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§3.3 导数与函数的极值、最值
考试要求 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函
数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值．
1．函数的极值与导数
f′(x)＝0
0
条件 x 附近的左侧f′(x)>0，右侧 x 附近的左侧f′(x)<0，右侧
0 0
f′(x)<0 f′(x)>0
图象
极值 f(x)为极大值 f(x)为极小值
0 0
极值点 x 为极大值点 x 为极小值点
0 0
2.函数的最值与导数
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与 端点处的函数值 f ( a ) ， f ( b )比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
微思考
1．对于可导函数f(x)，“f′(x)＝0”是“函数f(x)在x＝x 处有极值”的什么条件？
0 0
提示 必要不充分．
2．函数的极大值一定大于极小值吗？
提示 不一定．函数的极大值可能大于、小于或等于函数的极小值．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．( × )(2)函数的极小值一定是函数的最小值．( × )
(3)函数的极小值一定不是函数的最大值．( √ )
(4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．( × )
题组二 教材改编
2．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 由题意知只有在x＝－1处f′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正．
3．当x>0时，ln x，x，ex的大小关系是________．
答案 ln x0，
解得a>或a<－.
6．若函数f(x)＝x3－4x＋m在[0,3]上的最大值为4，则m＝________.
答案 4
解析 f′(x)＝x2－4，x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f′(x)<0，当x∈(2,3]时，f′(x)>0，所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3]上单调递增．又f(0)＝m，f(3)＝－3＋m.所以在[0,3]上，f(x) ＝
max
f(0)＝4，所以m＝4.
题型一 利用导数求函数的极值问题
命题点1 根据函数图象判断极值
例1 (多选)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数g(x)＝xf′(x)的图象如图所
示，则下列结论中一定成立的是( )
A．f(x)有两个极值点
B．f(0)为函数的极大值
C．f(x)有两个极小值
D．f(－1)为f(x)的极小值
答案 BC
解析 由题图知，当x∈(－∞，－2)时，g(x)>0，
∴f′(x)<0，
当x∈(－2,0)时，g(x)<0，∴f′(x)>0，
当x∈(0,1)时，g(x)<0，∴f′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，g(x)>0，∴f′(x)>0.
∴f(x)在(－∞，－2)，(0,1)上单调递减，
在(－2,0)，(1，＋∞)上单调递增．
故AD错误，BC正确．
命题点2 求已知函数的极值
例2 已知函数f(x)＝x2－1－2aln x(a≠0)，求函数f(x)的极值．
解 因为f(x)＝x2－1－2aln x(x>0)，
所以f′(x)＝2x－＝.
①当a<0时，因为x>0，且x2－a>0，所以f′(x)>0对x>0恒成立．所以f(x)在(0，＋∞)上单
调递增，f(x)无极值．
②当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝，x＝－(舍去)．
1 2
所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (0，) (，＋∞)
f′(x) － 0 ＋f(x) ↘ 极小值 ↗
所以当x＝时，f(x)取得极小值，且f()＝()2－1－2aln ＝a－1－aln a．无极大值．
综上，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上无极值．
当a>0时，函数f(x)在x＝处取得极小值a－1－aln a，无极大值．
命题点3 已知极值(点)求参数
例3 (1)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a＋b＝________.
答案 11
解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋b，
由题意得
解得或
当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，
∴f(x)在R上单调递增，
∴f(x)无极值，
所以a＝1，b＝3不符合题意，
当a＝2，b＝9时，经检验满足题意．
∴a＋b＝11.
(2)已知函数f(x)＝x(ln x－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 f(x)＝x(ln x－ax)，定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝1＋ln x－2ax.
由题意知，当x>0时，1＋ln x－2ax＝0有两个不相等的实数根，
即2a＝有两个不相等的实数根，
令φ(x)＝(x>0)，∴φ′(x)＝.
当00；当x>1时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
且φ(1)＝1，
当x→0时，φ(x)→－∞，
当x→＋∞时，φ(x)→0，
则0<2a<1，即01时，当x>a或x<1时，g(x)>0，f′(x)>0；
当11或x0，
当a0)，
令φ(x)＝－2x2＋x＝－22＋(x>0)，
其图象如图所示，故a<.题型二 利用导数求函数的最值
例4 已知函数g(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x(a∈R)．
(1)若a＝1，求g(x)在区间[1，e]上的最大值；
(2)求g(x)在区间[1，e]上的最小值h(a)．
解 (1)∵a＝1，∴g(x)＝ln x＋x2－3x，
∴g′(x)＝＋2x－3＝，
∵x∈[1，e]，∴g′(x)≥0，
∴g(x)在[1，e]上单调递增，
∴g(x) ＝g(e)＝e2－3e＋1.
max
(2)g(x)的定义域为(0，＋∞)，
g′(x)＝＋2x－(a＋2)＝
＝.
①当≤1，即a≤2时，g(x)在[1，e]上单调递增，h(a)＝g(1)＝－a－1；
②当1<0；当x>1时，f′(x)<0.
∴f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．∴f(x) ＝f(1)＝－1.
max
∴当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1.
(2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈.
①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上单调递增，
∴f(x) ＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意．
max
②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得00，得0≤x<1，
令y′<0，得10，
∴f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上单调递减，在(－1,2)上单调递增，
∴f(－1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，故B正确．
又f(－1)＝－e，f(2)＝，
且当x→－∞时，f(x)→＋∞，x→＋∞时，f(x)→0，
∴f(x)的图象如图所示，
由图知C正确，D不正确．
7．函数f(x)＝2x－ln x的最小值为________．
答案 1＋ln 2
解析 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝2－＝，
当0时，f′(x)>0.
∴f(x)在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x) ＝f ＝1－ln ＝1＋ln 2.
min
8．若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，则实数c的取值范围为______________．
答案 ∪
解析 若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有两个极值点，
则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不相等的实根，
故Δ＝(－4c)2－12>0，
解得c>或c<－.
所以实数c的取值范围为∪.
9．已知函数f(x)＝sin x－x，x∈[0，π]，cos x＝，x∈[0，π]．
0 0①f(x)的最大值为f(x)；
0
②f(x)的最小值为f(x)；
0
③f(x)在[0，x]上是减函数；
0
④f(x)为f(x)的极大值．
0
那么上面命题中真命题的序号是________．
答案 ①④
解析 f′(x)＝cos x－，由f′(x)＝0，得cos x＝，即x＝x ，因为x∈[0，π]，当0≤x0；当x0)，
则φ′(x)＝，
当x∈(0,1)时，φ′(x)<0，
当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，
∴φ(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
∴φ(x) ＝φ(1)＝e－1，
min
∴k≤e－1.
11．已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R)．
(1)当a＝时，求f(x)的极值；
(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数．
解 (1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝2，
于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表．
x (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ↗ ln 2－1 ↘
故f(x)在定义域上的极大值为f(x) ＝f(2)＝ln 2－1，无极小值．
极大值
(2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－a＝.
当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立，则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；
当a>0时，若x∈，则f′(x)>0，
若x∈，则f′(x)<0，
故函数在x＝处有极大值．
综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点，
当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝.
12．已知函数f(x)＝xln x.
(1)求函数f(x)的极值点；
(2)设函数g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函数g(x)在区间(0，e]上的最小值(其中e为自
然对数的底数)．
解 (1)f′(x)＝ln x＋1，x>0，
由f′(x)＝0，得x＝.
当x∈时，f′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，
所以f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增．
所以x＝是函数f(x)的极小值点，极大值点不存在．
(2)g(x)＝xln x－a(x－1)，则g′(x)＝ln x＋1－a，
由g′(x)＝0，得x＝ea－1.
所以在区间(0，ea－1)上，g(x)单调递减，
在区间(ea－1，＋∞)上，g(x)单调递增．
当ea－1≥e，即a≥2时，g(x)在(0，e]上单调递减，
∴g(x) ＝g(e)＝a＋e－ae，
min
当ea－10，因为函数存在唯一的极值，所以导函数存在
唯一的零点，且零点大于0，故x＝1是唯一的极值点，此时－a≤0，且f(1)＝－＋a≥1，所
以a≥.
15．已知函数f(x)＝xln x＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是
__________．
答案
解析 f(x)＝xln x＋mex(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1＋mex(x>0)，令f′(x)＝0，得－m＝，设g(x)
＝，
则g′(x)＝(x>0)，令h(x)＝－ln x－1，
则h′(x)＝－－<0(x>0)，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，
∴当 x∈(0,1]时，h(x)≥0，即 g′(x)≥0，g(x)在(0,1]上单调递增；当 x∈(1，＋∞)时，
h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故g(x) ＝g(1)＝，
max
而当x→0时，g(x)→－∞，当x→＋∞时，g(x)→0，
若f(x)有两极值点，只要y＝－m和g(x)的图象在(0，＋∞)上有两个交点，
只需0<－m<，故－0，则当x∈(－∞，0)∪时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在(－∞，0)，上单调递增，在上单调递减；
若a＝0，则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；
若a<0，则当x∈∪(0，＋∞)时，f′(x)>0，
当x∈时，f′(x)<0，
故f(x)在，(0，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
(2)当0
