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第四章 三角函数 章节验收测评卷
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．已知函数
的周期和振幅分别是（ ）
A．
，2
B．
，4
C．
，2
D．
，4
【答案】D
【分析】根据最小正周期公式结合振幅的定义分析判断即可.
【详解】因为函数
的最小正周期
，
则周期为
，振幅为4，结合选项可知D 正确.
故选：D.
2．已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【分析】由任意角的三角函数的定义，可得正弦值与余弦值，可得答案.
【详解】由题意可得
，
，
则
.
故选：D.
3．将函数
的图象向左平移
个单位长度，再将所得图象上所有点的横
坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，得到
的图象，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角函数图象的变换，可得答案.
【详解】将函数
的图象向左平移
个单位长度，可得函数
的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标缩小为原来的
，纵坐标不变，可得
的图象.
故选：B.
4．若
，且
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解.
【详解】由
可得
，
由二倍角公式可得
，得
，
由于
，则
，故
，
故选：C
5．已知函数
在
上有且仅有2 个零点，则
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用余弦函数图象和性质结合零点个数可得
，解不等式即
可得出答案.
【详解】
，
令
，因为
，所以
，
令
可得
，
，
因为
在
上有且仅有2 个零点，所以
，
解得
．
故选：C．
6．函数
的最小值为（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分
、
讨论去掉绝对值，然后利用两角和的正弦、余弦公式化
简，再根据
的范围求出值域可得答案.
【详解】当
即
时，
，
因为
，所以
，
所以
，
；
当
即
时，
，
因为
，所以
，
所以
，
；
综上所述，
.
故选：B.
7．已知函数
，若关于x 的方程
在区间
上
有两个不同的解
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
，由此即可得解.
【详解】由题得
，
当
时，
，因为
在区间
上单调递增，在区间
上单调递减，
由
在区间
上的图象可知，若关于x 的方程
有两个不同的解
，
，
则
，解得
．
故选：C．
8．若函数
在定义域内存在
，使得
成立，则称该
函数为“完整函数”.已知
是
上的“完
整函数”，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换可知
，再由三角函数值域以及“完整函
数”定义将问题转化为
在
上至少存在两个最大值点，结合正弦函数图象性质
得出不等式即可得解得的取值范围.
【详解】
，
若
是
上的“完整函数”，
则在
上存在
，使得
成立，
即
，
又因为
，所以
，
即
在
上至少存在两个最大值点，
所以
，解得
；
当
，即
时，一定满足题意；
若
，因为
，
，所以
，
又易知
；所以只需保证
即可，
解得
.
综上可知
.
故选：B.
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列等式成立的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】利用二倍角的正弦、余弦公式，结合同角公式逐项分析判断.
【详解】对于A，
，A 成立；
对于B、D，
，B 不成立，D 成立；
对于C，由
，得
，C 成立.
故选：ACD.
10．对于函数
和
，下列说法中正
确的有（ ）
A．
与
的图象有相同的对称轴
B．
与
的图象有相同的对称中心
C．将
的图像向右平移
个单位长度可以得到
的图象
D．当
时，
与
的图象有2 个交点
【答案】ABD
【分析】利用辅助角公式和诱导公式分别化简函数解析式，根据正弦型函数的图象和
性质对选项分别计算，再进行判断即可.
【详解】由题意，
，
.
对于A，令
，解得
，
所以
与
的图象的对称轴都是
，故A 正确；
对于B，令
，解得
，
所以
与
的图象的对称中心都是
，故B 正确；
对于C，将
的图象向右平移
个单位长度可以得到
的图象，
故C 错误；
对于D，设
，
时，
，
则由
，解得
或
，
所以函数
在
有两个零点，即
与
的图象有2 个交点，故D 正确.
故选：ABD.
11．已知函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．
的值域为
B．若
，
的增区间为
(
)
C．若
，则
的图象关于点
中心对称
D．
的最小正周期为
，则
【答案】AB
【分析】根据正弦函数的性质结合绝对值的定义判断各选项即可.
【详解】对A，因为
，所以
，故A 正确；
对B，当
时，
，
由
，可得
，
所以
的单调递增区间为
(
)，故B 正确；
对C，因为
且不恒为
，所以
的图象不可能关于点
对称，故C 错误；
对D，若
的最小正周期为
，则可得
，解得
，故D 错误.
故选：AB．
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．已知
，则
．
【答案】
【分析】根据同角三角函数关系结合弦化切计算求解.
【详解】
.
故答案为：
.
13．如图，单位圆被点
分为12 等份，其中
，角
的始边与
轴的
非负半轴重合，若
则角
的终边与单位圆交于点 ．(从
中选择，写出所有满足要求的点)
【答案】
【分析】由题可知相邻点的夹角为
，根据
，再利用正弦函数在单位
圆中的定义，可直接找出满足要求的点.
【详解】由题可知相邻点的夹角为
，
，
与
相差
，即间隔一个点，
又正弦值要相等，即关于
轴对称，
故符合的对称点有
，
所以角
的终边与单位圆交于点为
.
故答案为
.
14．已知函数
，若不等式
在
上恒成立，
则实数的取值范围为 ．
【答案】
【分析】首先对不等式进行化简，然后根据
的范围和正弦函数的性质计算的取值范
围即可.
【详解】因为
，
，
所以
.
所以
.
因为
，所以
.
所以
，所以
，
.
所以为了满足不等式恒成立，则
.
故答案为：
.
四、解答题：本题共5 小题，其中第15 题13 分，第16,17 题15 分，第18,19 题17 分，共
77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知角
的终边经过点
．
(1)求
、
、
的值；
(2)求
的值．
【答案】(1)
，
，
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义可求得
、
、
的值；
（2）利用诱导公式化简可得结果.
【详解】（1）因为角
的终边经过点
，由三角函数的定义可得
，
，
.
（2）
.
16．已知函数
(1)将函数
化简为
的形式（其中
），并求函数
的最
小正周期；
(2)若
，求
的值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由恒等变换公式代入计算，即可得到
， 由正弦型
函数的周期性，即可得到结果；
（2）由
，结合余弦的和差角公式代入计算，即可得到结
果.
【详解】（1）由题意可得：
，
所以函数
的最小正周期为π.
（2）因为
，所以
.
因为
，所以
，
所以
，
所以
.
17．已知函数
.
(1)求
的最小正周期及单调递减区间；
(2)若当
时，不等式
恒成立，求实数m 的取值范围.
【答案】(1)
；
(
)
(2)
【分析】(1)利用诱导公式及两角和的正弦公式化简，再由正弦函数的性质计算可得；
(2)换元，令
，由
的范围求出
的范围，进一步可得到
,从而得解.
【详解】（1）由
可得周期为：
；
由
，
,
可得到
，
因此，
单调递减区间为
（
).
（2）令
，由
,得
，
函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，所以
，
，
，所以
，
因此，
在
上的最小值为
，
不等式
恒成立的条件是
，
即
的取值范围为
.
18．已知函数
图象的一个对称中心到相邻对称轴的距
离为
，且
．
(1)求
的解析式；
(2)将函数
图象向左平移
个单位长度，再向上平移1 个单位长度，得到函数
的图象，若
且
，求
的最大值；
(3)记
在区间
上的最大值为
，最小值为
，设
，求
在区间
上的值域．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据给定条件，求出
，再利用辅助角公式化简即得.
（2）利用图象变换求出
，再求出
的取值，进而求出最大值.
（3）分段求出
的解析式及对应的值域，进而求出在指定区间上的值域.
【详解】（1）函数
，
由
图象的一个对称中心到相邻对称轴的距离为
，得
，解得
，
则
，由
，得
，解得
，
所以
.
（2）由（1）得
，
由
，即
时，
，
由
，即
时，
，
由
，得
，
，
，由
，得
，
同理
，因此当
时，
，
所以
的最大值为
.
（3）由
，得
，
当
时，
，
当
时，函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，又
，则
，
因此
，
，
，
；
当
时，函数
在
上单调递减，
，
，
因此
，
，
，
所以
在区间
上的值域为
.
19．双曲函数在实际生活中有着非常重要的应用，比如悬链桥．在数学中，双曲函数
是一类与三角函数类似的函数，最基础的是双曲正弦函数
和双曲余弦函数
．
(1)证明：
；
(2)是否存在正实数，使得
在
上的取值范围是
？若存在，
求的取值范围；若不存在，请说明理由．
(3)求证：函数
存在唯一零点
且
．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
且
(3)证明见解析
【分析】（1）根据双曲函数的运算性质和指数幂的运算性质化简计算即可得证；
（2）假设存在正实数t 满足题意，可得
在
上单调递增，令
，进而得到即关于u 的一元二次方程
有两个不等正根
，
，
可得
， 进而求解即可；
（3）通过逐段分析得函数
的单调性，并结合零点存在定理确定
有且只有一个零点
，且
，从而得
，再由函数
的单调性即可得证.
【详解】（1）证明：右边
，
左边
，
所以
.
（2）假设存在正实数t 满足题意，易知
在
上单调递增，
所以
，
所以
，
为关于
的方程
的两个不等实数根，
令
，即关于u 的一元二次方程
有两个不等正根
，
，
所以
，解得
且
所以存在正实数满足题意，t 的取值范围
且
.
（3）
，定义域为
，
①当
时，函数
在
上单调递增，
因为
，
所以
，根据零点存在定理，
使得
，
故
在
上有且只有一个零点
．
②当
时，因为
单调递增，
单调递减，
，
，所以
，
所以
在
上不存在零点；
③当
时， 因为
单调递增，
，因为
所以
，所以
在
上不存在零点；
综上：
有且只有一个零点
，且
．
因为
，所以
，
所以
，
在
上单调递减，
，
所以
．
