文档文本内容
3.3 导数与函数的极值、最值
极值点与极值的概念
(1)极小值点与极小值
函数y＝f (x)在点x＝a 处的函数值f (a)比它在点x＝a 附近其他点处的函数值都小，f ′(a)＝0；而且
在点x＝a 附近的左侧f ′(x)＜0，右侧f ′(x)＞0，则把a 叫做函数y＝f (x)的极小值点，f (a)叫做函数
y＝f (x)的极小值．
(2)极大值点与极大值
函数y＝f (x)在点x＝b 处的函数值f (b)比它在点x＝b 附近其他点处的函数值都大，f ′(b)＝0；而且
在点x＝b 附近的左侧f ′(x)＞0，右侧f ′(x)＜0，则把b 叫做函数y＝f (x)的极大值点，f (b)叫做函数
y＝f (x)的极大值．
(3)极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
【注意】1．极值点是函数单调性的转折点，因此若f (x)在(a，b)内有极值，则f (x)在(a，b)内不是
单调函数．
2．极值点不是点，出现在区间的内部，端点不能是极值点．
求可导函数f (x)极值的步骤
(1)定义域：求函数的定义域．
(2)求导：求函数的导数f ′(x)．
(3)令f ′(x)＝0，求出方程f ′(x)＝0 全部的根x0，即导函数f ′(x)的零点．
(4)列表：方程的根x0将整个定义域分成若干个区间，把x，f ′(x)，f (x)在每个区间内的变化情况列
在一个表格内．
(5)结论：若导数f ′(x)在x＝x0附近左正右负，则函数f (x)在x＝x0处取得极大值；若左负右正，则函
数f (x)取得极小值．
函数的最值
1．函数的最大(小)值的存在性
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小
值．
2．求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最值的步骤
(1)求函数y＝f (x)在区间(a，b)内的极值；
(2)将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的
一个是最小值．
【注意】函数的极值与最值的区别与联系
(1)极值是对某一点附近(局部)而言，最值是对函数的整个定义区间[a，b]而言．
(2)在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个．
(3)函数f (x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点．
(4)对于在闭区间上图象连续不断的函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得．
考点一 函数图象与极值(点)的关系
考点二 求已知函数的极值(点)
考点三 根据极值(点)求参数
考点四 讨论极值（含参）
考点五 利用导数求函数的最值（不含参）
考点六 利用函数最值求参数
考点七 利用导数求函数的最值（含参）
考点八 函数单调性、极值与最值的综合应用
考点一 函数图象与极值(点)的关系
1．（25-26 高三上·北京·期中）如图是函数
的导函数
的图像，则下列说法错误的是（ ）
A．
在
处取极大值
B．
C．
在
上存在最小值
D．
在
上至多有3 个零点
【答案】D
【详解】由图象可知，当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；
所以
在
处取极大值，故A 正确；
由当
时，
，
可得
在
上单调递增，所以
，
因为函数在
上单调递减，在
上单调递增，
在
上单调递减，在
上单调递增，所以极小值是
和
，
所以
在
上存在最小值，故C 正确；
若
，
，
，
，
，
函数
在
上至多有4 个零点，故D 错误.
2．（25-26 高三上·吉林·期中）若函数
的导函数
图象如图所示，则下列说法正确的是
（ ）
A．
的解集为
B．函数
有2 个极值点
C．函数
的单调递增区间为
D．
是函数
的极小值点
【答案】D
【分析】由图可得
的单调性，即可得其导数正负，即可得A；由图可得
的正负，即可得
单调
性，从而可得B、C、D.
【详解】对A：由图可得，
在
、
上单调递增，
在
上单调递减，故
的解集为
，故A 错误；
对B、C、D：由图可得，当
时，
，
当
时，
，
故
在
上单调递减，在
上单调递增，
故函数
有且仅有一个极小值点
，故B、C 错误，D 正确.
3．（25-26 高三上·新疆喀什·期中）已知函数
的导函数
的图象如图所示，则下列判断正确的是（ ）
A．
为
的极大值
B．在区间
内，
有1 个极值点
C．在区间
内，
是增函数
D．
是
的一个零点
【答案】A
【分析】根据导数的正负，判断函数的单调性，再判断函数的极值点，即可判断选项.
【详解】A.如图，2 附近，左边的导数为正数，2 右边的导数为负数，所以2 附近是先增后减，
所以2 是
的极大值点，
是函数的极大值，故A 正确；
B. 在区间
内，
，
单调递减，所以
无极值点，故B 错误；
C.在区间
内，
，函数单调递减，
内，
，函数单调递增，故C 错误；
D.
附近，左边导数为正数，函数单调递增，右边导数为负数，函数单调递减，所以
是函数的极大值点，不一
定是零点，故D 错误.
4．（25-26 高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知定义在
上的函数
，其导函数
的大致图象如图所示，
①
；
②函数
在
处取得极小值，在
处取得极大值；
③函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值；
④函数
的最小值为
.
以上正确的序号是__________.
【答案】③
【分析】利用原函数和导函数的关系得到原函数的单调性，利用单调性得到极值，结合单调性得到
不是最小
值.
【详解】当
时，
，
是单调递增函数；
当
时，
，
是单调递减函数；
当
时，
，
是单调递增函数；
，
，故①错误；
因为当
时，
，
是单调递增函数；
当
时，
，
是单调递减函数；
所以函数
在
处取得极大值，在
处取得极小值；
故②错误，③正确；
当
时，
，
是单调递减函数，且
，
，
所以
，函数
的最小值不是
.
故④错误.
5．（25-26 高三上·广东珠海·阶段检测）（多选）函数
的导函数
的图象如图所示，以下命题错
误的是（ ）
A．
是函数
的极值点
B．
是函数
的极值点
C．
在区间
上单调递增
D．
是函数
的极值点
【答案】BD
【分析】由导函数图象的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可.
【详解】由图可得，当
，
，
单调递减，当
，
，
单调递增，
可知
是函数
的极值点，故A 正确，
不是函数
的极值点，故B 错误，
当
，
，故
在区间
上单调递增，故C 正确，
不是函数
的极值点，故D
错误.
6．（25-26 高三上·广东湛江·期中）（多选）导函数
的图象如图所示.在标记的点中，下列说法正确的是
（ ）
A．
是导函数
的极小值点
B．
是导函数
的极小值
C．
是函数
的极大值
D．
是函数
的极小值点
【答案】ACD
【详解】根据导函数
的图象可知，
的两侧的小区域内，
的图象左减右增，
所以在
，
处导函数
有极小值；
的两侧的小区域内，
左增右减，所以在
处导函数
有极大值.
根据导函数
的图象可知：
的左侧导数大于零，在
内导数
小于零，
所以在
处函数
有极大值.
在
上导数
大于零，所以在
处函数
有极小值.
而
左右两侧导函数符号相同，原函数
不取得极值.
由此可知B 错误，ACD 正确.
考点二 求已知函数的极值(点)
7．（25-26 高三上·上海宝山·期中）（1）已知函数
．求
的极值；
【答案】（1）极大值
，极小值
；（2）
【分析】（1）求得
，得出函数
的单调性，结合极值的定义，即可求解；
【详解】（1）由函数
，可得其定义域为
，且
，令
，即
，解得
或
．
当
时，
，
单调递增：
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增．
所以当
时，
取得极大值，极大值为
；
当
时，
取得极小值，极小值为
．
8．（25-26 高三上·天津静海·期中）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的极值；
【答案】(1)极大值为
，极小值为
(2)
【详解】（1）当
时，
，
．
令
，
同理：
或
所以：
在
单调递增，在
单调递减，在
单调递增．
当
时，
取得极大值
；
当
时，
取得极小值
．
9．（25-26 高三上·上海闵行·期中）函数
的极值点为__________.
【答案】1
【分析】求导，令导函数为0，可得极值点，分析单调性，即可得答案.
【详解】由题意得
，
令
，得
或
（舍），
当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
所以
为
的极小值点，无极大值点.
10．（2026·广西桂林·模拟预测）（多选）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．
在
上单调递增
B．
的极小值为
C．
的图象关于原点对称
D．
有两个零点
【答案】AC
【分析】先求导，利用导数研究单调性进而判断AB，判断
的奇偶性即可判断C，求
的零点即可判断D.
【详解】函数
的定义域为
，
所以
，
对于A，由
，得
或
，函数
在
上单调递增，故A 正确；
对于B，由
，得
，函数
在
上单调递减，
在
上单调递增，所以函数
在
取得极小值
，故B 错误；
对于C，
，函数
是奇函数，其图象关于原点对称，故C 正确；
对于D，由
，解得
，函数
有3 个零点，故D 错误．
11．（25-26 高三上·重庆渝北·期中）
，下列说法正确的是（ ）
A．0 是极大值点
B．
是极大值点
C．
是极小值点
D．
是极大值点
【答案】D
【分析】求导，令
，再根据单调性确定极值点判断即可．
【详解】
，
令
，解得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
在
上单调递减，在
上单调递增，在
上单调递减，
则0 不是极值点，A 错误；
是极小值点，B 错误；
是极大值点，C 错误；
是极大值点，D 正确．
12．（25-26 高三上·山东济南·期中）（多选）已知函数
，则（ ）
A．
有两个极值点
B．当
时，
C．
有三个零点
D．函数
图象的对称中心为
【答案】ACD
【分析】求导，确定单调性和极值判断AB 选项，对原式因式分解确定根的个数判断C 选项，根据三次函数，对
称中心的横坐标是二阶导数为0 的点判断D 选项.
【详解】选项A，求导得
，
令
，解得
或
，
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
因此
是极大值点，
是极小值点，
有两个极值点，A 正确；
选项B，由上述分析可知，
在
上单调递减，
当
时，
，故
，B 错误；
选项C，令
，因式分解：
，
解方程
，得
，
因此
的三个零点为
，共三个不同实根，C 正确；
选项D， 对于三次函数，对称中心的横坐标是二阶导数为0 的点，
求二阶导数：
，令
，得
，
验证对称中心定义：若
关于
对称，则
，
代入
：
，
，
，
满足对称中心定义，故
的对称中心为
，D 正确.
考点三 根据极值(点)求参数
13．（2026·陕西渭南·三模）已知函数
的极小值为
，则实数
的值可能为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先对函数求导得
，找到临界点
和
，再按
、
、
三种情况
判断极小值点，代入极小值
求解
，验证后得到
.
【详解】
.
令
，得临界点
，
.
①当
时，
，
，函数单调递增，无极小值，舍去.
②当
时，
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.
故
为极小值点，代入
得：
.
由极小值为
，得
，解得
，即
，符合
.
③当
时，
，
时，
，
单调递增；
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增.
故
为极小值点，代入
得：
.
由极小值为
，得
，解得
，不在选项中，舍去.
14．（2026·宁夏吴忠·二模）已知函数
的图象在点
处的切线斜率为
，且
时，
有极值，则
_____．
【答案】2
【分析】根据导数的几何意义以及极值点的性质求
，并结合单调性检验即可.
【详解】因为
，则
，
由题意可得
，解得
，
则函数
，
，
令
，解得
或
；令
，解得
，
可知函数
在
上单调递增，在
上单调递减，
则函数
在
处取到极大值，即
，
符合题意，
所以
.
15．（25-26 高三上·广东汕头·期中）已知函数
在
处取得极大值，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】A
【详解】函数
在
处取得极大值，
则
，所以
，
解得
或
，
当
时，
，
所以当
时
，当
时，
，
所以
在
处取得极小值，不符合题意；
当
时，
，
所以当
时，
，当
时
，
所以
在
处取得极大值，
所以
.
16．（25-26 高三上·重庆·期中）已知函数
既有极大值又有极小值，则实数
的取值范
围为______.
【答案】
【分析】首先确定函数的定义域，其次因为既有极大值又有极小值，可知导数为0 有两个不相等的正根，而导数
的分子正好为一元二次，所以通过根与系数的关系得到不等式.
【详解】
的定义域为
，
求导得
，
因为函数
既有极大值又有极小值，
所以
在
上有两个不相等的根
记为
，即
是
的两个不相等的正根
，解得
.
17．（25-26 高三上·四川成都·期中）若函数
有唯一极值点，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由题意可得
有唯一变号零点，即
有唯一解，先讨论
时，不满足题意，从而可得
，令
，进而得直线
与函数
的图象只有一个交点，利用导数确定函数
的单调区间及极值，作出图象，结合图象求解即可.
【详解】因为
，
，
所以
，
有唯一变号零点，
当
时，
，不满足题意；
所以
，
令
，得
，
令
，
则直线
与函数
的图象只有一个交点，
又因为
，
令
，得
，
所以当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减；
又当
时，
，当
时，
，
所以函数在
处取极小值，为0；在
处取极大值，为
，
作出函数
、直线
的图象，如图所示：
由此可得当
时，满足题意；
当
时，直线
与函数
的图象有两个交点，
一个点的横坐标为
（此点为直线
与函数
的切点），
且
在此处不变号；
另一个点的横坐标
，
在此处变号，满足题意.
综上，
.
18．（25-26 高三上·天津武清·期中）已知函数
在
处取得极大值0，则
________.
【答案】
/
【分析】由
和
得
或
，分两种情况，检验后得到答案
【详解】
，由题意得
，即
，故
，
且
，解得
或
，
当
时，
，则
，
令
得
，令
得
，故
为极大值点，满足要求，
所以
，
当
时，
，则
，
令
得
，令
得
，故
为极小值点，不满足要求，
综上，
.
考点四 讨论极值（含参）
19．（2026·新疆·二模）已知函数
．
(1)若
，求函数
的极值；
【答案】(1)极小值
，无极大值；
【分析】（1）求出函数的导数，确定单调区间，进而求出极值.
【详解】（1）函数
的定义域为
，求导得
，而
，
当
时，
；当
时，
，
函数
在
上单调递减，在
上单调递增，
函数
在
处取得极小值
，无极大值.
20．（25-26 高三上·湖南长沙·期中）已知函数
．
(1)求函数
的极值；
【答案】(1)当
时，函数
无极值．当
时，函数
极大值为−1−a−ln(−a)，无极小值
【分析】（1）根据导数与单调性、极值的关系求解即可.
【详解】（1）因为
，
，所以
，
．
当
时，因为
，所以
恒成立，则函数
在
内单调递减，无极值．
当
时，令
，得
，
则当
时，
，当
时，
，
所以函数
在
内单调递增，在
内单调递减，
函数
的极大值为
，无极小值．
综上所述，当
时，函数
无极值．
当
时，函数
极大值为
，无极小值．
21．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论函数
在区间
内极值点的个数．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.
【分析】（1）利用导数
，分情况
和
讨论极值点；
【详解】（1）因为
，所以
．
若
，当
时，
恒成立，
则函数
在
上单调递增，无极值点．
若
，当
时，
，函数
在
上单调递减；
当
时，
，函数
在
上单调递增，
故
是函数
的极小值点，且函数
无极大值点．
综上可知，当
时，函数
在区间
内极值点的个数为0；
当
时，函数
在区间
内极值点的个数为1．
22．（2026·吉林·二模）已知函数
，
．
(1)求
，
的单调区间；
(2)已知
，函数
，讨论
的极值点的个数；
【答案】(1)
和
的单调增区间均为
，单调减区间均为
；
(2)答案见解析
【分析】（1）对
求导，令
可得其单调增区间，令
可得其单调减区间，同理可得
的单
调区间.
（2）求导得
解析式，令
，得
的零点，分别讨论
、
、
和
四种情况，利
用导数判断
的正负，可得其单调区间，分析即可得答案.
【详解】（1）由
，
，得
，
因为
恒成立，所以令
，解得
或
，
当
或
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以
的单调增区间为
，单调减区间为
；
由
，
，得
，
令
，解得
或
，
当
或
时，
，则
单调递增，
当
时，
，则
单调递减，
所以
的单调增区间为
，单调减区间为
；
（2）
，
则
，
令
，解得
或
或
（
）.
当
时，
，
恒成立，
则当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
所以
只有1 个极小值点
；
当
时，
，
恒成立，
则当
时，
，则
单调递减，
当
时，
，则
单调递增，
所以
只有1 个极小值点
；
当
时，
，
当
或
时，
，则
单调递减，
当
或
时，
，则
单调递增，
此时
有3 个极值点
；
当
时，
，
当
或
时，
，则
单调递减，
当
或
时，
，则
单调递增，
此时
有3 个极值点
；
综上，当
或
时，
有一个极值点；当
或
时，
有3 个极值点.
23．（25-26 高三上·安徽安庆·期中）已知函数
(1)
时，求
在
处切线方程；
(2)讨论
的极值．
【答案】(1)
；
(2)当
时，极小值
，无极大值，
当
时，极大值为
，极小值为
，
当
时，无极值，
当
时，极大值为
，极小值为
.
【分析】（1）求导，确定切线斜率，即可求解；
（2）通过
，
，
，
讨论函数单调性，进而可求解.
【详解】（1）当
时，
，定义域
，
由
，即切点为
，
求导得
，代入
得
，即斜率
，
由点斜式得
，即
.
（2）由
，
求导得：
，
，
当
时，
，
当
时
，
单调递减；
时
，
单调递增，
故
仅有极小值
，无极大值，
当
，即
时，
，
和
时，
，
时，
，
故
在
和
单调递增，在
单调递减，
故极大值为
，极小值为
，
当
时，
恒成立，
在定义域内单调递增，无极值，
当
时，
，
，
和
时，
，
时，
，
在
和
单调递增，在
单调递减，
故极大值为
，极小值为
，
综上：当
时，极小值
，无极大值，
当
时，极大值为
，极小值为
，
当
时，无极值，
当
时，极大值为
，极小值为
.
24．（25-26 高三上·江西萍乡·期中）已知函数
．
(1)证明：函数
在
上存在唯一零点；
(2)设函数
．
（i）讨论
的极值点的个数；
【答案】(1)证明见解析；
(2)（i）当
或
时，
的极值点的个数是2 个；当
时，
的极值点的个数是0 个；
【分析】（1）先求出
的表达式，再对
求导，根据导数的性质判断
在区间
上的单调性，进而
证明存在唯一的极值点；
（2）（i）求导，分
，
，
三种情况讨论导函数的符号，可得出原函数的单调性进而得出极值点
个数；
【详解】（1）已知
，定义域
，
当
时，
单调递减，所以
单调递增，
而
也单调递增，故
在
上单调递增；
，
，
所以
在
上存在唯一零点；
（2）（i）
的定义域为
.
当
时：
则
，
在
是增函数，
则
，
在
是减函数，
，则
，
在
是增函数，
所以
是
的极大值点，
是
的极小值点，
的极值点的个数是2 个；
当
时：
，
时，
是增函数，
无极值点，
的极值点的个数是0
个；
当
时：若
则
，
在
上是增函数，
若
则
，
在
上是减函数，
，则
,
在
是增函数，
是
的极大值点，
是
的极小值点，
的极值点的个数是2 个；
综上，当
或
时，
的极值点的个数是2 个；当
时，
的极值点的个数是0 个；
考点五 利用导数求函数的最值（不含参）
25．（江苏扬州市2026 届高三下学期五月质检数学试题）函数
在区间
上的最大值为
_________．
【答案】2
【详解】∵
，
，
∴ 对
求导得
.
令
，解得
，
，均属于区间
.
分别计算
在区间端点和极值点处的函数值：
当
时，
.
当
时，
.
当
时，
.
当
时，
.
比较上述函数值大小：
，
∴ 函数
在区间
上的最大值为
.
26．（25-26 高三上·天津静海·期中）函数
的最小值为（ ）
A．
B．2
C．4
D．1
【答案】D
【详解】因为
，由
，得
或
，
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
所以
在
取到极小值，也是最小值，即
.
27．（25-26 高三上·广东汕头·期中）已知函数
.
(1)求函数
的图象在
处的切线方程；
(2)若对任意
，
恒成立，求实数
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义以及点斜式方程求解；
（2）求出
在
上的最大值
，将
恒成立转化为
，解不等式，
求出
的取值范围
【详解】（1）
，
，
，
所以函数
的图象在
处的切线方程为
，即
；
（2）
，
所以当
时，
，当
时
，当
时，
，
故
在
上单调递增，在
上单调递减，在
上单调递增；
又
，
所以
在
上的最大值为
，
对任意
，
恒成立等价于
，
即
，解得
或
，所以
的取值范围为
.
28．（25-26 高三·全国·一轮复习）设函数
，若函数
在
处与直线
相切．
(1)求实数
，
的值；
(2)求函数
在
上的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义可确定方程组，求解即可；
（2）由函数的导函数可确定函数在给定区间上的单调性，结合单调性可求最大值.
【详解】（1）
，
，
函数
在
处与直线
相切，
，解得
（2）由（1）知，
，
，
，
当
时，令
，得
，
令
，得
，
在
上单调递增，在
上单调递减，
．
29．（25-26 高三上·广西河池·期中）已知函数为
．
(1)求
；
(2)求
的单调区间；
(3)求
在区间
上的最值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为
、
，单调递减区间为
(3)最大值为
，最小值为
【分析】（1）借助导数运算法则计算即可得；
（2）求导后，利用导数正负即可判断函数单调性；
（3）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得.
【详解】（1）
；
（2）由
，
则当
时，
，当
时，
，
故
的单调递增区间为
、
，单调递减区间为
；
（3）由
的单调递增区间为
、
，单调递减区间为
，
则当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
又
，
，
，
故
在区间
上的最大值为
，最小值为
.
30．（2026·四川眉山·模拟预测）若直线
为曲线
的一条切线，则
的最大值为______.
【答案】
【分析】先设切点为
，根据切线方程可得
，进而可得
，再构造函
数
，用导数求得函数的最大值可得.
【详解】设切点为
，对曲线
求导得：
.
因为切线
斜率为，因此：
且
，
所以
，即
，得
.
再将
代入
得：
，即
，
两边取对数整理得：
.
所以
，
令
，求导：
，
令
，得
，即
，
因为
在
上单调递减，
所以当
时，
；当
时，
.
因此函数
在
上单调递增，在
单调递减，
所以
是函数
的极大值点也是最大值点，
因此
.
故
的最大值为
.
考点六 利用函数最值求参数
31．（25-26 高三下·湖南张家界·阶段检测）已知函数
，若
在区间
上的最小值为
，则实数
的取值范围是______.
【答案】
或
.
【分析】先求出导函数得出函数单调性，再结合
，再应用最小值列式求解
.
【详解】因为
，
，
当
单调递增，当
单调递减，
当
单调递增，
且
，
，若
在区间
上的最小值为
，
因为函数取到值为
的点为
或
，
所以对区间
的最小值进行分类讨论：
若区间包含极小值点
，则
，解得
；
若区间不包含
，则最小值必在端点取到，结合单调性可知，只有当
时，在区间
上的最小值为
。
所以当
在区间
上的最小值为
时，
或
.
32．（25-26 高三上·北京·期中）若函数
在
上有最小值，则实数
的取值范围为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，
导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在
内存在最小值，则导数在区间内存在唯一
的从负到正的变号零点.
【详解】已知函数
的定义域为
，对其求导得：
，令
，
若
在
上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间
内先递减后递增，
即
在
内由负变正，等价于
.
.
解得
，即实数
的取值范围是
.
33．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）已知函数
在区间
上的最小值为0，则实数
的值为
_________
【答案】
【分析】先对函数求导，分
和
讨论单调性.
时在区间单调递减，最小值为
，解得
与条件矛
盾舍去；
时根据极值点与区间的位置关系分情况讨论，结合最小值为0 求解
.
【详解】
求导得
，
当
时，
，
，则
在
上单调递减，
则函数的最小值为
与
矛盾，舍去；
当
时，令
，得
（负根舍去）.
①若
，即
时，
在
单调递减，则函数的最小值为
，矛盾，
舍去；
②若
，即
时，
在
单调递减，在
单调递增，
函数的最小值在
处取得，即
，
解得
，满足
.
综上，可得实数
的值为
.
34．（25-26 高三上·四川资阳·期中）已知函数
，
．
(1)讨论函数
的单调性；
(2)若函数
在区间
上的最小值为1，求
的值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求导得
解析式，分别讨论
和
两种情况，根据
的正负，可得
的单调区间，
综合分析，即可得答案.
（2）分别讨论
、
、
和
四种情况，根据
的正负，可得
的单调性，求出
的最小值，根据条件，求出a 值，综合分析，即可得答案.
【详解】（1）因为
，函数
的定义域为
，
所以
，
当
时，
恒成立，则
在
上单调递减；
当
时，令
，解得
或
（舍去），
当
时，
，则
在
上单调递减，
当
时，
，则
在
上单调递增.
综上所述，当
时，
在
上单调递减；
当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增.
（2）当
时，
，则
在
上单调递减，
所以
，解得
，不合题意，故舍去；
当
时，若
即
，则
在
上单调递增，
所以
，解得
，符合题意；
若
即
，则
在
上单调递减，
所以
，解得
，不符合题意；
若
即
，则
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，不符合题意；
综上，函数
在区间
上的最小值为1 时，
.
35．（25-26 高三上·安徽合肥·期中）若函数
在区间
上有最大值，则实数
的取值范围
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数进行求导，导数的零点需落在指定区间上，从而求出
的范围
【详解】
，又
，
令
，
，则
的零点与
的零点相同，
因为
函数图象开口向下且
，要使
在区间
上有最大值，
所以
和
，解得
.
36．（2026·江西·模拟预测）已知函数
.
(1)讨论
的单调性；
(2)若
存在最小值，且最小值小于2，求
的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可.
（2）结合题意确定
，再得到
，构造函数并求导得到单调性，结合
求解参数范围即可.
【详解】（1）由题意得
的定义域为
，
由
，可得
，
若
，则
在
上恒成立，
则
的单调递增区间为
，无单调递减区间.
若
，则当
时，
，当
时，
，
则
的单调递增区间为
，单调递减区间为
.
（2）由（1）可知，若
存在最小值，则
，
且
的最小值为
，
则
，可得
，即
.
令
，则
.
因为
恒成立，
所以
恒成立，则
在
上单调递增.
又
，令
，解得
，即
，
故
的取值范围为
.
考点七 利用导数求函数的最值（含参）
37．（25-26 高三上·四川成都·期中）已知函数
(1)当
时，求
的极值；
(2)当
时，讨论函数
在区间
上的单调性及最小值．
【答案】(1)极大值为
，无极小值
(2)当
时，
在
上单调递减，最小值是
；当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；此时若
，最小值为
；若
，最小值为
；当
时，
在
上单调递增，最小值是
.
【分析】（1）求导后，根据
正负可得
单调性，结合极值定义可求得结果；
（2）求导后，分别讨论
、
和
时
在
上的单调性，进而确定最小值.
【详解】（1）当
时，
，
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减，
的极大值为
，无极小值.
（2）由
得：
，
，
令
，解得：
，
当
时，
；当
时，
；
在
上单调递增，在
上单调递减；
①当
，即
时，
在
上单调递减，
此时
的最小值为
；
②当
，即
时，
在
上单调递增，在
上单调递减；
，
，
，
当
时，
，此时
；
当
时，
，此时
；
③当
，即
时，
在
上单调递增，
此时
的最小值为
；
综上所述：当
时，
在
上单调递减，最小值是
；当
时，
在
上单调递增，
在
上单调递减；此时若
，最小值为
；若
，最小值为
；当
时，
在
上单调递增，最小值是
.
38．（25-26 高三上·江苏苏州·期中）已知函数
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
．
（ⅰ）求
在
上的最大值和最小值；
【答案】(1)
(2)（ⅰ）最大值为
，最小值为
；
【分析】（1）对函数
求导，代入
求出
的关系，进而求解；
（2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出
在
上的最大值和最小值；
【详解】（1）函数
求导得
，
已知
，则
，
．
（2）（ⅰ）
，则
，求导得：
，
，
在
上恒成立，
导数符号由
决定：
当
时，
，
，
单调递增；
当
时，
，
，
单调递减；
在
处取得极大值，即为最大值，
，
，
，
，
在
上的最小值为
，最大值为
；
39．（25-26 高三上·贵州黔南·阶段检测）已知函数
（
）．
(1)讨论
的单调性；
(2)当
时，求
在
上的最小值．
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先确定
的定义域，再求出
的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可.
（2）先根据已知条件确定
在
的单调性，再对
的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下
的最
小值.
【详解】（1）由题意可得：
的定义域是
，且
，
令
，则
或
,
①当
时，若
或
，则
，若
，则
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
②当
时，因为
，所以
在
上单调递增，
③当
时，若
或
，则
，若
，则
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减.
（2）当
时，由（1）可得：
在
上单调递减，
所以，①当
时，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值，为
，
②当
时，
在
上单调递减，
所以
在
处取得最小值，为
．
综上，
．
40．（25-26 高三上·重庆·期中）已知函数
，
，
，若
，
，
使得
成立，则实数
的取值范围是___________.
【答案】
【分析】若
，
使得
成立，等价于
大于
在
上的值域的下界；通过
求导求出
最小值，再通过构造函数求解实数
的取值范围即可.
【详解】因为
，所以
，
当
时，
，
得到
在
上单调递增，则
，
若
，
，使得
成立
即
，使得0> g( x2)成立，
得到
在
上有解，
化简得
在
上有解，
令
，则
，
令φ( x)=
x
x +1 −ln( x +1), x∈(0,2]，则
，
所以
上单调递减，
，得到
，
所以
上单调递减，
，
故a> ln3
2 ，得到
取值范围为
.
41．（25-26 高三上·北京顺义·阶段检测）已知函数
(1)函数
在
处取极值，求
的值：
(2)求函数
在区间
上的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零列方程求解；
（2）求导，结合导数的性质及
得出
，分情况讨论求出各区间内的
，进而求出函数
在区间
上的最小值．
【详解】（1）
的定义域为
，求导得
，
已知
在
处取极值，则
，解得
．
当
时，
，
当
时，
，当
时,
，故
在
处极值，符合题意.
（2）函数的导数为
，
已知
，
，则
，
当
时，
在
上恒成立，
单调递减，
最小值为
；
当
时，
在
上恒成立，
单调递增，
最小值为
；
当
时，令
，解得
，则
，
时，
，
单调递减；
时，
，
单调递增；
最小值在极值点
处取得：
；
综上可得：
．
42．（25-26 高三下·安徽阜阳·阶段检测）已知函数
，其中
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)当
时，令
求函数
在区间
上的最大值；
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)先求导得切线斜率，结合切点坐标，用点斜式得到曲线在该点的切线方程.
(2)对
求导，结合
的范围判断单调性，确定最大值.
【详解】
（1）当
时，
，
，
又
，
，
∴曲线
在点
处的切线方程为
.
（2）由已知
，
则
，
设
，
其中
.
当
时，
，
在区间
上单调递减，
∴对任意
有
，即
，
在区间
上单调递减，
因此函数
在区间
上的最大值为
.
43．（2026·陕西安康·三模）已知函数
，且
．
(1)求
的值；
(2)若
．
（i）求
在
上的最大值和最小值；
【答案】(1)
(2)（i）最大值为f (2)= 4 +m
e
2
，最小值为
；
【分析】（1）求导，由
，即可求解；
（2）（i）由（1）得到
，再求导，确定函数单调区间，即可求解；
【详解】（1）因为f ( x)= x
2+mx−n
e
x
，
所以
= −x
2+(2−m)x +m+n
e
x
，
则f
′(2)= −4+2(2−m)+m+n
e
2
= −(m−n)
e
2
=0，
所以
．
（2）（i）由（1）得
，
则f
′( x)= −x
2+(2−m)x +2m
e
x
= −( x−2)( x +m)
e
x
, x∈[0,3]，
因为
，令
，得
；
令
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
，又f (0)=−m<0,f (3)= 9+2m
e
3
>0，
所以
在[0,3]上的最大值为f (2)= 4+m
e
2
，最小值为
．
44．（25-26 高三上·江苏·月考）（多选）已知函数
，则下列说法正确的有（ ）
A．若
，则
有最小值
B．若
，则
的极小值为0
C．若
，则
D．若
，则
的最大值大于
【答案】CD
【分析】对于A，研究函数单调得
有最大值
，无最小值判断A；对于B，结合A 选项的
单调区间得
时的单调区间，即可判定；对于C，根据函数单调性判断即可；对于D，结合A 选项得
，再构造函数证明即可.
【详解】函数
的定义域为
，
对于A，当
时，
得
，
故当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
所以
有最大值
，无最小值，故A 选项不正确；
对于B，当
时，由A 选项知，当
时，
，则
在
上单调递增；
当
时，
，则
在
上单调递减，
所以
的极大值为
，无极小值，故B 不正确；
对于C，
，当
，则
，所以
在
上单调递增，
又
，即
，则
，故C 正确；
对于D，当
时，由A 选项知，
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，令
，则
，
当
时，
，则
在
上单调递增，
所以
，即
的最大值大于
，
而
，故
，即
，所以D 正确；
考点八 函数单调性、极值与最值的综合应用
45．（25-26 高三·全国·一轮复习）如图，直线
与曲线
交于
、
两点，其中
是切点，记
，
，则下列判断正确的是（ ）
A．
只有一个极值点
B．
有两个极值点，且极小值点小于极大值点
C．
的极小值点小于极大值点，且极小值为
D．
的极小值点大于极大值点，且极大值为2
【答案】D
【分析】利用
的几何意义可判断AB；求导，结合切点
与另一个切点，可得
的单调性，进而
可得结论.
【详解】由
，得
，
可得
表示曲线
上的过点
与原点
的直线的斜率，
由图形可知，
先增大，后减小，又增大，
所以
有两个极值点，且极小值点大于极大值点，故AB 错误；
设切点
的坐标为
，则由条件得
有两个解，
其中一个解为
，另一个解设为
，显然有
，
当
时，
；当
时，
，当
，
.
，
，
∴当
时，
，
单调递增，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
∴当
时，
有极大值，且极大值为
.
当
时，
有极小值，且
的极小值点大于极大值点，故C 错误，D 正确；
46．（2026 高三·全国·专题练习）已知
，
．
(1)当
时，求
的单调区间；
(2)若
，使
成立，求参数
的取值范围．
【答案】(1)
的单调递减区间为
，
的单调递增区间为
，
(2)
【分析】（1）将a 的值代入，再对函数求导，对函数的导数进行研究即可；（2）先对函数进行求导，再对a 进行
讨论，在题目要求的范围内找到一个极小值小于题目要求即可.
【详解】（1）当
时，
，
所以
．由
，得
或
0；由
，得
.
所以
的单调递减区间为
，
的单调递增区间为
，
.
（2）由题意，得
，因为
，由
，解得
，
．
①当
时，因为
，所以
，所以
单调递增，即
．
，即
．
设
，
．
所以
，即
恒成立，即
，所以不等式
无解；
②当
时，当
变化时，
，
变化情况如下表：
0
+
0
-
0
+
极大值
极小值
且
，
，因为
，所以
，
因此
恒成立，
若
，使
，则
所以
所以
解得
．
综上所述，参数
的取值范围为
.
47．（2026·陕西渭南·三模）已知函数
．
(1)当
时，曲线
的一条切线方程为
，求实数
的值；
(2)求函数
的单调区间；
(3)若对任意
，
恒成立，求实数
的最小值．
【答案】(1)
(2)当
时，函数
无严格单调区间；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
(3)1
【分析】（1）利用导数的几何意义，根据切线斜率求切点，再根据切点满足
求
的值.
（2）求导，分
，
，
讨论导函数的符号，探究函数的单调性.
（3）设
，结合二次求导，求出函数的最小值为
，问题转化为
，求
的最小
值，再设
，分析函数单调性，解不等式即可得
的最小值.
【详解】（1）当
时，
，
.
由
解得，
.
由
，
所以
，解得：
.
（2）由
，所以
.
若
，则
为常数函数，无严格单调区间；
若
，由
解得
；由
解得
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
若
，由
解得
；由
解得
.
所以函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
综上，当
时，函数
无严格单调区间；
当
时，函数
在
上单调递减，在
上单调递增.
（3）由
，可得
，即
.
设
，
，则
，
.
设
，
，则
恒成立，所以
在
上单调递增.
又
，
，
所以当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增.
所以
.
由
，可得：
.
设
，
，则
.
由
解得
；由
解得
.
所以
在
上单调递增，在
上单调递减.
又
，
，
.
所以存在
，使得
.
所以不等式
的解集为
.
所以实数
的最小值为1.
48．（25-26 高三上·天津东丽·期中）已知函数
，其中
.
(1)若
是
的极值点，求
的值；
(2)证明：
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点；
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可.
（2）根据导数与极值的关系，结合零点存在定理证明即可.
【详解】（1）
的定义域为
，
.
因为
是
的极值点，所以
，即
，解得
.
当
时，
，
当
时，
；当
时，
，所以
是
的极值点.
综上，
.
（2）由（1）知，
，
.
令
，即
，因为
，
，所以
，
解得
，且
.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减，
所以
是
在
上唯一的极值点，是极大值点.
所以
.
取
，（易知
，则
，
）
则
.
令
，则
可写为
.
令
，则
，
令
，则
，所以
在
上单调递减，
所以
，即
，所以
在
上单调递减，
所以
，所以
，
所以存在
，使得
，所以
是
在
上唯一零点.
综上，
在区间
存在唯一的极值点和唯一的零点.
49．（25-26 高三上·广东江门·期中）当
，满足
，则实数a 的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先利用同构变形得到
，构造函数
，
，结合其单调性和
取值
范围的分析，得到
在
上恒成立.再分离参数得
，
，设
，利用导数分析函数
的单调性，求函数
的最大值即可.
【详解】由
.
设
，
，
则
.
又因为
，
，
由
；由
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
又当
时，
，
与1 的大小关系不确定，但是要求实数
的最小值，所以只要考虑
，此时
，
所以
.
因为
，所以
，
.
设
，
，则
，
.
当
时，
，
单调递增；当
时，
，
单调递减.
所以
.
所以
.
即实数
的最小值为
.
50．（2026·贵州贵阳·二模）已知函数
．
(1)判断函数
的单调性，并求出
的极值；
(2)若
，不等式
有唯一的负整数解，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
在
上单调递减，在
上单调递增，
，
无极大值；
(2)
【分析】（1）利用导数即可求解；
（2）由不等式
有唯一的整数解，得到f ( x)<ax + 1
2有唯一解，利用函数的单调性讨论函数
与直线
有且仅有一个负整数交点即可.
【详解】（1）由
，
∴
，且
时，
；
时，
，
∴
在
上单调递减，在
上单调递增，
∴
，
无极大值.
（2）由
，即f ( x)<ax + 1
2，令h( x)=ax + 1
2，原不等式等价于
只有唯一负整数解，结合
与
的图象可知，
是过定点
的一条直线，
当
时，存在无数个负整数解满足该不等式，不满足题意，
当
时，需f (−2)≥h(−2)且f (−1)<h(−1)，得
，解得
，
即实数
的取值范围是
.
51．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
，
，其中
．
(1)若
是函数
的极值点，求实数
的值：
(2)当
时，讨论函数
的极值点，并说明其是极大值点还是极小值点；
(3)若存在
（e 为自然对数的底），使得不等式
成立，求实数
的取值范围．
【答案】(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，求得
，结合题意，得到
，列出方程，即可求解；
（2）求得
，分
，
和
，三种讨论，得到函数
的单调性，结合极值点的定
义，即可求解；
（3）由
，得到
，令
，转化为存在
，使得
，求得
，得到
的单调性和最小值，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
，可得其定义域为
，且
，
因为
是函数
的极值点，可得
，即
，
可得
，解得
，所以实数
的值为
.
（2）解：由函数
，可得其定义域为
，
且
，
令
，即
，所以
，
因为
，解得
或
，
当
时，即
时，
，
在
上单调递增，无极值点；
当
时，即
时，
令
，可得
或
；令
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调递增，
所以
是函数
的极大值点，
是函数
的极小值点；
当
时，即
时，
令
，可得
或
；令
，可得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，在
单调递增，
所以
是函数
的极大值点，
是函数
的极小值点；
综上可得，当即
时，
无极值点；
当
时，
是极大值点，
是极小值点；
当
时，
是极大值点，
是极小值点.
（3）解：由
，可得
，
整理得
，即
，
令
，则问题转化为
，
，
又由
，令
，可得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减，
所以
在
或
处取得最小值，
计算
，
因为
，所以
，
因为存在
，使得
，所以
，
所以实数
的取值范围为
52．（25-26 高三上·山东济南·期中）已知函数
有两个极值点，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】对函数求导，把
有两个极值点问题转化为导数有两个正实根，从而利用判别式结合韦达定理构造不
等式组求解．
【详解】函数
的定义域为
，求导得
，
，导数
的符号由分子决定，令
，
函数
有两个极值点，等价于
在
上有两个实根，
则二次方程
需满足
，解得
，
的取值范围是
．
1．（25-26 高三上·上海·期中）已知函数
的导函数
的图像如图所示，则
在
内有（ ）
A．3 个驻点
B．4 个极值点
C．1 个极小值点
D．1 个极大值点
【答案】C
【分析】由
图象判断区间符号和零点个数，进而判断
的驻点、极值点个数.
【详解】由题图知：
从左到右依次分为5 个区间，
区间符号依次为：正、负、正、正、负，且共有4 个零点，
即
有4 个驻点，综上，对于
中的4 个驻点有2 个极大值点，1 个极小值点，
所以C 正确，A、B、D 错误.
2．（25-26 高三上·贵州黔南·阶段检测）函数
的极小值为（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】A
【详解】
，当
或
时，
，当
时，
，
则
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
的极小值为
．
3．（25-26 高三上·河北邯郸·期中）函数
的极值点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】f
′ (x)=6 x
2−14 x−4，因为
，所以
有两个极值点，
由韦达定理得这两个极值点之和为
．
4．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·期中）若函数
在
处取得极值，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合结论函数在点
处可导且取得极值，则
求
，再验证结论.
【详解】由题意知函数
的定义域为
，
由
可得
，
函数
在
处取得极值，
，
，此时
，
当
时，
，
在
上单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增；
经检验
时函数
在
处取得极值.
5．（25-26 高三上·广东汕头·期中）若函数
在区间
有两个不同的极值点，则实数
的取值
范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对函数求导后，由题意可知导函数在
有2 个不同的零点，从而可得方程有两个不同的实根，再结合
二次函数的性质可求得结果.
【详解】函数
的定义域为
，
，
在
有两个不同极值点.
分母
恒成立，令
在
上有两个不同的正实根.
函数
，两个不同根都在
需满足：
①判别式
，结合
得
；
②对称轴
，解得
.
③区间端点
，解得
；
恒成立.
综上，
.
6．（25-26 高三上·安徽安庆·阶段检测）已知函数
，
，若对任意的
，
存在
，使得
成立，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】转化题意为
，根据求导分别求出
即可.
【详解】若对任意的
，存在
，使得
成立，
等价于
，
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，
所以
对任意的
恒成立，
所以a≥x
2−3
e
x
.
令
，
，
所以
，
当
时，
，
当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，所以
，
所以a≥6
e
3，即a 的取值范围是
.
7．（2026·山东东营·二模）已知函数
，若
恒成立，则
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用已知条件，把复杂不等式转化为简单函数，求导，利用导数分析单调性和极值，进而求出
的取值
范围．
【详解】已知函数
对
恒成立，
则
，
令
，求导得
，
单调递增，
，由单调性得
，即
，
令
，求导得
，
当
时，
，
单调递增；
当
时，
，
单调递减；
在
处取得极大值：
，
要使
恒成立，只需满足
，
的取值范围是
．
8．（25-26 高三上·四川成都·月考）已知函数
在
处取得最小值1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用“极值点处导数为0 和函数值为1”联立方程组，求解参数后通过单调性验证极值类型，最后代入参
数值即可求解.
【详解】因为函数
在
处取得最小值1，
所以
在
处取得极值，故
.
又
，所以
，
解得
.
将
代入导数得
，
令
，解得
或
（舍去），
当
时，
，
单调递减；当
时，
，
单调递增.
因此
是
的最小值点，也是极小值点，符合题意，所以
.
9．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若函数
有两个极值点，设这两个极值点为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】先对函数求导，将两个极值点转化为导函数对应的二次方程的两个正根，利用韦达定理直接判断选项
A，B；再根据根的范围确定
，分析函数单调性，结合
处的函数值，判断
，
与
的大小关系，验证选项C，D．
【详解】
，
，
因为
有两个极值点
，
所以
在
上有两个不同的根，
所以方程
有两个不同的正根，
根据韦达定理得
，
，A 正确，B 错误；
因为
且
，所以
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
，C 正确，D 正确．
10．（2026·四川成都·三模）（多选）已知函数
，则（ ）
A．当
时，函数
有最大值
B．若函数
图象的对称中心为
，则
C．函数
在
上一定存在减区间
D．函数
可能有2 个零点
【答案】BC
【分析】对于A，求导根据函数的单调性判断即可；对于B，二阶导数求对称中心横坐标或利用对称中心定义判断
即可；对于C，求导，结合判别式大于零解出减区间即可判断；对于D，因式分解，结合判别式大于零进行判断即
可.
【详解】对于A，当
时，
，
当
时，
在
上单调递增，
当
无限趋于正无穷大时，
也无限趋于正无穷大，所以
没有最大值，故A 错误；
对于B，法一：
，令
，则
，
结合三次函数对称性可知，
，所以
，故B 正确；
法二：若函数
图象的对称中心为
，则对任意实数，恒有
，
代入化简得
，解得
，故B 正确；
对于C，
，令
，
解得
或
，
当
时
，所以
在
上单调递减，故C 正确；
对于D，
，
令
，又
，
所以
有两个不为0 的根，所以
有3 个零点，故D 错误.
11．（25-26 高三上·广东汕尾·期中）（多选）函数
，则下列说法正确的是（ ）
A．若
，则
在
单调递减，在
单调递增
B．若
，则
C．若
，则
存在一个极值点
D．若
，则
恒成立
【答案】ACD
【详解】
，求导可得
，
令
，求导可得
．
选项A：当
时，
，所以函数
在
单调递增，
因为
，
所以当
时，
，则
，函数
在
单调递减，
当
时，
，则
，函数
在
单调递增；
选项B：当
时，要证
，即证
，
当
时，1−1
x >1，而
，此时
不成立；
选项C：当
时，因为
，所以
，
在
上单调递增，
因为
，
，所以存在
，使得
，
当
时，则
，函数
在
单调递减，
当
时，则
，函数
在
单调递增，
所以
是函数的极小值点
，因此
存在一个极小值点；
选项D：当
时，
，故
，
由选项C 可知，当
时，
在
处取得极小值，
其中
满足
，即
，
则
，
因为
，所以
，
，故
，
因此
恒成立，故当
时，
恒成立．
12．（25-26 高三上·河北唐山·期中）已知函数
在
处取得极值，则实数a 的取值为
_____．
【答案】
或1
【分析】对函数求导，利用
求参数值，再注意验证极值情况，即可得.
【详解】由题设
，且
，
所以
，可得
或
，
当
，则
，
，
或
，
所以
在
、
上单调递减，在
上单调递增，
此时
处
取极大值，满足题设，
当
，则
，
或
，
，
所以
在
、
上单调递增，在
上单调递减，
此时
处
取极小值，满足题设，
综上，
或
.
13．（25-26 高三上·天津南开·月考）如图是
的导函数的图象，则正确的判断是
（1）
在
上单调递增
（2）
是
的极小值点
（3）
在
上单调递减，在
上单调递增
（4）
是
的极小值点
以上正确的序号为______.
【答案】（2）（3）
【详解】由函数
的导函数的图象知
当
时，
，所以
在
上单调递减，所以（1）错误.
当
时，
；当
时，
.
所以
在
上单调递减，在
上单调递增.
所以
是
的极小值点，所以（2）正确.
当
时，
，在
上单调递减.
所以
是
的极大值点.
所以（3）正确，（4）错误.
14．（25-26 高三上·福建莆田·阶段检测）若对任意的
，恒有
，则实数
的取值范围
为________.
【答案】
【分析】首先对不等式进行移项，将含
的部分合并得到
，观察到两边可以统一为函数
，利用其单调性将问题转化为
在
上恒成立，进而通过求
的最大值得到参
数范围.
【详解】不等式
可化为
.
令
，则
，所以
.
设
，则
，所以
单调递增.
又
，
，
则
等价于
，即
在
上恒成立，
也即
在
上恒成立.
令
，则
，
令
，则
，解得
，
当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，
要使
在
上恒成立，只需
.
所以实数
的取值范围为
.
15．（25-26 高三下·甘肃武威·阶段检测）已知函数
．
(1)若
，求
的极值；
(2)若
，且
，使得
，求实数
的取值范围．
【答案】(1)极小值为2，极大值为．
(2)
【分析】（1）求导得到导数零点，判断单调性，确定极值点并计算极值;
（2）求导得出
是函数在
上的最大值点，将问题转化为最大值不小于
并解不等式即可.
【详解】（1）依题意，f (x)=e x
2−2(x−1)e
x ,f
′ (x)=2e x−2 xe
x =2 x(e−e
x)．
令
，解得
或
．
故当
时，
单调递减；
当
时，
单调递增；
当
时，
单调递减．
所以
的极小值为
，极大值为
．
（2）依题意，f
′ (x)=2ax−2 x e
x =2 x(a−e
x)．因为a>1, x∈(0,+ ∞)，
令
，解得
，当
时，
，
单调递增，
当
时，
单调递减．
故当
时，
取得极大值，也是最大值，
则
，即
，整理得
，解得
，
故实数
的取值范围为
．
16．（25-26 高三上·河北石家庄·期中）已知函数
，
．
(1)求
的极值点；
(2)若
在区间
内单调递减，求
的取值范围；
(3)若
，比较
与1 的大小．（其中
）
【答案】(1)
为
的极大值点，
为
的极小值点
(2)
(3)
【分析】（1）先求导，然后通过分析函数的单调性即可求解；
（2）由（1）知
在
上单调递减，则
在区间
内单调递减可转化为
进行求解；
（3）由（1）知
，
，然后对
分类讨论求得函数
的最大值与1 的大小关系即可求
解.
【详解】（1）
的定义域为
，
，
因为
，所以
，由
，可得
或
，
由
，可得
，因此
在
和
上单调递增，在区间
上单调递减；
故
为
的极大值点，
为
的极小值点．
（2）由（1）得
在
上单调递减，
要想
在
内单调递减，则
，
即
，解得
，又
，则
的取值范围为
．
（3）由（1）知
，
，
①当
即
时，又
，则
，
即
在
上单调递减，则f ( x)max= f (1)=k −1≤1
e −1<1，所以
；
②当
时，即
，
当1≤x< 1
k 时，
；当1
k < x ≤e时，
，
即
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
在
上的最大值为
与
中的较大者，
而
，
，
，即
，所以
；
综上，当
且
时，
.
17．（25-26 高三上·云南昭通·期中）已知函数
.
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)当
时，求
的最小值；
(3)证明：当
时，
有唯一零点.
【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据条件得
，利用导数与函数单调性间的关系，即可求解；
（2）根据条件，求出
的单调区间，即可求解；
（3）分
，
和
，分别求出
的单调区间，再结合零点存在性原理，即可求解.
【详解】（1）易知
的定义域为
，
，
当
时，
，又易知
是递增函数，且
时，
，
所以当
时，
，则有
，
当
时，
，则有
，
所以对任意的
，都有
，当且仅当
时取等号，
故
的增区间为
.
（2）因为
，当
时，有
恒成立，
所以当
时，则
，即
在区间
上单调递增，
当
时，则
，即
在区间
上单调递减，
所以
，故
.
（3）当
时，令
，得到
或
，
当
时，
所以
或
时，则
，即
在区间
和
上单调递增；
当
时，则
，即
在区间
上单调递减，
则
在
时有极小值
，
在
时有极大值，
，
又
时，
，
由零点存在性原理知，当
时，
有且仅有一个零点，
当
时，由（1）知
在
上单调递增，又
时，
，
时，
，
所以
时，
有且仅有一个零点，
当
时，
，
当
或
时，则
，即
在区间
和
上单调递增，
当
时，则
，即
在区间
上单调递减，
又
，
时，
，
由零点存在性原理知，当
时，
有且仅有一个零点，
综上所述，
有且仅有一个零点.
18．（25-26 高三上·江苏扬州·期中）已知函数
，曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求实数
的值；
(2)函数
的导函数为
，求函数
在区间
上的最小值.
【答案】(1)
(2)当
时，
的最小值为
；当
时，
的最小值为
【分析】（1）利用导数求切线斜率，并代入切点求参数；
（2）对函数
求导并令导数为零，以求得的根对
进行分类讨论.
【详解】（1）由题知
，
则
，得
，
，将点
代入切线方程得
，
故
.
（2）由（1）知
，令f
′ (x)=h(x)，
令h
′ (x)=12 x
2−6=12(x−
❑√2
2 )(x +
❑√2
2 )=0，得
或
，
①当
时，若
，
，
单调递减，
故函数
在区间
上的最小值为h(m)= 4 m
3−6m+ 4；
②当
时，若x∈[0,
❑√2
2 )，
，
单调递减，
若x∈[
❑√2
2 ,+ ∞)
，
单调递增，
故函数
在区间
上的最小值为h(
❑√2
2 )= 4−2❑√2；
综上，当
时，
的最小值为
；
当
时，
的最小值为
.
