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热点 12 导线框进出磁场的电磁感应模型
1.高考命题中，电磁感应问题中导线框进出磁场切割磁感线的问题，综合了法拉第电磁感应定律、楞次定
律、安培力的公式，左手定则、右手定则、牛顿第二定律、动能定理、动量定理、能量守恒定律等规律，
对学生的物理综合素养和能力要求较高。
2.力电磁综合问题，分析清楚是因运动而产生电，还是为电而受力的问题。对导线框受力分析和运动分析，
分析哪个边在切割磁感线，哪个边相当于电源，电磁感应中的线框模型是电磁感应的一种综合题型，是电
磁感应与电路、电场、磁场导体的受力和运动等的综合，题中力现象电磁现象相互联系、相互影响、相互
制约。
一、线框在竖直方向上穿过有界磁场区域
如图所示，线框穿越有界磁场的问题，是关于电磁感应的动力学分段讨论问题。线框的运动一般经历以下
五个阶段： 接近磁场、穿入磁场、浸没磁场 ( 假定能全部浸没 ) 、穿出磁场，远离磁场 ．其中一、三、五阶
段，线框只受重力作用，二、四阶段有电磁感应．下面根据穿入情景的不同，把该类问题大致分为以下三
类：
（空气阻力不计）
(1)匀速穿入．当自由落体的高度恰等于临界高度时，线框刚进入磁场时的速度使得安培力恰等于线框
重力，线框匀速穿入磁场，如图(①)所示．
(2)加速穿入．当自由落体的高度较低时，线框刚进入磁场时的速度较小，使得安培力小于重力，线框
变加速穿入磁场．根据线框长度的不同，加速穿入又分为三种情景：一种是线框长度较短，当完全穿
入时，安培力依旧小于重力；一种是线框长度恰好等于临界长度，当刚好完全穿入时，安培力恰等于
重力；一种是线框长度较长，先加速再匀速，以至于完全穿入磁场，如图(②和b)所示．
(3)减速 穿入．当自由落体的高 度较高时，线框刚进入磁场
时的速度较大，使得安培力大于重力，线框变减速穿入磁场．根据线框长度的不同，减速穿入又分为三种
情景：一种是线框长度较短，当完全穿入时，安培力依旧大于重力；一种是线框长度恰好等于临界长度，当刚好完全穿入时，安培力恰等于重力；一种是线框长度较长，先减速再匀速，以至于完全穿入磁场，如
图(③和c)所示．
归纳：线框全部浸没在磁场中，做竖直下抛运动．穿出磁场时的情景，要依据速度的大小继续讨论．
穿出是加速还是减速，有没有匀速运动，完全要结合问题的实际，视磁场宽度和线框长度而定．需要
强调的是，一定的速度对应着一定的安培力，速度大则安培力大，速度小则安培力小，使安培力等于
重力的速度是唯一的．
二、电磁感应动力学问题的解题策略
三、分析电磁感应中的图像问题的思路与方法
(1)各量随时间变化的图像：如B -t图像、Φ -t图像、E -t图像、I -t图
图
像、F -t图像等。
像类型
(2)各量随位移变化的图像：如E -x图像、I -x图像等。
(1)根据给定的电磁感应过程选择有关图像。
问
(2)根据给定的图像分析电磁感应过程。
题类型
(3)根据某种图像分析判断其它图像。
有关方
左手定则、安培定则、右手定则、楞次定律
向的判断
(1)平均感应电动势E＝n。
常 (2)平动切割电动势E＝Blv。
用规律 六类公 (3)转动切割电动势E＝Bl2ω(以一端为轴)。
式 (4)闭合电路的欧姆定律I＝。
(5)安培力F＝IlB。
(6)牛顿运动定律及运动学的相关公式等。
定性地分析电磁感应过程中物理量的变化趋势(增大还是减
常
排除法 小)、变化快慢(均匀变化还是非均匀变化)，特别是分析物理量的
用
正负，以排除错误的选项。
方 根据题目所给条件定量地写出两个物理量之间的函数关系，
函数法
法 然后由函数关系对图像进行分析和判断。
四、解答电磁感应中的图像问题的基本步骤1．明确图像的种类，即是B -t图像还是Φ -t图像，或者E-t图你、I-t图像等。
2．分析电磁感应的具体过程。
3．用右手定则或楞次定律确定方向的对应关系。
4．结合安培力公式、法拉第电磁感应定律、闭合电路的欧姆定律、牛顿运动定律等知识写出相应的
函数关系式。
5．根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等。
6．画出图像或判断选择图像。
五、电磁感应过程中的电荷量公式：q＝
1．推导：在产生感应电流的电路中，设电路的总电阻为R ，在时间Δt内通过导体横截面的电荷量为
总
q。
由法拉第电磁感应定律得＝
由闭合电路的欧姆定律得＝
由电流定义式得q＝Δt
联立解得q＝n。
2．结论：电磁感应过程中产生的感应电荷量由线圈的匝数、磁通量的变化量及电路的总电阻共同决
定，与时间Δt无关。
（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．（2023·山东菏泽·统考二模）如图所示，“ ”形金属框静止于光滑绝缘的水平桌面上，金属框总质
量为 ，总阻值为 ，各边粗细均匀且材料相同，相邻边相互垂直，
， 。其右侧是宽度为 的匀强磁场区域，磁感应强度大
小为 ，方向垂直于水平桌面向下。金属框在垂直于磁场边界的水平拉力的作用下以速度 向右匀速通过
磁场， 边始终与磁场边界平行。下列说法正确的是（ ）
A．从 边刚进入磁场到 和 边刚要进入磁场的过程中， 、 间的电势差为B．在 、 边刚进入磁场时，金属框中的电流为
C．金属框穿过磁场的整个过程，拉力做的功为
D．金属框穿过磁场的整个过程，拉力做的功为
【答案】D
【解析】A．从 边刚进入磁场到 和 边刚要进入磁场的过程中，导体棒切割磁感线产生的感应电
动势为
所以， 、 间的电势差为
A错误；
B．在 、 边刚进入磁场时，产生的感应电动势为
由闭合电路的欧姆定律可得，金属框中的电流为
因为
所以，金属框中的电流不等于 ，B错误；
CD．由能量守恒定律，金属框穿过磁场的整个过程，拉力做的功等于金属框中产生焦耳热之和，则
其中
联立解得，拉力做的功为
C错误，D正确。
故选D。2．如图，一个正方形导线框以初速v 向右穿过一个有界的匀强磁场。线框两次速度发生变化所用时间分
0
别为t 和t，以及这两段时间内克服安培力做的功分别为W 和W，则（ ）
1 2 1 2
A．t＜t，W＜W B．t＜t，W>W
1 2 1 2 1 2 1 2
C．t>t，W＜W D．t>t，W>W
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】B
【解析】设线框刚进入磁场是速度为v，刚离开磁场时速度为v，由动量定理得
1 2
，
又
可得
线框进入磁场和离开磁场的过程都受向左的安培力作用而减速，进入过程平均速度大于离开过程平均速度，
根据 知
t＜t
1 2
根据动能定理
，
可知
故选B。
3．（2023·云南昆明·统考一模）如图所示，间距为d的两水平虚线之间有方向垂直于竖直平面向里的匀强
磁场，正方形金属线框 的边长为 。线框从 边距磁场上边界h处自由下落，下落过程中线框
始终在竖直平面内且 边保持水平。已知 边进入磁场瞬间、 边进入磁场瞬间及 边离开磁场瞬间线
框的速度均相同。设线框进入磁场的过程中产生的热量为 ，离开磁场的过程中产生的热量为 。不计
空气阻力，则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正方形线框的质量为m，因为 边进入磁场瞬间、 边进入磁场瞬间线框的速度相同，由能
量守恒定律
又因为 边进入磁场瞬间、 边离开磁场瞬间线框的速度相同，由能量守恒定律
联立解得
所以
故A正确。
故选A。
4．如图所示，在直角坐标系 的第一象限中，有一等腰直角 ， 区域内存在垂直纸面向里的
匀强磁场， 点在 轴上， 点在 轴上，各点间距离 。边长也为 的正方形导
线框 的 边在 轴上， 时刻，该导线框恰好位于图中所示位置（ 边与 轴重合），此后导线
框在外力的作用下沿 轴正方向以恒定的速度 通过磁场区域。若规定逆时针方向为导线框中电流的正方
向，则导线框通过磁场区域的过程中，导线框中的感应电流 、外力沿 轴方向的分量 随导线框的位移
变化的图像（图中曲线均为抛物线的一部分）中正确的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】AB．导线框匀速穿过图示的等腰直角三角形磁场区域，进入的过程中，由楞次定律可知感应电流
沿逆时针方向，为正值，由几何关系知导线框 边切割磁感线的有效长度等于进入磁场的距离 ，则感应
电流的大小为
导线框离开磁场的过程，由楞次定律可知感应电流沿顺时针方向，为负值，由几何关系知导线框 边切割
的有效长度等于离开磁场的距离，同理可得感应电流大小为
故A正确，B错误；
CD．导线框做匀速运动，外力沿 轴方向的分量 与导线框 边所受安培力等大反向，由左手定则可
知安培力方向始终向左，则外力沿 轴方向的分量 方向始终向右，则
故CD错误。
故选A。
二、多选题
5．（2024·广东茂名·统考一模）如图（a）所示，底部固定有正方形线框的列车进站停靠时，以初速度v水
平进入竖直向上的磁感应强度为B的正方形有界匀强磁场区域，如图（b）所示，假设正方形线框边长为 ，
每条边的电阻相同.磁场的区域边长为d，且 ，列车运动过程中受到的轨道摩擦力和空气阻力恒定，下
列说法正确的是（ ）A．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）逆时针方向，其两端的电压为
B．线框右边刚刚进入磁场时，感应电流沿图（b）顺时针方向，其两端的电压为
C．线框进入磁场过程中，克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热
D．线框离开磁场过程中，克服安培力做的功等于线框减少的动能
【答案】BC
【解析】AB．根据右手定则，线框进入磁场时，感应电流沿顺时针方。线框此时切割磁感线产生的感应电
动势为 ，导线框右边两端的电压为路端电压，即为
故A错误，B正确；
C．根据功能关系可知线框克服安培力做的功全部转化为电能，线框为纯电阻电路，则又全部转化为线框
中产生的焦耳热，则克服安培力做的功等于线框中产生的焦耳热。故C正确；
D．线框离开磁场过程中，根据动能定理可知克服安培力做功与克服摩擦力、空气阻力做功之和等于线框
和列车动能的减小量，故D错误。
故选BC。
6．（2024·上海嘉定·统考一模）列车进站时，其刹车原理可简化如图，在车身下方固定一单匝矩形线框，
利用线框进入磁场时所受的安培力，辅助列车刹车。已知列车的质量为m，车身长为s，线框的ab和cd长
度均为L（L小于匀强磁场的宽度），线框的总电阻为R。站台轨道上匀强磁场区域足够长，磁感应强度的
大小为B。车头进入磁场瞬间的速度为 ，列车停止前所受铁轨及空气阻力的合力恒为f。车尾进入磁场瞬
间，列车刚好停止。下列正确的是（ ）
A．列车进站过程中电流方向为abcda
B．列车ab边进入磁场瞬间，线框的电流大小为
C．列车从进站到停下来的过程中，减少的动能等于线框产生的热量D．列车ab边进入磁场瞬间，加速度大小
【答案】AD
【解析】A．列车进站时，ab边切割磁感线产生感应电流，则根据右手定则判断可知，列车进站过程中电
流方向为abcda，故A正确；
B．根据法拉第电磁感应定律可得，列车ab边进入磁场瞬间，感应电动势为
则列车ab边进入磁场瞬间，线框的电流大小为
故B错误；
C．根据能量的转化和守恒可知，列车从进站到停下来的过程中，减少的动能等于线框产生的热量与列车
和导轨及空气阻力摩擦产生的热量之和，故C错误；
D．列车ab边进入磁场瞬间，根据牛顿第二定律有
解得，列车的加速度大小为
故D正确。
故选AD。
7．如图所示，在坐标系 中，有边长为L的正方形金属线框 ，其一条对角线 和y轴重合、顶点
a位于坐标原点O处。在y轴的右侧，在Ⅰ、Ⅳ象限内有一垂直纸面向里的匀强磁场，磁场的上边界与线
框的 边刚好完全重合，左边界与y轴重合，右边界与y轴平行。 时刻，线框以恒定的速度v沿垂直
于磁场上边界的方向穿过磁场区域，取沿a→b→c→d→a方向的感应电流为正，则在线框穿过磁场区域的
过程中，感应电流i、 间的电势差 随时间t变化的图线是下图中的（ ）A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】AB．在d点运动到 点过程中，ab边切割磁感线，根据右手定则可知线框中电流方向为逆时针，
即正方向，根据几何知识，切割的有效长度均匀减小到0，故电动势均匀减小到0，则电流均匀减小到0，
接着cd边开始切割磁感线，根据右手定则可知感应电流的方向为顺时针，即负方向，电动势均匀减小到
0，则电流均匀减小到0，故A正确，B错误；
CD．在d点运动到O点过程中，ab边切割磁感线，则ab相当于电源，且b点的电势高于a点电势，ab间
的电势差 为负值，设金属线框电阻为 ，则ab间的电势差 为
可知ab间的电势差 逐渐减小。接着cd边开始切割磁感线，cd边相当于电源，且b点的电势高于a点电
势，ab间的电势差 为负值，为
可知ab间的电势差 逐渐减小，故D正确，C错误。
故选AD。
三、解答题
8．（2023·江西宜春·校联考二模）如图所示，在竖直平面内建立坐标系 ，在 区
域内存在一具有理想边界、方向垂直纸面向里、磁感应强度大小 的匀强磁场区域。一边长
、质量 、电阻 的匀质正方形刚性导线框 处于图示位置，其中心位于
处。现将线框以 的速度水平向右抛出，线框进入磁场后从磁场右边界穿出。整个运动
过程中，线框始终处于 平面内， 边与 轴保持平行，空气阻力不计，取重力加速度大小 。
求：
（1）线框的 边进入磁场时的速度大小 ；
（2）线框的 边离开磁场时两端的电压U；
（3）线框进入磁场的过程中产生的焦耳热Q。【答案】（1） ；（2）0.1V；（3）0.02J
【解析】（1）线框未进入磁场前做平抛运动，设线框 边进入磁场时在竖直方向的速度大小为 ，有
（2）线框 边进入磁场时
由于x<0.65m，说明线框刚进入磁场时，bc边未到达磁场右边界，ad、bc边部分切割磁感线相抵消，ab边
切割磁感线等效为电路的电源，则安培力
线框在进入磁场过程中，做匀速直线运动，其速度大小为 ，线框完全进入磁场后，做匀变速曲线运动，
从磁场右边界穿出时， 、 边产生的电动势相抵消， 边切割磁感线等效为电路的电源，线框 边离
开磁场时线框在水平方向的速度大小
则电源的电动势
线框 边离开磁场时两端的电压
（3）线框进入磁场的过程中由能量守恒可知
Q=mgL=0.02J
9．某种飞船的电磁缓冲装置结构简化图如图所示。在缓冲装置的底板上，沿竖直方向固定着两个光滑绝
缘导轨NP、MQ。导轨内侧安装电磁铁（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，磁感应强度为B。绝缘缓冲底座上绕有n匝闭合矩形线圈，线圈总电阻为R，ab边长为L。假设整个返回舱以速度
与地面碰撞后，绝缘缓冲底座立即停下，船舱主体在磁场作用下减速，从而实现缓冲。返回舱质量为m，
地球表面重力加速度为g，一切摩擦阻力不计，缓冲装置质量忽略不计。
（1）求绝缘缓冲底座的线圈中最大感应电流的大小
（2）若船舱主体向下移动距离H后速度减为v，此过程中缓冲线圈中通过的电量和产生的焦耳热各是多少？
【答案】（1） ；（2） ，
【解析】（1）滑块刚接触地面时感应电动势最大
解得
（2）电量
其中
可得
设缓冲线圈产生的焦耳热为Q，由动能定理得
得10．如图，光滑绝缘水平面内有边长 、电阻 、质量 的正方形线框 ，开始
线框静止在水平面上，线框右侧距线框ab边 处有宽 、方向竖直向下的匀强磁场区域。现对
线框施加大小为 、方向水平向右的恒定拉力，在线框 边到达磁场左边界时撤去拉力，当线框完
全进入磁场后再对其施加大小为 、方向水平向右的拉力。已知线框 边到达磁场右边界时的速
度 ，线框进入磁场的过程中，线框速度 与线框 边到磁场左边界距离 之间满足关系式
（ 为线框ab边刚到达磁场左边界时的速度，常量c未知），重力加速度g取 。
（1）求线框进入磁场过程中产生的焦耳热Q。
（2）求磁场磁感应强度B的大小。
（3）若线框ab边到达磁场右边界瞬间，立即改变拉力 的大小，使线框能以 的加速度匀减速
离开磁场，取ab边到达磁场右边界时为 时刻，求线框离开磁场的过程中，拉力 与线框运动时间t
的关系式。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）根据题意，线框在磁场左侧运动的过程，由动能定理有
解得
设线框完全进入磁场时速度大小为 ，完全在磁场中的运动过程由动能定理有
解得
由能量守恒定律有
解得（2）根据题意，由 可得
取 ，两边同除以 可得
又有
，
故有
线框进入磁场的过程中有
又有
，
当线框刚好全部进入磁场时，有
联立解得
（3）根据题意，线框离开磁场过程中，由牛顿第二定律有
又有
整理可得
解得（建议用时：60分钟）
一、单选题
1．如图所示，正方形匀质刚性金属框（形变量忽略不计），边长为 ，质量为 ，距离金属
框底边 处有一方向水平、垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度 。磁场区域上下边界水平，
高度为 ，左右宽度足够大。把金属框在竖直平面内以 的初速度水平无旋转地向右抛出，
金属框恰好能匀速通过磁场，不计空气阻力， 取 。下列说法不正确的是（ ）
A．刚性金属框电阻为
B．通过磁场的整个过程中，金属框的两条竖直边都不受安培力作用
C．通过磁场的过程中，克服安培力做功为
D．改变平抛的初速度大小，金属框仍然能匀速通过磁场
【答案】B
【解析】A．金属框水平方向上总电动势为0，只在竖直方向上产生电动势，因为金属框匀速通过磁场，则
有
而
且
代入数据求得
故A正确，不符合题意；
B．通过磁场的整个过程中，根据左手定则可知，金属框的两条竖直边所受安培力大小相等，方向相反，
都要受安培力，故B错误，符合题意；
C．根据功能关系得克服安培力做功
故C正确，不符合题意；
D．根据题意可知，初速度大小不影响安培力，安培力的大小只与线框竖直方向的分速度 有关，而 只
与高度 有关，则可知，只要抛出高度不变，不管初速度大小如何，金属框仍然能匀速通过磁场，故D正
确，不符合题意。故选B。
2．（2023·贵州黔东南·统考一模）如图所示，水平光滑绝缘桌面上的正方形ABCD区域内存在竖直向上的
匀强磁场，将一正方形导体框abcd分别从AB、BC边以速度v、2v匀速拉出磁场，则导体框两次被拉出磁
场时拉力的功率之比为（ ）
A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4
【答案】D
【解析】两次将导体框拉出磁场的过程中，产生的感应电动势和感应电流
E = BLv
两次拉出产生的感应电动势之比为1：2，感应电流之比为1：2，安培力大小
F = BIL
安
则两次拉出安培力大小之比为1：2，由于匀速拉出F = F ，由P=Fv，故拉力的功率之比为1：4。
安
故选D。
3．（2023·江苏扬州·统考三模）如图所示，边长为a，电阻为R的正方形导线框PQMN进入磁感应强度为
B的匀强磁场。图示位置线框速度大小为v，此时（ ）
A．NM间电势差等于NP间电势差
B．线框中电流大小为
C．线框所受安培力大小为
D．线框所受安培力方向与运动方向相反
【答案】C
【解析】A．图示位置恰好NM边切割磁感线，则产生的感应电动势为切割磁感线的导体相当于电源，则可知此时NM两端的电压为路端电压，根据串联电路的分压原理可得
，
故A错误；
B．根据闭合电路的欧姆定律可得此刻线框中的电流为
故B错误；
C．线框有两个边在磁场中，两边所受安培力大小相等，可得
根据左手定则可知两边所受安培力的方向互相垂直，则可得线框所受安培力的大小为
故C正确；
D．根据左手定则，结合力的矢量合成可知，此时线框所受安培力垂直于磁场边界，竖直向下，与运动方
向间的夹角为 ，故D错误。
故选C。
4．如图所示，一个边长为 的正方形线框 ，其电阻为 ，线框以恒定的速度 运动，在 时刻线框
开始进入图中所示的匀强磁场区域，磁感应强度大小为 ，磁场的边界与速度 的夹角为 ，线框的
边与磁场边界的夹角也为 ，线框在进入磁场的过程中，下列关于线框中的感应电流i随时间 变化的图
像或线框所受安培力 随时间 变化的图像可能正确的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【解析】AB．在线框的对角线 进入磁场之前，线框中的感应电动势
感应电流
由函数关系可知，电流随时间变化是线性关系，选故AB错误；
CD．在线框的对角线 进入磁场之前，线框所受安培力
当线框的对角线 进入磁场之后，线框所受安培力
由函数关系可知，安培力随时间变化为开口向上的二次函数，有确定的转折点，不连续，故C正确，D错
误。
故选C。
二、多选题
5．光滑水平面上有两个相邻互不影响的有界匀强磁场Ⅰ、Ⅱ，磁场方向为垂直纸面，两磁场的磁感应强
度大小相等方向相反，如图所示，磁场宽度均为 ，有一边长也为L的正方形闭合线框，从磁场外
以速度 进入磁场，当线框 边进入磁场I时施加向右的水平恒力 ， 边进入磁场I过程
线框做匀速运动，进入磁场Ⅱ区域某位置后线框又做匀速运动，已知线框的质量 ，以下说法正
确的是（ ）
A．线框 边刚进入磁场Ⅱ时加速度大小为
B．线框第二次匀速运动的速度大小为0.5 m/s
C．线框 边在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动时间为0.3 sD．线框 边在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动时整个线框产生的内能为0.375 J
【答案】BC
【解析】A．线框 边在进入磁场Ⅰ的过程中，F与安培力平衡，即即
线框 边刚进入磁场Ⅱ时，ab和cd边同时切割磁感线，且同时受到向左的安培力，有
设线框 边刚进入磁场Ⅱ时加速度大小为a，由牛顿第二定律有
解得
故A错误；
B．设线框第二次匀速运动的速度大小为v，由平衡条件得
解得
故B正确；
C．线框 边在磁场Ⅰ中运动时间为
设线框 边在磁场Ⅱ中运动时间为 ，此过程中线框中的平均感应电流为 ，对线框根据动量定理有
根据法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律综合有
解得
所以线框 边在磁场Ⅰ、Ⅱ中运动时间为
故C正确；
D．设线框 边在磁场I、Ⅱ中运动时整个线框产生的内能为Q，由功能关系得解得
故D错误。
故选BC。
6． M和N两水平线间存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁场高度为h，竖直平面内有质量为m、电阻为R
的直角梯形线框，上下底水平且底边之比为5：1，梯形高为2h。该线框从AB到磁场上边界的距离为h的
位置由静止下落，下落过程底边始终水平，线框平面始终与磁场方向垂直。已知AB刚进入磁场时和AB刚
穿出磁场时线框加速度为零，在整个运动过程中，说法正确的是（ ）
A．AB边匀速穿过磁场
B．从AB边刚穿出到CD边刚要进入磁场的过程中，线框做匀速运动
C．CD边刚进入磁场时，线框的加速度为 ，方向竖直向上
D．从线框开始下落到AB边刚穿出磁场的过程中，线框产生的焦耳热和重力做功之比31：16
【答案】BC
【解析】A．设AB边长为L，整个线圈的电阻为R，则感应电动势为
根据欧姆定律有
可知，当AB边刚进入磁场是匀速进入，满足
然后在接下来的过程中，AB边仍在磁场中运动，则线圈切割磁感线的有效长度不断增加，即不可能做匀
速直线运动，A错误；
B．设AB边刚穿出磁场时的速度为 ，根据题意，在AB边刚穿出磁场时安培力等于重力，满足
同理CD边刚要进入磁场时，切割磁感线的有效长度为2L，满足在此过程中一直保持有效长度为2L，速度也不变，做匀速直线运动，B正确；
C．CD边刚进入磁场时，有效切割长度为 ，即
代入
方向竖直向上，C正确；
D．从线框开始下落到AB边刚穿出磁场的过程中，由能量守恒定律可知，线圈重力势能的减少量转化为线
框的动能和线框产生的焦耳热，即重力做功大于焦耳热，D错误。
故选BC。
7．如图所示，矩形闭合导体线框在匀强磁场上方，从不同高度由静止释放，用t、t 分别表示线框ab边和
1 2
cd边刚进入磁场的时刻。线框下落过程ab边始终保持与磁场水平边界线OO'平行，线框平面与磁场方向垂
直。设OO'下方磁场区域足够大，不计空气阻力影响，则线框下落过程中速度v随时间t变化的图像可能正
确的是（ ）
A． B．
C． D．【答案】CD
【解析】AB．进入磁场前线框做自由落体运动，ab边进入磁场时，如果安培力大于重力，线框减速运动，
安培力减小，合力减小，加速度减小，有可能在cd边进入磁场前安培力减到和重力平衡，线框做匀速运动；
在cd边进入磁场后，安培力消失，线框做匀加速运动，AB错误；
C．进入磁场前线框做自由落体运动，ab边进入磁场时，如果安培力小于重力，线框做加速运动，但加速
度减小，在cd边进入磁场后，安培力消失，线框做匀加速运动，C正确；
D．进入磁场前线框做自由落体运动，ab边进入磁场时，如果安培力大小等于重力，线框做匀速运动，在
cd边进入磁场后，安培力消失，线框做匀加速运动，D正确。
故选CD。
8．由相同材料的导线绕成边长相同的甲、乙两个正方形闭合线圈，两线圈的质量相等，但所用导线的横
截面积不同，甲线圈的匝数是乙的2倍。现两线圈在竖直平面内从同一高度同时由静止开始下落，一段时
间后进入一方向垂直于纸面的匀强磁场区域，磁场的上边界水平，如图所示。不计空气阻力，已知下落过
程中线圈始终平行于纸面，上、下边保持水平。在线圈下边进入磁场后且上边进入磁场前，可能出现的是
（ ）
A．甲和乙都加速运动
B．甲和乙都减速运动
C．甲加速运动，乙减速运动
D．甲减速运动，乙加速运动
【答案】AB
【解析】设线圈到磁场的高度为h，线圈的边长为l，则线圈下边刚进入磁场时，有
感应电动势为
两线圈材料相等（设密度为 ），质量相同（设为 ），则
设材料的电阻率为 ，则线圈电阻
感应电流为安培力为
由牛顿第二定律有
联立解得
加速度和线圈的匝数、横截面积无关，则甲和乙进入磁场时，具有相同的加速度。当 时，甲和
乙都加速运动，当 时，甲和乙都减速运动，当 时都匀速。
故选AB。
三、解答题
9．如图甲所示，两条平行虚线间有垂直于纸面向外的匀强磁场，单匝正方形导线框abcd在外力作用下从
图示位置由静止开始水平向右运动，ab边始终与虚线平行，导线框中感应电流的大小i随位移x的变化规
律如图乙所示。已知磁感应强度大小为 ，导线框总电阻为 。求：
（1）导线框进入磁场的过程中通过导线横截面的电荷量；
（2）cd边刚要出磁场时导线框的加速度大小；
（3）导线框穿过磁场的过程中产生的焦耳热。
【答案】（1） ；（2）5m/s2；（3）
【解析】（1）由题图乙可知，在线框位移为0.2m时线框开始产生感应电流，而在0.4~06m范围内感应电
流为零，在线框位移为0.6m时又开始产生感应电流，又因为线框进入和离开磁场的过程有感应电流，而
线框全部位于磁场中时无感应电流，由此可推知线框边长为
L=0.2m
线框进入磁场过程中，回路中的平均感应电动势大小为
平均感应电流大小为通过导线横截面的电荷量为
（2）由题图乙可知，线框出磁场过程中，i随x的变化关系为
设此过程中某时刻线框速度为v，则产生的感应电动势大小为
根据闭合电路欧姆定律有
根据加速度的定义有
根据速度的定义有
联立以上五式可得
cd边刚要出磁场时，线框中感应电流为
线框的速度大小为
所以此时线框的加速度大小为
（3）线框在进出磁场过程中所受安培力大小为
即F随x成线性关系，其图像应为延长线过原点的倾斜线段，如图所示。且图像与坐标轴所围的面积表示
F做功的绝对值，根据上面F的表达式可求得在x=0.2m、0.4m、0.6m和0.8m处线框所受的安培力大小分
别为而线框克服安培力所做的功等于产生的焦耳热，所以
10．如图甲所示，在竖直平面内有四条间距相等的水平虚线 、 、 、 。在 、 之间， 、 之
间存在匀强磁场，磁感应强度大小均为 ，方向垂直于虚线所在的竖直平面。现有一质量为 、电阻
为 的单匝矩形线圈 ，将其从静止释放，线圈速度随时间的变化关系如图乙所示， 时刻线圈
边与 重合， 时刻线圈 边与 重合，已知 的时间间隔为 ，整个运动过程中线圈平面
始终处于竖直方向，重力加速度g取 ，求：
（1）乙图中 的大小；
（2）线圈 边和 边的长度；
（3）乙图中 的时间间隔。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）由题意， 时刻 边与 重合， 时刻 边与 重合，且 的时间间隔内线圈一直做
加速度为g的匀加速运动，由乙图可知， 时刻的速度大小 。所以有
解得（2） 边刚进入磁场时， 边也刚进入磁场，设磁场宽度为d，根据匀变速直线运动规律，有
代入数据，解得
则此时
（3）设乙图中 的时间间隔为 ，线圈匀速运动时，根据受力平衡，有
代入数据，得
、
11．如图甲，光滑绝缘斜面上两条虚线之间的区域存在方向垂直斜面向上、磁感应强度大小为B的匀强磁
场，一质量为m的矩形导线框abcd置于斜面上，且ab边与磁场的上边界重合。现将导线框由静止释放，
导线框运动过程中的 图象如图乙所示，已知两条虚线之间的距离为4L， ，重力加速度
为g，斜面的倾角为 ，导线框的电阻为R， ，不考虑电流的磁效应，求：
（1）导线框恰好全部进入磁场时的速率；
（2）在导线框开始离开磁场到恰好全部离开磁场的过程中，导线框中产生的焦耳热；
（3）导线框从刚进入磁场到恰好完全离开磁场所用的时间。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【解析】（1）导线框进出磁场的过程中，由法拉第电磁感应定律和闭合电路欧姆定律得
，
安培力由图乙知，导线框全部进入磁场前开始做匀速直线运动，由平衡条件得
解得导线框恰好全部进入磁场时的速率为
（2）在cd边进入磁场到ab边离开磁场的过程中，感应电流为零，由机械能守恒定律得
在导线框开始离开磁场到恰好全部离开磁场的过程中，由能量守恒定律得该过程导线框产生的焦耳热为
由图乙可知
联立各式得
（3）导线框进入磁场的过程中，设通过导线框导线某横截面的电荷量为q，则有
可得
由动量定理得
即
在cd边进入磁场到ab边离开磁场的过程中，由动量定理得
在ab边离开磁场到cd边离开磁场的过程中，由动量定理得
导线框从刚进入磁场到恰好完全离开磁场所用的时间为
12．（2023·江西九江·统考三模）如图所示，在光滑水平面上有一个宽为 、长为 的矩形磁场区
域，磁感应强度 ，方向竖直向下。从某时刻开始，在水平面上有一个边长 、质量 、
电阻 的正方形导线框从图中实线位置（距离磁场边界 处）沿x轴正方向以 的初
速度开始运动。若线框运动的全程受到一个沿y轴负方向的恒力F，一段时间后，线框会进入磁场区域，
并在进入磁场的过程中保持速度不变，最后从磁场的右边界离开磁场（如图中虚线所示，整个过程中线框不转动）。不计一切摩擦，求：
（1）进入磁场过程中通过导线横截面的电荷量q；
（2）恒力F的大小；
（3）线框从开始运动到完全离开磁场的总时间t；
（4）线框整个运动过程中产生的焦耳热Q。
【答案】（1） ；（2） ；（3） ；（4）
【解析】（1）线框进入磁场过程中产生的平均电动势
平均电流大小
通过导线横截面的电荷量
解得
（2）对线框分析，可知线框在恒力 的作用下做类平抛运动，有
在线框进入磁场时，由于线框做匀速运动，有联立以上各式，解得
（3）线框在进入磁场的过程中做匀速直线运动， 方向位移
解得
线框从完全进场至完全出场的过程中， 方向只受 的作用，故线框在 方向做匀加速直线运动；线框在
方向运动的位移
之后，线框离开磁场，由
解得
（另一根 舍去）
故总时间
解得
（4）由
解得线框出磁场时 方向的速度为
在线框离开磁场的过程中，由动量定理
解得
故线框刚好完全离开磁场时的速度
则整个过程中，恒力 做的总功为
根据能量守恒，有解得
