§3.3 导数与函数的极值、最值
考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函
数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
1．函数的极值与导数
f′(x)＝0
0
条件 x 附近的左侧f′(x)>0，右侧 x 附近的左侧f′(x)<0，右侧
0 0
f′(x)<0 f′(x)>0
图象
极值 f(x)为极大值 f(x)为极小值
0 0
极值点 x 为极大值点 x 为极小值点
0 0
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b )比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
微思考
1．对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的什么条件？
0 0
提示 必要不充分．
2．函数的极大值一定大于极小值吗？
提示 不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )
(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( × )
题组二 教材改编
2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．
3．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．
答案 ln x<x<ex
解析 构造函数f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1，可得x＝1为函数f(x)在(0，＋∞)上唯一的极
大值点，也是最大值点，故f(x)≤f(1)＝－1<0，所以ln x<x.同理可得x<ex，故ln x<x<ex.
4．现有一块边长为a的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，然后做
成一个无盖方盒，该方盒容积的最大值是________．
答案 a3
解析 容积V＝(a－2x)2x,0<x<，则V′＝2(a－2x)×(－2x)＋(a－2x)2＝(a－2x)(a－6x)，由
V′＝0得x＝或x＝(舍去)，则x＝为V在定义域内唯一的极大值点也是最大值点，此时V
max
＝a3.
题组三 易错自纠
5．函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．(－∞，－)∪(，＋∞)
C．(－，)
D．[－，]
答案 B
解析 f′(x)＝3x2－2ax＋2，
由题意知f′(x)有变号零点，
∴Δ＝(2a)2－4×3×2>0，
解得a>或a<－.
6．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
答案 4
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x) ＝
max
f(0)＝4，所以m＝4.
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所
示，则下列结论中一定成立的是( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(0)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为f(x)的极小值
答案 BC
解析 由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，
∴f′(x)<0，
当x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，
当x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.
∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，
在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．
故AD错误，BC正确．
命题点2 求已知函数的极值
例2 已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
解 因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，
所以f′(x)＝2x－＝.
①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单
调递增，f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，x＝－(舍去)．
1 2
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，) (，＋∞)
f′(x) － 0 ＋f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln ＝a－1－aln a．无极大值．
综上，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．
当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值．
命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.
答案 11
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
由题意得
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)无极值，
所以a＝1，b＝3不符合题意，
当a＝2，b＝9时，经检验满足题意．
∴a＋b＝11.
(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 f(x)＝x(ln x－ax)，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋ln x－2ax.
由题意知，当x>0时，1＋ln x－2ax＝0有两个不相等的实数根，
即2a＝有两个不相等的实数根，
令φ(x)＝(x>0)，∴φ′(x)＝.
当0<x<1时，φ′(x)>0；当x>1时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
且φ(1)＝1，
当x→0时，φ(x)→－∞，
当x→＋∞时，φ(x)→0，
则0<2a<1，即0<a<.
思维升华 函数极值的两类热点问题
(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域．
②求导数f′(x)．③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根．
④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x 左右两侧值的符号．
0
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练1 (1)(2020·滨州模拟)已知x＝1是f(x)＝[x2－(a＋3)x＋2a＋3]ex的极小值点，则实
数a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，1)
答案 D
解析 f′(x)＝[x2－(a＋1)x＋a]ex＝(x－a)(x－1)ex.
令f′(x)＝0，得(x－a)(x－1)ex＝0.
设g(x)＝(x－1)(x－a)．
①当a＝1时，g(x)≥0，f′(x)≥0，f(x)没有极值．
②当a>1时，当x>a或x<1时，g(x)>0，f′(x)>0；
当1<x<a时，g(x)<0，则f′(x)<0.
∴x＝1是函数f(x)的极大值点，不符合题意．
③当a<1时，当x>1或x<a时，f′(x)>0，
当a<x<1时，f′(x)<0.
所以x＝1是f(x)的极小值点，符合题意．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
(2)若函数f(x)＝x2－x＋aln x有极值，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2x－1＋＝，
由题意知y＝f′(x)有变号零点，
令2x2－x＋a＝0，
即a＝－2x2＋x(x>0)，
令φ(x)＝－2x2＋x＝－22＋(x>0)，
其图象如图所示，故a<.题型二 利用导数求函数的最值
例4 已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
解 (1)∵a＝1，∴g(x)＝ln x＋x2－3x，
∴g′(x)＝＋2x－3＝，
∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，e]上单调递增，
∴g(x) ＝g(e)＝e2－3e＋1.
max
(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝＋2x－(a＋2)＝
＝.
①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；
②当1<<e，即2<a<2e时，g(x)在上单调递减，在上单调递增，h(a)＝g＝aln －a2－a；
③当≥e，即a≥2e时，g(x)在[1，e]上单调递减，h(a)＝g(e)＝(1－e)a＋e2－2e.
综上，h(a)＝
思维升华 (1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，则f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最
小值．
(2)若函数在区间[a，b]内有极值，则要先求出函数在[a，b]上的极值，再与f(a)，f(b)比较，
最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成．
(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论
在导数的实际应用中经常用到．
(4)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并
通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
跟踪训练2 已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数．
(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值；
(2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值．
解 (1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，
f′(x)＝－1＋＝，
令f′(x)＝0，得x＝1.
当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f(x) ＝f(1)＝－1.
max
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x) ＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．
max
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－；
令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－<x≤e.
从而f(x)在上单调递增，在上单调递减，
∴f(x) ＝f ＝－1＋ln.
max
令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，
即a＝－e2.
∵－e2<－，∴a＝－e2为所求．
故实数a的值为－e2.
课时精练
1．函数f(x)＝(x2－1)2＋2的极值点是( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝1或－1或0 D．x＝0
答案 C
解析 f′(x)＝2(x2－1)·2x＝4x(x＋1)(x－1)，
令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝－1或x＝1.
2．函数y＝在[0,2]上的最大值是( )
A. B. C．0 D.
答案 A
解析 易知y′＝，x∈[0,2]，
令y′>0，得0≤x<1，
令y′<0，得1<x≤2，
所以函数y＝在[0,1)上单调递增，在(1,2]上单调递减，所以y＝在[0,2]上的最大值是，故选
A.
3．已知函数f(x)＝2ln x＋ax2－3x在x＝2处取得极小值，则f(x)的极大值为( )
A．2 B．－
C．3＋ln 2 D．－2＋2ln 2答案 B
解析 由题意得，f′(x)＝＋2ax－3，∵f(x)在x＝2处取得极小值，∴f′(2)＝4a－2＝0，解得
a＝，
∴f(x)＝2ln x＋x2－3x，f′(x)＝＋x－3＝，
∴f(x)在(0,1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减，
∴f(x)的极大值为f(1)＝－3＝－.
4．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx的图象如图所示，则x＋x等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题中图象可知f(x)的图象经过点(1,0)与(2,0)，x ，x 是函数f(x)的极值点，所以1＋b
1 2
＋c＝0,8＋4b＋2c＝0，解得b＝－3，c＝2，所以f(x)＝x3－3x2＋2x，所以f′(x)＝3x2－6x＋
2，x ，x 是方程3x2－6x＋2＝0的两根，所以x ＋x ＝2，x·x ＝，∴x＋x＝(x ＋x)2－2xx ＝
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
4－2×＝.
5．(多选)函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则以下命题错误的是( )
A．－3是函数y＝f(x)的极值点
B．－1是函数y＝f(x)的最小值点
C．y＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增
D．y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零
答案 BD
解析 根据导函数的图象可知当 x∈(－∞，－3)时，f′(x)<0，当x∈(－3，＋∞)时，f′
(x)≥0，
∴函数y＝f(x)在(－∞，－3)上单调递减，在(－3，＋∞)上单调递增，则－3是函数y＝f(x)的
极值点，
∵函数y＝f(x)在(－3，＋∞)上单调递增，∴－1不是函数y＝f(x)的最小值点，
∵函数y＝f(x)在x＝0处的导数大于0，∴y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零．
故错误的命题为BD.
6．(多选)(2021·烟台模拟)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是( )
A．函数f(x)存在两个不同的零点B．函数f(x)既存在极大值又存在极小值
C．当－e<k≤0时，方程f(x)＝k有且只有两个实根
D．若x∈[t，＋∞)时，f(x) ＝，则t的最小值为2
max
答案 ABC
解析 由f(x)＝0，得x2＋x－1＝0，
∴x＝，故A正确．
f′(x)＝－＝－，
当x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0，
当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增，
∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确．
又f(－1)＝－e，f(2)＝，
且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，
∴f(x)的图象如图所示，
由图知C正确，D不正确．
7．函数f(x)＝2x－ln x的最小值为________．
答案 1＋ln 2
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2－＝，
当0<x<时，f′(x)<0；
当x>时，f′(x)>0.
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x) ＝f ＝1－ln ＝1＋ln 2.
min
8．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则实数c的取值范围为______________．
答案 ∪
解析 若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，
则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不相等的实根，
故Δ＝(－4c)2－12>0，
解得c>或c<－.
所以实数c的取值范围为∪.
9．已知函数f(x)＝sin x－x，x∈[0，π]，cos x＝，x∈[0，π]．
0 0①f(x)的最大值为f(x)；
0
②f(x)的最小值为f(x)；
0
③f(x)在[0，x]上是减函数；
0
④f(x)为f(x)的极大值．
0
那么上面命题中真命题的序号是________．
答案 ①④
解析 f′(x)＝cos x－，由f′(x)＝0，得cos x＝，即x＝x ，因为x∈[0，π]，当0≤x<x 时，
0 0 0
f′(x)>0；当x<x≤π时，f′(x)<0，所以f(x)在[0，x)上单调递增，在(x，π]上单调递减，所
0 0 0
以f(x)为f(x)的极大值且为最大值．故①④正确，②③不正确．
0
10．已知不等式ex－1≥kx＋ln x对于任意的x∈(0，＋∞)恒成立，则k的最大值为________．
答案 e－1
解析 ∀x∈(0，＋∞)，不等式ex－1≥kx＋ln x恒成立，等价于∀x∈(0，＋∞)，k≤恒成立，
令φ(x)＝(x>0)，
则φ′(x)＝，
当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x) ＝φ(1)＝e－1，
min
∴k≤e－1.
11．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
解 (1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
x (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ ln 2－1 ↘
故f(x)在定义域上的极大值为f(x) ＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．
极大值
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，若x∈，则f′(x)>0，
若x∈，则f′(x)<0，
故函数在x＝处有极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.
12．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中e为自
然对数的底数)．
解 (1)f′(x)＝ln x＋1，x>0，
由f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，
所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．
(2)g(x)＝xln x－a(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－a，
由g′(x)＝0，得x＝ea－1.
所以在区间(0，ea－1)上，g(x)单调递减，
在区间(ea－1，＋∞)上，g(x)单调递增．
当ea－1≥e，即a≥2时，g(x)在(0，e]上单调递减，
∴g(x) ＝g(e)＝a＋e－ae，
min
当ea－1<e即a<2时，g(x)在(0，ea－1)上单调递减，在(ea－1，e]上单调递增，
∴g(x) ＝g(ea－1)＝a－ea－1，
min
令g(x)的最小值为h(a)，
综上有h(a)＝
13．已知函数f(x)＝x＋2sin x，x∈[0,2π]，则f(x)的值域为( )
A. B.
C. D．[0,2π]
答案 D
解析 f′(x)＝1＋2cos x，x∈[0,2π]，
令f′(x)＝0，得cos x＝－，∴x＝或x＝，
又f ＝＋，
f ＝－，
f(0)＝0，
f(2π)＝2π，
f －f ＝－2<0，
∴f(0)<f <f <f(2π)，
∴f(x) ＝f(2π)＝2π，f(x) ＝f(0)＝0，
max min
∴f(x)的值域为[0,2π]．
14．(2020·邢台模拟)若函数f(x)＝x2＋(a－1)x－aln x存在唯一的极值，且此极值不小于1，
则实数a的取值范围为________．
答案
解析 对函数求导得f′(x)＝x－1＋a＝，x>0，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在
唯一的零点，且零点大于0，故x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0，且f(1)＝－＋a≥1，所
以a≥.
15．已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是
__________．
答案
解析 f(x)＝xln x＋mex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x>0)，令f′(x)＝0，得－m＝，设g(x)
＝，
则g′(x)＝(x>0)，令h(x)＝－ln x－1，
则h′(x)＝－－<0(x>0)，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，
∴当 x∈(0,1]时，h(x)≥0，即 g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增；当 x∈(1，＋∞)时，
h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故g(x) ＝g(1)＝，
max
而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
只需0<－m<，故－<m<0.
16．(2019·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M－m的取值范围．解 (1)f(x)的定义域为R，
f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝.
若a>0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减；
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
(2)当0<a<3时，由(1)知，f(x)在上单调递减，在上单调递增，所以f(x)在[0,1]的最小值为f ＝
－＋2，最大值为f(0)＝2或f(1)＝4－a.
于是m＝－＋2，M＝
所以M－m＝
①当0<a<2时，
可知y＝2－a＋单调递减，
所以M－m的取值范围是.
②当2≤a<3时，y＝单调递增，
所以M－m的取值范围是.
综上，M－m的取值范围是.
