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4.3 利用导数求极值最值（精练）（提升版）
题组一 无参函数的极值（点）
1.（2022·山东·巨野县实验中学）已知函数 的定义域为 ，导函数 在 内的图像如
图所示，则函数 在 内的极小值有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】由导函数 在区间 内的图像可知，
函数 在 内的图像与 轴有四个公共点，
在从左到右第一个点处导数左正右负，在从左到右第二个点处导数左负右正，
在从左到右第三个点处导数左正右正，在从左到右第四个点处导数左正右负，
所以函数 在开区间 内的极小值有 个，故选：A.
2．（2022·天津实验中学）下列函数中存在极值点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对选项A， ，故没有极值点；对选项B， ，则极值点为 ，故正确；
对选项C， ，故没有极值点；
对选项D， ，故没有极值点；故选：B
3．（2022·福建省连城县第一中学）函数 的极值点的个数是（ ）
A． B． C． D．无数个
【答案】A
【解析】由题， ，故 无极值点故选：A
4．（2022·全国·哈师大附中）已知 是函数 的一个极值点，则 的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，
∴ ，∴ ，∴ 故选：D
5．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知函数 的导函数 的图像如图所示，则下列判断正确的
是（ ）
A．在区间 上， 是增函数 B．在区间 上， 是减函数C． 为 的极小值点 D．2为 的极大值点
【答案】D
【解析】由导函数 的图像可知，
在区间 上为单调递减，在区间 上为单调递增，则选项 不正确；
在区间 上， ，则 是增函数，则选项 不正确；
由图像可知 ，且 为单调递增区间， 为单调递减区间，则 为 的极大值点，
则选项 不正确；由图像可知 ，且 为单调递增区间， 为单调递减区间，则 为 的
极大值点，则选项 正确；故选：D.
6．（2022·湖北·南漳县第一中学）函数 的极大值为（ ）
A．-2 B．2 C． D．不存在
【答案】A
【解析】 ＝1－ ＝ ．令 得 或 （舍）．
由于 ，当 时， ，当 时， ，
所以函数在 上单调递增，在 上单调递减.
故函数在 处取得极大值 ．故选：A
7（2022·天津河北）设 是函数f（x）的导函数，若函数f（x）的图象如图所示，则下列说法错误的是
（ ）A．当 时， B．当 或 时，
C．当 或 时， D．函数f（x）在 处取得极小值
【答案】D
【解析】A.由图象知：当 时，函数f（x）递增，所以 ，故正确；
B.由图象知：当 或 时，函数f（x）递增，所以 ，故正确；
C.由图象知：当 或 时，函数f（x）分别取得极小值和极大值 ，故正确；
D.由图象知：函数f（x）在 处取得极大值，故错误；故选：D
题组二 已知极值（点）求参数
1．（2022·山东潍坊）已知函数 的图像与直线 有3个不同的交点，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对函数 求导得： ，
当 或 时， ，当 时， ，即 在 ， 上单调递增，在
上单调递减，在 处取得极大值 ，在 处取得极小值 ，
在同一坐标系内作出函数 的图像和直线 ，如图，
观察图象知，当 时，函数 的图像与直线 有3个不同的交点，
所以实数m的取值范围是 .故选：B
2．（2022·重庆·万州纯阳中学校）若函数 在 上存在唯一极值点，则实数a的
取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知： ，若函数 在 上存在唯一极值点，
则 ，即 ，解得 .故选：B.
3．（2022·四川省成都市新都一中）已知 没有极值，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ；在 上没有极值， ，即 ，
解得： ，即实数 的取值范围为 .故选：C.
4．（2022·湖北）函数 在 内存在极值点，则（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】A
【解析】由题意知： 在 内存在变号零点，即 在 内有解，
则 ，易得 在 内单调递减，值域为 ，故 .故选：A.
5．（2022·河南）已知函数 有两个极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意 有两个不等实根， ，
设 ， ，
当 时， ， 递增，当 时， ， 递减，
时， 为极大值也是最大值，
时， ，所以 ，
时， ， 与 轴只有一个交点，
所以当 ，即 时，直线 与 的图象有两个交点，即 有两个不等实根．故选：B.
6．（2022·安徽·蒙城第一中学）已知 为常数，函数 有两个极值点，其中一个极值点
满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，由函数 有两个极值点，
则等价于 有两个解，即 与 有两个交点，
所以 .
直线 过点
由 在点 处的切线为 ，显然直线 过点
当 时，直线 与曲线 交于不同两点（如下图），且 ，，
令 ，则 ，
所以 单调递增， ，即 ，
故选： D.
7（2022·陕西·长安一中）已知在 中，三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若函数
无极值点，则角B的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，
若 无极值点，即 无变号零点，又二次函数 开口向上，
所以 恒成立，等价为判别式 ，即 ，得 ，
所以 ，因为 ， ，所以 的最大值为 ；故选：C．
8．（2022·四川·绵阳中学实验学校）若函数 在 处有极值10，则
（ ）
A．6 B． C． 或15 D．6或
【答案】B
【解析】 ，
又 时 有极值10
，解得 或
当 时，
此时 在 处无极值，不符合题意经检验， 时满足题意 故选：B
9．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室二模（理））设函数 ，则下列不是函
数 极大值点的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可得 ，
令 ，得 或 ， ，
则当 时， ，
当 时， ，
所以函数 在 ， ， 上单调递增，在 ， ， 上单
调递减，故不是函数 极大值点的是 .故选：D.
10．（2022·全国·高三专题练习）已知t和 是函数 的零点，且 也是函数
的极小值点，则 的极大值为（ ）
A．1 B．4 C． D．
【答案】B
【解析】因函数 在 处取得极小值0，又t是函数 的另一零点，因此函数 只有两个零点，
从而有 ，求导得： ，
当 或 时， ，当 时， ，于是， 在 处取得极小值，在 处取得极大值 ，
所以 的极大值为4.故选：B
11．（2022·广西·高三阶段练习（理））已知函数 在其定义域的一个子区间 上有极值，
则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，令 ，即 ，解得 ，且 ， ；
， ，∴ 在 上单调递增，在 上单调递减，
∴ 有极大值 ，∴ ，∴ ，故选：A.
12．（2022·安徽·合肥市第八中学）已知函数 在 处取极小值，且 的极大值
为4，则 （ ）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
【答案】B
【解析】 ，所以
因为函数 在 处取极小值，所以
，所以 ， ，
，
令 ，得 或 ，当 时， ，所以 在 单调递增，当时， ，所以 在 单调递增，当 时， ，所以
在 单调递增，所以 在 处有极大值为 ，解得 ，所以 .故选：B
13．（2022·河北承德）已知 是函数 的极值点，则 的极大值为_____．
【答案】0
【解析】因为 ，所以 ，得 ，
所以 ，所以当 时， ， 单调递减，
当 或 时， ， 单调递增，所以 是 的极大值点，则 ．
故答案为：0
14．（2022·北京·101中学）设 是函数 的两个极值点，若 ，则实数a的
取值范围是______．
【答案】
【解析】 ,
因为 是函数 的两个极值点，且 ，
所以 是方一元二次方程 的两个实根，且 ，
所以 ，即 ，解得 .故答案为：
15．（2022·浙江宁波）已知函数 ，若 是函数 的唯一极值点，则实数k的取
值范围是_______．
【答案】
【解析】 的定义域为是函数 的唯一极值点
是导函数 的唯一根
（Ⅰ） 在 无变号零点
令 ，则 ，即 在 上单调递增
此时
（Ⅱ）当 在 有解 时，此时 ，解得
此时 在 和 上均单调递增，不符合题意
故答案为：
题组三 无参函数的最值
1．（2022·海南华侨中学）已知函数 ，下列说法正确的是（ ）
A．函数在 上递增 B．函数无极小值
C．函数只有一个极大值 D．函数在 上最大值为3
【答案】C
【解析】因为 定义域为 ，
所以 ，
所以当 或 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 和 上单调递增，
所以 在 处取得极大值，在 处取得极小值，
即 ， ，
又 ， ，故函数在 上最大值为 ；
故选：C2．（2022·湖北·模拟预测） ， 的最小值为___________．
【答案】3
【解析】令 ，则
当 时， 单调增，
当 时，令 ，
时 ， 递减
时 ， 递增
∴
综上：
故答案为：3．
3．（2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测）若函数 在 内有且只有一
个零点，则 在 上的最大值与最小值的和为_______．
【答案】
【解析】当 时，由 可得 ，令 ，其中 ，
则 ，由 ，可得 ，列表如下：
增 极大值 减
如下图所示：因为 在 内有且只有一个零点，则 ，
所以， ，则 ，
当 时， ，此时函数 单调递减，
当 时， ，此时函数 单调递增，
则当 时， ，
又因为 ， ，所以， ，
因此， 在 上的最大值与最小值的和为 .
故答案为： .
4．（2022·全国·高三专题练习）若实数a、b、c、d满足 ，则 的最小
值为______．
【答案】
【解析】∵ ，
∴点 是曲线 上的点， 是直线 上的点，∴ ．
∵ ，
由 得， ；由 得 ．
∴当 时， 取得极小值为1． 如图，
要使 最小，当且仅当过曲线 上的点 且与线 平行时．
∵ ，直线 的斜率 ，∴ ，
∴ 或 （由于 ，故舍去）．∴ ．
设点 到直线 的距离为d，
则 ．
∵ ，∴ 的最小值为 ．
故答案为： .
5．（2022·四川省成都市新都一中）函数 在区间 上的最大值为______．
【答案】
【解析】对 求导，可得：
故 在区间 上单调递减，在区间 单调递增可得： ， ，
可得：
故 在区间 上的最大值为
故答案为：
6．（2022·天津实验中学）函数 在区间 上的最小值为__________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，得 ，当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得极小值 ，又 ，
所以 在区间 上的最小值为 ，故答案为：
7．（2022·四川·威远中学校）对任意 ，存在 ，使得 ，则 的最小值为_____.
【答案】
【解析】由 得： ，令 ，则 ， ；
，
令 ，则 ，令 ，则 ，
在 上单调递增，又 ，
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递减，在 上单调递增， ，
即 的最小值为 .
故答案为： .8．（2022·河南开封）已知 是奇函数，当 时， ，则当 时， 的最小
值为________．
【答案】1
【解析】 ， ，所以 ，
又因为 是奇函数，所以 ，
所以当 ， ， ，
令 ，所以 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 .
所以当 时， 的最小值为1.故答案为：1.
题组四 已知最值求参数
1．（2022·江西萍乡·三模）已知定义在 上的函数 ，对任意 ，当 时，都有
，若存在 ，使不等式 成立，则实数 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为对任意 ，当 时，都有 ，所以 在 上单调递增，
则 等价于 ，即 ，
令 ， ， ，
因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 在 上单调递减，所以 ，即 ，所以 的最大值为 ；故选：B
2．（2022·辽宁·鞍山市华育高级中学）已知 ， ，若 ，则当 取得最小值
时， 所在区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令 ，即 ，∴ ， ，∴ ，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
∴ 在 上单调递增，且 ，
∴存在唯一 使得 ，
当 时， ， ，当 时， ， ，
∴ ，
即 取得最小值时， ，
由零点的存在定理验证 的根的范围，
当 时， ，当 时， ，
故 ，
故选： ．
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数 至多有2个不同的零点，则实数a的最大值
为（ ）．
A．0 B．1 C．2 D．e【答案】C
【解析】令 ，得到 ，
函数 至多有2个不同的零点，等价于 至多有两个不同的根，
即函数 与 至多有2个不同的交点
令 ，
则 ，
当 时， ， 单调递增，
当 或 时， ， 单调递减，
所以 与 为函数 的极值点，且 ，
且 在R上恒成立，
画出 的图象如下：
有图可知： 或 时，符合题意，
其中 ，解得：
设 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
由 可得： ，所以 ，综上：实数a的最大值为2故选：C
4．（2022·辽宁·辽师大附中）设函数 (n为正整数)，则 在[0，1]上的最大值为
（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，
令 ，可得 或 或 ，
在 上 ，即 递增；在 上 ，即 递减，
所以 在[0，1]上的最大值为 .故选：D
5．（2022·河南安阳）已知函数 ，若 时， 在 处取得最大值，则实数
a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意得 当 时恒成立
则 ，即
∴当 时， 在 图像的下方
，则 ，则
故选：B．6．（2022·江西）设两个实数a，b满足： ，则正整数n的最大值为
（ ）．（参考数据： ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【解析】由题设 且 ，令 且 ， 且 ，
所以 ，故 时 ， 时 ，
则 上 递增， 上 递减，即 ；
，故 时 ， 时 ，
则 上 递减， 上 递增，即 ；
综上，只需 ，整理得 ，取对数有 ，
所以 时，不等式恒成立；
当 时， ，此时 递增且 ， ，
综上， ，故n的最大值为9.
题组五 最值极值的综合运用1．（2022·浙江·宁波市李惠利中学）（多选）对于函数 ，下列选项正确的是（ ）
A．函数 极小值为 ，极大值为
B．函数 单调递减区间为 ，单调递增区为
C．函数 最小值为为 ，最大值
D．函数 存在两个零点1和
【答案】AD
【解析】 的定义域为 ，
所以 ，
所以 为奇函数，
当 时， ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ，则 为单调递增函数，
当 时， ，则 为单调递减函数，
因为 为奇函数，图象关于原点对称，
所以 在 上单调递减，在 是单调递增，
所以 的极小值为 ，极大值为 ，故A正确；
的单调递减区间为 ，单调递增区为 ，故B错误；
在 无最值，故C错误；
令 ，解得 ，结合 的单调性可得， 存在两个零点1和 ，故D正确.
故选：AD2．（2022·福建泉州）（多选）函数 在 处取得极大值，则a的值可以是
（ ）
A．-1 B．0 C．3 D．4
【答案】AB
【解析】 ， .
当 时，令 ， ，
， ， 单调递增， ， ， 单调递减，则 在 处取得
极大值；
当 时，令 ， ， .
当 时， ， ， 单调递增，在 ， ， 单调递减，则
在 处取得极大值；
当 时，若 ，即 时，在 ， ， 单调递增， ， ，单调递减，则 在 处取得极小值，不合题意，舍去；若 ，即 时， 恒成立，
单调递增，不合题意，舍去；若 ，即 时，在 ， ， 单调递
增， ， ， 单调递减，则 在 处取得极大值；综上所述： 时，函数
在 处取得极大值.
故选：AB.
3．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校）（多选）已知函数 ，下列命题正确的是
（ ）
A．若 是函数 的极值点，则
B．若 是函数 的极值点，则 在 上的最小值为
C．若 在 上单调递减，则
D．若 在 上恒成立，则
【答案】ABC
【解析】对于A，由 ，得 ，因为 是函数 的极值点，所以
，得 ，经检验 是函数 的极小值点，所以A正确，
对于B，由选项A，可知 ，则 ，由 ，得 或 ，由
，得 ，所以 在 和 递增，在 上递减，所以当 时，
时， 取得最小值 ，所以B正确，对于C，因为 在 上单调递减，所以 ，即 ，得 在
上恒成立，令 ，则 ，所以 在 单调递增，所以
，即 ，所以 ，所以C正确，
对于D，由 在 上恒成立，得 在 上恒成立，即
在 上恒成立，令 ， ，则 ，所
以 上单调递增，所以 ，所以 ，所以D错误，故选：
ABC
4．（2022·河南·三模）已知函数 ．
(1)讨论 极值点的个数；
(2)证明： ．
【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析﹒
【解析】(1)由题意可知 ， ，
对于二次函数 ， ．
当 时， ， 恒成立，f(x)在 单调递减， 有0个极值点；
当 时，二次函数 有2个大于零的零点，由数形结合可知， 有2个极值点；
当 时，二次函数 只有1个大于零的零点，由数形结合可知， 有1个极值点．
(2)要证 ，即证 ．设 ，则 ，
在 上为增函数，
∵ ， ，
∴在 上，存在唯一的m ，使得 ，即 ， ．
∴在 上 ＜0，h(x)单调递减；在 上， ＞0，h(x)单调递增；
∴ ，当且仅当m＝1时取等号，
∵ ，∴等号不成立，∴ ，
∴ ，从而原不等式得证．
5．（2022·湖南·临澧县第一中学二模）已知函数 .
(1)当 时，若 在 上存在最大值，求m的取值范围；
(2)讨论 极值点的个数.
【答案】(1) ；
(2)当 时，函数有一个极值点；当 时，函数有两个极值点；
当 时，函数没有极值点.
【解析】
(1)因为 ，所以 ，
因为函数 的定义域为： ，所以当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以当 时，函数有最大值，
因此要想 在 上存在最大值，只需 ，
所以m的取值范围为 ；
(2)
，
方程 的判别式为 .
（1）当 时，即 ，此时方程 没有实数根，
所以 ，函数单调递减，故函数 没有极值点；
（2）当 时，即 ，
此时 ，（当 时取等号），所以函数单调递减，故函数 没有极值点；
（3）当 时，即 ，此时方程 有两个不相等的实数根，
设两个实数根为 ，设 ，则 ，
函数 的定义域为： ，显然
当 时，此时方程有两个不相等的正实数根，
此时当 时， ，函数 单调递减，当 时， ，函数 单调递增，当
时， ，函数 单调递减，
因此当 时，函数有极小值点，当 时，函数有极大值点，所以当 时，函数有两个极值点，
当 时，方程有一个正实数根和一个负根，或是一个正实数和零根，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，所以
当 时，函数有极大值点，
因此当 时，函数有一个极值点，
综上所述：当 时，函数有一个极值点；
当 时，函数有两个极值点；
当 时，函数没有极值点.
6．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若函数 在 无零点，求实数a的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值(2)
【解析】(1)由题知，当 时， ，
∴ ，令 ， ．
∴ 时， ， 单调递减；
时， ， 单调递增．
∴ 是 的极小值点，∴ 的极小值为 ，无极大值．
(2)由题知 ，
∴ ， ；令 ，∴ ，∵ ，∴ 恒成立，
∴ 单调递增，即 单调递增．
①当 时，∴ ，∴ 单调递增
∴ 恒成立，即 在 上无零点，∴ ．
②当 时，令 ， ， ，又 单调递增，
∴ 时， ， 时， ，
∴ 在 时单调递减， 时，单调递增，
∴ ，又∵ 时，
∴ ， ，即 在 上有零点，不合题意；
综上所述 ．
7．（2022·北京市十一学校高三阶段练习）已知函数
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)判断函数 的极值点的个数，并说明理由.
【答案】(1)
(2)综上：当 或 时，无极值点；当 或 或 时，有两个极值点.
【解析】(1)当 时， ，定义域为 ， .
因为 ，所以 .
所以 在点 处的切线方程为： ，
即 .(2)函数 定义域为 ， .
①当 时， ，显然无极值点；
②当 时， ，
所以 在 上单调递增，故此时 无极值点.
③当 时，令 ，解得 或 ，
或 时， ， 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故此时 有两个极值点.
④当 时，令 ，解得 或 ，
或 时， ， 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故此时 有两个极值点.
⑤当 时，令 ，解得 或 ，
或 时， ， 时， ，
所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，
故此时 有两个极值点.
综上：当 或 时，无极值点；
当 或 或 时，有两个极值点.
8．（2022·四川省峨眉第二中学校）已知 ，函数 .
(1)讨论 的单调性；(2)当 时，若对 恒成立,求实数b的最大值.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】(1) 的定义域为 ， ，
当 时， ， 在 上单调递减.
当 时，令 ；
令 .
综上，当 时， 在 上单调递减，
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.
(2)∵ ，∴ 恒成立，
即 恒成立，
令 ，则 ，
由 ，得 ；由 ，得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，即 ，
故实数b的最大值是 .
94（2022·江苏·华罗庚中学三模）已知函数 ， （ 为自然对数的
底数， ）．
(1)求函数 的单调区间；(2)若 ， ，当 时， ，求 的最小值．
【答案】(1)分类讨论，答案见解析.(2)1
【解析】(1)函数 的定义域为 ， ，
①当 时，对任意的 ， ，
此时函数 的减区间为 ，无增区间；
②当 时，由 可得 ，由 可得 ，
此时函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；
综上所述，当 时，函数 的减区间为 ，无增区间；
当 时，函数 的单调递增区间为 ，递减区间为 ；
(2)
证明：当 时， ，
则 ，
令 ，其中 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
因为 ， ，所以存在唯一 ，
使得 ，即 ，可得 ，当 时， ，此时函数 单调递增，
当 时， ，此时函数 单调递减，
所以，当 时，
，
即 ，因为 ， ，
综上所述，若 ，当 时， ，
即 ，所以 的最小值为1；
综上， 的最小值为1.
10．（2022·天津市新华中学）已知函数 ，其中 且
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)求函数 的单调区间；
(3)若存在 ，使函数 ， 在 处取得最小值，试求 的最
大值.
【答案】(1)极大值为 ，极小值为 (2)答案见解析(3)
【解析】
(1)当 时， ，则 ，
当 时， ；当 时， ；在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
的极大值为 ，极小值为 .
(2)由题意得： ， 定义域为 ，
，
令 ，解得： ， ；
①当 时， ，则 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
②当 时， ，
则当 时， ；当 时， ；
的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；
综上所述：当 时， 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；当 时， 的单
调递增区间为 ，单调递减区间为 .
(3) ， ，
当 时， 恒成立，
；当 时，不等式恒成立；
当 时，不等式可化为： ，
令 ，
， 是开口方向向下的抛物线，
在闭区间上的最小值必在区间端点处取得，又 ，
只需 ，即 ，
有解， ，解得： ；
的最大值为 .
