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第四章 三角函数与解三角形 １ ７７
§４．３ 三角函数的图象与性质
三角函数的图象及其变换 学生用书Ｐ６８ Ａ．－２ Ｂ．－ ２ Ｃ． ２ Ｄ．２
４． 答案 Ｃ
１．（２０２１全国乙理，７，５分）把函数ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 图象上所有点的横坐 ５．（多选题）（２０２０新高考 Ⅰ ，１０，５分）如图是函数ｙ ＝ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ）
标缩短到原来的 １ 倍 纵坐标不变 再把所得曲线向右平移π 的部分图象 ， 则 ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ）＝ （ ）
， ，
２ ３
( )
个单位长度 得到函数ｙ ｘ π 的图象 则ｆ ｘ
， ＝ｓｉｎ － ， （ ）＝ （ ）
４
( ｘ ) ( ｘ )
７π π
Ａ．ｓｉｎ － Ｂ．ｓｉｎ ＋
２ １２ ２ １２
( ) ( )
ｘ ７π ｘ π
Ｃ．ｓｉｎ ２ － Ｄ．ｓｉｎ ２ ＋
１２ １２
１． 答案 Ｂ ( ) ( )
ｘ π π ｘ
( ) Ａ．ｓｉｎ ＋ Ｂ．ｓｉｎ －２
２．（２０２０课标 ，文７，理７，５ 分）设函数 ｆ ｘ ωｘ π 在 ３ ３
Ⅰ （ ）＝ｃｏｓ ＋ ( ) ( )
６ ｘ π ５π ｘ
的图象大致如图 则ｆ ｘ 的最小正周期为 Ｃ．ｃｏｓ ２ ＋ Ｄ．ｃｏｓ －２
［－π，π］ ， （ ） （ ） ６ ６
５． 答案 ＢＣ
以下为教师用书专用（１—１５）
１．（２０１６课标 理，７，５分）若将函数ｙ ｘ的图象向左平移
Ⅱ ＝２ｓｉｎ２
π个单位长度 则平移后图象的对称轴为
， （ ）
１２
ｋ ｋ
１０π ７π ４π ３π ｘ π π ｋ Ｚ ｘ π π ｋ Ｚ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ａ． ＝ － （ ∈ ） Ｂ． ＝ ＋ （ ∈ ）
９ ６ ３ ２ ２ ６ ２ ６
２． 答案 Ｃ ｋ ｋ
ｘ π π ｋ Ｚ ｘ π π ｋ Ｚ
３．（２０１７ 课标 理，９，５ 分）已知曲线 Ｃ ｙ ｘ Ｃ ｙ Ｃ． ＝ ２ － １２ （ ∈ ） Ｄ． ＝ ２ ＋ １２ （ ∈ ）
Ⅰ １： ＝ｃｏｓ ， ２： ＝
( ) 答案 Ｂ 将函数ｙ ｘ的图象向左平移π个单位长
ｘ ２π 则下面结论正确的是 ＝２ｓｉｎ ２
ｓｉｎ ２ ＋ ， （ ） １２
３ [ ( )] ( )
把Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 再把 度得到函数ｙ ｘ π ｘ π 的图象 由 ｘ
Ａ． １ ２ ， ， ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ， ２ ＋
１２ ６
得到的曲线向右平移π个单位长度 得到曲线Ｃ ｋ
， ２ π ｋ π ｋ Ｚ 可得ｘ π π ｋ Ｚ ．则平移后图象的
６ ＝ π＋ （ ∈ ）， ＝ ＋ （ ∈ ）
把Ｃ 上各点的横坐标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 再把 ６ ２ ２ ６
Ｂ． １ ２ ， ， ｋ
对称轴为ｘ π π ｋ Ｚ 故选 ．
得到的曲线向左平移π个单位长度 得到曲线Ｃ ＝ ＋ （ ∈ ）， Ｂ
， ２ ２ ６
１２ 易错警示 本题易犯的错误是将原函数的图象平移后得到
把Ｃ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ 纵坐标不变 再把 ( )
Ｃ． １ ， ， 函数ｙ ｘ π 的图象．
２ ＝２ｓｉｎ ２ ＋
１２
得到的曲线向右平移π个单位长度 得到曲线Ｃ ( )
， ２ ２．（２０１６课标 文，６，５分）将函数ｙ ｘ π 的图象向右
６ Ⅰ ＝２ｓｉｎ ２ ＋
６
把Ｃ 上各点的横坐标缩短到原来的 １ 纵坐标不变 再把
Ｄ． １ ， ， 平移 １ 个周期后 所得图象对应的函数为
２ ， （ ）
４
得到的曲线向左平移π个单位长度 得到曲线Ｃ ( ) ( )
， ２ ｙ ｘ π ｙ ｘ π
１２ Ａ． ＝２ｓｉｎ ２ ＋ Ｂ． ＝２ｓｉｎ ２ ＋
３． 答案 Ｄ ( ４ ) ( ３ )
４．（２０１９天津，文７，理７，５分）已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ｙ ｘ π ｙ ｘ π
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞ Ｃ． ＝２ｓｉｎ ２ － Ｄ． ＝２ｓｉｎ ２ －
４ ３
ω φ 是奇函数 将ｙ ｆ ｘ 的图象上所有点的横坐
０， ＞０，｜ ｜＜π） ， ＝ （ ） 答案 Ｄ 该函数的周期为 将其图象向右平移π个单位
标伸长到原来的 倍 纵坐标不变 所得图象对应的函数为 π，
２ （ ）， ４
( ) ( ) [ ( ) ]
ｇ ｘ ．若ｇ ｘ 的最小正周期为 且ｇ π 则ｆ ３π 后 得到的图象对应的函数为 ｙ ｘ π π
（ ） （ ） ２π， ＝ ２， ＝ ， ＝ ２ｓｉｎ ２ － ＋ ＝
４ ８ ４ ６
( )
（ ） ｘ π 故选 ．
２ｓｉｎ ２ － ， Ｄ
３
１ ７８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
易错警示 三角函数图象的平移变换中，“左加右减”是对
ｘ而言的，将ｘ变为ｘ π，而不是将 ｘ变为 ｘ π．
－ ２ ２ －
４ ４
评析 本题主要考查三角函数图象的平移变换，注意“左加右
减”仅针对ｘ．
( )
３．（２０１６四川理，３，５分）为了得到函数ｙ ｘ π 的图象 ( ) ( )
＝ｓｉｎ ２ － ， ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ
３ Ａ． π－ ， π＋ ， ∈ Ｂ． ２ π－ ，２ π＋ ， ∈
只需把函数ｙ ｘ的图象上所有的点 ４ ４ ４ ４
＝ｓｉｎ２ （ ） ( ) ( )
ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ
向左平行移动π个单位长度 Ｃ． － ， ＋ ， ∈ Ｄ． ２ － ，２ ＋ ， ∈
Ａ． ４ ４ ４ ４
３ Ｔ
答案 Ｄ 由题图可知 ５ １ 所以Ｔ ．结合题图
向右平行移动π个单位长度 ＝ － ＝１， ＝２
Ｂ． ２ ４ ４
３ [ ]
可知 在 ３ ５ ｆ ｘ 的一个周期 内 函数ｆ ｘ 的单调递
向左平行移动π个单位长度 ， － ， （ （ ） ） ， （ ）
Ｃ． ４ ４
６ ( )
减区间为 １ ３ ．由ｆ ｘ 是以 为周期的周期函数可知
向右平行移动π个单位长度 － ， （ ） ２ ，
Ｄ． ４ ４
６ ( )
ｆ ｘ 的单调递减区间为 ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ 故选 ．
答案 Ｄ 将ｙ ｘ的图象向右平行移动π个单位长度 （ ） ２ － ，２ ＋ ， ∈ ， Ｄ
＝ｓｉｎ２ ４ ４
６ ６．（２０１５陕西理，３，５分）如图 某港口一天 时到 时的水深
[ ( )] ( ) ， ６ １８
得到ｙ ｘ π ｘ π 的图象 故选 ． ( )
＝ｓｉｎ ２ － ＝ｓｉｎ ２ － ， Ｄ 变化曲线近似满足函数ｙ πｘ φ ｋ 据此函数可知 这
６ ３ ＝３ｓｉｎ ＋ ＋ ， ，
( ) [ ( )] ６
评析 将 ｙ ｘ π 化 为 ｙ ｘ π 是 段时间水深 单位 的最大值为
＝ ｓｉｎ ２ － ＝ ｓｉｎ ２ － （ ：ｍ） （ ）
３ ６
解题的关键．
４．（２０１６课标 文，３，５分）函数ｙ Ａ ωｘ φ 的部分图象如图
Ⅱ ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）
所示 则
， （ ）
Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０
( )
答案 Ｃ 因为函数ｙ πｘ φ ｋ的最小值为 所
＝３ｓｉｎ ＋ ＋ ２，
６
以 ｋ 得ｋ 故这段时间水深的最大值为
－３＋ ＝２， ＝５， ３＋５＝８（ｍ），
选 ．
Ｃ
评析 在解答应用题时，正确理解函数模型中各变量的实际
意义是解题的关键．在形如ｙ Ａ （ωｘ φ） ｋ的函数模型中，
＝ ｓｉｎ ＋ ＋
往往是由函数图象的最高点和最低点的纵坐标来确定 Ａ，ｋ
的值．
７．（２０１４课标 理，６，５分）如图 圆Ｏ的半径
Ⅰ ，
为 Ａ是圆上的定点 Ｐ是圆上的动点 角ｘ
１， ， ，
( ) ( ) 的始边为射线ＯＡ 终边为射线ＯＰ 过点Ｐ作
ｙ ｘ π ｙ ｘ π ， ，
Ａ． ＝２ｓｉｎ ２ － Ｂ． ＝２ｓｉｎ ２ － 直线ＯＡ的垂线 垂足为Ｍ 将点Ｍ到直线
６ ３ ， ，
( ) ( ) ＯＰ的距离表示成ｘ的函数ｆ ｘ 则ｙ ｆ ｘ
ｙ ｘ π ｙ ｘ π （ ）， ＝ （ ）
Ｃ． ＝２ｓｉｎ ＋ Ｄ． ＝２ｓｉｎ ＋ 在 上的图象大致为
６ ３ ［０，π］ （ ）
Ｔ ( )
答案 Ａ 由题图可知Ａ π π π 则Ｔ
＝２， ＝ － － ＝ ， ＝π，
２ ３ ６ ２
( )
所以ω 则ｙ ｘ φ 因为题图经过点 π 所以
＝２， ＝２ｓｉｎ（２ ＋ ）， ，２ ，
３
( )
π φ 所以２π φ ｋ π ｋ Ｚ 即 φ ｋ
２ｓｉｎ ２× ＋ ＝２， ＋ ＝２ π＋ ， ∈ ， ＝２ π－
３ ３ ２
( )
π ｋ Ｚ 当ｋ 时 φ π 所以ｙ ｘ π 故选 ．
， ∈ ， ＝０ ， ＝－ ， ＝２ｓｉｎ ２ － ， Ａ
６ ６ ６
评析 本题考查由三角函数的图象确定函数的解析式，其中Ａ 答案 Ｃ 由题图可知 当ｘ π时 ＯＰ ＯＡ 此时ｆ ｘ
： ＝ ， ⊥ ， （ ）＝０，
由函数最值确定，ω由周期确定，相邻的最高点与最低点之间 ( ) ２
的水平距离为半个周期，φ通过确定点的坐标来求即可． 排除
Ａ、Ｄ；
当ｘ
∈ ０，
π 时
，
ＯＭ
＝ｃｏｓ
ｘ
，
设点Ｍ到直线ＯＰ的
２
５．（２０１５课标 理，８，５分）函数ｆ ｘ ωｘ φ 的部分图象如 ｄ
Ⅰ （ ）＝ｃｏｓ（ ＋ ） 距离为ｄ 则 ｘ 即ｄ ＯＭ ｘ ｘ ｘ
图所示 则ｆ ｘ 的单调递减区间为 ， ＯＭ＝ｓｉｎ ， ＝ ｓｉｎ ＝ｓｉｎ ｃｏｓ ，
， （ ） （ ）
第四章 三角函数与解三角形 １ ７９
方法指导 先利用辅助角公式将两函数的解析式转化成
ｆ ｘ ｘ ｘ １ ｘ １ 排除 故选 ．
∴ （ ）＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ｓｉｎ２ ≤ ， Ｂ， Ｃ 同名三角函数式，再根据三角函数图象变换遵循的“左加右
２ ２
８．（２０１２课标文，９，５分）已知ω φ 直线ｘ π和ｘ ５π
减”规律求解．
＞０，０＜ ＜π， ＝ ４ ＝ ４ １１．（２０１６江苏，９，５分）定义在区间 上的函数 ｙ ｘ
［０，３π］ ＝ｓｉｎ ２
是函数ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ） 图象的两条相邻的对称轴 ， 则φ ＝ 的图象与ｙ ＝ｃｏｓ ｘ的图象的交点个数是 ．
答案
（ ）
７
解析 在同一平面直角坐标系中作出ｙ ｘ与ｙ ｘ
π π π ３π ＝ｓｉｎ ２ ＝ｃｏｓ
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
４ ３ ２ ４ 在区间 上的图象 如图 ．由图象可知 共有 个交点．
( ) ［０，３π］ （ ） ， ７
答案 Ａ 由题意得２π ５ π ω ｆ ｘ
ω ＝２ π－ ，∴ ＝１， ∴ （ ）＝
４ ４
ｘ φ π φ ｋ π ｋ Ｚ φ ｋ π ｋ Ｚ 又 φ
ｓｉｎ（ ＋ ），∴ ＋ ＝ π＋ （ ∈ ）， ＝ π＋ （ ∈ ）， ０＜
４ ２ ４
φ π 故选 ．
＜π，∴ ＝ ， Ａ
４
评析 本题考查了三角函数的图象和性质，掌握相邻对称轴
思路分析 解决交点个数问题一般采用“数形结合”的思
的距离为周期的一半是关键．
想方法，因此准确画出相关函数图象是解题的关键．
( )
９．（２０１６ 北京，７，５ 分）将函数 ｙ ｘ π 图象上的点 １２．（２０１５湖南文，１５，５分）已知ω 在函数ｙ ωｘ与ｙ
＝ｓｉｎ ２ － ＞０， ＝２ｓｉｎ ＝
３ ωｘ的图象的交点中 距离最短的两个交点的距离为
( ) ２ｃｏｓ ， ２
Ｐ π ｔ 向左平移ｓ ｓ 个单位长度得到点Ｐ′．若Ｐ′位于函
， （ ＞０） 则ω ．
４ ３， ＝
数ｙ
＝ｓｉｎ２
ｘ的图象上
，
则
（ ） 答案 π
２
ｔ １ ｓ的最小值为π ｔ ３ ｓ的最小值为π {ｙ ωｘ
Ａ． ＝ ， Ｂ． ＝ ， 解析 由 ＝２ｓｉｎ ，消去ｙ 得 ωｘ ωｘ
２ ６ ２ ６ ｙ ωｘ ， ｓｉｎ －ｃｏｓ ＝０，
＝２ｃｏｓ
ｔ １ ｓ的最小值为π ｔ ３ ｓ的最小值为π ( ) ｋ
Ｃ． ＝ ， Ｄ． ＝ ， 即 ωｘ π 解得ｘ π π ｋ Ｚ．
２ ３ ２ ３ ２ｓｉｎ － ＝０， ＝ ω＋ ω， ∈
( ) ( ) ４ ４
答案 Ａ 点Ｐ π ｔ 在函数ｙ ｘ π 的图象上 ( )
， ＝ｓｉｎ ２ － ， 取ｋ 可得距离最短的两个交点的坐标为 π
４ ３ ＝０，１， ω， ２ ，
( ) ４
ｔ π π １ ． ( )
∴ ＝ｓｉｎ ２× － ＝ ５π 又两交点的距离为
４ ３ ２ ω，－ ２ ， ２ ３，
( ) ４
所以Ｐ π １ ． ( ) ２
， 所以 π ５π ２ ２ 解得ω π．
４ ２ ω－ ω ＋（ ２＋ ２） ＝（２ ３） ， ＝
( ) ４ ４ ２
将点Ｐ向左平移ｓ ｓ 个单位长度得Ｐ′ π ｓ １ ． １３．（２０１４ 重庆文，１３，５ 分） 将函数 ｆ ｘ ωｘ φ
（ ＞０） － ， （ ） ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）
４ ２ ( )
因为Ｐ′在函数ｙ ｘ的图象上 ω π φ π 图象上每一点的横坐标缩短为原来的一
＝ｓｉｎ２ ， ＞０，－ ≤ ＜
[ ( )] ２ ２
所以 π ｓ １ 即 ｓ １
ｓｉｎ ２ － ＝ ， ｃｏｓ２ ＝ ， 半 纵坐标不变 再向右平移π个单位长度得到ｙ ｘ的图
４ ２ ２ ， ， ＝ｓｉｎ
６
所以 ｓ ｋ π ｋ Ｚ 或 ｓ ｋ ５ ｋ Ｚ 即ｓ ｋ ( )
２ ＝２ π＋ （ ∈ ） ２ ＝２ π＋ π（ ∈ ）， ＝ π＋ 象 则ｆ π ．
３ ３ ， ＝
６
π ｋ Ｚ 或ｓ ｋ ５π ｋ Ｚ 又ｓ 所以ｓ的最小值为π．
（ ∈ ） ＝ π＋ （ ∈ ）， ＞０， 答案 ２
６ ６ ６
１０．（２０１６课标 ，１４，５分）函数ｙ ｘ ｘ的图象可由函 ２
Ⅲ ＝ｓｉｎ － ３ｃｏｓ
向左平移π个
数ｙ ｘ ｘ的图象至少向右平移 个单位长 ( )
＝ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ 解析 ｙ ｘ ６ ｙ ｘ π
度得到． ＝ｓｉｎ 单位长度 → ＝ｓｉｎ ＋
６
纵坐标不变 ( )
答案 ２ ｙ １ ｘ π
π 横坐标变为原来的 倍→ ＝ｓｉｎ ＋ ，
３ ２ ２ ６
( ) ( ) ( ) ( )
解析 设ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ５ ｇ ｘ ｘ 即ｆ ｘ １ ｘ π ｆ π π π π ２．
（ ）＝ｓｉｎ － ３ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ＋ π ， （ ）＝ｓｉｎ （ ）＝ｓｉｎ ＋ ，∴ ＝ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ ＝
３ ２ ６ ６ １２ ６ ４ ２
( ) １４．（２０１３课标 文，１６，５分）函数ｙ ｘ φ φ 的
ｘ ｘ π 将ｇ ｘ 的图象向右平移φ φ 个 Ⅱ ＝ｃｏｓ（２ ＋ ）（－π≤ ＜π）
＋ ３ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ＋ ， （ ） （ ＞０） ( )
３ 图象向右平移π个单位后 与函数ｙ ｘ π 的图象重
( ) ( ) ， ＝ｓｉｎ ２ ＋
单位长度后得到函数ｇ ｘ φ ｘ φ π ｘ ５π ２ ３
（ － ）＝２ｓｉｎ － ＋ ＝２ｓｉｎ ＋ 合 则φ ．
３ ３ ， ＝
ｆ ｘ 的图象 所以 ｘ φ π ｋ ｘ ５π ｋ Ｚ 此时 φ 答案 ５
＝ （ ） ， － ＋ ＝２ π＋ ＋ ， ∈ ， ＝ π
３ ３ ６
ｋ ４π ｋ Ｚ 当ｋ 时 φ有最小值 为２π． 解析 令ｙ ｆ ｘ ｘ φ 将其图象向右平移π个单
－２ π－ ， ∈ ， ＝－１ ， ， ＝ （ ）＝ｃｏｓ（２ ＋ ），
３ ３ ２
１ ８０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) [ ( ) ] １． 答案 Ａ
位后得 ｆ ｘ π ｘ π φ ｘ φ
－ ＝ｃｏｓ ２ － ＋ ＝ｃｏｓ（２ ＋ －π）＝ ｘ ｘ
２ ２ ２．（２０２１全国乙文，４，５分）函数ｆ ｘ 的最小正周
[ ] ( ) （ ）＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ
ｘ φ π ｘ φ π 因为与 ｙ ３ ３
ｓｉｎ （２ ＋ －π）＋ ＝ ｓｉｎ ２ ＋ － ， ＝ 期和最大值分别是
２ ２ （ ）
( )
ｘ π 的图象重合 所以φ π π ｋ ｋ Ｚ 所以 和 和 和 和
ｓｉｎ ２ ＋ ， － ＝ ＋２ π（ ∈ ）， Ａ．３π ２ Ｂ．３π ２ Ｃ．６π ２ Ｄ．６π ２
３ ２ ３ ２． 答案 Ｃ
φ ｋ ５ ｋ Ｚ 又 φ 所以φ ５ ． ３．（２０２１北京，７，４分）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则该函数为
＝２ π＋ π（ ∈ ）， －π≤ ＜π， ＝ π （ ）＝ｃｏｓ －ｃｏｓ２ ，
６ ６
( ) （ ）
１５．（２０１１浙江文，１８，１４分）已知函数ｆ ｘ Ａ πｘ φ ｘ 奇函数 最大值为 偶函数 最大值为
（ ）＝ ｓｉｎ ＋ ， ∈ Ａ． ， ２ Ｂ． ， ２
３
奇函数 最大值为 ９ 偶函数 最大值为 ９
Ｒ Ａ φ π．ｙ ｆ ｘ 的部分图象如图所示 Ｐ Ｑ分别为该 Ｃ． ， Ｄ． ，
， ＞０，０＜ ＜ ＝ （ ） ， 、 ８ ８
２ ３． 答案 Ｄ
图象的最高点和最低点 点Ｐ的坐标为 Ａ ．
， （１， ） ( )
４．（２０２０天津，８，５ 分）已知函数 ｆ ｘ ｘ π ．给出下列
（ ）＝ ｓｉｎ ＋
３
结论
：
ｆ ｘ 的最小正周期为
①（ ） ２π；
求ｆ ｘ 的最小正周期及φ的值 ( )
（１） （ ） ； ｆ π 是ｆ ｘ 的最大值
② （ ） ；
若点Ｒ的坐标为 ＰＲＱ ２π 求Ａ的值． ２
（２） （１，０），∠ ＝ ，
３ 把函数ｙ ｘ的图象上所有点向左平移π个单位长度 可
③ ＝ｓｉｎ ，
解析 由题意得 Ｔ ２π ． ３
（１） ， ＝ ＝６ 得到函数ｙ ｆ ｘ 的图象．
π ＝ （ ）
其中所有正确结论的序号是
３ （ ）
( )
因为Ｐ Ａ 在ｙ Ａ πｘ φ 的图象上 Ａ．① Ｂ．①③
（１， ） ＝ ｓｉｎ ＋ ，
( ) ３ Ｃ．②③ Ｄ．①②③
４． 答案 Ｂ
所以 π φ ．
ｓｉｎ ３ ＋ ＝１ ５．（２０１８课标 文，８，５分）已知函数ｆ ｘ ２ｘ ２ｘ 则
Ⅰ （ ）＝２ｃｏｓ －ｓｉｎ ＋２，
又因为 φ π 所以φ π．
０＜ ＜ ， ＝ （ ）
２ ６ ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
设点Ｑ的坐标为 ｘ Ａ ． Ａ． （ ） π， ３
（２） （ ０，－ ） ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
Ｂ． （ ） π， ４
由题意可知πｘ π ３π 得ｘ 所以Ｑ Ａ ． ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
０＋ ＝ ， ０＝４， （４，－ ） Ｃ． （ ） ２π， ３
３ ６ ２ ｆ ｘ 的最小正周期为 最大值为
Ｄ． （ ） ２π， ４
连接ＰＱ 在 ＰＲＱ中 ＰＲＱ ２π 由余弦定理得 ５． 答案 Ｂ
， △ ，∠ ＝ ，
３ ( )
ＲＰ２ ＲＱ２ ＰＱ２ ６．（２０１７课标 理，６，５分）设函数ｆ ｘ ｘ π 则下列结
ＰＲＱ ＋ － Ⅲ （ ）＝ｃｏｓ ＋ ，
ｃｏｓ∠ ＝ ＲＰ ＲＱ ３
２ · 论错误的是
Ａ２ Ａ２ Ａ２ （ ）
＋９＋ －（９＋４ ） １ ｆ ｘ 的一个周期为
＝
２
Ａ
· ９＋
Ａ２ ＝－
２
， Ａ． （ ） －２π
解得Ａ２ ． ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ８π对称
＝３ Ｂ． ＝ （ ） ＝
３
又Ａ 所以Ａ ．
＞０， ＝ ３
ｆ ｘ 的一个零点为ｘ π
Ｃ． （ ＋π） ＝
６
( )
ｆ ｘ 在 π 单调递减
Ｄ． （ ） ，π
２
６． 答案 Ｄ
评析 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基
ｘ
础知识．在（ ）中，求出点Ｑ坐标，根据 ＰＲＱ的边角关系，列 ７．（２０１８课标 文，６，５分）函数ｆ ｘ ｔａｎ 的最小正周期为
２ △ Ⅲ （ ）＝ ２ｘ
出关于Ａ的方程是求解关键． １＋ｔａｎ
（ ）
三角函数的性质及其应用 学生用书Ｐ６８ π π
Ａ． Ｂ． Ｃ．π Ｄ．２π
４ ２
( ) ７． 答案 Ｃ
１．（２０２１新高考 ，４，５分）下列区间中 函数ｆ ｘ ｘ π
Ⅰ ， （ ）＝ ７ｓｉｎ － ８．（２０１７天津文，７，５分）设函数ｆ ｘ ωｘ φ ｘ Ｒ 其中
６ （ ）＝２ｓｉｎ（ ＋ ）， ∈ ，
单调递增的区间是 ( ) ( )
（ ） ω φ ．若ｆ ５π ｆ １１π 且ｆ ｘ 的最小正周期
( ) ( ) ＞０，｜ ｜＜π ＝２， ＝０， （ ）
π π ８ ８
Ａ． ０， Ｂ． ，π 大于 则
２ ２ ２π， （ ）
( ) ( )
３π ３π ω ２ φ π ω ２ φ １１π
Ｃ． π， Ｄ． ，２π Ａ． ＝ ， ＝ Ｂ． ＝ ， ＝－
２ ２ ３ １２ ３ １２
第四章 三角函数与解三角形 １ ８１
( )
ω １ φ １１π ω １ φ ７π 故当ｘ ３π时 函数ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ π 取最大值 ２．
Ｃ． ＝ ， ＝－ Ｄ． ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ （ ） － １＋
３ ２４ ３ ２４ ８ ４ ２
８． 答案 Ａ １５．（２０１９浙江，１８，１４分）设函数ｆ ｘ ｘ ｘ Ｒ．
（ ）＝ｓｉｎ ， ∈
９．（２０２１全国甲文，１５，５分）已知函数ｆ ｘ ωｘ φ 的部分 已知θ 函数ｆ ｘ θ 是偶函数 求θ的值
( ) （ ）＝２ｃｏｓ（ ＋ ） （１） ∈［０ [ ，２ ( π）， )] （ [ ＋ ( ） )] ， ；
图象如图所示 则ｆ π ． 求函数ｙ ｆ ｘ π ２ ｆ ｘ π ２ 的值域．
， ＝ （２） ＝ ＋ ＋ ＋
２ １２ ４
１５． 解析 因为ｆ ｘ θ ｘ θ 是偶函数 所以 对任意
（１） （ ＋ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ） ， ，
实数ｘ都有 ｘ θ ｘ θ
ｓｉｎ（ ＋ ）＝ｓｉｎ（－ ＋ ），
即 ｘ θ ｘ θ ｘ θ ｘ θ
ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ＝－ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ ，
故 ｘ θ 所以 θ ．
２ｓｉｎ ｃｏｓ ＝０， ｃｏｓ ＝０
９． 答案 又θ 因此θ π或３π．
－ ３ ∈［０，２π）， ＝
解题指导 利用所给函数ｆ（ｘ） （ωｘ φ）图象中的关 ２ ２
＝ ２ｃｏｓ ＋ [ ( )] ２ [ ( )] ２
( ) ｙ ｆ ｘ π ｆ ｘ π
键点求出ω，φ，再将ｘ π代入ｆ（ｘ）的解析式即可求出ｆ π ． （２） ＝ ＋ ＋ ＋
＝ １２ ４
２ ２ ( ) ( )
( ) ｘ π ｘ π
１０．（２０２０江苏，１０，５分）将函数ｙ ｘ π 的图象向右平 ( ) ( ) １－ｃｏｓ ２ ＋ １－ｃｏｓ ２ ＋
＝３ｓｉｎ ２ ＋ ２ ｘ π ２ ｘ π ６ ２
４ ＝ｓｉｎ ＋ ＋ｓｉｎ ＋ ＝ ＋
１２ ４ ２ ２
移π个单位长度 则平移后的图象中与ｙ轴最近的对称轴的 æ ö ( )
， １ ç ３ ｘ ３ ｘ÷ ３ ｘ π ．
６ ＝１－ è ｃｏｓ２ － ｓｉｎ２ ø＝１－ ｃｏｓ ２ ＋
方程是 ． ２ ２ ２ ２ ３
é ù
１０． 答案 ｘ ＝－ ５ π 因此 ， 函数的值域是 ë êê １－ ３ ，１＋ ３ û úú．
２４ ２ ２
( ) 思路分析 （ ）根据偶函数的定义，知ｆ（ ｘ θ） ｆ（ｘ θ）
１１．（２０１９课标 文，１５，５分）函数ｆ ｘ ｘ ３π ｘ的 １ － ＋ ＝ ＋
Ⅰ （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋ －３ｃｏｓ 恒成立，利用三角恒等变换，得出 θ ，从而求出θ的值．
２ ｃｏｓ ＝０
最小值为 ． （ ）将函数解析式化简为ｙ Ａ （ωｘ φ） Ｂ或ｙ Ａ （ωｘ
２ ＝ ｓｉｎ ＋ ＋ ＝ ｃｏｓ ＋
１１． 答案 φ） Ｂ的形式，利用三角函数的性质求值域．
－４ ＋
( )
１２．（２０２０课标 理，１６，５分）关于函数ｆ ｘ ｘ １ 有如下 １６．（２０１７ 山东理，１６，１２ 分）设函数 ｆ ｘ ωｘ π
Ⅲ （ ）＝ｓｉｎ ＋ ｘ （ ）＝ ｓｉｎ － ＋
ｓｉｎ ６
四个命题 ( ) ( )
： ωｘ π 其中 ω ．已知ｆ π ．
ｆ ｘ 的图象关于ｙ轴对称． ｓｉｎ － ， ０＜ ＜３ ＝０
①（ ） ２ ６
ｆ ｘ 的图象关于原点对称． 求ω
②（ ） （１） ；
将函数ｙ ｆ ｘ 的图象上各点的横坐标伸长为原来的
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称． （２） ＝ （ ） ２
③（ ） ＝
２ 倍 纵坐标不变 再将得到的图象向左平移 π 个单位
ｆ ｘ 的最小值为 ． （ ）， ，
④（ ） ２ ４
其中所有真命题的序号是 ． [ ]
得到函数ｙ ｇ ｘ 的图象 求ｇ ｘ 在 π ３π 上的最
１２． 答案 ＝ （ ） ， （ ） － ，
②③ ４ ４
１３．（２０１８课标 理，１６，５分）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则 小值．
Ⅰ （ ）＝ ２ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ２ ，
ｆ ｘ 的最小值是 ． ( ) ( )
（ ） １６． 解析 因为ｆ ｘ ωｘ π ωｘ π
（１） （ ）＝ｓｉｎ － ＋ｓｉｎ － ，
６ ２
１３． 答案 ３ ３
－
２ 所以ｆ ｘ ３ ωｘ １ ωｘ ωｘ
１４．（２０２１浙江，１８，１４分）设函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ Ｒ ． （ ）＝ ｓｉｎ － ｃｏｓ －ｃｏｓ
（ ）＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ （ ∈ ） ２ ２
[ ( )] ２ æ ö
求函数ｙ ｆ ｘ π 的最小正周期 ３ ωｘ ３ ωｘ ç １ ωｘ ３ ωｘ÷
（１） ＝ ＋ ； ＝ ｓｉｎ － ｃｏｓ ＝ ３è ｓｉｎ － ｃｏｓ ø
２ ２ ２ ２ ２
( ) [ ] ( )
求函数ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ π 在 π 上的最大值． ωｘ π ．
（２） ＝ （ ） － ０， ＝ ３ｓｉｎ －
４ ２ ３
１４． 解析 本题主要考查两角和与差的正弦 余弦公式 二倍 ( ) ω
、 、 因为ｆ π 所以 π π ｋ ｋ Ｚ．
角公式等基础知识 同时考查数学运算素养． ＝０， － ＝ π， ∈
， ６ ６ ３
[ ( )] ２ 故ω ｋ ｋ Ｚ 又 ω 所以ω ．
由已知得ｙ ｆ ｘ π ｘ ｘ ２ ｘ ＝６ ＋２， ∈ ， ０＜ ＜３， ＝２
（１） ＝ ＋ ＝（ｃｏｓ －ｓｉｎ ） ＝１－ｓｉｎ２ ， ( )
２ 由 得ｆ ｘ ｘ π
故所求的最小正周期Ｔ ． （２） （１） （ ）＝ ３ｓｉｎ ２ － ，
＝π ３
( ) ( ) ( )
ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ π ｘ ｘ ｘ 所以ｇ ｘ ｘ π π ｘ π ．
（２） ＝ （ ） － ＝ ２（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）ｓｉｎ （ ）＝ ３ｓｉｎ ＋ － ＝ ３ｓｉｎ －
４ ４ ３ １２
( ) [ ] [ ]
ｘ π ２ 因为ｘ π ３π 所以ｘ π π ２π
＝ｓｉｎ ２ － ＋ ， ∈ － ， ， － ∈ － ， ，
４ ２ ４ ４ １２ ３ ３
[ ]
因为ｘ π 当ｘ π π 即ｘ π时 ｇ ｘ 取得最小值 ３ ．
∈ ０， ， － ＝－ ， ＝－ ， （ ） －
２ １２ ３ ４ ２
１ ８２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( )
以下为教师用书专用（１—３６） 平移、伸缩变换得到，ｙ ωｘ π 的增、减区间可通过讨论
＝ｓｉｎ ＋
( ) ５
１．（２０１９课标 理，１２，５分）设函数ｆ ｘ ωｘ π ω ｙ ｘ的增、减区间得到．
Ⅲ （ ）＝ｓｉｎ ＋ （ ＞０）， ＝ｓｉｎ
５ ( )
已知ｆ ｘ 在 有且仅有 个零点．下述四个结论 ２．（２０１７课标 文，３，５分）函数ｆ ｘ ｘ π 的最小正周
（ ） ［０，２π］ ５ ： Ⅱ （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋
ｆ ｘ 在 有且仅有 个极大值点 ３
①（ ） （０，２π） ３ 期为
ｆ ｘ 在 有且仅有 个极小值点 （ ）
②（ ） （０，２π） ２
( ) π
ｆ ｘ 在 π 单调递增 Ａ．４π Ｂ．２π Ｃ．π Ｄ．
③（ ） ０， ２
１０ 答案 Ｃ 本题考查三角函数的性质．
[ )
ω的取值范围是 １２ ２９ ( )
④ ， 由题意得ω 所以函数ｆ ｘ ｘ π 的最小正周期Ｔ
５ １０ ＝２， （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋ ＝
其中所有正确结论的编号是 ３
（ ）
２π ．故选 ．
Ａ．①④ Ｂ．②③ Ｃ．①②③ Ｄ．①③④ ω ＝π Ｃ
答案 Ｄ 本题主要考查三角函数的图象 性质及其应用
、 ， ３．（２０１７山东文，７，５分）函数ｙ ｘ ｘ的最小正周期
函数的零点 极值点 单调性等知识 通过对函数 ｆ ｘ ＝ ３ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２
( ) 、 、 ， （ ）＝ 为
（ ）
ωｘ π 图象的研究 考查学生将复杂图象化归为简单图
ｓｉｎ ＋ ，
π ２π
５
Ａ． Ｂ． Ｃ．π Ｄ．２π
象 将陌生问题转化为熟悉问题的能力 考查了直观想象的核 ２ ３
， ， 答案 Ｃ 本题考查三角函数辅助角公式及三角函数的
心素养．
性质．
令ｔ ωｘ π ω ｘ ( )
＝ ＋ （ ＞０），∵ ∈［０，２π］，
５ ｙ ｘ ｘ ｘ π
[ ] ＝ ３ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ，
ｔ π ω π 且ｙ ｔ ６
∴ ∈ ，２ π＋ ＝ｓｉｎ ，
５ ５ 从而最小正周期Ｔ ２π ．
ｆ ｘ 在 上有且仅有 个零点 ＝ ＝π
∵ （ ） ［０， [ ２π］ ] ５ ， ２ ( )
ｙ ｔ在 π ω π 上有且仅有 个零点 ４．（２０１７ 课标 文，６，５ 分） 函数 ｆ ｘ １ ｘ π
∴ ＝ｓｉｎ ，２ π＋ ５ ， Ⅲ （ ） ＝ ｓｉｎ ＋ ＋
５ ５ ５ ３
( )
ω π ｘ π 的最大值为
∴２ π＋ ∈［５π，６π）， ｃｏｓ － （ ）
５ ６
[ )
ω １２ ２９ 故 正确． ６ ３ １
∴ ∈ ， ， ④ Ａ． Ｂ．１ Ｃ． Ｄ．
５ １０ ５ ５ ５
[ ] ( ) ( )
ｙ ｔ在 π ω π 上极值点的个数即为ｆ ｘ 在 答案 Ａ ｆ ｘ １ ｘ π ｘ π
＝ｓｉｎ ，２ π＋ （ ） ［０，２π］ ∵ （ ）＝ ｓｉｎ ＋ ＋ｃｏｓ －
５ ５ ５ ３ ６
上极值点的个数． æ ö
[ ] １ ç １ ｘ ３ ｘ÷ ３ ｘ １ ｘ
由ｙ ＝ｓｉｎ ｔ在 π ，２ ω π＋ π 上的图象可知ｆ （ ｘ ） 在 ［０，２π］ 有 ＝ ５ è ２ ｓｉｎ ＋ ２ ｃｏｓ ø＋ ２ ｃｏｓ ＋ ２ ｓｉｎ
５ ５
且仅有 个极大值点 有 个或 个极小值点 故 正确 ３ ｘ ３ ３ ｘ
３ ， ２ ３ ， ① ，② ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ
错误． ５ ５
( )
( ) ( ω ) ３ ｘ π
当ｘ π 时 ｔ π π π ＝ ×２ｓｉｎ ＋
∈ ０， ，∈ ， ＋ ， ５ ３
１０ ５ １０ ５ ( )
[ ) ６ ｘ π
又ω １２ ２９ ＝ ｓｉｎ ＋ ，
∈ ， ， ５ ３
５ １０
ω [ ) ｆ ｘ 的最大值为 ６ ．
π π １１π ４９π ∴ （ ）
∴ ＋ ∈ ， ， ５
１０ ５ ２５ １００ 故选 ．
Ａ
４９π π ( ) ( )
∵ ＜ ， 一题多解 ｘ π π ｘ
１ ( ００ ω ２ ) ( ) ∵ ｃｏｓ － ６ ＝ｃｏｓ ６ －
π π π π [ ( )] ( )
∴ ， ＋ ⊆ ０， ，
５ １０ ５ ( ω ２ ) ＝ｓｉｎ π ２ － π ６ － ｘ ＝ｓｉｎ π ３ ＋ ｘ ，
ｙ ｔ在ｔ π π π 上单调递增． ( )
∴ ＝ｓｉｎ ∈ ， ＋
５ １０ ５ ｆ（ｘ） ６ ｘ π ， ｆ（ｘ） ６ ．故选 ．
( ) ∴ ＝ ｓｉｎ ＋ ∴ ｍａｘ＝ Ａ
∴ ｙ ＝ ｆ （ ｘ ） 在 ０， π 上单调递增 ， 故 ③ 正确． ５ ３ ５ ( )
１０ ５．（２０１６课标 文，１１，５分）函数ｆ ｘ ｘ π ｘ 的最
故选 ． Ⅱ （ ）＝ｃｏｓ２ ＋６ｃｏｓ －
Ｄ ２
大值为
解题关键 令ｔ ωｘ π（ω ），利用整体思想将原函数 （ ）
① ＝ ＋ ＞０
５ Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７
转化为ｙ ｔ来研究． ( ) ２
＝ｓｉｎ 答案 Ｂ ｆ ｘ ２ｘ ｘ ｘ ３ １１ 当
( ) （ ）＝ １－２ｓｉｎ ＋６ｓｉｎ ＝－２ ｓｉｎ － ＋ ，
当ω 时，ｙ ωｘ π 的图象可由ｙ ｘ的图象经过 ２ ２
② ＞０ ＝ｓｉｎ ＋ ＝ｓｉｎ ｘ 时 ｆ ｘ 取得最大值 故选 ．
５ ｓｉｎ ＝１ ， （ ） ５， Ｂ
第四章 三角函数与解三角形 １ ８３
思路分析 利用二倍角的余弦公式及诱导公式将ｆ（ｘ） 因此选 ．
＝ Ａ
( ) 评析 本题考查三角函数的周期性，含有绝对值的函数可先
ｘ π ｘ 转化为关于 ｘ的二次函数，通过配方来
ｃｏｓ２ ＋６ｃｏｓ － ｓｉｎ 变形再判断，或运用图象判断其最小正周期．
２
求最值，注意不要忘记 ｘ ［ ， ］． ( )
ｓｉｎ ∈ －１ １ １０．（２０１２课标理，９，５分）已知ω 函数ｆ ｘ ωｘ π 在
６．（２０１６山东理，７，５分）函数ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ＞０， （ ）＝ｓｉｎ ＋
（ ）＝（ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）（ ３ｃｏｓ － ( ) ４
ｘ 的最小正周期是 π 单调递减 则ω的取值范围是
ｓｉｎ ） （ ） ，π ， （ ）
２
π ３π [ ] [ ]
Ａ． Ｂ．π Ｃ． Ｄ．２π １ ５ １ ３
２ ２ Ａ． ， Ｂ． ，
答案 Ｂ ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ ２ ４ ２ ４
∵ （ ）＝ （ ３ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）（ ３ｃｏｓ －ｓｉｎ ）＝ ( ]
( ) ( ) ( ) １
ｘ π ｘ π ｘ π Ｔ ２π 故 Ｃ． ０， Ｄ．（０，２］
４ｓｉｎ ＋ ·ｃｏｓ ＋ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ，∴ ＝ ＝π， ２
６ ６ ３ ２ ω
选 ． 答案 Ａ 由π ｘ 得 π π ωｘ π ω π
Ｂ ＜ ＜π ＋ ＜ ＋ ＜ π＋ ，
评析 本题主要考查辅助角公式及三角恒等变换，属中档题． ２ ２ ４ ４ ４
( )
７．（２０１６浙江，５，５分）设函数ｆ
（
ｘ
）＝ｓｉｎ
２ｘ
＋
ｂ
ｓｉｎ
ｘ
＋
ｃ
，
则ｆ
（
ｘ
）
的最 又ｙ
＝ｓｉｎ
α在 π
，
３
π
上递减
，
小正周期 ２ ２
Ａ． 与ｂ有关 ， 且与ｃ有关 Ｂ． 与ｂ有关 ， 但与ｃ无关 （ ） ì ï ï ω π ＋ π ≥ π ，
所以í ２ ４ ２
与ｂ无关 且与ｃ无关 与ｂ无关 但与ｃ有关
Ｃ． ， Ｄ． ， ï
答案 Ｂ ｆ ｘ ２ｘ ｂ ｘ ｃ 若ｂ 则ｆ ｘ ２ｘ ｃ î ïω π＋ π ≤ ３ π，
（ ）＝ｓｉｎ ＋ ｓｉｎ ＋ ， ＝０， （ ）＝ｓｉｎ ＋ ＝ ４ ２
１ （１－ｃｏｓ２ ｘ ）＋ ｃ ， 此时ｆ （ ｘ ） 的周期为 π； 若ｂ ≠０， 则ｆ （ ｘ ） 的周 解得 １ ≤ ω ≤ ５ ， 故选 Ａ ．
２ ２ ４
期为 所以选 ． 评析 本题考查了三角函数的单调性，考查了运用正弦函数
２π， Ｂ
８．（２０１５安徽理，１０，５分）已知函数ｆ
（
ｘ
）＝
Ａ
ｓｉｎ（
ωｘ
＋
φ
）（
Ａ
，
ω
，
φ 的减区间求参数的问题．
均为正的常数 ） 的最小正周期为 π， 当ｘ ＝ ２π时 ， 函数ｆ （ ｘ ） 取得 １１．（２０ ( １１课标理，１１， ) ５分）设函数ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ）＋ｃｏｓ（ ωｘ ＋
３
最小值 则下列结论正确的是 φ ω φ π 的最小正周期为 且ｆ ｘ ｆ ｘ 则
） ＞０，｜ ｜＜ π， （－ ）＝ （ ），
， （ ）
２
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ
Ａ． （２）＜ （－２）＜ （０） Ｂ． （０）＜ （２）＜ （－２）
（ ）
ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ｆ ( ) ( )
Ｃ． （－２）＜ （０）＜ （２） Ｄ． （２）＜ （０）＜ （－２） ( ) ｆ ｘ 在 π 单调递减 ｆ ｘ 在 π ３π 单调递减
Ａ． （ ） ０， Ｂ． （ ） ，
答案 Ａ ω Ｔ ２π ω ．又Ａ ｆ ２π ２ ４ ４
∵ ＞０，∴ ＝ ω ＝π，∴ ＝２ ＞０，∴ ＝－ ( ) ( )
( ) ３ ｆ ｘ 在 π 单调递增 ｆ ｘ 在 π ３π 单调递增
Ｃ． （ ） ０， Ｄ． （ ） ，
Ａ 即 ４π φ 得φ ４π ｋ ３π ｋ Ｚ 即φ ｋ ２ ４ ４
， ｓｉｎ ＋ ＝－１， ＋ ＝２ π＋ ， ∈ ， ＝２ π＋ (
３ ３ ２ ( ) 答案 Ａ ｆ ｘ ωｘ φ ωｘ φ ωｘ φ
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）＋ｃｏｓ（ ＋ ）＝ ２ｓｉｎ ＋ ＋
π ｋ Ｚ 又 φ 可取 ｆ ｘ Ａ ｘ π ｆ
， ∈ ， ∵ ＞０，∴ （ ）＝ ｓｉｎ ２ ＋ ，∴ （２）＝ )
６ ( ) ( ) ６ π 周期Ｔ ２π ω ．又ｆ ｘ ｆ ｘ 即ｆ ｘ 为偶
，∵ ＝ ω ＝π，∴ ＝２ （－ ）＝ （ ）， （ ）
Ａ π ｆ Ａ π ｆ Ａ π． ４
ｓｉｎ ４＋ ， （－２）＝ ｓｉｎ －４＋ ， （０）＝ ｓｉｎ ∵ π＜４＋
６ ６ ６ 函数 φ π ｋ π φ ｋ π ｋ Ｚ．
，∴ ＋ ＝ π＋ ， ＝ π＋ ， ∈
π ３π ｆ ． ７π π 且 ｙ ｘ 在 ４ ２ ４
＜ ， ∴ （２）＜０ ∵ － ＜－４＋ ＜－π， ＝ｓｉｎ ( )
( ６ ２ ) ６ ( ６ ) ( ) 又 φ π φ π ｆ ｘ ｘ π ｘ 易
｜ ｜＜ ，∴ ＝ ，∴ （ ）＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ２ｃｏｓ ２ ，
７π 上为减函数 π ７π π ２ ４ ２
－ ，－π ，∴ ｓｉｎ －４＋ ＜ｓｉｎ － ＝ｓｉｎ ， ( )
６ ( ) ６ ６ ６ 得ｆ ｘ 在 π 上单调递减 故选 ．
（ ） ０， ， Ａ
且 π 从而有 ｆ ｆ ．故有ｆ ２
ｓｉｎ －４＋ ６ ＞ｓｉｎ（－π）＝０， ０＜（－２）＜（０） （２） 评析 本题考查三角公式和三角变换，考查三角函数ｙ Ａ
＝ ｓｉｎ
＜ ｆ （－２）＜ ｆ （０） ． （ωｘ φ）的单调性、奇偶性的判定，属中等难度试题．
＋
评析 本题考查三角函数的周期性、单调性、最值和三角函数 ( )
１２．（２０１１ 课标文，１１，５ 分） 设函数 ｆ ｘ ｘ π
值的大小比较．准确判断 π与 π的范围是解题的关键． （ ） ＝ ｓｉｎ ２ ＋
４
＋
４＋ －４＋ ( )
６ ６
９．（２０１４课标 文，７，５分）在函数 ｙ ｘ ｙ ｘ ｃｏｓ ２ ｘ ＋ π ， 则 （ ）
( Ⅰ ) ( ① ) ＝ｃｏｓ｜２ ｜，② ＝｜ｃｏｓ ｜，③ ４ ( )
ｙ ｘ π ｙ ｘ π 中 最小正周期为 的所有 ｙ ｆ ｘ 在 π 单调递增 其图象关于直线ｘ π对称
＝ｃｏｓ ２ ＋ ，④ ＝ｔａｎ ２ － ， π Ａ． ＝ （ ） ０， ， ＝
６ ４ ２ ４
函数为 ( )
（ ） ｙ ｆ ｘ 在 π 单调递增 其图象关于直线ｘ π对称
． ． ． ． Ｂ． ＝ （ ） ０， ， ＝
Ａ①②③ Ｂ①③④ Ｃ②④ Ｄ①③ ２ ２
答案 Ａ ｙ ｘ ｘ 最小正周期为 ( )
① ＝ｃｏｓ｜２ ｜＝ｃｏｓ２ ， π； ｙ ｆ ｘ 在 π 单调递减 其图象关于直线ｘ π对称
由图象知ｙ ｘ 的最小正周期为 Ｃ． ＝ （ ） ０， ， ＝
② ＝｜ｃｏｓ ｜ π； ２ ４
( ) ( )
ｙ ｘ π 的最小正周期Ｔ ２π ｙ ｆ ｘ 在 π 单调递减 其图象关于直线ｘ π对称
③ ＝ｃｏｓ ２ ＋ ＝ ＝π； Ｄ． ＝ （ ） ０， ， ＝
６ ２ ２ ２
( ) ( ) ( )
ｙ ｘ π 的最小正周期Ｔ π． 答案 Ｄ ｆ ｘ ｘ π ｘ π
④ ＝ｔａｎ ２ － ＝ （ ）＝ ｓｉｎ ２ ＋ ＋ｃｏｓ ２ ＋ ＝ ２ ·
４ ２ ４ ４
１ ８４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) ( )
ｘ π ｘ 其部分图象如图．故选 ． 时 函数取得最大值或最小值 ２π φ ．
ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ２ｃｏｓ２ ， Ｄ ， ，∴ ｓｉｎ ＋ ＝±１
２ ３
２π φ ｋ π ｋ Ｚ φ ｋ π ｋ Ｚ
∴ ＋ ＝ π＋ （ ∈ ），∴ ＝ π－ （ ∈ ），
３ ２ ６
又 π φ π φ π．
－ ＜ ＜ ，∴ ＝－
２ ２ ６
( )
１６．（２０１８北京理，１１，５ 分）设函数ｆ ｘ ωｘ π ω ．若
评析 本题考查三角恒等变换、诱导公式及三角函数的图象 （ ）＝ｃｏｓ － （ ＞０）
６
等知识，考查学生综合应用三角知识分析和解决问题的能 ( )
ｆ ｘ ｆ π 对任意的实数ｘ都成立 则ω的最小值为 ．
力，属中等难度试题． （ ）≤ ，
４
１３．（２０１６ 课标 ，１２，５ 分）已知函数 ｆ ｘ ωｘ φ
Ⅰ （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） 答案 ２
( )
ω φ π ｘ π为ｆ ｘ 的零点 ｘ π为ｙ ｆ ｘ 图 ３
＞０，｜ ｜≤ ， ＝－ （ ） ， ＝ ＝ （ ） 解析 本题主要考查三角函数的性质及其应用．
２ ４ ４
( ) ( ) ( )
象的对称轴 且ｆ ｘ 在 π ５π 单调 则ω的最大值为 ｆ ｘ ｆ π 对任意的实数ｘ都成立 ｆ π
， （ ） ， ， ∵ （ ）≤ ，∴ ＝１，
１８ ３６ ４ ４
（ ） π ω π ｋ ｋ Ｚ 整理得ω ｋ ２ ｋ Ｚ．
． ． ． ． ∴ · － ＝２ π， ∈ ， ＝８ ＋ ， ∈
Ａ１１ Ｂ９ Ｃ７ Ｄ５ ４ ６ ３
( )
答案 Ｂ 由ｆ ｘ 在 π ５π 上单调 得π ５π π ω 又ω 当ｋ 时 ω取得最小值 ２ ．
（ ） ， ， ω≥ － ，∴ ＞０，∴ ＝０ ，
１８ ３６ ３６ １８ ３
ì ( )
ï
ï
ω
· －
π
＋
φ
＝
ｍ
π，
名师点睛 由题意知函数ｆ（ｘ）在ｘ
＝
π处取得最大值，从
依题意 有í ４ ｍ ｎ Ｚ ４
≤１２， ， ï （ 、 ∈ ）， 而得出答案．
ïω π φ ｎ π
î · ＋ ＝ π＋
{ω ｎ ｍ ４ ２ １７．（２０１７课标 Ⅱ 理，１４，５ 分）函数 ｆ （ ｘ ）＝ ｓｉｎ ２ｘ ＋ ３ｃｏｓ ｘ － ３
＝２（ － ）＋１， ４
ｍ ｎ ( [ ])
∴ φ ２（ ＋ ）＋１ ． ｘ π 的最大值是 ．
＝ π ∈ ０，
４ ２
答案
又 ｜ φ ｜≤ π ，∴ ｍ ＋ ｎ ＝０ 或ｍ ＋ ｎ ＝－１ ．当ｍ ＋ ｎ ＝０ 时 ， ω ＝４ ｎ ＋１， φ １
２ 解析 本题主要考查三角函数的最值．
( )
π 取ｎ 得ω ｆ ｘ ｘ π 符合题意．当ｍ ｎ æ ö２
＝ ， ＝２， ＝９，（ ）＝ｓｉｎ ９ ＋ ＋ ＝ 由题意可得ｆ ｘ ２ｘ ｘ １ ç ｘ ３÷ ．
４ ４ （ ）＝－ｃｏｓ ＋ ３ｃｏｓ ＋ ＝－èｃｏｓ － ø ＋１
４ ２
时 φ π ω ｎ 取 ｎ 得 ω ｆ ｘ [ ]
－１ ， ＝ － ， ＝ ４ ＋３， ＝ ２， ＝ １１， （ ）＝ ｘ π ｘ ．
４ ∵ ∈ ０， ，∴ ｃｏｓ ∈［０，１］
( ) ( ) ２
ｘ π 此 时 当 ｘ π ５ 时 ｘ π
ｓｉｎ １１ － ， ， ∈ ， π ， １１ － ∈
４ １８ ３６ ４ 当 ｘ ３时 ｆ ｘ ．
( ) ∴ ｃｏｓ ＝ ， （ ）ｍａｘ＝１
１３ ２３ ｆ ｘ 不单调 不合题意．故选 ． ２
π， π ， （ ） ， Ｂ １８．（２０１７课标 文，１３，５分）函数ｆ ｘ ｘ ｘ的最大值
３６ １８ Ⅱ （ ）＝２ｃｏｓ ＋ｓｉｎ
解后反思 本题要求ω的最大值，正面入手难度较大，故 为 ．
对ω取特殊值进行检验． 答案
５
( ) 解析 本题主要考查三角函数的最值．
１４．（２０１８课标 理，１５，５分）函数ｆ ｘ ｘ π 在
Ⅲ （ ）＝ｃｏｓ ３ ＋ ［０，π］
６ 由题意可知ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ φ φ
的零点个数为 ． （ ）＝２ｃｏｓ ＋ｓｉｎ ＝ ５ｓｉｎ（ ＋ ）（ｔａｎ ＝２），
ｆ ｘ 的最大值为 ．
答案 ∴ （ ） ５
３ １９．（２０１５天津文，１４，５ 分）已知函数ｆ ｘ ωｘ ωｘ ω
( ) ｋ （ ）＝ｓｉｎ ＋ｃｏｓ （ ＞
解析 令ｆ ｘ 得 ｘ π 解得ｘ π π ｋ ｘ Ｒ．若函数ｆ ｘ 在区间 ω ω 内单调递增 且函数ｙ
（ ）＝０， ｃｏｓ ３ ＋ ＝０， ＝ ＋ （ ∈ ０）， ∈ （ ） （－ ， ） ， ＝
６ ３ ９ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ω对称 则ω的值为 ．
（ ） ＝ ，
Ｚ ．当ｋ 时 ｘ π 当ｋ 时 ｘ ４π 当ｋ 时 ｘ ７π 又
） ＝０ ， ＝ ； ＝１ ， ＝ ； ＝２ ， ＝ ，
９ ９ ９ 答案 π
ｘ 所以满足要求的零点有 个．
∈［０，π］， ３ ２
( ) ( )
１５．（２０１８江苏，７，５分）已知函数ｙ ｘ φ π φ π 的 解析 由已知得ｆ ｘ ωｘ π 令 ｋ π ωｘ
＝ｓｉｎ（２ ＋ ） － ＜ ＜ （ ）＝ ２ｓｉｎ ＋ ， ２ π－ ≤ ＋
２ ２ ４ ２
图象关于直线ｘ π对称 则φ的值是 ． ｋ ３ ｋ π
＝ ， ２ π－ π ２ π＋
３ π ｋ π ｋ Ｚ 由ω 得 ４ ｘ ４
≤２ π＋ ， ∈ ， ＞０， ω ≤ ≤ ω ，
答案 π ４ ２
－ [ ]
６ ｋ Ｚ 当ｋ 时 得ｆ ｘ 的单调递增区间为 ３π π
解析 本题考查正弦函数的图象和性质． ∈ ， ＝０ ， （ ） － ω， ω ，
４ ４
[ ]
函数ｙ ｘ φ 的图象关于直线 ｘ π 对称 ｘ π 所以 ω ω ３π π
∵ ＝ｓｉｎ（２ ＋ ） ＝ ，∴ ＝ （－ ， ）⊆ － ω， ω ，
３ ３ ４ ４
第四章 三角函数与解三角形 １ ８５
ì
ï ３π ω 所以 ５π ｘ π ｍ π．
ï－ ω≤－ ， － ≤２ － ≤２ －
所以í ４ 解得 ω π ６ ６ ６
ï ０＜ ≤ ， [ ]
ïπ ω ２ 要使得ｆ ｘ 在 π ｍ 上的最大值为 ３
î ω≥ ， （ ） － ， ，
４ ３ ２
( ) [ ]
又ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ω对称 所以ω２ π ｋ π 即 ｘ π 在 π ｍ 上的最大值为 ．
＝ （ ） ＝ ， ＋ ＝ π＋ ， ｓｉｎ ２ － － ， １
４ ２ ６ ３
ｋ ∈ Ｚ ， 解得ω２ ＝ ｋ π＋ π ， ｋ ∈ Ｚ ， 又 ０＜ ω ≤ π ， 所以ω ＝ π． 所以 ２ ｍ － π ６ ≥ π ２ ，
４ ２ ２
２０．（２０１４课标 理，１４，５分）函数ｆ ｘ ｘ φ φ 即ｍ π．
Ⅱ （ ）＝ｓｉｎ（ ＋２ ）－２ｓｉｎ ｃｏｓ ≥
ｘ φ 的最大值为 ． ３
（ ＋ ）
答案 所以ｍ的最小值为π．
１
解析 ｆ ｘ ｘ φ φ φ ｘ φ ３
（ ）＝ｓｉｎ［（ ＋ ）＋ ］－２ｓｉｎ ｃｏｓ（ ＋ ） ２４．（２０１６山东文，１７，１２分）设ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ
ｘ φ φ ｘ φ φ φ ｘ φ （ ）＝２ ３ｓｉｎ（π－ ）ｓｉｎ －（ｓｉｎ －
＝ｓｉｎ（
ｘ
＋
φ
）ｃｏｓ
φ
＋ｃｏｓ（
φ
＋ ）
ｘ
ｓｉｎ
φ
－２ｓｉｎ ｃｏｓ（ ＋ ）
ｃｏｓ
ｘ
）
２．
＝ｓｉｎ（ ＋ ）ｃｏｓ －ｓｉｎ ｃｏｓ（ ＋ ） 求ｆ ｘ 的单调递增区间
ｘ φ φ （１） （ ） ；
＝ｓｉｎ（ ＋ － ） 把ｙ ｆ ｘ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍
ｘ （２） ＝ （ ） ２
＝ｓｉｎ ，
ｆ ｘ 的最大值为 ． 纵坐标不变 再把得到的图象向左平移 π 个单位 得
∴ （ ） １ （ ）， ，
２１．（２０１４课标 文，１４，５分）函数ｆ ｘ ｘ φ φ ｘ ３
Ⅱ （ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）－２ｓｉｎ ｃｏｓ ( )
的最大值为 ． 到函数ｙ ｇ ｘ 的图象 求ｇ π 的值．
＝ （ ） ，
答案 ６
解析 ｆ １ ｘ ｘ φ φ ｘ 解析 （１） ｆ （ ｘ ）＝２ ３ｓｉｎ（π－ ｘ ）ｓｉｎ ｘ －（ｓｉｎ ｘ －ｃｏｓ ｘ ） ２
（ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）－２ｓｉｎ ｃｏｓ
ｘ φ ｘ φ φ ｘ ＝２ ３ｓｉｎ
２ｘ
－（１－２ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
）
＝ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ ｓｉｎ －２ｓｉｎ ｃｏｓ
ｘ φ ｘ φ ｘ ｘ
＝ｓｉｎ ｃｏｓ －ｃｏｓ ｓｉｎ ＝ ３（１－ｃｏｓ２ ）＋ｓｉｎ２ －１
ｘ φ ｘ ｘ
＝ｓｉｎ（ － ）≤１， ＝ｓｉｎ２ － ３ｃｏｓ２ ＋ ３－１
所以ｆ ｘ ． ( )
（ ）ｍａｘ＝１ ｘ π ．
２２．（２０１３课标 ，理１５，文１６，５分）设当ｘ θ时 函数ｆ ｘ ＝２ｓｉｎ ２ － ＋ ３－１
Ⅰ ＝ ， （ ）＝ｓｉｎ ３
ｘ ｘ取得最大值 则 θ ．
－２ｃｏｓ ， ｃｏｓ ＝ 由 ｋ π ｘ π ｋ π ｋ Ｚ
２ π－ ≤２ － ≤２ π＋ （ ∈ ），
２ ３ ２
答案 ２ ５
－ 得ｋ π ｘ ｋ ５π ｋ Ｚ ．
５ π－ ≤ ≤ π＋ （ ∈ ）
æ ö １２ １２
解析 由辅助角公式得 ｆ ｘ ç ５ ｘ ２ ５ ｘ÷ [ ]
： （ ）＝ ５è ｓｉｎ － ｃｏｓ ø ＝ 所以ｆ ｘ 的单调递增区间是 ｋ π ｋ ５π ｋ Ｚ ．
５ ５ （ ） π－ ， π＋ （ ∈ ）
１２ １２
( ( ) )
ｘ φ 其中 φ ２ ５ φ ５ 由ｘ θ时 ｆ ｘ 取 或 ｋ π ｋ ５π ｋ Ｚ
５ｓｉｎ（ － ）， ｓｉｎ ＝ ，ｃｏｓ ＝ ， ＝ ， （ ） π－ ， π＋ （ ∈ ）
５ ５ １２ １２
( )
得最大值得 θ φ θ φ ｋ π ｋ Ｚ 即θ φ 由 知ｆ ｘ ｘ π ．
：ｓｉｎ（ － ）＝ １，∴ － ＝２ π＋ ， ∈ ， ＝ ＋ （２） （１） （ ）＝２ｓｉｎ ２ － ＋ ３－１
２ ３
( ) 把ｙ ｆ ｘ 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 倍 纵
π ｋ θ φ π φ ２ ５． ＝ （ ） ２ （
＋２ π，∴ ｃｏｓ ＝ｃｏｓ ＋ ＝－ｓｉｎ ＝－ 坐标不变
２ ２ ５ ），
评析 本题考查了辅助角公式的应用，准确掌握辅助角的含 ( )
得到ｙ ｘ π 的图象
义是解题关键． ＝２ｓｉｎ － ＋ ３－１ ，
３
２３．（２０１８北京文，１６，１３分）已知函数ｆ ｘ ２ｘ ｘ ｘ． 再把得到的图象向左平移π个单位
（ ）＝ｓｉｎ ＋ ３ｓｉｎ ｃｏｓ ，
求ｆ ｘ 的最小正周期 ３
（１） （ ） ；
[ ] 得到ｙ ｘ 的图象
若ｆ ｘ 在区间 π ｍ 上的最大值为 ３ 求 ｍ 的最 ＝２ｓｉｎ ＋ ３－１ ，
（２） （ ） － ， ， 即ｇ ｘ ｘ ．
３ ２ （ ）＝２ｓｉｎ ＋ ３－１
小值． ( )
所以ｇ π π ．
＝２ｓｉｎ ＋ ３－１＝ ３
６ ６
解析 （１） ｆ （ ｘ ）＝ １ － １ ｃｏｓ２ ｘ ＋ ３ ｓｉｎ２ ｘ 方法总结 研究三角函数的单调性，首先将函数化为ｙ
２ ２ ２ ＝
( ) Ａ （ωｘ φ） ｈ（或ｙ Ａ （ωｘ φ） ｈ）的形式，要视“ωｘ φ”
ｘ π １ ． ｓｉｎ ＋ ＋ ＝ ｃｏｓ ＋ ＋ ＋
＝ｓｉｎ ２ － ＋ 为一个整体，另外注意Ａ的正负．
６ ２
评析 本题主要考查三角恒等变换及三角函数的性质，考查
所以ｆ ｘ 的最小正周期为Ｔ ２π ．
（ ） ＝ ＝π 三角函数图象变换．（ ）将函数化为ｙ Ａ （ωｘ φ） ｈ的形
２ １ ＝ ｓｉｎ ＋ ＋
( ) 式是解题的关键，要视“ωｘ φ”为一个整体．（ ）三角函数图
由 知ｆ ｘ ｘ π １ ． ＋ ２
（２） （１） （ ）＝ｓｉｎ ２ － ＋ 象变换仅对“ｘ”而言．
６ ２
( )
由题意知 π ｘ ｍ． ２５．（２０１６天津理，１５，１３分）已知函数ｆ ｘ ｘ π ｘ
－ ≤ ≤ （ ）＝ ４ｔａｎ ｓｉｎ －
３ ２
１ ８６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) [ ]
ｘ π ． 函数ｙ ｘ的单调递增区间为 ｋ π ｋ π ｋ Ｚ ．
·ｃｏｓ － － ３ ＝ｓｉｎ ２ π－ ，２ π＋ （ ∈ ）
３ ２ ２
求ｆ ｘ 的定义域与最小正周期 分
（１） （ ） ； （８ ）
[ ]
讨论ｆ ｘ 在区间 π π 上的单调性． 由 ｋ π ｘ π ｋ π ｋ Ｚ
（２） （ ） － ， ２ π－ ≤２ ＋ ≤２ π＋ （ ∈ ），
４ ４ ２ ４ ２
{ }
解析 ｆ ｘ 的定义域为 ｘ ｘ π ｋ ｋ Ｚ ． 得ｋ ３π ｘ ｋ π ｋ Ｚ ． 分
（１） （ ） ≠ ＋ π， ∈ π－ ≤ ≤ π＋ （ ∈ ） （１２ ）
２ ８ ８
( ) [ ]
ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ π 所以ｆ ｘ 的单调递增区间为 ｋ ３π ｋ π ｋ Ｚ ．
（ ）＝４ｔａｎ ｃｏｓ ｃｏｓ － － ３ （ ） π－ ， π＋ （ ∈ ）
３ ８ ８
( ) 分
ｘ ｘ π （１３ ）
＝４ｓｉｎ ｃｏｓ － － ３ 易错警示 本题函数解析式中含有参数ω，在用倍角公式
３
æ ö 时要注意转化成“ ωｘ”，在求单调区间时，也要注意 ｘ
ｘç １ ｘ ３ ｘ÷ ２
＝４ｓｉｎ è ｃｏｓ ＋ ｓｉｎ ø－ ３ 的系数．
２ ２
＝２ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＋２ ３ｓｉｎ
２ｘ
－ ３
评析 本题考查了倍角公式、辅助角公式和正弦型函数的单
调区间等知识，属中档题．
ｘ ｘ
＝ｓｉｎ２ ＋ ３（１－ｃｏｓ２ ）－ ３ ( )
( )
ｘ ｘ ｘ π ． ２７．（２０１５天津理，１５，１３分）已知函数ｆ （ ｘ ）＝ｓｉｎ ２ｘ －ｓｉｎ ２ ｘ － π ，
＝ｓｉｎ２ － ３ｃｏｓ２ ＝２ｓｉｎ ２ － ６
３ ｘ Ｒ．
∈
所以 ， ｆ （ ｘ ） 的最小正周期Ｔ ＝ ２π ＝π ． 求ｆ ｘ 的最小正周期
（１） （ ） ；
２ [ ]
（２） 令 ｚ ＝２ ｘ － π ， 易知函数 ｙ ＝２ｓｉｎ ｚ 的单调递增区间是 （２） 求ｆ （ ｘ ） 在区间 － π ３ ， π ４ 上的最大值和最小值．
３
[ ] 解析 由已知 有
（１） ，
π ｋ π ｋ ｋ Ｚ． ( )
－ ＋２ π， ＋２ π ， ∈
２ ２ ｘ π
ｘ １－ｃｏｓ ２ － æ ö
由 － π ２ ＋２ ｋ π≤２ ｘ － π ３ ≤ π ２ ＋２ ｋ π， 得 － １ π ２ ＋ ｋ π≤ ｘ ≤ ５ １ π ２ ＋ ｆ （ ｘ ）＝ １－ｃ ２ ｏｓ２ － ２ ３ ＝ ２ １ è ç １ ２ ｃｏｓ２ ｘ ＋ ２ ３ ｓｉｎ２ ｘ ø ÷ －
ｋ ｋ Ｚ． ( )
π， ∈ １ ｘ ３ ｘ １ ｘ １ ｘ π ．
[ ] { } ｃｏｓ２ ＝ ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２ ＝ ｓｉｎ ２ －
设 Ａ π π Ｂ ｘ π ｋ ｘ ５π ｋ ｋ Ｚ 易 ２ ４ ４ ２ ６
＝ － ， ， ＝ － ＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈ ，
４ ４ １２ １２ 所以 ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ ２π ．
[ ] ， （ ） ＝ ＝π
知Ａ Ｂ π π ． ２
∩ ＝ － ， [ ]
１２ ４ 因为 ｆ ｘ 在区间 π π 上是减函数 在区间
[ ] [ ] （２） （ ） － ，－ ，
所以 当ｘ π π 时 ｆ ｘ 在区间 π π 上单调递 ３ ６
， ∈ － ， ， （ ） － ， [ ] ( ) ( )
４ ４ １２ ４ π π 上是增函数 ｆ π １ ｆ π １
[ ] － ， ， － ＝－ ， － ＝－ ，
增 在区间 π π 上单调递减． ６ ４ ３ ４ ６ ２
， － ，－ ( ) [ ]
４ １２ ｆ π ３．所以 ｆ ｘ 在区间 π π 上的最大值为 ３
方法总结 研究三角函数的各类性质时，首先要将所研究 ＝ ， （ ） － ， ，
４ ４ ３ ４ ４
函数利用辅助角公式、降幂扩角公式及两角和差的正弦、余
最小值为 １ ．
弦公式等价转化为ｆ（ｘ） Ａ （ωｘ φ） ｂ的形式，然后类比ｙ －
＝ ｓｉｎ ＋ ＋ ２
＝ｓｉｎ
ｘ的性质进行研究．
２８．（２０１５北京理，１５，１３ 分）已知函数 ｆ ｘ
ｘ ｘ
评析 本题主要考查两角差的正弦公式和余弦公式、二倍角 （ ）＝ ２ｓｉｎ
２
ｃｏｓ
２
－
的正弦公式和余弦公式，三角函数的定义域、最小正周期性、
２
ｘ
．
２ｓｉｎ
单调性等基础知识．考查运算求解能力． ２
求ｆ ｘ 的最小正周期
２６．（２０１６ 北京文，１６，１３ 分）已知函数 ｆ ｘ ωｘ ωｘ （１） （ ） ；
（ ）＝ ２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ 求ｆ ｘ 在区间 上的最小值．
ωｘ ω 的最小正周期为 ． （２） （ ） ［－π，０］
ｃｏｓ２ （ ＞０） π
（１） 求ω的值 ； 解析 （１） 因为ｆ （ ｘ ）＝ ２ ｓｉｎ ｘ － ２ （１－ｃｏｓ ｘ ）
求ｆ ｘ 的单调递增区间． ２ ２
（２） （ ）
解析 因为ｆ ｘ ωｘ ωｘ ωｘ ( )
（１） （ ）＝２ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ｃｏｓ２ ｘ π ２
ωｘ ωｘ ＝ｓｉｎ ＋ － ，
＝ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ４ ２
( ) 所以ｆ ｘ 的最小正周期为 ．
ωｘ π 分 （ ） ２π
＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ， （３ ）
４ 因为 ｘ 所以 ３π ｘ π π．
（２） －π≤ ≤０， － ≤ ＋ ≤
所以ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ ２π π． 分 ４ ４ ４
（ ） ＝ ω＝ ω （４ ）
２ 当ｘ π π 即ｘ ３π时 ｆ ｘ 取得最小值．
＋ ＝－ ， ＝－ ， （ ）
依题意 π 解得ω ． 分 ４ ２ ４
，ω ＝π， ＝１ （６ ） ( )
所以ｆ ｘ 在区间 上的最小值为ｆ ３π ２．
( ) （ ） ［－π，０］ － ＝－１－
由 知ｆ ｘ ｘ π ． ４ ２
（２） （１） （ ）＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ２９．（２０１５安徽文，１６，１２ 分）已知函数 ｆ ｘ ｘ ｘ ２
４ （ ）＝ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ） ＋
第四章 三角函数与解三角形 １ ８７
ｘ． ( )
ｃｏｓ２ 由于函数ｙ ｇ ｘ 的图象关于点 ５π 中心对称
求ｆ ｘ 的最小正周期 ＝ （ ） ，０ ，
（１） （ ） ； １２
[ ] ｋ
求ｆ ｘ 在区间 π 上的最大值和最小值． 令 π π θ ５π
（２） （ ） ０， ＋ － ＝ ，
２ ２ １２ １２
解析
（１）
因为ｆ
（
ｘ
）＝ｓｉｎ
２ｘ
＋ｃｏｓ
２ｘ
＋２ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＋ｃｏｓ ２
ｘ
＝１＋ 解得θ
ｋ
π π ｋ Ｚ．
( ) ＝ － ， ∈
２ ３
ｘ ｘ ｘ π
ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ＋１， 由θ 可知 当ｋ 时 θ取得最小值π．
４ ＞０ ， ＝１ ，
６
所以函数ｆ ｘ 的最小正周期为Ｔ ２π ． ３１．（２０１４山东理，１６，１２ 分）已知向量 ａ ｍ ｘ ｂ
（ ） ＝ ＝π ＝（ ，ｃｏｓ ２ ）， ＝（ｓｉｎ
２ ( )
( ) ｘ ｎ 函数ｆ ｘ ａ ｂ 且ｙ ｆ ｘ 的图象过点 π 和
由 的计算结果知 ｆ ｘ ｘ π ． ２ ， ）， （ ）＝ · ， ＝ （ ） ， ３
（２） （１） ，（ ）＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ＋１ １２
４ ( )
[ ] [ ] 点 ２π ．
当ｘ π 时 ｘ π π ５π ，－２
∈ ０， ，２ ＋ ∈ ， ， ３
２ ４ ４ ４ 求ｍ ｎ的值
[ ] （１） ， ；
由正弦函数ｙ ｘ在 π ５π 上的图象知 将ｙ ｆ ｘ 的图象向左平移φ φ 个单位后得到函
＝ｓｉｎ ， ， （２） ＝ （ ） （０＜ ＜π）
４ ４ 数ｙ ｇ ｘ 的图象 若ｙ ｇ ｘ 图象上各最高点到点
＝ （ ） ， ＝ （ ） （０，
当 ｘ π π 即ｘ π时 ｆ ｘ 取最大值 的距离的最小值为 求ｙ ｇ ｘ 的单调递增区间．
２ ＋ ＝ ， ＝ ， （ ） ２＋１； ３） １， ＝ （ ）
４ ２ ８ 解析 由题意知ｆ ｘ ａ ｂ ｍ ｘ ｎ ｘ．
（１） （ ）＝ · ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２
当 ｘ π ５π 即ｘ π时 ｆ ｘ 取最小值 ． ( ) ( )
２ ＋ ＝ ， ＝ ， （ ） ０ 因为ｙ ｆ ｘ 的图象经过点 π 和 ２π
４ ４ ２ ＝ （ ） ， ３ ，－２ ，
[ ] １２ ３
综上 ｆ ｘ 在 π 上的最大值为 最小值为 ． ì
，（ ） ０， ２＋１， ０ ï ｍ π ｎ π
２ ï ３＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ，
评析 本题考查三角恒等变换，三角函数的周期性及最值． 所以í ６ ６
ï
３０．（２０１５湖北理，１７，１１ 分）某同学用 五点法 画函数ｆ ｘ ï ｍ ４π ｎ ４π
“ ” （ ）＝ î－２＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ，
( ) ３ ３
Ａ ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ） ω ＞０，｜ φ ｜＜ π 在某一个周期内的图象时 ， 列表 ì ï １ ｍ ３ｎ
２ ï ３＝ ＋ ，
并填入了部分数据 如下表 即í ２ ２
， ： ï
ï ３ｍ １ ｎ
ωｘ φ π ３π î－２＝－ － ，
＋ ０ π ２π ２ ２
２ ２
解得ｍ ｎ ．
ｘ π ５π ＝ ３， ＝１ ( )
３ ６ 由 知ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ π ．
（２） （１） （ ）＝ ３ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ＝２ｓｉｎ ２ ＋
Ａ ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ） ０ ５ －５ ０ ( ) ６
请将上表数据补充完整 并直接写出函数ｆ ｘ 的解析式 由题意知ｇ ｘ ｆ ｘ φ ｘ φ π ．
（１） ， （ ） ； （ ）＝ （ ＋ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋２ ＋
将ｙ ｆ ｘ 图象上所有点向左平行移动θ θ 个单位长 ６
（２） ＝ （ ） （ ＞０） 设ｙ ｇ ｘ 的图象上符合题意的最高点为 ｘ
度 得到ｙ ｇ ｘ 的图象．若ｙ ｇ ｘ 图象的一个对称中心 ＝ （ ） （ ０，２），
， ＝ （ ） ＝ （ ） 由题意知ｘ２ 所以ｘ
( ) ０＋１＝１， ０＝０，
为 ５π 求θ的最小值． 即到点 的距离为 的最高点为 ．
，０ ， （０，３） １ （０，２）
１２ ( )
将其代入ｙ ｇ ｘ 得 φ π
解析 根据表中已知数据 解得Ａ ω φ π． ＝ （ ） ｓｉｎ ２ ＋ ＝１，
（１） ， ＝５， ＝２， ＝－ ６
６
数据补全如下表 因为 φ 所以φ π．
： ０＜ ＜π， ＝
６
( )
ωｘ φ π ３π 因此ｇ ｘ ｘ π ｘ．
＋ ０ π ２π （ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋ ＝２ｃｏｓ２
２ ２ ２
ｘ π π ７π ５π １３ 由 ｋ ｘ ｋ ｋ Ｚ 得ｋ π ｘ ｋ ｋ Ｚ
１２ ３ １２ ６ １２ π ２ π－π≤２ ≤２ π， ∈ ， π－ ≤ ≤ π， ∈ ，
２
Ａ ωｘ φ [ ]
ｓｉｎ（ ＋ ） ０ ５ ０ －５ ０ 所以函数ｙ ｇ ｘ 的单调递增区间为 ｋ π ｋ ｋ Ｚ．
( ) ＝ （ ） π－ ， π ， ∈
且函数表达式为ｆ ｘ ｘ π ． ２
（ ）＝５ｓｉｎ ２ － ３２．（２０１４ 重庆理，１７，１３ 分）已知函数 ｆ ｘ ωｘ φ
６ （ ）＝ ３ｓｉｎ（ ＋ ）
( ) ( )
由 知 ｆ ｘ ｘ π ω π φ π 的图象关于直线ｘ π对称 且图象上相
（２） （１） （ ）＝５ｓｉｎ ２ － ， ＞０，－ ≤ ＜ ＝ ，
６ ２ ２ ３
( ) 邻两个最高点的距离为 ．
得ｇ ｘ ｘ θ π ． π
（ ）＝５ｓｉｎ ２ ＋２ － 求ω和φ的值
６ （１） ；
因为ｙ ｘ图象的对称中心为 ｋ ｋ Ｚ ( α ) ( ) ( )
＝ｓｉｎ （ π，０）， ∈ ， 若ｆ ３ π α ２π 求 α ３π 的值．
（２） ＝ ＜ ＜ ， ｃｏｓ ＋
令 ｘ θ π ｋ ２ ４ ６ ３ ２
２ ＋２ － ＝ π， 解析 因为ｆ ｘ 的图象上相邻两个最高点的距离为
６ （１） （ ）
ｋ
解得ｘ π π θ ｋ Ｚ． 所以ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ 从而ω ２π ．
＝ ＋ － ， ∈ π， （ ） ＝π， ＝ Ｔ ＝２
２ １２
１ ８８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
式，简单的三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考
又因为ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称 所以
（ ） ＝ ， 查分类与整合、化归与转化等数学思想．
３
( )
π φ ｋ π ｋ ．由 π φ π得ｋ ３４．（２０１４天津理，１５，１３分）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ π
２· ＋ ＝ π＋ ， ＝０，±１，±２，… － ≤ ＜ ＝０， （ ）＝ｃｏｓ ·ｓｉｎ ＋ －
３ ２ ２ ２ ３
所以φ ＝ π － ２π ＝－ π． ２ｘ ３ ｘ Ｒ．
３ｃｏｓ ＋ ， ∈
２ ３ ６
４
( α ) ( α ) 求ｆ ｘ 的最小正周期
由 得ｆ π ３ （１） （ ） ；
（２） （１） ＝ ３ｓｉｎ ２· － ＝ ， [ ]
２ ２ ６ ４ 求ｆ ｘ 在闭区间 π π 上的最大值和最小值．
( ) （２） （ ） － ，
所以 α π １ ． ４ ４
ｓｉｎ － ＝ 解析 由已知 有
６ ４ （１） ，
由π α ２π得 α π π æ ö
６ ＜ ＜ ３ ０＜ － ６ ＜ ２ ， ｆ （ ｘ ）＝ｃｏｓ ｘ ·è ç １ ｓｉｎ ｘ ＋ ３ ｃｏｓ ｘ ø ÷ － ３ｃｏｓ ２ｘ ＋ ３
２ ２ ４
( ) ( ) ( )
２
所以 ｃｏｓ α － π ＝ １－ｓｉｎ ２ α － π ＝ １－ １ ＝ １５． １ ｘ ｘ ３ ２ｘ ３
６ ６ ４ ４ ＝ ｓｉｎ ·ｃｏｓ － ｃｏｓ ＋
( ) [( ) ] ２ ２ ４
因此 α ３π α α π π
ｃｏｓ ＋ ＝ｓｉｎ ＝ｓｉｎ － ＋ １ ｘ ３ ｘ ３
２ ６ ６ ＝ ｓｉｎ２ － （１＋ｃｏｓ２ ）＋
( ) ( ) ４ ４ ４
α π π α π π
＝ｓｉｎ － ｃｏｓ ＋ｃｏｓ － ｓｉｎ １ ｘ ３ ｘ
６ ６ ６ ６ ＝ ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２
４ ４
１ ３ １５ １ ３＋ １５． ( )
＝ × ＋ × ＝ １ ｘ π ．
４ ２ ４ ２ ８ ＝ ｓｉｎ ２ －
( ) ２ ３
３３．（２０１４四川理，１６，１２分）已知函数ｆ ｘ ｘ π ．
（ ）＝ｓｉｎ ３ ＋ 所以ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ ２π ．
４ （ ） ＝ ＝π
求ｆ ｘ 的单调递增区间 [ ２ ]
（１） （ ） ；
若 α 是第二象限角 ｆ ( α ) ４ ( α π ) α 求 （２） 因为 ｆ （ ｘ ） 在区间 － π ，－ π 上是减函数 ， 在区间
（２） ， ＝ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ ２ ， [ ] ４ １２
３ ５ ４
ｃｏｓ α －ｓｉｎ α的值． － π ， π 上是增函数 ，
１２ ４
解析 因为函数 ｙ ｘ 的单调递增区间为 ( ) ( ) ( )
（１） ＝ ｓｉｎ
[ ] ｆ π １ ｆ π １ ｆ π １
－ ＝－ ， － ＝－ ， ＝ ，
π ｋ π ｋ ｋ Ｚ． ４ ４ １２ ２ ４ ４
－ ＋２ π， ＋２ π ， ∈ [ ]
２ ２ 所以函数ｆ ｘ 在闭区间 π π 上的最大值为 １ 最小值
（ ） － ， ，
由 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ 得 ４ ４ ４
－ ＋２ π≤３ ＋ ≤ ＋２ π， ∈ ，
２ ４ ２ 为 １ ．
ｋ ｋ －
π ２ π ｘ π ２ π ｋ Ｚ． ２
－ ＋ ≤ ≤ ＋ ， ∈ 评析 本题主要考查两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦
４ ３ １２ ３
[ ｋ ｋ ] 与余 弦公式，三角函数的最小正周期、单调性等基础知识．考
所以 函数 ｆ ｘ 的单调递增区间为 π ２ π π ２ π
， （ ） －
４
＋
３
，
１２
＋
３
， 查基本运算能力．
ｋ ∈ Ｚ． ３５．（２０１４江西理，１６，１２分）已知函数ｆ ｘ ｘ θ ａ ｘ
( ) ( ) （ ）＝ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ｃｏｓ（ ＋
( )
（２） 由已知 ， 有 ｓｉｎ α ＋ π ４ ＝ ５ ４ ｃｏｓ α ＋ π ４ （ｃｏｓ ２α －ｓｉｎ ２α ）， ２ θ ）， 其中ａ ∈ Ｒ ， θ ∈ － π ， π ．
２ ２
所以 ｓｉｎ α ｃｏｓ π ＋ｃｏｓ α ｓｉｎ π （１） 当ａ ＝ ２， θ ＝ π时 ， 求ｆ （ ｘ ） 在区间 ［０，π］ 上的最大值与最
４ ４
( ) ４
小值
＝ ４ ｃｏｓ α ｃｏｓ π －ｓｉｎ α ｓｉｎ π （ｃｏｓ ２α －ｓｉｎ ２α ） ． ( ； )
５ ４ ４
若ｆ π ｆ 求ａ θ的值．
（２） ＝０， （π）＝１， ，
即 α α ４ α α ２ α α ． ２
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝ （ｃｏｓ －ｓｉｎ ） （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）
５ 解析 当ａ θ π时
（１） ＝ ２， ＝ ，
当 α α 时 由 α 是第二象限角 知 α ３π ｋ ４
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ＝０ ， ， ＝ ＋２ π， ( ) ( )
４
ｆ ｘ ｘ π ｘ π
ｋ Ｚ． （ ）＝ｓｉｎ ＋ ＋ ２ｃｏｓ ＋
∈ ４ ２
此时 α α ．
，ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝－ ２ ２ ｘ ｘ ｘ
＝ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）－ ２ｓｉｎ
当 α α 时 有 α α ２ ５ ． ２
ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ≠０ ， （ｃｏｓ －ｓｉｎ ） ＝ ( )
４
２ ｘ ２ ｘ π ｘ
＝ ｃｏｓ － ｓｉｎ ＝ｓｉｎ － ，
由α是第二象限角 知 α α 此时 α α ５． ２ ２ ４
， ｃｏｓ －ｓｉｎ ＜０， ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝－ [ ]
２ 由ｘ 知π ｘ ３π π ．
∈［０，π］， － ∈ － ，
综上所述 α α 或 ５． ４ ４ ４
，ｃｏｓ －ｓｉｎ ＝－ ２ －
２ 故ｆ ｘ 在 上的最大值为 ２ 最小值为 ．
评析 本题主要考查正弦型函数的性质，二倍角与和差角公 （ ） ［０，π］ ， －１
２
第四章 三角函数与解三角形 １ ８９
{ ( )
ｆ π { θ ａ θ 解析 因为ｆ ｘ ２ｘ ｘ １ ｘ
由 ＝０，得 ｃｏｓ （１－２ ｓｉｎ ）＝０， （１） （ ）＝（２ｃｏｓ －１）ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ４
（２） ２ ａ ２θ θ ａ ２
ｆ ２ ｓｉｎ －ｓｉｎ － ＝１，
（π）＝１ ｘ ｘ １ ｘ
( ) ＝ｃｏｓ２ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ４
由θ π π 知 θ ２
∈ － ， ｃｏｓ ≠０， ( )
{ａ ２ ２
＝
１
（ｓｉｎ４
ｘ
＋ｃｏｓ４
ｘ
）＝
２
ｓｉｎ ４
ｘ
＋
π
，
＝－１， ２ ２ ４
解得
θ ＝－ π． 所以ｆ ｘ 的最小正周期为π 最大值为 ２．
６ （ ） ，
２ ２
３６．（２０１３北京文，１５，１３ 分）已知函数 ｆ
（
ｘ
）＝（２ｃｏｓ
２ｘ
－１）ｓｉｎ ２
ｘ
( )
因为ｆ α ２ 所以 α π ．
１ ｘ． （２） （ ）＝ ， ｓｉｎ ４ ＋ ＝１
＋ ｃｏｓ４ ２ ４
２ ( ) ( )
求ｆ ｘ 的最小正周期及最大值 因为α π 所以 α π ９π １７π ．
（１） （ ） ； ∈ ，π ， ４ ＋ ∈ ，
２ ４ ４ ４
( )
若α π 且ｆ α ２ 求α的值． 所以 α π ５π．故α ９π．
（２） ∈ ，π ， （ ）＝ ， ４ ＋ ＝ ＝
２ ２ ４ ２ １６
学生用书Ｐ７０
1 φ
换 平移的量是｜ ｜ ω 个单位长度．原因在于相位变换和周
考点 三角函数的图象及其变换 ， ω （ ＞０）
期变换都是针对ｘ而言的．
１．ｙ Ａ ωｘ φ 的有关概念
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）
2
ｙ ＝ Ａ ｓｉｎ（ ωｘ ＋ φ ）（ Ａ ＞ 振幅 周期 频率 相位 初相 考点 三角函数的性质及其应用
ω ｘ
０， ＞０）， ∈［０，
表示一个振动 ω
＋∞） Ａ Ｔ ２π ｆ １ ωｘ φ φ １．常见三角函数的图象和性质
量时 ① ＝ ω ＝ Ｔ ＝ ＋
２π
函数
ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
２．用五点法画ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 一个周期内的 性质 ＝ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝ｔａｎ
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ≠０， ≠０）
简图 {
ｘ ｘ ｋ
用五点法画ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 一个周期内的简 ⑤ ≠ π＋
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ≠０， ≠０） 定义域 Ｒ Ｒ
}
图时 要找五个关键点 如下表所示 π，ｋ Ｚ
， ， ： ∈
２
φ φ φ φ φ
ｘ π π－ ３π ２π－
－ω －ω ＋ ω ω ω－ω ω
２ ２
部分图象
ωｘ φ π ３π
＋ ０ ② ③ π ④ ２π
２ ２
ｙ Ａ ωｘ φ Ａ Ａ 值域 Ｒ
＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ０ ０ － ０ ［－１，１］ ［－１，１］
３．由函数ｙ ｘ的图象变换得到ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 续表
＝ｓｉｎ ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０， ＞
图象的步骤 函数
０） ｙ ｘ ｙ ｘ ｙ ｘ
性质 ＝ｓｉｎ ＝ｃｏｓ ＝ｔａｎ
对称轴 ｘ ｋ 对称轴 ｘ
： ＝ π＋ ：⑦ ＝
ｋ （ｋ Ｚ） 对称中心
π ｋ Ｚ π ∈ ； ：
（ ∈ ）； 对 称 中 心 (ｋ )
对称性 ２ ： π， （ｋ
对称中心 ( ) ⑧ ０
： ｋ π ２
（ｋ ， ）（ｋ π＋ ，０ Ｚ）
⑥ π ０ ∈ ２ ∈
Ｚ） ｋ Ｚ
（ ∈ ）
周期
２π ２π π
上述两种变换的区别 先相位变换再周期变换 伸缩变换
： （ ），
平移的量是 φ 个单位长度 而先周期变换 伸缩变换 再相位变
｜ ｜ ； （ ）
１ ９０ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
续表 ２．求三角函数的最值常见的函数形式
函数
性质 ｙ ＝ｓｉｎ ｘ ｙ ＝ｃｏｓ ｘ ｙ ＝ｔａｎ ｘ （１） ｙ ＝ ａ ｓｉｎ ｘ ＋ ｂ ｃｏｓ ｘ ＝ ａ２ ＋ ｂ２ ｓｉｎ（ ｘ ＋ φ ）， 其中 ｃｏｓ φ ＝
ａ ｂ
单调增区间 φ ．
[ ： ａ２ ＋ ｂ ２ ，ｓｉｎ ＝ ａ２ ＋ ｂ ２
ｋ π ｋ 降次 整理
２ π－
２
，２ π
单调增区间 （２）
ｙ
＝
ａ
ｓｉｎ
２ｘ
＋
ｂ
ｃｏｓ
２ｘ
＋
ｃ
ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ 、
→
ｙ
＝
Ａ
ｓｉｎ ２
ｘ
＋
] ： 单调增区间 Ｂ
＋
π
（
ｋ
∈
Ｚ
）； ⑩
［
２
ｋ
π－π
，
(
： Ｂ
ｃｏｓ２
ｘ
＋
Ｃ
＝
Ａ２
＋
Ｂ２
·ｓｉｎ（２
ｘ
＋
φ
）＋
Ｃ
，
其中
ｔａｎ
φ
＝ Ａ，
再利用有
２ ｋ ］（ｋ Ｚ） ｋ π ｋ
单调性 单调减区间 ２ π ∈ ； π－ ， π＋ 界性处理．
： 单调减区间 ２
[ ： ) ｙ ａ ２ｘ ｂ ｘ ｃ可转化为关于 ｘ的二次函数式．
ｋ π， ｋ ｋ π ｋ Ｚ （３） ＝ ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ ｃｏｓ
⑨ ２ π＋ ［２ π，２ π＋π］ （ ∈ ） ｙ ａ ｘ ｘ ｂ ｘ ｘ ｃ型常用换元法 令ｔ
２ ｋ Ｚ ２ （４） ＝ （ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）＋ ｓｉｎ ·ｃｏｓ ＋ ， ＝
ｋ ３π
]
（ｋ
（ ∈ ）
ｘ ｘ ｔ 则 ｘ ｘ
ｔ２
－１ 把三角问题转化为代数
２ π＋ ∈ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ，｜ ｜≤ ２， ｓｉｎ ｃｏｓ ＝ ，
２ ２
Ｚ） 问题求解．
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
学生用书Ｐ７１
一、利用三角函数图象求其解析式 解题思路
根据图象求ｙ Ａ ωｘ φ Ａ ω 的解析式的步骤 本题重点是求ｆ ｘ 的表达式 只要求出ω 结合代入法 即
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０， ＞０） ： （ ） ， ， ，
Ｍ ｍ 可求得φ 为了求ω 必须建立关于ω的方程 而为了利用条件
求Ａ 确定函数的最大值Ｍ和最小值ｍ 则Ａ － ， ， ，
（１） ： ， ＝ ； ＡＢ 设点Ａ的横坐标为ｘ 利用两点间距离公式列出关于
２ ｜ ｜＝４， ０，
（２） 求ω ： 确定函数的最小正周期Ｔ ， 则可得ω ＝ ２ Ｔ π ； ｘ ０ 的方程 ， 从而求得ｘ ０， 进而求得ω和φ ， 最后求得函数ｆ （ ｘ ） 图
象的对称中心．
求φ
（３） ： 解析 由题意 设Ａ点的横坐标为ｘ
代入法 把图象上的一个已知点坐标代入 此时Ａ ω已 ， ０，
① ： （ ，
知
）
或代入图象与ｘ轴的交点坐标求解
（
此时要注意交点在上升 则 ５
２
－ ｘ ０＝ ４ ２ －（２ ３） ２ ＝２， 解得ｘ ０＝
２
１ ．
区间上还是在下降区间上 ． Ｔ
） ５ １ 即Ｔ ．
五点法 确定φ值时 往往以寻找 五点法 中的某一个点 ∴ ＝ － ＝２， ＝４
② ： ， “ ” ２ ２ ２
为突破口．具体如下
： Ｔ ２π ω ω ２π ２π π．
第一点 图象上升时与ｘ轴的交点 交点的横坐标满足ωｘ ＋ φ ＝０ ∵ ＝ ｜ ω ｜ ， ＞０
(
，∴ ＝ Ｔ
)
＝ ４ ＝ ２
ｆ ｘ πｘ φ 代入Ａ点坐标 则有
第二点 图象的 峰点 交点的横坐标满足ωｘ φ π ∴ （ ）＝ ３ｓｉｎ ＋ ， ，
“ ” ＋ ＝ ２
２ ( ) ( )
第三点 图象下降时与ｘ轴的交点 交点的横坐标满足ωｘ φ π １ φ 即 π φ ．
＋ ＝π ３ｓｉｎ × ＋ ＝ ３， ｓｉｎ ＋ ＝１
２ ２ ４
第四点 图象的 “ 谷点 ” 交点的横坐标满足ωｘ ＋ φ ＝ ３π π φ π ｋ ｋ Ｚ φ π ｋ ｋ Ｚ．
２ ∴ ＋ ＝ ＋２ ０π（ ０∈ ），∴ ＝ ＋２ ０π， ０∈
４ ２ ４
第五点 交点的横坐标满足ωｘ φ ( )
＋ ＝２π φ φ π． ｆ ｘ πｘ π ．
∵０＜ ＜１，∴ ＝ ∴ （ ）＝ ３ｓｉｎ ＋
例１ （２０２０福建泉州一模，５）函数ｆ ｘ ωｘ φ ω ４ ２ ４
（ ）＝ ３ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞
φ 的部分图象如图所示．已知Ａ Ｂ两点之间的距离为 由πｘ π ｋ ｋ Ｚ 解得ｘ ｋ １ ｋ Ｚ
０，０＜ ＜１） ， ４， ＋ ＝ １π（ １∈ ）， ＝２ １－ （ １∈ ），
则ｆ ｘ 的图象的对称中心是 ２ ４ ２
（ ） （ ）
令ｋ ｋ ｋ Ｚ 则ｘ ｋ １ ｋ ３ ｋ Ｚ
１＝ ＋１（ ∈ ）， ＝２（ ＋１）－ ＝２ ＋ （ ∈ ），
２ ２
( )
ｆ ｘ 的图象的对称中心是 ｋ ３ ｋ Ｚ ．
∴ （ ） ２ ＋ ，０ （ ∈ ）
２
故选 ．
Ｃ
答案 Ｃ
１－１ 函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ 其中Ａ ω φ 的图
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０， ＞０，｜ ｜＜π）
( )
象如图所示 则ω φ的值为
ｋ ｋ Ｚ ｋ ３ ｋ Ｚ ， ， （ ）
Ａ．（２ π＋２，０）（ ∈ ） Ｂ． ２ π＋ ，０ （ ∈ ）
２
( )
ｋ ３ ｋ Ｚ ｋ ｋ Ｚ
Ｃ． ２ ＋ ，０ （ ∈ ） Ｄ．（２ ＋２，０）（ ∈ ）
２
第四章 三角函数与解三角形 １ ９１
数图象的对称轴或对称中心时 可通过检验ｆ ｘ 的值进行．
， （ ０）
例２ （２０１９课标 理，１１，５ 分）关于函数 ｆ ｘ ｘ
Ⅰ （ ）＝ ｓｉｎ｜ ｜＋
ｘ 有下述四个结论
｜ｓｉｎ ｜ ：
ｆ ｘ 是偶函数
① （ ） ；
( )
ｆ ｘ 在区间 π 单调递增
② （ ） ，π ；
２
ｆ ｘ 在 有 个零点
③ （ ） ［－π，π］ ４ ；
π π π π ｆ ｘ 的最大值为 ．
Ａ．３， Ｂ．３，－ Ｃ．６，－ Ｄ．６， ④ （ ） ２
４ ４ ２ ２ 其中所有正确结论的编号是
１－１． 答案 Ａ （ ）
Ａ．①②④ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①③
二、三角函数的性质及其应用 解题思路
１．三角函数的单调性 函数表达式中含有绝对值符号时 常常有两个思路 一看该
， ：
求函数的单调区间应遵循简单化原则 将解析式进行化 函数是否具有奇偶性 二是分类讨论 去掉绝对值 必要时还需
（１） ， ； ， （
简 并注意复合函数单调性规律 同增异减 ． 进一步作出该函数的图象 结合函数周期性求解 ．本题只需结
， “ ” ， ）
求形如ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ或ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ 其中ω 合该函数的奇偶性检验结论即可．
（２） ＝ ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ＝ ｃｏｓ（ ＋ ）＋ （
的单调区间时 要视 ωｘ φ 为一个整体 通过解不等式求 解析 ｆ ｘ 的定义域为 ｆ ｘ ｘ
＞０） ， “ ＋ ” ， （ ） （－∞，＋∞）， （－ ）＝ ｓｉｎ｜－ ｜＋
解．如果ω 那么一定先借助诱导公式将ω化为正数． ｘ ｘ ｘ ｆ ｘ 故ｆ ｘ 是偶函数 正确
＜０， ｜ｓｉｎ（－ ）｜＝ｓｉｎ｜ ｜＋｜ｓｉｎ ｜＝ （ ）， （ ） ，① ；
已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区 ( )
（３） ， 当ｘ π 时 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ单调递减 不正确
间 然后利用集合间的关系求解． ∈ ，π ， （ ）＝ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ＝２ｓｉｎ ，② ；
， ２
２．三角函数的奇偶性 当ｘ 时 ｘ ｆ ｘ ｘ有两个零点 当ｘ
∈［０，π］ ，ｓｉｎ ≥０， （ ）＝２ｓｉｎ ， ∈
对于ｙ Ａ ωｘ φ 若为奇函数 则φ ｋ ｋ Ｚ 若为偶 时 ｆ ｘ ｘ仅有一个零点 故 不正确
＝ ｓｉｎ（ ＋ ）， ， ＝ π（ ∈ ）； ［－π，０） ， （ ）＝－２ｓｉｎ ， ③ ；
当ｘ 时 ｆ ｘ ｘ ｘ 其最大值为 又ｆ ｘ 是Ｒ
函数 则φ π ｋ ｋ Ｚ ．对于ｙ Ａ ωｘ φ 若为奇函数 ≥０ ， （ ）＝ｓｉｎ ＋｜ｓｉｎ ｜， ２， （ ）
， ＝ ＋ π（ ∈ ） ＝ ｃｏｓ（ ＋ ）， ， 上的偶函数 故ｆ ｘ 在Ｒ上的最大值为 正确．
２ ， （ ） ２，④
综上 正确 不正确．
则φ π ｋ ｋ Ｚ 若为偶函数 则 φ ｋ ｋ Ｚ ．对于 ｙ ，①④ ，②③
＝ ＋ π（ ∈ ）； ， ＝ π（ ∈ ） ＝ 答案 Ｃ
２
ｋ ２－１ （ 多 选 题） 已 知 函 数 ｆ ｘ ωｘ φ
Ａ ωｘ φ 若为奇函数 则φ ｋ Ｚ ． （ ）＝ ｓｉｎ （ ＋ ）
ｔａｎ（ ＋ ）， ， ＝ π（ ∈ ） ( )
２ ω φ π π为ｆ ｘ 的一个零点 ｘ π 为ｆ ｘ 图象的
３．三角函数的周期性 ＞０，０＜ ＜ ，－ （ ） ， ＝ （ ）
２ ３ ６
求三角函数的最小正周期 一般先通过恒等变换化为 ｙ 一条对称轴 且ｆ ｘ 在 上有且仅有 个零点 则下述结论
， ＝ ， （ ） （０，π） ７ ，
Ａ ωｘ φ Ｂ或ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ或ｙ Ａ ωｘ φ Ｂ Ａ 正确的是
ｓｉｎ（ ＋ ）＋ ＝ ｃｏｓ（ ＋ ）＋ ＝ ｔａｎ（ ＋ ）＋ （ ， （ ）
ω φ Ｂ为常数 Ａ ω 的形式 再应用公式Ｔ ２π 正弦 φ π
， ， ， ≠０， ≠０） ， ＝ ω （ 、 Ａ． ＝
｜ ｜ ６
ω
余弦型 或Ｔ π 正切型 求解． Ｂ． ＝５
） ＝ ω （ ） ｆ ｘ 在 上有且仅有 个极大值点
｜ ｜ Ｃ． （ ） （０，π） ４
４．三角函数图象的对称性 ( )
ｆ ｘ 在 π 上单调递增
函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω φ为常数 Ａ ω 图象 Ｄ． （ ） ０，
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ， ， ， ≠０， ≠０） ４２
的对称轴一定经过图象的最高点或最低点 对称中心的横坐标 ２－１． 答案 ＣＤ
，
一定是函数的零点 因此在判断直线ｘ ｘ 或点 ｘ 是不是函
， ＝ ０ （ ０，０）
Ａ 组 考点基础题组 学生用书Ｐ７２
三角函数的图象及其变换 ｙ ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称
Ｄ． ＝ （ ） ＝
２
１． 答案 Ｃ
１．（２０２１山东日照一模，７）将函数ｙ ｘ的图象向左平移π个
＝ｓｉｎ ２．（２０２０山东师范大学附属中学第三次月考，３）为了得到函数ｙ
２
单位 得到函数ｙ ｆ ｘ 的图象 则下列说法正确的是 ( )
， ＝ （ ） ， （ ） ｘ π 的图象 只需把函数ｙ ｘ的图象
ｙ ｆ ｘ 是奇函数 ＝ｓｉｎ ２ ＋ ， ＝ｓｉｎ２ （ ）
Ａ． ＝ （ ） ３
ｙ ｆ ｘ 的周期为
Ｂ． ＝ （ ） π 向左平移π个单位 向左平移π个单位
( ) Ａ． Ｂ．
ｙ ｆ ｘ 的图象关于点 π 对称 ６ ３
Ｃ． ＝ （ ） － ，０
２ 向右平移π个单位 向右平移π个单位
Ｃ． Ｄ．
６ ３
１ ９２ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
２． 答案 Ａ
函数ｆ ｘ 图象上的所有点向右平移π个单位长度后 所得
３．（２０２０重庆育才中学 ３ 月月考，１０）函数 ｆ ｘ ωｘ φ Ｃ． （ ） ，
（ ）＝ ｃｏｓ（ ＋ ） ３
( ) 的图象关于原点对称
ω φ π 的部分图象如图所示 则函数 ｇ ｘ
＞０，｜ ｜＜ ， （ ） ＝ 函数ｆ ｘ 在区间 上单调递增
２ Ｄ． （ ） （０，π）
１． 答案 Ｃ
ｆ ｘ ３ φ 的最小正周期为
（ ）－ （ ） ( )
π ２．（２０２１湖南永州二模，８）已知函数ｆ ｘ ωｘ π ω
（ ）＝ｓｉｎ － （ ＞０）
６
[ ] ω
在区间 π 上的最大值为 则实数ω的取值个数最多为
０， ，
４ ３
（ ）
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
２． 答案 Ｂ
π ３．（２０２１天津南开一模，７）已知函数ｆ ｘ ωｘ ωｘ ω
Ａ．π Ｂ．２π Ｃ．４π Ｄ． （ ）＝ ３ｓｉｎ －ｃｏｓ （ ＞
２ ( )
３． 答案 Ａ 满足ｆ ｘ ｆ ｘ 且 ｘ ｘ 的最小值为π 则ｆ π 的
０） （ １）－（ ２）＝４， ｜ １－ ２｜ ，
２ ８
４．（２０２１辽宁百校联盟质检，１５）将函数ｆ ｘ 的图象向左平移π 值为
（ ） （ ）
３
个单位 再把所得的图象保持纵坐标不变 横坐标伸长到原来的 ６－ ２
， ， Ａ． Ｂ．１ Ｃ． ３ Ｄ．２
( ｘ ) ２
倍得到ｙ π 的图象 则ｆ ｘ 的解析式是 ３． 答案 Ａ
４ ＝ｓｉｎ ＋ ， （ ） ；
２ ４ ４．（多选题）（２０２１ 广东韶关一模，１０）如图所示 点 Ｐ 是函数
[ ] ，
函数ｆ ｘ 在区间 π π 上的值域是 ．
（ ） － ， ｆ ｘ π ωｘ φ ｘ Ｒ ω 图象的最高点 Ｍ Ｎ是图象
８ １２ （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ∈ ， ＞０） ， 、
( ) é ù ２
４． 答案 ｆ ｘ ｘ ５π êê ２úú ( )
（ ）＝ｓｉｎ ２ － ；ë－１，－ û 与ｘ轴的交点 若Ｍ π 且Ｐ→Ｍ Ｐ→Ｎ 则
１２ ２ ， － ，０ ， · ＝０， （ ）
６
三角函数的性质及其应用
( )
１．（２０２０广东茂名化州二模，３）已知函数ｆ ｘ ωｘ π ω
（ ）＝ｓｉｎ ＋ （
６
的最小正周期为 则 ( ) ( )
＞０） ４π， （ ）
函数ｆ ｘ 的图象关于原点对称 Ａ． Ｎ ２π ，０ Ｂ． ω ＝１ Ｃ． Ｐ π ， π Ｄ． φ ＝ ２π
Ａ． （ ）
３ ３ ２ ３
函数ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称 ４． 答案 ＢＣ
Ｂ． （ ） ＝
３
Ｂ 组 综合应用题组 学生用书Ｐ７３ ６０分钟 ８５分
一、单项选择题（每小题５分，共３５分） 读数就是收缩压和舒张压 读数 ／ 为标准值．设某
， １２０ ８０ ｍｍＨｇ
１．（２０２０ 辽宁大连二模，３） 已知函数 ｙ ωｘ φ 人的血压满足函数式ｐ ｔ ｔ 其中ｐ ｔ 为
＝ ｓｉｎ （ ＋ ） （ ）＝ １０１＋２５ｓｉｎ（１６０π ）， （ ）
( ) 血压 单位 ｔ 为时间 单位 则下列说法正确
ω φ π 其部分图象如图所示 则点 Ｐ ω φ 的坐 （ ：ｍｍＨｇ）， （ ：ｍｉｎ），
＞０，０＜ ≤ ， ， （ ， ） 的是
２ （ ）
标是 收缩压和舒张压均高于相应的标准值
（ ） Ａ．
收缩压和舒张压均低于相应的标准值
Ｂ．
收缩压高于标准值 舒张压低于标准值
Ｃ． ，
收缩压低于标准值 舒张压高于标准值
Ｄ． ，
２． 答案 Ｃ
３．（２０２１东北三省四市教研联合体二模，４）下列函数中 周期为
，
( )
且在区间 π 上单调递增的是
π， ，π （ ）
２
( ) ( ) ｙ ｘ ｙ ｘ
π π Ａ． ＝｜ｓｉｎ ｜ Ｂ． ＝ｔａｎ２
Ａ． ２， Ｂ． ２， ｙ ｘ ｙ ｘ
２ ４ Ｃ． ＝ｃｏｓ２ Ｄ． ＝ｓｉｎ２
( ) ( ) ３． 答案 Ｃ
π π
Ｃ． ４，
２
Ｄ． ４，
４
４．（２０２１江苏七市第二次调研，６）函数ｆ
（
ｘ
）＝ｓｉｎ
ｘ
ｃｏｓ
ｘ
＋ ３ｃｏｓ
２ｘ
１． 答案 Ｂ 的图象的一条对称轴为
（ ）
２．（２０２１广东韶关一模，４）人的心脏跳动时 血压在增加或减少
， ， ｘ π ｘ π ｘ π ｘ π
血压的最大值 最小值分别称为收缩压和舒张压 血压计上的 Ａ． ＝ Ｂ． ＝ Ｃ． ＝ Ｄ． ＝
、 ， １２ ６ ３ ２
第四章 三角函数与解三角形 １ ９３
４． 答案 Ａ
π个单位长度 可得到函数 ｙ ｇ ｘ 的图象 下列结论正确
５．（２０２０河北衡水中学第九次调研，１１）直线ｙ ａ与函数ｆ ｘ ， ＝ （ ） ，
＝ （ ）＝ ６
( ) 的是
ωｘ π ω 的图象的相邻两个交点的距离为 若 （ ）
ｔａｎ ＋ （ ＞０） ２π，
４
ｆ ｘ 在 ｍ ｍ ｍ 上是增函数 则ｍ的取值范围是
（ ） （－ ， ）（ ＞０） ，
（ ）
( ] ( ] ( ] ( ]
π π ３π ３π
Ａ． ０， Ｂ． ０， Ｃ． ０， Ｄ． ０，
４ ２ ４ ２
５． 答案 Ｂ
６．（２０２１湖南衡阳联考（一），８）已知函数ｆ ｘ ωｘ ω φ π
（ ）＝ｃｏｓ （ ＞０）， Ａ． ＝
３
将ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位得到函数ｇ ｘ 的图象 点Ａ 函数ｇ ｘ 的最小正周期为
（ ） ω （ ） ， ， Ｂ． （ ） π
３ [ ]
Ｂ Ｃ是ｆ ｘ 与ｇ ｘ 图象的相邻三个交点 若 ＡＢＣ是钝角三 函数ｇ ｘ 在区间 π π 上单调递增
， （ ） （ ） ， △ Ｃ． （ ） － ，
角形 则ω的取值范围为 ３ １２
， （ ） ( )
æ ö æ ö 函数ｇ ｘ 的图象关于点 π 中心对称
Ｄ． （ ） － ，０
Ａ．è ç ０， ２ ２ πø ÷ Ｂ．è ç ０， ３ ３ πø ÷ １０． 答案 ＢＣ ３
æ ö æ ö
ç ３ ÷ ç ２ ÷ １１．（２０２０山东百师联盟测试）已知函数ｆ ｘ ２ｘ ｘ ｘ
Ｃ．è π，＋∞ø Ｄ．è π，＋∞ø （ ）＝ ３ｓｉｎ ＋ｓｉｎ ｃｏｓ －
３ ２
６． 答案 Ｂ ３ 则下列说法正确的是
， （ ）
７．（２０２０湖北华师一附中、黄冈中学等八校第一次联考，１２）已知 ２
函数ｆ ｘ 的值域为
函数ｆ ｘ ｘ ｘ 给出下列结论 Ａ． （ ） ［－１，１］
（ ）＝ｓｉｎ ·｜ｓｉｎ ｜， ：
ｆ ｘ 是周期函数 函数ｆ ｘ 的图象可由ｙ ｘ的图象向右平移π个单位得到
①（ ） ； Ｂ． （ ） ＝ｓｉｎ２
ｆ ｘ 是奇函数 ３
②（ ） ； [ ]
[ ] 函数ｆ ｘ 在 π π 上单调递减
π π 是函数ｆ ｘ 的一个单调递增区间 Ｃ． （ ） － ，
③ － ， （ ） ； ６ ３
２ ２ ( )
若ｆ ｘ ｆ ｘ 则ｘ ｘ ｋ ｋ Ｚ 点 ２π 是函数ｆ ｘ 的图象的一个对称中心
④ （ １）＝－（ ２）， １＋ ２＝ π（ ∈ ）； Ｄ． ，０ （ ）
不等式 ｘ ｘ ｘ ｘ 的解集为 ３
⑤ ｓｉｎ ２π ·｜ｓｉｎ ２π ｜＞ｃｏｓ ２π ·｜ｃｏｓ ２π ｜ １１． 答案 ＡＤ
{ }
ｘ ｋ １ ｘ ｋ ５ ｋ Ｚ 其中正确结论的序号是
＋ ＜ ＜ ＋ ， ∈ ， （ ） 三、填空题（共５分）
８ ８
１２．（２０２１湘豫名校４月联考，１５）如图 函数ｆ ｘ ωｘ φ
Ａ．①②④ Ｂ．①②③④ Ｃ．②③ Ｄ．①②③⑤ ， （ ）＝２ｓｉｎ（ ＋ ）
７． 答案 Ｄ ω φ 的图象与坐标轴交于点Ａ Ｂ Ｃ 直线 ＢＣ 交
（ ＞０，０＜ ＜π） ， ， ，
ｆ ｘ 的图象于点Ｄ Ｏ 坐标原点 为 ＡＢＤ的重心 三条边中
二、多项选择题（每小题５分，共２０分） （ ） ， （ ） △ （
线的交点 其中Ａ 则 ＡＢＤ的面积为 ．
８．（２０２１广东肇庆二模，１０）函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω ）， （－π，０）， △
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０， ＞０）
的部分图象如图所示 则ｆ ｘ
， （ ）＝ （ ）
１２． 答案 ３ ３π
( ) ( ) ２
ｘ ２π ｘ ５π
Ａ．２ｓｉｎ ２ ＋ Ｂ．２ｓｉｎ ２ － 四、解答题（共２５分）
３ ３
( ) ( ) １３．（２０２０山东省实验中学第二次诊断，１８）已知函数ｆ ｘ
ｘ π ｘ ７π （ ）＝２ ３
Ｃ．２ｃｏｓ ２ － Ｄ．２ｃｏｓ － ( ) ( )
６ ６
８． 答案 ＢＣ ·ｓｉｎ ｘ ＋ π ｃｏｓ ｘ ＋ π ＋ｓｉｎ２ ｘ ＋ ａ的最大值为 １ ．
４ ４
９．（２０２１重庆一模，１０）已知函数ｆ ｘ ｘ ｘ 则下列 求实数ａ的值
（ ）＝ ｜ｃｏｓ ｜＋ｃｏｓ｜ ｜， （１） ；
结论正确的是
（ ） 若将ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位 得到函数ｇ ｘ 的图
ｆ ｘ 是周期函数 （２） （ ） ， （ ）
Ａ． （ ） ６
ｆ ｘ 在 上单调递减 [ ]
Ｂ． （ ） ［０，π］ 象 求函数ｇ ｘ 在区间 π 上的最大值和最小值．
ｆ ｘ 是奇函数 ， （ ） ０，
Ｃ． （ ） ２
ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ 对称 ( ) ( )
Ｄ． （ ） ＝π １３． 解析 ｆ ｘ ｘ π ｘ π ｘ ａ
９． 答案 ＡＤ （１） （ ）＝２ ３ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ ＋ｓｉｎ２ ＋
４ ４
１０．（２０２１河北石家庄一模，１１）函数ｆ ｘ ωｘ φ ω ( )
（ ）＝２ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０，０ ｘ π ｘ ａ
φ 的图象如图 把函数ｆ ｘ 的图象上所有的点向右平移 ＝ ３ｓｉｎ ２ ＋ ＋ｓｉｎ２ ＋
＜ ＜π） ， （ ） ２
１ ９４ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) ( ) ( )
ｘ ｘ ａ ｘ π ａ ｘ π 的图象 所以ｇ ｘ ｘ π ．
＝ ３ｃｏｓ２ ＋ｓｉｎ２ ＋ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ＋ ， ２ｓｉｎ ２ ＋ ， （ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋
３ ６ ６
ａ ａ ．
∴２＋ ＝１，∴ ＝－１ 令 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ
－ ＋２ π≤２ ＋ ≤ ＋２ π， ∈ ，
将ｆ ｘ 的图象向左平移π个单位 得到函数ｇ ｘ 的图 ２ ６ ２
（２）∵ （ ） ， （ ）
６ 得 π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ
( ) [ ( ) ] － ＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈ ，
象 ｇ ｘ ｆ ｘ π ｘ π π ３ ６
，∴ （ ）＝ ＋ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ ＋ －１ [ ]
６ ６ ３ 所以ｇ ｘ 的单调递增区间为 π ｋ π ｋ ｋ Ｚ ．
( ) [ ] [ ] （ ） － ＋ π， ＋ π （ ∈ ）
ｘ ２π ｘ π ｘ ２π ２π ５π ３ ６
＝２ｓｉｎ ２ ＋ －１，∵ ∈ ０， ，∴２ ＋ ∈ ， ， ( )
３ ２ ３ ３ ３ 由 知 ｃ ｇ π ．
( ) （２） （１） ， ＝ ＝２
当 ｘ ２π ２π 即 ｘ ２π ３时 ｇ ｘ 取最大值 ( ) ( ６ ) ( )
∴ ２ ＋ ＝ ， ｓｉｎ ２ ＋ ＝ ， （ ） ３－
３ ３ ３ ２ 因为 π Ｂ π Ｂ ２ π Ｂ １
( ) ｓｉｎ － ｃｏｓ ＋ ＝ｃｏｓ ＋ ＝ ，
当 ｘ ２π ３π 即 ｘ ２π 时 ｇ ｘ 取最小值 ． ( ３ ) ６ ６ ４
１； ２ ＋ ＝ ， ｓｉｎ ２ ＋ ＝－１ ， （ ） －３
３ ２ ３ 所以 π Ｂ １ ．
ｃｏｓ ＋ ＝±
思路分析 （ ）利用三角恒等变换化简函数的解析式得 ６ ２
１ ( )
( ) 又因为Ｂ 所以Ｂ π π ７π
ｆ（ｘ） ｘ π ａ，故 ａ ，可得ａ ． ∈（０，π）， ＋ ∈ ， ，
＝２ｓｉｎ ２ ＋ ＋ ２＋ ＝１ ＝－１ ６ ６ ６
３ ( )
（ ）根据函数ｙ Ａ （ωｘ φ）的图象变换规律，可得ｇ（ｘ） 当 π Ｂ １ 时 Ｂ π π 得Ｂ π 此时由余弦定理
２ ＝ ｓｉｎ ＋ ＝ ｃｏｓ ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＝ ，
( ) [ ] ６ ２ ６ ３ ６
ｘ ２π ，再根据 ｘ ，π ，利用正弦函数单调性
２ｓｉｎ ２ ＋
３
－１ ∈ ０
２
可知
，４＋
ａ２
－２×２
ａ
ｃｏｓ
π
＝１２，
所以ａ
＝ ３＋ １１，
所以Ｓ
△ ＡＢＣ＝
求得函数ｇ（ｘ）的最值． ６
１４．（２０２１山东烟台一模，１８）将函数ｆ ｘ ｘ ｘ图象上 １ π ３＋ １１
（ ）＝ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ ×２×（ ３＋ １１）×ｓｉｎ ＝ ；
２ ６ ２
所有点向右平移π个单位长度 然后横坐标缩短为原来的 １ ( )
， 当 π Ｂ １ 时 Ｂ π ２π 得Ｂ π 由勾股定理可
６ ２ ｃｏｓ ＋ ＝－ ， ＋ ＝ ， ＝ ，
纵坐标不变 得到函数ｇ ｘ 的图象． ６ ２ ６ ３ ２
（ ）， （ ）
求函数ｇ ｘ 的解析式及单调递增区间 得 ａ 所以Ｓ １ ．
（１） （ ） ； ， ＝ １２－４＝２ ２， △ ＡＢＣ＝ ×２×２ ２＝２ ２
在 ＡＢＣ 中 内角 Ａ Ｂ Ｃ 的对边分别为 ａ ｂ ｃ 若 ２
（２） △ ， ， ， ， ， ，
( ) ( ) ( ) 综上 ＡＢＣ的面积为 或 ３＋ １１．
π Ｂ π Ｂ １ ｃ ｇ π ｂ 求 ＡＢＣ ，△ ２ ２
ｓｉｎ － ｃｏｓ ＋ ＝ ， ＝ ， ＝２ ３， △ ２
３ ６ ４ ６ ( )
的面积． 思路分析 （ ）由题可得ｇ（ｘ） ｘ π ，令 π ｋ
１ ＝２ｓｉｎ ２ ＋ － ＋２ π
( ) ６ ２
１４． 解析 ｆ ｘ ｘ ｘ ｘ π
（１） （ ）＝ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ＋ ， ｘ π π ｋ ，ｋ Ｚ即可解得单调递增区间；（ ）由题可得
３ ≤２ ＋ ≤ ＋２ π ∈ ２
( ) ６ ２
ｆ ｘ 的图象向右平移π个单位长度得到ｙ ｘ π 的图
（ ） ＝２ｓｉｎ ＋ ｃ ，Ｂ π或Ｂ π，由余弦定理或勾股定理可求得ａ，即可求出
６ ６ ＝２ ＝ ＝
６ ２
象 横坐标缩短为原来的 １ 纵坐标不变 得到 ｙ 面积．
， （ ） ＝
２
Ｃ 组 教师专用题组
一、单项选择题 ( )
２．（２０２１天津四中第三次月考，８）已知函数ｆ ｘ ｘ π
１．（２０２１安徽安庆二模，８）已知函数ｙ ωｘ φ 的图象如图 （ ）＝ｃｏｓ ２ － ＋
＝ｃｏｓ（ ＋ ） ３
( ) ( )
所示 其中ω为正整数 φ 则
， ，｜ ｜＜２， （ ） ｘ π ｘ π ｘ Ｒ ．给出下面四个结论
２ｓｉｎ － ｓｉｎ ＋ （ ∈ ） ：
４ ４
ｆ ｘ 是最小正周期为 的奇函数
①（ ） π ；
ｆ ｘ 图象的一条对称轴是ｘ ５π
②（ ） ＝ ；
６
( )
ｆ ｘ 图象的一个对称中心是 π
③（ ） ，０ ；
１２
[ ]
ω φ ω φ
Ａ． ＝１， ＝π－２ Ｂ． ＝１， ＝２－π ｆ ｘ 的单调递增区间为 ｋ π ｋ ５π ｋ Ｚ ．
ω φ ω φ ④（ ） π＋ ， π＋ （ ∈ ）
Ｃ． ＝２， ＝π－４ Ｄ． ＝２， ＝４－π ３ ６
其中正确的结论是
Ｔ Ｔ
答案 Ｃ 由题图可知 ３ 即 π ３π 得 π ω （ ）
＜２＜ ， ω ＜２＜ ω， ＜ ＜
２ ４ ２ ２ Ａ．①③ Ｂ．②③ Ｃ．②③④ Ｄ．①②③
( ) ( ) ( )
３π．因为ω为正整数 所以ω ．又ｘ 时 ｙ 所以 φ 答案 Ｂ ｆ ｘ ｘ π ｘ π ｘ π
， ＝２ ＝２ ， ｍｉｎ＝－１， ４＋ （ ）＝ ｃｏｓ ２ － ＋２ｓｉｎ － ｓｉｎ ＋ ＝
４ ３ ４ ４
ｋ ｋ Ｚ 即φ ｋ ｋ Ｚ 因为 φ 所以φ
＝２ π＋π， ∈ ， ＝２ π＋π－４， ∈ ， ｜ ｜＜２， ＝π １ ｘ ３ ｘ ｘ ｘ ｘ ｘ １ ｘ
．故选 ｃｏｓ２ ＋ ｓｉｎ２ ＋（ｓｉｎ －ｃｏｓ ）（ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）＝ ｃｏｓ ２ ＋
－４ Ｃ． ２ ２ ２
第四章 三角函数与解三角形 １ ９５
( ) ｋ
３ ｘ ｘ ３ ｘ １ ｘ ｘ π ． 故所得函数图象的对称轴方程为ｘ π π ｋ Ｚ 其中一条
ｓｉｎ２ －ｃｏｓ２ ＝ ｓｉｎ２ － ｃｏｓ２ ＝ｓｉｎ ２ － ＝ ＋ ， ∈ ，
２ ２ ２ ６ ４ １６
ｆ ｆ ｘ 不是奇函数 错误
∴ （０）≠０， （ ） ，① ； 对称轴方程为ｘ π．故选 ．
( ) ( ) ＝ Ａ
１６
ｆ ５π ＝ｓｉｎ ２× ５π － π ＝ｓｉｎ ３π ＝－１， ５．（２０２１山西忻州一中３月月考，１０）已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ
６ ６ ６ ２ ( ) （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）
所以直线ｘ ５π是ｆ ｘ 图象的一条对称轴 正确 ｂ Ａ ω φ π 的部分图象如图所示 给出下列结论
＝ （ ） ，② ； ＋ ＞０， ＞０，｜ ｜＜ ， ：
６ ２
( ) ( )
ｆ π π π
＝ｓｉｎ － ＝０，
１２ ６ ６
( )
所以点 π 是ｆ ｘ 图象的一个对称中心 正确
，０ （ ） ，③ ；
１２
令 ｋ π ｘ π ｋ π ｋ Ｚ
２ π－ ≤２ － ≤２ π＋ （ ∈ ），
２ ６ ２
可得ｋ π－ π ≤ ｘ ≤ ｋ π＋ π （ ｋ ∈ Ｚ ）， ① Ａ ＝２， ω ＝１， ｂ ＝－１；
６ ３ Ａ ω ｂ
[ ] ② ＝ ＝２， ＝－１；
( )
所以ｆ ｘ 的单调递增区间为 ｋ π ｋ π ｋ Ｚ
（ ） π－ ， π＋ （ ∈ ），④ 点 ２π 为ｆ ｘ 图象的一个对称中心
６ ３ ③ ，－１ （ ） ；
错误． ３ [ ]
故正确的结论有 ．故选 ． ④ ｆ （ ｘ ） 在 － ２３π ，－ １７π 上单调递减．
②③ Ｂ
( ) １２ １２
３．（２０２１天津南开中学统练（２５），８）已知ｆ ｘ ωｘ π ω 其中所有正确结论的序号是
（ ）＝ｓｉｎ ＋ （ （ ）
６
( ] Ａ．①② Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．②④
Ｚ ｘ π 时 ｆ ｘ １ 有唯一解 则满足条件的ω的
∈ ）， ∈ ０， ， （ ）＝ ， 答案 Ｄ 由题图可知 Ａ １－（－３） ｂ １＋（－３） π
３ ２ ， ＝ ＝２， ＝ ＝－１，
个数是 ２ ２ ( ) ３
（ ）
π １ ２π 得ω 故 不正确 正确 由于 π 为ｆ
－ ＝ ×ω， ＝２， ① ，② ； ，－１
Ａ．３ Ｂ．４ Ｃ．５ Ｄ．６
１２ ４ ３
答案 Ｄ 易知ω ＝０ 不符合题意． ｘ 图象的一个对称中心 且ｆ ｘ 的最小正周期为 故ｆ ｘ
当ω ＞０ 时 ，∵ ｘ ∈ ( ０， π ] ，∴ ωｘ ＋ π ∈ ( π ， ω π ＋ π ] ， （ 图象 ） 的对称中心为 ( π ＋ ｋ ， π ，－１ （ ) ） （ ｋ ∈ Ｚ ）， 当ｋ ＝１ 时 π ， 对 ， 称中 （ 心 ）
３ ６ ６ ３ ６
( ] ３ ２
( ) [ ]
∵ ｘ ∈ ０， π 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ １ 有唯一解 ， 为 ５π ，－１ ， 故 ③ 错误 ； 由于 π ， ７π 为 ｆ （ ｘ ） 的单调递减区
３ ２
ω [ ) 间 ｆ ６ ｘ 的最小正周期为 １２ 故 １ ｆ ２ ｘ 的单调递减区间为
π π ５π １３π
∴ ＋ ∈ ， ， [ ， （ ） ] π， （ ）
３ ６ ６ ６
∴ ω ∈［２，６）， 又 ∵ ω ∈ Ｚ ，∴ ω ＝２ 或 ３ 或 ４ 或 ５ ． π ＋ ｋ π， ７π ＋ ｋ π （ ｋ ∈ Ｚ ）， 当 ｋ ＝ －２ 时 ， 单调递减区间为
( ] [ω )
[
１２ １２
]
当ω ＜０ 时 ，∵ ｘ ∈ ０， π ３ ，∴ ωｘ ＋ π ６ ∈ ３ π ＋ π ６ ， π ６ ， － ２３π ，－ １７π ， 故 ④ 正确．故选 Ｄ ．
ｘ
(
π
]
时 ｆ ｘ １ 有唯一解 π
ω
π
６．（２０２ １ １ ２ 河南 １ 郑 ２ 州一中４月月考，１０）已
∵ ∈ ０， ， （ ） ＝ ，∴ ＋ ∈
３ ２ ３ ６ 知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ω
( ] （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ）（ ＞０， ＞
１１π ７π ω 又 ω Ｚ ω 或 ． φ 的部分图象如图所示 将ｆ
－ ，－ ，∴ ∈（－６，－４］， ∵ ∈ ，∴ ＝－５ －４ ０，｜ ｜＜π） ，
６ ６ ｘ 的图象向右平移 ａ ａ 个单位
综上 ω的值可以为 共 个 故选 ． （ ） （ ＞０）
， －５、－４、２、３、４、５， ６ ， Ｄ 长度 得到函数ｇ ｘ 若ｇ ｘ 满足ｇ
４．（２０２１浙江湖州中学第二次质检，７）把函数ｙ ｘ的图象 ， （ ）， （ ）
＝２ｓｉｎ ２ ｘ ｇ ｘ 则ａ的最小值为
（２π－ ）＝ （ ），
向左平移π个单位后得到函数ｙ ｇ ｘ 的图象 再把函数ｙ
＝ （ ） ， ＝ （ ）
８
π π π ５π
ｇ ｘ 图象上每一点的横坐标缩短为原来的 １ 纵坐标保持不 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
（ ） （ １２ ６ ４ １２
２ Ｔ
变 则所得函数图象的一条对称轴方程为 答案 Ｄ 由题图可知 Ａ π π Ｔ Ｔ
）， （ ） ， ＝１， ＝ － ⇒ ＝π，∵ ＝
４ ３ １２
( )
ｘ π ｘ ３π ｘ π ｘ ３π
Ａ． ＝ Ｂ． ＝ Ｃ． ＝ Ｄ． ＝ ２π ω ω ．由图象过点 π 且在单调递减区间内
１６ １６ ４ ８ ω ， ＞０，∴ ＝２ ，０ ， ，
( ) ｜ ｜ ３
( )
答案 Ａ 由题意得ｇ （ ｘ ）＝２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π ４ ， 将其图象上每一 得 ｓｉｎ ２× π ＋ φ ＝０⇒２× π ＋ φ ＝２ ｋ π＋π（ ｋ ∈ Ｚ ）⇒ φ ＝２ ｋ π＋ π
３ ３ ３
( )
点的横坐标缩短为原来的 １ 纵坐标保持不变 后得到函数ｙ ｋ Ｚ φ φ π ｆ ｘ ｘ π 则ｇ ｘ
（ ） （ ∈ ），∵ ｜ ｜＜π，∴ ＝ ，∴ （ ）＝ｓｉｎ ２ ＋ ， （ ）＝
( ) ２ [ ] ( ３ ) ３
ｘ π 的图象 ｘ ａ π ｘ ａ π 由ｇ ｘ ｇ ｘ 得 ｇ
＝２ｓｉｎ ４ ＋ ， ｓｉｎ ２（ － ）＋ ＝ｓｉｎ ２ －２ ＋ ， （２π－ ）＝ （ ），
４ ３ ３
ｋ ( )
由 ｘ π ｋ π ｋ Ｚ 得ｘ π π ｋ Ｚ． ｘ 的图象关于直线ｘ 对称 所以ｇ ａ π
４ ＋ ＝ π＋ ， ∈ ， ＝ ＋ ， ∈ （ ） ＝π ， （π）＝ ｓｉｎ ２π－２ ＋
４ ２ ４ １６ ３
１ ９６ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( ) ｋ 轴、对称中心的关系是求解ω的关键．
ａ π ａ π π ｋ ｋ Ｚ ａ ５π π
＝－ｓｉｎ ２ － ＝±１，∴ ２ － ＝ ＋ π（ ∈ ），∴ ＝ ＋
３ ３ ２ １２ ２ 二、多项选择题
ｋ Ｚ 又ａ 所以ａ ５π．故选 ． ９．（２０２１届山东枣庄第三中学第一次月考，９）下列函数中 最小
（ ∈ ）， ＞０， ｍｉｎ＝ Ｄ ，
１２ 正周期为 的偶函数是
( ) π （ ）
７．（２０２１河南名校联盟尖子生３月联考，９）ｆ ｘ ｘ π 的 ｙ ｘ ｙ ｘ
（ ）＝ｓｉｎ ２ － Ａ． ＝ｔａｎ Ｂ． ＝｜ｓｉｎ ｜
３ ( )
( )
ｙ ｘ ｙ π ｘ
图象向左平移φ个单位 恰与ｇ ｘ ｘ π 的图象重合 Ｃ． ＝２ｃｏｓ Ｄ． ＝ｓｉｎ －２
， （ ）＝ｃｏｓ ２ ＋ ， ２
３ 答案 ＢＤ 对于 选项 函数 ｙ ｘ 为奇函数 不符合
则φ的取值可能是 Ａ ， ＝ｔａｎ ，
（ ） 题意．
π ５π π ７π 对于 选项 函数ｙ ｘ 是最小正周期为 的偶函数 符
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． Ｂ ， ＝｜ｓｉｎ ｜ π ，
３ １２ ２ １２
( ) 合题意．
答案 Ｄ ｆ ｘ ｘ π 取最大值时 ｘ π ｋ
（ ）＝ ｓｉｎ ２ －
３
，２ －
３
＝２ １π＋ 对于
Ｃ
选项
，
函数ｙ
＝２ｃｏｓ
ｘ的最小正周期为
２π，
不符合题意．
( ) ( )
π ｋ Ｚ ｘ ｋ ５π ｋ Ｚ ｇ ｘ ｘ π 取最大 对于 选项 函数ｙ π ｘ ｘ 是最小正周期为
２
（ １∈ ）⇒ ＝ １π＋
１２
（ １∈ ）， （ ）＝ｃｏｓ ２ ＋
３
Ｄ ， ＝ｓｉｎ
２
－２ ＝ｃｏｓ ２ ， π
的偶函数 符合题意．故选 ．
值时 ｘ π ｋ ｋ Ｚ ｘ ｋ π ｋ Ｚ 故ｆ ｘ 的 ， ＢＤ
，２ ＋ ＝２ ２π（ ２∈ ）⇒ ＝ ２π－ （ ２∈ ）， （ ） １０．（２０２１届湖南、河北新高考联考１０月质量检测，１０）已知函数
３ ６
( )
图象左移 ｋ ｋ ７π ｋ ｋ Ｚ 可与ｇ ｘ 的图象重合 符 ｆ ｘ ｘ π 则下列结论正确的是
（ １－ ２）π＋
１２
（ １， ２∈ ） （ ） ， （ ）＝ｓｉｎ ２ －
６
， （ ）
合条件的选项为 ． ｆ ｘ 的最小正周期为
Ｄ Ａ． （ ） π
( )
一题多解 把函数ｆ（ｘ） ｘ π 的图象向左平移φ个 ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ ７ 对称
＝ｓｉｎ ２ － Ｂ． （ ） ＝－ π
３ ６
[ ] ( ) ( )
单位长度，可得ｙ （ｘ φ） π ｘ φ π 的图 ｆ ｘ 在 π π 上单调递增
＝ｓｉｎ ２ ＋ － ＝ｓｉｎ ２ ＋２ － Ｃ． （ ） － ，
３ ３ ４ ６
( ) [ ( ) ] ( )
象，ｇ （ｘ） ｘ π π ｘ π ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ π 的最小值为
＝ ｃｏｓ ２ ＋ ＝ ｓｉｎ ＋ ２ ＋ ＝ Ｄ． ＝ （ ）＋ ＋ － ２
３ ２ ３ ４
( )
ｘ ５ ，函数ｆ（ｘ）的图象向左平移φ个单位后，与ｇ（ｘ） 答案 ＡＢＤ ｆ ｘ 的最小正周期为２π 故 正确
ｓｉｎ ２ ＋ π ∵ （ ） ＝π， Ａ ；
６ ２
的图象重合，则有 φ π ｋ ５ （ｋ Ｚ），解得φ ｋ ７ ｘ ７π时 ｘ π ５ 此时ｆ ｘ 有最小值 则ｆ ｘ 的图象
２ － ＝２ π＋ π ∈ ＝ π＋ π ＝－ ，２ － ＝－ π， （ ） ， （ ）
３ ６ １２ ６ ６ ２
（ｋ Ｚ），所以当ｋ 时，φ ７ ，结合选项知选 ． 关于直线ｘ ７ 对称 故 正确
∈ ＝０ ＝ π Ｄ ＝－ π ， Ｂ ；
１２ ６
８．（２０２１豫东豫北十所名校３月联考，７）若函数ｆ ｘ ωｘ ( ) ( )
（ ）＝３ｓｉｎ（ ＋ ｘ π π ｘ π ２π π ｆ ｘ 在
( ) ( ) ∵ ∈ － ， ，∴ ２ － ∈ － ， ，∴ （ ）
φ ω φ π 的图象过点Ｍ ２π 直线ｘ ２π向右 ( ) ４ ６ ６ ３ ６
） ＞０，０＜ ＜ ，－３ ， ＝
２ ３ ３ π π 上不单调 故 错误
－ ， ， Ｃ ；
平移π个单位长度后恰好经过ｆ ｘ 上与点Ｍ最近的零点 则 ４ ６ ( ) ( ) ( )
（ ） ，
４ ｙ ｆ ｘ ｆ ｘ π ｘ π ｘ π
[ ] ∵ ＝ （ ）＋ ＋ ＝ｓｉｎ ２ － ＋ ｃｏｓ ２ － ＝ ２ｓｉｎ
ｆ ｘ 在 π π 上的单调递增区间是 ( ) ４ ６ ６
（ ） － ， （ ）
２ ２ ｘ π 最小值为 故 正确．故选 ．
[ ] [ ] ２ ＋ ，∴ － ２， Ｄ ＡＢＤ
１２
π π π π
Ａ． － ， Ｂ． － ， １１．（２０２１届广东珠海摸底考试，１０）如图是函数ｆ ｘ Ａ ωｘ
２ ６ ３ ３ （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋
[ ] [ ] φ ω 的部分图象 则
π π π π ）（ ＞０） ， （ ）
Ｃ． － ， Ｄ． － ，
３ ６ ６ ６
答案 Ｃ 由题意 可知函数ｆ ｘ 的四分之一周期为π 则
， （ ） ，
４
ｆ ｘ 的周期 Ｔ ω ２π ．又函数 ｆ ｘ 的图象过点
（ ） ＝π，∴ ＝ Ｔ ＝２ （ ）
( ) ( )
Ｍ ２π ２π φ ２π φ π ｋ
，－３ ，∴ －３＝３ｓｉｎ ×２＋ ，∴ ×２＋ ＝－ ＋２ π，
３ ３ ３ ２
( ) ( )
ｋ Ｚ φ １１π ｋ ｋ Ｚ．由 φ π 得φ π ｆ ｘ ｆ ｘ １ ｘ π ｆ ｘ １ ｘ π
∈ ，∴ ＝－ ＋２ π， ∈ ０＜ ＜ ， ＝ ，∴ （ ）＝ Ａ． （ ）＝２ｓｉｎ ＋ Ｂ． （ ）＝２ｓｉｎ ＋
６ ２ ６ ２ ４ ２ ２
( ) ( )
ｘ π ．由 ｋ π ｘ π ｋ π ｋ Ｚ 解得ｋ π ｆ ｘ １ ｘ π ｆ ｘ １ ｘ
３ｓｉｎ ２ ＋ ２ π－ ≤２ ＋ ≤２ π＋ ， ∈ ， π－ Ｃ． （ ）＝－２ｓｉｎ － Ｄ． （ ）＝２ｃｏｓ
６ ２ ６ ２ ３ ２ ２ ２
[ ] 答案 ＢＣＤ 由题图可知 Ａ Ｔ
ｘ ｋ π ｋ Ｚ．取ｋ 得ｘ π π 即为所求． ， ＝２， ＝２×２π＝４π，
≤ ≤ π＋ ， ∈ ＝０， ∈ － ， ， ( )
６ ３ ６ ω ２π １ ｆ ｘ １ ｘ φ
解题关键 正确把握点Ｍ的位置，理解周期与图象的对称 ∴ ＝ Ｔ ＝ ，∴ （ ）＝２ｓｉｎ ＋ ，
２ ２
第四章 三角函数与解三角形 １ ９７
又 函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ 的图象过点 φ 不唯一．
∵ （ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） （０，２），∴ ２ｓｉｎ ＝２，
( ) １４．（２０２１东北三校第一次模拟，１６）关于函数ｆ ｘ ｘ
φ ｋ π ｋ Ｚ ｆ ｘ １ ｘ π （ ）＝ ２ｓｉｎ ＋ｓｉｎ
∴ ｓｉｎ φ＝１，∴ ＝２ π＋ ， ∈ ，∴ （ ）＝２ｓｉｎ ＋ ， ｘ有如下四个命题
２ ２ ２ ２ ：
( ) ｆ ｘ 的最小正周期为
由 α π α可得ｆ ｘ １ ｘ ①（ ） ２π；
ｓｉｎ ＋ ＝ｃｏｓ （ ）＝２ｃｏｓ ， ｆ ｘ 在 内有 个极值点
２ ２ ②（ ） ［０，２π］ ３ ；
( )
ｆ ｘ 在 内有 个零点
再由 α α 及ｆ ｘ １ ｘ π 得 ｆ ｘ ③（ ） ［０，２π］ ３ ；
ｓｉｎ（ －π）＝－ｓｉｎ （ ）＝ ２ｓｉｎ ＋ ， （ ）＝－
２ ２
( ) ｆ ｘ 的图象关于直线ｘ π对称．
④（ ） ＝
１ ｘ π 故选 ． ３
２ｓｉｎ － ， ＢＣＤ
２ ２ 其中所有真命题的序号为 ．
１２．（２０２１届河北石家庄二中期中，１１）已知函数ｆ ｘ ａ ｘ 答案
（ ）＝（ ｓｉｎ ＋
①③
ｘ ｘ １ 的图象的一条对称轴为ｘ π 则下列结论中 解析 对于 不妨设ｆ ｘ ｘ ｆ ｘ ｘ 则ｆ ｘ
ｃｏｓ ）ｃｏｓ － ＝ ， ①， １（ ）＝２ｓｉｎ ， ２（ ）＝ｓｉｎ２ ， （ ）
２ ６ ｘ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ ｆ ｘ 的最小正周期为ｆ ｘ 与
正确的是 ＝２ｓｉｎ ＋ｓｉｎ２ ＝ １（ ）＋ ２（ ）， （ ） １（ ）
（ ） ｆ ｘ 最小正周期的最小公倍数 易知ｆ ｘ 的最小正周期为
ｆ ｘ 是最小正周期为 的奇函数 ２（ ） ， １（ ）
Ａ． （ ） π ｆ ｘ 的最小正周期为 所以ｆ ｘ 的最小正周期为
( ) ２π， ２（ ） π， （ ） ２π，
７π 是ｆ ｘ 图象的一个对称中心 故 正确
Ｂ． － ，０ （ ） ① ；
１２
[ ]
对于
②，
ｆ ′
（
ｘ
）＝２ｃｏｓ
ｘ
＋２ｃｏｓ ２
ｘ
＝２ｃｏｓ
ｘ
＋４ｃｏｓ
２ｘ
－２＝２（２ｃｏｓ
ｘ
ｆ ｘ 在 π π 上单调递增 ｘ 若ｘ 则 ｘ 令ｆ ′ ｘ
Ｃ． （ ） － ， －１）（ｃｏｓ ＋１）， ∈［０，２π］， ｃｏｓ ∈［－１，１］， （ ）＝
３ ３
先将函数ｙ ｘ 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 得 ｘ １ 或 ｘ 此时ｘ π或 或 ５ 当ｘ
Ｄ． ＝２ｓｉｎ ２ ０， ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ ＝－１， ＝ π π， ∈
２ ３ ３
１ 然后把所得函数图象再向左平移π个单位长度 即可 ( ) ( )
， ， π 时 ｆ ′ ｘ ｆ ｘ 单调递增 当ｘ π ５ 时 ｆ
２ １２ ０， ， （ ）＞０， （ ） ； ∈ ， π ，
得到函数ｆ ｘ 的图象 ３ ３ ３
（ ） ( )
′ ｘ ｆ ｘ 单调递减 当 ｘ ５ 时 ｆ ′ ｘ ｆ
答案 ＢＤ ｆ ｘ ａ ｘ ｘ ｘ １ ａ ｘ ｘ （ ）＜０， （ ） ； ∈ π，２π ， （ ）＞０，
（ ）＝（ ｓｉｎ ＋ｃｏｓ ）ｃｏｓ － ＝ ｓｉｎ ｃｏｓ ＋ ３
２
ｘ 单调递增 所以ｆ ｘ 在 内有 个极值点π和 ５
２ｘ １ １ ａ ｘ １ ｘ （ ） ， （ ） ［０，２π］ ２
ｃｏｓ － ＝ ｓｉｎ２ ＋ ｃｏｓ２ ， ３ ３
２ ２ ２ 故 错误
( ) π， ② ；
又ｆ ｘ 图象的一条对称轴为ｘ π 所以ｆ ｆ π 即 １ 对于 令ｆ ｘ 则 ｘ ｘ 即 ｘ ｘ ｘ
（ ） ＝ ， （０）＝ ， ③， （ ）＝０， ２ｓｉｎ ＋ｓｉｎ２ ＝０， ２ｓｉｎ ＋２ｓｉｎ ｃｏｓ
６ ３ ２ 即 ｘ ｘ 得 ｘ 或 ｘ 因为ｘ
( ) ＝０， ２ｓｉｎ （１＋ｃｏｓ ）＝０， ｓｉｎ ＝０ ｃｏｓ ＝－１， ∈
１ ａ ３ １ １ 解得ａ 所以ｆ ｘ ３ ｘ １ 所以ｘ 或 或 有 个零点 故 正确
＝ × ＋ × － ， ＝ ３， （ ）＝ ｓｉｎ２ ＋ ［０，２π］， ＝０ π ２π， ３ ， ③ ；
２ ２ ２ ２ ２ ２ ( ) ( ) [ ( )]
( ) 对于 ｆ π ｘ π ｘ π ｘ
ｘ ｘ π 所以ｆ ｘ 的最小正周期为 但不是奇 ④， － ＝ ２ｓｉｎ － ＋ ｓｉｎ ２ － ＝
ｃｏｓ２ ＝ｓｉｎ ２ ＋ ， （ ） π， ３ ３ ３
６ ( ) ( ) ( ) ( )
函数 错误 π ｘ π ｘ π ｘ π ｘ
，Ａ ； ２ｓｉｎ － ＋ ２ｓｉｎ － ｃｏｓ － ＝ ４ｓｉｎ － ·
( ) ( ) ３ ３ ３ ３
ｆ ７π ７π π ( ｘ ) ( ) ( ) [ ( )]
－ １２ ＝ｓｉｎ － ６ ＋ ６ ＝ｓｉｎ（－π）＝０， ｃｏｓ ２ π － ， ｆ π ＋ ｘ ＝ ２ｓｉｎ π ＋ ｘ ＋ｓｉｎ ２ π ＋ ｘ ＝
( ) ６ ２ ３ ３ ３
所以 ７π 是ｆ ｘ 图象的一个对称中心 正确 ( ) ( ) ( ) ( )
－ ，０ （ ） ，Ｂ ； π ｘ π ｘ π ｘ π ｘ
１２ ２ｓｉｎ ＋ ＋ ２ｓｉｎ ＋ ｃｏｓ ＋ ＝ ４ｓｉｎ ＋ ·
[ ] [ ] ３ ３ ３ ３
ｘ π π 时 ｘ π π ５π 所以 ｆ ｘ 在 ( ｘ ) ( ) ( )
∈ － ３ ， ３ ，２ ＋ ６ ∈ － ２ ， ６ ， （ ） ｃｏｓ ２ π ＋ ， 所以ｆ π － ｘ ≠ ｆ π ＋ ｘ ， 所以ｆ （ ｘ ） 的图象不
[ ] ６ ２ ３ ３
π π 上不是单调函数 错误
－ ， ，Ｃ ； 关于直线ｘ π对称 故 错误．
３ ３ ＝ ， ④
３
将函数ｙ ｘ图象上各点的纵坐标缩短为原来的 １ 得ｙ １５．（２０２１浙江新高考研究卷（三），１５）将函数 ｆ ｘ ｘ
＝２ｓｉｎ２ ， （ ）＝ ２ｓｉｎ（２ ＋
２ ( )
φ π φ π 的图象向左平移π个单位长度 若平移后的
ｘ的图象 再把所得函数图象向左平移π个单位长度 ） － ＜ ＜ ，
＝ｓｉｎ２ ； ， ２ ２ ６
[ ( )] ( ) １２ 图象关于原点对称 则φ ．
， ＝
得ｙ ｘ π ｘ π 的图象 即函数ｆ ｘ 的图
＝ｓｉｎ ２ ＋ １２ ＝ｓｉｎ ２ ＋ ６ ， （ ） 答案 － π
象 所以 正确．故选 ． ３
， Ｄ ＢＤ
三、填空题 解析 将函数ｆ ｘ ｘ φ 的图象向左平移π个单
（ ）＝ ２ｓｉｎ（２ ＋ ）
６
１３．（２０２１北京大兴一模，１４）已知函数ｆ ｘ ｘ．若非零实数 [ ( ) ]
（ ）＝ｓｉｎ ２ 位 长 度 得 到 函 数 ｙ ｘ π φ
ａ ｂ 使得ｆ ｘ ａ ｂｆ ｘ 对ｘ Ｒ都成立 则满足条件的一组 ， ＝ ２ｓｉｎ ２ ＋ ＋ ＝ ２ｓｉｎ
， ， （ ＋ ）＝ （ ） ∈ ， ６
值可以是ａ ｂ ． 只需写出一组 ( )
＝ ， ＝ （ ） ｘ π φ 的图象 因为该函数图象关于原点对称
答案 答案不唯一 ２ ＋ ＋ ， ，
２π；１（ ） ３
解析 若ｆ ｘ ａ ｂｆ ｘ 则 ｘ ａ ｂ ｘ 当ａ
（ ＋ ）＝ （ ）， ｓｉｎ［２（ ＋ ）］＝ ｓｉｎ ２ ， ＝ 所以π φ ｋ ｋ Ｚ 即φ ｋ π ｋ Ｚ ．
时 ｘ ｂ ｘ ｂ 故可取ａ ｂ ．本题答案 ＋ ＝ π（ ∈ ）， ＝ π－ （ ∈ ）
２π ，ｓｉｎ２ ＝ ｓｉｎ２ ，∴ ＝１， ＝２π， ＝１ ３ ３
１ ９８ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
( )
又 π φ π 所以φ π． ｆ ｘ ｘ π
－ ＜ ＜ ， ＝－ ∴ （ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋ ，
２ ２ ３ ３
１６．（２０２１ 浙江嘉兴二模，１３）若函数 ｆ ｘ Ａ ωｘ φ
（ ）＝ ｃｏｓ（ ＋ ） 当 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ
( ) － ＋２ π≤２ ＋ ≤ ＋２ π， ∈ ，
Ａ ω φ π 的部分图象如图所示 则φ ２ ３ ２
＞０， ＞０，０＜ ＜ ， ＝ ；
２ 即 ５π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ时 ｆ ｘ 单调递增
( ) － ＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈ ， （ ） ，
ｆ π ． １２ １２
－ ＝
２ 当π ｋ ｘ π ３π ｋ ｋ Ｚ
＋２ π≤２ ＋ ≤ ＋２ π， ∈ ，
２ ３ ２
即π ｋ ｘ ７π ｋ ｋ Ｚ时 ｆ ｘ 单调递减
＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈ ， （ ） ，
１２ １２
[ ] [ ]
ｆ ｘ 在 π π 上单调递增 在 π π 上单调递减
∴ （ ） － ， ， ， ，
１２ １２ １２ ４
( ) [ ( ) ]
答案 π
；１
又ｆ － π ＝２ｓｉｎ ２× － π ＋ π ＝１，
４ ( ) ( ) １２ ( ) １２ ３
解析 由题图知 Ａ 最小正周期 Ｔ ３π π ｆ π π π
＝ ２； ＝４· － ＝ ＝２ｓｉｎ ２× ＋ ＝１，
４ ４ ４ ４ ３
[ ]
所以ω ２π ． ｆ ｘ 在 π π 上的最小值为 ．
２π， ＝ Ｔ ＝１ ∴ （ ） － ， １
１２ ４
( ) ( ) ( )
将 ３π 代入ｆ ｘ 的解析式可得 ３π φ 条件 π 是函数ｙ ｆ ｘ 的图象的一个对称中心 结
，－ ２ （ ） ｃｏｓ ＋ ＝－１， ②：∵ ，０ ＝ （ ） ，
４ ４ ３
( )
结合 φ π可得φ π． 合图象可知 π φ 即２π φ ｋ ｋ Ｚ
０＜ ＜ ＝ ｓｉｎ ２× ＋ ＝０， ＋ ＝ π， ∈ ，
２ ４ ３ ３
( ) ( ) ( )
因此 ｆ ｘ ｘ π 故ｆ π π ． φ ｋ ２π ｋ Ｚ 又 φ π φ π．
， （ ）＝ ２ｃｏｓ ＋ ， － ＝ ２ｃｏｓ － ＝１ ∴ ＝ π－ ， ∈ ， ｜ ｜＜ ，∴ ＝
４ ２ ４ ３ ２ ３
( ) ( )
四、解答题 ｆ π Ａ π π
∴ ＝ ｓｉｎ ２× ＋ ＝－ ３，
( ２ ２ ３
１７．（２０２１北京海淀二模，１７）已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ( )
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ＞ Ａ ｆ ｘ ｘ π
) ∴ ＝２，∴ （ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋ ，
３
ω φ π 的部分图象如图所示．
０， ＞０，｜ ｜＜ 当 π ｋ ｘ π π ｋ ｋ Ｚ
２ － ＋２ π≤２ ＋ ≤ ＋２ π， ∈ ，
直接写出ω的值 ２ ３ ２
（１） ；
再从条件 条件 中选择一个作为已知 求函数ｆ ｘ 在 即 ５π ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ时 ｆ ｘ 单调递增
（２） ①、 ② ， （ ） － ＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈ ， （ ） ，
[ ] １２ １２
区间 π π 上的最小值．
－ ， 当π ｋ ｘ π ３π ｋ ｋ Ｚ
１２ ４ ＋２ π≤２ ＋ ≤ ＋２ π， ∈ ，
２ ３ ２
条件 直线ｘ ７π为函数ｙ ｆ ｘ 的图象的一条对称轴
①： ＝ ＝ （ ） ； 即π ｋ ｘ ７π ｋ ｋ Ｚ时 ｆ ｘ 单调递减
( ) １２ ＋ π≤ ≤ ＋ π， ∈ ， （ ） ，
１２ １２
条件 π 为函数ｙ ｆ ｘ 的图象的一个对称中心． [ ] [ ]
②： ，０ ＝ （ ） ｆ ｘ 在 π π 上单调递增 在 π π 上单调递减
３ ∴ （ ） － ， ， ， ，
１２ １２ １２ ４
( ) [ ( ) ]
又ｆ π π π
－ ＝２ｓｉｎ ２× － ＋ ＝１，
１２ １２ ３
( ) ( )
ｆ π π π
＝２ｓｉｎ ２× ＋ ＝１，
４ ４ ３
[ ]
ｆ ｘ 在 π π 上的最小值为 ．
∴ （ ） － ， １
１２ ４
１８．（２０２１ 北京丰台一模，１６） 已知函数 ｆ ｘ ωｘ
（ ） ＝ ｓｉｎ ＋
ωｘ ω ．
３ｃｏｓ （ ＞０）
解析 ω ２π ２π ． ( )
（１） ＝ Ｔ ＝ ＝２ 当ω 时 求ｆ π 的值
π （１） ＝１ ， ；
２× ６
２
当函数ｆ ｘ 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π时
选条件 ｘ ７π是ｙ ｆ ｘ 图象的一条对称轴 结合图 （２） （ ） ，
（２） ①：∵ ＝ ＝ （ ） ， ２
１２
( ) ．
象可知 ７π φ ７π φ ３π ｋ ｋ Ｚ
ｓｉｎ ２× ＋ ＝－１，∴ ＋ ＝ ＋２ π， ∈ ， 从 中任选一个 补充到上面空格处并作答．
１２ ６ ２ ①②③ [ ， ]
φ π ｋ ｋ Ｚ 又 φ π φ π 求ｆ ｘ 在区间 π 上的最小值
∴ ＝ ＋２ π， ∈ ， ｜ ｜＜ ，∴ ＝ ， ① （ ） ０， ；
３ ２ ３ ２
( ) ( ) 求ｆ ｘ 的单调递增区间
ｆ π Ａ π π Ａ ② （ ） ；
∴ ＝ ｓｉｎ ２× ＋ ＝－ ３，∴ ＝２， 若ｆ ｘ 求ｘ的取值范围．
２ ２ ３ ③ （ ）≥０，
第四章 三角函数与解三角形 １ ９９
注：如果选择多个问题分别解答，按第一个解答计分．
得ｋ ５π ｘ ｋ π ｋ Ｚ ．
( ) π－ ≤ ≤ π＋ （ ∈ ）
解析 当ω 时 ｆ π π π １ １２ １２
（１） ＝１ ， ＝ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ ＝ ＋ ３× [ ]
６ ６ ６ ２ 所以ｆ ｘ 的单调递增区间为 ｋ ５π ｋ π ｋ Ｚ ．
（ ） π－ ， π＋ （ ∈ ）
３ ． １２ １２
＝２ 注 单调区间写成开区间亦可 ．
２ （ ： ）
( ) ２０．（２０２１九师联盟３月模拟，１８）已知向量ｍ ωｘ ｎ
ｆ ｘ ωｘ ωｘ ωｘ π ． ＝（１，ｃｏｓ ）， ＝
（２） （ ）＝ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ＋ ωｘ ω 函数ｆ ｘ ｍ ｎ 且ｆ ｘ 图象上一个最
３ （ｓｉｎ ， ３）（ ＞０）， （ ）＝ · ， （ ）
( )
因为函数ｆ （ ｘ ） 图象的两条相邻对称轴之间的距离是π ， 高点为 Ｐ π 与 Ｐ 最近的一个最低点的坐标
２ ，２ ，
１２
( )
所以Ｔ ２π ω 解得ω ．
＝π＝ ω （ ＞０）， ＝２ 为 ７π ．
｜ ｜ ，－２
( ) １２
所以ｆ ｘ ｘ π ． 求函数ｆ ｘ 的解析式
（ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋ （１） （ ） ；
３ [ ]
设ａ为常数 判断方程ｆ ｘ ａ在区间 π 上的解的
选 因为 ｘ π 所以π ｘ π ４π． （２） ， （ ）＝ ０，
①： ０≤ ≤ ， ≤２ ＋ ≤ ２
２ ３ ３ ３ 个数
；
当 ｘ π ４π 即ｘ π时 ( )
２ ＋ ＝ ， ＝ ， 在锐角 ＡＢＣ中 若 π Ｂ 求ｆ Ａ 的取值范围．
３ ３ ２ （３） △ ， ｃｏｓ － ＝１， （ ）
[ ] ３
ｆ ｘ 在区间 π 上有最小值 为 ． (
（ ） ０， ， － ３ 解析 ｆ ｘ ｍ ｎ ωｘ ωｘ １ ωｘ
２ （１） （ ）＝ · ＝ｓｉｎ ＋ ３ｃｏｓ ＝２ ｓｉｎ ＋
２
选 令 ｋ π ｘ π ｋ π ｋ Ｚ ) ( )
②： ２ π－ ≤２ ＋ ≤２ π＋ ， ∈ ，
２ ３ ２ ３ ωｘ ωｘ π ．
ｃｏｓ ＝２ｓｉｎ ＋
解得ｋ π－ ５π ≤ ｘ ≤ ｋ π＋ π ， ｋ ∈ Ｚ ， ２ ３ ( )
１２ １２ ｆ ｘ 图象上一个最高点为Ｐ π 与Ｐ最近的一个最低
[ ] ∵ （ ） ，２ ，
所以函数ｆ ｘ 的单调递增区间为 ｋ ５π ｋ π ｋ Ｚ． １２
（ ） π－ ， π＋ ， ∈ ( )
１２ １２ 点的坐标为 ７π ．
( ) ，－２
选 因为ｆ ｘ 所以 ｘ π １２
③： （ ）≥０， ｓｉｎ ２ ＋ ≥０， Ｔ
３ ７π π π Ｔ
∴ ＝ － ＝ ，∴ ＝π，
所以 ｋ ｘ π ｋ ｋ Ｚ ２ １２ １２ ２
２ π≤２ ＋ ≤２ π＋π， ∈ ， ( )
３ 于是ω ２π 所以ｆ ｘ ｘ π ．
＝ Ｔ ＝２， （ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋
解得ｋ π ｘ ｋ π ｋ Ｚ． ３
π－ ≤ ≤ π＋ ， ∈ [ ]
６ ３ ( （２） 当ｘ ∈ ０， π 时 ， π ≤２ ｘ ＋ π ≤ ４π ，
１９．（２０２１北京朝阳一模，１６）已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ Ａ ２ ３ ３ ３
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ＞ ( )
) 由ｆ ｘ ｘ π 的图象可知
（ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋ ：
ω φ π 由下列四个条件中的三个来确定 最小 ３
０， ＞０，０＜ ＜ ：① [ ]
２ ( ) 当ａ 时 ｆ ｘ ａ在区间 π 上有两解
∈［ ３，２） ， （ ）＝ ０， ；
正周期为 最大值为 ｆ π ｆ ． ２
π；② ２；③ － ＝０；④（０）＝－２ [ ]
６
写出能确定ｆ ｘ 的三个条件 并求ｆ ｘ 的解析式 当ａ ∈［－ ３， ３） 或ａ ＝２ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ａ在区间 ０， π 上有一解 ；
（１） （ ） ， （ ） ； ２
求ｆ ｘ 的单调递增区间． [ ]
（２） （ ） 当ａ 或ａ 时 ｆ ｘ ａ在区间 π 上无解．
解析 确定ｆ ｘ 的三个条件是 ． ＜－ ３ ＞２ ， （ ）＝ ０，
（１） （ ） ①②③ ２
当Ａ 且 φ π时 Ａ φ ． 在锐角 ＡＢＣ中 Ｂ π 则 π π Ｂ π．
＞０ ０＜ ＜ ， ｓｉｎ ＞０ （３） △ ，０＜ ＜ ， － ＜ － ＜
２ ２ ６ ３ ３
若函数ｆ ｘ 满足条件 则ｆ Ａ φ ． ( )
（ ） ④， （０）＝ ｓｉｎ ＝－２ π Ｂ π Ｂ 则Ｂ π．
与Ａ φ 矛盾 所以ｆ ｘ 不能满足条件 ． ∵ ｃｏｓ － ＝１，∴ － ＝０， ＝
ｓｉｎ ＞０ ， （ ） ④ ３ ３ ３
所以能确定ｆ ｘ 的三个条件是 ．
（ ） ①②③ 在锐角 ＡＢＣ中 Ａ π Ａ Ｂ π
△ ，０＜ ＜ ， ＋ ＞ ，
由条件 得２π 又ω 所以ω ． ２ ２
①， ω ＝π， ＞０， ＝２
｜ ｜ π Ａ π ２π Ａ π ４π
由条件 得 Ａ ． ∴ ＜ ＜ ， ＜２ ＋ ＜ ，
②， ｜ ｜＝２ ６ ２ ３ ３ ３
又Ａ 所以Ａ ． ( ) æ ö
＞０， ＝２
( ) ( ) Ａ π ç ３ ３÷
由条件 ③， 得ｆ － π ＝２ｓｉｎ － π ＋ φ ＝０ ． ∴ ｓｉｎ ２ ＋ ３ ( ∈è－ ２ ) ， ２ ø，
６ ３
ｆ Ａ Ａ π ．
所以 π φ ｋ ｋ Ｚ 解得φ π ｋ ｋ Ｚ． ∴ （ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋ ∈（－ ３， ３）
－ ＋ ＝ π， ∈ ， ＝ ＋ π， ∈ ３
３ ３ 即ｆ Ａ 的取值范围是 ．
( ) （ ） （－ ３， ３）
又 φ π 所以φ π．所以ｆ ｘ ｘ π ． ２１．（２０２１黑龙江哈尔滨第九中学三模，１７）设 ａ 为常数 函数
０＜ ＜ ， ＝ （ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋ ，
２ ３ ３ ｆ ｘ ａ ｘ ｘ ｘ Ｒ ．
（ ）＝ ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ（２π－２ ）＋１（ ∈ ）
令 ｋ π ｘ π ｋ π ｋ Ｚ
（２） ２ π－ ≤２ ＋ ≤２ π＋ （ ∈ ）， 设ａ 求函数ｙ ｆ ｘ 的单调递增区间
２ ３ ２ （１） ＝ ３， ＝ （ ） ；
２ ００ ５年高考３年模拟 Ｂ版（教师用书）
若函数ｙ ｆ ｘ 为偶函数 求此函数的值域．
（２） ＝ （ ） ， 所以φ ｋ ５π ｋ Ｚ
解析 （１） 当 ａ ＝ ３ 时 ， ｆ （ ｘ ）＝ ３ｓｉｎ ２ ｘ ＋ｃｏｓ ２ ｘ ＋１＝ ＝ π－ ６ （ ∈ ），
( )
因为 φ π 所以φ π
２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π ＋１， ｜ ｜＜ ２ ， ＝ ６ ，
６ ( )
由 ２ ｋ π－ π ≤２ ｘ ＋ π ≤２ ｋ π＋ π ， ｋ ∈ Ｚ ， 所以ｆ （ ｘ ）＝２ｓｉｎ ２ ｘ ＋ π ６ ．
２ ６ ２
选条件
得ｋ π ｘ ｋ π ｋ Ｚ 故此函数的单调递增区间为 ①③：
π－ ≤ ≤ π＋ ， ∈ ， 因为ｆ ｘ 的最小值为 所以Ａ ．
[ ３ ] ６ （ ） －２， ( ＝２ )
ｋ π ｋ π ｋ Ｚ． 因为函数ｆ ｘ 的图象过点 ５π
π－ ， π＋ ， ∈ （ ） ，－１ ，
３ ６ ( ) ( ６ ) ( )
函数ｆ ｘ 的定义域为Ｒ 因为函数ｙ ｆ ｘ 为偶函数 所
（２） （ ） ， ＝ （ ） ， 所以ｆ ５π 即 ５π φ ５π φ １ ．
以对于任意的ｘ ∈ Ｒ ， 均有ｆ （－ ｘ ）＝ ｆ （ ｘ ） 成立 ， ６ ＝－１， ２ｓｉｎ ３ ＋ ＝－１，ｓｉｎ ３ ＋ ＝－ ２
即ａ ｓｉｎ（－２ ｘ ）＋ｃｏｓ（２π＋２ ｘ ）＋１＝ ａ ｓｉｎ２ ｘ ＋ｃｏｓ（２π－２ ｘ ）＋１， 因为 ｜ φ ｜＜ π ， 所以 － π ＜ φ ＜ π ，
也即 ａ ｘ 对于任意实数 ｘ 均成立 只有 ａ 所以 ２ ２ ２
２ ｓｉｎ２ ＝０ ， ＝０，
ｆ ｘ ｘ 所以７π φ ５π １３π
（ ）＝ｃｏｓ２ ＋１， ＜ ＋ ＜ ，
因为 ｘ 所以 ｘ ６ ３ ６
－１≤ｃｏｓ２ ≤１， ０≤１＋ｃｏｓ２ ≤２，
所以 此函数的值域为 ． 所以φ ５π １１π 解得φ π．
， ［０，２］ ＋ ＝ ， ＝
２２．（２０２１ 北京西城一模，１７）已知函数 ｆ ｘ Ａ ωｘ φ ３ ６ ６
（ ）＝ ｓｉｎ（ ＋ ） ( )
( ) 所以ｆ ｘ ｘ π ．
Ａ ω φ π 且ｆ ｘ 图象的相邻两条对称轴之间的 （ ）＝２ｓｉｎ ２ ＋
＞０， ＞０，｜ ｜＜ ， （ ） ６
２ 选条件
②③：
距离为π．再从条件 条件 条件 中选择两个作为一组 ( )
①、 ②、 ③ 因为函数ｆ ｘ 的一个对称中心为 ５π
２ （ ） ，０ ，
已知条件． １２
确定ｆ ｘ 的解析式 所以 ５π φ ｋ ｋ Ｚ 所以φ ｋ ５π ｋ Ｚ ．
（１） （ ） ； ２× ＋ ＝ π（ ∈ ）， ＝ π－ （ ∈ ）
若ｆ ｘ 图象的对称轴只有一条落在区间 ａ 上 求 ａ １２ ６
（２） （ ） ［０， ］ ， ( )
的取值范围． 因为 φ π 所以φ π 所以ｆ ｘ Ａ ｘ π ．
｜ ｜＜ ， ＝ ， （ ）＝ ｓｉｎ ２ ＋
条件 ｆ ｘ 的最小值为 ２ ６ ( ) ６
①： （ ） －２；
( ) 因为函数ｆ ｘ 的图象过点 ５π
条件 ｆ ｘ 图象的一个对称中心为 ５π （ ） ，－１ ，
②： （ ） ，０ ； ( ) ( ６ )
１２
( ) 所以ｆ ５π 即Ａ ５π π 所以Ａ ．
条件 ｆ ｘ 的图象经过点 ５π ． ＝－１， ｓｉｎ ＋ ＝－１， ＝２
③： （ ） ，－１ ６ ( ) ３ ６
６
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分． 所以ｆ
（
ｘ
）＝２ｓｉｎ ２
ｘ
＋
π ．
６
解析 由于函数ｆ ｘ 图象的两条相邻对称轴之间的距 [ ]
（１） （ ） 因为ｘ ａ 所以 ｘ π π ａ π
（２） ∈［０， ］， ２ ＋ ∈ ，２ ＋ ，
离为π 所以ｆ ｘ 的最小正周期Ｔ π ω ２π ． ６ ６ ６
， （ ） ＝２× ＝π， ＝ Ｔ ＝２ 因为ｆ ｘ 图象的对称轴只有一条落在区间 ａ 上
２ ２
（ ） ［０， ］ ，
此时ｆ ｘ Ａ ｘ φ ．
（ ）＝ ｓｉｎ（２ ＋ ） 所以π ａ π ３π 解得π ａ ２π．
选条件 ≤２ ＋ ＜ ， ≤ ＜
①②： ２ ６ ２ ６ ３
因为ｆ ｘ 的最小值为 所以Ａ ． [ )
（ ） －２， ＝２ 所以ａ的取值范围为 π ２π ．
( ) ，
因为ｆ ｘ 图象的一个对称中心为 ５π ６ ３
（ ） ，０ ，
１２
所以 ５π φ ｋ ｋ Ｚ
２× ＋ ＝ π（ ∈ ），
１２
学生用书Ｐ７４
ｘ ｘ
１．（２０２１ ５·３原创题）已知函数ｆ ｘ ｘ １ 有关该函数 ｆ ｘ ｓｉｎ ｓｉｎ 将函数 ｆ ｘ 的图象向右平移 φ
（ ）＝ｃｏｓ ＋ ｘ， （ ）＝ ｘ ｘ ， （ ）
ｃｏｓ －ｓｉｎ ｃｏｓ
的说法错误的是 ( )
（ ） φ π 个单位长度后 得到函数ｇ ｘ 的图象 若函数ｇ ｘ
该函数存在最大值 函数ｆ ｘ 的一个周期为 ０＜ ＜ ， （ ） ， （ ）
Ａ． ２ Ｂ． （ ） ２π ２
该函数不存在最小值 该函数为偶函数 [ ]
Ｃ． Ｄ． 为偶函数 则函数ｇ ｘ 在 π 上的值域为
１． 答案 Ａ ， （ ） ０， （ ）
３
ａ ｃ é ù é ù
２．（２０２１ ５·３原创题）已知二阶行列式 ａｄ ｂｃ．若函数 êê ２ ２úú êê１－ ２ ２＋ ２úú
ｂ ｄ ＝ － Ａ．ë－ ， û Ｂ．ë ， û
２ ４ ２ ４
第四章 三角函数与解三角形 ２ ０１
é ù é ù 函数ｆ ｘ 图象的相邻两条对称轴之间的距离为
êê２－ ２ １＋ ２úú êê ２－１ ２＋ ２úú ③ （ ） π；
Ｃ．ë ， û Ｄ．ë ， û 函数ｆ ｘ 的最大值为 ．
４ ２ ２ ４ ④ （ ） ２
２． 答案 Ｂ 请从上面四个条件中选择两个或三个求出一个函数ｆ ｘ
（１） （ ）
解析式 并说明理由
３．（２０２１ ５·３原创题）将函数ｆ ｘ ｘ的图象向右平移π个 ， ；
（ ）＝ｓｉｎ 若你在 中求出的函数ｆ ｘ 图象的对称轴只有一条落
３ （２） （１） （ ）
单位长度 再将图象上每一点的横坐标伸长为原来的 倍 纵 在区间 ｍ 上 求ｍ的取值范围．
， ２ ， ［０， ］ ，
坐标不变得到ｇ ｘ 的图象 当ｘ 时 ｇ ｘ ｍ有三个 ( )
（ ） ， ∈［０，５π］ ， （ ）＝ ６． 解析 根据条件 ｙ ｘ ｘ ｘ π 可知
实数根ｘ ｘ ｘ 且ｘ ｘ ｘ 则 ｘ ｘ ｘ 的取值范围为 （１） ① ＝ｓｉｎ ２ ＋ｃｏｓ２ ＝ ２ｃｏｓ ２ － ，
１， ２， ３， １＜ ２＜ ３， （ １＋ ２）ｓｉｎ ３ ４
Ａ ω 那么条件 与条件 和 互相矛盾 所以就产生两种
（ ） ＝ ２， ＝２， ① ③ ④ ，
( ) [ ] 情况
１０π ５π １０π ：
Ａ． ( － ３ ， ３ ) Ｂ． ( ０， ３ ] 第一种 ： 选择条件 ①、② ．由条件 ① 可知Ａ ＝ ２， ω ＝２， 于是函数
１０π １０π １０π １０π ｆ ｘ ｘ φ 将点 代入 结合φ 可得φ
Ｃ． － ， Ｄ． － ， （ ）＝ ２ｃｏｓ（２ ＋ ）， （０，１） ， ∈（０，π） ＝
３ ３ ３ ３ ( )
３． 答案 Ｂ π 所以函数ｆ ｘ ｘ π ．
， （ ）＝ ２ｃｏｓ ２ ＋
４ ４
４．（２０２１５·３原创题）已知函数ｆ （ ｘ ）＝－ｃｏｓ２ ｘ － ３ｓｉｎ２ ｘ ， 将ｆ （ ｘ ） 第二种 ： 选择条件 ②③ 和 ④ ．由条件 ③ 和 ④ 可知Ａ ＝２， ω ＝１， 于
的图象上所有点沿 ｘ 轴平移 θ （ θ ＞０） 个单位长度 ， 得到函数 是函数ｆ （ ｘ ）＝２ｃｏｓ（ ｘ ＋ φ ）， 将点 （０，１） 代入 ， 结合φ ∈（０，π） 可
ｇ ｘ 的图象 且函数ｇ ｘ 为偶函数 当θ最小时 函数ｈ ｘ ( )
（ ） ， （ ） ， ， （ ）＝ 得φ π 所以函数ｆ ｘ ｘ π ．
ｘ θ 的图象的对称中心的坐标为 ． ＝ ， （ ）＝２ｃｏｓ ＋
２ｃｏｓ（π － ） ３ ３
( ) ( )
４． 答案 ｋ ２ ｋ Ｚ 由第一种情况得ｆ ｘ ｘ π 可知图象的对称
＋ ，０ ， ∈ （２） （ ）＝ ２ｃｏｓ ２ ＋ ，
３ ４
( )
ｋ
５．（２０２１ ５·３原创题）已知函数ｆ ｘ ωｘ π 其中ω 轴方程为ｘ π π ｋ Ｚ 当ｋ 时 ｘ ３π 当ｋ 时 ｘ
（ ）＝ｓｉｎ ＋ ＋２（ ＞ ＝ － （ ∈ ）， ＝１ ， ＝ ； ＝２ ， ＝
６ ２ ８ ８
的最小正周期为 则 ω 若ｆ ｘ １ ７π ３π ｍ ７π．
０） π， ＝ ； （ １）＋ｆ ｘ ＝ ４， ，∴ ≤ ＜
（２ ２） ８ ８ ８
则 ｘ ｘ 的最小值是 ． ( )
｜ １－ ２｜ 由第二种情况得ｆ ｘ ｘ π 可知图象的对称轴方程
（ ）＝ ２ｃｏｓ ＋ ，
５． 答案 π ３
２；
６ 为ｘ ｋ π ｋ Ｚ 当ｋ 时 ｘ ２π 当ｋ 时 ｘ ５π
６．（２０２１５·３原创题）已知函数ｆ ｘ Ａ ωｘ φ φ ＝ π－ （ ∈ ）， ＝１ ， ＝ ； ＝２ ， ＝ ，∴
（ ）＝ ｃｏｓ（ ＋ ）（ ∈（０，π）， ３ ３ ３
Ａ ω 同时满足下列四个条件中的两个或三个
＞０， ＞０）， ： ２π ｍ ５π．
函数ｆ ｘ 的图象可以由ｙ ｘ ｘ的图象平移得到 ≤ ＜
① （ ） ＝ｓｉｎ２ ＋ｃｏｓ２ ； ３ ３
函数ｆ ｘ 的图象过点
② （ ） （０，１）；
