文档内容
考向 10 函数与导数
1.【2022年全国甲卷第6题】6．当 时，函数 取得最大值 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，由条件，得 ，所以 ，即 ，
所以 ．故选B.
f(x)cosx(x1)sinx1 [0,2π]
2.【2022年乙卷文科第11题】11.函数 在区间 的最小值、最大值分别为
π π 3π π π π 3π π
, , , 2 , 2
A． 2 2 B． 2 2 C． 2 2 D． 2 2
【答案】D
π π 3π 3π
【解析】 f(x)(x1)cosx，当x(0,
2
)时， f(x)0；当x(
2
,
2
)时， f(x)0；当x(
2
,2π)时，
f(x)0 .所以， ; .又 ，所以
; .故选 .
3.【2022年新高考1卷第10题】10. 已知函数 ，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切线
【答案】AC【解析】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 是极值点，故A正确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，
故D错误.
.
故选：AC
4．【2022年新高考1卷第12题】12. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
5. 【2022年新高考2卷第14题】写出曲线 过坐标原点的切线方程：____________，
____________．
【答案】 ①. ②.【解析】 因为 ，当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以
切线方程为 ，又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线
方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即
；故答案为： ；
y(xa)ex a
6.【2022 年新高考 1 卷第 15 题】若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是
____________．
(,4) (0,)
【答案】
x ,(x a)ex0
【解析】易得曲线不过原点，设切点为 0 0 ，则切线斜率为：
f '(x
0
)(x
0
a1)ex0．可得切线方程为 y(x
0
a)ex0 (x
0
a1)ex0(xx
0
)
，又切线过原点，可得
(x
0
a)ex0 x
0
(x
0
a1)ex0，化简得 x
0
2 ax
0
a 0
（※），又切线有两条，即※方程有两不等实根，
由判别式 a2 4a 0 ，得a4，或a0．x=x x=x f(x)=2ax −ex2 (a>0且a ≠1)
7.【2022年乙卷理科第16题】已知 1和 2分别是函数 的极小值
x 0且a ≠1) x 0
1 2 0
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ，即
1 1
e e e e 1
>elog ⇒alna > ⇒lnalna >ln ⇒ lna>1−ln(lna) 2
lna a (lna) 2 (lna) 2 (lna) 2 lna
a>e
，可解得 或
1 1
00,则
的取值范围为( )
A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)
11．(2013高考数学新课标2理科)已知函数 ，下列结论中错误的是( )
A．
B．函数 的图象是中心对称图形
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．若 是 的极值点，则
12．(2013高考数学新课标1理科)已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围
是 ( )
A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]
二、填空题
13．(2021年高考全国甲卷理科)曲线 在点 处的切线方程为__________．
14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线 在点 处的切线方程为 ．
15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则
．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线 在点 处的切线方程为__________．
17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数 ,则 的最小值是 ．
O 5cm
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为 ,半径为 ,该纸片上的等边三角形
ABC 的中心为 O,D,E,F 为圆 O 上的点, DBC , ECA ,FAB分别是以 BC,CA,AB 为底边的等
腰三角形．沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起 DBC , ECA ,FAB,使得 D,E,F 重合,
ABC cm3
得到三棱锥．当 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位: )的最大值为__________．19．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科)已知 为偶函数,当 时, ,,则曲线
在点 处的切线方程是_______________.
20．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 ．
1．【答案】D
【解析】 ，则 ，当 时， ， ，
所以切线方程为 ，即 ．
故选：D．
2．【答案】B
【解析】由题意，函数 ，可得 ，
所以 ，则 ．故选：B.
3．【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ．又当 时， ，故切点坐标为 ，所以切线方程为 ．
故选：B.
4．【答案】B
【解析】 的定义域为
解不等式 ，可得 ，
故函数 的递减区间为 .故选：B．
5．【答案】A
【解析】 ，定义域为 ，
，所以 是偶函数，
，令 ，则 ，
所以在 上 单调递增， ，
即在 上 ， 单调递增，
因为 ， ，
所以 ，即 ，
故选：A
6．【答案】C
【解析】 ，则 ，则函数 为奇函数，排除BD；
，排除A；
故选：C.
7．【答案】A
【解析】因为 单调递增， ，所以 ，即 ，原不等式恒成立可化为 恒成立，
即 时， 恒成立，
即函数 在 上为增函数，
所以 在 上恒成立，
即 ，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，故当 时，函数
的最大值为 ，
即 恒成立，由 知，整数m的最小值为2.
故选：A
8．【解析】由 且 ，得 ，设 ， ，
，已知函数 在（0，2）上单调递增，在 上单调递减，
函数 的图象过点 ， ， ， ，结合图象，因为
，所以 ．
故选：C
9．【答案】【解析】由题意得：由 可得 ，求导可得 ，故切线斜率为
故切线方程为
又因为该切线过点 ，所以 ，解得
抛物线方程为 ，焦点坐标为 ．
故答案为：
10．【答案】
【解析】由 得 ， 所以在 处的切线的斜率为
，
又 ，故切点坐标 ，所以所求的切线方程为 ，即 ，
故答案为： ．
11．【答案】
【解析】因为 有两个零点，即 有两个零点 有两个解，即y＝ 与y＝ 的
⇒
图象有两个交点，令 （x R），则 ，
∈
所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减；
所以 ，又因当 时， ＝ ＜0，
当 时， ＝ ＞0，当 时， ＝ ＝0，要使y＝ 与y＝ 的图象有两个交点，所以0＜ ＜ ，即 的取值范围为 ．
故答案为： ．
12．【答案】②③
【解析】由已知： ，故①正确；
由 ， （或 ）知函数 在
内有零点，故②不正确；
由 且 当且仅当 取等号知： 的值域为 ，故③错
误；
若曲线 存在过点 的切线，设切点为 ，则由导数的几何意义与斜率公式得：
，化简得： ，令 ，则 ，当 时，
，当 时， ，故 ，所以函数 无零点，因此方程无实
数解，假设不成立，故④正确.
综上，错误结论为：②③.
故答案为： ②③.1．【答案】B
【解析】由题意知 ， ，令 ，得 ，取以10为底的对数得 ，
所以 ．
故选：B.
2．【答案】D
【解析】设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少还需要 小时，
由题意可得 ， ，两边同时取自然对数并整理，
得 ， ，
则 ，则给氧时间至少还需要 小时
故选： D
3．【解析】因为 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
其中 ，
所以 ，所以 ；故选：D
4．【答案】C
【解析】设 ，则 （不恒为零），
故 在 上为增函数，故 ，
所以 ，故 在 上恒成立，所以 ，
但 为 上为增函数，故 即 ，
所以C成立，D错误.
取 ，考虑 的解，
若 ，则 ，矛盾，
故 即 ，此时 ，故B错误.
取 ，考虑 ，
若 ，则 ，矛盾，
故 ，此时 ，此时 ，故A错误，故选：C.
5．【答案】BC
【解析】对于选项A，当 时， ，则 ，当 时， ，当
时， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 的最小值为
，即 没有零点，所以A选项错误；
对于选项B，当 时， ，则 ，所以 在 上单调
递增，且 ，即 ，所以B选项正确；
对于选项C，易知 ，当 时，因为 ， ，则 ，所以
在 上单调递增，符合要求；当 时，则当 时， ，此时
，所以 在 上单调递减，不符合要求，所以C选项正确；对于选项D，当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 单调递增，
所以函数 在 不存在极值点，
当 时， 在 上恒成立，所以函数 在 单调递增，所以函数
在 不存在极值点， 时 单调递增，即函数 在 至多存在一个
极值点，所以D选项错误.故选：BC．
6．【答案】AC
【解析】A： ，所以 的定义域为 ，故A正确；
B： ，设 ，
则 ，
有 在 上恒成立，故 在 上单调递减，
且 ，所以当 时 ，当 时 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，若直线 与 的图像有交点，则 ，故B错误；
C：由B中的分析， ，代入得 ，故C正确；
D：由B中的分析， ，代入得 ，故D错误．
故选：AC
7．【答案】 或（ ， 等）（答案不唯一）【解析】根据题中的条件可知函数是偶函数，最大值为2，所以 满足题中的条件，再如
，再如 等等（答案不唯一）.
故答案为： 或（ ， 等）（答案不唯一）.
8．【答案】
【解析】设 ，所以 ，
设 ， ，
当 时， ， ，所以 单调递增，
当 时， ， ，
所以 单调递减，
当 时，函数 有最小值，即 有最小值，所以 ，
此时直线OP的方程为 ，设直线 与曲线 相切于点 ，
由 ，显然 在直线 上，
则 ，因此有 ，故答案为：
9．【答案】
【解析】由于函数不单调，则函数在定义域内有极值点， ， ，令函数
， ，所以函数g(x)在区间 上单调递增，在区间 上
单调递减， 时， ， ，所以 .
10．【答案】 ， ，
【解析】令 得， 或 （舍去）；当 时， ，故对任意 ，
都存在 ， ， ，故 ，
故 ， ， ，而当 时， ，
故当 ， ， 时，参数 的最小值为 ，
故参数 的取值范围为 ， ，故答案为： ， ．
11．【答案】(1) ；(2)存在，最小值为
【解析】(1)当 时，函数 ， ，
∴ ，
∵ 是增函数，
∴ ，
∴ 在区间 是增函数，
∴函数 在区间 上的值域为 ，
∴值域区间的长度为 ．
(2)∵函数 在区间 上单调递增，∴在区间 上 ，即 ，∴ ．
①若 ，则 ，且 递增．
∴在区间 上 ，从而 在 上递增，∴函数的值域为 ，
∴ ，
∵ ，∴ ．②若 ，则 ，且 递增．
∴在区间 上 ；在区间 上 ，
∴ 在区间 上递减，在区间 上递增，
∴ ， ，
∴ ．
③若 ，则 ， ，且 递增．
∴在区间 内存在 ，使得 ，
当 上， ，在区间 上， ，
∴ 在区间 上递减，在区间 上递增
∴ ， ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∵隐零点t满足： ，∴消a可得： ，
∴不妨记 ， ，∴ ，
∴ ， 递减，∴ ，
∴ ，∴ ．
综上，当 时， ；
当 时， ；
当 时， ，∵ ，
∴当 时， 取得最小值 ，
∴函数 在 的值域区间的长度的最小值为 ．
12．【答案】(1)是，理由见解析(2) (3)
【解析】(1)是，理由：由题， （ ， ）为增函数，
故 （ ）是 函数.
(2)因为 是 函数，且 ，所以 是 上的增函数，
因为 有意义，所以 ，显然， 时不等式不成立，下设 ，
此时 等价于 ，
由 的单调性得， ，即所求不等式的解集为 .
(3)由题意， 是 函数，故 是增函数，从而当 时， ，即
；而 是 函数，故 是增函数，从而当 时， ，即
，
当 时，同理可得， 且 ，故 且 ，故
.
因此 ，当 时， 对一切 成立.
下证，任意 均不满足要求，由条件②知， .
另一方面，对任意 ，定义函数 ，容易验证条件②成立.对条件①，任取 ，有 ，
注意到 是增函数，
而对 ，当 时， ；当 时， ，均单
调不减.
因为 ，
所以条件①成立.从而 .此时， ，
故 ，从而 为所求最大值.
1．【答案】D
【解析】若 ，则 为单调函数，无极值点，不符合题意，故 ．
有 和 两个不同零点，且在 左右附近是不变号，在 左右附近是变号的．
依题意， 为函数 的极大值点， 在 左右附近都是小于零的．
当 时，由 ， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 ．当 时，由 时， ，画出 的图象如下图所示：
由图可知 ， ，故 ．
综上所述， 成立．
故选：D
2．【答案】B
【解析】 ， ， ， ，
因此，所求切线的方程为 ，即 ．
故选：B．
3．【答案】D
【解析】设直线 在曲线 上的切点为 ，则 ，
函数 的导数为 ，则直线 的斜率 ，
设直线 的方程为 ，即 ，
由于直线 与圆 相切，则 ，
两边平方并整理得 ，解得 ， （舍），
则直线 的方程为 ，即 ．故选：D．
4．【答案】D
【解析】由 ，根据导数的几何意义易得 ，解得 ，从而得
到切点坐标为 ，将其代入切线方程 ，得 ，解得 ，故选D．
5．【答案】D
【解析】函数 ，若 为奇函数，可得 ，所以函数 ，
可得 ，曲线 在点 处的切线的斜率为：1，则曲线 在点
处的切线方程为： ，故选D．
6．【答案】A
【解析】解法一：常规解法
f x x2 ax1 ex1 fxx2 a2xa1ex1
∵ ∴ 导函数
∵
f20
∴ a1
fx x2 x2 ex1
∴ 导函数
fx0
x 2 x 1
令 ，∴ 1 ， 1
当x变化时， f x ， fx 随变化情况如下表：
x ,2 2 2,1 1 1,
fx + 0 - 0 +
f x 极大值 极小值
f 11
从上表可知：极小值为 ．
7．【答案】A
【解析】记函数 ，则 ，因为当 时， ，故
当 时， ，所以 在 单调递减；又因为函数 是奇函数，故函数
是偶函数，所以 在 单调递减，且 ．当 时， ，
则 ；当 时， ，则 ，综上所述，使得 成立的 的取值范围是 ，故选A．
8．【答案】D
【解析】设 = ， ，由题知存在唯一的整数 ，使得 在直线
的下方．
因为 ，所以当 时， ＜0，当 时， ＞0，所以当
时， = ，
当 时， =-1， ，直线 恒过（1,0）斜率且 ，故 ，
且 ，解得 ≤ ＜1，故选D．
9．【答案】D
【解析】因为 ，所以切线的斜率为 ，解得 ，选D
10．【答案】B
2
x
解析1:由已知 a0 , f(x)3ax2 6x ,令 f(x)0 ,得 x0 或 a ,
2 2
x,0, f(x)0;x 0, , f(x)0;x , , f(x)0
a0 a a
当 时, ;
f(0)10 f(x)
且 , 有小于零的零点,不符合题意．
2 2
x , , f(x)0;x ,0 , f(x)0;x0,, f(x)0
a0 a a
当 时,2
f( )0
要使 f(x) 有唯一的零点 x 0且 x 0>0,只需 a ,即 a2 4 , a2 ．选B
1 1
a 3
解析2:由已知 a0 , f(x) = ax3 3x2 1 有唯一的正零点,等价于 x x3
1
t
有唯一的正零根,令 x ,则问题又等价于 at33t 有唯一的正零根,即 y a 与 y t33t 有唯
f(t)t33t f(t)3t2 3 f(t)0 t 1
一 的 交 点 且 交 点 在 在 y 轴 右 侧 记 , , 由 , ,
t,1, f(t)0;t1,1, f(t)0;
,
t1,, f(t)0
at33t a f(1)2
,要使 有唯一的正零根,只需 ,选B
11．【答案】C
【解析】由三次函数的图象可知，若 是 的极小值点，则极大值点在 的左侧，所以函数在区
间 单调递减是错误的，选C．
12．【答案】Ｄ
【解析】∵| |= ，∴由| |≥ 得， 且 ，
由 可得 ，则 ≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当 =1时，易证 对 恒成立，故 =1不适合，排除C，故选D．
13．【答案】
【解析】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
14．【答案】【解析】 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．
15．【答案】
【解析】记 ，则
依题意有 ，即 ，解得 ．
16．【答案】
【解析】因为 ，所以 ，切线方程为 ，即 ．
17．【答案】
解法一：先求 的最大值，设
，
即 ，
故根据 奇函数知，
解法二：导数法+周期函数
当 ； ；
解法三：均值不等式法当且仅当 时，
此时 ，
4 15
18．【答案】
1 3 3
OG x x
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则 3 2 6 ．
2 2
3 3 3
3 SOh SG2 GO2 5 x x 55
FG SG 5 x
6 6 3
6 ,
1 1 3 3
V
3
S
ABC
h
3
4
5
5
3
x
15
5x4
3
x5
三棱锥的体积 12 3 ．
3 5 3
bx5x4 x5 n'x20x3 x4
令 3 ,则 3 ,
x4
4x3 0
n'x0
3 x4 3
令 , , ,
75
V 48 54 4 15
max 12 ．
19．【答案】
【 解 析 】 当 时 , , 则 . 又 因 为 是 偶 函 数 , 所 以, 所 以 , 则 切 线 斜 率 为 , 所 以 切 线 方 程 为
,即 .
20．【答案】
【解析】设直线 与曲线 的切点为 ，与曲线 的切点
为 则 ，所以
所以 ，所以 ，所以 ．
