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考向 10 函数与导数
1.【2022年全国甲卷第6题】6．当 时，函数 取得最大值 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ，由条件，得 ，所以 ，即 ，
所以 ．故选B.
f(x)cosx(x1)sinx1 [0,2π]
2.【2022年乙卷文科第11题】11.函数 在区间 的最小值、最大值分别为
π π 3π π π π 3π π
, , , 2 , 2
A． 2 2 B． 2 2 C． 2 2 D． 2 2
【答案】D
π π 3π 3π
【解析】 f(x)(x1)cosx，当x(0,
2
)时， f(x)0；当x(
2
,
2
)时， f(x)0；当x(
2
,2π)时，
f(x)0 .所以， ; .又 ，所以
; .故选 .
3.【2022年新高考1卷第10题】10. 已知函数 ，则（ ）
A. 有两个极值点 B. 有三个零点
C. 点 是曲线 的对称中心 D. 直线 是曲线 的切线
【答案】AC【解析】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 上单调递减，在 ， 上单调递增，
所以 是极值点，故A正确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，
故D错误.
.
故选：AC
4．【2022年新高考1卷第12题】12. 已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，记 ，若 ， 均为偶函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】BC
【解析】因为 ， 均为偶函数，
所以 即 ， ，
所以 ， ，则 ，故C正确；
函数 ， 的图象分别关于直线 对称，
又 ，且函数 可导，
所以 ，
所以 ，所以 ，
所以 ， ，故B正确，D错误；
若函数 满足题设条件，则函数 （C为常数）也满足题设条件，所以无法确定 的函数值，
故A错误.
故选：BC.
5. 【2022年新高考2卷第14题】写出曲线 过坐标原点的切线方程：____________，
____________．
【答案】 ①. ②.【解析】 因为 ，当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以
切线方程为 ，又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线
方程为 ，即 ；
当 时 ，设切点为 ，由 ，所以 ，所以切线方程为
，
又切线过坐标原点，所以 ，解得 ，所以切线方程为 ，即
；故答案为： ；
y(xa)ex a
6.【2022 年新高考 1 卷第 15 题】若曲线 有两条过坐标原点的切线，则 的取值范围是
____________．
(,4)(0,)
【答案】
x ,(x a)ex0
【解析】易得曲线不过原点，设切点为 0 0 ，则切线斜率为：
f '(x
0
)(x
0
a1)ex0．可得切线方程为 y(x
0
a)ex0 (x
0
a1)ex0(xx
0
)
，又切线过原点，可得
(x
0
a)ex0 x
0
(x
0
a1)ex0，化简得 x
0
2 ax
0
a 0
（※），又切线有两条，即※方程有两不等实根，
由判别式 a2 4a 0 ，得a4，或a0．x=x x=x f(x)=2ax −ex2 (a>0且a≠1)
7.【2022年乙卷理科第16题】已知 1和 2分别是函数 的极小值
x 0且a≠1) x 0
1 2 0
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ，即
1 1
e e e e 1
>elog ⇒alna > ⇒lnalna >ln ⇒ lna>1−ln(lna) 2
lna a (lna) 2 (lna) 2 (lna) 2 lna
a>e
，可解得 或
1 1
00,则
的取值范围为( )
A．(2,+∞) B．(-∞,-2) C．(1,+∞) D．(-∞,-1)
【答案】B
2
x
解析1:由已知 a0 , f(x)3ax2 6x ,令 f(x)0 ,得 x0 或 a ,
2 2
x,0, f(x)0;x 0, , f(x)0;x , , f(x)0
a0 a a
当 时, ;
f(0)10 f(x)
且 , 有小于零的零点,不符合题意．
2 2
x , , f(x)0;x ,0 , f(x)0;x0,, f(x)0
a0 a a
当 时,
2
f( )0
要使 f(x) 有唯一的零点 x 0且 x 0>0,只需 a ,即 a2 4 , a2 ．选B
1 1
a 3
解析2:由已知 a0 , f(x) = ax3 3x2 1 有唯一的正零点,等价于 x x3
1
t
有唯一的正零根,令 x ,则问题又等价于 at33t 有唯一的正零根,即 y a 与 y t33t 有唯
f(t)t33t f(t)3t2 3 f(t)0 t 1
一 的 交 点 且 交 点 在 在 y 轴 右 侧 记 , , 由 , ,
t,1, f(t)0;t1,1, f(t)0;
,
t1,, f(t)0
at33t a f(1)2
,要使 有唯一的正零根,只需 ,选B
11．(2013高考数学新课标2理科)已知函数 ，下列结论中错误的是( )
A．
B．函数 的图象是中心对称图形
C．若 是 的极小值点，则 在区间 上单调递减
D．若 是 的极值点，则
【答案】C【解析】由三次函数的图象可知，若 是 的极小值点，则极大值点在 的左侧，所以函数在区
间 单调递减是错误的，选C．
12．(2013高考数学新课标1理科)已知函数 = ，若| |≥ ，则 的取值范围
是 ( )
A． B． C．[-2,1] D．[-2,0]
【答案】Ｄ
【解析】∵| |= ，∴由| |≥ 得， 且 ，
由 可得 ，则 ≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当 =1时，易证 对 恒成立，故 =1不适合，排除C，故选D．
二、填空题
13．(2021年高考全国甲卷理科)曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】由题，当 时， ，故点在曲线上．
求导得： ，所以 ．
故切线方程为 ．
故答案为： ．
14．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科)曲线 在点 处的切线方程为 ．
【答案】
【解析】 ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 ．15．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则
．
【答案】
【解析】记 ，则
依题意有 ，即 ，解得 ．
16．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)曲线 在点 处的切线方程为__________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，切线方程为 ，即 ．
17．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数 ,则 的最小值是 ．
【答案】
解法一：先求 的最大值，设
，
即 ，
故根据 奇函数知，
解法二：导数法+周期函数
当 ； ；解法三：均值不等式法
当且仅当 时，
此时 ，
O 5cm
18．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)如图,圆形纸片的圆心为 ,半径为 ,该纸片上的等边三角形
ABC 的中心为 O,D,E,F 为圆 O 上的点, DBC , ECA ,FAB分别是以 BC,CA,AB 为底边的等
腰三角形．沿虚线剪开后,分别以 BC,CA,AB 为折痕折起 DBC , ECA ,FAB,使得 D,E,F 重合,
ABC cm3
得到三棱锥．当 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位: )的最大值为__________．
4 15
【答案】
1 3 3
OG x x
【解析】如下图,设正三角形的边长为x,则 3 2 6 ．
2 2
3 3 3
3 SOh SG2 GO2 5 x x 55
FG SG 5 x
6 6 3
6 , 1 1 3 3
V
3
S
ABC
h
3
4
5
5
3
x
15
5x4
3
x5
三棱锥的体积 12 3 ．
3 5 3
bx5x4 x5 n'x20x3 x4
令 3 ,则 3 ,
x4
4x3 0
n'x0
3 x4 3
令 , , ,
75
V 48 54 4 15
max 12 ．
19．(2016 高考数学课标Ⅲ卷理科)已知 为偶函数,当 时, ,,则曲线
在点 处的切线方程是_______________.
【答案】
【 解 析 】 当 时 , , 则 . 又 因 为 是 偶 函 数 , 所 以
, 所 以 , 则 切 线 斜 率 为 , 所 以 切 线 方 程 为
,即 .
20．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若直线 是曲线 的切线，也是曲线
的切线，则 ．【答案】
【解析】设直线 与曲线 的切点为 ，与曲线 的切点
为 则 ，所以
所以 ，所以 ，所以 ．
