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第四章 三角函数与解三角形（测试）
时间：120分钟 分值：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，知 ，则 .
故选：A
2．（2023·河南·许昌实验中学校联考二模）设 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，
所以 ．
故选：C.
3．（2023·广东佛山·统考模拟预测）已知角 的终边与单位圆的交点为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得 ，所以 ，所以 或 ，
所以 .
故选：B
4．（2023·河南·襄城高中校联考三模）将函数 的图象上所有点向右平移 个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数 的图象，则 在区间 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标不变得到 的图象，
再将 图象上所有点向左平移 个单位长度得到 的图象．
当 时， ， ．
故选：C.
5．（2023·安徽六安·六安一中校考模拟预测）《孔雀东南飞》中曾叙“十三能织素，十四学裁衣，十五弹
箜篌，十六诵诗书.”箜篌历史悠久、源远流长，音域宽广、音色柔美清撤，表现力强.如图是箜篌的一种常
见的形制，对其进行绘制，发现近似一扇形，在圆弧的两个端点A，B处分别作切线相交于点 ，测得切
线 ， ， ，根据测量数据可估算出该圆弧所对圆心角的余弦值为（
）
A．0.62 B．0.56 C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，
设弧AB对应圆心是O，根据题意可知， ， ，则 ，
因为 ， ， ，
则在△ACB中， ，
所以 .
故选：A.6．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考模拟预测）已知 ， ，则
（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【解析】由 得
，进而可得
，所以 ，
故选：D
7．（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若函数 在区间 上单调递减，则正
数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据函数 在区间 上单调递减，
得 ，可得 ，
又由 ，
必有 ，
可得 .
故选：A
8．（2023·全国·高三专题练习）疫情期间，为保障市民安全，要对所有街道进行消毒处理.某消毒装备的设
计如图所示， 为街道路面， 为消毒设备的高， 为喷杆， ， ， 处是喷洒
消毒水的喷头，其喷洒范围为路面 ，喷射角 .若 ， ，则消毒水喷洒在路面上的
宽度 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 到地面的距离 ，
因为 ，
则 ，即 ，
从而利用余弦定理得： ，当且仅当
时等式成立，
故DE ，
则 ，当且仅当 时等式成立，
故DE的最小值为 .
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．（2023·江苏扬州·扬州中学校考模拟预测）已知函数 的部分图象
如图所示，则下列结论中正确的是（ ）A．
B．
C．点 是 的一个对称中心
D．函数 的图象向左平移 个单位得到的图象关于 轴对称
【答案】AC
【解析】由图可知 ， ，所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，又 ，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
所以 ，故A正确，B错误；
，所以点 是 的一个对称中心，故C正确；
将函数 的图象向左平移 个单位得到 ，
显然函数 不是偶函数，故D错误；
故选：AC
10．（2023·重庆九龙坡·重庆市育才中学校考二模）已知在 中，角A，B， 所对的边分别为
且 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． 或 B．
C． D．该三角形的面积为
【答案】BC【解析】由余弦定理得 ，所以 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
由于 ，所以 ，所以 ，
三角形 的面积为 ，
故BC选项正确，AD选项错误.
故选：BC.
11．（2023·吉林长春·吉林省实验校考模拟预测）如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点 ，以
x轴非负半轴为始边作锐角 ， ， ，它们的终边分别与单位圆相交于点 ， ，P，则下列说法正
确的是（ ）
A．
B．扇形 的面积为
C．
D．当 时，四边形 的面积为
【答案】ACD
【解析】由题意圆的半径
选项A：由题意得
所以所以 ，故A正确；
选项B：因为 ，
所以扇形 的面积 ，
故B错误；
选项C，
故C正确；
选项D：
因为 ，
所以故D正确
故选：ACD.
12．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）在 ABC中，已知a＝2b，且 ，则
△
（ ）
A．a，c，b成等比数列
B．
C．若a＝4，则
D．A，B，C成等差数列
【答案】ABC
【解析】因为 ，
所以 ，
即 ，即 .
对选项A，因为 ，所以 、 、 成等比数列，故A正确；
对选项B，因为 ， ，即 ，所以 ，
即 ，故B正确；
对选项C，若 ，则 ， ，
则 ，
因为 ，所以 .
故 ，故C正确.
对选项D，若 、 、 成等差数列，则 .
又因为 ，则 .
因为 ，设 ， ， ， ，则 ，故D错误.
故选：ABC
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知 是第三象限角， 是 终边上的一点，若 ，则
______.
【答案】 /0.5
【解析】因为 是 终边上的一点，所以 ,
则 解得 ，
又因为 是第三象限角，所以 即 ，从而 .
所以 .
从而 .
故答案为：
14．（2023·湖南长沙·雅礼中学校考一模）计算： ________．
【答案】
【解析】原式
故答案为：
15．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）在 中，角 ， ， 对应的边分别为 ，
， ， ， ，则 的面积为________.
【答案】 /【解析】由正弦定理及 得， ，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ .
故答案为：
16．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 ，当
（其中 ）时， 有且只有一个解，则 的取值范围是____________.
【答案】
【解析】由于 ，
所以 有且只有一个解，即 有且只有一个解，
因为 ，所以 ，
由题意知 ，解得 ，
即 的取值范围是为 ，
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
17．（10分）
（2023·北京朝阳·二模）在 中， ， ， .
(1)求 的面积；
(2)求c及 的值.
【解析】（1）由 且 ，则 ，
所以 .
（2）由 ，则 ，而 ，则 .
18．（12分）
（2023·浙江宁波·统考一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 , ．
(1)求 的值；
(2)若 ，求 ．
【解析】（1）因为 ,
结合余弦定理，得 ，
即 ，
所以 ．
（2）由 ，
即 ，即
即 ，又 ，
所以 ， ，
所以 .
19．（12分）
（2023·安徽淮南·统考二模）如图，在平面四边形 中， ， ， ，
.
(1)求 的值；
(2)若 ，求△ 的边 上高的大小．【解析】（1）在 中，由正弦定理得 ，
即 ，解得 ，
∵ ，且 ，∴ ，即 ，
∴ ；
（2）在△ 中，由余弦定理得
，解得 ，
又∵△ 的面积为 ，
∴△ 的边 上高的大小为 ．
20．（12分）
（2023·福建福州·福建省福州第一中学校考二模） 的角 的对边分别为
的面积为 .
(1)若 ，求 的周长；
(2)设 为 中点，求 到 距离的最大值.
【解析】（1）因为 ，得 ①，
又因为 的面积为 ，所以有 ②，
显然 ，由①②得 ，
所以 ，代入 得 ，
在 中，因为 ，
所以 ，得 ，
所以 的周长为 .（2）因为 为 边上的中点，所以 ，
因为 ，
所以 ，
因为 ，当且仅当 时取等号，
所以 .
设点 到直线 距离为 ，
因为 ，所以 ，
即点 到直线 距离最大值为 .
21．（12分）
（2023·福建漳州·统考模拟预测）在平面四边形 中， ， ， ，
.
(1)求 ；
(2)若 为锐角三角形，求 的面积的取值范围.
【解析】（1）在 中，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
又 ，
所以 .
（2）解法一：由（1）可知，，
因为 为锐角，
所以 ，
所以
，
在 中，由正弦定理得 ，
所以
，
，
因为 ，
且 为锐角三角形，
所以 ，
所以 ，
所以
，
所以 ，
所以 ，
即 ，所以 的面积的取值范围为 .
解法二：由（1）可知，
，
因为 为锐角，所以 ， ，
如图，作 于 ，作 于 ，交 于 ，
所以 ，
，
所以 ，
又 ，
所以 .
由图可知，
仅当 在线段 上（不含端点）时， 为锐角三角形，
所以 ，即 .
所以 面积的取值范围为 .
22．（12分）（2023·全国·校联考模拟预测）已知在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且
.
(1)求 的值；
(2)若 .且 .求实数 的取值范围.
【解析】（1）因为 ，则 ，
整理得 ，
由正弦定理可得 ，故 .
（2）因为 ，
由 存在，则 ，
两边同乘以 可得： ，
又因为 ，则 ，可得 ，
由余弦定理可得 ，整理得 ，
可得 ，
且 ，则 ，
由（1）可知： ，可得 ，
由正弦定理可得 ，即 ，
由余弦定理可得 ，
当且仅当 时，等号成立，
可得 ，可得 ，即 ，
故 ，
由题意可得： ，
故实数 的取值范围为 .
