a，b)内单调递增，则有f′(x)≥0.
2.(易错题)函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是( )
A.(0，1] B.[0，＋∞)
C.(－∞，－1] D.[－1，0)∪(0，1]
答案 A
解析 由题意知f′(x)＝2x－＝(x>0)，
由f′(x)≤0，得00(其中x <02，则f(x)>2x＋4的解集
为( )
A.(－1，1) B.(－1，＋∞)
C.(－∞，－1) D.R
答案 B解析 由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0，设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－
2，因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上递增，而F(－1)＝
f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式 f(x)－2x－4>0 等价于 F(x)>F(－
1)，所以x>－1，故选B.
5.(易错题)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值
为________.
答案 －4
解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且 f(x)的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋
a≤0的解集为[－1，4]，
∴－1，4是方程f′(x)＝0的两根，
则a＝(－1)×4＝－4.
6.(2021·青岛检测)已知函数f(x)＝sin 2x＋4cos x－ax在R上单调递减，则实数 a
的取值范围是________.
答案 [3，＋∞)
解析 f′(x)＝2cos 2x－4sin x－a
＝2(1－2sin2x)－4sin x－a
＝－4sin2x－4sin x＋2－a＝－(2sin x＋1)2＋3－a.
由题设，f′(x)≤0在R上恒成立.
因此a≥3－(2sin x＋1)2恒成立，则a≥3.
考点一 不含参函数的单调性
1.函数f(x)＝x＋＋2ln x的单调递减区间是( )
A.(－3，1) B.(0，1)
C.(－1，3) D.(0，3)
答案 B
解析 法一 函数的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝1－＋，令f′(x)＝1－＋<0，得
00，故排除A、C选项；又f(1)＝40，得x>2，
∴f(x)的单调递增区间为(2，＋∞).
3.已知定义在区间(0，π)上的函数 f(x)＝x＋2cos x，则 f(x)的单调递增区间为
________.
答案 ，
解析 f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝，
当00，
∴f(x)在，上单调递增.
感悟提升 确定函数单调区间的步骤：
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求f′(x)；
(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；
(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.
考点二 讨论含参函数的单调性
例1 已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性.
解 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋
＝＝.
(1)当01，
∴x∈(0，1)和时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0，1)和上单调递增，在上单调递减；
(2)当a＝1时，＝1，
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；(3)当a>1时，0<<1，
∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减.
综上，当01时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减.
感悟提升 1.含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类
讨论.遇二次三项式常考虑二次项系数、对应方程的判别式以及根的大小关系，
以此来确定分界点，分情况讨论.
2.划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为 0的点和函
数的间断点.
3.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如 f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0
在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数.
训练1 讨论f(x)＝x－aln x的单调性.
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1－＝，
令f′(x)＝0，得x＝a，
(1)当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
(2)当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，
x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增.
考点三 根据函数单调性求参数值(范围)
例2 (经典母题)已知x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点.
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)设函数g(x)＝f(x)－，若函数g(x)在区间[1，2] 内单调递增，求实数a的取值范
围.解 (1)f(x)＝2x＋＋ln x，定义域为(0，＋∞).
∴f′(x)＝2－＋＝.
因为x＝1是f(x)＝2x＋＋ln x的一个极值点，
所以f′(1)＝0，即2－b＋1＝0.
解得b＝3，经检验，适合题意，所以b＝3.
所以f′(x)＝，
令f′(x)<0，得00)，g′(x)＝2＋＋(x>0).
因为函数g(x)在[1，2]上单调递增，
所以g′(x)≥0在[1，2]上恒成立，
即2＋＋≥0在[1，2]上恒成立，
所以a≥－2x2－x在[1，2]上恒成立，
所以a≥(－2x2－x) ，x∈[1，2].
max
因为在[1，2]上，(－2x2－x) ＝－3，
max
所以a≥－3.
所以实数a的取值范围是[－3，＋∞).
迁移 在本例(2)中，若函数g(x)在区间[1，2]上不单调，求实数a的取值范围.
解 ∵函数g(x)在区间[1，2]上不单调，
∴g′(x)＝0在区间(1，2)内有解，
则a＝－2x2－x＝－2＋在(1，2)内有解，
易知该函数在(1，2)上是减函数，
∴a＝－2x2－x的值域为(－10，－3)，
因此实数a的取值范围为(－10，－3).
感悟提升 1.已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件 f′(x)≥0(或 f′
(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论
求解)，应注意参数的取值是f′(x)不恒等于0的参数的范围.
2.如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.
3.若函数y＝f(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f′(x)＝0在(a，b)上有解.
训练2 (1)若函数y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是()
A. B.
C. D.
(2)(2022·郑州调研)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实
数a的取值范围是________.
答案 (1)C (2)(1，2]
解析 (1)由y＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调函数，
所以y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，或y′＝3x2＋2x＋m≤0恒成立，
显然y′＝3x2＋2x＋m≥0恒成立，
则Δ＝4－12m≤0，所以m≥.
(2)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.
又x>0，令f′(x)＝x－≤0，得0f(1)>f
B.f(1)>f>f
C.f>f(1)>f
D.f>f>f(1)
(2)已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，且当 x<0时不等式f(x)＋xf′(x)<0成立，
若a＝30.3·f(30.3)，b＝log 3·f(log 3)，c＝log ·f，则a，b，c的大小关系是( )
π π 3
A.a>b>c B.c>b>a
C.a>c>b D.c>a>b
答案 (1)A (2)D
解析 (1)因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数
f(x)是偶函数，所以f＝f.又当x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数f(x)在上是
增函数，所以ff(1)>f，故选A.
(2)设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
又当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，
∴x<0时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，0)上单调递减.
由y＝f(x)在R上为奇函数，
知g(x)在R上为偶函数，
∴g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴c＝g＝g(－2)＝g(2)，
又0－f(x)成
立，若f(ln 2)＝，则满足不等式f(x)>的x的取值范围是( )
A.(1，＋∞) B.(0，1)
C.(ln 2，＋∞) D.(0，ln 2)
答案 C
解析 对任意x∈R，都有f′(x)>－f(x)成立，即f′(x)＋f(x)>0.
令g(x)＝exf(x)，
则g′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]>0，
所以函数g(x)在R上单调递增.
不等式f(x)>即exf(x)>1，即g(x)>1.
因为f(ln 2)＝，
所以g(ln 2)＝eln 2f(ln 2)＝2×＝1.
故当x>ln 2时，g(x)>g(ln 2)＝1，
所以不等式g(x)>1的解集为(ln 2，＋∞).
感悟提升 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比
较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.
2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存
在f(x)与f′(x)的不等关系时，常构造含 f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设
形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.
训练3 (1)已知函数f(x)＝3x＋2cos x.若a＝f(3)，b＝f(2)，c＝f(log 7)，则a，b，c
2的大小关系是( )
A.a0恒成立，
所以函数f(x)是增函数.
因为>1，所以3>3.
又log 42.
1.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A.在区间(－2，1)上f(x)单调递增
B.在区间(1，3)上f(x)单调递减
C.在区间(4，5)上f(x)单调递增
D.在区间(3，5)上f(x)单调递增答案 C
解析 在区间(4，5)上f′(x)>0恒成立，
∴f(x)在区间(4，5)上单调递增.
2.函数f(x)＝ln x－ax(a>0)的单调递增区间为( )
A. B.
C. D.(－∞，a)
答案 A
解析 函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－a，令f′(x)＝－a>0，得00；在(0，＋∞)上，f′(x)<0，选项D满足.
4.(2021·德阳诊断)若函数f(x)＝ex(sin x＋a)在R上单调递增，则实数 a的取值范
围为( )
A.[，＋∞) B.(1，＋∞)
C.[－1，＋∞) D.(，＋∞)
答案 A
解析 因为f(x)＝ex(sin x＋a)，
所以f′(x)＝ex(sin x＋a＋cos x).
要使函数f(x)在R上单调递增，需使f′(x)≥0恒成立，即sin x＋a＋cos x≥0恒成
立，
所以a≥－sin x－cos x.
因为－sin x－cos x＝－sin，所以－≤－sin x－cos x≤，
所以a≥.
5.(2021·江南十校联考)已知函数f(x)＝ax2－4ax－ln x，则f(x)在(1，4)上不单调的
一个充分不必要条件可以是( )
A.a>－ B.0或－
答案 D
解析 f′(x)＝2ax－4a－＝，
令g(x)＝2ax2－4ax－1，
则函数g(x)＝2ax2－4ax－1的对称轴方程为x＝1，
若f(x)在(1，4)上不单调，则g(x)在区间(1，4)上有零点.
当a＝0时，显然不成立；
当a≠0时，只需
或
解得a>或a<－.
∴a>是f(x)在(1，4)上不单调的一个充分不必要条件.
6.已知函数y＝f(x＋1)是偶函数，当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)＝sin x－x，设a＝
f，b＝f(3)，c＝f(0)，则a，b，c的大小关系为( )
A.b－3 且
a≠0.8.(2022·哈尔滨调研)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)
内不是单调函数，则实数k的取值范围是________.
答案
解析 f′(x)＝4x－＝(x>0)，
令f′(x)>0，得x>；
令f′(x)<0，得00时，有<0恒成立，则不等式
x2f(x)>0的解集是____________________________.
答案 (－∞，－2)∪(0，2)
解析 令φ(x)＝，
∵当x>0时，′＝<0，
∴φ(x)＝在(0，＋∞)上为减函数，
又f(2)＝0，即φ(2)＝0，
∴在(0，＋∞)上，当且仅当00，
此时x2f(x)>0.
又f(x)为奇函数，∴h(x)＝x2f(x)也为奇函数，
由数形结合知x∈(－∞，－2)时，f(x)>0.
故x2f(x)>0的解集为(－∞，－2)∪(0，2).
10.已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.
(1)求实数k的值；
(2)求函数f(x)的单调区间.
解 (1)f′(x)＝(x>0).
又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1.
(2)由(1)知，f′(x)＝(x>0).
设h(x)＝－ln x－1(x>0)，
则h′(x)＝－－<0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减.
由h(1)＝0知，当00，
所以f′(x)>0；当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.
综上f(x)的单调增区间是(0，1)，减区间为(1，＋∞).
11.讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性.
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
(1)当a≥1时，f′(x)>0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
(2)当a≤0时，f′(x)<0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
(3)当00，
故f(x)在上单调递减，
在上单调递增.
综上，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单
调递减；当0c>a B.a>c>b
C.a>b>c D.b>a>c
答案 D
解析 依题意，得a＝ln＝，b＝e－1＝，c＝＝.
令f(x)＝(x>0)，则f′(x)＝，
易知函数f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.
所以f(x) ＝f(e)＝＝b，且f(3)>f(8)，即a>c，所以b>a>c.
max
13.(2021·成都诊断)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，其导函数为f′(x).若x>0
时，f′(x)<2x，则不等式f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1的解集是________.
答案
解析 令g(x)＝f(x)－x2，则g(x)是R上的偶函数.当x>0时，g′(x)＝f′(x)－2x<0，
则g(x)在(0，＋∞)上递减，于是在(－∞，0)上递增.
由f(2x)－f(x－1)>3x2＋2x－1得f(2x)－(2x)2>f(x－1)－(x－1)2，
即g(2x)>g(x－1)，
于是g(|2x|)>g(|x－1|)，
则|2x|<|x－1|，解得－10，则xx ；
1 2
令f′(x)<0，则x
