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8.3实际问题与二元一次方程组
考点一、利用二元一次方程组解实际应用 问题的一般过程：
审题并找出数量关系式 —> 设元（设未知数） —> 根据数量关系式列出方程
组 —> 解方程组 —> 检验并作答（注意：此步骤不要忘记）
考点二、列方程组解应用题的常见题型：
（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量 - 较小量 =
相差量 ，总量 = 倍数 × 倍量；
（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比例；
（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程 = 速度 × 时间，包括
相遇问题、追及问题等；
（4）、航速问题：①、顺流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 + 水
（风）速；
②、逆流（风）：航速 = 静水（无风）时的速度 – 水
（风）速；
（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量 = 工作效率×工作
时间，（有时需把工作总量看作1）；
（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量×（1+增长率）= 增
长后的量，原量×（1-减少率）= 减少后的量；
（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两个角度
来把握事物的总量；
（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关
概念、特征及其表示；
（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周长、面
积等计算公式；
（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。题型一：方案问题
1．（2022秋·陕西西安·八年级西安市铁一中学校考期中）国家“双减”政策实施后，某校
开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的
同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副
20元，共有多少种购买方案？（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【分析】设设购买毛笔x支，围棋y副，根据总价=单价×数量，即可得出关于x，y的二元
一次方程，结合x，y均为正整数即可得出购买方案的数量．
【详解】解：设购买毛笔x支，围棋y副，根据题意得，
15x+20y=360，即3x+4y=72，
∴y=18- x．
又∵x，y均为正整数，
∴ 或 或 或 或 ，
∴班长有5种购买方案．
故选：A．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系“共花费360元”，列出二元一
次方程是解题的关键．
2．（2023秋·甘肃白银·八年级统考期末）请根据图中提供的信息，回答下列问题．
(1)KN95型口罩与普通医用口罩的单价分别是多少元？
(2)甲、乙两家药店同时出售同样的KN95型口罩与普通医用口罩．5月，两家药店开展促
销活动．甲药店规定：这两种口罩都打九折．乙药店规定：买一个KN95型口罩赠送一个
普通医用口罩．若某家庭想要买20个KN95型口罩和50个普通医用口罩，请问选择哪家药店购买更合算，并说明理由．
【答案】(1)KN95口罩每个6元；普通医用口罩每个1.5元；
(2)乙店合算．
【分析】（1）设KN95型口罩的单价是x元，普通医用口罩的单价是y元，利用总价=单价
×数量，结合图中的数据，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）选择甲药店购买更合算，利用总价=单价×数量，结合两家药店给出的优惠方案，即
可求出选择各药店所需费用，比较后即可得出结论．
【详解】（1）解：设KN95型口罩的单价为x元，普通医用口罩的单价为y元，
根据题意，得 ，
解得 ，
答：KN95型口罩的单价为6元，普通医用口罩的单价为1.5元；
（2）解：到乙药店购买更合算，
理由：到甲药店购买需 （元），到乙药店购买需
（元），
因为 ，
所以到乙药店购买更合算．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算的应用，找准等量关系，
正确列出二元一次方程组是解题的关键．
题型二：行程问题
3．（2023秋·陕西宝鸡·八年级统考期末） 、 两地相距 千米，一列慢车从 地开出，
一列快车从 地开出．如果两车同时开出相向而行，那么 小时后相遇；如果两车同时开
出同向（沿 方向）而行，那么快车 小时可追上慢车，求快车与慢车的速度各是多少？
【答案】快车和慢车的速度分别为 千米/时和 千米/时
【分析】设快车和慢车的速度分别为 千米/时和 千米/时，根据题意列出二元一次方程组，
解方程即可求解．
【详解】设快车和慢车的速度分别为 千米/时和 千米/时．
根据题意，得 ，
解得
答：快车和慢车的速度分别为100千米/时和60千米/时．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．4．（2022秋·陕西渭南·八年级统考期末）为了参加国际铁人三项（游泳、自行车、长跑）
系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目进行了专项训练．在某次训练中，李明
骑自行车的平均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长
跑路段共长5千米，共用时15分钟，求自行车路段和长跑路段的长度．
【答案】自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度为2千米
【分析】设自行车路段的长度为 米，长跑路段的长度为 米，根据“李明骑自行车的平
均速度为每分钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长跑路段共长5
千米，共用时15分钟，”列出方程组，即可求解．
【详解】解：设自行车路段的长度为 米，长跑路段的长度为 米，根据题意得：
，解得： ．
答：自行车路段的长度为3千米，长跑路段的长度为2千米．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的
关键．
题型三：工程问题
5．（2023秋·广东深圳·八年级深圳中学校考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙
两个装饰公司合作，需6周完成，共需装修费为5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的
由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选
一个公司单独完成．
(1)设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，则可列出方程为
．
(2)如果从节约时间的角度考虑应选哪家公司？
(3)如果从节的开支的角度考虑呢？请说明理由．
【答案】(1)
(2)时间上考虑选择甲公司
(3)从节约开支上考虑选择乙公司
【分析】（1）设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为
n，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间列出方程即可求解．
（2）列出方程组求出甲乙单独做所用的时间即可；
（3）列出方程组求出各自单独做的周费用，再乘以他们所需时间即可．
【详解】（1）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效
率为n，则 ，故答案为： ．
（2）解：设工作总量为1，设甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，
根据题意得，
解得：
∵
∴甲公司的效率高，所以从时间上考虑选择甲公司．
（3）解：设甲公司每周费用为 万元，乙公司每周费用为 万元，根据题意得：
解得：
∴公司共需 万元，乙公司共需 万元，4万元＜6万元，
∴从节约开支上考虑选择乙公司．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
6．（2023秋·山西运城·八年级统考期末）目前，近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽
车工业发展的主流趋势，某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装288
辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人．
他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装． 生产开始后，调研部门发现：2名
熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新工人每月可安装16辆
电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂抽调n（0＜n＜5）名熟练工，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？
【答案】(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装4辆，2辆电动汽车
(2)4种，方案①招聘10名新工人，抽调1名熟练工；方案②招聘8名新工人，抽调2名熟
练工；方案③：招聘6名新工人，抽调3名熟练工；方案④招聘4名新工人，抽调4名熟
练工【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电
动汽车，根据“2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2名新
工人每月可安装16辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出
结论；
（2）设招聘y名新工人，根据招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，
即可得出关于y，n的二元一次方程，结合 且n，y均为正整数，即可得出各招聘方
案；
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y
辆电动汽车， 依题意得： ，
解得： ．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车．
（2）设招聘y名新工人，
依题意得： ，
∴ ．
∵ ，且n，y均为正整数，
∴ 或 或 或 ，
∴工厂有4种新工人的招聘方案， 方案1：招聘10名新员工，抽调1名熟练工；
方案2：招聘8名新员工，抽调2名熟练工；
方案3：招聘6名新员工，抽调3名熟练工；
方案4：招聘4名新员工，抽调4名熟练工．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的整数解，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次
方程；
题型四：数字问题
7．（2022秋·江西抚州·八年级统考期末）我们知道：如果 ，其中m，n为有理数，
x为无理数，那么 且 ．
(1)如果 ，其中a，b为有理数，那么 _______， ________．
(2)若x，y均为有理数，并且满足 ，求 的值．【答案】(1)3；
(2)13或3
【分析】（1）直接根据题意作答即可；
（2）先将 转化为 ，再根据题意列出方
程组求出x、y的值，最后代入 计算即可．
【详解】（1）如果 ，其中a，b为有理数， 为无理数，那么
且 ，
解得 ， ，
故答案为3； ；
（2）
都是有理数，
即
解得 或
或
即 的值为13或3．
【点睛】本题考查了根据新定义列方程组求解的问题，正确理解题干含义是解题的关键．
8．（2022春·重庆开州·八年级统考期末）若一个四位正整数 满足： ，我
们就称该数是“和同数”．比如：对于四位数5263，∵ ，∴ 是“和同数”，
对于四位数1276，∵ ，∴1276不是“和同数”．
(1)直接写出最小的“和同数”和最大的“和同数”；
(2)若m是一个“和同数”，满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，且千位上的数字与
十位上的数字之和能被7整除，请求出所有满足条件的m的值．
【答案】(1)最小的“和同数”是1010，最大的“和同数”是9999
(2)满足条件的m的值有2356，3142，5498，6284，7070
【分析】（1）由和同数的定义可得最小时，千位一定是1，百位是0，再根据
可得答案；同理最大时千位一定是9，百位也是9，从而可得答案；
（2）设和同数 ，则 ，根据题意可得 ，则 ，由m的千位上的数字与十位上的数字之和能被7整除，可得 （k为正整数），可得 或
2，再分类讨论，利用方程的正整数解可得答案．
(1)
解：∵和同数 最小时，千位一定是1，百位是0，而 ，
∴最小的“和同数”是1010，
同理： 最大时千位一定是9，百位也是9，
∴最大的“和同数”是9999
(2)
设和同数 ，则 ，
∵m满足个位上的数字是百位上的数字的两倍，
∴ ，
∴ ，即 ，
又∵m的千位上的数字与十位上的数字之和能被7整除，
∴ （k为正整数），
又∵ ， ，
∴ 或2，
当 时，则：① ， ， ， ，不合题意，舍去；
② ， ， ， ，和同数是2356；
③ ， ， ， ，和同数是3142；
当 时，则：① ， ， ， ，和同数是5498；
② ， ， ， ，和同数是6284；
③ ， ， ， ，和同数是7070；
综上所述，满足条件的m的值有2356，3142，5498，6284，7070．
【点睛】本题考查的是新定义运算的理解，数的整除的含义，二元一次方程的整数解问题，
分类讨论思想的运用，理解题意，得到 且 或2是解本题的关键．
题型五：分配问题
9．（2022秋·全国·八年级专题练习）某汽车制造厂开发一款新式电动汽车，计划一年生产
安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些
新工人．他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发
现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安
装14辆电动汽车．
(1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
(2)如果工厂招聘 名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一
年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？【答案】(1)每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
(2)①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工
人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
【分析】（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电动汽
车，根据安装8辆电动汽车和安装14辆电动汽车两个等量关系列出方程组，然后求解即可；
（2）设调熟练工m人，根据一年的安装任务列出方程整理用m表示出n，然后根据人数m
是整数讨论求解即可．
【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，新工人每月分别安装y辆电
动汽车，
根据题意得 ，
解之得 ．
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，新工人每月分别安装2辆电动汽车；
（2）设调熟练工m人，
由题意得， ，
整理得， ，
∵ ，
∴当 ，2，3，4时， ，6，4，2，
即：①调熟练工1人，新工人8人；②调熟练工2人，新工人6人；③调熟练工3人，新工
人4人；④调熟练工4人，新工人2人．
【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，解二元一次方程组，（1）理清题目数量关系列
出方程组是解题的关键，（2）用一个未知数表示出另一个未知数，是解题的关键，难点在
于考虑人数是整数．
10．（2022秋·广东深圳·八年级校联考期中）一方有难，八方支援．郑州暴雨牵动数万人
的心，众多企业也伸出援助之手．某公司购买了一批救灾物资并安排两种货车运往郑州．
调查得知，2辆小货车与3辆大货车一次可以满载运输1800件；3辆小货车与4辆大货车
一次可以满载运输2500件．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别满载运输多少件物资？
(2)现有3100件物资需要再次运往郑州，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，
问有哪几种租车方案?
(3)在（2）的条件下，若1辆小货车需租金400元/次，1辆大货车需租金500元/次．请选
出费用最少的租车方案，并求出最少的租车费用．
【答案】(1)1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；方案3：租用1辆小货车，7辆大货车
(3)租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元
【分析】（1）设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物资，
然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意可得300a+400b=3100，再用b表示出a，然后根据a、b均为整数进行列举
即可解答；
（3）将小货车和大货车每次的租金代入300a+400b里计算，然后比较即可．
【详解】（1）解：设1辆小货车一次满载运输x件物资，1辆大货车一次满载运输y件物
资，
依题意得： 解得：
答：1辆小货车一次满载运输300件物资，1辆大货车一次满载运输400件物资．
（2）接：设租用小货车a辆，大货车b辆，
依题意得：300a+400b=3100，
∴ ．
又∵a，b均为非负整数，
∴ 或 或 ，
∴共有3种租车方案，
方案1：租用9辆小货车，1辆大货车；
方案2：租用5辆小货车，4辆大货车；
方案3：租用1辆小货车，7辆大货车．
（3）解：方案1所需租车费为400×9+500×1=4100（元）；
方案2所需租车费为400×5+500×4=4000（元）；
方案3所需租车费为400×1+500×7=3900（元）．
∴费用最少的租车方案为：租用1辆小货车，7辆大货车，最少租车费为3900元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用以及代数式求值等
知识点，认真审题、明确题意、弄清量与量之间的关系是解答本题的关键．
题型六：销售、利润问题
11．（2023春·陕西咸阳·八年级统考期末）为倡导环保，自带水杯已成为一种好习惯，某
超市销售甲、乙两种型号的水杯，进价和售价均保持不变，其中甲种型号的水杯进价为25
元/个，乙种型号的水杯进价为45元/个，下表是两个月两种型号水杯销售情况：销售数量（个）
销售收入（元）
时间
（销售收入=售价×销售数量）
甲种型号 乙种型号
第一月 22 8
第二月 38 24
求甲、乙两种型号水杯的售价．
【答案】甲种型号水杯的销售单价为30元，乙种型号水杯的单价为55元
【分析】设甲种型号水杯的销售单价为x元，乙种型号水杯的销售单价为y元，根据题意
列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲种型号水杯的销售单价为x元，乙种型号水杯的销售单价为y元
由题可知：
解方程组得
答：甲种型号水杯的销售单价为30元，乙种型号水杯的单价为55元．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意列出方程是解题关键．
12．（2023秋·福建宁德·八年级统考期末）某超市代理销售 两种鲜牛奶，这两种鲜奶
的成本价和销售价如表格所示，它们的保质期为一天，当天未售出的鲜奶必须全部销毁．
该超市某天用1320元购进 两种鲜奶共200瓶，卖出180瓶，当天共获得570元的利润．
价
格 成本价（元/瓶） 销售价（元/瓶）
类别
种鲜奶 5 8
种鲜奶 9 14
(1)求该超市这一天购进 种鲜奶各多少瓶；
(2)小明列出方程 来解决另一个问题，你认为小明要解决的问题可
能是什么？小明所列的方程组解决这个问题能得出正确的答案吗？若可以，请求结果；若
不可以，请列出正确的方程或方程组，不必求解．
【答案】(1)该超市这一天购进 种鲜奶 瓶，购买 种鲜奶 瓶．
(2)要解决的问题是A种鲜奶与B种鲜奶各销售了多少瓶？小明所列的方程组不能解决这个问题，其中利润的计算是错误的，正确的方程组是： ．
【分析】（1）设该超市这一天购进 种鲜奶 瓶，购买 种鲜奶 瓶，根据两种鲜
奶的进价之和为1320元，列方程，再解方程即可；
（2）由方程组体现的含义可得小明所列的方程组要解决的问题，由于计算利润的方法错误
可得小明所列的方程组不能解决这个问题，再确定正确的相等关系可得方程组，从而可得
答案．
【详解】（1）解：设该超市这一天购进 种鲜奶 瓶，购买 种鲜奶 瓶，则
，
解得： ，则 ，
答：该超市这一天购进 种鲜奶 瓶，购买 种鲜奶 瓶．
（2）小明列出方程 要解决的问题是A种鲜奶与B种鲜奶各销售了
多少瓶？
小明所列的方程组不能解决这个问题，其中利润的计算是错误的，
设 种鲜奶卖出 瓶，卖出 种鲜奶 瓶，则正确的方程组是：
．
【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，理解题意，确定相
等关系是解本题的关键．
题型七：和差倍分问题
13．（2023秋·江西九江·八年级统考期末）2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”
深受国内外人们的喜爱，在奥运期间非常畅销．某官方旗舰店销售的“冰墩墩”和“雪容
融”陶制品分为大套装和小套装．已知购买3个小套装和购买2个大套装的价格一样，5个
小套装和3个大套装共570元．求两种套装的单价分别是多少元？
【答案】大套装单价为 元，小套装单价为 元
【分析】设大套装单价为x元，小套装单价为y元，即可得到关于x，y的二元一次方程组，
解之即可得出结论．
【详解】解：设大套装单价为x元，小套装单价为y元，则
，
解得：
答：大套装单价为 元，小套装单价为 元，【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找准等量关系列出二元一次方程
组．
14．（2023秋·河南驻马店·八年级校联考期末）入冬后的寒潮横扫我国大部分城市，某单
位为给员工准备新年礼物，计划购进A、B两款暖手宝共600个，已知购进1个A款暖手宝
与2个B款暖手宝共需85元，购进2个A款暖手宝与1个B款暖手宝共需80元．求每个A
款暖手宝和每个B款暖手宝的价格．
【答案】每个A款暖手宝的价格为25元，每个B款暖手宝的价格为30元
【分析】设每个A款暖手宝的价格为x元，每个B款暖手宝的价格为y元，根据“购进1
个A款暖手宝与2个B款暖手宝共需85元，购进2个A款暖手宝与1个B款暖手宝共需80
元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】解：设每个A款暖手宝的价格为x元，每个B款暖手宝的价格为y元，
依题意得： ，
解得： ，
答：每个A款暖手宝的价格为25元，每个B款暖手宝的价格为30元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
题型八：几何问题
15．（2023秋·四川眉山·八年级统考期末）已知一个长方形草坪，若它的长增加 米，宽
减少 米，则面积保持不变；若它的长减少 米，宽增加 米，则面积仍保持不变．
(1)求：长方形草坪的长和宽；
(2)如图，在长方形草坪内部修两条互相垂直，宽为1米的小路，求原长方形草坪剩余部分
的面积．
【答案】(1)长方形草坪的长为 米，宽为 米
(2)原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米
【分析】（1）设长方形草坪的长和宽分别为 米，根据题意列出方程组，转化为二元一
次方程组，解方程组即可求解；
（2）根据长方形的长减少1，宽减少1，列出算式，进行计算即可求解．
【详解】（1）解：设长方形草坪的长和宽分别为 米，根据题意，得即
解得：
答：长方形草坪的长为 米，宽为 米
（2）解：依题意， 平方米，
答：原长方形草坪剩余部分的面积为14平方米．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键．
16．（2022秋·八年级课时练习）如图，某校劳动小组计划利用已有的一堵长为6m的墙，
用篱笆围成一个面积为 的矩形劳动基地ABCD，边AD的长不超过墙的长度，在BC边
上开设宽为1m的门EF（门不需要消耗篱笆）．设AB的长为x（m），BC的长为y
（m）．
(1)若围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长为10m，求AB和BC的长度．
(2)若AB和BC的长都是整数（单位：m），且围成矩形劳动基地ABCD三边的篱笆总长小
于10m，请直接写出所有满足条件的围建方案．
【答案】(1)AB＝4，BC＝3
(2)AB＝2，BC＝6或AB＝3，BC＝4
【分析】（1）根据；篱笆总长和门的长表示出AB、BC，列出方程即可．
（2）根据围成矩形三边的篱笆总长小于10列出不等式，再由x和y为整数且xy=12确定出
满足题意的方案．
【详解】（1）根据题意得： ，即 ．
代入 得： ，整理得： ．
解得： 或 ．
当 时， ，不符合题意；当 时， ，符合题意．则AB=4,BC=3．
（2）根据题意得： ，即 ．
∵AB，BC为整数，即x，y为整数，且 ．
∴当y=6时，x=2；当y=4时，x=3．
则满足条件的围建方案为：AB=2,BC=6或AB=3,BC=4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意是解题的关键．
题型九：表格或者图示信息题
17．（2021秋·陕西榆林·八年级统考期末）某山区有23名中、小学生因贫困失学需要资助，
已知资助一名中学生的学习费用为 元，资助一名小学生的学习费用为 元．某校学生积
极捐助，初中各年级学生捐款数额与用其恰好资助贫困中学生和小学生人数的部分情况如
下表：
捐款数额 资助贫困中学生人数 资助贫困小学生人数
年级
（元） （名） （名）
初一年
4000 2 4
级
初二年
4200 3 3
级
初三年
7400
级
(1)求 、 的值；
(2)初三年级学生的捐款恰好解决了其余贫困中小学生的学习费用，求初三年级学生的捐款
可资助的贫困中、小学生人数分别为多少．
【答案】(1) 的值为800， 的值为600
(2)初三年级学生的捐款可资助贫困中学生4人，小学生7人
【分析】（1）根据题意可知，本题中的相等关系是捐款额，列方程组求解即可；
（2）利用九年级的捐款额7400列方程求人数．
【详解】（1）（1）依题意，得 ，
解得： ．
答： 的值为800， 的值为600．
（2）设初三年级学生的捐款可资助贫困中学生x人，小学生y人，依题意得 ，
解得 ．
答：初三年级学生的捐款可资助贫困中学生4人，小学生7人
【点睛】本题考查二元一次方程（组）的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目
给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
18．（2022秋·广东佛山·八年级统考期中）一方有难，八方支援．“新冠肺炎”疫情来袭，
除了医务人员主动请缨走向抗疫前线，众多企业也伸出援助之手，某公司用甲、乙两种货
车向武汉运送爱心物资，两次满载的运输情况如表：
甲种货车（辆） 乙种货车（辆） 物资总量（吨）
第一次 2 1 10
第二次 1 2 11
(1)甲、乙两种货车每辆分别能装货多少吨？
(2)现有31吨物资需要再次运往武汉，准备同时租用这两种货车，每辆均全部装满货物，
问有哪几种租车方案？
【答案】(1)甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；
(2)共有3种租车方案，方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；方案2：租用5辆甲种
货车，4辆乙种货车；方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．
【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据题意，可以列出相应的二元一次方程，然后根据辆数为整数，即可写出相应的租
车方案；
【详解】（1）设甲种货车每辆能装货 吨，乙种货车每辆能装货 吨，
依题意得： ，
解得： ，
答：甲种货车每辆能装货3吨，乙种货车每辆能装货4吨；
（2）设租用甲种货车 辆，乙种货车 辆，
依题意得： ，
又 ， 均为非负整数，
或 或 ，共有3种租车方案，
方案1：租用9辆甲种货车，1辆乙种货车；
方案2：租用5辆甲种货车，4辆乙种货车；
方案3：租用1辆甲种货车，7辆乙种货车．
【点睛】本题考查二元一次方程（组 的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关
系，列出相应的方程组或方程．
题型十：古代问题
19．（2023秋·河北保定·八年级校考期末）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方
便，我们把它改为横排，如图1，图2所示，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未
知数x，y的系数与相应的常数项．把图1表示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表
述出来，就是 ．
(1)类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为：________．
(2)解由图2列出的方程组．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据图形，结合题目所给的运算法则即可列出方程组；
（2）利用加减消元法求解即可．
【详解】（1）解：图2所示的算筹图我们可以表述为： ，
故答案为： ．
（2）解：
将 可得： ，
将 可得： ，
将 代入①中可得： ，∴方程组的解为 ．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及解方程组，解答本题的关键是
读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组．
20．（2022秋·全国·八年级专题练习）我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、
羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有
5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子．问每头牛、每只羊分别值
银子多少两？”根据以上译文，提出以下两个问题：
(1)求每头牛、每只羊各值多少两银子？
(2)若某商人准备用20两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请你
帮商人设计一种购买方案．
【答案】(1)每头牛3两银子，每头羊2两银子
(2)共有三种购买方法：方案一：购买2头牛，7头羊；方案二：购买4头牛，4头羊；方案
三：购买6头牛，1头羊．
【分析】（1）设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据“有5头牛、2只羊，值19两银
子；2头牛、5只羊，值16两银子．”列出方程组，即可求解；
（2）设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意列出方程，再结合a、b均为正整数，即可
求解．
【详解】（1）解：设每头牛x两银子，每头羊y两银子，根据题意得：
；解得 ，
答：每头牛3两银子，每头羊2两银子．
（2）解：设该商人购买了a头牛，b头羊，根据题意，得
，
∴ ，
∵a、b均为正整数，
∴该方程的解为 或 或
所以共有三种购买方法：
方案一：购买2头牛，7头羊；
方案二：购买4头牛，4头羊；
方案三：购买6头牛，1头羊．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，明确题意，准确得到等
量关系是解题的关键．一、单选题
21．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）若方程组
的解x与y相等，则a的值等于（ ）
A．0 B．－1 C．1 D．2
【答案】D
【分析】把 代入 中，求出 的值，再将 的值代入 ，
求出 的值即可．
【详解】解：由题意，得： ，
把 代入 ，得： ，解得： ，
∴ ，
把 代入 ，得： ，解得： ；
故选D．
【点睛】本题考查根据二元一次方程组的解的情况，求参数的值．正确的求出二元一次方
程组的解，是解题的关键．
22．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有
甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱
各几何?”题目大意是；甲、乙两人各带了若干钱如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有
钱50；如果乙得到甲所有钱的 ，那么乙也共有钱50．间：甲，乙两人各带了多少钱?设
甲，乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“甲的钱 乙所有钱的一半 ”和“乙的钱 甲所有钱的 ”列出方
程组即可解答．
【详解】解：根据题意得： ．
故选：B．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，读懂题意，设出未知数，找出合
适的等量关系是解答本题的关键．
23．（2023秋·甘肃酒泉·八年级统考期末）某班为奖励在校运动会上取得较好成绩的运动
员，花了400元钱购买甲、乙两种奖品共30件，其中甲种奖品每件16元，乙种奖品每件
12元，求甲、乙两种奖品各买多少件?该问题中，若设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，
则所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据甲乙两种奖品共30件，可找到等量关系列出一个方程，在根据甲乙两种奖品
的总价格找到一个等量关系列出一个方程，将两个方程组成一个二元一次方程组．
【详解】设购买甲种奖品x件，乙种奖品y件，，
甲．乙两种奖品共30件，所以
因为甲种奖品每件16元，乙种奖品每件12元，所以
由上可得方程组： ．
故选：B．
【点睛】本题考查根据实际问题抽象出方程组：根据实际问题中的条件列方程组时，要注
意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
24．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）列方程组解应用题：为了丰富学生的课外体育
活动，八年级2班需要购买排球和跳绳，根据下列对话，求出肖雨所购买的排球和跳绳的
单价．
【答案】排球单价24元，跳绳单价18元
【分析】设排球单价x元，跳绳单价y元，根据题意列二元一次方程组求解即可．
【详解】解：设排球单价x元，跳绳单价y元，根据题意，
得 ，
解得 ，
答：排球单价24元，跳绳单价18元．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键．
25．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）某商场计
划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知该厂家生产三种不同型号的电视机，出厂价分
别是：甲每台1500元，乙每台2100元，丙每台2500元．
(1)若商场购进甲x台，乙y台，则购进甲、乙一共花费______元．（用含x、y的代数式表
示）
(2)若商场同时购进其中两种不同型号的电视机共50台，用去9万元，请你研究一下商场的
进货方案．
(3)若商场销售一台甲种电视机可获利150元，销售一台乙种电视机可获利200元，销售一
台丙种电视机可获利250元，在同时购进两种不同型号电视机的方案中，为使销售获利最
多，你会选择哪种进货方案？
【答案】(1)
(2)两种方案：方案一买25台甲，25台乙；方案二，买35台甲，15台丙
(3)选方案二，买35台甲，15台丙，理由见解析
【分析】（1）根据题意，列出代数式即可；
（2）分购进甲型和乙型，购进甲型和丙型，购进乙型和丙型，三种方案，列出方程组进行
求解即可；
（3）求出每种方案所需费用，进行比较即可．
【详解】（1）解：由题意，得：购进甲、乙一共花费 元；
故答案为： ；
（2）解：方案一：设买甲a台，乙b台．
由题意，得： ，解得 ；
方案二：设买甲m台，丙n台．
由题意，得： ，解得 ；
方案三：设买乙p台，丙q台．
由题意，得： ，解得 （不成立）；
答：两种方案：方案一买25台甲，25台乙；方案二，买35台甲，15台丙；
（3）解：方案一，共获利： （元）；
方案二，共获利： （元）；
∵ ，
∴选方案二，买35台甲，15台丙．【点睛】本题考查列代数式解决实际问题，二元一次方程组的应用．根据题意，正确的列
出代数式和二元一次方程组，是解题的关键．
26．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）已知某景点的门票价格如下表：
购票人数/人 1~50 51~100 100以上
每张门票价/元 12 10 8
某校八年级（一）、（二）两个班共 人去游览该景点，其中（二）班人数多于（一）
班人数，且（一）班人数不少于（二）班人数的一半，如果两个班以班为单位各自购票，
那么两个班需要支付的总费用为 元．
(1)请通过列二元一次方程组的方法，分别求两个班的学生人数；
(2)如果两个班合在一起统一购票，试问此时两个班需要支付的总费用将比以班为单位各自
购票的方式节约多少呢？
【答案】(1)（一）班有学生 名，（二）班有学生 名
(2)节约 元
【分析】（1）设（一）班有学生 名，（二）班有学生 名，由题意列出二元一次方程组，
解方程组即可求解；
（2）分别算出两种方式，比较购票费用即可求解．
【详解】（1）解：设（一）班有学生 名，（二）班有学生 名，由题意，得
解得
答：（一）班有学生 名，（二）班有学生 名．
（2）两个班合在一起统一购票总价为： （元），
∴ （元）．
答：如果两个班合在一起统一购票，比以班为单位各自购票节约 元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，有理数的乘法的应用，根据题意列出方程组
是解题的关键．
一、单选题
27．（2022秋·山东济南·八年级统考期末）《九章算术》中记载一题目，译文如下，今有
人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，问人数、物价各是多少？设合伙人数为 人，物价为 钱，以下列出的方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又会差4钱，分别列出等式即可获得
答案．
【详解】解：设合伙人数为 人，物价为 钱，根据题意，
可列方程组为 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据题意正确列出等式是解
题关键．
28．（2023秋·四川达州·八年级校考期末）甲、乙两个两位数，若把甲放在乙数的左边，
组成的四位数是乙数的201倍；若把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数
小1188，求这两个数，如果甲数为x，乙数为y，则得方程组是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设甲数为x，乙数为y，根据把甲放在乙数的左边，组成的四位数是乙数的201倍；
把乙数放在甲数的左边，组成的四位数比上面的四位数小1188，列出方程组．
【详解】解：设甲数为x，乙数为y，
由题意得， ．
故选：D．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，设恰当未知数，找等量关系，列出方程是解题
的关键．
29．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，
不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一
根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，木长多
少尺？若设绳子长x尺，木长y尺，所列方程组正确的是（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据绳子长度减去木头长度等于4.5；木头的长度减去1等于绳子长度的一半，列
出二元一次方程组即可求解．
【详解】解：设绳子长x尺，木长y尺，根据题意得，
，
故选：B．
【点睛】此题考查列二元一次方程组，关键是弄清题意，找准等量关系，列出方程组．
30．（2023秋·河北保定·八年级统考期末）“今有人盗库绢，不知所失几何．但闻草中分
绢，人得六匹，盈六匹；人得七匹，不足七匹，问人、绢各几何？（选自《孙子算
经》）”．大意为：有盗贼窃去库存的绸缎，不知究竟窃去多少，有人在草丛中听到这帮
盗贼分赃的情况，如果每个盗贼分得6匹，就多出6匹；如果每个盗贼分得7匹，就缺少7
匹，盗贼有几人？失窃的绸缎有几匹？嘉嘉准备用二元一次方程组解决这个问题，他已列
出一个方程是 ，则符合题意的另一个方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，可知 盗贼人数 失窃绸缎数，由
此等量关系列出另一方程即可．
【详解】解：盗贼有 人，失窃的绸缎有 匹，
根据如果每个盗贼分得7匹，就缺少7匹，可列另一方程为： ，
故选：A．
【点睛】本题考查列二元一次方程解决实际问题，能够根据题意列出二元一次方程是解决
本题的关键．
二、填空题
31．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）一个长方
形的长减少7cm，宽增加3cm，就成为一个正方形，并且这两个图形的面积相等．则这个
长方形的宽为______cm．
【答案】
【分析】分别设长和宽，根据题意表示正方形的边长和两个图形的面积，得方程组求解．
【详解】解：设这个长方形的长为x cm，宽为y cm，由题意可得： ，即
解得： ，
这个长方形的长为 cm，宽为 cm，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，
找出合适的等量关系，列方程组求解．
32．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨工业大学附属中学校校考阶段练习）顺风旅行
社组织200人到花果岭和云水涧旅游，到花果岭的人数比到云水润的人数的2倍少1人，
则到云水涧旅游的人数为______．
【答案】67
【分析】设到云水涧旅游的人数为 ，到花果岭的人数为 ，根据题意，列出二元一次方
程组，进行求解即可．
【详解】解：设到云水涧旅游的人数为 ，到花果岭的人数为 ，由题意，得：
，
解得： ；
∴到云水涧旅游的人数为 ；
故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用．找准等量关系，正确的列出二元一次方程组，
是解题的关键．
33．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，
许多问题浅显有趣，其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，漂洋过海流传到了日本
等国．“雉兔同笼”题为：“今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉
兔各几何？”设雉（鸡）有x只，兔有y只，则可列方程组为______．
【答案】
【分析】根据鸡头数+兔头数=35，鸡腿数+兔腿数=94列二元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得 ，故答案为： ．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程组是
解答的关键．
34．（2023秋·重庆南川·八年级统考期末）甲、乙两蔬菜基地生产同一种蔬菜，都计划把
全年的蔬菜销往重庆，这样两蔬菜基地的蔬菜就能占有重庆市场同类蔬菜的 ；由于疫情，
实际情况并不理想，甲蔬菜基地仅有 的蔬菜、乙蔬菜仅有 的蔬菜销到了重庆，两蔬菜
基地的蔬菜仅占了重庆市场同类蔬菜的 ，则甲蔬菜基地该蔬菜的年产量与乙蔬菜基地该
蔬菜的年产量的比为______．
【答案】 ##2
【分析】根据相等关系列出方程组求解即可．
【详解】解：设甲、乙蔬菜基地该蔬菜的年产量分别为x，y，将重庆市场同类蔬菜年产量
看做单位1，
∴ ，
解得： ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题关键是找出相等关系，列出方程．
35．（2023秋·甘肃白银·八年级统考期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之
和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调后所得新两位数比原两位数大27，这个
两位数是______．
【答案】36
【分析】设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位上的数字与十位上的数
字之和为9，把这个两位数的十位数字和个位数字对调所得新两位数比原两位数大27”，即
可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中即
可求出这个两位数．
【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，
依题意得： ，解得： ，
∴ ，
故答案为：36．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是
解题的关键．
36．（2023秋·江苏南京·八年级统考期末）如图①，有若干片相同的拼图，若将其沿相同
方向无缝隙拼在一起，它们的底部位于同一条直线上．当分别用3片，10片拼图拼时（如
图②，③所示），对应的长度分别为14，35（单位：cm），则图①中的拼图长
______cm．
【答案】8
【分析】拼图由长方形部分和半圆突出部分，利用二元一次方程解出即可．
【详解】
如图，设每个拼图的长由x和y两部分组成，则根据图二和图三可列出两个方程：
解得：
所以拼图长为：
故答案为：8
【点睛】本题考查二元一次方程在图形中的应用，找到等量关系是本题关键．
三、解答题
37．（2023春·重庆北碚·八年级重庆市朝阳中学校考阶段练习）定义：对于三位自然数 ，
各位数字都不为 ，且它的百位数字的 倍与十位数字和个位数字之和恰好能被 整除，则称这个自然数 为“博雅数”．例如： 是“博雅数”，因为 ， ， 都不为 ，且
， 能被 整除； 不是“博雅数”，因为 ， 不能被
整除．
(1)判断 ， 是否是“博雅数”？并说明理由；
(2)求出百位数字比十位数字大 的所有“博雅数”，并说明理由．
【答案】(1) 是“博雅数”， 不是“博雅数”；理由见解析
(2)这样的“博雅数”共有 个，它们分别是 ， ， ；理由见解析
【分析】（1）根据“博雅数”定义判断．
（2）根据“博雅数”的条件求解．
【详解】（1）解： 是“博雅数”， 不是“博雅数”，
∵ ， 能被 整除，
∴ 是“博雅数”；
∵ ， 不能被 整除，
∴ 不是“博雅数”．
（2）由题意可设这样的“博雅数”为： ，则 ，
∴ ，
由“博雅数”的定义可知： 能被 整除，
∴ 为整数，
又∵ ， 且 ， 为整数，
∴ 或 或 ，
综上，这样的“博雅数”共有 个，它们分别是 ， ， ．
【点睛】本题考查用新定义解题，有理数的混合运算，列代数式，不定方程．理解新定义
是解题的关键．
38．（2023秋·辽宁沈阳·八年级统考期末）（列二元一次方程组求解）水果经营户老李用
520元从水果批发市场批发苹果和橙子共50千克，然后到水果市场去卖，已知苹果和橙子
当天的批发价和零售价如下表所示：
品名 苹果 橙子
批发价（元/千克） 8 12
零售价（元/千克） 10 15(1)求老李购进的苹果和橙子各多少千克？
(2)如果苹果和橙子全部卖完，请直接写出老李能赚___________元．
【答案】(1)购进苹果 千克，购进橙子 千克
(2)
【分析】（1）设购进苹果 千克，购进橙子 千克，根据题意，列出方程组，解出即可得
出答案；
（2）根据销售总额减去成本，即可算出老李赚的钱数．
【详解】（1）解：设购进苹果 千克，购进橙子 千克，
根据题意，可得： ，
解得： ，
∴购进苹果 千克，购进橙子 千克；
（2）解： （元），
∴如果苹果和橙子全部卖完，老李能赚 元．
故答案为：
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用，解本题的关键在
理解题意，找出等量关系，正确列出方程组．
39．（2023春·河南郑州·八年级郑州外国语中学校考期末）为丰富学生的课余生活，某班
计划购买若干篮球和足球．据了解，买6个篮球和10个足球需要1700元：买10个篮球和
20个足球需要3100元．
(1)求每个篮球和每个足球的价格分别是多少元？
(2)该班计划恰好用3000元购买篮球和足球（两种均购买），求该班共有哪几种采购方案．
【答案】(1)每个篮球和每个足球的价格分别是150元，80元，
(2)一共有两种购买方案：购买4个篮球，30个足球；购买12个篮球，15个足球
【分析】（1）设每个篮球和每个足球的价格分别是x元，y元，然后根据买6个篮球和10
个足球需要1700元：买10个篮球和20个足球需要3100元建立方程组求解即可；
（2）设购买篮球m个，购买足球n个，根据花费3000元，建立方程，然后讨论求解即可．
【详解】（1）解：设每个篮球和每个足球的价格分别是x元，y元，
由题意得， ，
解得 ，
答：每个篮球和每个足球的价格分别是150元，80元；（2）解：设购买篮球m个，购买足球n个，
由题意得， ，
∴ ，
∵m、n都是正整数，
∴ ，且 是8的整倍数，
∴ 且 是8的整倍数，，
∴当 时， ；
当 时， ，
∴一共有两种购买方案：购买4个篮球，30个足球；购买12个篮球，15个足球．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，二元一次方程的实际应用，正确理
解题意找到等量关系列出方程组和方程是解题的关键．
40．（2023秋·陕西西安·八年级西安市西光中学校考期末）某冬奥会纪念品专卖店计划同
时购进 型和 型两种吉祥物．据了解，8只 型吉祥物和10只 型吉祥物的进价共2000
元；10只 型吉祥物和20只 型吉祥物的进价共3100元．
(1)求 型和 型两种吉祥物每只进价分别是多少元．
(2)该专卖店计划恰好用4500元购进 型和 型两种吉祥物（两种均购买），问专卖店共有
几种采购方案？
【答案】(1) 型吉祥物每只进价150元， 型两种吉祥物每只进价80元
(2)3种方案
【分析】（1）设 型吉祥物每只进价x元， 型两种吉祥物每只进价y元，根据“8只
型吉祥物和10只 型吉祥物的进价共2000元；10只 型吉祥物和20只 型吉祥物的进价
共3100元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进m只 型吉祥物，n只 型吉祥物，根据“恰好用4500元购进 型和 型两种
吉祥物（两种均购买）”列出二元一次方程，求出正整数解即可得到结论．
【详解】（1）解：设 型吉祥物每只进价x元， 型两种吉祥物每只进价y元，
依题意得： ，
解得： ，
∴ 型吉祥物每只进价150元， 型两种吉祥物每只进价80元；
（2）设购进m只 型吉祥物，n只 型吉祥物，
依题意得： ，∴ ，
又∵m，n均为正整数，
∴ 或 或 ，
∴该公司共有3种购买方案，
方案1：购进22只 型吉祥物，15只 型吉祥物；
方案2：购进14只 型吉祥物，30只 型吉祥物；
方案3：购进6只 型吉祥物，45只 型吉祥物．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次
方程．
41．（2023秋·重庆万州·八年级统考期末）阅读下列材料，解答问题：
若一个自然数能被13整除，则称这个自然数为“一生数”．若一个四位自然数，百位数字
为1，个位数字为4，则称这个四位数为“一世数”．若一个四位自然数既是“一生数”，
又是“一世数”，则称这个数为“一生一世数”．
例如：因为 ，318为整数，所以4134是“一生数”；因为4134是四位数，
且百位数字为1，个位数字为4，所以4134为“一世数”：因为4134既是“一生数”，又
是“一世数”，所以4134为“一生一世数”．
(1)求证：任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”；
(2)若一个四位自然数m是“一生一世数”，记 ，求 的最大值与最小值之差．
【答案】(1)见解析
(2)540
【分析】（1）设这个数为： ，再计算一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍
的和，即可求解；
（2）设这个数为： ，可得 ，从而得到
或 ，即可求解．
【详解】（1）解：设这个数为： ，
∴
∵x、y为整数∴ 为整数
∴任意一个“一世数”加上千位数字与十位数字3倍的和一定是“一生数”
（2）解：设这个数为： ，
∴ ，
∴ 为13的倍数，
∵ ， ，且为整数， ，
∴ 或 ，
∴ 或 或 或 或 或 ，
∴这个数为1144，4134，7124，2184，5174，8164，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解，整式加减的应用，理解新定义是解题的关键．
42．（2023秋·江西吉安·八年级统考期末）为预防新冠肺炎病毒，市面上 等防护型
口罩出现热销．已知3个A型口罩和2个B型口罩共需31元；6个A型口罩和5个B型口
罩共需70元．
(1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？
(2)小红打算用160元（全部用完）购买A型，B型两种口罩（要求两种型号的口罩均购
买），正好赶上药店对口罩价格进行调整，其中A型口罩售价上涨40%，B型口罩按原价
出售，则小红有多少种不同的购买方案？请设计出来．
【答案】(1)一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为8元
(2)小红有2种不同的购买方案，方案1：购买8个A型口罩，13个B型口罩；方案2：购
买16个A型口罩，6个B型口罩
【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，可得 ，将二元一次方程中 和 分别取正整数值，即可得出
购买方案．
【详解】（1）设一个A型口罩的售价为x元，一个B型口罩的售价为y元，
依题意，得： ，
解得： ，
答：一个A型口罩的售价为5元，一个B型口罩的售价为8元；
（2）解：设购买 型口罩 个， 型口罩 个，
根据题意，得 ，即 ，
满足条件的 ， 有： ， 或 ， ，
小红有2种购买方案：
第一种方案： 型口罩购买8个， 型口罩购买13个；
第二种方案： 型口罩购买16个， 型口罩购买6个；
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意列二元一次方程组进
行求解．
43．（2023秋·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）据气象局预报，12月初重庆市将有
一次强降温雨雪天气．某服装店决定购进 、 两种品牌鹅绒服．购进 种品牌鹅绒服8
件， 种品牌鹅绒服3件，需9200元；若购进 种品牌鹅绒服5件， 种品牌鹅绒服6件，
需9050元．
(1)求购进 、 两种品牌鹅绒服每件各需多少元？
(2)元旦临近，服装店决定再次购买 、 两种品牌鹅绒服共20件，且 种品牌鹅绒服的数
量不超过 种品牌鹅绒服数量的4倍， 种品牌鹅绒服以每件350元的利润销售， 种品
牌鹅绒服按照进价提高25%进行销售，怎样进货才能使该服装店在销售完这批品牌鹅绒服
时获利最多，最多为多少元？（用函数知识解决）
【答案】(1)购进 种品牌鹅绒服每件需850元，购进 种鹅绒服每件需800元；
(2)即购进 种品牌鹅绒服4件，购进 种鹅绒服16件时，获利最多为4600元．
【分析】(1) 设购进 种品牌鹅绒服每件需 元，购进 种鹅绒服每件需 元，根据题意列
方程组求解即可；
(2) 设购进 种品牌鹅绒服 件，购进 种鹅绒服 件，根据题意列方程，利用函数
性质和不等式求出最大值．
【详解】（1）设购进 种品牌鹅绒服每件需 元，购进 种鹅绒服每件需 元，
根据题意得：
解得：
答：购进 种品牌鹅绒服每件需850元，购进 种鹅绒服每件需800元．
（2）设购进 种品牌鹅绒服 件，购进 种鹅绒服 件，获得的利润为 ，
根据题意可知，获得的利润
化简得： ，
解不等式得： ，
为整数，可以是 ，
函数 为增函数，
当 时，即购进 种品牌鹅绒服4件，购进 种鹅绒服16件时，获利最多为4600元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，根据题意列方程，找到解后，再利
用实际问题中的正整数解，且这些正整数解的个数就是可行的方案个数，再利用函数性质
找到最大值．
44．（2023秋·福建三明·八年级统考期末）某商场用相同的价格分两次购进A型和B型两
种型号的电脑，前两次购进情况如下表．
A型（台） B型（台） 总进价（元）
第一次 20 30 210000
第二次 10 20 130000
(1)求该商场购进A型和B型电脑的单价各为多少元？
(2)已知商场A型电脑的标价为每台4000元，B型电脑的标价为每台6000元，两种电脑销
售一半后，为了促销，剩余的A型电脑打九折，B型电脑打八折全部销售完，问两种电脑
商场获利多少元？
【答案】(1)A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元
(2)两种电脑商场获利44000元
【分析】（1）设A型电脑单价为x元，B型电脑的单价为y元，根据题意，列出方程组求
解即可；
（2）分别计算出A型电脑的获利和B型电脑的获利，再相加即可．
【详解】（1）解：设A型电脑单价为x元，B型电脑的单价为y元，
，
解得： ，
答：A型电脑单价为3000元，B型电脑的单价为5000元．
（2）A型电脑获利：
（元），
B型电脑获利：
（元），
两种电脑总获利： （元），
答：两种电脑商场获利44000元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据
题意找出等量关系，列出方程组求解．
45．（2022秋·山西晋中·八年级统考期末）劳动课上学习了“烹饪与营养”之后，李华知
道了科学膳食与身体健康密切相关．他查询了《中国居民膳食指南（ ）》中的相关信
息，结合妈妈的年龄，准备为妈妈制作一份能量为 千卡（1千卡 卡路里），总质
量为 克的营养早餐现有鸡蛋、牛奶、谷物三类食材，经查询它们的能量含量如下表所
示：
牛奶（每
鸡蛋（每克） 谷物食品（每克）
克）
能量（千
3
卡）
若用以上三类食材制作这份营养早餐，其中鸡蛋约 克，请你帮助李华计算这份早餐中需
要牛奶和谷物各多少克？
【答案】这份早餐中需要牛奶 克，谷物 克．
【分析】设这份早餐中需要牛奶x克，谷物y克，依据总能量和总质量联立方程组求解即
可．
【详解】解：设这份早餐中需要牛奶x克，谷物y克．
根据题意，得
解这个方程组，得 ，
答：这份早餐中需要牛奶 克，谷物 克．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用；解题的关键是正确建立方程组．
