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第四章 三角函数与解三角形（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 所以 或
所以 或者
故“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，则△ABC一定是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
【答案】A
【解析】由 ，利用正弦定理， ，
即 ,因 ,则 或 （不合题意舍去），
故△ABC一定是等腰三角形.
故选：A.
3．如图， 是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则 （ ）A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】
由图可得： ，
则
故选：D.
4．如图，曲线段 是一段半径为 的圆弧，若圆弧的长度为 ，则A，B两点间的距离为（ ）
A．R B． R C． R D．2R
【答案】C
【解析】设 所对的圆心角为 .
则由题意，得 .所以 ，
所以 ，故选:C.
5．冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际
化风格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象､新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都
有固定的角度，比如在弯折位置通常采用 等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角
度是否符合书法中的美学要求.该同学取端点绘制了 ，如图，测得 ，若
点 恰好在边 上，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，在 中，由余弦定理， ；
因为 ，所以 ，
在 中，由正弦定理 ，
所以 ，解得 ，
故选：C
6．在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ，则
（ ）
A． B． C．－2 D．2
【答案】A
【解析】由题意可知： ，
所以 .
故选：A.
7．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐
运动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数 （ ， ， ）来表示，其部分图象如图所示，则下列结论正确的编号是（ ）
①函数 的图象关于点 成中心对称；
②函数 的解析式可以为 ；
③函数 在 上的值域为 ；
④若把 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位，则所得函数
是
A．①③ B．②③ C．③④ D．①④
【答案】B
【解析】由图可知 ，所以 ，
且 ，所以 ，
又因为 ，所以只能 ，
所以 ，
对于①， ，故①错误；
对于②， ，故②正确；
对于③，当 时， ，此时 的取值范围是 ，
从而函数 在 上的值域为 ，故③正确；
对于④，若把 图象上所有点的横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变，再向右平移 个单位，则所得函数是 ，故④错误；
综上，正确的编号是②③.
故选：B.
8．在 中， ， 是 的中点， ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为 ， ，在 中，
由正弦定理可得 ，
则 ，
且 是 的中点，则 ，
又 ，则 ，
则
，
又 ，则 ，所以 ，则 ，
即 的取值范围为 .
故选：C
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列选项中，值为 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】选项A： ，故选项A不符合题意；
选项B： ，故选项B符合题意；
选项C： ，故选项C符合题意；
选项D： ，故选项C符合题意.
故选：BCD.
10．已知函数 的图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．函数 的一个对称中心是
B．
C．将函数 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，再向右平移 个单位长度，可得到函数 的图象
D．函数 在 上有5个零点，则 的取值范围为
【答案】ABC
【解析】由题图可知， ，所以 ，所以 ，
由 ，得 ，
由 ，解得 ，所以 .
对于A，令 ，则 ，故A正确；
对于B， ， ，故B正确；
对于C，函数 变换后的解析式为 ，因为
，即为函数 ，故C正确；
对于D，因为 ，得 ，令 ，则 ，由正弦函数图象可知，
，解得 ，故D错误.
故选：ABC.
11．如图， 的角 所对的边分别为 ， ，且 ，若点
在 外， ，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．C．四边形 面积的最大值为
D．四边形 面积的最大值为
【答案】ABC
【解析】因为 ，由正弦定理得 ，
即 ，
因为 ，可得 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，所以 ，所以 为等边三角形，
可得 ， ，所以A、B正确；
设 ，
在 中，由余弦定理得 ，
且 ，
可得 ，
所以四边形的面积为 ，
当 时，四边形 的面积最大，最大值为 ，所以C正确，D错误.
故选：ABC.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．
【答案】
【解析】因为
所以 ，所以
故答案为： .
13．在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ，则角B= .
【答案】 /
【解析】因为 ，由正弦定理 ，
即 ，
又因为 ，
可得 ，、
所以 ，
因为 ，可得 ，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故答案为： .
14．已知函数 在区间 上的值域均为 ，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当 时， ，当 时， .
因为函数 在区间 上的值域均为 ，
而 ， ，所以 .
又因为 ， ,
所以 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）如图，在平面坐标系 中，第二象限角 的终边与单位圆交于点 ，且点 的纵坐标为 ．
(1)求 的值；
(2)求 的值．
【解析】（1）由题知 ，
因为 ，所以 ．
又 为第二象限角，所以 ，
可得 ． （8分）
（2） . （13分）
16．（15分）
在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
(1)若 ，求角 的大小；
(2)若 ，求 边上的高.
【解析】（1）由正弦定理， ，即 ，
因 ，故 ,即 是锐角，故 ； （7分）
（2）如图，由余弦定理， ， （9分）
知角 是锐角，则 ，
作 于点 ，在 中， ,
即 边上的高是 . （15分）
17．（15分）
在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 .
(1)若 ，求 的值和 的面积；
(2)在（1）的条件下，求 的值；
(3)若 ，求 的值.
【解析】（1）在 中，由余弦定理得 ，即 ，
化简得 ，解得 或 (舍)， ，
，
的面积 . （5分）
（2） ，
，
. （10分）
（3）在 中，由正弦定理得 ，
，化简得 ，
由余弦定理得 ，
，解得 （负值舍去），所以 . （15分）
18．（17分）
在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 .
(1)求角B的大小；
(2)若 ，且 为锐角三角形，求 的周长的取值范围；
(3)若 ，且 外接圆的半径为2，圆心为O，P为圆O上的一动点，试求 的取值范围．
【解析】（1）依题意 ，
所以由余弦定理有 ，
整理得 ，故 ，
因为 ，所以 . （5分）
（2）因为 ， ，
所以由正弦定理 ，即 ，
得 ，
所以 ，
又 为锐角三角形，所以有 ， （9分）
则 ，又由 ，
所以 ，所以 ，
故 的周长的取值范围为 . （11分）
（3）由正弦定理知 ，得 ，则 ，又由 ，则 ，
则 为等边三角形，取AB的中点M，如图所示，
则
，
由 ，则 ，
则 . （17分）
19．（17分）
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一
点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 的三个内
角均小于 时，使得 的点 即为费马点；当 有一个内角大于或等于
时，最大内角的顶点为费马点.在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .
(1)若 .
①求 ；
②若 的面积为 ，设点 为 的费马点，求 的取值范围；
(2)若 内一点 满足 ，且 平分 ，试问是否存在常实数 ，使
得 ，若存在，求出常数 ；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）①因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，因为 ，所以 ； （5分）
②因为 ，所以 的内角均小于 ，
所以点 在 的内部，且 ，
由 ，得 ，
设 ， ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，即
在 中，由正弦定理得 ，即 ， （8分）
所以
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 的取值范围为 ； （10分）
（2）因为 ，
即 ，
所以 ，
在 ， ， 中，
分别由余弦定理得： ，， ，
三式相加整理得 ， （12分）
，
将 代入得：
，
因为 平分 ，所以 ， ，
所以 ，③
又由余弦定理可得： ，④ （15分）
由③ ④得： ，
所以 ，即 ，
所以常数 ，使得 . （17分）
