考向10函数与导数（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 10 函数与导数
1.【2022年全国甲卷第6题】6．当 时，函数 取得最大值 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，由条件，得 ，所以 ，即 ，
所以 ．故选B.
f(x)cosx(x1)sinx1 [0,2π]
2.【2022年乙卷文科第11题】11.函数 在区间 的最小值、最大值分别为
π π 3π π π π 3π π
 ,  ,  , 2  , 2
A． 2 2 B． 2 2 C． 2 2 D． 2 2
【答案】D
π π 3π 3π
【解析】 f(x)(x1)cosx，当x(0,
2
)时， f(x)0；当x(
2
,
2
)时， f(x)0；当x(
2
,2π)时，
f(x)0 .所以， ; .又 ，所以
; .故选 .
3.【2022年新高考1卷第10题】10. 已知函数 ，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切线
【答案】AC【解析】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 是极值点，故A正确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，
故D错误.
.
故选：AC
4．【2022年新高考1卷第12题】12. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
5. 【2022年新高考2卷第14题】写出曲线 过坐标原点的切线方程：____________，
____________．
【答案】 ①. ②.【解析】 因为 ，当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以
切线方程为 ，又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线
方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即
；故答案为： ；
y(xa)ex a
6.【2022 年新高考 1 卷第 15 题】若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是
____________．
(,4) (0,)
【答案】 
 x ,(x a)ex0 
【解析】易得曲线不过原点，设切点为 0 0 ，则切线斜率为：
f '(x
0
)(x
0
a1)ex0．可得切线方程为 y(x
0
a)ex0 (x
0
a1)ex0(xx
0
)
，又切线过原点，可得
(x
0
a)ex0 x
0
(x
0
a1)ex0，化简得 x
0
2 ax
0
a 0
（※），又切线有两条，即※方程有两不等实根，
由判别式 a2 4a 0 ，得a4，或a0．x=x x=x f(x)=2ax −ex2 (a>0且a ≠1)
7.【2022年乙卷理科第16题】已知 1和 2分别是函数 的极小值
x <x
a
点和极大值点，若 1 2，则 的取值范围是___________
 1
0, 
 e
【答案】
f ' x  2  axlnaex  x x x x
【 解 析 】 至 少 要 有 两 个 零 点 1和 2， 我 们 对 其 求 导 ，
f ''x 2axlna2 2e
，
a1 f '' x  f ''x  0 f 'x  ,x 
（1）若 ，则 在R上单调递增，此时若 0 ，则 在 0 上单调
x ,  x x x x f(x)2ax ex2(a0且a1)
递减，在 0 上单调递增，此时若有 1和 2分别是函数
x  x
的极小值点和极大值点，则 1 2，不符合题意。
0a1 f '' x  f ''x  0 f 'x  ,x 
0 0
（2）若 ，则 在R上单调递减，此时若 ，则 在 上
e
x =log
(x ,+∞) 0 a (lna) 2 x=x x=x
0 1 2
单调递增，在 上单调递减，且 。此时若有 和 分别是函数
f(x)=2ax −ex2 (a>0且a ≠1) x <x f' (x )>0
1 2 0
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ，即
1 1
e e e e 1
>elog ⇒alna > ⇒lnalna >ln ⇒ lna>1−ln(lna) 2
lna a (lna) 2 (lna) 2 (lna) 2 lna
a>e
，可解得 或
1 1
0<a< 0<a<
e 0<a<1 e
，由于 ，取交集即得 。1.求曲线y=f (x)的切线方程的类型及方法
（1）已知切点P(x, y)，求y=f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x)，由点斜式写出方程；
0 0 0
（2）已知切线的斜率为k，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x, y)，通过方程k=f ′(x)解得x，再由点斜式
0 0 0 0
写出方程；
（3）已知切线上一点(非切点)，求y=f (x)的切线方程：设切点P(x, y)，利用导数求得切线斜率f ′(x)，
0 0 0
再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x，最后由点斜式或两点式写出方程．
0
（4）若曲线的切线与已知直线平行或垂直，求曲线的切线方程时，先由平行或垂直关系确定切线的斜
率，再由k=f ′(x)求出切点坐标(x, y)，最后写出切线方程．
0 0 0
（5）①在点P处的切线即是以P为切点的切线，P一定在曲线上.
②过点P的切线即切线过点P，P不一定是切点．因此在求过点P的切线方程时，应首先检验点P是
否在已知曲线上．
2．利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式
f(x)0（
f(x)0）在给定区间上恒成立．一般步骤为：
（1）求f ′(x)；
（2）确认f ′(x)在(a，b)内的符号；
（3）作出结论，
f(x)0时为增函数， f(x)0时为减函数．
注意：研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．
f x
3．由函数 的单调性求参数的取值范围的方法
fx0 fx0 fx
（1）可导函数在某一区间上单调，实际上就是在该区间上 (或 )( 在该区间的
任意子区间内都不恒等于0)恒成立，然后分离参数，转化为求函数的最值问题，从而获得参数的取值
范围；
（2）可导函数在某一区间上存在单调区间，实际上就是
f(x)0(或 f(x)0)在该区间上存在解
集，这样就把函数的单调性问题转化成了不等式问题；
f x f x
（3）若已知 在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出 的单调区间，令I是其
单调区间的子集，从而可求出参数的取值范围.
4．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再
利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解.
5．求函数f (x)在[a，b]上最值的方法
（1）若函数f (x)在[a，b]上单调递增或递减，f (a)与f (b)一个为最大值，一个为最小值．
（2）若函数f (x)在区间(a，b)内有极值，先求出函数f (x)在区间(a，b)上的极值，与f (a)、f (b)比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
（3）函数f (x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点．
注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用.
（2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值.要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定.
6．利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法：
（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最
值，根据要求得所求范围.一般地， f(x)a恒成立，只需 f(x) a 即可； f(x)a恒成立，只需
min
f(x) a
即可.
max
（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最
值)，然后构建不等式求解.
易错点1：导数与函数的单调性
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用
的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导
数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中
的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
易错点2：导数与函数的极（最）值
求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a，b)内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；
(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
易错点3：对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚
f'(x) 0  xA B ... f(x)增区间为A,B和...
 
f'(x) 0 xC D ... f(x)增区间为C,D和...
 
xD时f'(x)  0 f(x)在区间D上为增函数
xD时f'(x)0 f(x)在区间D上为减函数
xD时f'(x)  0 f(x)在区间D上为常函数
讨论函数的单调区间可化归为求解导函数正或负的相应不等式问题的讨论．
一、单选题yxex2x2 x0
1．曲线 在 处的切线方程是（ ）
3xy20 2xy20
A． B．
2xy20 3xy20
C． D．
f x fx f x2xf1lnx f '1
2．已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则 （ ）
A． e B．1 C．1 D．e
yxln(2x5) x2
3．曲线 在 处的切线方程为（ ）
A．4x－y+8＝0 B．4x+y+8＝0
C．3x－y+6＝0 D．3x+y+6＝0
1
4．函数 f(x) x2lnx的单调递减区间为（ ）
2
(1,1) (0,1) (1,) (0,2)
A． B． C． D．
f(x)x22cosx a f  20.5 c f log 2
5．已知函数 ，设 ， ， 0.5 ，则（ ）
A．acb B．abc C．cba D．cab
1
6．已知函数 f(x) x2cosx， fx是函数 的导函数，则 fx的图像大致是（ ）
4 f(x)
A． B．
C． D．7．若函数 ，g(x)= 对任意的 ，不等式 恒成立，则整数m的最小
值为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
8．已知函数 ，若有且仅有两个正整数，使得 成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．已知抛物线 在 处的切线过点 ，则该抛物线的焦点坐标为________．
10．已知 ，函数 的图象在 处的切线方程为 _____．
11．若函数 有两个零点，则 的取值范围为______．
12．关于函数 ，有下列4个结论：
①函数 的图象关于点 中心对称； ②函数 无零点；
③曲线 的切线斜率的取值范围为 ④曲线 的切线都不过点
其中错误结论为______．
一、单选题
1．（2022·海南海口·二模）在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量 （单位： ）与
扩增次数n满足 ，其中 为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为
，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为 ，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少
为（ ）（参考数据： ， ）
A．5 B．10 C．15 D．20
2．（2022·全国·模拟预测（理））血氧饱和度是血液中被氧结合的氧合血红蛋白的容量占全部可结合的血
红蛋白容量的百分比，即血液中血氧的浓度，它是呼吸循环的重要生理参数．正常人体的血氧饱和度一般
不低于95%，在95%以下为供氧不足．当人体长时间处于高原、高空或深海环境中，容易引发血氧饱和度
降低，产生缺氧症状，此时就需要增加氧气吸入量．在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型：
描述血氧饱和度 （单位：%）随给氧时间t（单位：时）的变化规律，其中 为初始血氧饱
和度，K为参数．已知 ，给氧1小时后，血氧饱和度为76．若使得血氧饱和度达到正常值，则给氧
时间至少还需要（ ）（结果精确到0.1， ， ， ）
A．0.4小时 B．0.5小时 C．0.6小时 D．0.7小时
3．（2022·全国·模拟预测（理））已知函数
（k，n为正奇数）， 是 的导函数，则 （ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·江苏苏州·模拟预测）若x， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·全国·模拟预测）已知函数 ， ，若 ，则下列说法正确的是（ ）
A．当 时， 有2个零点
B．当 时， 恒在 的上方
C．若 在 上单调递增，则
D．若 在 有2个极值点，则
6．（2022·全国·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． 的定义域是
B．若直线 和 的图像有交点，则
C．
D．
三、填空题
7．（2022·山东·烟台二中模拟预测）请写出一个定义在R上的函数，其图象关于y轴对称，无最小值，且
最大值为2．其解析式可以为 ______．
8．（2022·河北邯郸·二模）已知点P为曲线 上的动点，O为坐标原点．当 最小时，直线OP恰
好与曲线 相切，则实数a＝___．
9．已知函数 ．若函数 在定义域内不是单调函数，则实数 的取值范围是
________．
10．（2022·上海·模拟预测）设函数 满足 ，定义域为 ，值域为A，若集合可取得A中所有值，则参数a的取值范围为___________.
四、解答题
11．（2022·全国·模拟预测（理））对于区间 ， ， ， ，其中 ，统一将 称
为这四类区间的长度．已知函数 （e为自然对数的底数）．
(1)当 时，求 在区间 上的值域的区间长度；
(2)若 在区间 上单调递增，那么 时， 值域的区间的长度是否存在最小值？若存在，
求出最小值；若不存在，请说明理由．
12．（2022·上海·华师大二附中模拟预测）已知定义域为 的函数 .当 时，若
（ ， ）是增函数，则称 是一个“ 函数”.
(1)判断函数 （ ）是否为 函数，并说明理由；
(2)若定义域为 的 函数 满足 ，解关于 的不等式 ；
(3)设 是满足下列条件的定义域为 的函数 组成的集合：①对任意 ， 都是 函数；
② ， . 若 对一切 和所有 成立，求实数 的最大值.
一、选择题
1．(2021年高考全国乙卷理科)设 ，若 为函数 的极大值点，则 (
)
.
A B． C． D．2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)函数 的图像在点 处的切线方程为 ( )
A． B． C． D．
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)若直线l与曲线y= 和x2+y2= 都相切，则l的方程为( )
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y= x+1 D．y= x+
4．(2019年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知曲线 在点 处的切线方程为 ，则(
)
A． B． C． D．
5．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)设函数 ，若 为奇函数，则曲线
在点 处的切线方程为 ( )
A． B． C． D．
x2 f(x)(x2 ax1)ex1` f(x)
6．(2017年高考数学课标Ⅱ卷理科)若 是函数 的极值点，则 的极小值
为 ( )
A．1 B． 2e3 C． 5e3 D．1
7．(2015高考数学新课标2理科)设函数 是奇函数 的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
8．(2015高考数学新课标1理科)设函数 ,其中 ，若存在唯一的整数 ，
使得 0，则 的取值范围是 ( )
A． B． C ．D．
9．(2014高考数学课标2理科)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=
A．0 B．1 C．2 D．3f(x) ax3 3x2 1 f(x) x x a
10．(2014高考数学课标1理科)已知函数 = ,若 存在唯一的零点 0,且 0>0,则
的取值范围为( )
A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)
11．(2013高考数学新课标2理科)已知函数 ，下列结论中错误的是( )
A．
B．函数 的图象是中心对称图形
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．若 是 的极值点，则
12．(2013高考数学新课标1理科)已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围
是 ( )
A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]
二、填空题
13．(2021年高考全国甲卷理科)曲线 在点 处的切线方程为__________．
14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线 在点 处的切线方程为 ．
15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则
．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线 在点 处的切线方程为__________．
17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数 ,则 的最小值是 ．
O 5cm
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为 ,半径为 ,该纸片上的等边三角形
ABC 的中心为 O,D,E,F 为圆 O 上的点, DBC , ECA ,FAB分别是以 BC,CA,AB 为底边的等
腰三角形．沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起 DBC , ECA ,FAB,使得 D,E,F 重合,
ABC cm3
得到三棱锥．当 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位: )的最大值为__________．19．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科)已知 为偶函数,当 时, ,,则曲线
在点 处的切线方程是_______________.
20．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 ．
1．【答案】D
【解析】 ，则 ，当 时， ， ，
所以切线方程为 ，即 ．
故选：D．
2．【答案】B
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
所以 ，则 ．故选：B.
3．【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．又当 时， ，故切点坐标为 ，所以切线方程为 ．
故选：B.
4．【答案】B
【解析】 的定义域为
解不等式 ，可得 ，
故函数 的递减区间为 .故选：B．
5．【答案】A
【解析】 ，定义域为 ，
，所以 是偶函数，
，令 ，则 ，
所以在 上 单调递增， ，
即在 上 ， 单调递增，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
故选：A
6．【答案】C
【解析】 ，则 ，则函数 为奇函数，排除BD；
，排除A；
故选：C.
7．【答案】A
【解析】因为 单调递增， ，所以 ，即 ，原不等式恒成立可化为 恒成立，
即 时， 恒成立，
即函数 在 上为增函数，
所以 在 上恒成立，
即 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，故当 时，函数
的最大值为 ，
即 恒成立，由 知，整数m的最小值为2.
故选：A
8．【解析】由 且 ，得 ，设 ， ，
，已知函数 在（0，2）上单调递增，在 上单调递减，
函数 的图象过点 ， ， ， ，结合图象，因为
，所以 ．
故选：C
9．【答案】【解析】由题意得：由 可得 ，求导可得 ，故切线斜率为
故切线方程为
又因为该切线过点 ，所以 ，解得
抛物线方程为 ，焦点坐标为 ．
故答案为：
10．【答案】
【解析】由 得 ， 所以在 处的切线的斜率为
，
又 ，故切点坐标 ，所以所求的切线方程为 ，即 ，
故答案为： ．
11．【答案】
【解析】因为 有两个零点，即 有两个零点 有两个解，即y＝ 与y＝ 的
⇒
图象有两个交点，令 （x R），则 ，
∈
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 ，又因当 时， ＝ ＜0，
当 时， ＝ ＞0，当 时， ＝ ＝0，要使y＝ 与y＝ 的图象有两个交点，所以0＜ ＜ ，即 的取值范围为 ．
故答案为： ．
12．【答案】②③
【解析】由已知： ，故①正确；
由 ， （或 ）知函数 在
内有零点，故②不正确；
由 且 当且仅当 取等号知： 的值域为 ，故③错
误；
若曲线 存在过点 的切线，设切点为 ，则由导数的几何意义与斜率公式得：
，化简得： ，令 ，则 ，当 时，
，当 时， ，故 ，所以函数 无零点，因此方程无实
数解，假设不成立，故④正确.
综上，错误结论为：②③.
故答案为： ②③.1．【答案】B
【解析】由题意知 ， ，令 ，得 ，取以10为底的对数得 ，
所以 ．
故选：B.
2．【答案】D
【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要 小时，
由题意可得 ， ，两边同时取自然对数并整理，
得 ， ，
则 ，则给氧时间至少还需要 小时
故选： D
3．【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
其中 ，
所以 ，所以 ；故选：D
4．【答案】C
【解析】设 ，则 （不恒为零），
故 在 上为增函数，故 ，
所以 ，故 在 上恒成立，所以 ，
但 为 上为增函数，故 即 ，
所以C成立，D错误.
取 ，考虑 的解，
若 ，则 ，矛盾，
故 即 ，此时 ，故B错误.
取 ，考虑 ，
若 ，则 ，矛盾，
故 ，此时 ，此时 ，故A错误，故选：C.
5．【答案】BC
【解析】对于选项A，当 时， ，则 ，当 时， ，当
时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为
，即 没有零点，所以A选项错误；
对于选项B，当 时， ，则 ，所以 在 上单调
递增，且 ，即 ，所以B选项正确；
对于选项C，易知 ，当 时，因为 ， ，则 ，所以
在 上单调递增，符合要求；当 时，则当 时， ，此时
，所以 在 上单调递减，不符合要求，所以C选项正确；对于选项D，当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 单调递增，
所以函数 在 不存在极值点，
当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 单调递增，所以函数
在 不存在极值点， 时 单调递增，即函数 在 至多存在一个
极值点，所以D选项错误.故选：BC．
6．【答案】AC
【解析】A： ，所以 的定义域为 ，故A正确；
B： ，设 ，
则 ，
有 在 上恒成立，故 在 上单调递减，
且 ，所以当 时 ，当 时 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，若直线 与 的图像有交点，则 ，故B错误；
C：由B中的分析， ，代入得 ，故C正确；
D：由B中的分析， ，代入得 ，故D错误．
故选：AC
7．【答案】 或（ ， 等）（答案不唯一）【解析】根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2，所以 满足题中的条件，再如
，再如 等等（答案不唯一）.
故答案为： 或（ ， 等）（答案不唯一）.
8．【答案】
【解析】设 ，所以 ，
设 ， ，
当 时， ， ，所以 单调递增，
当 时， ， ，
所以 单调递减，
当 时，函数 有最小值，即 有最小值，所以 ，
此时直线OP的方程为 ，设直线 与曲线 相切于点 ，
由 ，显然 在直线 上，
则 ，因此有 ，故答案为：
9．【答案】
【解析】由于函数不单调，则函数在定义域内有极值点， ， ，令函数
， ，所以函数g(x)在区间 上单调递增，在区间 上
单调递减， 时， ， ，所以 .
10．【答案】 ， ，
【解析】令 得， 或 （舍去）；当 时， ，故对任意 ，
都存在 ， ， ，故 ，
故 ， ， ，而当 时， ，
故当 ， ， 时，参数 的最小值为 ，
故参数 的取值范围为 ， ，故答案为： ， ．
11．【答案】(1) ；(2)存在，最小值为
【解析】(1)当 时，函数 ， ，
∴ ，
∵ 是增函数，
∴ ，
∴ 在区间 是增函数，
∴函数 在区间 上的值域为 ，
∴值域区间的长度为 ．
(2)∵函数 在区间 上单调递增，∴在区间 上 ，即 ，∴ ．
①若 ，则 ，且 递增．
∴在区间 上 ，从而 在 上递增，∴函数的值域为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ．②若 ，则 ，且 递增．
∴在区间 上 ；在区间 上 ，
∴ 在区间 上递减，在区间 上递增，
∴ ， ，
∴ ．
③若 ，则 ， ，且 递增．
∴在区间 内存在 ，使得 ，
当 上， ，在区间 上， ，
∴ 在区间 上递减，在区间 上递增
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵隐零点t满足： ，∴消a可得： ，
∴不妨记 ， ，∴ ，
∴ ， 递减，∴ ，
∴ ，∴ ．
综上，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，∵ ，
∴当 时， 取得最小值 ，
∴函数 在 的值域区间的长度的最小值为 ．
12．【答案】(1)是，理由见解析(2) (3)
【解析】(1)是，理由：由题， （ ， ）为增函数，
故 （ ）是 函数.
(2)因为 是 函数，且 ，所以 是 上的增函数，
因为 有意义，所以 ，显然， 时不等式不成立，下设 ，
此时 等价于 ，
由 的单调性得， ，即所求不等式的解集为 .
(3)由题意， 是 函数，故 是增函数，从而当 时， ，即
；而 是 函数，故 是增函数，从而当 时， ，即
，
当 时，同理可得， 且 ，故 且 ，故
.
因此 ，当 时， 对一切 成立.
下证，任意 均不满足要求，由条件②知， .
另一方面，对任意 ，定义函数 ，容易验证条件②成立.对条件①，任取 ，有 ，
注意到 是增函数，
而对 ，当 时， ；当 时， ，均单
调不减.
因为 ，
所以条件①成立.从而 .此时， ，
故 ，从而 为所求最大值.
1．【答案】D
【解析】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 ．
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的．
依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的．
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 ．当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 ．
综上所述， 成立．
故选：D
2．【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 ．
故选：B．
3．【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 ．故选：D．
4．【答案】D
【解析】由 ，根据导数的几何意义易得 ，解得 ，从而得
到切点坐标为 ，将其代入切线方程 ，得 ，解得 ，故选D．
5．【答案】D
【解析】函数 ，若 为奇函数，可得 ，所以函数 ，
可得 ，曲线 在点 处的切线的斜率为：1，则曲线 在点
处的切线方程为： ，故选D．
6．【答案】A
【解析】解法一：常规解法
f x  x2 ax1  ex1 fxx2 a2xa1ex1
∵ ∴ 导函数  
∵
f20
∴ a1
fx  x2 x2  ex1
∴ 导函数
fx0
x 2 x 1
令 ，∴ 1 ， 1
当x变化时， f x ， fx 随变化情况如下表：
x ,2 2 2,1 1 1,
fx + 0 - 0 +
f x 极大值 极小值
f 11
从上表可知：极小值为 ．
7．【答案】A
【解析】记函数 ，则 ，因为当 时， ，故
当 时， ，所以 在 单调递减；又因为函数 是奇函数，故函数
是偶函数，所以 在 单调递减，且 ．当 时， ，
则 ；当 时， ，则 ，综上所述，使得 成立的 的取值范围是 ，故选A．
8．【答案】D
【解析】设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在直线
的下方．
因为 ，所以当 时， ＜0，当 时， ＞0，所以当
时， = ，
当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜率且 ，故 ，
且 ，解得 ≤ ＜1，故选D．
9．【答案】D
【解析】因为 ，所以切线的斜率为 ，解得 ，选D
10．【答案】B
2
x
解析1:由已知 a0 , f(x)3ax2 6x ,令 f(x)0 ,得 x0 或 a ,
 2 2 
x,0, f(x)0;x 0, , f(x)0;x , , f(x)0
   
a0  a a 
当 时, ;
f(0)10 f(x)
且 , 有小于零的零点,不符合题意．
 2 2 
x , , f(x)0;x ,0 , f(x)0;x0,, f(x)0
   
a0  a a 
当 时,2
f( )0
要使 f(x) 有唯一的零点 x 0且 x 0>0,只需 a ,即 a2 4 , a2 ．选B
1 1
a 3 
解析2:由已知 a0 , f(x) = ax3 3x2 1 有唯一的正零点,等价于  x x3
1
t 
有唯一的正零根,令 x ,则问题又等价于 at33t 有唯一的正零根,即 y a 与 y t33t 有唯
f(t)t33t f(t)3t2 3 f(t)0 t 1
一 的 交 点 且 交 点 在 在 y 轴 右 侧 记 , , 由 , ,
t,1, f(t)0;t1,1, f(t)0;
,
t1,, f(t)0
at33t a f(1)2
,要使 有唯一的正零根,只需 ,选B
11．【答案】C
【解析】由三次函数的图象可知，若 是 的极小值点，则极大值点在 的左侧，所以函数在区
间 单调递减是错误的，选C．
12．【答案】Ｄ
【解析】∵| |= ，∴由| |≥ 得， 且 ，
由 可得 ，则 ≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当 =1时，易证 对 恒成立，故 =1不适合，排除C，故选D．
13．【答案】
【解析】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
14．【答案】【解析】 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
15．【答案】
【解析】记 ，则
依题意有 ，即 ，解得 ．
16．【答案】
【解析】因为 ，所以 ，切线方程为 ，即 ．
17．【答案】
解法一：先求 的最大值，设
，
即 ，
故根据 奇函数知，
解法二：导数法+周期函数
当 ； ；
解法三：均值不等式法当且仅当 时，
此时 ，
4 15
18．【答案】
1 3 3
OG   x  x
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则 3 2 6 ．
2 2
 3   3   3
3 SOh SG2 GO2  5 x  x  55 
FG SG 5 x      
6 6 3
 6 ,      
1 1 3  3 
V 
3
S
ABC
h
3

4
 5

5
3
x
 
15
5x4 
3
x5
三棱锥的体积   12 3 ．
3 5 3
bx5x4  x5 n'x20x3 x4
令 3 ,则 3 ,
x4
4x3  0
n'x0
3 x4 3
令 , , ,
75
V  48 54 4 15
max 12 ．
19．【答案】
【 解 析 】 当 时 , , 则 . 又 因 为 是 偶 函 数 , 所 以, 所 以 , 则 切 线 斜 率 为 , 所 以 切 线 方 程 为
,即 .
20．【答案】
【解析】设直线 与曲线 的切点为 ，与曲线 的切点
为 则 ，所以
所以 ，所以 ，所以 ．