文档文本内容
3.5 导数中与零点有关的问题
考点一 利用导数判断、证明或讨论函数零点的个数
考点二 由函数零点的个数求参数范围
考点三 隐零点的问题
考点一 利用导数判断、证明或讨论函数零点的个数
1．（25-26 高二下·江西南昌·期中）函数
的零点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
2．（25-26 高二下·新疆阿克苏·阶段检测）已知函数
，则方程
的根的个数为
______．
3．（2026·江苏苏州·三模）已知函数
.
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若
，
（
为常数），
①证明：当
时，函数
存在两个零点
，
；
②在①的条件下，若
，证明：
.
4．（2026·山东德州·三模）已知函数
．
(1)求
的极值；
(2)若
恒成立，求实数
的取值范围；
(3)当
时，讨论
在区间
上零点的个数．
5．（2026·广西崇左·二模）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的零点个数；
(3)若
有3 个零点
，
，
，证明：
.
6．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，证明：关于
方程
在区间
上有两个根；
(3)在（2）的条件下，设方程
的两个根为
，
，其中
，证明：
.
考点二 由函数零点的个数求参数范围
7．（2026·江苏苏州·三模）已知
，若
有两个零点，则实数
的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2026·甘肃兰州·模拟预测）已知函数
．
(1)记
，若
在定义域内单调递减，求
的最小值；
(2)若
有两个不同的零点
，且
．
（i）求
的取值范围；
（ii）证明：
．
9．（25-26 高二下·浙江金华·阶段检测）设函数
，
，若曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知关于
的方程
有且仅有两个不同的实数解，则实数
的取值范
围为_____.
11．（25-26 高二下·四川泸州·期中）已知函数
在
上有两个极值点，则实数a 的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2026·天津和平·三模）若
，
，使得关于
的方程
有
个不同的实根，
则实数的取值范围为__________．
考点三 隐零点的问题
13．（2026·陕西安康·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，不等式
恒成立，求整数
的最大值．
14．（2026 高三上·全国·专题练习）函数
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)当
时，证明：
.
15．（24-25 高二下·江西景德镇·期末）设函数
．
(1)证明：当
时，
在区间
内存在唯一极小值点；
(2)当
时，
在
上恒成立，求实数
的取值范围；
(3)若
在
上存在零点，求实数
的取值范围．
16．（25-26 高二下·北京西城·期末）已知函数
.
（Ⅰ）求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围；
（Ⅲ）设函数
，其中
.证明：
的图象在
图象的下方.
17．（2025·湖北武汉·二模）已知函数
．
(1)若在
处的切线斜率为
，求
；
(2)若
恒成立，求
的取值范围．
18．（25-26 高三·四川成都·阶段检测）已知函数
.
（1）求函数
的单调区间；
（2）求证：函数
的图象在
轴上方.
1．（2026·陕西咸阳·三模）方程
有两实数根
，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2026·北京朝阳·二模）设函数
若关于
的方程
恰有两个不同的实数解，
则满足条件的实数
的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（25-26 高二下·黑龙江·期中）已知关于
的方程
有实数根，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2026·河北邢台·二模）已知函数
，
.若
与
的图象恰好有4 个不同的交点，
则实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二上·安徽阜阳·期末）函数
在区间
上存在极值，则的最大值为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
6．（2026·安徽芜湖·二模）（多选）关于
的方程
，下列说法正确的是（ ）
A．当
时，方程有两个根
B．当方程有两个根时，
C．当
时，方程有三个根
D．当方程在区间
上有三个根时，
7．（2026·江苏盐城·三模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
为奇函数
B．
的单调递增区间为
C．
的极小值为
D．若关于
的方程
恰有三个不等的实数根，则
的取值范围是
8．（25-26 高二下·山东菏泽·阶段检测）（多选）已知函数
，则下列结论正确的是（ ）
A．函数
的最小值为
B．函数
有2 个极值点
C．若函数
在
上是减函数，则实数
的取值范围是
D．函数
有5 个零点
9．（2026·湖北宜昌·二模）（多选）设函数
，则（ ）
A．函数
在区间
上单调递减
B．函数
是奇函数
C．直线
与曲线
有3 个公共点
D．斜率为
的直线与曲线
有且仅有一个公共点
10．（2023·全国·模拟预测）（多选）已知
存在两个极小值点,则
的取值可以是（ ）
A．
B．
C．
D．
11．（25-26 高二下·吉林长春·期中）已知函数
．若函数
有两个不同的零点，则
的取
值范围为__．
12．（22-23 高二下·湖北武汉·期末）已知函数
，不等式
对任意
恒成立，则
实数m 的取值范围是_______________.
13．（25-26 高二下·北京·期中）设函数
①若
，则
的零点个数为__________；
②若
有且仅有两个零点，则实数
的范围是__________.
14．（2026·河北雄安·三模）过点
可向曲线
作三条切线，则实数
的取值范围为________．
15．（25-26 高二下·浙江嘉兴·期中）若关于x 的方程
有唯一实数解，则实数k 的取值范围为______.
16．（25-26 高二下·湖南衡阳·期中）已知函数
，
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若方程
有实根，求
的取值范围；
(3)若函数
有
个极值点
、
，证明：
．
17．（25-26 高二下·陕西宝鸡·期中）已知
．
(1)若
，求函数
在区间
的最大值和最小值；
(2)若方程
有3 个不同的实根，求实数
的取值范围．
18．（2026·重庆·三模）设函数
．
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)若
有两个零点，求
的范围．
19．（2026·辽宁·三模）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)当
时，若
恒成立，求
取值范围；
(3)若
，求证：函数
有两个大于1 的零点．
20．（25-26 高三下·北京·月考）已知函数
，
.
(1)当
时，
①求曲线
在
处的切线方程；
②求证：
在
上有唯一极大值点；
(2)若
没有零点，求
的取值范围.
