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§3.2 导数与函数的单调性
[考试要求] 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究
函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
f′(x)>0 f(x)在(a，b)上单调递增
函数y＝f(x)在区间(a，b)
f′(x)<0 f(x)在(a，b)上单调递减
上可导
f′(x)＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数
微思考
1．“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的什么条件？
提示 若f(x)在(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，所以“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在
(a，b)上单调递增”的充分不必要条件．
2．若函数f(x)在区间(a，b)上存在递增区间，则在区间(a，b)上，f′(x)应满足什么条件？
提示 若f(x)在(a，b)上存在递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( √ )
(2)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内单调递减．( √ )
(3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0，则f(x)在定义域上一定单调递增．( × )
(4)函数f(x)＝x－sin x在R上是增函数．( √ )
题组二 教材改编
2.如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，则下列判断正确的是( )
A．在区间(－2,1)上f(x)单调递增
B．在区间(1,3)上f(x)单调递减C．在区间(4,5)上f(x)单调递增
D．在区间(3,5)上f(x)单调递增
答案 C
解析 在(4,5)上f′(x)>0恒成立，∴f(x)在区间(4,5)上单调递增．
3．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增( )
A. B．(π，2π)
C. D．(2π，3π)
答案 B
解析 y′＝－xsin x，
经验证，4个选项中只有在(π，2π)内y′>0恒成立，
∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上单调递增．
4．函数f(x)＝(x－2)ex的单调递增区间为________．
答案 (1，＋∞)
解析 f(x)的定义域为R，
f′(x)＝(x－1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝1，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．
题组三 易错自纠
5．若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1,4]，则实数a的值为________．
答案 －4
解析 f′(x)＝x2－3x＋a，且f(x)的单调递减区间为[－1,4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为
[－1,4]，
∴－1,4是方程f′(x)＝0的两根，
则a＝(－1)×4＝－4.
6．若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．
答案 (0,2]
解析 方法一 由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a.
∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．
∵函数在[2，＋∞)上单调递增，
∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴00，∴00)，
令f′(x)＝0，得x＝1，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
2．函数f(x)＝x＋2的单调递增区间是( )
A．(0,1) B．(－∞，1)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
答案 C
解析 f(x)的定义域为(－∞，1]，
f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得x＝0.
当00.
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0,1)．
3．已知定义在区间(0，π)上的函数f(x)＝x＋2cos x，则f(x)的单调递增区间为________．
答案 ，
解析 f′(x)＝1－2sin x，x∈(0，π)．
令f′(x)＝0，得x＝或x＝，
当00，
当0，
∴f(x)在和上单调递增，在上单调递减．
4．函数f(x)＝(x－1)ex－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．
答案 (－∞，0)，(ln 2，＋∞) (0，ln 2)
解析 f(x)的定义域为R，
f′(x)＝xex－2x＝x(ex－2)，
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝ln 2，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表，x (－∞，0) 0 (0，ln 2) ln 2 (ln 2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 单调递增 单调递减 单调递增
∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(ln 2，＋∞)，单调递减区间为(0，ln 2)．
思维升华 确定不含参的函数的单调性，按照判断函数单调的步骤即可，但应注意一是不能
遗忘求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
题型二 含参的函数的单调性
例1 已知函数f(x)＝ax2－(a＋1)x＋ln x，a>0，试讨论函数y＝f(x)的单调性．
解 函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(a＋1)＋＝＝.
①当01，
∴x∈(0,1)和时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在(0,1)和上单调递增，
在上单调递减；
②当a＝1时，＝1，
∴f′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
③当a>1时，0<<1，
∴x∈和(1，＋∞)时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，
在上单调递减．
综上，当01时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
若将本例中参数a的范围改为a∈R，其他条件不变，试讨论f(x)的单调性？
解 当a>0时，讨论同上；
当a≤0时，ax－1<0，
∴x∈(0,1)时，f′(x)>0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，∴函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
综上，当a≤0时，函数f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减；
当01时，函数f(x)在和(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
思维升华 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论．
(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断
点．
跟踪训练1 讨论下列函数的单调性．
(1)f(x)＝x－aln x；
(2)g(x)＝(x－a－1)ex－(x－a)2.
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1－＝，
令f′(x)＝0，得x＝a，
①当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
②当a>0时，x∈(0，a)时，f′(x)<0，
x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，
综上，当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．
(2)g(x)的定义域为R，
g′(x)＝(x－a)ex－2(x－a)＝(x－a)(ex－2)，
令g′(x)＝0，得x＝a或x＝ln 2，
①当a>ln 2时，
x∈(－∞，ln 2)∪(a，＋∞)时，f′(x)>0，
x∈(ln 2，a)时，f′(x)<0，
②当a＝ln 2时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增，
③当a0，
x∈(a，ln 2)时，f′(x)<0，
综上，当a>ln 2时，f(x)在(－∞，ln 2)，(a，＋∞)上单调递增，在(ln 2，a)上单调递减；
当a＝ln 2时，f(x)在R上单调递增；
当af(1)>f
B．f(1)>f >f
C．f >f(1)>f
D．f >f >f(1)
答案 A
解析 因为f(x)＝xsin x，所以f(－x)＝(－x)·sin(－x)＝xsin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，
所以 f ＝f .又当 x∈时，f′(x)＝sin x＋xcos x>0，所以函数 f(x)在上是增函数，所以
f f(1)>f ，故选A.
(2)已知函数f(x)＝ex－e－x－2x＋1，则不等式f(2x－3)>1的解集为________．
答案
解析 f(x)＝ex－e－x－2x＋1，定义域为R，
f′(x)＝ex＋e－x－2≥2－2＝0，
当且仅当x＝0时取“＝”，
∴f(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1，
∴原不等式可化为f(2x－3)>f(0)，
即2x－3>0，解得x>，
∴原不等式的解集为.
命题点2 根据函数的单调性求参数的值(范围)
例3 已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x(a≠0)在[1,4]上单调递减，则a的取值范围是________．
答案 ∪(0，＋∞)
解析 因为f(x)在[1,4]上单调递减，所以当x∈[1,4]时，f′(x)＝－ax－2≤0恒成立，即a≥
－恒成立．
设G(x)＝－，x∈[1,4]，
所以a≥G(x) ，而G(x)＝2－1，
max
因为x∈[1,4]，所以∈，
所以G(x) ＝－(此时x＝4)，
max
所以a≥－，又因为a≠0，
所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．本例中，若f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，求a的取值范围．
解 因为f(x)在[1,4]上存在单调递减区间，
则f′(x)<0在[1,4]上有解，
所以当x∈[1,4]时，a>－有解，
又当x∈[1,4]时， ＝－1(此时x＝1)，
min
所以a>－1，又因为a≠0，
所以a的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．
思维升华 根据函数单调性求参数的一般思路
(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子
集．
(2)f(x)为增(减)函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且在(a，b)内
的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则会漏解．
(3)函数在某个区间上存在单调区间可转化为不等式有解问题．
跟踪训练2 (1)已知y＝f(x)是定义在R上的函数，且f(2)＝5，对任意的x都有f′(x)<，则
f(x)2.
(2)(2020·深圳调研)设函数f(x)＝x2－9ln x在区间[a－1，a＋1]上单调递减，则实数a的取值
范围是________．
答案 (1,2]
解析 易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝x－.
又x>0，由f′(x)＝x－≤0，得00，
∴原不等式的解集为(0，＋∞)．
二、利用f(x)与x构造可导型函数
例2 设f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式
xf(x)>0的解集为________．
思路点拨 出现“＋”法形式，优先构造F(x)＝xf(x)，然后利用函数的单调性、奇偶性和数
形结合求解即可．
答案 (－∞，－4)∪(0,4)
解析 构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当
x<0时，F′(x)<0，∴F(x)在(－∞，0)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x为奇函数，∴F(x)为奇
函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、
奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)．
例3 (八省联考)已知a<5且ae5＝5ea，b<4且be4＝4eb，c<3且ce3＝3ec，则( )
A．c>，
由图可知a0时，2f(x)>xf′(x)，
则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．
思路点拨 满足“xf′(x)－nf(x)”形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调性、奇偶性
和数形结合求解即可．
答案 (－1,0)∪(0,1)
解析 构造F(x)＝，则F′(x)＝，当x>0时，xf′(x)－2f(x)<0，可以推出当x>0时，F′
(x)<0，F(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵f(x)为偶函数，x2为偶函数，∴F(x)为偶函数，
∴F(x)在(－∞，0)上单调递增．根据f(－1)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性
可得函数图象(图略)，根据图象可知f(x)>0的解集为(－1,0)∪(0,1)．
思维升华 (1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝xnf(x)；
(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
三、利用f(x)与ex构造可导型函数
例5 已知f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的函数，导函数f′(x)满足f′(x)e2f(0)，f(2 021)>e2 021f(0)
B．f(2)e2 021f(0)
C．f(2)>e2f(0)，f(2 021)0，且f(0)＝1，则不等式f(x)>的解集为
________．
答案 (0，＋∞)
解析 构造F(x)＝f(x)·e2x，
∴F′(x)＝f′(x)·e2x＋f(x)·2e2x＝e2x[f′(x)＋2f(x)]>0，
∴F(x)在R上单调递增，且F(0)＝f(0)·e0＝1，
不等式f(x)>可化为f(x)e2x>1，
即F(x)>F(0)，
∴x>0
∴原不等式的解集为(0，＋∞)．
思维升华 (1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝enxf(x)；
(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.
四、利用f(x)与sin x，cos x构造可导型函数
例7 已知函数y＝f(x)对于任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0(其中f′(x)是函数f(x)的导
函数)，则下列不等式不成立的是( )
A.f 0”形式，优先构造F(x)＝，然后利用函数的单调
性和数形结合求解即可．注意选项的转化．
答案 A
解析 构造F(x)＝，则F′(x)＝，
导函数f′(x)满足f′(x)cos x＋f(x)sin x>0，则F′(x)>0，F(x)在上单调递增．把选项转化后
可知选A.
思维升华 f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；
F(x)＝，F′(x)＝；
F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；
F(x)＝，F′(x)＝.
课时精练
1．函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
答案 D
解析 利用导数与函数的单调性进行验证．f′(x)>0的解集对应y＝f(x)的增区间，f′(x)<0
的解集对应y＝f(x)的减区间，验证只有D选项符合．
2．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是( )
A．f(x)＝sin 2x B．g(x)＝x3－x
C．h(x)＝xex D．m(x)＝－x＋ln x
答案 C
解析 h(x)＝xex，定义域为R，
∴h′(x)＝(x＋1)ex，
当x>0时，h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递增．
3．(2020·甘肃静宁一中模拟)已知函数f(x)＝x2＋，若函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则实
数a的取值范围为( )
A．(－∞，8) B．(－∞，16]
C．(－∞，－8)∪(8，＋∞) D．(－∞，－16]∪[16，＋∞)
答案 B
解析 f′(x)＝2x－，
∴当x∈[2，＋∞)时，f′(x)＝2x－≥0恒成立，即a≤2x3恒成立，
∵x≥2，∴(2x3) ＝16，
min
故a≤16.
4．已知函数f(x)＝sin x＋cos x－2x，a＝f(－π)，b＝f(2e)，c＝f(ln 2)，则a，b，c的大小关
系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．b>a>c D．c>b>a
答案 A
解析 f(x)的定义域为R，
f′(x)＝cos x－sin x－2＝cos－2<0，
∴f(x)在R上单调递减，
又2e>1,0f(ln 2)>f(2e)，
即a>c>b.
5．(多选)若函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1恰好有三个单调区间，则实数a的取值可以是( )
A．－3 B．－1 C．0 D．2
答案 BD
解析 依题意知，f′(x)＝3ax2＋6x－1有两个不相等的零点，故
解得a>－3且a≠0.故选BD.
6．(多选)若函数 g(x)＝exf(x)(e＝2.718…，e为自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，
则称函数f(x)具有M性质．下列函数不具有M性质的为( )
A．f(x)＝ B．f(x)＝x2＋1
C．f(x)＝sin x D．f(x)＝x
答案 ACD
解析 对于A，f(x)＝，则g(x)＝，g′(x)＝，当x<1且x≠0时，g′(x)<0，当x>1时，g′
(x)>0，
∴g(x)在(－∞，0)，(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；
对于B，f(x)＝x2＋1，则g(x)＝exf(x)＝ex(x2＋1)，
g′(x)＝ex(x2＋1)＋2xex＝ex(x＋1)2>0在实数集R上恒成立，
∴g(x)＝exf(x)在定义域R上是增函数；
对于C，f(x)＝sin x，则g(x)＝exsin x，g′(x)＝ex(sin x＋cos x)＝exsin，显然g(x)不单调；
对于D，f(x)＝x，则g(x)＝xex，则g′(x)＝(x＋1)ex.当x<－1时，g′(x)<0，所以g(x)在R上
先减后增；∴具有M性质的函数的选项为B，不具有M性质的函数的选项为A，C，D.
7．函数y＝2ln x－3x2的单调递增区间为________．
答案
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－6x＝，
当x∈时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)在上单调递增，在上单调递减．
8．若函数f(x)＝ln x＋ex－sin x，则不等式f(x－1)≤f(1)的解集为________．
答案 (1,2]
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝＋ex－cos x.
∵x>0，∴ex>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(x－1)≤f(1)，
∴00在上有解，
当x∈时，f′(x)的最大值为f′＝＋2a.
令＋2a>0，解得a>－，
所以a的取值范围是.
10．(2020·济南质检)若函数f(x)＝2x2－ln x在其定义域的一个子区间(k－1，k＋1)内不是单
调函数，则实数k的取值范围是________．
答案
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝4x－＝，
当x∈时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，依题意有
解得1≤k<.
11．函数f(x)＝(x2＋ax＋b)e－x，若f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为6x－y－5＝0.
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间．
解 (1)f′(x)＝(2x＋a)e－x－(x2＋ax＋b)·e－x＝[－x2＋(2－a)x＋a－b]e－x，
∴f′(0)＝a－b，
又f(0)＝b，
∴f(x)在(0，f(0))处的切线方程为y－b＝(a－b)x，
即(a－b)x－y＋b＝0，
∴解得
(2)∵f(x)＝(x2＋x－5)e－x，x∈R，
∴f′(x)＝(－x2＋x＋6)e－x
＝－(x＋2)(x－3)e－x，
当x<－2或x>3时，f′(x)<0；
当－20，
故f(x)的单调递增区间是(－2,3)，
单调递减区间是(－∞，－2)，(3，＋∞)．
12．讨论函数f(x)＝(a－1)ln x＋ax2＋1的单调性．
解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＝.
①当a≥1时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当a≤0时，f′(x)<0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递减；
③当00，
故f(x)在上单调递减，
在上单调递增．
综上，当a≥1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当
0x＋ln x B．x＋ln xx＋ln x.
1 2 2 1
设g(x)＝，
则g′(x)＝＝.
当01}
解析 设F(x)＝f(x)－x，∴F′(x)＝f′(x)－，
∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，
即函数F(x)在R上单调递减．
∵f(x2)<＋，∴f(x2)－1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}．
15．已知函数f(x)＝xsin x＋cos x＋x2，则不等式f(ln x)＋f <2f(1)的解集为________．
答案
解析 f(x)＝xsin x＋cos x＋x2是偶函数，
所以f ＝f(－ln x)＝f(ln x)．则原不等式可变形为f(ln x)0，得当x>0时，f′(x)>0.
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
∴|ln x|<1 －10时，f(x)的递增区间为(0,1)，递减区间为(1，＋∞)；
当a<0时，f(x)的递增区间为(1，＋∞)，递减区间为(0,1)；
当a＝0时，f(x)为常函数，无单调区间.
(2)由(1)及题意得f′(2)＝－＝1，即a＝－2，
∴f(x)＝－2ln x＋2x－3，f′(x)＝(x>0)．
∴g(x)＝x3＋x2－2x，
∴g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2.
∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数，
即g′(x)在区间(t,3)上有变号零点．
由于g′(0)＝－2，∴
当g′(t)<0时，即3t2＋(m＋4)t－2<0对任意t∈[1,2]恒成立，
由于g′(0)<0，故只要g′(1)<0且g′(2)<0，
即m<－5且m<－9，即m<－9，
又g′(3)>0，即m>－.
∴－
