文档内容
§3.3 导数与函数的极值、最值
考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函
数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
知识梳理
1．函数的极值
(1)函数的极小值
函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而
且在点x＝a附近的左侧 f ′ ( x )<0 ，右侧 f ′ ( x )>0 ，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做
函数y＝f(x)的极小值．
(2)函数的极大值
函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而
且在点x＝b附近的左侧 f ′ ( x )>0 ，右侧 f ′ ( x )<0 ，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做
函数y＝f(x)的极大值．
(3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b )比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
常用结论
对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的必要不充分条件．
0 0
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )
(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )
(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( × )
教材改编题1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．
2．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－，)
D．[－，]
答案 B
解析 f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
3．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
答案 4
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)
在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x) ＝
max
f(0)＝4，所以m＝4.
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (2022·广州模拟)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(x－1)f′(x)的
图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A．函数f(x)有极大值f(－3)和f(3)
B．函数f(x)有极小值f(－3)和f(3)
C．函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(－3)
D．函数f(x)有极小值f(－3)和极大值f(3)
答案 D解析 由题图知，当x∈(－∞，－3)时，
y>0，x－1<0 f′(x)<0，f(x)单调递减；
当x∈(－3,1)⇒时，y<0，x－1<0 f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(1,3)时，y>0，x－1>0 f⇒ ′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(3，＋∞)时，y<0，x－⇒1>0 f′(x)<0，f(x)单调递减．
所以函数有极小值f(－3)和极大值⇒f(3)．
命题点2 求已知函数的极值
例2 已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
解 (1)因为f(x)＝x－1＋，
所以f′(x)＝1－，
又因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝0，
即1－＝0，所以a＝e.
(2)由(1)知f′(x)＝1－，
当a≤0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
因此f(x)无极大值与极小值；
当a>0时，令f′(x)>0，则x>ln a，
所以f(x)在(ln a，＋∞)上单调递增，
令f′(x)<0，则x0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，但是无极大值．
命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)(2022·大庆模拟)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a＋b等于(
)
A．－7 B．0
C．－7或0 D．－15或6
答案 A
解析 由题意知，函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
可得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为f(x)在x＝1处取得极值10，
可得
解得或
检验知，当a＝－3，b＝3时，
可得f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
此时函数f(x)单调递增，函数无极值点，不符合题意；
当a＝4，b＝－11时，可得f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)，
当x<－或x>1时，
f′(x)>0，f(x)单调递增；
当－0，g(x)单调递增；
当x>1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
所以g(x)的极大值为g(1)＝1，
又当x>1时，g(x)>0，
当x→＋∞时，g(x)→0，
当x→0时，g(x)→－∞，
所以0<2a<1，即00可得x<－2或x>1；
由f′(x)<0可得－20)在上有且仅有一个极值点，则实数a的取值
范围是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)，
∴f′(x)＝＋x－a，
∵函数f(x)＝ln x＋x2－ax(x>0)在上有且仅有一个极值点，
∴y＝f′(x)在上只有一个变号零点．
令f′(x)＝＋x－a＝0，得a＝＋x.
设g(x)＝＋x，则g(x)在上单调递减，在[1,3]上单调递增，
∴g(x) ＝g(1)＝2，
min
又g＝，g(3)＝，
∴当≤a<时，y＝f′(x)在上只有一个变号零点．
∴实数a的取值范围为.
题型二 利用导数求函数最值
例4 已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
解 (1)∵a＝1，
∴g(x)＝ln x＋x2－3x，
∴g′(x)＝＋2x－3＝，
∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，e]上单调递增，
∴g(x) ＝g(e)＝e2－3e＋1.
max
(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝＋2x－(a＋2)＝
＝.
①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；
②当1<a－4，求实数a的取值范围．
解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
由f(x)＝ln x－ax－2(a≠0)可得
f′(x)＝－a，
当a<0时，f′(x)>0，
所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝，
所以当x∈时，
f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
综上所述，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)由(1)知，当a<0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无最大值，
当a>0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以当x＝时，f(x)取得最大值，
即f(x) ＝f ＝ln －a×－2
max
＝ln －3＝－ln a－3，
因此有－ln a－3>a－4，得ln a＋a－1<0，
设g(a)＝ln a＋a－1，
则g′(a)＝＋1>0，
所以g(a)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，所以g(a)0，且r>0，可得00，故V(r)在(0,5)上单调递增；
当r∈(5,5)时，V′(r)<0，故V(r)在(5,5)上单调递减．
由此可知，V(r)在r＝5处取得最大值，此时h＝8，
即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大．
课时精练
1．若函数f(x)＝的极大值点与极小值点分别为a，b，则a＋b等于( )
A．－4 B.
C．0 D．2
答案 C
解析 f′(x)＝，
当－0；
当x<－或x>时，f′(x)<0.
故f(x)＝的极大值点与极小值点分别为，－，
则a＝，b＝－，所以a＋b＝0.
2．如图是函数y＝f(x)的导函数的图象，下列结论中正确的是( )A．f(x)在[－2，－1]上单调递增
B．当x＝3时，f(x)取得最小值
C．当x＝－1时，f(x)取得极大值
D．f(x)在[－1,2]上单调递增，在[2,4]上单调递减
答案 D
解析 根据题图知，
当x∈(－2，－1)，x∈(2,4)时，
f′(x)<0，函数y＝f(x)单调递减；
当x∈(－1,2)，x∈(4，＋∞)时，
f′(x)>0，函数y＝f(x)单调递增．
所以y＝f(x)在[－2，－1]上单调递减，在(－1，2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，在(4，＋
∞)上单调递增，故选项A不正确，选项D正确；
故当x＝－1时，f(x)取得极小值，选项C不正确；当x＝3时，f(x)不是取得最小值，选项B
不正确．
3．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．－
C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2
答案 B
解析 由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，
∵f(x)在x＝2处取得极小值，
∴f′(2)＝4a－2＝0，解得a＝，
∴f(x)＝2ln x＋x2－3x，
f′(x)＝＋x－3＝，
∴f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－.
4．(2022·重庆联考)函数f(x)＝x＋2cos x在[0，π]上的最大值为( )
A．π－2 B.
C．2 D.＋
答案 D
解析 由题意得，f′(x)＝1－2sin x，
∴当0≤sin x≤，即x在和上时，f′(x)≥0，f(x)单调递增；当f(0)>f(π)>f ，
∴f(x)在[0，π]上的最大值为＋.
5．(多选)已知x＝1和x＝3是函数f(x)＝ax3＋bx2－3x＋k(a，b∈R)的两个极值点，且函数
f(x)有且仅有两个不同零点，则k值为( )
A．－ B.
C．－1 D．0
答案 BD
解析 f′(x)＝3ax2＋2bx－3，
依题意1,3是f′(x)＝0的两个根，
所以
解得a＝－，b＝2.
故f(x)＝－x3＋2x2－3x＋k.
易求得函数f(x)的极大值为f(3)＝k和极小值为f(1)＝－＋k.
要使函数f(x)有两个零点，则f(x)极大值k＝0或f(x)极小值－＋k＝0，
所以k＝0或k＝.
6．(多选)已知函数f(x)＝x＋sin x－xcos x的定义域为[－2π，2π)，则( )
A．f(x)为奇函数
B．f(x)在[0，π)上单调递增
C．f(x)恰有4个极大值点
D．f(x)有且仅有4个极值点
答案 BD
解析 因为f(x)的定义域为[－2π，2π)，
所以f(x)是非奇非偶函数，故A错误；
因为f(x)＝x＋sin x－xcos x，
所以f′(x)＝1＋cos x－(cos x－xsin x)＝1＋xsin x，
当x∈[0，π)时，f′(x)>0，则f(x)在[0，π)上单调递增，故B正确；
显然f′(0)≠0，令f′(x)＝0，得sin x＝－，
分别作出y＝sin x，y＝－在区间[－2π，2π)上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[－2π，2π)上共有4个公共点，且两图象在这些公共点
上都不相切，故f(x)在区间[－2π，2π)上的极值点的个数为4，且f(x)只有2个极大值点，故
C错误，D正确．
7．(2022· 潍坊模拟)写出一个存在极值的奇函数f(x)＝________.
答案 sin x(答案不唯一)
解析 正弦函数f(x)＝sin x为奇函数，且存在极值．
8．(2021·新高考全国Ⅰ)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________．
答案 1
解析 函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)．
①当x>时，f(x)＝2x－1－2ln x，
所以f′(x)＝2－＝，
当1时，f′(x)>0，
所以f(x) ＝f(1)＝2－1－2ln 1＝1；
min
②当0ln e＝1.综上，f(x) ＝1.
min min
9．已知函数f(x)＝ln x－.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)设g(x)＝f(x)－＋2(a∈R)，若x，x 是函数g(x)的两个极值点，求实数a的取值范围．
1 2
解 (1)由题知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立，
当且仅当x＝1时，f′(x)＝0，
所以f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．
(2)因为g(x)＝f(x)－＋2＝ln x－，
所以g′(x)＝＋＝(x>0)．
由题意知x，x 是方程g′(x)＝0在(0，＋∞)内的两个不同的实数解．
1 2
令h(x)＝x2＋(2＋a)x＋1，又h(0)＝1>0，
所以只需解得a<－4，即实数a的取值范围为(－∞，－4)．
10．(2022·珠海模拟)已知函数f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，其中e为自然对数的底数．(1)若x＝1为f(x)的极值点，求f(x)的单调区间和最大值；
(2)是否存在实数a，使得f(x)的最大值是－3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解 (1)∵f(x)＝ln x－ax，x∈(0，e]，
∴f′(x)＝，
由f′(1)＝0，得a＝1.
∴f′(x)＝，
∴x∈(0,1)，f′(x)>0，x∈(1，＋∞)，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，e]；
f(x)的极大值为f(1)＝－1，也即f(x)的最大值为f(1)＝－1.
(2)∵f(x)＝ln x－ax，
∴f′(x)＝－a＝，
①当a≤0时，f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x)的最大值是f(e)＝1－ae＝－3，
解得a＝>0，舍去；
②当a>0时，由f′(x)＝－a＝＝0，
得x＝，
当0<时，
∴x∈时，f′(x)>0；
x∈时，f′(x)<0，
∴f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是，
又f(x)在(0，e]上的最大值为－3，
∴f(x) ＝f ＝－1－ln a＝－3，
max
∴a＝e2；
当e≤，即0，舍去．
综上，存在a符合题意，此时a＝e2.
11．若函数f(x)＝(x2－a)ex的两个极值点之积为－3，则f(x)的极大值为( )
A. B．－
C．－2e D.
答案 A
解析 因为f(x)＝(x2－a)ex，所以f′(x)＝(x2＋2x－a)ex，
由f′(x)＝(x2＋2x－a)ex＝0，
得x2＋2x－a＝0，
由函数f(x)＝(x2－a)ex的两个极值点之积为－3，
则由根与系数的关系可知，－a＝－3，即a＝3，
所以f(x)＝(x2－3)ex，f′(x)＝(x2＋2x－3)ex，
当x<－3或x>1时，f′(x)>0；
当－30)，则a，b的
值为( )
A．a＝2，b＝－29 B．a＝3，b＝2
C．a＝2，b＝3 D．以上都不对
答案 C
解析 函数f(x)的导数f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，
因为a>0，所以由f′(x)<0，计算得出00，计算得出x>4或x<0，此时函数单调递增，即函数在[－1,0]上单调递增，
在[0,2]上单调递减，
即函数在x＝0处取得极大值同时也是最大值，
则f(0)＝b＝3，
则f(x)＝ax3－6ax2＋3，
f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，
则f(－1)>f(2)，
即函数的最小值为f(2)＝－16a＋3＝－29，
计算得出a＝2，b＝3.
13．(2021·全国乙卷)设a≠0，若x＝a为函数f(x)＝a(x－a)2(x－b)的极大值点，则( )
A．ab
C．aba2
答案 D
解析 当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.图1
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，观察可知a>b.
图2
综上，可知必有ab>a2成立．
14．(2022·河南多校联考)已知函数f(x)＝2ln x，g(x)＝x＋2，若f(x)＝g(x)，则x－x 的最小
1 2 1 2
值为______．
答案 4－2ln 2
解析 设f(x)＝g(x)＝t，
1 2
即2ln x＝t，x＋2＝t，
1 2
解得x＝ ，x＝t－2，
1 2
所以x－x＝ －t＋2，
1 2
令h(t)＝ －t＋2，则h′(t)＝ －1，
令h′(t)＝0，解得t＝2ln 2，
当t<2ln 2时，h′(t)<0，
当t>2ln 2时，h′(t)>0，
所以h(t)在(－∞，2ln 2)上单调递减，在(2ln 2，＋∞)上单调递增，
所以h(t)的最小值为h(2ln 2)＝eln 2－2ln 2＋2＝4－2ln 2，
所以x－x 的最小值为4－2ln 2.
1 2
15．(多选)已知函数f(x)＝xln x＋x2，x 是函数f(x)的极值点，以下几个结论中正确的是(
0
)
A．0
0 0
C．f(x)＋2x<0 D．f(x)＋2x>0
0 0 0 0
答案 AD解析 函数f(x)＝xln x＋x2(x>0)，
∴f′(x)＝ln x＋1＋2x，
∵x 是函数f(x)的极值点，
0
∴f′(x)＝0，即ln x＋1＋2x＝0，
0 0 0
∴f′＝>0，
当x>时，f′(x)>0，
∵当x→0时，f′(x)→－∞，
∴00，即D正确，C不正确．
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16．已知函数f(x)＝x2－2x＋aln x(a>0)．
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若函数f(x)有两个极值点x，x，x0，
一元二次方程2x2－2x＋a＝0的Δ＝4(1－2a)，
①当a≥时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
②当00，x＝>0，
1 2
所以当00，f(x)单调递增，
当时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，当a≥时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，当0x>，
则h′(x)＝－2ln(1－x)－1>0，
故h(x)在上单调递增，
h＝－－ln 2，故m≤－－ln 2.
