文档内容
第 11 讲 导数与函数的极值、最值
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、知识梳理
1.函数的极值
一般地，设函数f(x)在x 处可导，且f′(x )＝0.
0 0
(1)如果对于x 左侧附近的任意 x，都有 f ′( x )>0 ；对于x 右侧附近的任意 x，都
0 0
有 f ′( x )<0 ，那么此时x 是f(x)的极大值点.
0
(2)如果对于x 左侧附近的任意 x，都有 f ′( x )<0 ；对于x 右侧附近的任意 x，都
0 0
有 f ′( x )>0 ，那么此时x 是f(x)的极小值点.
0
(3)如果f′(x)在x 的左侧附近与右侧附近均为正号(或均为负号)，则x 一定不是y
0 0
＝f(x)的极值点.
(4)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.
2.函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在[a，b]上的最值
如果函数y＝f(x)的定义域为[a，b]且存在最值，函数y＝f(x)在(a，b)内可导，那
么函数的最值点要么是区间端点a或b，要么是极值点.
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b ) 比较，其中最大的一个是
最大值，最小的一个是最小值.
1.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，
不可想当然认为极值就是最值.
2.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之
间没有必然的大小关系.
二、考点和典型例题
1、利用导数求函数的极值
【典例1-1】（2022·全国·高三专题练习）函数 的定义域为开区间 ，导函数
在 内的图像如图所示，则函数 在开区间 内有极小值点（ ）A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【典例1-2】（2022·陕西商洛·一模（文））已知函数 ，则 的
极大值为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-3】（2022·新疆·三模（文））若函数 在 处有极值
10，则 （ ）
A．6 B． C． 或15 D．6或
【训练1-1】（2022·河南新乡·二模（文））已知 ，函数 的极小值为
，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【训练1-2】（2022·安徽·蒙城第一中学高三阶段练习（文））已知 为常数，函数
有两个极值点，其中一个极值点 满足 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【训练1-3】（2021·四川省叙永第一中学校高三阶段练习（文））已知函数
在 与 时，都取得极值．
(1)求 ， 的值；(2)若 ，求 的单调增区间和极值．
【训练1-4】（2021·福建·莆田第二十五中学高三阶段练习）已知函数
在 与 处都取得极值．
（1）求 ， 的值；
（2）若对任意 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
2、利用导数求函数的最值
【典例2-1】（2022·河南·模拟预测（文））当 时，函数 取
得最小值，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【典例2-2】（2022·北京通州·高二期中）设函数 ，若函数 无最
小值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-3】（2022·上海交大附中高二期中）函数 的定义域为 ，解析式
.则下列结论中正确的是（ ）
A．函数 既有最小值也有最大值 B．函数 有最小值但没有最大值
C．函数 恰有一个极小值点 D．函数 恰有两个极大值点
【训练2-1】（2022·浙江省杭州第二中学高二期中）已知 ，函数
的最小值为 ，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．
【训练2-2】（2022·四川·模拟预测（理））对任意 ，存在 ，使得
，则 的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．e
【训练2-3】（2022·北京市第三十五中学高二期中）已知函数 .
(1)求 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
(3)画出 的草图(要求尽量精确).
【训练2-4】（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高二期中）已知函数
.
(1)求 的单调区间；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值.
3、综合应用
【典例3-1】（2021·陕西咸阳·高三开学考试（文））已知函数
在 处取得极值.
(1)求 在 上的最小值；
(2)若函数 有且只有一个零点，求b的取值范围.
【典例3-2】（2021·天津市第一0二中学高三期中）设函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；(2)求 的极大值点与极小值点；
(3)求 在区间 上的最大值与最小值．
【训练3-1】（2021·河南·高三阶段练习（理））已知函数 是定义在 上的奇函
数，当 时， .
(1)求 的值及 在 上的解析式；
(2)若 在区间 上有极值，求 的取值范围.
