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3.2 同角三角函数（精讲）（基础版）
思维导图
考点呈现例题剖析
考点一 知一求二
【例1-1】（2022·广东）已知 是第三象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 是第三象限角，且 ，所以 ，故选：A.
【例1-2】（2022·宁夏·固原一中一模）若 ，且 在第四象限，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】∵ ，且 在第四象限，∴ ，∴ ．故选：D．
【例1-3】（2022·青海西宁）已知角 的终边经过点 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 点的纵坐标为 ，且 ，所以 在第三象限，所以 ，
， .故选：B
温馨提示
sin α，cos α，tan α的知一求二问题
(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．
(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需
求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
【一隅三反】1．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知角 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以 ， .故选：B
2．（2021·浙江省杭州第二中学）已知 ，则“ ”是“ ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为 ，所以当 ，x可以是锐角也可以时钝角，所以 ，所以不满足充分
性；
当 时，x必为锐角，所以 成立，必要性满足故选：B
3．（2021·北京市第三十五中学高三期中）已知 ，且 ，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意得： ，
故选：D
考点二 弦的齐次
【例2-1】（2022·全国·模拟预测（理））已知 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．5
【答案】A【解析】由题意得： ，故选：A．
【例2-2】（2022·内蒙古包头·高三期末）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 故选：A.
【例2-3】（2022·全国·模拟预测（文））已知 在 处的切线倾斜角为 ，则
的值为（ ）
A．7 B． C．5 D．-3
【答案】B
【解析】因为 ，所以 ，所以
.故选：B
【例2-4】（2021·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将式子进行齐次化处理得：
．故选：C．温馨提示
若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂
将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，对于分母为1的二次式，可用
sin2α＋cos2α做分母求解．
【一隅三反】
1．（2011·全国·高考真题（理））已知角 的顶点与原点重合，始边与 轴的正半轴重合，终边在直线
上，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由已知条件可知，点 在直线 上，则 ， ，
所以， .故选：B.
2．（2022·湖南益阳·一模）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 可知： ∴ ，∴ ，
又 = = .故选C.
3．（2022·河南新乡·二模（文））已知 是第三象限角，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知， ，且 是第三象限角，则 ， ，所以,
故选：C.
4．（2022·全国·模拟预测（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，得 ， ．
故选：D．
5．（2022·云南昭通·高三阶段练习（文））已知向量 ，且 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得 ，
即 .故选：A.
6．（2022·江苏·苏州中学高三开学考试）已知 ，且 ，则 （ ）
A．5或 B．5或 C．5 D．
【答案】C
【解析】∵ ，∴ ，即 ，又
∴ ，∴ ，故选：C.
7．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））若 ，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
.故选：A.
考点三 弦的乘除与加减
【例3-1】（2022·西藏·拉萨中学高三阶段练习（理））已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为 ，所以两边平方得 ，
又因为 ，所以 ，即 ，
所以 .故选：B
【例3-2】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ， ， ， ，
，即 .故选：A
【例3-3】（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 （ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】B【解析】因为 ，①所以两边平方可得 ，
则 ，所以 是钝角，则 ，
所以 ， ②，
联立①②可得 ，则 ．故选:B．
【一隅三反】
1．（2022·山东聊城·高三期末）已知 ，且 ，则 的值为________.
【答案】
【解析】
， ，
又 ，所以 ，所以 ， ，
故答案为：
2．（2022·陕西·西安中学三模（文））已知 ，且 ，则 ___.
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
因此有： ，
把 代入，得 ，故答案为：3．（2022·广东肇庆·二模）若 ，则 ______．
【答案】
【解析】∵ ，∴ ，所以 ．
故答案为： .
4．（2022·全国·高三专题练习）已知 ，若 是第二象限角，则 的值为
__________.
【答案】
【解析】 ，
所以 ，所以 ，
所以 .又因为 是第二象限角，所以 ， ，所以 .
故答案为： .
5．（2022·全国·高三专题练习）函数y＝sinx－cosx＋sinxcosx的值域为________.
【答案】
【解析】设t＝sinx－cosx，则t2＝sin2x＋cos2x－2sinx·cosx，sinxcosx＝ ，
，∴ .∴y＝－ ＋t＋ ＝－ (t－1)2＋1，t∈[－ ， ].
当t＝1时，y ＝1；当t＝－ 时，y ＝ .∴函数的值域为 .
max min
6．（2022·江苏·高三专题练习）已知sinθ＋cosθ＝ ，θ∈(0，π)，则tanθ＝________.【答案】
【解析】将已知等式 ①
两边平方得： ， ，
， ， ，即 ， ，
②，联立①②，解得： ， ，
则 ．故答案为： ．
